Zadatak:Izračunati specifični volumen vodene pare na pritisku 120 bar i temperaturi 419°C.Takođe izračunati i faktor kompresibilnosti korištenjem Soave-Readlich-Kwongove jednačine stanja i numeričku metodu sječice.(Tačnost na četvrtu decimalu.)

t=419°C=> T=419 + 273.15=692.15 KP=120 bar=120·105PaPc=220.5bar=220.5 · 105PaTc=647.3 KTr=T/Tc=1.0692 K

1.Soave-Readlich-Kwongova jednačina:

P=R iT

v−b−a(T )

v (v+b )

f (v )=P−R iT

v−b+a(T )

v (v+b )

1.1.Konstante a(T) i b: 1.1.1.Konstanta a:

a(T )=a(c )⋅α

a(c )=0 . 42748R i

2T c2

Pc

a(c )=0 . 42748(831418 )

2

(647 .3 )2

220 .5⋅105

a(c )=0 . 42748⋅4053. 943

a(c )=1732.979603

α=(1+0 .662⋅(1−T r0. 8 ))2

α=(1+0.662⋅(1−1 .06920 . 8 ))2

α=(1+0 .662⋅(−0 .054987 ))2

α=(1−0 .03640 )2

α=(0 . 96359 )2

α=0 . 928522

a(T )=1732.979603⋅0. 928522

a(T )=1609.109687

1.1.2.Konstanta b:

b=0 .08664RiT cPc

b=0 .08664⋅(831418 )⋅647 .3

220 . 5⋅105

b=0 .08664⋅298980 . 6778220 . 5⋅105

b=0 .08664⋅0.013559214b=0 .00117477

2.Metoda sječice:

v(k+1)=v(k )−f(vk )

v( k)−v( k−1 )

f( vk )

−f(vk−1)

Za početnu vrijednost v0 uzimamo volumen koji dobijemo iz jednačine stanja idealnog gasa:

Pv=mRiT

v0=mRiT

P

v0=1⋅(8314

18 )⋅692 .15

120⋅105

v0=3139696 . 3944

120⋅105

v0=0. 0266413m3

kmol

Vrijednost v1računamo po formuli za metodu sječice:

v1=v0 (1±Δv ) Δv=±0 .1 U našem slučaju ∆ v=−0.1 jer se naša vrijednost treba smanjivati.

v1=v0 (1−Δv )v1=0 . 0266413 (1−0,1 )v1=0 . 0266413 (0 .9 )

v1=0 . 02397717m3

kmol

|v1−v0|=|0 ,02397717−0 . 0266413|=0 .00266=2 .6⋅10−3

3.Prema unaprijed navedenoj formuli: f (v )=P−

RiT

v−b+

a(T )

v ( v+b ) računamo f(v 0) i

f(v 1):

f( v 0)

=P−RiT

v0−b+a(T )

v0( v0+b)

f( v 0)

=120⋅105−(831418 )⋅692 .15

0 .0266413−0 . 00117477+

1609.1096870.0266413 (0.0266413+0.00117477 )

f( v 0)

=120⋅105−12553590.71+2171373 .162

f( v 0)

=1617782 . 452

f( v 1)

=P−R iT

v1−b+a(T )

v1(v1+b)

f( v 1)

=120⋅105−(831418 )⋅692.15

0.02397717−0 .00117477+1609 .109687

0.02397717 (0 .02397717+0 .00117477 )f( v 1)

=120⋅105−14020295 .87+2668186 .844

f( v 1)

=647890 .974

Nakon što smo izračunali f(v0) i f(v

1) možemo računati v2:

v2=v1−f(v1)v1−v0

f( v1 )

−f( v0 )

v2=0 . 02397717−647890 . 9740 .02397717−0 . 0266413647890 .974−1617782 . 452

v2=0 . 02397717−647890 . 974⋅2⋅10−9

v2=0 . 022681388m3

kmol

|v2−v1|=|0 . 022681388−0. 02397717|=0 .001295=1 . 295⋅10−3

Nakon v2 računamo f(v2) da bi mogli računati v3:

f(v 2)

