seminário – lcs/lps
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Seminário – LCS/LPS. Aplicações da Teoria do Caos em Comunicações e Processamento Digital de Sinais. Marcio Eisencraft. Sumário da apresentação. Introdução - Sinais caóticos Modulação usando portadoras caóticas Estimação de sinais caóticos Espectro de sinais caóticos - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
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Seminário – LCS/LPS
Marcio Eisencraft
Aplicações da Teoria do Caos em Comunicações e Processamento Digital de Sinais
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2
Sumário da apresentação
1. Introdução - Sinais caóticos
2. Modulação usando portadoras caóticas
3. Estimação de sinais caóticos
4. Espectro de sinais caóticos
5. Pesquisa e trabalhos atuais
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Sinais caóticos: Limitados
Determinísticos
Aperiódicos
Dependência sensível com as condições iniciais
Características levam a aplicações de sinais caóticos
em diversas áreas tecnológicas
Telecomunicações desde 1990. Áreas: modulação,
codificação, criptografia entre outras3
1. Sinais Caóticos
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4
1.1 Caos - Histórico• Séculos XVIII e XIX - Início do estudo das equações diferenciais. • 1890 - Poincaré - Soluções muito complicadas• Década de 1960 - Assunto retomado:
– Smale, Palis, Peixoto - dinâmica simbólica - análise de órbitas caóticas.– Lorenz - equações diferenciais simples com dependência sensível às condições iniciais
• Década de 1970 - Inúmero de trabalhos em dinâmica não-linear e aplicações nas mais diversas áreas
• Década de 1980 - Computação de alta velocidade - possibilita “visualizar” resultados matemáticos abstratos - chama atenção de pesquisadores de inúmeras áreas
• 1984 - Circuito eletrônico que gera sinais caóticos (Chua);• 1990 - Possibilidade de sincronismo de sistemas caóticos – Pecora e Carroll• Muitos trabalhos subseqüentes. Destacam-se:
– Cuomo e Oppenheim (MIT); Chua (Berkeley); Hassler (Swiss Federal Institute of Technology); Grebogi (IFUSP), .Rovatti, Setti (Ferrara), entre muitos outros
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5
1.2 Equações de diferenças
1s n as n
n s1(n) s2(n)
0 1 5
1 2 10
2 4 20
3 8 40
4 16 80
5 32 160
• Modelo populacional exponencial
• Exemplo: a = 2
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6
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5x 10
4
n
s[n
]
Modelo exponencial
s(0) = 1
s(0) = 5
• Comportamento simples: a>1, exponencial crescente; 0<a<1, exponencial decrescente
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7
1.2 Equações de diferenças
1 1s n as n s n
• Modelo logístico: população futura é proporcional à população atual mas limitada pelos recursos naturais
• a = 2,8 n s1(n) s2(n)
0 0.4000 0.8000
1 0.6720 0.4480
2 0.6172 0.6924
3 0.6616 0.5963
4 0.6269 0.6740
5 0.6549 0.6628
6 0.6328 0.6258
7 0.6506 0.6557
0.6429 0.6429
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8
• Órbitas convergem para ponto fixo – população se estabiliza independentemente da condição inicial
0 5 10 15 200
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
n
s[n
]
Mapa logístico - a = 2.8
s
1(0) = .4
s2(0) = .8
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9
1.2 Equações de diferenças
1 1s n as n s n
• a = 3,3 n s1(n) s2(n)
0 0.1500 0.8000
1 0.4207 0.5280
2 0.8043 0.8224
3 0.5195 0.4820
4 0.8237 0.8239
5 0.4791 0.4787
6 0.8236 0.8235
7 0.4795 0.4796
0.82360.4794
0.82360.4794
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10
•Convergem para órbita periódica de período 2 – população varia entre dois valores
0 5 10 15 200
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
n
s[n
]
Mapa logístico - a = 3.3
s1(0) = .15
s2(0) = .8
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11
1.2 Equações de diferenças
1 1s n as n s n
• a = 3,5 n s1(n) s2(n)
0 0.1500 0.8000
1 0.4462 0.5600
2 0.8649 0.8624
3 0.4090 0.4153
4 0.8460 0.8499
5 0.4560 0.4465
6 0.8682 0.8650
7 0.4005 0.4088
0.87500.38280.82690.5009
0.87500.38280.82690.5009
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12
• Órbitas convergem para órbita periódica de período 4 – população varia entre quatro valores
0 5 10 15 200
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
n
s[n
]
Mapa logístico - a = 3.5
s1(0) = 0.15
s2(0) = 0.8
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13
1.2 Equações de diferenças
1 1s n as n s n • a = 4
n s1(n) s2(n)
0 0.3000 0.3001
1 0.8400 0.8402
2 0.5376 0.5372
3 0.9943 0.9945
4 0.0225 0.0220
5 0.0879 0.0860
6 0.3208 0.3143
7 0.8716 0.8621
8 0.4476 0.4755
9 0.9890 0.9976
? ?
