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Grundbegriffe, Syntax, Semantik Ubersetzung naturlichsprachiger Satze in AL

Semantik 2:Aussagenlogik

Robert Zangenfeind, Hinrich Schutze

Center for Information and Language Processing, LMU Munich

2018-04-17

Zangenfeind & Schutze (LMU Munich): Aussagenlogik 1 / 38

No phil. question is solved No [p-question]1 is [solved]pSome log. questions are solved Some [l-questions]2 are [solved]pNot all log. questions are phil. questionsNot all [l-questions]2 are [p-questions]1No bird can fly No [bird]1 [can fly]pSome helis can fly Some [helis]2 [can fly]pNot all helis are birds Not all [helis]2 are [birds]1Murder is never moral No [murder]1 is [moral]pSometimes abortion is moral Some [abortions]2 are [moral]pAbortion is not always murder Not all [abortions]2 are [murder]1Dogs that bark don’t bite. No [dog that barks]1 [bites]pSome dogs bite Some [dogs]2 [bite]pNot all dogs bark Not all [dogs]2 are [dogs that bark]1


Outline

1 Grundbegriffe, Syntax, Semantik

2 Ubersetzung naturlichsprachiger Satze in AL



Sprache der AL



Sprache der AL

Anforderungen an logische Sprachen:



Sprache der AL

Anforderungen an logische Sprachen:(i) logische Form der Satze entspricht genau dergrammatischen Form



Sprache der AL

Anforderungen an logische Sprachen:(i) logische Form der Satze entspricht genau dergrammatischen Form(ii) verwendete logische Ausdrucke haben jeweils nur eine klardefinierte Bedeutung



Sprache der AL

Anforderungen an logische Sprachen:(i) logische Form der Satze entspricht genau dergrammatischen Form(ii) verwendete logische Ausdrucke haben jeweils nur eine klardefinierte BedeutungNachteile der nat. Sprache sollen vermieden werden (vgl.Probleme mit der log. Form bei nat.spr. Satzen)



Sprache der AL

Anforderungen an logische Sprachen:(i) logische Form der Satze entspricht genau dergrammatischen Form(ii) verwendete logische Ausdrucke haben jeweils nur eine klardefinierte BedeutungNachteile der nat. Sprache sollen vermieden werden (vgl.Probleme mit der log. Form bei nat.spr. Satzen)diese beiden Vorteile ziehen aber einen großen Nachteil nachsich:



Sprache der AL

Anforderungen an logische Sprachen:(i) logische Form der Satze entspricht genau dergrammatischen Form(ii) verwendete logische Ausdrucke haben jeweils nur eine klardefinierte BedeutungNachteile der nat. Sprache sollen vermieden werden (vgl.Probleme mit der log. Form bei nat.spr. Satzen)diese beiden Vorteile ziehen aber einen großen Nachteil nachsich:AL ist sehr viel armer als naturliche Sprachen (Warum?)(ebenso bei PL, aber nicht ganz so extrem)



Sprache der AL

Anforderungen an logische Sprachen:(i) logische Form der Satze entspricht genau dergrammatischen Form(ii) verwendete logische Ausdrucke haben jeweils nur eine klardefinierte BedeutungNachteile der nat. Sprache sollen vermieden werden (vgl.Probleme mit der log. Form bei nat.spr. Satzen)diese beiden Vorteile ziehen aber einen großen Nachteil nachsich:AL ist sehr viel armer als naturliche Sprachen (Warum?)(ebenso bei PL, aber nicht ganz so extrem)Vokabular: (sehr beschrankt)



Sprache der AL

Anforderungen an logische Sprachen:(i) logische Form der Satze entspricht genau dergrammatischen Form(ii) verwendete logische Ausdrucke haben jeweils nur eine klardefinierte BedeutungNachteile der nat. Sprache sollen vermieden werden (vgl.Probleme mit der log. Form bei nat.spr. Satzen)diese beiden Vorteile ziehen aber einen großen Nachteil nachsich:AL ist sehr viel armer als naturliche Sprachen (Warum?)(ebenso bei PL, aber nicht ganz so extrem)Vokabular: (sehr beschrankt)(i) Ausdrucke, die ganzen Satzen entsprechen(Satzbuchstaben) (d.h. einfache Satze)



Sprache der AL

Anforderungen an logische Sprachen:(i) logische Form der Satze entspricht genau dergrammatischen Form(ii) verwendete logische Ausdrucke haben jeweils nur eine klardefinierte BedeutungNachteile der nat. Sprache sollen vermieden werden (vgl.Probleme mit der log. Form bei nat.spr. Satzen)diese beiden Vorteile ziehen aber einen großen Nachteil nachsich:AL ist sehr viel armer als naturliche Sprachen (Warum?)(ebenso bei PL, aber nicht ganz so extrem)Vokabular: (sehr beschrankt)(i) Ausdrucke, die ganzen Satzen entsprechen(Satzbuchstaben) (d.h. einfache Satze)(ii) Satzoperatoren



Sprache der AL

Anforderungen an logische Sprachen:(i) logische Form der Satze entspricht genau dergrammatischen Form(ii) verwendete logische Ausdrucke haben jeweils nur eine klardefinierte BedeutungNachteile der nat. Sprache sollen vermieden werden (vgl.Probleme mit der log. Form bei nat.spr. Satzen)diese beiden Vorteile ziehen aber einen großen Nachteil nachsich:AL ist sehr viel armer als naturliche Sprachen (Warum?)(ebenso bei PL, aber nicht ganz so extrem)Vokabular: (sehr beschrankt)(i) Ausdrucke, die ganzen Satzen entsprechen(Satzbuchstaben) (d.h. einfache Satze)(ii) Satzoperatorendaraus: neue Satze



Zwei wichtige Aspekte von Sprache




Syntax und Semantik(keine Morphologie, Pragmatik)




Syntax und Semantik(keine Morphologie, Pragmatik)Syntax:




Syntax und Semantik(keine Morphologie, Pragmatik)Syntax:(i) Welche Grundausdrucke enthalt die Sprache?




