seminarska matematika

Международный Славянский Институт – г. Москва

Факултет за Еконимика и организација на претриемаштво (Менаџмент на организација)

Семинарска работа по предметот

МАТЕМАТИКА

на тема:

РЕНТИ И ЗАЕМИ

професор студент, Prof.dr. Х. Димитровски Дарко

Талевски 6222/159

Битола, 2012/13

СОДРЖИНА

I.РЕНТИ 3

1.ПОИМ И ВИДОВИ 3

2.ПРЕСМЕТУВАЊЕ НА МИЗАТА И РЕНТАТА КАЈ

ДЕКУРЗИВНАТА РЕНТА 4

3. ПРЕСМЕТУВАЊЕ НА МИЗАТА И РЕНТАТА

КАЈ АНТИЦИПАТИВНАТА РЕНТА 9

4. ПРЕСМЕТУВАЊЕ БРОЈОТ НА РЕНТИТЕ И

РЕНТНИОТ ОСТАТОК 12

5. ПРЕСМЕТУВАЊЕ НА КАМАТНА СТАПКА 15

6. ПРАКТИЧНИ ЗАДАЧИ 17

II. ЗАЕМИ 30

1. ПОИМ И ВИДОВИ НА ЗАЕМИ 30

2. ЗАЕМИ СО ЕДНАКВИ АНУИТЕТИ 31

2.1. Пресметување на заемот 31

2.2. Пресметување на отплатите кога се познати заемот,

каматната стапка и бројот на отплатите 34

2.3. Пресметување на отплатите кога се познати

ануитетот, каматната стапка и бројот на отплатите 37

2.4. Пресметување на отплатениот дел од заемот 39

2.5. Пресметување на остатокот од заемот 41

2.6. Изработка на амортизационен план 44

2.7. Пресметување на периодот на амортизација 46

3. ЗАЕМИ СО ЗАОКРУЖЕНИ АНУИТЕТИ 48

3.1. Одредување на ануитетот 48

3.2. Изработка на амортизационен план 50

3.3. Пресметување на ануитетниот остаток 52

4. КОНВЕРЗИЈА НА ЗАЕМОТ 54

5. АМОРТИЗАЦИЈА НА ЗАЕМИ РАЗДЕЛЕНИ НА ОБВРЗНИЦИ 56

6. ПРАКТИЧНИ ЗАДАЧИ 64

III. КОМБИНИРАНИ ЗАДАЧИ ОД СЛОЖЕНА КАМАТНА

СМЕТКА, ВЛОГОВИ И РЕНТИ 74

2

I. РЕНТИ

1.ПОИМ И ВИДОВИ

Под ренти се подразбира сума што се прима во постојани временски

интервали - периоди. Таа може да биде константна и промелива. Рентата е

константна кога нејзиниот износ е постојано ист, а променилва - кога во секој

нареден период таа расте или опаѓа, т.е. се менува.

Во зависност од времето за кое се прима, рентата може да биде:

временска ( темпорерна) , вечна и доживотна. Кога рентата се прима одредено

време - таа е временска , ако се прима бесконечно - таа е вечна и ако се прима

додека е жив корисникот - таа е доживотна.

Периодот во кој се прима рентата може да биде година или делови од

годината, како на пример, полугодие , тромесечие, месец и сл. Притоа,

примањата на рентата временски треба да се совпашаат со пресметувањето на

каматата, ( годишна рента - годишно вкаматување, полугодишна рента -

полугодишно вкаматување итн.).

Примањето на рентата може да биде на крајот од периодот, или во

почетокот на периодот. Во првиот случај рентата се нарекува декурзивна, а во

вториот - антиципативна рента.

Ако се сака одреден број периоди да се прима рента, тогаш пред приемот

на првата рента треба да се вложи една почетна сума која се нарекува уште и

миза ( франц. Mise - што значи влог).

Во овој дел ќе се запознаеме само со константните временски ренти што

се примаат декурзивно или антиципативно. Притоа, мизата ќе ја означуваме со

M, рентата со R, бројот на примањата на рентата ( бројот на рентите) со n, и

каматната стапка со p. Задачата се состои во одредување на сегашбната

вредност на сите меѓусебно еднакви ренти R распоредени во n перриоди, со

каматна стапка p и декурзивно пресметување на каматата.

Пресметувањето на мизата се врши кога се познати: износот на рентата,

бројот на примањата и каматната стапка. Неа ќе ја одредиме како збир на

сегашните вредности на сите ренти што треба да се примат.

3

Одредувањето на сегашната вредност на некоја сума, како што веќе

рековме, се нарекува и дисконтирање, а сегашната вредност - дисконтана

вредност. Да се потсетиме: во формулата за крајната вредност на сумата при

сложената каматна сметка

Kn=K0 rn ,

величината K0 е сегашната ( дисконтна) вредност што ја пресметуваме по

формулата:

K0=Kn

rn или K0=Kn II pn

кога е позната крајната вредност на сумата Kn , каматната стапка p и бројот

на периодите n .

Пример, Која суме е уплатена пред 12 години во банката која што плаќа

8% ( p a )d со годишно вкаматување, ако денес се располага со500,00 денари?

Решение: Тука Kn = 500.00 , p=8% и n = 12; се бара K0 .

тогаш :

K0=500 II812=500⋅0 ,39711376

K0= 198 ,56 денари

2.ПРЕСМЕТУВАЊЕ НА МИЗАТА И РЕНТАТА КАЈ ДЕКУРЗИВНАТА

РЕНТА

Нека во текот на n периоди , на крајот од секој период се прима рента R,

со декурзивна каматна стапка p и вкаматување што соодветствува на периодот

на принмањата на рентата. За да ја одредиме мизата треба за секоја рента да се

пресмета дисконтираната вредност и да се најде нивниот збир. За таа цел, ќе се

послужиме и со шемата на цртежот 1

4

Цртеж 1

Дисконтната вредност на првата рента е еднаква на производото од R и

1r , на втората - на производот од R и

1

r2 итн. , на n - тата - на производот на

R и

1

rn , Збирот на сите дисконтни вредности е:

M=R⋅1r+R⋅1

r2+.. .+R⋅ 1

rn−1+R⋅1

rn,

од каде

M=R⋅[ 1r+

1

r2+.. . .+R⋅

1

rn−1+R⋅

1

rn ].(*)

Изразот во заградата во релацијата (*) е збир од првите n членови на

геометриската прогресија со прв член

1r и количник

1r па:

M=R⋅[ 1r

1−( 1r )

n

1−1r

]од каде:

5

M=R⋅ rn−1r n(r−1) (1)

Вредностите на изразот

rn−1rn( r−1) , за дадени n и p се содржани во

четвртата финансиска таблица, односно

rn−1rn( r−1)

=IV pn

,

па, заменувајќи во (1) се добива:

M=R⋅IV pn

(1’)

Релацијата (1) и (1’) се формули за пресметување на мизата кај

декурзивната рента кога се познати рентата, бројот на периодите ( бројот на

рентите) и каматната стапка.

Пример, Колку денари треба да се вложат, ако се сака следните 5

години да се прима декурзивна годишна рента, од 20 000,00 денари? Каматната

стапка е 7% ( p a) d, а вкаматувањето е годишно.

Решение. Дадено е : R = 20 000,00 денари , n = 5 години и p = 7% . Се

бара да се најде мизата M,

a) Според формулата (1) имаме:

M=R⋅rn−1rn( r−1)

, r=1 ,07 ,

M=20000⋅1 ,075−1

1 ,075(1 ,07−1 ),

M=20000⋅1 ,4025517−11 ,4025517⋅0 ,07

,

M=20000⋅4 ,100197526 ,M=82 003 ,96 денари

6

б) Спорд формулата (1’) имаме:

M=R⋅IV pn ,

M=20000⋅4 ,100197 .M=82 003 ,94 денари

Пример 2 Колку денари треба да се вложат во банка со 4% (p s)d и

полугодишно вкаматување, за да може наредните десет години на крајот од

секое полугодие да се прима рента од 1 500,00 денари?

Решение. Во една година има 2 полугодија, а во 10 години - n = 20

полугодија. Вкаматувањето е полугодишно, каматната полугодишна стапка p

= 4% и полугодишната рента R = 1 500,00 денари.

Сумата што треба да се вложи , ќе ја пресметаме по формулата (2) т.е.

M=R⋅IV pn=1500⋅IV 4

20=1500⋅13 ,59032634M=20385 ,49 денари

Ако во релацијата (*) ја вклучиме втората финансиска таблица , тогаш

таа станува :

M=R (II p1+ II p

2+.. . .+ II pn ) ,

од каде

IV pn=( II p1+ II p

2+. . ..+ II pn ) , (2)

Релацијата (2) ќе ја користиме за изведување на формула за

пресметување на мизата кога бројот на периодите не се содржи во таблицата.

Нека n=k+m Релацијата (2) може да с напише во следниот вид :

IV pn=II p

1+ II p2+.. . .+ II p

k+ II pk+1+ .. ..+ II p

k+m ,

односно

IV pn=II p

1+ II p2+.. . .+ II p

k+ II pk ( II p

1 ,+. . .+ II pm)

7

од каде

IV pn=IV p

s + II ps IV p

t(2’)

Пример 3. Колку треба да се уплати денес во банка, со 3% (pq)d и три

месечно вкаматување, за да може во текот на 30 години да се прими рента од

3000,00 денари на крајот од секои 3 месеци

Решение. Користејќи ја (2’) се добива

M=R( IV 450+ II 4

50 IV 440) ,

M=3000 (21 ,482185+0 ,140713 19 ,792775 )M=72 801 ,86 денари

Пресметување на рента, кога се познати мизата, каматната стапка и

бројот на периодите за кои се прима рентата, го вршиме од формулата (1) и (1’)

за мизата. Имено, од (1) се добива:

R=M⋅r n(r−1)rn−1 (3)

а од (1’) формулата:

R= M

IV pn

односно:

R=M⋅V pn , (3’)

каде што:

V pn= 1

IV pn

Пример 4. Денес се вложени 2 580,00 денари со 8% (p a)d каматна

стапка и годишно вкаматување. Колкава годишна декурзивна рента може да се

прима во следните 15 години?

8

Решение. Од формулата (3’) за рентата имаме:

R=M⋅V pn=2580⋅V 8

15=2580⋅0 ,11682954R=301, 42 денари .

3. ПРЕСМЕТУВАЊЕ НА МИЗАТА И РЕНТАТА КАЈ

АНТИЦИПАТИВНАТА РЕНТА

Нека во текот на n периоди, на почетокот на секој период, се прима

рента R , со декурзивна каматна стапка p и вкаматување што соодветствува на

периодот на примањето на рентата. За да ја пресметаме мизата, и овде како кај

декурзивната рента, треба да се одреди дисконтната вредност на секоја рента и

да се најде нивниот збир. На цртежот 2 , шематски е прикажано примањето на

рентите по периоди и нивната дисконтирана вредност

Цртеж 2

9

Збирот на сите дисконтни вредности е еднаков на мизата, т.е.

M=R+R⋅1r+R⋅1

r2+. .. ..+R⋅ 1

rn−1,

односно:

M=R [1+1r+

1

r2+. .. . .+

1

r n−1,].

(**)

Изразот во заградата во релацијата (**) е збир од првите n членови на

геометриската прогресија со прв член a1=1 и количник q=1

r па следува:

M=R⋅1−( 1

r )n

1−1r

од каде:

M=R⋅r (r n−1 )rn (r−1 )

.

Ако во релацијата (**) изразите

1r,

1

r 2итн.

1

rn−1 ги замениме со

втората финансиска таблица, се добива:

M=R (1+ II p1+ II p

2+.. . .+ II pn−1 ) ,

од каде заменувајќи го изразот II p1+ II p

2+. . ..+ II pn−1

со IV pn−1

,се добива:

M=R (1+ IV pn−1 )

10

Релациите 4 и (4’) се формули за пресметување на мизата кај

антиципативната рента кога се познати рентата, бројот на периодите и

каматната стапка.

Пример. Колку денари треба да се вложат денес, ако се сака следните

десет години да се прима годишна антиципативна рента од 37 620,00 денари?

Каматната стапка е 5% (p a)d а вкаматувањето е годишно?

Решение. Дадно е: P = 37 620,00, p = 55, и n = 9; се бара M. Години.

Според формулата (4’) добиваме.

M=37620⋅(1+ IV 58 )=37620⋅7 ,46321276

M=280 766 ,06 денари

Пример. Денес се вложени во банката 300 000,00 денари со четири

месечна каматна стапка од 3% и четиримесечно вкаматување. Банката, од

денес во текот на следните 15 години, во почетокот на секое четиримесечие ,

ќе исплаќа секогаш ист износ. Колку изнесува непознатиот износ?

Решание. Во примеров позната е мизата, годишната каматна стапка и

бројот на годините. Се бара да се одреди рентата.