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14
• Órbitas limitadas, determinísticas, aperiódicas; sensibilidade às condições iniciais
• CAOS
0 10 20 30 40 500
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
n
s[n
]
Mapa logístico - a = 4
s
1(0) = 0.3
s2(0) = 0.3001
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15
Caos em Sistemas Discretos
• Mapa Logístico( )( 1) ( ) 1 ( )s n as n s n+ = -
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16
1.3 Equações diferenciais
bzxyz
yrxxzy
yxx
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17
• Propriedades interessantes dos sinais caóticos
para Telecomunicações:
– Ocupam largas faixas de freqüências;
– Função de autocovariância impulsiva;
– Função de covariância cruzada com outras órbitas
com valores muito baixos.
• Propriedades desejadas para modulações
spread spectrum.
1.4 Propriedades interessantes
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18
Sumário da apresentação
1. Introdução - Sinais caóticos
2. Modulação usando portadoras caóticas
3. Estimação de sinais caóticos
4. Espectro de sinais caóticos
5. Pesquisa e trabalhos atuais
![Page 19: Seminário – LCS/LPS](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062301/56814f0a550346895dbc9f8e/html5/thumbnails/19.jpg)
19
2.1 Sistema de Wu e Chua
• Sincronismo de sistemas caóticos
• Mensagem inserida na geração do sinal
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20
Exemplos - Sistema de Wu e Chua
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21
2.2 Influência da Limitação em Banda
m(t) = sen(2500t) - fa = 8kHz - passo de integração = 0,06 - a = -30dB
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22
2.2 Influência da Limitação em Banda
fci = 0,02fcs = 0,7 fci = 0,02fcs = 0,7 fci = 0,02
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• Inserir filtros passa-banda nas malhas do transmissor e do receptor de forma a limitar o espectro do sinal caótico a ser transmitido.EISENCRAFT, M. ; GERKEN, M. Comunicação Utilizando Sinais Caóticos: Influência de Ruído e de Limitação em Banda. In: XVIII Simpósio Brasileiro de Telecomunicações, 2000, Gramado. Anais do Simpósio Brasileiro de Telecomunicações. Gramado : Sociedade Brasileira de Telecomunicações, 2000.
23
2.3 Resolvendo o problema da limitação em banda
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24
fcs = 0,7, fss = 0,9fcs = 0,63
2.4 Resultados Obtidosfci =0,02, fli =0,05fcs = 0,7, fss = 0,9fcs = 0,63
![Page 25: Seminário – LCS/LPS](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062301/56814f0a550346895dbc9f8e/html5/thumbnails/25.jpg)
25
2.5 Diminuindo os efeitos do ruído
• Sincronismo é extremamente sensível ao ruído no canal
• Direção a seguir: comunicações digitais não-coerentes
• Em sistemas não-coerentes não há necessidade de recuperar o sinal caótico no receptor
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26
2.6 Modulações digitais• Símbolo transmitido como os coeficientes de
uma combinação linear de sinais caóticos
1
0
N
n
1mz nxm Circuito de decisão
1ˆmx ×
1
0
N
n
ns1̂
1mz nxm Circuito de
decisão
1ˆmx
• Transmissor – Nb=1 • Receptor coerente
• Receptor não-coerente0 50 100 150 200 250 300 350 400
-0.5
0
0.5
CO
OK
0 50 100 150 200 250 300 350 400-0.5
0
0.5
CS
K u
nip
ola
r Seqüência: {1,1,0,1,0,0,1,0}
0 50 100 150 200 250 300 350 400-0.5
0
0.5
n
CS
K b
ipola
r
![Page 27: Seminário – LCS/LPS](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062301/56814f0a550346895dbc9f8e/html5/thumbnails/27.jpg)
27
2.7 DCSK – Differential Chaos Shift Keying
• Modulador DCSK
• Demodulador diferencial
