señales digitales

Tratamiento Digital de la Señal de Voz, Curso 2010/2011. Tratamiento Digital de la Señal 1/138

Tratamiento Digital de la Señal

Rafael Martínez OlallaGrupo de Informática Aplicada al Procesamiento de Señal e Imagen (GIAPSI)

Universidad Politécnica de Madrid, Campus de Montegancedo, s/n, 28660 Boadilla del Monte, Madrid, Spain

e-mail: [email protected]

2/138Tratamiento Digital de la Señal de Voz, Curso 2010/2011. Tratamiento Digital de la Señal


1. Técnicas de procesado de señal2. Señales y sistemas

Definiciones básicasPropiedades de los sistemasRepresentación de señales en términos de impulsos

3. Transformada de Laplace4. Introducción al análisis de Fourier

Perspectiva HistóricaConceptos básicosRespuesta de sistemas LTI a exponenciales complejasRepresentación de señales periódicas en tiempo continuoGeneralización para señales aperiódicasRepresentación de señales discretas


5. Paso del mundo continuo al discreto (Muestreo)Ejemplos cotidianosTeorema de muestreoEsquema de un sistema digital

6. Transformada Z7. DFT8. Filtrado básico



Técnicas de Procesado de Señal


Técnicas de procesado de señal

FiltradoAnálisisClasificación


Filtrado (I)

Filtros fijosF P Bajo, F P Banda, F P Alto, F Banda EliminadaAplicaciones sencillas:

DiferenciadoresIntegradoresFiltros de nuloMedia móvilSuavizadoFiltros en peineetc.

• Técnicas de procesado de señal• Señales y sistemas• Transformada de Laplace• Introducción al análisis de Fourier• Muestreo• Transformada Z• DFT• Filtrado básico


Filtrado (II)

Filtros adaptativosSe pueden clasificar de diversos modos, atendiendo a:

Su estructura (transversales, celosías)Algoritmos de actualización de los pesos (gradiente, mínimos cuadrados)Dominio de filtrado (tiempo, frecuencia)etc



Filtrado (III)

Aplicaciones del filtrado adaptativo:Identificación de sistemas (modelo en capas de la tierra, modelo del tracto vocal, etc.)Modelado inverso (deconvolución predictiva, ecualización adaptativa -cancelación de los efectos del canal en transmisión-)Predicción (LPC, ADPCM, análisis espectral, detección de señal)Cancelación de interferencias (ECG fetal, interferencia de red, cancelación de ruido, cancelación de eco, antenas adaptativas, dirección de baterías de artillería)



Análisis

AutocorrelaciónBancos de filtrosMétodos transformacionales

FourierCepstrumWavelets

Métodos paramétricosModelo autorregresivo (predicción lineal)

Métodos para hallarlo: (autocorrelación, covarianza, filtros en celosía, filtros adaptativos)



Clasificación , Codificación, Compresión

Codificación reversible / irreversibleDigitalización => pérdidaCodificación por forma de onda (PCM, DPCM, ADPCM)Codificación en subbandasCodificación LPCCodificación mediante WaveletsRedes neuronalesCuantificación vectorial



Señales y Sistemas


2. Señales y sistemas

DefinicionesSeñales útilesPropiedades de los sistemasRepresentación de señales en términos de impulsos: convolución

Pulmones

Diafragma

Generador

Filtro acústico

Cavidad faríngea

Cavidad oral (modificada por los

órganos articulatorios)

Cavidad nasal

Cuerdas vocales

Laringe

Tráquea

Velo

Señal acústica de salida


Definición de señalAmplitud

tiempo

Señal de electrocardiograma

Señal: función de una o más variables independientes

Contiene información acerca de fenómenos físicos



E s t o e s u n a s e ñ a l de v o z

Definición de señal• Técnicas de procesado de señal• Señales y sistemas• Transformada de Laplace• Introducción al análisis de Fourier• Muestreo• Transformada Z• DFT• Filtrado básico


11 kHz

0 kHz0 s 3 s e s t o e s u n a s e ñ a l d e v o z


Definición de señal


Tono fundamental Formantes

Espectro de la vocal /i/ pronunciada por un hablante masculino


Definición de señal


Definición de sistema

Oído externo Oído medio Oído Interno

Pabellón auditivo Canal auditivo

Trompa de Eustaquio

Tímpano

Ventana oval

Ventana redonda

Membrana basilar

Cadena de huesecillos

Fibras del nervio auditivo

Cóclea (desenrollada)