Користејќи ја , на пример, формулата (4’) , за рентата добиваме :

R= M

1+ IV pn−1

Мизата M = 300 000,00 денари, каматната стапка 3% а бројот на периоди

за кои се прима рентата n = 45. Заменувајќи ги овие вредности во предходната

формула, добиваме:

R=300000

1+ IV 344

=30000025 ,25427392

,

R=11 879 ,18 денари

Значи, износот што ќе го исплати банката во почетокот на секое

четиримесечие е 11 879,18 денари

11

4. ПРЕСМЕТУВАЊЕ БРОЈОТ НА РЕНТИТЕ И РЕНТНИОТ ОСТАТОК

За пресметување бројот на рентите n треба да бидат познати мизите,

рентата и каматната стапка. Него го пресметуваме користејќи една од

основните формули за пресметување на мизата, соодветни за декурзивна,

односно антиципативна рента.

Пример 1 . Колку години ќе се прима годишна декурзивна рента од 42

700,00 денари ако денес се вложат 825 000,00 денари, со стапка од 3% (p a)d?

Решение. Дадени се,M = 825 000,00 денари R = 42 700, 00 денари и p =

3%; се бара n.

Заменувајќи ги вредностите во формулата:

M=R⋅ rn−1r n (r−1 )

, r=1 ,03 ,

ја добивме равенката :

825000=42700⋅ 1 ,03n−11 ,03n (1 ,03−1 )

,

односно

1 ,03n=2 ,37883

Оваа равенка е експоненцијална и ја решаваме со логаритмирање:

n⋅log 1,03=log 2 ,37883 ,n=29 ,321

Значи, од вложената сума може да се прима 29,321 години годишна

декурзивна рента од 42 700,00 денари, т.е. во текот на 29 години ќе се прима

годишна декурзивна рента од 42 700,00 денари, а во триесеттата година ќе биде

примена помала сума отколку што изнесува самата рента, која се вика нентен

12

остаток. Во овој пример, тој изнесува 321/1000 од рентата, односно 13 706, 70

денари.

Задачава може да ја решиме и со користење на формулата:

M=R IV pn ,

т.е.

од каде добиваме:

IV 3n=825000

42700=19 ,32084309 .

Бројот 19 ,32084309. не се наоѓа во четвртата таблица. Првата помала

таблична вредност е 19,1885, што одговара на n = 29 Според тоа, 29 пати на

крајот од годината, ќе се прима рента во износ од 42900,00 денари, а на крајот

од 30 тата година рентен остаток RO . Овој остаток ќе го одредиме од

релацијата:

M=R⋅II p1+R⋅II p

2+. . ..+R⋅II pn−1+RO⋅II p

n ,

односно

M=R⋅IV pn−1+RO⋅II p

n .

од каде

RO=(M−R⋅IV pn−1)⋅I p

n .

Во разгледаниов пример :

RO=(825000−42700 IV 329 )⋅I3

30

RO=13 721 ,29денари .

13

Пример 2 Денес се вложени 330 000,00 денари со 4% (ps) d и

полугодишно вкаматување. Одреди колку пати може да се прима, во почетокот

на секое полугодие, по 29 000,00 денари!

Решение. Користејќи ја формулата за миза кај антиципативната рента:

M=R(1+ IV pn−1 ) ,

се добива:

IV n−1=M−RR

односно

IV 4n−1=330000−29000

29000=10 ,3793 .

Бројот 10,3793 не се наоѓа во четвртата таблица, а првата помала

таблична вредност е 9,9856, која што одговара на бројот на шпериодите 13, па

следува

n−1=13n=14 полугодија

Значи, 14 пати во почетокот на секое полугодие од годината, ќе се прима

рента во износ од 29 000,00 денари, а на крајот од 15 тото полугодие ренетн

остаток RO . Овој остаток го пресметуваме од релацијата:

M=R (1+ II p1+ II p

2+.. . .+ II pn−2)+RO II p

n−1 ,

односно:

M=R (1+ IV pn−2)+RO II p

n−1 .

оттука:

RO=[M−R⋅(1+ IV pn−2 ) ]⋅I pn−1 ,

14

А во разгледуваниов пример:

RO=[330000−29000 (1+ IV 413 ] I 4

14 ,

RO=19 ,769 ,18 денари .

5. ПРЕСМЕТУВАЊЕ НА КАМАТНА СТАПКА

За пресметување на каматна стапка треба да бидат познати мизата,

рентата и бројот на рентите. Притоа се користиме со основните формули за

пресметување на мизата со таблици, бидејќи со користење на другите формули

се добиваат равенки од повисок степен, чие решавање е посложено. Постапката

е иста со опишаната во наслов 6. од глава V.

Пример. Со која каматна стапка се смета каматата на вложени 300 000,00

денари, ако корисникот примал 20 години рента од 25 000,00 денари на крајот

од годината? Вкаматувањетѕо е годишно

Решение. Рентата е декурзивна, па од формулата :

M=R⋅ IV pn ,

По заменувањето на познатите величини, се добива:

IV p20=12 .

Бројот 12 не е содржан во четвртата таблица за n = 20 , па p ќе го

определиме со линеарна интерполација. Соодветни таблични вредности за n =

20 се:

IV p20=12 ,46221034 и IV 5,5

20 =11 ,45038248 ,

од каде заклучуваме дека:

5 %< p<5,5 %.

За извршување на линерната интерполација ја формираме следната

шема:

15

IV 520=12 ,46221034 5 IV 5

20=12 ,46221034 5

IV 5,520 =11 ,95038249 5,5 V p

20=12 P

IV 5,520 −IV 5

20=0 ,51182785 0,5 IV p20−IV 5

20=0 ,46221034 P - 5

( p−5 ): 0,5=(−0 ,46221034 ):(−0 ,51182785 )

од каде што:

p−5=0 ,23p=5+0 ,23=??? p=5 ,451 %

Значи, бараната каматна стапка е 5,23% (p a)d.

Пример. Со која каматна стапка се смета каматата на вложените

200 000,00 денари, ако корисникот примал 15 години рента од 25 000,00 денари

на почетокот од годината ? Вкаматувањето е годишно.

Решение: Рентата е антиципативна, па заменувајќи ги дадените

вредности во формулата:

M=R(1+ IV pn−1 ) ,

добиваме :

IV p14=7% p=10 % и 11%

Бројот 7 не се содржи во четвртата таблица за n = 14 па p ќе го

одредиме со помош на линеарна интерполација.

IV 10 ,514 =7 ,17017618 10,5 IV 10 ,5

14 =7 ,17017618 10,5

IV 1114=6 ,98186523 11 V p

14=7 P

IV 1114−IV 10 ,5

14 =−0 ,18831095 0,5 IV p14−IV 10 ,5

14 =−17017618 P - 10,5

( p−10 ,5 ):0,5=0 ,17017618 :0 ,18831095p−10 ,5=0 ,45p=10 ,95%

Значи каматната стапка е 10,95%‘ (p a)d.

16

6. ПРАКТИЧНИ ЗАДАЧИ

1.На која сума ќе нарасне годишен антиципативен влог од 20000 ден. За 4 год. Со 6% (p.a)d интерес на интерес и годишно вкаматување?

Решение :

V = 20000

n = 4

p = 6% ⇒ r = 1,06

m = 1

S 4 = ?

S n = V r ∙ ∙ rmn−1r−1

S 4 = 20000 1,06 ∙ ∙ 1.064−11,06−1

= 21200 ∙ 1,064−11,06−1

= 21200 ∙0,26248

0.06 = 21200 ∙

4,37467 = 92743 ден.

Или :

Sn = V ∙ III p /m%nm

S4 = 20000 ∙ III6 %4 = 20000 4, 63709 = 92741,80 ∙ ден.

2. По колку денари треба да се вложува годишно антиципативно во текот на 7 год., ако се сака на крајот од седмата година да се добие, заедно со 3% (p.a)d интерес на интерес, 74000 ден? Вкаматувањето е годишно.

Решение :

S7 = 74000

n = 7

m = 1

17

p = 3% ⇒ r = 1,03

V = ?

S n = V r ∙ ∙ rmn−1r−1

74000 = V 1,03 ∙ ∙ 1,037−11,03−1

74000 = V 1,03 ∙ ∙0,22987

0,03

74000 = V 7,89220∙

V = 74000

7,89220 = 9376,35 ден.

или :

S n = V ∙ III p /m%nm

V = Sn

III p /m%nm =

74000

III 3 %7 =

74000

III 3 %7 = 9376,18 ден.

3. колку години, треба едно лице да уплаќа по 40000 ден. На почетокот од секоја година, за да заштеди 30000 ден. Каматата е 4,5 % (p.a)d интерес на интерес. Вкаматувањет е годишно?

Решение :

V = 40000

m = 1

p = 4,5

S n = 300000

n = ?

S n = V r ∙ ∙ rmn−1r−1

300000 = 40000 1, 045 ∙ ∙ 1,045n−11 ,045−1

300000 = 418000 ∙ 1,045n−10,045

18

300000 = 928888, 89 (1,045∙ n -1 )

1,045n -1 = 300000

928888 ,89

1,045n – 1 = 0,32297

1,045n = 1,32297

nlog1,045 = log 1,32297

n = 6,4 год.

Значи лицето треба 6 години да плаќа сума од 40000, а 7.година некоја друга сума ( влог), која може да се пресмета прелу следнава формула :

Sn = ( V + III p /m%mn−1 + V1) ∙ I p/m%

1

300000 = ( 40000 ∙ III 4,5%6 + V1 ) ∙I 4,5%

1

300000 = (40000 7,01915 + V∙ 1 ) 1,045∙

300000 = (280766 + V1) 1,045∙

287081,34 = 280766 + V1

V1 = 6315,34 ден.

4. Со која антиципативна стапка вложувано е почетокот на секое тримесечје по 45000 ден. 16 год., кога при тримесечното вкаматување, на име збир од вкаматените влогови добиено е 585567,68 ден.?

Решение :

V = 4500

n = 16

m = 4

Sn = 585567,68

p = ?

Sn = V r ∙ ∙ rmn−1r−1

Со оваа формула не може да се најде интересната стапка, бидејќи се добива равенка од повисок степен ( во конкретниов пример се добива равенка од

19

65.степен), па затоа се користи формулата за пресметување на збирот на влоговите со употреба на таблиците интерес на интерес:

Sn = V ∙ III p /m%mn

585567,68 = 4500 ∙ III p /m%16 ∙ 4

III p /m%16 ∙ 4 = 130,12615

Вредноста 130,12615 во III таблица за n= 64 е точно p= 2%

p/ 4 = 2

p = 8%

5. Едно лице денес во банката вложило на штедна книшка 10000 ден. Почнувајќи од денес, во почетокот на секое полугодие тоа подигало по 10000 ден. 5 год. Со која сума ќе располага лицето по 10 години од денес, ако стапката е 5% (p.a)d интерес на интерес , а вкаматувањето е полугодишно?

Решение :

Сумата што е вложена денес се вкаматува со првата таблица за 10 години, а 10000 ден.претставува влог што се одзема 5 години, а потоа истиот се вкаматува уште за 5 год.

По 10 години лицето ќе располага со следнава сума :

10000 ∙ I 5/2 %10∙ 2 - 10000 ∙ III5 /2 %

5 ∙ 2 ∙ I 5/2 %5 ∙2 = 100000 ∙ I 2,5%

20 - 10000 ∙ III2,5%10 ∙ ∙ I 2,5%

10 =

= 100000 1,63862 – 10000 11,48347 1,28008 = 16964,40 ∙ ∙ ∙ ден.

6. Едно лице денес вложило во банка 45000 ден., а потоа вложувало 10 год., и тоа во почетокот на годината по еднакви износи. Колкави биле тие износи, ако по 15год. Од денес вложувачот ќе располага со 245000 ден. Интересната стапка е 5% (p.a)d интерес на интерес, а вкаматувањето е годишно?

Решение :

45000 ∙I 5%15 + V ∙ III5 %

10 ∙I 5%5 = 245000

V = 245000−45000 ∙ I 5%

15

III 5 %10 ∙ I 5%

5 = 245000−45000 ∙2,07893

13,20679∙1,27628

V = 8985,06 ден.

7. Едно лице вложува по 3500 ден. на почетокот на секое тримесечје 3% (p.a)d интерес на интерес и тримесечно вкаматување. Да определи :

20

a) сумата по 10 год. ако денес салдото на сметката е нула ден.;б) сумата по 10 год. ако денес во банката па сметката има 10000 ден.

Решение :

a ) S10 = 3500 ∙ III3 /4 %40 = 3500 46,79483 = 163781,91∙

б ) S10 = 10000 ∙ I 3/4 %40 + 3500 ∙III3 /4 %

40 = 10000 1,34835 + 163781,91 =∙

= 177265,41 ден.

8. Пред 7год. биле вложени 600000 ден. Врз основа на тоа, следните 5 год., почнувајќи од денес, секои 6 месеци, антиципативно, биле подигани од банката по 30000 ден.Колкава е имотната состојба по 10 год., сметано од денес, ако интересната стапка е 5% (p.a)d интерес на интерес, вкаматувањето е полугодишно?

Решение :

Sn = 600000 ∙ I 5/2 %17∙ 2 - 30000 ∙ III5 /2 %

7 ∙ 2 ∙ I 5/2 %5 ∙2 =

= 600000 ∙ I 2,5%34 – 30000 ∙ III2,5%

10 ∙ I 2,5%10 =

= 60000 2,31532 – 30000 11,48347 1,28008 = 948199,19 ∙ ∙ ∙ ден.

