seminario "estructuras de hom-lie algebras"

Estructuras de Hom-Lie Álgebrassobre el Álgebra de Lie deHeisenberg y sobre sl(2,C)

Lina Gabriela Jimenez

Facultad de Ciencias Exactas y Tecnología

Universidad Nacional de Tucumán

31 de agosto de 2012

Álgebras de Lie

Álgebras de Lie

De�niciónSea K un campo y g un álgebra no necesariamente asociativacon la operación �corchete �

[ , ] : g× g −→ g(x, y) 7−→ [x, y]

Diremos que (g, [ , ]) es un álgebra de Lie si:

al1) [ , ] es antisimétrico, es decir, [x, y] = −[y, x] ∀ x, y ∈ g,

al2) [ , ] cumple con Identidad de Jacobi,[[x, y], z] + [[y, z], x] + [[z, x], y] = 0 ∀ x, y, z ∈ g.

Álgebras de LieEjemplos

1 Ejemplo: Sea g = V espacio vectorial con[x, y] = 0, ∀ x, y ∈ V

2 Ejemplo: Sea g = gl(n,K) con[A,B] = AB −BA, ∀ A,B ∈ gl(n,K)

3 Ejemplo: Sea V espacio vectorial de dimensión n

g = End(V) = {T : V −→ V : T es operador lineal sobre V}[T, U ] = T ◦ U − U ◦ T ∀ T, U ∈ End(V )

ObservaciónUn álgebra de Lie se dice abeliana si ∀ x, y ∈ g, [x, y] = 0

Álgebras de LieÁlgebra de Lie de Heisenberg

Algebra de Lie de Heisenberg

h =

X ∈ gl(3,C) : X =

0 a b0 0 c0 0 0

Álgebras de LieÁlgebra de Lie de Heisenberg

Base de h

β = {X, Y, Z} es una base de g tal que:

X =

0 1 00 0 00 0 0

, Y =

0 0 00 0 10 0 0

, Z =

0 0 10 0 00 0 0

β tiene la siguiente propiedad

[X, Y ] = Z [Z,X] = 0, [Z, Y ] = 0

Álgebras de Liesl(2,C)

sl(2,C)

sl(2,C) =

{(a bc −a

)/a, b, c ∈ C

}es subálgebra de gl(2,C)

Álgebras de Liesl(2,C)

Base de sl(2,C)

β = {h, e, f} es una base de sl(2,C) tal que:

h =

(1 00 −1

), e =

(0 10 0

), f =

(0 01 0

),

en esta base el corchete cumple con:

[h, e] = 2e; [h, f ] = −2f ; [e, f ] = h

Álgebras de LieÁlgebra Derivada

De�niciónSea (g, [ , ]) álgebra de Lie, y sean a, b ⊆ g

[a, b] = span{[x, y] : x ∈ a, y ∈ b}

se llama álgebra derivada a [g, g].

Ejemplo:[gl(n,K), gl(n,K)] = sl(n,K)

.

Álgebras Nilpotentes

De�niciónSea g un álgebra de Lie de dimensión �nita, de�nimosrecursivamente:

g0 = g, g1 = [g, g], g2 = [g1, g], ..., gj+1 = [gj, g]

la serie decreciente:

g = g0 ⊇ g1 ⊇ g2 ⊇ ... ⊇ gj ⊇ ...

se llama serie central descedente para g.Diremos que g es nilpotente si existe un j tal que gj = 0.

Álgebras NilpotentesÁlgebras k-pasos nilpotentes

Álgebras k-pasos nilpotentesSea g álgebra de Lie nilpotente.Si k = min{j : gj = 0} diremos entonces que g es k-pasosnilpotente.

Ejemplo:

h el álgebra de Heisenberg es 2- pasos nilpotente.

Homomor�smos

De�niciónSean (g, [ , ]g) y (h, [ , ]h) álgebras de Lie.Se dice que σ : g −→ h es un homomor�smo de álgebras deLie si preserva las operaciones usuales (+, ·) y el corchete, esdecir

∀ x, y ∈ g, σ([x, y]g) = [σ(x), σ(y)]h.

Denotamos

Hom(g, h) = {σ : g −→ h : σ es un homomor�smo}

Homomor�smo

Si σ es un homomor�smo de inyectivo, diremos que σ esun Monomor�smo.

Si σ es un homomor�smo sobre, diremos que es unEpimor�smo.

Si σ : g −→ g, diremos que σ es un Endomor�smo.