Altas frecuencias Bajas frecuencias

Resonancia en la membrana

Sistema: proceso que produce transformación de señales




Señal de entrada Sistema

Oído externo

Señal de salida

Onda de presión acústica

Movimiento del tímpano

(a)

Oído medio

Movimiento de la

ventana oval

Señal de entrada Sistema Señal de

salida

Movimiento del tímpano

(b)

Movimiento de la

ventana oval


salida

Conjunto ventana oval

fluido endolinfático

Onda de presión en el fluido

(c)

Membrana basilar


salida Onda de presión

en el fluido

(d)

Resonancia de la membrana

Células del órgano de Corti


salida

Impulso eléctrico al cerebro

(e)

Resonancia de la membrana



Pulmones

Diafragma

Generador

Filtro acústico

Cavidad faríngea

Cavidad oral (modificada por los

órganos articulatorios)

Cavidad nasal

Cuerdas vocales

Laringe

Tráquea

Velo

Señal acústica de salida




Tren de impulsos

Ruido aleatorio

Periodo del pitch

Amplitud

Filtro digital H(z)

Señal de voz

|H(Ω)|

Ω π




Excitación Filtro del tracto vocal

Señal de voz

Pulsos glotales tiempo

ampl

itud

Respuesta al impulso del tracto vocal

tiempo

ampl

itud

Voz tiempo

ampl

itud

Excitación sonora frecuencia

ampl

itud

Espectro de un pulso

(a)

(b)

(c)

frecuencia am

plitu

d

Voz frecuencia

ampl

itud

Respuesta del tracto vocal

Formantes




Definiciones

Señal: Función de una o mas variables independientes (Contienen información de fenómenos físicos)

Señales tiempo continuo x(t)Señales tiempo discreto x[n]

Sistema: Cualquier proceso que produce transformación de señalesTiempo continuoTiempo discreto



Tiempo continuo / tiempo discreto

yxSistema yx

t

x(t)

y(t)x(t) Sistemade

tiempocontinuo

y(t)x(t)

n

x[n]

..... ........... 2, 1.8, 0.8, -0.7, 2.5, -0.8, 1.5, 1.5, 1.5, .......

n=0

(a) (b)

y[n]x[n] Sistemade

tiempodiscreto

y[n]x[n]


Sistema de tiempo continuo

Sistema de tiempo discreto


Transformaciones de la variable independiente

t

x(t)

t

x(t-t0)

t0 t

x(t+t0)

-t0

n

x[n] x[n-n0]

n0

..... .....

n

..... .....

x[n+n0]

-n0 n

..... .....

t

x(t)

t

x(-t)

t

x(t)

t

x(2t)

t

x(t/2)

Desplazamiento temporal

Inversión temporal

Escalado



Dada la señal x(t) de la figura, representar:(a) x(t+1), (b) x(t-1), (c) x(-t+1), (d) x(-t-1), (e) x(2t), (f) x(t/2) y (g) x(2t+1)


Transformaciones de la variable independiente

t

x(t)

1

-1 1 t

x(t+1)

1

-2 -1 t

x(t-1)

1

21

t

x(-t+1)

1

21 t

x(-t-1)

1

-2 -1t

x(2t)

1

-1/2 1/2

t

x(t/2)

1

-2 2 t

x(2t+1)

1

-1 -1/2


Propiedades de simetría y periodicidad

t

x(t)

t

x(t)

t

x(t)

............

T 2T-T-2T-3T n

x[n]

..... .....

N 2N-N-2N

Señal par Señal impar

Señal periódica



Señales útiles –Señal sinusoidal


0 π/2ω

-1

-0.5

0

0.5

1

t π/ω 3π/2ω 2π/ω −2π/ω −3π/2ω −π/ω −π/2ω

sen(ωt)

cos(ωt)

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

-1

-0.5

0

0.5

1ϕ /ω

t

sen(2πt)

sen(2πt+ϕ)


Señales útiles -exponencial compleja de

tiempo continuo

Eje real

Eje imaginario

Plano α

Exponencialesreales crecientes

Exponenciales realesdecrecientes

Exponencialescomplejasperiódicas

Cualquier lugar del plano αdistinto de los ejes: producto deexponencial real por exponencialcompleja periódica (combinaciónde sinusoides amortiguadas)

t

x(t)