9. Четиринаесет години, на почетокот од годината во банка вложувани се по 5000 ден. Во првите 7 год. интересната стапка била % (p.a)d интерес на интерес, а во наредните 7 год.4%. Вкаматувањето е годишно. Колкава е крајната вредност на овие влогови по 14-та година? Колкава е вредноста на тој збир денес?

Решение :

Sn = 5000 ∙ III6 %7 ∙ I 4 %

7 + 5000 ∙ III 4%7 =

= 5000 8,89747 1,31593 + 5000 8,21423= 99613,39 ∙ ∙ ∙ ден.

Вредноста на тој збир денес ќе биде :

K = Sn ∙II4 %7 ∙II6 %

7 = 99613,39 0,75992 0,66506 = 50343,85 ∙ ∙ ден.

10. На која сума ќе нарасне годишниот декурзивен влог од 10000 ден. за 4 год. со 6%(p.a)d интерес на интерес при годишно вкаматување?

Решение :

V = 10000

21

n = 4

m = 1

p = 6%

Sn = ?

Sn = V ∙ rmn−1r−1

S4 = 10000 ∙ 1,064−11,06−1

=10000∙0,26248

0,06 = 43746,70 ден.

или :

Sn = V (∙ III p ∕ m%mn−1 + 1 ) = 10000 (∙ III6 %

3 + 1) = 10000 ( 3,37462 + 1)∙

S4 = 43746, 20 ден.

11. По колку денари е вложувано на крајот на секое полугодие, ако тие влогови на крајот од осмата година со 6% (p.a)d интерес на интерес и полугодишно вкаматување нараснале на 180000 денари?

Решение :

Sn = 180000

n = 8

m = 2

p = 6% ⇒ r = 1, 03

V = ?


180000 = V ∙ 1,038 ∙2−11,03−1

180000 = V ∙0 ,60471

0,03¿

¿

180000 = V 20,157∙

V = 18000020,157

22

V = 8929, 90 ден.

или :

Sn = V (∙ III p ∕ m%mn−1 + 1 )

180000 = V (∙ III3 %15 + 1 )

180000 = V ( 19,15688 +1)∙

V = 180000

20,15688

V = 8929,95 ден.

12. Колку треба да се вложува по 3000 ден. тримесечно декурзивно, ако сака да се добие, заедно со 5% (p.a)d интерес на интерес и тримесечно вкаматување, 200000?

Решение :

V = 3000

m = 4

p = 5 % ⇒ r = 1,0125Sn = 200000

n = ?


200000 = 3000 ∙ 1,01254n−11,0125−1

1,01254n−11,0125−1

= 2000003000

1,01254n−11,0125−1

= 66,66667

1,01254n – 1 = 66,66667 0.0125∙

1, 01254n – 1 = 0, 83333

1, 01254n = 1,83333

4n log1,0125 = log 1,83333∙

23

n = log 1,83333

4 ∙ log 1,0125 =

0,263244 ∙0,00540

¿¿

n = 12,2

или :

Sn = V (∙ III p ∕ m%mn−1 + 1 )

200000 = 3000 (∙ III1

14

%

4n−1

+ 1 )

III1

14

%

4n−1+1=2000003000

III1

14

%

4n−1+1=66 ,66667

III1

14

%

4n−1

=65,66667

Во III таблица во колоната

114

%вредноста 65,66667сенаоѓа меѓу 47и48периоди , односно :

47 < 4n – 1 < 48

48 < 4n < 49

12 < n < 12,25

Тоа значи дека 48 тримесечја ќе се вложува по 3000 ден, а 49- то ќе се вложи помалку или на вложувачот ќе му се врати некоја сума што ќе се покаже преку V1 ( што веќе беше прикажано при антиципативното вложување )

13. Со која интересна стапка годишниот декурзивен влог од 6500 ден. за 15 год., при годишно вкаматување, ќе нарасне 350000 ден.?

Решение :

V = 6500

n = 15

m = 1

Sn = 350000

p = ?

24

Како и кај антиципативните влогови, и овде интересната стапка се пресметува со користење на формулите каде што се шрименува таблицата интерес на интерес :

Sn = V (∙ III p ∕ m%mn−1 + 1 )

350000 = 6500 (∙ III p%15−1 + 1 )

III p%15−1+ 1 =

3500006500

III p%15−1+ 1 = 53,84615

III p%14 = 52, 84615

Во III таблица, за 14 периоди, вредноста 52, 84615 се наоѓа меѓу 16% и 17 %. За точно наоѓање на интересната стапка се користи линеарната интерполација :

III16 %14 =50,65951 16 % III16 %

14 =50,65951 16 %

III16 %14 =55 ,11013 17% III p%

14 =52,84615 p %

4,45062 1% 2, 18664 (p – 16 )%

4,45062 : 1 = 2, 18664 : (p – 16 )

p – 16 = 2,186644,45062

p – 16 = 0,49

p = 16, 49 %

14. Едно лице зело на заем 650000 ден. Колку му останува за отплата во 6 год., ако на крајот на секоја година отплаќа по 50000 ден. со 4 % (p,a)d интерес на интерес годишна камата и годишно вкаматување?

Решение :

K = 650000

n = 6

p = 4%

V = 50000

Kn = K ∙I 4%6 = 650000 1,26532 = 822458 ∙ ден.

25


= 50000 ∙ 1,046−10 ,04

= 50000 ∙0,26532

0,04 = 331650 ден.

Кn - Sn = 822458 – 331650 = 490808 ден.

16. Вложувани се во банка, на почетокот од годината и тоа : во првите 4 год. по 5400 ден., следните 4 год. по 8100 ден. и последните 4 год. по 10800 ден. Интересната стапка е 6% ( p.a)d интерес на интерес, а вкаматувањето е полугодишно. Да се определи :

a) збирот на влоговите по 12 год.;б) колкав е тој збир денес?

Решение :

а ) S 12 = 5400 ∙ III6 /2%4 ∙2 ∙ I 6/2 %

8 ∙2 + 8100 ∙ III6 /2%4 ∙2 ∙ I 6/2 %

4 ∙2 + 10800 ∙ III6 /2%4 ∙2 =

= 5400∙ III 3 %8 ∙ I 3%

16 + 8100 ∙ III 3 %8 ∙ I 3 %

8 + 10800 ∙ III 3 %8 =¿

= 5400 9,15911 1, 60471 + 8100 9,15911 1,26677 + 10800 9,15911∙ ∙ ∙ ∙ ∙

S12 = 272266,18 ден.

б ) S = 272266,18 ∙ I I 6 /2 %12∙ 2 = 272266,18 ∙ I I 3 %

24 = 272266,18 0,49193 =∙

=133935,90 ден.

16. Лицето А вложило денес некоја сума со 6% (p.a)d интерец на интерес е полугодишно вкаматување. Лицето В вложувало во текот на 10 год. на крајот од секоја година по 8000 ден. со 4% (p.a)d интерец на интерес и тримесечно вкаматување. На крајот на вложувањет на последниот влог и двете лица имале во банката еднакви износи. Колку денари вложило лицето А и колку денари секое лице на крајот од десеттата година?

Решение :

- лицето А : K ∙ I 6 ∕ 2%10∙ 2

- лицето В : 8000 (∙ I II4 ∕ 4%10 ∙ 4−1 + 1 )

K ∙ I 6 ∕ 2%10∙ 2 = 8000 (∙ I II4 ∕ 4%

10 ∙ 4−1 + 1 )

K = 8000 ∙(I II4 ∕ 4 %

10 ∙4−1+1)I 6 ∕ 2%

10 ∙2 = 8000 ∙(I II1%

39 +1)I3 %

20

K = 8000 ∙(47,88637+1)

1,80611 = 216537,73

- лицата А и В ќе имаат :

26

- лицето А : K10 = 216537,73 ∙ I 3%20 ≈391090,96ден .

- лицето В : S10 = 8000 ∙( I II 4 ∕ 4%10 ∙ 4−1+1) ≈391090,96ден

17. Едно лице вложува со 7 % ( p.a)d интерес на интерец од денес до наредните 7 год. по 4000 ден. годишно антиципативно, а од дванаесетта до петнаесетта година вложува по 6000 ден. годишно декурзивно.

Пресметувањето на интересот се врши годишно. Со колкава сума ќе располага лицето на крајот од 16. година?

Решение :

S16 = 4000 ∙ I II7 %7 ∙I 7%

9 + 6000 (∙ I II7 %3−1 + 1 ) I 7%

1 =

= 4000 9,25980 1,83846 + 6000 ( 2,2149 + 1 ) 1,07 =∙ ∙ ∙ ∙

S16 = 88734,75 ден.

18. По колку денари тримесечно декурзивно едно лице треба да вложува од неговата 15. До 30 год., за да на крајот од 40 год. да располага со 80000 ден.? Интересната стапка е 8% (p.a)d интерес на интерес, а вкаматувањето е тримесечно.

Решение:

V (∙ I II8 ∕ 4 %15 ∙4−1 + 1 ) ∙ I 8/4 %

10∙ 4 = 800000

V = 800000

( I II8 /4 %15 ∙4−1+1 ) ∙ I 8/4%

10∙ 4 = 800000

( I II2 %59 +1 ) ∙ I2%

40

V = 800000

(113,05154+1 ) ∙2,20804 = 3176,74

19. За купување определен имот купувачот му нуди на продавачот две можности :

a ) да плати 80000 ден. веднаш и на крајот од првите 4 год. да плаќа по 50000 ;

б ) да плати 50000 ден. веднаш и 200000 ден по 4 год.

Која од овие 2 понуди е поповолна за продавачот, ако интересната стапка е 4 78

% (p.a) d интерес на интерес, а вкаматувањето е годишно?

Решение :

Двете суми се сведуваат на крајот од 4. година :

27

а ) 80000 1, 04875∙ 4 + 50000 ∙ 1,048754−11,04875−1

= 311885,90 ден.

б ) 50000 1, 04875∙ 4 + 200000 = 260486,50 ден.

Поповолна за продавачот е првата понуда.

20. Едно лице првите осум години вложувало декурзивно годишно по 2000 ден., а од 10. До 15 год. подигало антиципативно годишно по 1000 ден. Во 20. Година лицето вложило 10000 ден. Колку денари лицето ќе има на крајот од 25. година при 5% (p.a)d интерес на интерес и годишно вкаматување?

Решение :

Sn = 2000 (∙ III5 %7 + 1 ) ∙ I 5%

7 - 1000 ∙ III5 %5 ∙ I 5%

10 + 10000 ∙ I 5%5 =

= 2000 ( 8,54911 + 1) 2,29202 – 1000 5,80191 1,62889 + 10000 1,27628∙ ∙ ∙ ∙ ∙

Sn = 47085 ден.

21. Едно лице сака на крајот од својата 50. год. да располага со 1500000 ден. Од својата 20. до 25. Год. тоа вложувало семестрално декурзивно по 1500 ден. Уште колку треба лицето да вложува семестрално од 25. до 40. год., ако интересната стапка е 6% (p.a)d интерес на интерес, вкаматувањето е семестрално?

Решение :

1500 (∙ III3 %9 + 1 ) ∙ I 3%

50 + V ∙ III3 %30 ∙ I 3%

20 = 1500000

V = 150000−1500 ∙ ( III3 %

9 +1 ) ∙ I 3%9

III3%30 ∙ I 3 %

20

V = 150000−1500 ∙ (10,46388+1 ) ∙4,38391

49,00268 ∙1,80611

V = 16096,58 ден.

22. Лицето “ A ” вложувало во текот на 10 год. на крајот на секоја година по 15000 ден. со 5,5% (p.a)d интерес на интерес и годишно вкаматување. Лицето “В” влоило денес некоја сума со 3% (p.a)d интерес на интерес и годишно вкаматување. На крајот на вложувањето на последниот влог, двете лица имале еднакви суми. Колку денари вложило лицето “В” и по колку денари имало секое лице на крајот на 10.година ?

Решение :

28

sn' ( A ) = 15000 (∙ III5,5%

9 + 1 ) = 15000 ( 11,87535 + 1 ) = 193130,25∙

Kn ( B ) = K ∙ I 3%10

sn' ( A ) = Kn ( B )

193130,25 = K ∙ I 3%10

K = 193130,25

I 3%10 = 193130,25

1,34392 = 143706,66

На крајот од 10. година двете лица ќе имаат :

sn' ( A ) = 15000 ( ∙ III5,5%

9 + 1 ) = 193130,25 ден.

Kn ( B ) = K ∙ I 3%10 = 193130,25 ден.

23. Едно претпријатие продава економски застарена машина. Примени се 3 понуди :

I купувач нуди : 2000000 ден. во готово, 2000000 ден. по 2 год. од денот на договорот и 1000000 ден. по 3 години;

II купувач нуди : 1000000 ден. во готово и почнувајќи од денес 10 год. на почетокот на секоја година да исплаќа по 400000.;

III купувач нуди : почнувајќи од денес 20 год. да исплаќа сума од 250000 ден. на крајот од секоја година.

Да се испита која понуда е најприфатлива за продавачот, ако интересната стапка е 6 % (p.a)d интерес на интерес, вкаматувањето е годишно.