Syntax und Semantik(keine Morphologie, Pragmatik)Syntax:(i) Welche Grundausdrucke enthalt die Sprache?(ii) Wie erzeugt man daraus komplexe Ausdrucke und Satze?




Syntax und Semantik(keine Morphologie, Pragmatik)Syntax:(i) Welche Grundausdrucke enthalt die Sprache?(ii) Wie erzeugt man daraus komplexe Ausdrucke und Satze?Semantik:




Syntax und Semantik(keine Morphologie, Pragmatik)Syntax:(i) Welche Grundausdrucke enthalt die Sprache?(ii) Wie erzeugt man daraus komplexe Ausdrucke und Satze?Semantik:(i) Was bedeuten die Grundausdrucke?




Syntax und Semantik(keine Morphologie, Pragmatik)Syntax:(i) Welche Grundausdrucke enthalt die Sprache?(ii) Wie erzeugt man daraus komplexe Ausdrucke und Satze?Semantik:(i) Was bedeuten die Grundausdrucke?(ii) Wie ergeben sich daraus die Bedeutungen der komplexenAusdrucke und die Wahrheitsbedingungen der Satze?





Unterschied Gebrauch – Erwahnung(Beispiel: “Hans” ist ein guter Name)





Unterschied Gebrauch – Erwahnung(Beispiel: “Hans” ist ein guter Name)Unterschied Objektsprache – Metasprachez.B. Semantische Metasprache zur Bed.erklarungWir sprechen mit der dt. Sprache (Metaspr.) uber AL(Objektspr.)



Die Syntax von AL



Die Syntax von AL

Satzbuchstaben: Ausdrucke, die ganzen Satzen entsprechen,z.B. p, q, r, A, B, C, ... (deskriptive Zeichen von AL)



Die Syntax von AL


5 Satzoperatoren (Junktoren, logische Zeichen von AL):



Die Syntax von AL



Negation (nicht) ¬



Die Syntax von AL



Negation (nicht) ¬Konjunktion (und) ∧



Die Syntax von AL



Negation (nicht) ¬Konjunktion (und) ∧Disjunktion (nicht ausschließendes oder) ∨



Die Syntax von AL



Negation (nicht) ¬Konjunktion (und) ∧Disjunktion (nicht ausschließendes oder) ∨Implikation (wenn, dann) →



Die Syntax von AL



Negation (nicht) ¬Konjunktion (und) ∧Disjunktion (nicht ausschließendes oder) ∨Implikation (wenn, dann) →Aquivalenz (genau dann, wenn) ↔



Die Syntax von AL




Hilfszeichen: ( )



Die Syntax von AL




Hilfszeichen: ( )

’∧’ und ’∨’ binden starker als ’→’ und ’↔’ (relevant?)



Die Syntax von AL




Hilfszeichen: ( )


A ist ein Satz von AL, wenn eine der folgenden Bedingungenerfullt ist:



Die Syntax von AL




Hilfszeichen: ( )



(i) A ist ein Satzbuchstabe



Die Syntax von AL




Hilfszeichen: ( )



(i) A ist ein Satzbuchstabe

(ii) B und C sind Satze von AL und A ist: ¬B, (B ∧ C), (B ∨

C), (B → C) oder (B ↔ C)



Die Semantik von AL: Wahrheitswerttabellen (1)

(Definitionen fur die einzelnen Junktoren; naturlichsprachlicheBeispiele konnen das nicht unbedingt genau widerspiegeln)

A ¬A

w ff w

A B A ∧ B

w w ww f ff w ff f f

A B A ∨ B

w w ww f wf w wf f f

(‘oder’ ist nat.spr. ambig: “Warst du gestern oder vorgestern inNurnberg?” ⇒ je nach Betonung)




A B A → B

w w ww f ff w wf f w




A B A → B


A B A ↔ B

w w ww f ff w ff f w

Einen Satz verstehen, heißt, wissen was der Fall ist, wenn er wahrist. (Wittgenstein)




A B A → B


A B A ↔ B


Einen Satz verstehen, heißt, wissen was der Fall ist, wenn er wahrist. (Wittgenstein)Man kann ihn also verstehen, ohne zu wissen, ob er wahr ist.