Si σ es homomor�smo inyectivo y sobre, diremos que esun Isomor�smo.

Si σ : g −→ g es isomor�smo entonces σ es unAutomor�smo.

Homomor�smoEjemplos

1 Ejemplo: id : g −→ g tal que id(x) = x ∀ x ∈ g .

2 Ejemplo: 0 : g −→ g tal que 0(x) = 0 ∀ x ∈ g.

3 Ejemplo: Sea P ∈ gl(n,K) inversible.

σ : gl(n,K) −→ gl(n,K)A 7−→ PAP−1

se llama conjugación, y es un automor�smo de gl(n,K).

Hom-Lie álgebras

Hom-Lie álgebras

De�niciónSea (g, 〈 , 〉) un álgebra no asociativa y σ : g −→ g unhomomor�smo de álgebras.Decimos que (g, σ) es una Hom-Lie álgebra si cumple:

hl1) 〈 , 〉 es antisimétrico

〈x, y〉 = −〈y, x〉 ∀ x, y ∈ g

hl2) 〈 , 〉 cumple la identidad de Jacobi σ-twisted,

〈σ(x), 〈y, z〉〉+ 〈σ(y), 〈z, x〉〉+ 〈σ(z), 〈x, y〉〉 = 0,

∀ x, y, z ∈ g

Hom-Lie álgebrasEjemplos

1 Ejemplo: (g, σ) con g un álgebra no asociativa con 〈 , 〉antisimétrico y σ = 0.

2 Ejemplo: (V , σ) donde V espacio vectorial, 〈X, Y 〉 = 0 yσ cualquier operador lineal. En este caso (V , σ) se dice:�Hom- Lie álgebra abeliana�

Hom-Lie álgebrasEjemplo: Álgebras de Lie

Ejemplo: Si (g, [ , ]) álgebra de Lie entonces (g, id) esuna Hom-Lie álgebra.

ObservaciónPor este ejemplo podemos considerar las Hom-Lie álgebrascomo una deformación de las álgebras de Lie por unhomomor�smo σ.Por lo tanto, las Hom-Lie álgebras contienen a las álgebras deLie como una subclase.

Hom-Lie álgebrasÁlgebras 2-pasos nilpotentes

ProposiciónSea g un álgebra de Lie 2-pasos nilpotente y σ cualquier

homomor�smo de g.Entonces (g, σ) es una Hom-Lie álgebra.

Hom-Lie álgebrasHomomor�smos

De�niciónSean (g, σ) y (h, τ) dos Hom-Lie álgebras. Diremos queϕ : (g, σ) −→ (h, τ) es un homomor�smo de Hom-Lie álgebrassi es un homomor�smo de álgebras tal que cumple conϕ ◦ σ = τ ◦ ϕ, es decir el siguiente diagrama conmuta

ϕ

g −→ h

σ ↓ ↓τg −→ h

ϕ

Hom-Lie álgebras isomorfas

De�niciónSean (g, σ) y (g,τ) dos estructuras de Hom-Lie Álgebra sobreel álgebra de Lie g. Decimos que (g,σ) y (g,τ) son Hom- Lieálgebras isomorfas sii ∃ ϕ : g −→ g automor�smo de álgebrastal que el siguiente diagrama conmute:

ϕ

g −→ g

σ ↓ ↓τg −→ g

ϕ

Es decir ϕ ◦ σ=τ ◦ ϕ por lo tanto σ = ϕ−1 ◦ τ ◦ ϕ. Diremosentonces que σ y τ son �homomor�smos conjugados� .

Objetivo

ObjetivoEncontrar todas las estructuras de Hom-Lie algebras sobre unálgebra de Lie (g, [ , ]) y clasi�carlas.

Problema

Sea (g, [ , ]) un álgebra de Lie, y sea

H = {σ : g −→ g homomor�smo y cumplen hl2} ⊂ EndLie(g).

AutLie(g) = {ϕ ∈ EndLie(g) : ϕ es inversible}.

Consideremos la acción conjugación de AutLie(g) sobre H:

ϕ · σ = ϕσϕ−1

con ϕ ∈ AutLie(g) y σ ∈ H.

Problema: Encontrar las hom-Lie algebras distintas sobre unaálgebra de Lie g se reduce a hallar las órbitas de la conjugaciónde AutLie(g) sobre H.