Решение :

Трите понуди ги сведуваме на крајот на 20. Година :

Првиот купувач :

2000000 ∙ I 6%20 + 2000000 ∙ I 6%

18 + 100000 ∙ I 6%17 =

= 200000 3,20714 + 2000000 2,85434 + 1000000 2,69277 =∙ ∙ ∙

= 14815730 ден.

Вториот купувач :

100000 ∙ I 6%20 + 400000 ∙ III6 %

10 ∙ I6%10 = 13215584,60 ден.

Третиот купувач :

29

250000 ( ∙ ∙ III6 %19 + 1 ) = 9196397,50 ден.

Најприфатлива е понудата од првиот купувач.

24. За исплаќање на еден купен имот продавачот му нуди на купувачот 2 можности : или 12 год. на крајот на секоја година да му плаќа по 150000 ден. или да му плати една сума на крајот од 4.година . Во двата случаи интересната стапка е 4% (p.a)d интерес на интерес, а вкаматувањето е годишно. Да се пресмета која сума треба да се плати по 4 години, така што уплатените суми во двата случаи да бидат еднакви ?

Решение :

150000 (∙ ∙ III 4%11 + 1 ) = S ∙ ∙ I 4%

8

S = 150000 ( ∙ ∙ III 4%11 + 1 ) ∙ II4 %

8 = 150000 15,02581 0,73069 = 1646881,37 ∙ ∙ ден.

II. ЗАЕМИ

1. ПОИМ И ВИДОВИ НА ЗАЕМИ

Ако за покривање на редовните и вонредните расходи, или за

реализирање на инвестициони програми и сл., физичките или правни лица не се

во можност да ги извршат од своите приходи, тогаш тие се принудени да бараат

заем. Давачот на заем дава срества на побарувачот под одредени услови, меѓу

кои: висината на заемот, времето на враќање на заемот и каматната стапка.

Враќањето на заемот се врши преку плаќање на одредени отплати во

текот на времето на неговото користење. Времето на враќање на заемот се вика

амортизационен период.

Отплатувањето на заемот, обично се врши годишно или полугодишно, а

поретко на покуси годишни интервали. Истовремено, со отплаќање на

отплатата, се плаќа и каматата на корисничкиот заем. Отплатата, заедно со

каматата, се вика ануитет.

Ако ануитетот се плаќа на почетокот на годината тој е годишен

антиципативен, а ако се плаќа на крајот од годината - годишен декурзивен.

Ануитетите во зависност од големината, можат да бидат; константни,,

ако се плаќа еден ист ануитет во целиот амортизационен период, и промеливи,

ако ануитетите се различни.

30

Заемите можат да се поделат според времетраењето, давателот,

обезбедувањето со гаранција и др. критериуми.

Во зависнот од времето на враќање, заемите се делат на долгорочни,

среднорочни и краткорочни.

Според начинот на враќање, заемите можат да бидат рентни и

аморизациони, а според давачите: домашни или странски, јавни или приватни,

банкарски или небанкарски итн.

Во практиката заемите можат да се исплатуваат на повеќе различни

начини, но главно, постојат два начини на отплата на заемите:

1. со еднакви ануитети и

2. со заокружени ануитети.

При пресметувањето на заемите учествуваат следниве величини: заемот

( ознака: Z), ануитетот ( ознака : а), отплата ( ознака: б), каматa ( ознака: i)

бројот на отплатите (ознака: n), каматна стапка ( ознака: p), отплатениот дел

од замот ( ознака: O) , и остатокот на заемот ( ознака : R) .

Во ова поглавје ќе се запознаеме со амортизацијата на декурзивните

заеми со еднакви и со заокружени ануитети.

2. ЗАЕМИ СО ЕДНАКВИ АНУИТЕТИ

2.1. Пресметување на заемот

Нека заемот е во износ од Z денари и треба да се аморизира за n години

со еднакви годишни ануитети а кои достасуваат на крајот од секоја година.

Вкаматувањето е годишно и декурзивно, со годишна каматна стапка p.

Отплатувањето на заемите со еднакви ануитети овозможува

оптоварувањето на должникот во секоја година да биде исто. Притоа, треба да

се најдат такви отплати, чиј збир од дисконтираните вредности, на денот на

подмирувањето на заемот, е еднаков на целиот заем. Тоа ни дава право, на

заемот да гледаме како на миза, а на ануитетите како на ренти. Ова е

илустрирано на следната шема.

31

Цртеж 3

Аналогно како на мизата кај декурзивните рнти за заемот ги добиваме

формулите:

Z=a⋅ rn−1r n(r−1) (1)

и

Z=a⋅IV pn

(1’)

а од нив и формулите за ануитет

a=Z⋅r n(r−1)rn−1 (2)

и

a=Z⋅V pn

(2’)

Од формулите (1) и (1’) се воочува дека за пресметување на заемот треба

да се познати ануитетите, бројот на отплатите и каматната стапка, а од

32

формулите (2) и (2’) - за пресметување на ануитетот треба да се познати заемот,

бројот на отплатите и каматната стапка.

Пример 1. Колку денари изнесува заемот кој треба да се аморизира за 8

години со 7% (p a)d и еднакви годишни ануитети од 47 160,00 денари?

Вкаматувањето е годишно, а ануитетите се плаќаат на крајот од годината.

Решение. Познати се: a=47 160 ,00 денари, n=8 години и p=7 % . Се

бара заемот Z.

Заменувајќи ги дадените вредности во формулата (1’) добиваме:

Z=47169⋅IV 78=47160⋅5 ,97129851

Z=281696 ,4 денари

Значи, со годишен декурзивен ануитет од 47160,00 денари во текот на 8

години со 7% (p a)d се отплатува заем во износ од 281 606,40 денари.

Пример 2. Колкав е годишниот декурзивен ануитет за заемот од 100

000,00 денари што треба да се аморизира за 4 години со 7% (p a)d каматна

стапка?

Решение. Познати се: Z = 100000,00 денари, n = 4 години, и p = 7% (p

a)d . Се бара да се најде ануитетот.

Заменувајќи ги дадените вредности во формулата (2’), добиваме

a=100000⋅V 74=100000⋅0 ,29522812=29 522 ,80 .

Значи, за да се отплати заемот од 100000,00 денари за 4 години со 7% (p

a)d ќе треба да се плаќа годишен декурзивен ануитет од 29 522, 80 денари.

Пример 3 . Колкав е полугодишниот декурзивен ануитет за заем од 100

000, 00 денари што треба да се амортизира за 4 години со 3,4% (p s)d каматна

стапка?

Решание. Во примеров заемот е Z= 100 000,00 денари бројот на

отплатите е n = 8 полугодија, и каматната стапка е p = 3,5% (p s)d Заменувајќи

ги во (4) за ануитетот добиваме:

a=100000⋅V 3,58 =100000⋅0 ,14547665=14547 ,67 .

33

Значи. Полугодишниот декурзивен ануитет за заемот од 100 000,00

денари што се отплатува за 4 години со стапка од 3,5% (p s)d изнесува 14

547,67 денари.

2.2. Пресметување на отплатите кога се познати заемот, каматната стапка и

бројот на отплатите

Знаеме дека годишниот ануитет е збир од износите на отплатата и

каматата. Така, првиот декурзивен ануитет е збир од првата отплата b1 и камата

Zp100 за една година од земањето на заемот, т.е.

a=b1+Zp

100.

од оваа рклација следува

b1=a− Zp100

.

Значи, првата отплата е еднаква на разликата од ануитететот и каматата,

пресметана на износот на заемот за првата година.

По отплатувањето на првата отплата, остатокот на заемот е Z-b

Аналогно, втората отплата ќе биде еднаква на заемот Z-b за време од една

година, односно:

b2=a−(Z−b ) p100

,

од каде

b2=(a− Zp100 )+ b1 p

100

34

b2=b1+b1 p

100

b2=b1(1+ p

100 )значи,

b2=b1⋅r ,

или

b2=b1⋅I p1

Следствено, отплатата на крајот од втората година е еднаква на

производот од првата отплата и декурзивниот фактор r , (или I p1

)

По отплатувањето на втората отплата, остатокот од заемот е

Z−b1−b2 , кој е основна сума за пресметување на каматата за третата отплата ,

па:

b3=a−(Z−b1−b2 ) p100

.

b3=(a− Zp100

+b1 p

100 )+ b2 p

100,

b3=b2+b2 p

100,

b3=b2(1+ p100 ),

35

b3=b2r .

Ако за b2 замениме b1r , се добива:

b3=b1r2=b1 I p

2

Слично се добива b4=b3r=b1r3 , b5=b4 r=b1r

4итн. или општо

bn=bn−1r , (3)

тогаш:

bn=b1rn−1 , (4)

односно

bn=b1 I pn−1 , (4’)

Следствено, отплатата за било која година е еднаква на производот од

предходната отплата и декурзивниот фактор r, или на производот од првата

отплата и степенот на декурзивниот фактор со показател за 1 помал од бројот на

годината за кој се бара отплатата.

Пример 1. Колку денари изнесува третата отплата за заем кој се

отплатува со 8% (p a)d ако првата отплата изнесува 1 250,50 денари ?

Решение. Бидејќи b1=1 250 ,50 , n=3 и p=8 % тогаш според формулата

(4’), се добива:

b3=1250 ,5⋅I 82=1250 ,5⋅1 ,1664

b3=1458 ,58 денари

Пресметувањето на правата отплата ако е дадени било која отплата, се

врши со една од формулите (4) или (4’). Така, на пример, од формулата (4’), се

добива:

b1=bnI pn−1

,

36

односно

b1=bn⋅II pn−1

(5)

Пример 2. Колку денари изнесува првата отплата на заем, што се

отплатува со 6% (p a)d , ако четвртата отплата изнесува 2 330,00 денари?

Решение. Дадено е:bn=2 330 ,00 , n=4 и p=6 % Се бара b1 .

b1=bn⋅II pn−1=2330⋅II6

3=2330⋅0 ,83961928b1=1956 ,3 денари

Пример 3. Колку денари изнесува третата отплата за заем , што се

отплатува со 7% (p a)d , ако петтата отплата изнесува 1 000,00 денари?

Решение. Најпрво, користејќи ја формулата (5), ќе ја најдеме првата

отплата, а потоа петтата отплата.

b1=b5⋅II74=1000⋅0 ,76289521

b1=763 ,90 денар

b3=b1⋅I 72=762 ,9⋅1 ,1449

b3=873 ,4 денари

2.3. Пресметување на отплатите кога се познати ануитетот, каматната

стапка и бројот на отплатите

Заемот Z се отплатува со n години со одделни отплати чиј зббир мора да

биде еднаков со него, односно:

Z=b1+b2+b3+ .. ..+bn ,

Отплатите b2 , b3 . .. .bn , ги изразуваме со помош на формулата (4) и добиваме:

Z=b1+b1r+b1r2+. . ..+b1r

n−1 ,

37

Z=b1⋅(1+r+r 2+.. .+rn−1) ,

Z=b1⋅rn−1r−1

Имајќи ја во предвид формулата:

Z=a⋅ rn−1r n(r−1)

добиваме

b1=a

rn (6)

односно

b1=a⋅II pn . (6’)

Кога b1 во формулата (4) ќе го замениме со

a

rn ( или во формулата (4’)

со a⋅II pn . за отплатите се добиваат следниве формули:

b1=a

rn=a⋅II p

n

b2=a

rn−1=a⋅II p

n−1

bn=ar=a⋅II p

1

Пример 1 . Колку денари изнесува третата отплата за заем што се

амортизёира за 8 години со 6% (p a)d ако ануитетот изнесува 5 000,00 денари?

Решение. Дадени се: a=5000 ,00 , n=8 и p=6 % се бара третата

отплата.

38

b3=a⋅II6n−2=5000⋅II 6

6=5000⋅0 ,70496054b3=3 524 ,80 денари .

Пример 2. Колку денари изнесува ануитетот за заемот кој се отплатува за

10 години со 8% (p a)d, ако шестата отплата изнесува 3 550,60 денари?

Решение. Дадени се: n=10 , p=8%, b6=3550 ,60 . Се бара ануитетот

Од формулата

b6=a⋅II pn−5

Се добива

a=b6⋅I pn−5=3550 ,6⋅I 6

5=3550 ,6⋅1,46932808a=5 217 ,00 денари

Пример 3. Колку денари изнесува ануитетот за заем што се отплатува со

6% (p a)d ако последната отплата изнесува 4 000,00 денари?

Решение. Од формулата

bn=a⋅II p1 ,

го изразуваме ануитетот:

a=bn⋅I p1 .

По заменувањето и извршувањето на операцијата множење, добиваме:

a=4240 ,00 денари.

2.4. Пресметување на отплатениот дел од заемот

Нека се отплатени m отплати од заемот Z која што се амортизира за n

години со стапка p (p a)d. Отплатениот дел од заемот е еднаков на збирот од

сите отплатени m отплати т.е.

