semoga selalu di garis depan dalam berkarya nyata · regresi & interpolasi? jenis interpolasi...
TRANSCRIPT
Interpolasi
Materi Ke- 6
❯❯❯❯❯
Cancel OK
Semoga selalu di garis depan
dalam berkarya nyata B.J. Habibie
Kriteria Capaian
Mahasiswa dapat :
Melakukan analisis interpolasi secara linier (orde 1) dan polinomial (orde 2 atau lebih).
Referensi:
Bambang Triatmodjo, 1992, Metode Numerik, Beta Offset, Yogyakarta (BAB V. Interpolasi)
Definisi
Pada prinsipnya, dalam interpolasi dicari suatu nilai yang berada di antara beberapa titik data yang telah diketahui nilainya.
What’s the Interpolation ?
Jenis Interpolasi : • Linier • Polinomial Orde 2 (Kuadrat) • Polinomial Orde n • Polinomial Lagrange
Regresi vs Interpolasi
Sumbu x
Sumbu y
x3,y3
x1,y1
x2,y2
x4,y4
xn-1,yn-1
xn,yn
GARIS C
GARIS A
GARIS B
Garis mana
yang
Regresi &
Interpolasi ?
Jenis Interpolasi
Sumbu x
Sumbu y
Sumbu x
Sumbu y
Sumbu x
Sumbu y
ORDER 1 ORDER 2
ORDER 3
Interpolasi Linier
Sumbu x
Sumbu y
A
E
C
B D
x x1 x0
f(x)
f(x1)
f(x0)
Prinsip Kesebangunan :
Dari dua segitiga sebangun ABC dan ADE, terdapat hubungan berikut :
01
01
0
01 )()()()(
xx
xfxf
xx
xfxf
)()()(
)()( 0
01
0101 xx
xx
xfxfxfxf
AD
DE
AB
BC
Contoh 1
Dicari nilai ln 2 dengan metode interpolasi linier berdasar data ln 1 = 0, dan ln 6 = 1,7917595. Hitung juga nilai tersebut berdasar data ln 1 dan ln 4 = 1,3862944. Untuk membandingkan hasil yang diperoleh, diketahui nilai eksak dari ln 2 = 0,69314718.
Penyelesaian:
35835190,0)12(16
07917595,10)2(1
f
• Berdasar nilai ln di x0 = 1 dan x1 = 6 • Berdasar nilai ln di x0 = 1 dan x1 = 4
• Besar kesalahan adalah : • Besar kesalahan adalah :
46209813,0)12(14
03862944,10)2(1
f
%3,48%10069314718,0
35835190,069314718,0
x %3,33%100
69314718,0
46209813,069314718,0
x
Interpolasi Polinomial Orde 2
))(()()( 1020102 xxxxbxxbbxf
)( 00 xfb
01
011
)()(
xx
xfxfb
02
01
01
12
12
2
)()()()(
xx
xx
xfxf
xx
xfxf
b
Bentuk umum persamaan :
Dimana koefisien b0, b1, dan b2 dihitung dari :
(x0,y0)
(x1,y1)
(x2,y2)
Contoh 2
Gunakan polinomial order 2 dengan data seperti dalam contoh 1:
Diketahui: • ln 1 = 0, • ln 4 = 1,3862944, dan • ln 6 = 1,7917595
0)( 00 xfb
46209813,014
03862944,1)()(
01
011
xx
xfxfb
051873116,016
46209813,046
3862944,17917595,1
2
b
Penyelesaian:
)4)(1(051873116,0)1(46209813,00)(2 xxxxf Untuk x = 2, maka
56584436,0)2(2 f
Interpolasi Polinomial Orde n
011
0122
011
00
110010
,,...,,
.
.
.