Hom-Lie álgebra sobre elálgebra de Heisenberg

Hom-Lie álgebrasÁlgebra de Lie de Heisenberg

homomor�smos de h

h álgebra de Lie de Heisenberg y σ : h −→ h homomor�smoentonces en la base β = {X, Y, Z}:

σ =

a db e

00

c f ae− db

con a, b, c, d, e, f ∈ C

o vistos en bloques,

σ =

(A 0W det(A)

)con A ∈ C2×2 y w ∈ C1×2

Hom- Lie ÁlgebrasÁlgebra de Lie de Heisenberg

ObservaciónComo h es un álgebra de Lie 2-pasos nilpotentes por laproposición anterior,con cualquier homomor�smo σ : h −→ hdetermina una Hom-Lie álgebra (h, σ).

Hom-Lie álgebra sobre el álgebra deHeisenberg

TeoremaSea h el álgebra de Lie de Heisenberg de dimensión 3.Todo σ : h −→ h homomor�smo de Hom-Lie álgebra es

conjugado a alguno de los homomor�smos del conjunto J,donde

J =6⋃i=1

ji

tal que:

j1 =

λ 0

0 µ0

0 0 λµ

: λ, µ ∈ C

j2 =

1 0

0 µ0

0 1 µ

: µ ∈ C, µ 6= 0

j3 =

λ 0

0 00

0 1 0

: λ ∈ C

j4 =

λ 0

1 λ0

0 0 λ2

: λ ∈ C

j5 =

0 0

1 00

0 1 0

j6 =

1 0

1 10

0 1 1

Demostración β = {X, Y, Z} la base canónica de h, loshomomor�smos en β

σ =

(A 0W det(A)

)con w ∈ C1×2 y A ∈ C2×2 :

A =

(a db e

)Consideramos las formas de Jordan de A:

1

jA =

(λ 00 µ

) 2

jA =

(λ 01 λ

)

Existe P inversible tal que PAP−1 = jA o bien PA = jAP .Tomando

φ =

(P 0

w1 w2 det(P)

)∀ w1, w2 ∈ C y det(P) 6= 0.Y entonces σ es semejante a

X =

(jA 0v det(A)

)pues se cumple que φσ = Xφtomando

v =1

det(P){(a, b)P + det(A)(w1, w2)− (w1, w2)jA}

Por lo tanto:

σ =

(A 0W det(A)

)Es conjugado a:

Caso 1) λ 00 µ

0

v1 v2 λµ

∀ λ, µ, v1, v2 ∈ C

Caso 2) λ 01 λ

0

v1 v2 λ2

∀ λ, v1, v2 ∈ C

Caso 1)Estudiemos ahora, los casos en que λ o µ toman los valores 0o 1 y v1 y v2 no simultáneamente nulos. Tenemos entonces:

Observaciónsi v1 y v2 son simultáneamente el valor 0, σ ya tiene la formade las matrices de j1.Corresponden a matrices diagonales, conla diagonal principal (λ, µ, λµ). En esta misma clase seencuentran σ = 0, σ = Id.

Si λ = 0, µ = 1

1 Si v1 = 0, σ es semejante a una matriz de j1 ya que existe

φ =

α 00 β

0

0 v2 αβ

∀ α, β ∈ C tal que αβ 6= 0

2 Si v1 6= 0, σ es semejante a una matriz de j3, ya queexiste

φ =

0 α−v1 0

0

v1v2µ

0 αv1

∀ α ∈ C tal que αv1 6= 0

Si λ = 0 y µ 6= 0, 1


φ =

α 00 β

0

0 βv2µ

αβ



φ =

0 α−v1 0

0

v1v2µ

0 αv1


Si λ = 1, µ = 0


φ =

α 00 β

0

αv1 0 αβ



φ =

v2 00 β

0

v1v2 0 βv2

∀ β ∈ C tal que βv2 6= 0

Si λ = 1, µ 6= 0, 1


φ =

α 00 β

0

αv11−µ 0 αβ



φ =

v2 00 β

0

αv11−µ 0 βv2


Si µ = 0, λ 6= 0, 1


φ =

α 00 β

0

αv1λ

0 αβ



φ =

v2 00 β

0

v1v2λ

0 βv2


Si µ = 1, λ 6= 0, 1


φ =

α 00 β

0

0 βv21−λ αβ



φ =

0 α−v1 0

0

−v1v21−λ 0 v1α


Si λ y µ no toman los valores 0 ni 1, y v1, v2 ∈ C nosimultáneamente nulos. En este caso:

φ =

α 00 β

0

αv1λ(µ−1)

βv2µ(λ−1)

αβ


Caso 2)Estudiemos ahora, los casos en que λ toma los valores 0 o 1 yv1, v2 no simultáneamente nulos. Tenemos entonces:

ObservaciónSi (v1, v2) = (0, 0), σ ya tiene la forma de las matrices de j4.