Syntax, Semantik



Einige Aquivalenzbeziehungen (1)




A = ¬¬A




A = ¬¬A

A ∧ A = A (Idempotenz der Konjunktion)




A = ¬¬A


A ∧ B = B ∧ A (Kommutativitat)




A = ¬¬A



A ∧ (B ∧ C) = (A ∧ B) ∧ C (Assoziativitat)




A = ¬¬A




¬(A ∧ B) = ¬A ∨ ¬B (1. Gesetz von De Morgan)




A = ¬¬A





A ∨ A = A (Idempotenz der Disjunktion)




A = ¬¬A






A ∨ B = B ∨ A (Kommutativitat)




A = ¬¬A







A ∨ (B ∨ C) = (A ∨ B) ∨ C (Assoziativitat)




A = ¬¬A







A ∨ (B ∨ C) = (A ∨ B) ∨ C (Assoziativitat)

¬(A ∨ B) = ¬A ∧ ¬B (2. Gesetz von De Morgan)




A ∧ (B ∨ C) = (A ∧ B) ∨ (A ∧ C) (1. Distributivgesetz)





A ∨ (B ∧ C) = (A ∨ B) ∧ (A ∨ C) (2. Distributivgesetz)






A → B = ¬B → ¬A (Kontraposition)







A ↔ B = B ↔ A (Kommutativitat)








A ↔ (B ↔ C) = (A ↔ B) ↔ C (Assoziativitat)









A ↔ B = ¬A ↔ ¬B









A ↔ B = ¬A ↔ ¬B

A ↔ B = (A → B) ∧ (B → A)

Die Bedeutung eines Ausdrucks kennen, heißt wissen, wann einSatz wahr ist, in dem dieser Ausdruck vorkommt.



proof



Boolean vs elementary algebra:

Monotone laws valid in both





A ∨ (B ∨ C) = (A ∨ B) ∨ C (associativiy)






A ∧ (B ∧ C) = (A ∧ B) ∧ C (associativiy)







A ∨ B = B ∨ A (commutativity)








A ∧ B = B ∧ A (commutativity)









A ∧ (B ∨ C) = (A ∧ B) ∨ (A ∧ C) (distributivity of ∧ over ∨)










A ∨ 0 = A (identity)











A ∧ 1 = A (identity)











A ∧ 1 = A (identity)

A ∧ 0 = 0 (annihilation)




Monotone laws valid only in Boolean algebra





A ∨ 1 = 1 (annihilation)






A ∨ A = A (idempotence)







A ∧ A = A (idempotence)







A ∧ A = A (idempotence)

A ∨ (B ∧ C) = (A ∨ B) ∧ (A ∨ C) (distributivity of ∨ over ∧)




Negation




Negation

¬¬A = A




Negation

¬¬A = A

Apart from double negation, negation behaves differently inboolean vs elementary algebra.




Negation

¬¬A = A


Elementary algebra: (−x) ∗ (−y) = x ∗ y ,(−x) + (−y) = −(x + y)




Negation

¬¬A = A



Boolean algebra: De Morgan




Negation

¬¬A = A








Negation

¬¬A = A





¬(A ∨ B) = ¬A ∧ ¬B (2. Gesetz von De Morgan)



Boolean Algebra vs. Algebra of Sets

Boolean Algebra Algebra of Sets

¬A negation A complementA ∧ B conjunction A ∩ B intersectionA ∨ B disjunction A ∪ B unionA ∧ 0 = 0 bottom element A ∩ ∅ = ∅ empty setA ∨ 1 = 1 top element A ∪ U = U set of all elements



Outline

1 Grundbegriffe, Syntax, Semantik

2 Ubersetzung naturlichsprachiger Satze in AL



Ruckschlusse aus den logischen Eigenschaften der einen

Sprache auf die andere

Voraussetzung: adaquate Ubersetzung, d.h. Satz A’ hatdieselbe Wahrheitsbedingung wie Satz A

Wenn die Satze A, A1, ..., An einer Sprache L1 adaquateUbersetzungen der Satze A’, A1’, ..., An’ einer Sprache L2sind, dann gilt:

(i) Ist der Satz A’ logisch wahr, dann ist auch der Satz Alogisch wahr

(ii) Folgt der Satz A’ logisch aus den Satzen A1’, ..., An’,dann folgt auch der Satz A logisch aus den Satzen A1, ..., An



Ruckschlusse aus den logischen Eigenschaften der einen

Sprache auf die andere

Voraussetzung: adaquate Ubersetzung, d.h. Satz A’ hatdieselbe Wahrheitsbedingung wie Satz A

Wenn die Satze A, A1, ..., An einer Sprache L1 adaquateUbersetzungen der Satze A’, A1’, ..., An’ einer Sprache L2sind, dann gilt:

(i) Ist der Satz A’ logisch wahr, dann ist auch der Satz Alogisch wahr

(ii) Folgt der Satz A’ logisch aus den Satzen A1’, ..., An’,dann folgt auch der Satz A logisch aus den Satzen A1, ..., An

⇒ logische Eigenschaften und Beziehungen von Satzen derAL konnen zur logischen Beurteilung naturlichsprachiger Satzeherangezogen werden



Grundsatze fur die Ubersetzung




die logischen Junktoren entsprechen in etwa folgendennaturlichsprachigen Ausdrucken:





(i) ‘es ist nicht der Fall, dass’ (¬)






(ii) ‘und’ (∧)






(ii) ‘und’ (∧)

(iii) ‘oder’ (∨)






(ii) ‘und’ (∧)


(iv) ‘wenn, dann’ (→)






(ii) ‘und’ (∧)



(v) ‘genau dann, wenn’ (↔)






(ii) ‘und’ (∧)




Ubersetzungen sollen moglichst strukturreich sein






(ii) ‘und’ (∧)





A’ soll in seiner Struktur dem Satz A moglichst ahnlich sein






(ii) ‘und’ (∧)





A’ soll in seiner Struktur dem Satz A moglichst ahnlich sein

Allerdings: kein festes System von Regeln



Negationen (1)



Negationen (1)

Paul ist nicht klug.



Negationen (1)


entspricht: Es ist nicht der Fall, dass Paul klug ist.