• CSK com Nb=2 em que as seqüências de base consistem em segmentos de sinais caóticos repetidos
1
2
N
Nn
1mz nxm Circuito de
decisão
mx̂
2
N
z
1Nn
Re
Parte real
( )* Conjugação
![Page 28: Seminário – LCS/LPS](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062301/56814f0a550346895dbc9f8e/html5/thumbnails/28.jpg)
28
2.8 FM-DCSK – Frequency Modulated DCSK
Modulador em
freqüência
s t
| 1 |
Magnitude-ângulo para complexo
02
Nn
NnN
2
1
N 2
N
z
s n
n2
mx n is n
11
m
bE
• Modificação do DCSK – energia por símbolo constante
• Antes da modulação insere-se o sinal caótico num modulador FM
• Energia do sinal FM independe do sinal modulante
![Page 29: Seminário – LCS/LPS](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062301/56814f0a550346895dbc9f8e/html5/thumbnails/29.jpg)
29
-10 -5 0 5 10 15 20 25 3010
-5
10-4
10-3
10-2
10-1
100
Eb/N
0 (dB)
BE
R
Curvas de desempenho em canal AWGN
CSKCOOKDCSKFM-DCSKASKDPSK
2.9 SimulaçõesEISENCRAFT, M. ; BACCALÁ, L. A. Modulações digitais usando portadoras caóticas: uma análise comparativa. In: XXV Simpósio Brasileiro de Telecomunicações (SBrT'07), 2007, Recife. Anais do XXV Simpósio Brasileiro de Telecomunicações. Rio de Janeiro : Sociedade Brasileira de Telecomunicações, 2007. v. 1. p. 1-6.
![Page 30: Seminário – LCS/LPS](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062301/56814f0a550346895dbc9f8e/html5/thumbnails/30.jpg)
30
2.10 Comparações entre os sistemasSistema Limiar Energia Sincronização Não uso
da dinâmica
CSK coerente X X
CSK não-coerente X X XDCSK X XFM-DCSK X
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31
Sumário da apresentação
1. Introdução - Sinais caóticos
2. Modulação usando portadoras caóticas
3. Estimação de sinais caóticos
4. Espectro de sinais caóticos
5. Pesquisa e trabalhos atuais
![Page 32: Seminário – LCS/LPS](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062301/56814f0a550346895dbc9f8e/html5/thumbnails/32.jpg)
32
• Sistema dinâmico
• Seqüência observada
sendo r (n) AWGN com média nula• Determinar o menor mse que um estimador sem viés
de s0 pode assumir dado s’ (n) e f (.) (CRLB).
3.1 CRLB - Formulação do problema
0' , , 0 1s n s n s r n n N
1s n f s n
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33
Sejam
Teorema 1 0' , , 0 1s n s n s r n n N
• uma órbita do sistema dinâmico
1s n f s n
• r(n) um processo ruído branco gaussiano de média nula e variância σr
2
• o mapa f(.) derivável em todos os pontos dessa órbita
Então,
0
2
0 211
1 0 ,
ˆmse
1
r
nN
n j s j s
sdfds
0,s n s
![Page 34: Seminário – LCS/LPS](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062301/56814f0a550346895dbc9f8e/html5/thumbnails/34.jpg)
34
Teorema 2• Nas mesmas condições do Teorema 1, o
limite do CRLB quando N → ∞ é
• L≡L(s0) ≠ 1 é o número de Lyapunov do atrator para o qual a órbita s(n,s0) converge
• Resultado válido para órbitas caóticas ou não.
2
20 2
1ˆmse s
1r N
L
L
EISENCRAFT, M. ; BACCALÁ, L. A. . The Cramer-Rao bound for initial conditions estimation of chaotic orbits.
Chaos, Solitons and Fractals, v. 38, p. 132-139, 2008.
![Page 35: Seminário – LCS/LPS](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062301/56814f0a550346895dbc9f8e/html5/thumbnails/35.jpg)
35
3.2 O MLE
• MLE: Valor de θ que maximiza p(x; θ)
• Simples para mapas com densidade invariante uniforme (Papadopoulos; Wornell, 1993)
• Assintoticamente sem viés e eficiente.
• Usando o Teorema 2, mostra-se que para o mapa fT(.)
4 1
3
N
G
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36
0 20 40 60 800
20
40
60
80
100
120
Mapa fI(.) - = 0
SNRin
(dB)
Gd
B (
dB
)
N = 3N = 5N = 10N = 20
MLE – Estimação da condição inicial – fI(.)