39

Om=b1+b2+b3+. .. .+bm

Ако во оваа релација отплатите b2 , b3 , .. . . ,bm ги изразуваме преку првата

отплата и првата таблица (4’) добиваме:

Om=b1+b1 I p1 +b1 I p

2 +.. . .+b1 I pm−1 ,

од каде што

Om=b1 (1+ I p1+ I p

2 +. .. .+ I pm−1 ) ,

Заменувајќи го збирот1+ I p1+ I p

2 +.. . .+ I pm−1

со III pm−1

, се добива формулата за

пресметување на отплатениот дел од заемот:

Om=b1 (1+ III pm−1) . (8)

Кога се отплатени сите n отплати , тогаш отплатениот дел на заеммот

On е еднаков со Z па формулата (8) станува :

Z=b1 (1+ III pn−1) . (8’)

Пример 1. Колку денари изнесува отплатениот дел од заемот, кој што се

отплатува за 8 години со 9% (p a)d по платениот петти ануитет, ако првата

отплата изнесува 3 000,00 денари?

Решение. Познати се: n= 8 години p = 9%, m= 5 и b1=3000 ,00 денари.

Се бара да се најде O5 .

Користејќи ја формулата (8) добиваме

O5=b1 (1+ III94)+3000⋅5 ,98471061

O5=17954 ,13 денари

Пример 2 . Колку денари изнесува отплатениот дел од заемот од 350

000,00 денари, кој што се амортизира со еднакви годишни ануитети за 20

години со 8% (p a)d по отплатениот дванаесетти ануитет?

40

Решение. За пресметување на отплатениот дел од заемот потребно е да

бидат познати: првата отплата b1 , бројот на отплатените отплати m и

каматната стапка p . Во примеров дадени се: Z = 350 000,00 денари , n = 20, m =

12 и p = 8% . Првата отплата b1 , ќе ја пресметаме од формулата (8’):

b1=Z

1+ III pn−1

=350000

1+ III 819

,

b1=7 648 ,27 денари

Вака добиената вредност за b1 и вредностите за m и p, ги заменуваме во

формулата:

Om=b1 (1+ III pm−1) ,

и добиваме

O12=7648 ,3⋅(1+ III 811) ,O12=145 142 ,19 денари

Пример 3. Колку изнесува заемот кој што треба да се амортизира со еднакви

годишни ануитети за 15 години со 5% (p a)d ако се платени 10 ануитети

отплатениот долг од заемот изнесува 11 657 769,00 денари?

Решение. Дадено е:

O10=11657769 ,00 денари , n= 15 години , m = 10 отплати и p = 5 % Се бара

заемот.

Заемот ќе го пресметаме по формулата (8’) откако преходно ќе ја

пресметаме првата отплата по формулата (8) . Имено:

b1=Om

III pm−1+1

=O10

III 59+1

=926 845 ,87

Z=b1 (1+ III pn−1)=926846⋅(1+ III 5

14) ,Z=20 000004 ,68 денари

41

2.5. Пресметување на остатокот од заемот

Остатокот од заемот по отплатените m отплати ( ознака Rm ) ќе го

пресметаме како разлика од заемот Z и отплатениот дел Om . Имено,

Rn−m=Z−Om'

Rm=b1 (1+ III pn−1 )−b1 (1+ III pm−1) ,

Zm=b1 (III pn−1−III p

m−1) (*)

Заменувајќи ги во (*) b1 , IIIn−1 и IIIm−1 соодветно со изразите:

arn, r⋅r

n−1−1r−1

и r⋅rm−1−1r−1 се добива релацијата:

Rm= ar n [ r

n−1−1r−1

− rm−1−1r−1 ]

од каде по средувањето:

Rm=a⋅[ rn−m−1r n−m(r−1 ) ] , (9)

односно

Rn−m=a⋅IV pn−m

(9’)

Релациите (9) и (9’) се формули за пресметување на остатокот од заемот

по отплатените m ануитети. Овие формули важат за декурзивни еднакви

42

ануитети, при што отплатувањето на ануитетот и вкаматувањето се вршат во ист

термин

Пример 1. Заемот од 200 000,00 денари треба да се амортизира со

еднакви годишни ануитети за 10 години со каматна стапка 8% (p a)d и годишно

вкаматување. Коку денари изнесува остатокот од заемот по отплатените 6

ануитети?

Решение. Познати се: заемот Z = 200 000,00 денари , n = 10, години, p =

8%, и m = 6; се бара остатокот R6 ануитети?

Најнапред ќе го пресметаме ануитетот , а потоа остатокот од заемот.

a=Z⋅V pn=200000⋅V 8

10=29 805 ,90

R6=a⋅IV pn−m=29805⋅IV 8

4

R4=98720 ,853 денари.

Пример 2. Заемот треба да се амортизира за 20 години со 6% (p a)d и

годишно вкаматување. Колку денари изнесува остатокот од заемот по

отплатените 14 ануитети ако последната отплата е 1000, 00 денари?

Решение. Познати се: n=20 , p=6 %, m=14 , и bn=1000 ,00 денари

Се бара да се најде Rm .

bn=ar,

го пресметуваме ануитетот

a=r⋅bn=1000⋅1 ,06=1060 ,a=1 060 ,00денари

остатокот по отплатените 14 ануитети е:

R6=a⋅IV 66=1060⋅4 ,91732433

R6=5 212 ,36денари

43

Пример 3. Колку денари изнесува заемот, кој што се амортизира за 10

години со 7% (p a)d со еднакви годишни ануитети, ако остатокот од заемот, по

платените 6 ануитети, изнесува 375 000,00 денари?

Решение. Дадено е n=10 , p=7 % ,m=6 , Rm=375 000 ,00 денари.

Треба да се најде Z .

Најнапред ќе го пресметаме од Rm ануитетот, а потоа заемот.

Rm=a⋅IV pn−m

375000=a⋅IV 74

a=110 710 ,50 денариZ=a⋅IV p

n=110710 ,5⋅IV 710=777 584 ,59 денари

2.6. Изработка на амортизационен план

За да се добие добар поглед за амортизацијата на заемот, односно за

движењето на остатокот по платените ануитети, каков дел од ануитетот

претставува отплатата, а каков дел каматата, се изработува амортизационен

план. Структурата и изработката на амортизациониот план на заемот ќе ја

прикажеме на два примери.

Пример 1. Да се изработи амортизационен план за заем од 60 000,00

денари, кој што треба да се амортизира за 4 години, со 7%(pa)d со еднакви

годишни ануитети и годишно вкаматување

Решение. Дадени се: Z=60 000 ,00 , n=4 , p=7% (pa )d За ануитетот

пресметуваме :a=17 713 ,68 денари

Амортизациниот план за овој пример изглда вака:

44

Z=60 000 ,00 денариa=17 713 ,68 денари

n Заем - остаток 7% канмата Отплата

1 60 000,00 4 200,00 13 513,68

2 48,486,32 3 254,04 14,459,64

3 32 026,68 2 241,86 15 471,82

4 16 554,86 1 158,84 16 554,84

Се 155 067,86 10 854,74 59 999,98

Изработката на амортизационен план е извршена на следниов начин:

- прво се пресметува каматата на 60 000,00 денари за една година со

7%;

i=60000⋅7100

=4200 ,00

- добиената камата i1 ја одземаме од ануитетот и ја добиваме првата

отплата:

b1=a−i1=13 513 ,68

- добиената прва отплата ја одземаме од почетниот заем и го

добиваме остатокот од 46 486,32 денари;

- на остатокот од заемот пресметуваме камат со 7% за една година;

i2=45486 ,32⋅7100

=3 ,254 ,04,

- втората отплата е:

b2=a−i2=14459 ,69 ;

- предходно изнесената постапка се повторува и за пополнување на

третата и четвртата редица од амортизациониот план, а потоа се

сумираат втората, третата и четвртата колона.

45

Точноста на изработениот амортизационен план може да се провери на

еден од следните начини:

1. Последната отплата и последниот остаток на заемот треба да бидат

еднакви.

2. Збирот на отплатите треба да е еднаков на заемот.

3. Збирот на отплатите и каматите треба да е еднаков со производото на

ануитетите (a ) и бројот на отплатите (n )

4. Збирот на сите камати треба да е еднаков со каматата пресметана на

сумата од колоната заем - остаток, за еден период.

Пример 2. Да се изработи амортизационен план за заемот од 30 000,00

денари кој што треба да се амортизира за 4 години со каматна стапка од 2,5%

(ps)d со еднакви полугодишни ануитети и полугодишно вкаматување!

Решение. Бројот на отплатите е n=4⋅2=8 , бидејќи годишно ќе се

отплатуваат по 2 ануитети. За дадениот заем ануитетот е:

a=Z⋅V pn 30000⋅V 2,5

8 =4 184 ,02

Амортизациониот план за овој пример е :

Z=30 000 ,00 денариа=4 184 ,02 денари

n Заем - остаок 2,5% камата Отплата

1 30 000,00 750,00 3 434,02

2 26 565,98 664,15 3 519,87

3 23 046,11 576,15 3 607,87

4 19 438,24 485,96 3 698,06

5 15 740,18 393,50 3 790,52

6 11 949,66 298,74 3 885,28

7 8 064,38 201.61 3 982,41

8 4 081,97 102,05 4 081,97

се 138 883,49 3 382,10 30 000,06

46

2.7. Пресметување на периодот на амортизација

Периодот на амортизација, односно времето на враќање на заемот, го

пресметуваме од формулата за пресметување на ануитетот:

a=Z⋅r n(r−1)rn−1

Пример 1. За колку години ќе се отплати заемот во износ од 20 000,00

денари со еднакви годишни ануитети од 3 940,35 денари со 5%(pa)d

Решение. Дадени се:

Z=20 000 ,00 денари, a=3 940 ,35 денари и p=5% (pa )d Треба да се анјде n

a=Z⋅r n(r−1)rn−1 , r=1,05 ,

3940 ,35=20000⋅1 ,05n0 ,051 ,05n−1

0 ,197 (1 ,05n−1 )=0 ,05⋅1,05n ,(0 ,197=0 ,05 )⋅1 ,05n=0 ,197 ,0 ,147⋅1 ,05n=0 ,197 ,1,05n=1 ,34 ,n log 1,05=log 1 ,34

n= log 1 `,34¿ log 1,05 ¿n=6 ¿

¿

Заемот ќе се отплати за 6 години

47

Пример 2. За кое време заем од 30 000,00 денари ќе с аморизира со

еднакви полугодишни ануитети од 2388,33 денари со 3% (ps)d и полугодишно

вкаматување

Решение. Z=30 000 ,00 денари , a=2 388 ,33 денари , i p=3 % Се бара n.

a=Z⋅r n(r−1)rn−1 r=1,03

2388 ,33=30 000⋅1 ,03n⋅0 ,031 ,03n−1

,

0 ,079611(1 ,03n−1 )=0 ,03⋅1 ,03n ,0 ,049611⋅1,03n=0 ,079611 ,1 ,03n=1 ,604704602 ,

n=log 1 ,604704602log 1 ,03

,

n= 16 полугодија= 8 години

3. ЗАЕМИ СО ЗАОКРУЖЕНИ АНУИТЕТИ

3.1. Одредување на ануитетот

Во 2.2. се запознавме како се одередуваат еднаквите ануитети, кај кои,

најчесто, износот е децимален број.

Искажувањето на ануитетот може да се врши и на други начини. Еден

од нив е тој да биде зададен како цел број, заокружен на десетки, или стотки,

или иљадарки и сл. Во овој случај, велиме дека станува збор за заокружени

ануитети.

Нека заемот е во износ од Z денари и треба да се отплати за n периоди со

заокружени ануитети, кои што достасуваат на крајот од периодот.

Вкаматувањето се совпаѓа со периодот, а пресметувањето на каматата е

декурзивно со p% каматна стапка.

48

Одредувањето на заокружените ануитети може да биде во апсолутен

износ, или во процент од износот на заемот. Кога заокружениот ануитет не е

даден ниту во апослутен износ, ниту во процент од износот на заемот, тогаш за

неговото одредување се пресметува процент p1 , по следната постапка:

- се пресметуваат производите:

100⋅V pn

100⋅V pn−1 ,

- процентот p1 е број меѓу 100⋅V pn

и 100⋅V pn−1 ,

-a=

Z⋅p1

100

Пример1. Заемот од 130 000,00 денари треба да се отплати за15 години

со каматна стапка од 5% (p а)d со заокружени годишни ануитети и годишно

вкаматување. Да се одреди ануитетот!

Решение. Даден се: Z=130000 ,00 денари , n=15 години , и p=5 %

Ануитетот ќе го одредиме по предходно дадената постапка:

100⋅V 515≈9 ,63 %

100⋅V 514≈10 ,10 %

9 ,63< p1<10 ,1

Процентотp1 нетреба да бида аритметичка среднина на 9,63% и 10,1%

туку погоден број, кој во овој пример, неможе да биде помал од 9,63% ниту

поголем од 10,1% . затоа земаме p1=10 %

Ануитетот е:

a=Z⋅p1

100=130000⋅10

100,

a=13000 ,00 денари

49

Забелешка. Заокружение ануитети се поголеми од еднаквите, но затоа

последниот ануитет е помал од систе други и се вика ануитет остаток. Него ќе

го означиме со ao .

В случај кога ануитетот е даден во апсолутен износ или со процент од

износот на заемот, тогаш треба да се пресмета времето на амортизацијата на

заемот. Него го пресметуваме по една од формулите:

Z=a⋅IV pn или a=Z⋅V p

n

Пример 2. За кое време заемот од 100 000,00 денари ќе се амортизира со

заокружени полугодишни ануитети во износ од 8% од заемот? Каматната

стапка е 6% (p а)d а вкаматувањето е полугодишно.