Negationen (1)



AL: ¬p



Negationen (1)



AL: ¬p

p: Paul ist klug.



Negationen (1)



AL: ¬p

p: Paul ist klug.

Berlin liegt nicht an der Elbe.



Negationen (1)



AL: ¬p

p: Paul ist klug.


entspricht: Es ist nicht der Fall, dass Berlin an der Elbe liegt.



Negationen (1)



AL: ¬p

p: Paul ist klug.



AL: ¬p



Negationen (1)



AL: ¬p

p: Paul ist klug.



AL: ¬p

p: Berlin liegt an der Elbe.



Negationen (1)



AL: ¬p

p: Paul ist klug.



AL: ¬p


Kein Mensch ist vollkommen.



Negationen (1)



AL: ¬p

p: Paul ist klug.



AL: ¬p



entspricht: Es ist nicht der Fall, dass es einen vollkommenenMenschen gibt.



Negationen (1)



AL: ¬p

p: Paul ist klug.



AL: ¬p




AL: ¬p



Negationen (1)



AL: ¬p

p: Paul ist klug.



AL: ¬p




AL: ¬p

p: Es gibt einen vollkommenen Menschen.



Negationen (2)



Negationen (2)

Hans ist unvernunftig.



Negationen (2)


entspricht: Es ist nicht der Fall, dass Hans vernunftig ist.



Negationen (2)



AL: ¬p



Negationen (2)



AL: ¬p

p: Hans ist vernunftig.



Negationen (2)



AL: ¬p


Fritz hat Gerda nichts geschenkt.



Negationen (2)



AL: ¬p



entspricht: Es ist nicht der Fall, dass Fritz Gerda etwasgeschenkt hat.



Negationen (2)



AL: ¬p




AL: ¬p



Negationen (2)



AL: ¬p




AL: ¬p

p: Fritz hat Gerda etwas geschenkt.



Negationen (3)

Alfred ist noch nicht gekommen.AL: ¬pp: Alfred ist gekommen. (?)p: Alfred ist schon gekommen. (?)



Negationen (3)

Alfred ist noch nicht gekommen.AL: ¬pp: Alfred ist gekommen. (?)p: Alfred ist schon gekommen. (?)Aber Pragmatik (Einstellung des Sprechers, Erwartung etc)laesst sich allgemein nicht in AL darstellen.



Negationen (3)

Alfred ist noch nicht gekommen.AL: ¬pp: Alfred ist gekommen. (?)p: Alfred ist schon gekommen. (?)Aber Pragmatik (Einstellung des Sprechers, Erwartung etc)laesst sich allgemein nicht in AL darstellen.Schloss Blutenburg ist bis zum heutigen Tage nicht weitbekannt.AL: ¬pp: Schloss Blutenburg ist bis zum heutigen Tage weit bekannt.



Negationen (3)

Alfred ist noch nicht gekommen.AL: ¬pp: Alfred ist gekommen. (?)p: Alfred ist schon gekommen. (?)Aber Pragmatik (Einstellung des Sprechers, Erwartung etc)laesst sich allgemein nicht in AL darstellen.Schloss Blutenburg ist bis zum heutigen Tage nicht weitbekannt.AL: ¬pp: Schloss Blutenburg ist bis zum heutigen Tage weit bekannt.Schloss Blutenburg wird ab dem heutigen Tage nicht derOeffentlichkeit zugaenglich sein.AL: ¬pp: Schloss Blutenburg wird ab dem heutigen Tage derOeffentlichkeit zugaenglich sein.



Negationen (3)

Alfred ist noch nicht gekommen.AL: ¬pp: Alfred ist gekommen. (?)p: Alfred ist schon gekommen. (?)Aber Pragmatik (Einstellung des Sprechers, Erwartung etc)laesst sich allgemein nicht in AL darstellen.Schloss Blutenburg ist bis zum heutigen Tage nicht weitbekannt.AL: ¬pp: Schloss Blutenburg ist bis zum heutigen Tage weit bekannt.Schloss Blutenburg wird ab dem heutigen Tage nicht derOeffentlichkeit zugaenglich sein.AL: ¬pp: Schloss Blutenburg wird ab dem heutigen Tage derOeffentlichkeit zugaenglich sein.Hier: Pragmatik eher vernachlaessigbar.



Pragmatik



Pragmatik

Haben “Hans ist noch nicht da” und “Hans ist nicht da”dieselben Wahrheitsbedingungen?



Pragmatik


“Hans ist noch nicht da und ich rechne auch nicht mehrdamit, dass er kommt”



Pragmatik



logischer Widerspruch?



Pragmatik




“Hans ist nicht da, aber er ist doch da”



Pragmatik




“Hans ist nicht da, aber er ist doch da”

logischer Widerspruch!



What is the difference?

“Nicht Hans hat das Buch gelesen.”vs. “Hans hat nicht das Buch gelesen.”vs. “Hans hat das Buch nicht gelesen”



What is the difference?

“Nicht Hans hat das Buch gelesen.”vs. “Hans hat nicht das Buch gelesen.”vs. “Hans hat das Buch nicht gelesen”

Example where this does not work?

John is unhappy.It is not true that John is happy.AL/Propositional calculus: ¬pp: John is happy



Konjunktionen (1)



Konjunktionen (1)

Hans und Paul sind gute Schwimmer.



Konjunktionen (1)


AL: p ∧ q



Konjunktionen (1)


AL: p ∧ q

p: Hans ist ein guter Schwimmer.