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37
3.3 Estimação pelo algoritmo de Viterbi
• Idéia básica: interpretar seqüências caóticas como um
processo de Markov que em cada instante assume
um de NS estados possíveis
• Domínio U segmentado em NS intervalos: U1, ..., UNs
• Estado q(n) = j se
• Dedieu e Kisel (1999) partição uniforme
– Mapas com densidade uniforme
• Proposta para mapas mais genéricos: utilizar partição
não-uniforme
js n U
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38
Exemplos de matrizes de transição de estados
-1 -0.6 -0.2 0.2 0.6 1-1
-0.5
0
0.5
1
s
Mapa tenda fT(.)
U1 U
2 U3 U
4 U5
-0.809 -0.309 0.309 0.809-1
-0.5
0
0.5
1
s
Mapa quadratico fQ
(.)
U1
U2 U
3U
4 U5
1A
1 2 1 2
1 2 1 2
1 2 1
0 0 0
0 0 0
0 0 0 0
0 2
1 2
0 0
1 0 0 02
1ij j ia P s n U s n U
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39
Simulações - mapa quadrático fQ(.)
EISENCRAFT, M. ; BACCALÁ, L. A. . Estimating chaotic orbits generated by maps with nonuniform invariant density. In: 9th Experimental Chaos Conference, 2006, São José dos Campos. The 9th Experimental Chaos Conference - Sessions and Abstracts, 2006. p. 67-68.
![Page 40: Seminário – LCS/LPS](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062301/56814f0a550346895dbc9f8e/html5/thumbnails/40.jpg)
40
3.4. MLE x Viterbi
-10 0 10 20 30 40-5
0
5
10
15
SNRin
(dB)
Gd
B (
dB
)
MLE - N = 2
MLE - N = 5
MLE - N = 10
MLE - N = 20Viterbi - N = 20, N
S = 100
MLE - N = 50
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41
3.5 O ML-CSK modificado com dois mapas
• (Kisel; Dedieu; Schimming, 2001)
• Transmissor igual ao do CSK com 2 mapas
• Receptor 1 1 2 2m m mx n x s n x s n
Decodificador
de Viterbi
Decodificador
de Viterbi
Circuito de
decisão
Cálculo de
verossimilhança1A
2ACálculo de
verossimilhança
mx n
ˆ 1q
2q̂
1Nn
1Nn
1mz
2mz
1ˆmx
![Page 42: Seminário – LCS/LPS](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062301/56814f0a550346895dbc9f8e/html5/thumbnails/42.jpg)
42
Como escolher mapas? (1/2)• Caso mapa tenda: proposta adaptada de
(Kisel; Dedieu; Schimming, 2001)
2A
1 3 1 3 1 3
1 3 1 3 1 3
0 1 2 1 2 0
1 3 1 3 1 3
1 3 1 3 1
0 0
0 0
0
0 0
0 0 3
1 1A
1 2 1 2
1 2 1 2
1 2 1
0 0 0
0 0 0
0 0 0 0
0 2
1 2
0 0
1 0 0 02
![Page 43: Seminário – LCS/LPS](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062301/56814f0a550346895dbc9f8e/html5/thumbnails/43.jpg)
43
1 1A
1 2 1 2
1 2 1 2
1 2 1
0 0 0
0 0 0
0 0 0 0
0 2
1 2
0 0
1 0 0 02
2A
0 1 2 1/2
0 0 0
1 0 0 0
0 0 0
0 0
1 0
0
1 0
0 20 0 1/2 1/
Ponto fixo Ponto fixo superatrator!superatrator!
• Procedimento não necessariamente ótimo e deve ser aplicado com cautela
Como escolher o mapa? (2/2)
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44
3.6 ML-CSK com um mapa
• Transmissor igual ao do CSK bipolar com uma função de base:
• Receptor:
1 1 11 21, ,m m b bx n x s n x E x E
Decodificador
de Viterbi
-1
Decodificador
de Viterbi
Circuito de
decisão
Cálculo de
verossimilhança1A
1ACálculo de
verossimilhança
mx n
ˆ 1q
2q̂
1Nn
1Nn
1mz
2mz
1ˆmx
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45
3.7 Simulações computacionais
0 5 10 15 20 25 30
10-3
10-2
10-1
100
Eb/N
0 (dB)
SE
R
ML-CSK - N = 10
2 mapas - fT(.)
2 mapas - fQ
(.)
1 mapa - fT(.)
1 mapa - fQ
(.)