Решение. Дадени се: Z=100 000 ,00 денари , p1=8 %, p=3 % себара n .

Најнапред го пресметуваме ануитетот:

a=Z⋅p1

100=100000⋅8

100,

a=8 000 ,00 денари

Заменувајќи ги познатите големини во формулата:

Z=a⋅IV pn

се добива

IV 3n=100000

8000=12,5 .

Во IV таблица, во колоната 3% вредноста 12,5 се наоѓа меѓу двете

соседни вредности n1=15 и n2=16 . Тоа значи, деак заемот се амортизира за

16 полугодија, од кои во 15 ќе се плаќа науитет од 8 000,00 денари, а во 16 -тото

полугодие помала сума, т.е. ануитет остаток

50

3.2. Изработка на амортизационен план

Изработката на амортизациониот план на заем што се отплатува со

заокружени ануитети е иста како и кај заемите со еднакви ануитети. Разликата

се јавува само при плаќањето на последниот ануитет, кој што е еднаков на

збирот од последниот остаток од заемот и неговата камата. Ова ќе го

прикажеме на следниов пример.

Пример. Да се изработи амортизационен план за заем од 100 000,00

денари кој што треба да се амортизира со заокружени годишни ануитети за 4

години, со каматна стапка 4% (p а)d и годишно вкаматување.

Решение. Најнапред ја определуваме каматната стапка p1 за

пресметување на ануитетот, а потоа ануитетот и на крајот амортизациониот

план.

100⋅V 44≈27 ,54 %

100⋅V 43≈36 ,04

За процент за пресметување на ануитетот земаме p1=30 %.

a=Z⋅p1

100=100000⋅30

100=30 000 ,00

n Заем - остаток 4% камата Отплата Ануитет

1 100 000,00 4 000,00 26 000,00 30,000,00

2 74 000,00 2 960,00 27,040,00 30 000,00

3 46 960,00 1 878,40 28 121,60 30 000,00

4 18 838,40 753,54 18 838,40 19 591,94

се 239,798,40 9 591,94 100 000,00 109 591,94

Од амортизациониот план се гледа дека за трите години се плаќа ануитет

во полн износ, а во последната - четвртата - ануитетниот остаток, од 19 591,94

51

денари. Ануитетниот остаток е еднаков на збирот од последниот остаток и

неговата камата ( 18838,40 + 753,54 = 19591,94).

Точноста на изработениот амортизационен план може да се провери на

еден од следните начини:

1 збирот од отплатите треба да е еднаков на заемот,

2. Збирот од колоната ануитет е еднаков на збирот од збировите на

колоните камата и отплата,

3. Збирот од сите камати треба да е еднаков на каматата од збирот на

колоната заем - остаток( втора колона) , пресметано за еден период.

Во разгледуваниов пример точноста на планот ќе ја провериме со

третиот начин.

Збирот од систе остатоци на заемот е 239 798,40 денари каматата од 4%

за еден периот е:

239798 ,4⋅4100

=9 591 ,94 ,

Која е еднаква на збирот на сите камати ( колона 4% камата)

3.3. Пресметување на ануитетниот остаток

Ануитетниот остаток ќе го пресметаме директно, без да изработуваме

амортизационен план, тргнувајќи од дефиницијата дека тој е збир од

последниот остаток и неговата камата.

ao=Rn+Rn p

100,

од каде

52

ao=Rn(1+p100 ) ,

односно

ao=Rn⋅I p1 .

(*)

Последниот остаок на заемот Rn е еднаков на разликата од заемот Z и

отплатениот дел од заемот за n - 1 периоди , т.е.

Rn=Z−On−1 ,

И заменувајќи во (*) , се добива:

ao=(Z−On−1 )⋅I p1 , (10)

Која што е формула за пресметување на ануитетниот остаток за заем што се

амортизира со заокружени ануитети.

Пример 1. Заем од 100 000,00 денари се амортизира со годишни

заокружени ануитети во износ од 30 000,00 денари за 4 години, со каматна

стапка 4% p а)d. И годишно вкаматување. Да се пресмета ануитетниот остаток

Решение. Ануитетниот остаток ќе го пресметаме по формулата (10) . За

таа цел, предходно ќе го пресметаме отплатениот дел на заемот.

Om=b1(1+ III pm−1 ) , b1=a−

Z⋅p100

=26 000 ,00

03=26000⋅(1+ III 42 ) ,

03=81161 ,60 денари

ао=(Z−O3 )⋅I p1 ,

ao=(100000−81161 ,6 )⋅1,04 ,ao=19 591 ,94 денари

Ануитетниот остаток можеме да го пресметаме , користејќи го фактот

дека заемот е еднков на збирот од дисконтните вредности на ануитетите и

ануитетниот остаток. Имано:

53

Z=a⋅II p1+a⋅II p

2+ .. .. .+a⋅II pn−1+ao⋅II p

n ,

од каде:

Z=a⋅( II p1+ II p

2+. .. .+ II pn−1)+ao⋅II p

n ,

Z=a⋅IV pn−1+ao⋅II p

n .

Од последната релација се добива формулата за пресметување на

ануитетниот остаток:

ao=(Z−a⋅IV pn−1)⋅ 1

II pn,

односно

ao=(Z−a⋅IV pn−1)⋅I p

n(11)

Пример 2. Ануитетниот остаток од примерот 1 пресметан со формулата

(11) е :

ao=(100000−30000⋅IV 43 )⋅I 4

4 ,ao=(100000−30000⋅2 ,77509103)⋅1 ,1698585856 ,ao=19 591 ,94 денари

4. КОНВЕРЗИЈА НА ЗАЕМОТ

Често, при отплатувањето на заемот, настанува промена или на времето

за амортизација, или на каматната стапка, или истовремено на каматната стапка

и времето на амортизација. Во сите овие случаи треба да се промени ануитетот

за отплатување на остатокот од заемот и велиме дека вршиме конверзија на

заемот. Преку примери, одделно ќе ги разгледаме трите можности на промени

при отплатувањето на заемот.

Пример 1. Заемот од 500 000,00 денари треба да се отплати за 30 години

со каматна стапка од 3% (р а)d со еднакви годишни ануитети и годишно

54

вкаматување. По платените 20 ануитети времето на амортизација е продолжено

за уште 5 години. Да се изврши конверзија на заемот.

Решение. Во примеров износот на заемот е 500 000,00 денари, n = 30

години и p = 3%. За овие услови ануитетот е:

a = Z⋅V pn=500000⋅V 3

30 ,a=25 509 ,63 денари

По платените m = 20 ануитети, времето на амортизација на заемот е

зголемено за уште k = 5 години, што значи, остатокот од заемот ќе се плаќа за

n1=n−m+k=15 години. Новиот ануитет a 1 ќе го пресметаме за износот на

заемот кој е еднаков на остатокот на заемот по платените 20 ануитети, т.е.

Z1=R20 . Имаме:

a1 = Rm⋅V p

n1 ,

a1=a⋅IV pn−m⋅V p

n1 ,

a1=25509 ,63⋅IV 310⋅V 3

15 ,a1=18 227 ,80 денари

Пример 2. Заемот од 200 000,00 денари треба да се амортизира за 50

години со каматна стапка 3% (р а)d, со еднакви годишни ануитети и годишно

вкаматување. По платените 20 ануитети каматната стапка е намалена од 3% на

2,5%. Да се изврши конверзија на заемот!

Решение. Дадени се: Z=200 000 ,00 денари, n = 50 години, p = 3%, m =

20 години и p1 = 2,5%. Се бара да се најде ануитетот на промената на каматната

стапка.

Постапката на решавање на задачава е иста како и кај примерот 1.

Прво го пресметуваме ануитетот со податоците за Z , p и n :

a = Z⋅V pn=200000⋅V 3

50 ,a=7 773 ,10 денари

55

Новиот ануитет ќе го пресметаме за остатокот на заемот по платените m

= 20 ануитети, p1 = 2,5% и n1=n−m=30 години.

a1 = Rm⋅V p1

n1 ,

a1=a⋅IV pn−m⋅V p1

n1 ,

a1=4443 ,1⋅IV 330⋅V 2,5

20 ,a1=7 279 ,22 денари

Пример 3. Заемот од 100 000,00 денари треба да се амортизира за 20

години со каматна стапка од 3% (р а)d, со еднакви годишни ануитети и годишно

вкаматување. По платените 12 ануитети каматната стапка се намалува на 2,5%, а

времето на амортизација е проложено за уште 10 години. Да се изврши

конверзија на заемот.

Решение. Првиот ануитет ќе го пресметаме со податоците:

Z=100 000 ,00 денари, n = 20 години и p = 3%:

a = Z⋅V pn=100000⋅V 3

20 ,a=6 721 ,57 денари

Вториот ануитет ќе го пресметаме со податоците: m = 12, k =10, p1 =

2,5% и n1=n−m+k=20−12+10=18 години.

a1 = Rm⋅IV pn−m⋅V p1

n1 ,

a1=6721 ,57⋅IV 38⋅V 2,5

18 ,a1=3 287 ,27 денари

5. АМОРТИЗАЦИЈА НА ЗАЕМИ РАЗДЕЛЕНИ НА ОБВРЗНИЦИ

Кога износот на заемот е многу висок таков што не може едно лице да

обезбеди толкави средства, банките таквиот заем го делат на помали делови т.н.

обврзници. Секоја обврзница има своја номинална вредност, која е дел од

номиналната вредност на заемот, нумерирана со серија и број. Обврзниците

носат камата според одредена каматна стапка, но, исто така, за купувачите на

обврзниците се даваат одредени поволности, како, на пример, награди со

56

извлекување на одделни броеви на обврзници. Каматата за обврзниците се

исплатува врз основа на купон, којшто е составен дел на секоја обврзница.

Отплатувањето на заемите разделени на обврзници се врши со постапно

извлекуване на обврзниците. Извлечените обврзници се исплатуваат по

номиналната вредност, т.е. по вредноста означена на нив (по номинала, ал

пари), или во износ што е повисок од номиналната вредност (со надоплата,

ажија), или во износ што е помал од оној што е означен на обврзницата (со

одбиток, дисажија). ,

Заемите можат да бидат поделени на обврзници со иста номинална

вредност, или на повеќе групи обврзници со различна номинална вредност.

Нивното отплаќање може да биде со еднакви или со заокружени ануитети. Овде,

на два примера, ќе ги разгледаме само заемите поделени на обврзници, што се

плаќаат по номинални вредности и се амортизираат со еднакви ануитети.

Пример 1. Да се изработи амортизационен план за заем во износ од 20 000,00

денари. Кој шго треба да се амортизира за 4 години со каматна стапка 3% (pa)d

и еднакви годишни ануитети и годишно вкаматување. Заемот е поделен на 2 000

обврзници од по 10 000,00 денари. Каматата се исплаќа преку купони, а

амортизираните обврзници се исплаќаат по номинална вредност.

Решение. Заемот изнесува 20 000 000,00 денари, a се амортизира со еднакви

годишни ануитети за 4 години со каматна стапка 3%. Прво го пресметуваме

ануитетот:

Отплатата за секој период (година) ја пресметуваме на следниов начин:

од ануитетот го одземаме интересот за првата година, а потоа тој износ се

покрива со цел број обврзници; непокриената разлика се вкаматува за една

година и се пренесува за следната година.

Техниката на работа е следнава:

Прва година

4320000000 VVZa n

p

денариa 00,5413805

57

пресметан ануитет 5 380 541,00

3%. камата за 1 година - 600 000,00

останува за отплата 4 780 541,00

Значи,првата отплата треба да изнесува 4 780 541,00 денари. Но, бидејќи

заемот се амортизира со повлекување на обврзници, коишо во овој пример,

имаат номинална вредност од 10 000,00 денари, тој ќе се намали за цел број

обврзници, односно за:

4780541,00 : 10000 = 478 обврзници.

Вредноста на 478 обврзници изнесува 4 780 000,00 денари и за идната

година остануваат неисплатени 541,00 денари. Овој остаток и каматата за 1

година на овој износ се собираат со пресметаниот ануитет и се добива

годишниот ануитег за втората година.