Konjunktionen (1)


AL: p ∧ q


q: Paul ist ein guter Schwimmer.



Konjunktionen (1)


AL: p ∧ q



Fritz putzt sich die Zahne und geht schlafen.



Konjunktionen (1)


AL: p ∧ q




AL?



Konjunktionen (1)


AL: p ∧ q




AL?

p ∧ q geht nicht gut wg. Aquivalenzbeziehung zu q ∧ p



Konjunktionen (1)


AL: p ∧ q




AL?


Hans und Gerda sind befreundet.



Konjunktionen (1)


AL: p ∧ q




AL?



AL?



Konjunktionen (1)


AL: p ∧ q




AL?



AL?

Verschiedene “und”



Konjunktionen (2)



Konjunktionen (2)

Hans ist sowohl dumm als auch faul.



Konjunktionen (2)


AL: p ∧ q



Konjunktionen (2)


AL: p ∧ q

p: Hans ist dumm.



Konjunktionen (2)


AL: p ∧ q

p: Hans ist dumm.

q: Hans ist faul.



Konjunktionen (2)


AL: p ∧ q

p: Hans ist dumm.

q: Hans ist faul.

Hans ist nicht dumm, aber faul.



Konjunktionen (2)


AL: p ∧ q

p: Hans ist dumm.

q: Hans ist faul.


AL: ¬p ∧ q



Konjunktionen (2)


AL: p ∧ q

p: Hans ist dumm.

q: Hans ist faul.


AL: ¬p ∧ q (?)(Pragmatik fehlt: Einstellung des Sprechers: Gegensatz; furreine Logik ist die Ubersetzung in AL aber o.k.; ahnlich:obwohl, trotzdem, nur, sogar, ...)



Disjunktionen



Disjunktionen

Hans oder Fritz kommt.



Disjunktionen


AL: p ∨ q

(nicht ausschließendes ‘oder’; d.h. “Von Hans und Fritzkommt mindestens einer.”)



Disjunktionen


AL: p ∨ q


bzw.: Entweder Hans kommt oder Fritz kommt.(ausschließendes ‘oder’ (Kontravalenz))



Disjunktionen


AL: p ∨ q



AL: ¬(p ↔ q)



Disjunktionen


AL: p ∨ q



AL: ¬(p ↔ q)A B



Disjunktionen


AL: p ∨ q



AL: ¬(p ↔ q)A B

w ww ff wf f



Disjunktionen


AL: p ∨ q



AL: ¬(p ↔ q)A B ¬ (A ↔ B)

w ww ff wf f



Disjunktionen


AL: p ∨ q



AL: ¬(p ↔ q)A B ¬ (A ↔ B)

w w ww ff wf f



Disjunktionen


AL: p ∨ q



AL: ¬(p ↔ q)A B ¬ (A ↔ B)

w w ww f ff wf f



Disjunktionen


AL: p ∨ q



AL: ¬(p ↔ q)A B ¬ (A ↔ B)

w w ww f ff w ff f



Disjunktionen


AL: p ∨ q



AL: ¬(p ↔ q)A B ¬ (A ↔ B)




Disjunktionen


AL: p ∨ q



AL: ¬(p ↔ q)A B ¬ (A ↔ B)

w w f ww f ff w ff f w

Verschiedene “oder”



Disjunktionen


AL: p ∨ q



AL: ¬(p ↔ q)A B ¬ (A ↔ B)

w w f ww f w ff w ff f w




Disjunktionen


AL: p ∨ q



AL: ¬(p ↔ q)A B ¬ (A ↔ B)

w w f ww f w ff w w ff f w




Disjunktionen


AL: p ∨ q



AL: ¬(p ↔ q)A B ¬ (A ↔ B)

w w f ww f w ff w w ff f f w




“and” / “or”



“and” / “or”

Snow is white or grass is green and birds eat worms.



Implicationen (1)



Implicationen (1)

sind allgemein problematisch zur Ubers. in AL, weil: (i) esgibt viele verschiedene nat.spr. wenn-dann-Satze, (ii) keinenat.spr. Konstruktion entspricht genau der log. Implication



Implicationen (1)

sind allgemein problematisch zur Ubers. in AL, weil: (i) esgibt viele verschiedene nat.spr. wenn-dann-Satze, (ii) keinenat.spr. Konstruktion entspricht genau der log. ImplicationWenn Fritz der Vater von Paul ist, dann ist Fritz alter als Paul.



Implicationen (1)

sind allgemein problematisch zur Ubers. in AL, weil: (i) esgibt viele verschiedene nat.spr. wenn-dann-Satze, (ii) keinenat.spr. Konstruktion entspricht genau der log. ImplicationWenn Fritz der Vater von Paul ist, dann ist Fritz alter als Paul.AL: p → q



Implicationen (1)

sind allgemein problematisch zur Ubers. in AL, weil: (i) esgibt viele verschiedene nat.spr. wenn-dann-Satze, (ii) keinenat.spr. Konstruktion entspricht genau der log. ImplicationWenn Fritz der Vater von Paul ist, dann ist Fritz alter als Paul.AL: p → qproblematisch, weil inhaltlicher Zusammenhang zwischen dennaturlichsprachigen Teilsatzen bestehen muss und nicht nurWahrheitsbedingungen der Teilsatze relevant sind