COOK
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46
3.8 Trabalhos futuros (1/2)A. Análise dos sistemas propostos para o caso M-
ário
B. Análise da complexidade computacional
C. Generalização dos Teoremas 1 e 2 para o caso multidimensional
D. Uso de modelos de canais mais complicados
E. Análise estatística da energia de trechos de sinais caóticos
F. Otimização da escolha dos mapas e transformações utilizados no ML-CSK
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47
G. Proposta de sistema de modulação com recepção diferencial e estimação com desempenho melhor do que o FM-DCSK.
H. Multiplexação – sistemas multiusuários
3.8 Trabalhos futuros (2/2)
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48
Sumário da apresentação
1. Introdução - Sinais caóticos
2. Modulação usando portadoras caóticas
3. Estimação de sinais caóticos
4. Espectro de sinais caóticos
5. Pesquisa e trabalhos atuais
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49
4.1 Aplicações - Caracterização Convencional
• Larga faixa de freqüências
• Seqüência de autocorrelação impulsiva
• Seqüência de correlação cruzada com valores baixos
• Apesar de essenciais, poucos resultados analíticos
Objetivos:
• Verificar se caos implica banda larga
• Determinar a banda essencial de sinais caóticos
• Gerar sinais caóticos com banda pré-definida
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50
4.2 FAMÍLIA DE MAPAS TENDA INCLINADA
• Parâmetro determina o valor da abscissa em que se localiza o pico da tenda
2 1, 1
1 1( )2 1
, 11 1
I
s sf s
s s
( 1) ( ( ))Is n f s n
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51
4.2 Mapas tenda inclinada fI (.)
2 1, 1 ( )
1 1( 1) ( )2 1
, ( ) 11 1
I
s n s ns n f s n
s n s n
-1
-0.5
0
0.5
1
s
f I(s)
0 20 40 60 80 100-1
-0.5
0
0.5
1
n
s(n
,0)
-1 1 = 0,8
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• Mapa define processo estocástico com órbitas como funções-amostras
– Seqüência de Autocorrelação (SAC)
– Densidade Espectral de Potência (DEP)
– Função Densidade de Probabilidade (FDP) ou Densidade Invariante
• Exemplo: Ruído Branco Gaussiano
52
4.3 Caos como processo estocástico
DEP FDP
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53
*
1( )
2p s 23( )
2p s s
4.4 Densidade Invariante
![Page 54: Seminário – LCS/LPS](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062301/56814f0a550346895dbc9f8e/html5/thumbnails/54.jpg)
54
4.5 Seqüência de Autocorrelação
(( )) ()s nR E s n kk
• Para facilitar a notação, define-se
( )s n x e ( ) ( )kIs n k f x y
1 1 1
1 1 1
1( , )(
2( )) k
IR k E xy xy dxdy dx xy xfp x
• Assim
• A SAC R ( k ) para um fixo é definida por
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55
4.6 Seqüência de Autocorrelação
Caracterização Espectral de Sinais Caóticos: Resultados Analíticos
![Page 56: Seminário – LCS/LPS](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062301/56814f0a550346895dbc9f8e/html5/thumbnails/56.jpg)
56
4.7 Seqüência de Autocorrelação
Caracterização Espectral de Sinais Caóticos: Resultados Analíticos
• Substituindo as equações de reta em R (k)
12
2 2
1
1( ) ( ) ( 1) ( ) ( )
12
k
k k k km
R k a m b m a m b m
• Iterando-se uma vez,
12
2 2
1
( 1) ( ) ( 1) ( ) ( )12
k
k k k km
R k a m b m a m b m
( 1) ( )R k R k
2 1 1(0) ( )
3 3kR E x R k
![Page 57: Seminário – LCS/LPS](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062301/56814f0a550346895dbc9f8e/html5/thumbnails/57.jpg)
57
• Para positivos, a SAC decai monotonicamente
• Para negativos, a SAC decai de forma oscilatória
2 1( ) 1 ( )
kR k R k • para 1 = - 2
4.7 Seqüência de Autocorrelação
![Page 58: Seminário – LCS/LPS](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062301/56814f0a550346895dbc9f8e/html5/thumbnails/58.jpg)
58
4.7 Seqüência de Autocorrelação
![Page 59: Seminário – LCS/LPS](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062301/56814f0a550346895dbc9f8e/html5/thumbnails/59.jpg)
59
4.8 Densidade Espectral de Potência
•A DEP é dada pela TFTD de R(k)
2
2
1( )
3 1 2 cos( )S
KATO, D. M. ; EISENCRAFT, M. On the power spectral density of chaotic signals generated by skew tent maps. In: 8-th International Symposium on Signals, Circuits and Systems (ISSCS 2007), 2007, Iasi. ISSCS 2007 International Symposium on Signals, Circuits and Systems - PROCEEDINGS, 2007. v. 1. p. 105-108.