K

t

x(t)

K Keαt Keαt K > 0 α > 0

K > 0 α < 0

tKetx α=)(


Exponenciales reales


00.5

11.5

2-1 -0.5 0 0.5 1

-j

-0.5j

0

0.5j

j

Eje imaginario

Eje real

tiempo

ej2πt


tiempo continuotjetx 0)( ω=



Eje real

Ejeimaginario

Eje detiempos

Envolventeexponencial

(eσt)

Fase inicial ϕ


tiempo continuo

⎪⎩

⎪⎨⎧

+=

=

0ωσα

ϕ

jeKK j ( ) ( )

( ) ( )[ ]ϕωϕωσ

ϕωσωσϕα

+++=

=== ++

tjsenteKtx

eeKeeKKetxt

tjttjjt

00cos)(

)( 00


tKetx α=)(


Señales útiles –función sinc


( ) ( )πϑ

πϑϑ sen=sinc

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5-5

sen(πϑ)

ϑ

(a)

-4 -3 -2 -1

1 2 3 4 5

-3

-2

-1

1

2

3

-5

1/πϑ

ϑ

(b)

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

1

-5

sinc(ϑ)

ϑ

(c)


Eje real

Eje imaginario

Plano α

Exponencialesreales

Exponenciales complejasrelacionadas con señales

sinusoidales Circunferencia unidad

n

..........

(a)

n

..........

(b)

n

..... .....

(c)

n

..... .....

(d)

n

..........

(e)1

n

..........

(f)

Señales útiles - exponencial compleja de tiempo discreto

[ ] nKnx α=

Exponenciales reales: (a) a >1, (b) 0<a<1, (c) -1<a<0, (d) a<-1, (e) a=1, (f) a=-1



0

-1 -0.5 0 0.5 1

-j

-0.5j

0

0.5j

j

Eje imaginario

Eje real

n

ejnπ/4

1 23 4 5 6 7

8

(a)

0

-1 -0.5 0 0.5 1

-j

-0.5j

0

0.5j

j

Eje imaginario

Eje real

n

ejnπ/2

1 2 3 45 6 7

8

(b)

0

-1 -0.5 0 0.5 1

-j

-0.5j

0

0.5j

j

Eje imaginario

Eje real

n

ejnπ

1 2 3 45 6

7 8

(c)

0

-1 -0.5 0 0.5 1

-j

-0.5j

0

0.5j

j

Eje imaginario

Eje real

n

ejn3π/2

1 23

45 6

7 8

(d)

0

-1 -0.5 0 0.5 1

-j

-0.5j

0

0.5j

j

Eje imaginario

Eje real

n

ejn7π/4

12 3

4 5 6 7 8

(e)

0

-1 -0.5 0 0.5 1

-j

-0.5j

0

0.5j

j

Eje imaginario

Eje real

n

ejk2πn

1 2 3 4 5 6 7 8

(f)

Señales útiles - exponencial compleja de tiempo discreto



Interconexión de sistemas• Técnicas de procesado de señal• Señales y sistemas• Transformada de Laplace• Introducción al análisis de Fourier• Muestreo• Transformada Z• DFT• Filtrado básico

yxSistema 1

zSistema 2

yx

Sistema 1

Sistema 2

yxSistema 1

Sistema 2

Serie o cascada

Paralelo

Con realimentación


Propiedades de los sistemas

Memoria: (sin memoria => la salida en un instante depende de la entrada en ese instante)

Ej. sin mem: Multiplicar la entrada por dos.Invertibilidad: (Entradas distintas producen salidas distintas)

Ej. Aplicaciones de restauración de señal, ecualización de canal, filtrado inverso.