Implicationen (1)

sind allgemein problematisch zur Ubers. in AL, weil: (i) esgibt viele verschiedene nat.spr. wenn-dann-Satze, (ii) keinenat.spr. Konstruktion entspricht genau der log. ImplicationWenn Fritz der Vater von Paul ist, dann ist Fritz alter als Paul.AL: p → qproblematisch, weil inhaltlicher Zusammenhang zwischen dennaturlichsprachigen Teilsatzen bestehen muss und nicht nurWahrheitsbedingungen der Teilsatze relevant sindfur Wahrheit des AL-Satzes reicht es, wenn Fritz nicht derVater von Paul ist (dann ist es egal, ob Fritz alter als Paul ist)



Implicationen (1)

sind allgemein problematisch zur Ubers. in AL, weil: (i) esgibt viele verschiedene nat.spr. wenn-dann-Satze, (ii) keinenat.spr. Konstruktion entspricht genau der log. ImplicationWenn Fritz der Vater von Paul ist, dann ist Fritz alter als Paul.AL: p → qproblematisch, weil inhaltlicher Zusammenhang zwischen dennaturlichsprachigen Teilsatzen bestehen muss und nicht nurWahrheitsbedingungen der Teilsatze relevant sindfur Wahrheit des AL-Satzes reicht es, wenn Fritz nicht derVater von Paul ist (dann ist es egal, ob Fritz alter als Paul ist)wenn ein wenn-dann-Satz wahr ist, dann ist auch dieentsprechende Implication wahr (aber nicht unbedingtumgekehrt – die Ubersetzung in AL ist sozusagen schwacher)



Implicationen (1)

sind allgemein problematisch zur Ubers. in AL, weil: (i) esgibt viele verschiedene nat.spr. wenn-dann-Satze, (ii) keinenat.spr. Konstruktion entspricht genau der log. ImplicationWenn Fritz der Vater von Paul ist, dann ist Fritz alter als Paul.AL: p → qproblematisch, weil inhaltlicher Zusammenhang zwischen dennaturlichsprachigen Teilsatzen bestehen muss und nicht nurWahrheitsbedingungen der Teilsatze relevant sindfur Wahrheit des AL-Satzes reicht es, wenn Fritz nicht derVater von Paul ist (dann ist es egal, ob Fritz alter als Paul ist)wenn ein wenn-dann-Satz wahr ist, dann ist auch dieentsprechende Implication wahr (aber nicht unbedingtumgekehrt – die Ubersetzung in AL ist sozusagen schwacher)Implicationen = ‘gemeinsamer Kern’ von wenn-dann-Satzen



Implicationen (1)

sind allgemein problematisch zur Ubers. in AL, weil: (i) esgibt viele verschiedene nat.spr. wenn-dann-Satze, (ii) keinenat.spr. Konstruktion entspricht genau der log. ImplicationWenn Fritz der Vater von Paul ist, dann ist Fritz alter als Paul.AL: p → qproblematisch, weil inhaltlicher Zusammenhang zwischen dennaturlichsprachigen Teilsatzen bestehen muss und nicht nurWahrheitsbedingungen der Teilsatze relevant sindfur Wahrheit des AL-Satzes reicht es, wenn Fritz nicht derVater von Paul ist (dann ist es egal, ob Fritz alter als Paul ist)wenn ein wenn-dann-Satz wahr ist, dann ist auch dieentsprechende Implication wahr (aber nicht unbedingtumgekehrt – die Ubersetzung in AL ist sozusagen schwacher)Implicationen = ‘gemeinsamer Kern’ von wenn-dann-Satzen“Wenn Hans einen Film sehen will, geht er ins Kino.



Implicationen (1)

sind allgemein problematisch zur Ubers. in AL, weil: (i) esgibt viele verschiedene nat.spr. wenn-dann-Satze, (ii) keinenat.spr. Konstruktion entspricht genau der log. ImplicationWenn Fritz der Vater von Paul ist, dann ist Fritz alter als Paul.AL: p → qproblematisch, weil inhaltlicher Zusammenhang zwischen dennaturlichsprachigen Teilsatzen bestehen muss und nicht nurWahrheitsbedingungen der Teilsatze relevant sindfur Wahrheit des AL-Satzes reicht es, wenn Fritz nicht derVater von Paul ist (dann ist es egal, ob Fritz alter als Paul ist)wenn ein wenn-dann-Satz wahr ist, dann ist auch dieentsprechende Implication wahr (aber nicht unbedingtumgekehrt – die Ubersetzung in AL ist sozusagen schwacher)Implicationen = ‘gemeinsamer Kern’ von wenn-dann-Satzen“Wenn Hans einen Film sehen will, geht er ins Kino.Verschiedene “wenn . . . dann”



Implicationen (2)



Implicationen (2)

ahnlich kann man folgenden Satz behandeln:



Implicationen (2)


Hans kommt nur zur Party, wenn Karla kommt.



Implicationen (2)



Umformulierung:



Implicationen (2)



Umformulierung:

Wenn Karla nicht kommt, kommt auch Hans nicht zur Party.(vgl: “Hans kommt zur Party, wenn Karla kommt”)



Implicationen (2)



Umformulierung:


AL: ¬p → ¬q



Implicationen (2)



Umformulierung:


AL: ¬p → ¬q

p: Karla kommt.



Implicationen (2)



Umformulierung:


AL: ¬p → ¬q

p: Karla kommt.

q: Hans kommt zur Party.



Implicationen (2)



Umformulierung:


AL: ¬p → ¬q

p: Karla kommt.


Aquivalenzbeziehung:



Implicationen (2)



Umformulierung:


AL: ¬p → ¬q

p: Karla kommt.