Втора година


остаток од првата година 541,00

3%. камата на остатокот од 1. година .. + 16,23

годишен ануитет на крајот од 2. година 5 381 098,23

Од вака пресметаниот ануитет ја одземаме каматата на неамортизираните

обврзници:

- вкупен број обврзници: 2000 10000 20 000 000,00

амортизирани обврзници во 1. год. 478. - 4 780 000,00

неамортизирани обврзн. во 2. год. 1522 15 220 000,00

3% камата на крајот од 2. година 456 600,00

годишен ануитет на крајот од 2. год. . 5 380 541,23

3% камата на неамортиз. обврзници .... - 456 600,00

останува за отплата -. 4 923 941,23

стварна отплата 492 обврзници - 4 920 941,23

58

остаток за 3. година 3 000,00

Трета година


остаток од 2. година 3 941,23

3%, камата на остатокот од 2. година . + 118, 24

вкупен годишен ануитет 5 384 600,47

3% камата на неамортизираните обврз. - 309 000,00

останува за отплата 5 075 600, 47

стварна отплата (507 обврзници) -5 070 000,00

- остаток за 4. година 5 600,47

Четврта година


остаток од 3. година 5 600,47

3%. камата на остатокот од 3. година . + 168,01

вкупен годишен ануитет 5 386 309,48

3%, камата на неамортизираните обврзн. - 156 900, 00

5 229 409,48

заокружуване + 590, 52

останува за отплата 5 230 000,00

стварна отплата (523 обврзници) -5 230 000,000

Амортизациониот план е:

n Обврзници 3%, камата Отплата Стварен

ануитетво

про-

мет

аморти-

зирани

1. 2 000 478 600 000,00 4 780 000,00 5 380, 000,00

2. 1 522 492 456 600,00 4 920 000,00 5 376 600,00

3. 1 030 507 309 000,00 5 070 000,00 5 379 000,00

4. 523 523 156 900,00 5 230 000,00 5 386 900,00

59

Се 5 075 2 000 1 522 900,00 20 000 000,00 21 522 500,00

Забелешка. Колоната стварен ануитет се добива кога од вкупниот

годишен ануитет ќе се одземе остатокот од ануитетот, а во последната година се

додава заокружувањето.

Проверка на точноста на планот се врши на еден од след-

ниве начини: '

1. Бројот на обврзниците во промет во последната година е ист со бројот

на амортизираните обврзници во таа година (во примеров 532).

2. Збирот на амортизираните обврзници е еднаков на бројот на

обврзниците во промет (2000).

3. Збирот на колоната отплата е еднаков со износот на заемот (20 000

000,00 денари).

4. Збирот на колоната стварен ануитет е еднаков на збирот од збировите

на колоните камата и отплата (1 522 500,00 +20 000 000,00 = 21 522 500,00).

5. Каматата за една година на збирот од колоната обврзници во промет

е еднаков со збирот на колоната камата

Кога заемот се амортизира со повеќе групи обврзници, секоја обврзница

од иста група има иста номинална вредност. Пресметковната постапка, при

изработката на амортизациониот план е иста со постапката кога заемот е

поделен на обврзници со иста номинална вредност, со таа разлика што делот од

ануитетот што отпаѓа на отплатата треба да се амортизира преку разни

номинални вредности. Притоа, се определува по колку обврзници просечно ќе

се амортизираат од секоја група, со исклучок за обврзниците од последната

група (обврзниците со најниска номинална вредност) со кои се надополнува

денари00,5005221

100

350750000

60

висината на отплатениот износ. Поконкретно ќе се запознаеме на следниов

пример.

Пример 2. Заемот од 2 000 000,00 денари треба да се амортизира за 4 години со

каматна стапка 4% (р a)d, co еднакви годишни ануитети и годишно

вкамагување. Заемот е поделен на три групи обврзници:

- 500 обврзници по номинална вредност од 1 000,00 ден. ;

- 1 000 обврзници по номинална вредност од 500,00 ден. ;

- 10 000 обврзници по номинална вредност од 100,00 ден.

Каматата целосно се исплаќа преку купони, а амортизираните обврзници

се исплаќаат no номинална вредност.

Решение. Заемот изнесува 2 000 000,00 денари, а се амортизира за 4 години со

еднакви годишни ануитети и каматна стапка 4%,. Пресметаниот ануитет е:

Просечно ќе се амортизираат по 120 обврзници од по 1 000,00 денари и 250

обврзници од по 500,00 денари, а обврзниците од по 100,00 денари номинално

ќе ги амортизираме според потребата за дополнување до отплатениот износ.

Постапката по години е следнава:

Прва година

пресметан ануитет 550 980,10

4% камата на 2 000 000,00 денари - 80 000,00

годишен ануитет на крајот од 1. година 470 980,00

ќе се амортизираат:

125 обврзници no 1 000,00 денари -125 000,00

.10,9805502000000 44 VVZa n

p

61

250 обврзници no 500,00 денари -125 000,00

220 980,10

2 209 обврзници по 100,00 денари -220 900,00

остаток од ануитетот , 80, 10

стварен ануитет 550 900,00

Втора година


остаток од ануитетот од 1. година 80, 10

4% камата на остатокот од ануитетот . . . + 3, 20

годишен ануитет на крајог од 2. година 551 063,40

4% камата на неамортизираните обврзн - 61 164,00

останува за отплата 489 899,40

Ќе се амортизираат:

125 обврзници пo 1 000,00 денари -125 000,00

250 обврзници од пo 500,00 денари -125 000,00

239 899,40

2 398 обврзници пo 100,00 денари -239 800,00

остаток од ануитетот 99,40


Трета година


остаток од ануитетот од 2. година 99,40

4% камата на остатокот од ануитетот .. . + 3,98

годишен ануитет на краЈот од 3. година 551 083,48

4% каната од неамортизираните обврзници - 41 572,00

останува за отплага 509 511,48


125 обврзници no 1 000,00 денари -125 000,00


259 511,48

62

2 595 Обврзници no 100,00 денари -259 500,00

остаток од ануитегот ................ 11,48


Четврта година


остаток од ануитетот од 3. година 11,48

4% камата на остатокот на ануитетот .. . + 0, 46

годишен ануитет 550 992,04

4%. камата од неамортизирани обврзници - 21 192,00

останува за отплата . .......... 529 800,04


125 обврзници no 1 000,00 денари ................ -125 000,00


279 800,04

- 2 798 обврзници no 100,00 денари -279 800,00

Разлика 0,04

Амортизационен план

n Заем-остат. 4%. камата БроЈ на аморт. обврз.

по ном.

Отплата Стварен

ануитет

1000 500 100

1. 2000000,00 80000,00 125 250 2209 470900,00 550900,00

63

2.

3.

4.

1529100,00

1039300,00

529800,00

61164,00

41572,00

21192,00

125

125

125

250

250

250

2398

2595

2798

499800,00

509500,00

529800,00

550964,00

551072,00

550992,

се 5098200, 00 203928,00 500 1000 10000 2000000,00 22039928,0

Проверка на точноста на планот се врши на истите начини како и кај заемите,

разделени на обврзници со иста номинална вредност.

6. ПРАКТИЧНИ ЗАДАЧИ

1 . Колкав треба да биде заемот што треба да се амортизира за 8 год. со 7% (p.a)d интерес на интерец со еднакви годишни ануитети од 47160. Вкаматувањето е годишно, а ануитетите се плаќаат на крајот од периодот?

Решение :

a = 47160

64

n = 8

m = 1

p = 7%

K = ?

K = a ∙rn−1

rn(r−1) r = 1 + p

100 = 1 + 7

100 = 1, 07

K = 47160 ∙1,078−1

1,078(1,07−1) = 47160 ∙ 1,71819−1

1,71819∙0,07 =

= 47160 ∙0,718190,12027

= 47160 5,97148∙

K ≈ 281615 ден.

( Забелешка : разликата што произлегува меѓу резултатите, сметани со таблицата интерес на интерес и со логаритамски таблици, произлегува од бројот на децималите ).

2. Со колкави еднакви семестарлни ануитети ќе се амортизира заем од 768000 ден. за време од 6 год. со 4% (p.a)d интерес на инетерс и семестрално вкаматување ?

Решение :

K = 768000

n = 6

m = 2

p = 4%

a = ?

a = K ∙ V p /m%mn

a = 768000 ∙ V 2%12

a= 768000 0,09456∙

a = 72622,08 ден.

65

3. Со која годишна интересна стапка заем од 357600 ден. ќе се амортизира за 11 год. со еднакви годишни ануитети од 41100 ден., ако вкаматувањето е годишно?

Решение :

K = 357600

a = 41100

n = 11

m = 1

p = ?

K = a ∙IV p /m%mn

IV p /m%mn =

Ka

= 35760041100

IV p%11 = 8, 70073

Се применува линеарна интерполација :

IV 4%11 =8,76048 4 IV 4%

11 = 8,76048 4

IV 4,25 %11 =8,64354 4,25 IV p%

11 =8,70073 p

-0,11694 0,25 - 0,05975 p-4

(p -4 ) : 0,25 = (-0,05975) : (-011694)

p – 4 = 0,25 ∙0,05975

0,11694

p ≈4,13 %

4. За кое време заем од 30000 ден. ќе се амортизира со еднакви полугодишни ануитети од 2388,33 ден. со 6% (p.a)d интерес на интерец и полугодишно вкаматување?

Решение :

K = 30000

a = 2388, 33

p = 6%

66

m= 2

n = ?

K = a ∙rmn−1

rmn (r−1 ) r = 1 +

p ∕ m100

= 6 ∕ 2100

= 1,03

30000 = 2388,33 ∙ ∙1,032n−1

1,032n (1,03−1 )¿

¿

1,032n−11,032n (1,03−1 )

¿¿

= 300002388,33

1,032n−11,032n (1,03−1 )

¿¿

= 12,56108

1,032n−11,032n = 12,56108 (1,03 – 1 )∙

1,032n−11,032n = 0.37683

1,032n- 1 = 0,37683

1,032n – 1 = 0,37683 1,03∙ 2n = 1

0,62317 1,03∙ 2n = 1

1,032n = 1

0,62317

1,032n= 1,6047

1,032n= 1,6047

2n log1,03 = log1,6047 ∙

n = log 1,60472 ∙ log1,03

n ≈ 8 год.

5. Да се постави амортизационен план за заем од 60000 ден. што треба да се амортизира за 5 год. со 5% (p.a)d интерец на интерес со еднакви годишни ануитети и годишно ануитети и годишни вкаматување?

Решение :

67

K = 60000

n = 5

m = 1

p = 5%

a = ?

a = K ∙ V p /m%mn

a = 60000 ∙ V 5%5

a = 60000 0,23097∙

a = 13858,20 ден.

n K i b a1 60000 3000 10858,20 13858,202 49141,80 2457,09 11401,11 -II-3 37740,69 1887,03 11971,17 -II-4 25769,52 1288,48 12569,72 -II-5 13199,80 659,99 13198,21 -II-

6. Заем од 300000 ден. се амортизира за 10 год. со еднакви годишни ануитети со интересна стапка 6% (p.a)d интерес на интерес и годишно вкаматување. Да се пресмета колкави ануитетот, 1.,4. и 10. отплата.

Решение :

K = 300000

n = 10

m = 1

p = 6%

a = ?

b1 = ?

68

b4 = ?

b10 = ?

a = K ∙ V p%n = 300000 ∙ V 6%

10 = 300000 0,13587 = 40761 ∙ ден .

b1 =

K

1+ III 6 %n−1 =

300000

1+ III 6 %10−1 = 300000

1+12,18079 = 22760,40 ден.

b4 = b1 ∙ r3 = 22760,40 1,06∙ 3 = 27108,09 ден.

b10 = b1 r∙ 9 = 22760,40 1,06∙ 9 = 38453,24 ден.

7. Десеттта отплата изнесува 30000 ден. Да се пресмета првата,третата и петтата отплата, ако p= 6% (p.a)d интерес на интерес, а вкаматувањето е годишно

Решение :

b10 = 30000

p = 6%

m = 1

b1 = ?

b3 = ?

b10 = b1 r∙ 9

b1 = b10

r9 = 30000

1,069 = 17756,94 ден.

b3 = b1 r∙ 2= 17756,94 1,06∙ 2 = 19951,70 ден.

b5 = b1 r∙ 4= 17756,94 1,06∙ 4 = 22417,78 ден.

8. Заем од 5000000 ден. се отплаќа за 12 год. се отплаќа за 12 год. со еднакви годишни ануитети. Интересната стапка е 6% (p.a) интерес на интерес, а вкаматувањето е годишно. Колкава е последната отплата?

Решение :

K = 5000000

n = 12

m = 1

69

p = 6%

bn = ?

a = K ∙ V p%n = 5000000 ∙V 6%

12 = 5000000 0,11928 = 596400 ∙ ден.

а = bn r ∙

bn = ar

= 596400

1,06 = 562641, 51 ден.

9. Колкави се ануитет и заемот којшто треба да се амортизира за 10 год. со 5% (p.a)d интерес на интерес, со еднакви годишни ануитети и годишно вкаматување, ако 2. Отплата е 10000 ден.?

Решение :

b 2 = 10000

p = 5%

n = 10

m = 1

a = ?

K = ?

b1 = b1 r∙

b1= b2

r =

100001,05

= 9523,81 ден.

a = b1 r∙ n = 9523,81 1,05∙ 10 = 15513,24 ден.

К = IV p%n = 15513,24 ∙ IV 5 %

10 = 15513,24 7,72173 ∙ ≈ 119789,05 ден.

10. Заем од 70000 ден. треба дасе амортизира за 6 год. со 5% (p.a)d интерес на интерес, со еднакви годишни ануитети и годишно вкаматување. Колкав е отплатениот дел од заемот по плаќањето на четвртата отплата. Колку изнесува трета отплата и колкав е остатокот од заемот во петтата година?

Решение :

K = 70000

p = 5%

n = 6

70

m = 1

O4 = ?

b3 = ?

R6-4 = ?

a = K ∙ V p%n = 70000 ∙ V 5%

6 = 70000 0,19702 = 13791, 40 ∙ ден.