Causalidad: (La salida no depende de entradas futuras)Los sistemas “físicos son causales”


t[ ] [ ]∑

−=

++

=N

Nkknx

Nny

121

Ej: Filtro de media móvil no causal


Propiedades de los sistemas

Estabilidad: (Entradas acotadas producen salidas acotadas)

Invarianza: (Un desplazamiento en la entrada produce el mismo desplazamiento en la salida)

Linealidad: (Una combinación lineal de entradas produce la misma combinación lineal de salidas)

Son muy importantes los sistemas lineales invariantes


(a) (b)

x(t)

y(t)

x(t)

y(t)a) Sistema estableb) Sistema no estable

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( )012

202

11

Invarianza ttytytyttxtxtytxtx

−=⇔→−=→= [ ] [ ] [ ]

[ ] [ ] [ ][ ] [ ]012

202

11

Invarianza nnynynynnxnxnynxnx

−=⇔→−=→=

)()()()(

22

11

tytxtytx

→→

)()()()()()( 213213 tbytaytytbxtaxtx +=→+=


Representación de señales en términos de impulsos

Función Impulso unidad

Función Escalón unidad

δ[n]

0

δ[n-1]

0

[ ]⎩⎨⎧

≠=

=0001

nn

nδ

u[n]

0

[ ]⎩⎨⎧

<≥

=0001

nn

nu

u[n-1]

0



Caso discreto

δ[n]

0

δ[n-1]

0

0

x[n]

x[−3]δ[n+3]

x[−2]δ[n+2]

x[−1]δ[n+1]

x[0]δ[n]

x[1]δ[n-1]

x[2]δ[n-2]

x[3]δ[n-3]

[ ] [ ] [ ]knkxnxk

−= ∑∞

−∞=

δ

Representación de señales en términos de impulsos


39/92

Suma de convoluciónSi tenemos sistema lineal invariante:

[ ] [ ] [ ]knhkxnyk

−= ∑∞

−∞=

[ ] [ ] [ ]knkxnxk

−= ∑∞

−∞=

δ


y[n]x[n] SistemaLI de

tiempodiscreto

h[n]δ[n]

h[n-n0]δ[n-n0]

h[n]+h[n-n0]δ[n]+δ[n-n0]

0 0

δ[n] h[n]

0 0

δ[n-n0] h[n-n0]

n0 n0

0 0

δ[n]+δ[n-n0] h[n]+h[n-n0]

n0

(a) (b)


Extensión a sistemas continuos

¿Cuál es la derivada de una función escalón continua?

Función delta de Dirac

x(t)

0

1

dttdut )()( =δ


(a)

tΔ/2

uΔ(t)

1

−Δ/2

(b)

tΔ/2

δΔ(t)1/Δ

−Δ/2


⎩⎨⎧ Δ≤≤Δ

=Δ restot

t0

0/1)(δ

1)( =Δ Δ tδ

∑∞

−∞=Δ ΔΔ−Δ=

kktkxtx )()()(ˆ δ

∑∞

−∞=Δ→Δ

ΔΔ−Δ=k

ktkxlimtx )()()(0

δ

( ) ( ) ττδτ dtxtx −= ∫∞

∞−)(

Representación de una señal con funciones delta


t

x(t)

x(0) x(-Δ)

x(Δ) x(2Δ)

Δ 2Δ -Δ 0 kΔ

x(kΔ) (b)

Δx(0)δΔ(t)

Δx(kΔ)δΔ(t- kΔ) x(t)

(a)

Δ 0

1/Δ

δΔ(t)


Integral de convolución

( ) ( ) τττ dthxty −= ∫∞

∞−)(( ) ( ) ττδτ dtxtx −= ∫

∞

∞−)(


y(t)x(t) SistemaLI de

tiempocontinuo

h(t)δ(t)

h(t-t0)δ(t-t0)

h(t)+h(t-t0)δ(t)+δ(t-t0)

0 0

0 0t0 t0

0 0t0

(a) (b)δ(t)

δ(t-t0)

δ(t)+δ(t-t0)

h(t)

h(t-t0)

h(t)+h(t-t0)


Transformada de Laplace


3. Transformada de Laplace

TL: representación de señales como combinación lineal de exponenciales complejas de la forma est

s = σ + jωConcepto de región de convergenciaTransformada de Laplace Racional


Pierre Simón Laplace23 de marzo de 1749 – 5 de mayo de 1827Probabilidad de que el sol salga por el horizonte = (d+1)/(d+2)Defensor del determinismo causalCon 18 años viaja a París para presentarse a D’Alambert. Tras un primer intento infructuoso decide escribir una disertación sobre los principios de la mecánica: resultado, D’Alambert le consiguió una plaza de profesor de matemáticas en al escuela militar de París.“Tratado de la mecánica celeste”. Presentación a Napoleón:

Monsieur Laplace, me cuentan que ha escrito usted este gran libro sobre el sistema del universo, sin haber mencionado ni una sola vez a su creador." A lo que Laplace contestó "Sire, nunca he necesitado esa hipótesis.“

Newton 100 años antes al modelar el funcionamiento del sistema solar mediante su ley de gravitación no fue capaz de explicar ciertas irregularidades aparentes que se deberían producir en la órbitas de algunos planetas. Newton aludía a la mediación divina para que el sistema siguiese funcionando.Comentario de Lagrange: "Pues es una bella hipótesis. Explica muchas cosas."