Aquivalenzbeziehung:

AL: q → p



Aquivalenzen



Aquivalenzen

Hans kommt genau dann, wenn Paul kommt.



Aquivalenzen

Hans kommt genau dann, wenn Paul kommt.( = Hans kommt dann und nur dann, wenn Paul kommt.)



Aquivalenzen


AL: p ↔ q



Aquivalenzen


AL: p ↔ q

p: Hans kommt.



Aquivalenzen


AL: p ↔ q

p: Hans kommt.

q: Paul kommt.



Aquivalenzen


AL: p ↔ q

p: Hans kommt.

q: Paul kommt.

Hans kommt, es sei denn, dass Paul kommt.



Aquivalenzen


AL: p ↔ q

p: Hans kommt.

q: Paul kommt.


AL: p ↔ ¬q



Aquivalenzen


AL: p ↔ q

p: Hans kommt.

q: Paul kommt.


AL: p ↔ ¬q

p: Hans kommt.



Aquivalenzen


AL: p ↔ q

p: Hans kommt.

q: Paul kommt.


AL: p ↔ ¬q

p: Hans kommt.

q: Paul kommt.



komplexere Beispiele zur Beurteilung naturlichsprachiger

Satze (1)




Satze (1)

Wenn Fritz kommt, kommt auch Paul, wenn aber Fritz nichtkommt, dann kommt Paul nicht, sondern Hans.




Satze (1)


AL:




Satze (1)


AL:

p: Fritz kommt.




Satze (1)


AL:

p: Fritz kommt.

q: Paul kommt.




Satze (1)


AL:

p: Fritz kommt.

q: Paul kommt.

r: Hans kommt.




Satze (1)


AL:

p: Fritz kommt.

q: Paul kommt.

r: Hans kommt.

(p → q) ∧ (¬p → ¬q ∧ r)(‘[wenn] aber’ wird ubersetzt mit ‘UND [wenn]’)




Satze (1)


AL:

p: Fritz kommt.

q: Paul kommt.

r: Hans kommt.

(p → q) ∧ (¬p → ¬q ∧ r)(‘[wenn] aber’ wird ubersetzt mit ‘UND [wenn]’)

(Pruefung: Tautologie, eine Kontradiktion oder keins vonbeiden)



Wahrheitstafel

(Wenn Fritz kommt, kommt auch Paul, wenn aber Fritz nichtkommt, dann kommt Paul nicht, sondern Hans.)

p q r



Wahrheitstafel


p q r

w w ww w fw f ww f ff w wf w ff f wf f f



Wahrheitstafel


p q r (p → q) ∧ (¬p → ¬q ∧ r)

w w ww w fw f ww f ff w wf w ff f wf f f



Wahrheitstafel


p q r (p → q) ∧ (¬p → ¬q ∧ r)

w w w ww w fw f ww f ff w wf w ff f wf f f



Wahrheitstafel


p q r (p → q) ∧ (¬p → ¬q ∧ r)

w w w ww w f ww f ww f ff w wf w ff f wf f f



Wahrheitstafel


p q r (p → q) ∧ (¬p → ¬q ∧ r)

w w w ww w f ww f w fw f ff w wf w ff f wf f f



Wahrheitstafel


p q r (p → q) ∧ (¬p → ¬q ∧ r)

w w w ww w f ww f w fw f f ff w wf w ff f wf f f



Wahrheitstafel


p q r (p → q) ∧ (¬p → ¬q ∧ r)

w w w ww w f ww f w fw f f ff w w wf w ff f wf f f



Wahrheitstafel


p q r (p → q) ∧ (¬p → ¬q ∧ r)

w w w ww w f ww f w fw f f ff w w wf w f wf f wf f f



Wahrheitstafel


p q r (p → q) ∧ (¬p → ¬q ∧ r)

w w w ww w f ww f w fw f f ff w w wf w f wf f w wf f f



Wahrheitstafel


p q r (p → q) ∧ (¬p → ¬q ∧ r)

w w w ww w f ww f w fw f f ff w w wf w f wf f w wf f f w



Wahrheitstafel


p q r (p → q) ∧ (¬p → ¬q ∧ r)

w w w w fw w f w fw f w f fw f f f ff w w w wf w f w wf f w w wf f f w w



Wahrheitstafel


p q r (p → q) ∧ (¬p → ¬q ∧ r)

w w w w fw w f w fw f w f fw f f f ff w w w w ff w f w w ff f w w w wf f f w w w



Wahrheitstafel


p q r (p → q) ∧ (¬p → ¬q ∧ r)

w w w w fw w f w fw f w f fw f f f ff w w w w f wf w f w w f ff f w w w w wf f f w w w f



Wahrheitstafel


p q r (p → q) ∧ (¬p → ¬q ∧ r)

w w w w fw w f w fw f w f fw f f f ff w w w w f f wf w f w w f ff f w w w w wf f f w w w f



Wahrheitstafel


p q r (p → q) ∧ (¬p → ¬q ∧ r)

w w w w fw w f w fw f w f fw f f f ff w w w w f f wf w f w w f f ff f w w w w wf f f w w w f



Wahrheitstafel


p q r (p → q) ∧ (¬p → ¬q ∧ r)

w w w w fw w f w fw f w f fw f f f ff w w w w f f wf w f w w f f ff f w w w w w wf f f w w w f



Wahrheitstafel


p q r (p → q) ∧ (¬p → ¬q ∧ r)

w w w w fw w f w fw f w f fw f f f ff w w w w f f wf w f w w f f ff f w w w w w wf f f w w w f f