=P−RiT

v2−b+a(T )

v2(v2+b )

f(v 2)

=120⋅105−(831418 )⋅692. 15

0. 022681388−0 .00117477+

1609 .1096870.022681388( 0.022681388+0 .00117477 )

f(v 2)

=120⋅105−14865024 .08+2973825.759

f(v 2)

=108801 . 679

v3=v2−f(v2)v2−v1

f( v2 )

−f(v1 )

v3=0.022681388−108801.6790 .022681388−0 . 02397717108801.679−647890 .974

v3=0.022681388−108801.679⋅2⋅10−9

v3=0.022463784m3

kmol

|v3−v2|=|0 . 022463784−0 ,022681388|=0 .0002176=2 .176⋅10−4

-Da bi prešli na slijedeći korak i računali v4 potrebno je izračunati f(v3):

f(v 3)

=P−RiT

v3−b+a(T )

v3(v3 +b )

f(v 3)

=120⋅105−(831418 )⋅692.15

0. 022463784−0 .00117477+

1609 .1096870 .022463784(0 .022463784+0. 00117477 )

f(v 3)

=120⋅105−15016965 .77+3030273 . 502

f(v 3)

=13307 . 73164

v4=v3−f(v3)v3−v2

f( v3 )

−f( v2)

v4=0 . 022463784−1307 .731640. 022463784−0 . 0226813881307 . 73164−108801. 679

v4=0 . 022681388−1307 .73164⋅2⋅10−9

v4=0 . 022437168m3

kmol

|v4−v3|=|0 . 022437168−0 .022463784|=0 .000026615=2. 6615⋅10−5

f(v 4)

=P−RiT

v4−b+a(T )

v4( v4 +b )

f(v 4)

=120⋅105−(831418 )⋅692 .15

0 .022437168−0 .00117477+

1609 .1096870 .022437168(0 .022437168+0 .00117477 )

f(v 4)

=120⋅105−15035763 .81+3037288 .008

f(v 4)

=1524 .19764

Konačno rješenje dobiveno je u 3 iteracije.Zbog lakše preglednosti podataka,unosimo ih u tabelu:

Tabela 1. :

vk f(vk) vk+1 f(vk+1) |vk+1-vk| 0 0.0266413 1617782.452 0.02397717 647890.974 2.664*10-3

1 0.02397717 647890.974 0.022681388 108801.679 1.295*10-3

2 0.022681388 108801.679 0.02243784 1307.73164 2.176*10-4

3 0.02243784 1307.73164 0.02243768 1524.19764 2.661*10-5

4.Faktor kompresibilnosti(Z)Za SRK jednačinu faktor kompresibilnosti računamo prema slijedećoj jednačini

Z3−Z2+( A−B−B2 )Z−AB=0

Da bi izračunali Z potrebno je prvo izračunati konstante A i B:

4.1.Konstanta A:

A=a⋅PR i

2 T 2

A=1609. 109687⋅120⋅105

(831418 )

2

(692 .15 )2

A=0 .1889

4.2.Konstanta B:

B=b⋅PRiT

B=0 .00117477⋅120⋅105

(831418 )⋅(692.15 )

B=0 .0440

Z3−Z2+( A−B−B2 )Z−AB=0

Z3−Z2+(0. 1889−0 .044−(0 .044 )2) Z−0 .1889⋅0 .044=0

Z3−Z2+0 . 1429Z−0 .0083116=0Z (Z2−Z+0 .1429 )=0 . 0083116Z1=1

Z2−Z+0 .1429=0 .0083116Z2−Z+0 .1345884=0

D=b2−4 acD= (−1 )2−4⋅1⋅0 .1345884D=0. 461

Z2,3=−b±√D2a

Z2=1+√0 . 4612⋅1

Z2=0 .8394

Z3=1−√0.4612⋅1

Z3=0.1605

Iz dobivenih rezultata vidimo da je odgovarajuće rješenje Z2,te njegovu vrijednost uzimamo kao naš faktor kompresibilnosti.

Z=0.8394