Representación de señales mediante exponenciales

complejasBuscamos representar señales como combinación lineal de señales básicas que tengan 2 propiedades:

Que con ellas se pueda construir una amplia clase de señalesQue la respuesta del sistema LTI a cada señal sea lo suficientemente simple.

est exponencial compleja en el caso continuo. zn exponencial compleja en el caso discreto.

( ) ( ) τττ dthxty −= ∫∞

∞−)(

stetx =)( ( ) ∫∫∞

∞−

−−∞

∞−== ττττ ττ dehedehty sstts )()( )(

∫∞

∞−

−= ττ τ dehsH s)()( )()( sHety st=

x(t) y (t) = x(t)*h(t)h(t)



Transformada de Laplace racional

X(s) = N(s) / D(s)X(S) racional cuando

x(t) sea c.l. De exponencialesEn sistemas LTI especificados mediante ec. dif. lin de coef. ctes.

Importancia de las raices de numerador y denominador: diagrama de polos y ceros.



Ejemplos de transformadas de Laplace racionales

Filtro paso bajo de primer orden H(s) = H0ωc / (s+ωc)Filtro paso bajo de segundo orden H(s) = H0 / (s2+as+b)Filtro paso alto de primer orden H(s) = H0s / (s+ωc)Filtro paso alto de segundo orden H(s) = H0s2 / (s2+as+b)Filtro paso banda H(s) = as / (s2+bs+c)



Transformada de Fourier


4. Introducción al análisis de Fourier

Perspectiva históricaFenómenos periódicosExperimento de FourierDescomposición de señalesExponenciales complejas


Perspectiva históricaAntecedentes

Babilonios: Uso de series trigonométricas para describir fenómenos periódicos1748 Euler: estudio de cuerdas vibrantes.

¿Sirve esta representación para alguna señal mas?

.......



Perspectiva histórica

Mecanismo de Antikythera:Construido en Rodas 80 aC.Cálculo astronómicoSimulación del movimiento del sol, la luna y varios planetas. Primera computadora.Rueda Luna – Sol.

Relación de velocidades : 13,36842Relación astronómica: 13,368267



Mecanismo de Antikythera• Técnicas de procesado de señal• Señales y sistemas• Transformada de Laplace• Introducción al análisis de Fourier• Muestreo• Transformada Z• DFT• Filtrado básico


Perspectiva histórica

1753 Bernoulli: Todos los movimientos físicos de una cuerda se pueden representar por combinación lineal de modos normales1759 Lagrange critica el uso de series trigonométricas el el estudio de cuerdas vibrantes.1768 nace Fourier.

Vida Política agitada.1798 Expedición a Egipto.1802 – 1815 prefecto de Isère.Estudio de fenómenos de propagación y difusión del calor.1807 finaliza su trabajo.Series de sinusoides armónicamente relacionadas pueden representar cualquier serie periódicaJustificación teórica Dirichlet 1829.Representación de señales aperiódicas como integrales ponderadas de sinusoides que no está armónicamente relacionadas.1807 presenta un papel que es revisado por Monge, Lacroix, Laplace y Lagrange.1822 Teoría analítica del calor.



Perspectiva históricaOrdenador de las mareas de Lord Kelvin. 1876Analizador armónico de Michelson.Otro resultado importante de Michelson no tan relacionado: medición de la velocidad de la luz



Fenómenos de carácter periódico

Movimiento de los planetasClima terrestreFuentes alternasOlas del océano

Signals and Systems [Oppenheim]



Experimento de Fourier: Temperatura a lo largo de una

anilla


180º

0º

270º90º

0 60 120 180 240 300 360

Aproximación mediantefunciones sinusoidales

Distribución detemperatura

Temperatura

Ángulo de la anilla

64/138Tratamiento Digital de la Señal de Voz, Curso 2010/2011. Tratamiento Digital de la Señal64[Revista Investigación y Ciencia]

Experimento de Fourier: Temperatura a lo largo de una anilla


Descomposición de una onda cuadrada periódica

(a)

(b)

(c)

(d)

(e)

(f)

(g)

(h)

(i)



Sonido de una cuerda de guitarra

tiempo (s) frecuencia (Hz)

amplitud (dB)

frecuenciafundamental

segundoarmónico

ruido de fondo

.......