Wahrheitstafel


p q r (p → q) ∧ (¬p → ¬q ∧ r)

w w w w f ww w f w f ww f w f f ww f f f f wf w w w w f f wf w f w w f f ff f w w w w w wf f f w w w f f



Wahrheitstafel


p q r (p → q) ∧ (¬p → ¬q ∧ r)

w w w w f ww w f w f ww f w f f ww f f f f wf w w w w f f f wf w f w w f f ff f w w w w w wf f f w w w f f



Wahrheitstafel


p q r (p → q) ∧ (¬p → ¬q ∧ r)

w w w w f ww w f w f ww f w f f ww f f f f wf w w w w f f f wf w f w w f f f ff f w w w w w wf f f w w w f f



Wahrheitstafel


p q r (p → q) ∧ (¬p → ¬q ∧ r)

w w w w f ww w f w f ww f w f f ww f f f f wf w w w w f f f wf w f w w f f f ff f w w w w w w wf f f w w w f f



Wahrheitstafel


p q r (p → q) ∧ (¬p → ¬q ∧ r)

w w w w f ww w f w f ww f w f f ww f f f f wf w w w w f f f wf w f w w f f f ff f w w w w w w wf f f w w f w f f



Wahrheitstafel


p q r (p → q) ∧ (¬p → ¬q ∧ r)

w w w w w f ww w f w f ww f w f f ww f f f f wf w w w w f f f wf w f w w f f f ff f w w w w w w wf f f w w f w f f



Wahrheitstafel


p q r (p → q) ∧ (¬p → ¬q ∧ r)

w w w w w f ww w f w w f ww f w f f ww f f f f wf w w w w f f f wf w f w w f f f ff f w w w w w w wf f f w w f w f f



Wahrheitstafel


p q r (p → q) ∧ (¬p → ¬q ∧ r)

w w w w w f ww w f w w f ww f w f f f ww f f f f wf w w w w f f f wf w f w w f f f ff f w w w w w w wf f f w w f w f f



Wahrheitstafel


p q r (p → q) ∧ (¬p → ¬q ∧ r)

w w w w w f ww w f w w f ww f w f f f ww f f f f f wf w w w w f f f wf w f w w f f f ff f w w w w w w wf f f w w f w f f



Wahrheitstafel


p q r (p → q) ∧ (¬p → ¬q ∧ r)

w w w w w f ww w f w w f ww f w f f f ww f f f f f wf w w w f w f f f wf w f w w f f f ff f w w w w w w wf f f w w f w f f



Wahrheitstafel


p q r (p → q) ∧ (¬p → ¬q ∧ r)

w w w w w f ww w f w w f ww f w f f f ww f f f f f wf w w w f w f f f wf w f w f w f f f ff f w w w w w w wf f f w w f w f f



Wahrheitstafel


p q r (p → q) ∧ (¬p → ¬q ∧ r)

w w w w w f ww w f w w f ww f w f f f ww f f f f f wf w w w f w f f f wf w f w f w f f f ff f w w w w w w w wf f f w w f w f f



Wahrheitstafel


p q r (p → q) ∧ (¬p → ¬q ∧ r)

w w w w w f ww w f w w f ww f w f f f ww f f f f f wf w w w f w f f f wf w f w f w f f f ff f w w w w w w w wf f f w f w f w f f



Wahrheitstafel


p q r (p → q) ∧ (¬p → ¬q ∧ r)


⇒ weder Tautologie noch Kontradiktion, sondern in bestimmtenFallen wahr



Wahrheitstafel


p q r (p → q) ∧ (¬p → ¬q ∧ r)


⇒ weder Tautologie noch Kontradiktion, sondern in bestimmtenFallen wahr (1., 2., 7. Zeile).



Aussagenlogik =

= propositional calculus

= propositional logic

= statement logic

= sentential calculus

= sentential logic

= zeroth-order logic



Soundness, completeness, decidability

A logical system has the soundness property if and only ifevery formula that can be proved in the system is logicallyvalid with respect to the semantics of the system.“proof in the system”: next lecturePropositional calculus is sound.A formal system is called complete with respect to a particularproperty if every formula having the property can be derivedusing that system, i.e., is one of its theorems.property = logically validPropositional calculus is complete.In logic, the term decidable refers to the decision problem, thequestion of the existence of [...] an algorithm that can andwill return a boolean true or false value that is correct(instead of looping indefinitely, crashing, returning “don’tknow” or returning a wrong answer).Propositional calculus is decidable.



Summary



Summary

Aussagenlogik: Satzbuchstaben, Operatoren



Summary


Ubersetzung naturliche Sprache → logische Sprache schwierig



Summary



Ambiguitat



Summary



AmbiguitatSynonymy



Summary



AmbiguitatSynonymyVieles unubersetzbar



Summary



AmbiguitatSynonymyVieles unubersetzbar

http://cis.lmu.de/~hs/teach/18s/semantics

Suche nach “hinrich schuetze” → home page → teaching →

computational semantics


http://cis.lmu.de/~hs/teach/18s/semantics


Assignment



Assignment

https://www.youtube.com/watch?v=XLvv_5meRNM




Assignment


Watch and prepare one question/comment for Friday




Why is the translation from natural language to logic hard?

Describe a specific phenomenon and give an example.


semantik 2: aussagenlogik - cis.uni-muenchen.dehs/teach/18s/semantics/pdf/02.pdf · grundbegriﬀe,...

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