,,
,
......
xxxxfb
xxxfb
xxfb
xfb
xxxxxxbxxbbxf
nnn
nnn
Bentuk umum polinomial order n dan masing-masing nilai koefisien b0, b1, ... , bn adalah :
Interpolasi Polinomial Orde n
Penjabaran cara mencari nilai koefisien b0, b1, ... , bn adalah :
0
02111011
,...,,,...,,,,...,,
,,,,
,
xx
xxxfxxxfxxxxf
xx
xxfxxfxxxf
xx
xfxfxxf
n
nnnnnn
ki
kjji
kji
ji
ji
ji
Bentuk umum polinomial order n dapat ditulis :
01110
012100100
,...,,......
,,,
xxxfxxxxxx
xxxfxxxxxxfxxxfxf
nnn
Interpolasi Polinomial Orde n
Contoh langkah sistematis pembagian beda hingga sampai order 3 :
i xi f(xi) ke-1 ke-2 ke-3
0 x0 f(x0) f[x1, x0] f[x2, x1,x0] f[x3, x2, x1, x0]
1 x1 f(x1) f[x2, x1] f[x3, x2, x1]
2 x2 f(x2) f[x3, x2]
3 x3 f(x3)
Contoh 3
Gunakan polinomial order 3 dengan data seperti dalam contoh 1:
Diketahui: • ln 1 = 0, • ln 4 = 1,3862944, dan • ln 6 = 1,7917595 • ln 5 = 1,6094379
Penyelesaian:
21031020103 xxxxxxbxxxxbxxbbxf
Pembagian beda hingga pertama dihitung dengan persamaan sbb:
46209813,014
03862944,1, 01
xxf
20273255,046
3862944,17917595,1, 12
xxf
Contoh 3 (Lanjutan)
18232160,065
7917595,16094379,1, 23
xxf
Pembagian beda hingga kedua dihitung dengan persamaan sbb:
051873116,016
46209813,020273255,0,, 012
xxxf
020410950,045
20273255,018232160,0,, 123
xxxf
Pembagian beda hingga ketiga dihitung dengan persamaan sbb:
0078655415,015
)051873116,0(020410950,0,,, 0123
xxxxf
6410078655415,0
41051873116,0146209813,003
xxx
xxxxf
Langkah selanjutnya diserahkan ke mahasiswa...
Interpolasi Polinomial Lagrange
n
i
iin xfxLxf0
)()()(
ji
jn
ijj
ixx
xxxL
0
)(
Bentuk umum polinomial Lagrange order n adalah :
dengan :
dimana simbol merupakan perkalian.
Interpolasi Polinomial Lagrange
Bentuk umum polinomial Lagrange order 1 adalah :
1
0
1 )()()(i
ii xfxLxf
10
10 )(
xx
xxxL
)()()()()( 11001 xfxLxfxLxf
ji
j
ijj
ixx
xxxL
1
0
)(
01
01 )(
xx
xxxL
dengan :
Interpolasi Polinomial Lagrange
Bentuk umum polinomial Lagrange order 2 adalah :
2
0
2 )()()(i
ii xfxLxf
20
2
10
10 )(
xx
xx
xx
xxxL
)()()()()()()( 2211002 xfxLxfxLxfxLxf
ji
j
ijj
ixx
xxxL
2
0
)(
21
2
01
01 )(
xx
xx
xx
xxxL
12
1
02
02 )(
xx
xx
xx
xxxL
dengan :
Interpolasi Polinomial Lagrange
Bentuk umum polinomial Lagrange order 3 adalah :
dengan :
3
0
3 )()()(i
ii xfxLxf
30
3
20
2
10
10 )(
xx
xx
xx
xx
xx
xxxL
)()()()()()()()()( 332211003 xfxLxfxLxfxLxfxLxf
ji
j
ijj
ixx
xxxL
3
0
)(
31
3
21
2
01
01 )(
xx
xx
xx
xx
xx
xxxL
32
3
12
1
02
02 )(
xx
xx
xx
xx
xx
xxxL
23
2
13
1
03
03 )(
xx
xx
xx
xx
xx
xxxL