KATO, D. M. ; EISENCRAFT, M. Caracterização espectral de sinais caóticos. In: XXV Simpósio Brasileiro de Telecomunicações (SBrT'07), 2007, Recife. Anais do XXV Simpósio Brasileiro de Telecomunicações (SBrT'07). Rio de Janeiro : Sociedade Brasileira de Telecomunicações, 2007. v. 1. p. 1-5.
![Page 60: Seminário – LCS/LPS](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062301/56814f0a550346895dbc9f8e/html5/thumbnails/60.jpg)
60
4.8 Densidade Espectral de Potência
• Quanto maior | |, mais concentrado é o espectro dos sinais resultantes
• Sinal de define se órbitas geradas têm suas potências concentradas nas altas ou baixas freqüências
• Simetria com relação a α = 0.5
![Page 61: Seminário – LCS/LPS](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062301/56814f0a550346895dbc9f8e/html5/thumbnails/61.jpg)
61
4.8 Densidade Espectral de Potência
![Page 62: Seminário – LCS/LPS](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062301/56814f0a550346895dbc9f8e/html5/thumbnails/62.jpg)
62
4.9 BANDA ESSENCIAL
• Um método para quantificar os resultados obtidos é por meio da banda essencial
• A Banda Essencial B é definida como o comprimento do intervalo de freqüência em que p = 95% da potência do sinal está concentrada (LATHI, 1998)
0 0
( ) ( )B
S d p S d
12arctan tan
2 1
pB
![Page 63: Seminário – LCS/LPS](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062301/56814f0a550346895dbc9f8e/html5/thumbnails/63.jpg)
63
4.9 BANDA ESSENCIAL
• | | 0: processo ruído branco uniforme
• | | 1: banda essencial extremamente estreita
![Page 64: Seminário – LCS/LPS](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062301/56814f0a550346895dbc9f8e/html5/thumbnails/64.jpg)
64
410 Espectro - Conclusões parciaisCaracterização Espectral de Sinais Caóticos: Resultados Analíticos
• Principal motivação: poucos estudos sobre as características espectrais de sinais caóticos
• Resultados analíticos comprovam resultados numéricos
- Verificar se caos implica banda larga• Caos não é sinônimo de banda larga • Sinais caóticos com potência concentrada nas baixas ou altas freqüências
- Determinar a banda essencial de sinais caóticos• Fórmula analítica para família tenda inclinada• Banda essencial relacionada ao expoente de Lyapunov
![Page 65: Seminário – LCS/LPS](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062301/56814f0a550346895dbc9f8e/html5/thumbnails/65.jpg)
65
- Gerar sinais caóticos com banda pré-definidaÉ possível escolher uma banda essencial e encontrar um mapa que gere sinais que ocupem essa largura de banda desejada
• Existe unicidade?
Mapa unidimensional DEP e Densidade invariante
4.10 Espectro - Conclusões parciais
![Page 66: Seminário – LCS/LPS](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062301/56814f0a550346895dbc9f8e/html5/thumbnails/66.jpg)
66
Comportamento espectral de outros mapas
Propriedades espectrais são mantidas por conjugação?
Mapas multidimensionais
Estudo de características espectrais de esquemas de
modulação caóticos: CSK, DCSK
Novas aplicações empregando essa características
4.11 Algumas Propostas de Trabalhos Futuros
![Page 67: Seminário – LCS/LPS](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062301/56814f0a550346895dbc9f8e/html5/thumbnails/67.jpg)
67
Sumário da apresentação
1. Introdução - Sinais caóticos
2. Modulação usando portadoras caóticas
3. Estimação de sinais caóticos
4. Espectro de sinais caóticos
5. Pesquisa e trabalhos atuais
![Page 68: Seminário – LCS/LPS](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062301/56814f0a550346895dbc9f8e/html5/thumbnails/68.jpg)
68
A. Trabalhos futuros apresentados na seção sobre
estimação
B. Trabalhos futuros apresentados na seção sobre
espectro
C. Aplicação de conceitos de caos na análise de
séries temporais (quasar (CRAAM); voz)
D. Aplicações em seqüências para espalhamento
espectral
6.1 Trabalhos em andamento