Si λ = 0


φ =

α 00 β

0

0 αv1 αβ



φ =

v2 00 v2

0

0 αv1 v22


Si λ = 1


φ =

α 00 β

0

0 αv1 αβ



φ =

v2 00 v2

0

0 αv1 v22


Concluyendo este caso, si λ toma valores distintos de 0 y de1,para cualquier v1, v2 ∈ C no simultáneamente nulos, σ essemejante a una matriz de j4 ya que existe

φ =

α 00 β

0

αv1λ−λ2 −

βv2(λ−λ2)2

v2βλ−λ2 αβ

∀ α, β ∈ C tal que αβ 6= 0 �

Hom-Lie álgebra sobresl(2,C)

Hom-Lie álgebrassl(2,C)

homomor�smos de sl(2,C)

σ : sl(2,C) −→ sl(2,C) homomor�smo en la baseβ = {H,E, F} :

1 σ = 0

2 σ =

−1 s 02sw −s2w w

01

w0

con w 6= 0

3 σ =

z ∓ 2t

√−zy

z

yt±√−zy

zt

−2t(z ∓ t√−zy)

z2z ∓ 2t

√−zy − yt2

z2−t2

z∓2√−zy y z

con z 6= 0

Hom-Lie álgebrasHom-Lie álgebra sl(2,C)

Los homomor�smos distintos del nulo que cumplen laidentidad de Jacobi σ-twisted son:

1 σ1 =

−1 0 00 0 w

01

w0

con w 6= 0

2 σ2 =

1 0 00 1 00 0 1

3 σ3 =

1 0 00 −1 00 0 −1


ObservaciónAdemás hemos probado que la familia uniparamétrica σ1 esuna única órbita, la del

σ1 =

−1 0 00 0 10 1 0

mediante una φ =

−1 0 0

0 01

w0 w 0

∈ Aut(g)


Hemos encontrado 4 clases distintas de automor�smos delsl(2,C) que cumplen la identidad de Jacobi σ-twisted:

1 σ = 0

2 σ = id

3 σ =

1 0 00 −1 00 0 −1

4 σ =

−1 0 00 0 10 1 0


Los automor�smos 3.) y 4.) son conjugados en C3 por

φ =

0 1 01 0 11 0 −1

/∈ Aut(g)

pero no existe φ ∈ Aut(g) que los conjugue.


TeoremaSea g = sl(2,C).Las únicas estructuras de Hom-Lie álgebras sobre g, salvoisomor�smos, son las correspondientes a los siguientes

homomor�smos

1 σ = 0

2 σ = id

3 σ =

1 0 00 −1 00 0 −1

4 σ =

−1 0 00 0 10 1 0

Conclusiones y comentarios

2006 J. Hartwig, D. Larsson, S. Silverstrov, de�nen elconcepto de �Hom-Lie Álgebras�en el paper �Deformationsof Lie algebras using σ-derivations�, publicado en Journalof algebra.

2008 Quanqin Jin, Xiaochao Li, trabajan con Hom-Lieálgebras sobre algebras de Lie simples en la publicación�Hom-Lie algebra structures on semi simple Liealgebra.�en Journal of algebra .

Conclusiones y comentarios

si σ ∈ AutLie(sl(2,C)) entonces σ ∼ ead(kH) con H ∈ Hsubálgebra de Cartan y k ∈ C.

ead(x) = Ad(ex)⇒ ead(kH) = Ad(ekH)

En la base β = {H,E, F},σ(H) = Ad(ekH)(H) = Hσ(E) = Ad(ekH)(E) = e2kEσ(F ) = Ad(ekH)(F ) = e−2kF

Luego la identidad de Jacobi σ- twisted:

[σ(H), [E,F ]] + [σ(E), [F,H] + [σ(F ), [H,E]] = 0,

se cumple sii:

0 + 2e2kH − 2e−2kH = 0

es decir :e2k − e−2k = 0

por lo tanto:

k = 0, k =π

2i, k = πi, k =

3π

2i

k = 0,⇒ σ = id

k = π2i⇒ σ =

1 0 00 −1 00 0 −1

k = πi⇒ σ = id

k = 3π2i⇒ σ =

1 0 00 −1 00 0 −1

½½½Gracias por su

atención!!!

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