К = b1 (1 + ∙ III p%n−1)

b1 = K

1+ III p%n−1 =

70000

1+ III 5 %6−1 = 70000

6,80191 = 10291,23 ден

Оm = b1 ( 1 + ∙ III p%m−1)

O4 = 10291,23 ( 1 + ∙ III5 %4−1) = 10291,23 ( 1 + ∙ III5 %

3 ) = 10291,23 4,3013 = ∙

= 44356,54 ден.

b3 = b1 r∙ 2 = 10291,23 1,05∙ 2 = 11346,08 ден.

Rn-m = a ∙ IV p%n−m = 13791, 40 ∙ IV 5 %

6−4 = 13791,40 ∙ IV 5 %2 =

= 13791,40 1,85941 = ∙ 25643 ден.

11. Колкави ќе бидат ануитетот и заемот што треба да се амортизира за 15 год. со 6% (p.a)d интерес на интерес со еднакви семестрални ануитети и семестрално вкаматување, ако е познат отплатениот дел од заемот за првите 20 ануитети во износ од 677752,50 ден.?

Решение :

n = 15

m = 2

p = 6%

O20 = 677752,50

a = ?

K = ?

Om = b1 ( 1 + ∙ III p%m−1 ¿

71

b1 = Om

1+ III p%m−1 =

677752,50

1+ III3%19 = 677752,50

1+25,87037 = 25223,04 ден.

К = b1 ( 1 + ∙ III p /m%mn−1 ) = 25223,04 ( 1 + ∙ III3 %

29 ) =

=25223,04 ( 1 + 46,57542) = 119999,72 ∙ ден.

a = K ∙ V p /m%mn = 119999,72 ∙V 3%

30 = 119999,72 0,05102 = 61223,83 ∙ ден.

12. Заем од 90000 ден. треба да се амортизира за 8 год. со 5% (p.a)d интерес на интерес со еднакви семестрални ануитети и семестрално вкаматување. Да се најде ануитет и колкав ќе биде заемот по платените 10 ануитети?

Решение :

K = 90000

n = 8

m = 2

p = 5%

Rn-m = ?

a = K ∙ V p /m%mn = 90000 ∙ V 2,5%

16 = 6894 5,50813 = 37973,05 ∙ ден.

13. Заем се отплаќа со 8 еднакви годишни ануитети и годишно вкаматување, ако интересната стапка е 3,5% (p.a)d интерес на интерес, а ануитетот е 30000 . Колку изнесува вкупниот интерес?

Решение :

i = n a – K = 8 a - a ∙ ∙ ∙ IV 3,5%8 = a (8 - ∙ IV 3,5%

8 ) = 30000 (8 – 6,87396)=∙

= 33781,20 ден.

14. Заем се амортизира со 6 еднакви годишни ануитети и годишно вкаматување. Количникот меѓу третата и првата отплата е 1,0816, а разликата меѓу третата и првата отплата е 1107,18 ден. Да се пресмета :

a ) интересната стапка ;

б ) првата отплата ;

в ) заемот; и

г ) ануитетот ?

72

Решение :

a ) b3

b1 = 1,0816

b3 – b1 = 1107,18

n = 6

m= 1

b1 ∙r2

b1

= 1,0816

b1 (r∙ 2- 1) = 1107,18

Oд првата равенка следува :

r2= 1,0816 ⇒ r = 1,04 ⇒ p = 4%

б ) Од втората равенка следува :

b1 ( 1,0816 – 1) = 1107,18 ∙

b1 = 1107,180,0816

= 13568,38 ден.

в ) K = b1 ( 1 + ∙ III p /m%mn−1 ) = 13568,38 (1 + ∙ III 4%

5 ) =

= 13568,38 (1 + 5,63298) = 89998,79 ∙ ≈ 90000 ден.

г ) a = K ∙ V p /m%mn = 90000 ∙ V 4 %

6 = 90000 0,19076 = 17168,40 ∙ ден.

15. Да се состави амортизационен план за заем којшто треба да се амортизира за 2 год. со 8% (p.a)d интерес на интерес со еднакви семестрални ануитети. Позната е третата отплата во износ од 382058,98 ден. Вкаматувањето е семестарлно?

Решение :

n = 2

m = 2

p = 8%

b3 = 382058,98

b3 = b1 r∙ 2 r = 1 + p ∕ m100

= 1 + 8 ∕ 2100

= 1 + 4

100 = 1,04

73

b1 =

b3

r 2 = 382058,98

1,042 = = 382058,981,0816

= 353235 ден.

a = b1 r∙ n = 353235 1,04∙ 4≈ 413235,50 ден.

К = а ∙ IV 4%4 = 413235,50 3,62990 = 150000,54 ∙ ден.

i1 = a – b1 = 60000,50 ден.

К2 = К1 – b1 = 1500003,54 – 353235 = 1146768,54 итн.

n K i b a1 150000,54 60000,50 353235 413235,502 1146768,54 45870,74 367364,76 -II-3 7794403,78 31176,15 382059,35 -II-4 397344,43 15893,78 397341,72 -II-

74

III. КОМБИНИРАНИ ЗАДАЧИ ОД СЛОЖЕНА КАМАТНА СМЕТКА, ВЛОГОВИ И РЕНТИ

Задача 1. Пред 10 години некој вложил во банка 30 000,00 денари со 4% (p s)d и полугодишно вкаматување, а по четири години вложил уште 50 000,00 денари при истите услови. Со која сума располага денес?

Решение. Баранта сума е збир од крајната сума на вложените 30 000,00 денари за 20 семестри и крајната сума на вложените 50 000,00 денари за 12 семестри ( полугодија) при иста стапка од 4% ; тогаш r = 1,04. Според тоа наоѓаме:

Kn=30000⋅I 420+50000⋅I 4

12 ,Kn=30000⋅2,19112314+50000⋅1 ,60103222 ,Kn=65733 ,6942+80051 ,611 ,Kn=145 785 ,31 денари

Ова шематски го прикажуваме вака

75

Задача 2. Извесна сума пари била внесена 8 години со полугодишна стапка од 3% и декурзивно полугодишно вкаматување, а наредните седум години со стапка од 4% (p q)d и тримесечно декурзивно вкаматување. Колкава била почетната сума, ако нејзината крајна вредност е 83 815,00 денари?

Решение. Почетната сума Ko

се вкаматува прво за 16 полугодија со стапка од 3% а потоа вака зголемена сума се вкаматува 28 тромесечија, со стапка од 2% за да се добие конечната сума од 83 815,00 денари. Ова прегледно е прикажано на следната шема

76

Следствено имаме:

Kn=(K o⋅I 316 )⋅I2

28=Ko⋅I316⋅I 2

28

или

K0=Kn⋅II 316⋅II 4¿¿ ¿28 ¿ ¿K 0=83815⋅0 ,62316694⋅0 ,33347747 ¿K0=17417 ,774 денари ¿¿

Задача 3. Вложена е сума од 10 000,00 денари на стапка од 10% а по седум години каматната стапка се зголемила на 12% . Во почетокот на деветтата година вложени се уште 15 000,00 денари со стапка од 15% . Колкава ќе биде сумата на крајот од петнаесеттата година, ако вкаматувањето е годишно декурзивно?

Решение. За решавање на оваа задача ќе се послужиме со шемата

77

Следствено добиваме:

Kn=(10000⋅I108 )⋅I12

7 +15000⋅I 157 =82 o83 ,00 денари

Задачa 4. Пред 12 години долгот изнесувал 25 000,00 денари. Должникот уплатил 3 рати: првата од 10 000,00 денари по 5 години од задолжувањето, втората од 17 000,00 денари по 7,5 години од задолжувањето и третата од 10 000,00 денари, 12 години по задолжувањето, т.е рок денес. Договорено е полугодишно вкаматување со стапка 6% (p s)d Дали должникот го отпалтил долгот? Ако не е отплатн, тогаш колкав е сега долгот?

Решение. Прв начин. Задачата може да ја решиме со сведување на долгот и отплатите на нивните конечни вредности

За долгот добиваме:

Kn' =25000⋅I 6

24=101223 ,37 .

За отплата наоѓаме:

78

Kn'' =10000⋅I 6

14+17000⋅I 69+10000=

¿22609 ,04+28721 ,14+10000=¿61 330 ,18

следствено, долгот не е отплатен; останува за отплата уште 39 893,19 денари

25000⋅I 624

Втор начин. Сите три уплатени рати можеме да ги сведеме на вредности од по 12 години; тогаш:

K0=10000⋅II 610+17000⋅II6

15+10000⋅II624

K0=15 147 ,24

Сега имаме :

Почетен долг: 25 000,00 денари

Почетна вредност на уплатите: 15 147,24 денари

Ненаплатен долг: 9 852, 76 денари.

79

Конечна врдност на долгот K0=9852 ,76⋅I 6

24+39893 ,19 .

Според тоа, должникот треба да уплати уште 39 893,19 денари ( Види ја приложената шема)

Задача 5. За купување на некоја куќа се пријавиле тројца купувачи. Првиот купувач за куќата нуди 300 000,00 денари во готово. Вториот купувач - 315 000,00 денари по 1,5 година и третиот купувач - 340 000 00 денари по 2,5 години Која понуда е најповолна, ако каматната стапка е 2,5% (p s)d а пресметувањето на каматата е полугодишно и декурзивно?

Решение. Сумите што ги нудат вториот и третиот купувач ќе ги сведеме на сегашната врдност, па од тоа која сегашна вредност е најголема, таа понуда е најповолна.

1 купувач: K0=300 000 ,00 денари

2 купувач:

К0=315 000 ,00⋅II 2,53 =315000⋅0 ,92859941

K0=292 508 ,81 денар

80

3 купувач:

К0=340 000⋅ИИ 2,55 =340000⋅0 ,883854287

К0=300510 ,46 денари

Најповолна е третата понуда.

Задача 6. Некое лице вложувало 8 години по 3 000,00 денари во почетокот на секоја година, со каматна стапка од 5% (p a)d Од осмата до 12 ггодина тоа не вложувало, а од 12 до 15 тата година вложувало по 4 000,00 денари антиципативно. Со која сума ќе располага лицето на крајот од 20 тата година, ако вкаматувањето е годишно?

Решение. За определување на сумата Sn

на крајот од 20 тата година ќе се послужиме со следната шема

81

Крајната сума S1=V 1=3 000 ,00 денари

на крајот од осмата година е:

S1=V 1⋅III 58=3000⋅10 ,02656432=30 079 ,69

Оваа сума ќе се вкамати уште 12 години и на крајот од 12 година ќе биде:

S1' =V 1⋅I 5

12=V 1⋅III58⋅I 5

12=30079 ,69⋅1 ,79585633=54 018 ,80

Крајната сума S2

на влогот

S2=V 2⋅III 53=4000⋅3 ,310125=12 840 ,50 .

Оваа сума ќе се вкаматува уште 5 години па ќе биде:

S2' =S2⋅I5

5=V 2⋅III 53⋅I 5

5=16 898 ,61

Сумата со која ќе располага лицето на крајот од 20 година ќе биде:

Sn=S1' +S2

'=54018 ,80+16898 ,61Sn=70917 ,41

Задача 7. едно лице од почетокот на 1981 година вложило во банката четиримесечно антиципативно по 3 000,00 денари до крајот на 1985 година, со каматна стапка од 3% (p s)d и четиригодишно вкаматување. Од почетокот на 1986 година каматната стапка е 12%, а вкаматувањето е годишно. Колку денари ќе има лицето на 31. 12 1990 година ако на 1.01 1988 година тоа подигнало 50 000, 00 денари?

Решение. Задачата ќе ја решиме со следнава постапка:

82

- ќе ја пресметаме крајната вредност на четиримесечниот

антиципативен влог V=3000 ,00

денари за n = 15 четиримесечја и стапка од 4%;

- крајната вредност Sn

две години се вкаматувала со стапка од 12% и

по подигнуваљњето на 50 000,00 денари разликата Sn⋅I 12

2 −50000 е

почетна сума за вкаматување во наредните три години. Значи,

S=(Sn⋅I122 −50000 )⋅I 12

3 =(V⋅III 415⋅I 12

2 −50000)⋅I 123

S=39 853 ,42 денари

Задача 8 . Седум години, на крајот од секоја година, некое лице вложувало во банката по V денари со 10% (p a)d и годишно вкаматување. Во наредните пет години, на крајот од секоја година, лицето подигнало од банката по 60 000, 00 денари. Откако ја подигнало последната рата, на сметката му останале уште 80 000,00 денари. По колку денари вложувало лицето?

Решение. I начин : Од условот на задачата произлегува дека разликата од крајната вредност на дкурзивните влогови V , зголемена за сложената камата за

5 години, и сумата од декурзивните влогови V 1=60 000 ,00

денари е еднаква на износот од 80 000,00 денари што му останале на сметката на лицето, односно:

V (1+ III106 )⋅I 10

5 −60000⋅(1+ III104 )=80000

V (1+8 ,48717 )⋅1 ,61051−60000 (1+5 ,1051)=80000V⋅15 ,2791821567=446306V=29 210 ,07 денари

II начин : Од шемата

83

Ја составуваме релацијата:

V (1+ III106 )=60000⋅IV 10

5 +80000⋅II105

од каде што:

V=29 210 ,07 денари

84

seminarska matematika

Documents