67/138Tratamiento Digital de la Señal de Voz, Curso 2010/2011. Tratamiento Digital de la Señal67

Sonido de una cuerda de guitarra


Vocales españolas: voz femenina


Vocales españolas: voz masculina

73/92

Exponencial compleja

x(t) = ejω0t

Según aumenta ω0, aumenta la velocidad de oscilaciónEs periódica para cualquier valor de ω0Es autofunción respecto de los sistemas lineales invariantesVa a servirnos de base para la descomposición de funciones (TF y DSF)

00.5

11.5

2-1 -0.5 0 0.5 1

-j

-0.5j

0

0.5j

j

Eje imaginario

Eje real

tiempo

ej2πt



Respuesta de sistemas LTI a exponenciales complejas

La representación y análisis de sistemas LTI Con la suma de convolución se basa en representar la señal como combinación lineal de impulsos desplazados.Buscamos una representación alternativa para señales y sistemas LTI.Usaremos exponenciales complejas: Series y transformadas de Fourier.Debido a la propiedad de superposición, la respuesta de un sistema LTI a cualquier entrada que consista en una combinación lineal de señales básicas, será combinación lineal de las respuesta a esas señales básicas.La respuesta de un sistema LTI a exponenciales complejas tiene una forma particularmente simple.



Representación de señales mediante exponenciales

complejasBuscamos representar señales como combinación lineal de señales básicas que tengan 2 propiedades:

Que con ellas se pueda construir una amplia clase de señalesQue la respuesta del sistema LTI a cada señal sea lo suficientemente simple.

est exponencial compleja en el caso continuo. zn exponencial compleja en el caso discreto.

x(t) y (t) = x(t)*h(t)h(t) ( ) ( ) τττ dthxty −= ∫∞

∞−)(

stetx =)( ( ) ∫∫∞

∞−

−−∞

∞−== ττττ ττ dehedehty sstts )()( )(

∫∞

∞−

−= ττ τ dehsH s)()( )()( sHety st=



Representación de señales periódicas en tiempo continuo

x(t) = x(t+T) T periodo fundamentalω0 = 2π/T frecuencia fundamental

∑∞

−∞=

=k

tjkkeatx 0)( ω ( ) dtetx

Ta tjkT

k0

0

00

1 ω−∫=



TF en tiempo continuo

∑∞

−∞=

=k

tjkkeatx 0)( ω

( ) dtetxT

a tjkT

k0

0

00

1 ω−∫=

SEÑALES PERIÓDICAS (DSF)

( ) ωωπ

ω dejXtx tj∫∞

∞−=

21)(

( ) dtetxjX tjωω −∞

∞−∫=)(

SEÑALES APERIÓDICAS (TF)

La señal a analizar es una señal de tiempo continuo



0 tT1-T1 T=4T1 3T

x(t)

....1

2T 4T-2T-3T-4T -T

....

(a)

k

........

(b)

0 5 10 15 20-20 -15 -10 -5

1/2 a0

a1

ak

ω

ak

........

(c)

0 5ω0

1/2

ω0 2ω0=π/T1-5ω0 −ω0-2ω0-4ω0 4ω0

a1

a2

a3

3ω0

a-1

a0

TF en tiempo continuo• Técnicas de procesado de señal• Señales y sistemas• Transformada de Laplace• Introducción al análisis de Fourier• Muestreo• Transformada Z• DFT• Filtrado básico


TF en tiempo continuo • Técnicas de procesado de señal• Señales y sistemas• Transformada de Laplace• Introducción al análisis de Fourier• Muestreo• Transformada Z• DFT• Filtrado básico

0 tT1-T1 T=8T1

x(t)

....1

2T-T-2T

....

(a)

k

........

(b)

0

5

10 15 20

1/4 a0a1

ak

-5

-10-15-20

........

(c) 1/4 a0 a1ak

0 ωω0 2ω0−ω0-2ω0 3ω0

4ω0=π/T1a2


TF en tiempo continuo• Técnicas de procesado de señal• Señales y sistemas• Transformada de Laplace• Introducción al análisis de Fourier• Muestreo• Transformada Z• DFT• Filtrado básico

0 tT1-T1

x(t)

....1

T=16T1-T

....

(a)

k

........

(b)

0 5 10 15 20

1/8a0 a1

ak

-5-10-15-20

........

(c)1/8

a0 a1ak

0 ωω0−ω0-8ω0

8ω0=π/T1

( ) ωωπ

ω dejXtx tj∫∞

∞−=

21)( ( ) dtetxjX tjωω −∞

∞−∫=)(


Análisis de Fourier en tiempo discreto

∑∞

−∞=

−=k

knxkhny ][][][

njenx 0][ Ω=

∑∞

−∞=

Ω−=Ωk

kjekhH 0][)( 0

x[n] y [n]h[n]

∑∑∞

−∞=

Ω−Ω∞

−∞=

−Ω ==k

kjnj

k

knj ekheekhny 000 ][][][ )(

)(][ 00 Ω= Ω Heny nj



• x[n] = kαn k,α complejos• Caso de interés: k = 1, α = ejΩ0

• ejΩ0n = cosΩ0n + j senΩ0n • ej(Ω0+2π)n = ej2πn ejΩ0n = ejΩ0n

• Es decir, en el caso discreto la señal de frecuencia Ω0 es idéntica a las señales con frecuencias Ω0±2π, Ω0±4π, etc

Secuencia exponencial compleja



Secuencia exponencial compleja

Conclusión: en el caso de exponenciales complejas discretas basta considerar un intervalo de frecuencias de 2π

Dada la periodicidad de la fórmula ej(Ω0+2π)n = ej2πnejΩ0n = ejΩ0n , la secuencia exponencial compleja no tiene una tasa de oscilación que se incremente con Ω0

Las señales oscilan mas y mas rápido según nos aproximamos a valores de Ω0 próximos a πEn π se produce la máxima velocidad de oscilación Al sobrepasar π y acercarnos a 2π, decrece la velocidad de oscilación



Condición de periodicidad de la secuencia

exponencial compleja

Para que esta señal sea periódica de periodo N > 0:

Es decir, Ω0/2π debe ser racionalejΩ0(n+N) = ejΩ0n => ejΩ0n =1 => Ω0n = m2π




Desarrollo de Fourier en tiempo discreto como representación de señales periódicas

Representación en series de Fourier de una señal periódica en tiempo discreto -> serie finita

Conjunto de exponenciales complejas periódicas de periodo N:

φk[n] = ejkΩ0n = ejk(2π/N)n , k = 0, ±1, ±2,...




Sólo existen N señales distintas en el conjunto anterior (Exponenciales complejas que difieren en 2π son iguales)

Podemos representar secuencias periódicas como combinaciones lineales de las secuencias φk[n] .

φk[n] = φk+rN[n]




∑ ∑∑>=< >=<

Ω

>=<

===Nk Nk

nNjkk

njkk

Nkkk eaeananx )/2(0][][ πφ

nNjk

Nn

njk

Nnk enx

Nenx

Na )/2(][1][1

0 πω −

>=<

−

>=<∑∑ ==

∫ ΩΩ= Ω

ππ 2)(

21][ deXnx nj

∑∞

−∞=

Ω−=Ωn

njenxX ][)(

SEÑALES PERIÓDICAS (DSF) SEÑALES APERIÓDICAS (TF)



Propiedades de la transformada de Fourier

Linealidad ax[n] + b y[n] <-> a X(Ω) + bX(Ω)Desplazamiento en el tiempo x[n-n0] <-> e-jΩn0X(Ω)Desplazamiento en frecuencia x[n]ejΩ0n <-> X(Ω−Ω0)Convolución x[n]*y[n] <-> X(Ω) Y(Ω)Multiplicación x[n] y[n] <-> 1/2π X(Ω)*Y(Ω)Relación de Parseval (Potencia tiempo = 1/2π potencia en frecuencia)



Función de transferencia de un sistema

Es la transformada de Fourier de la respuesta al impulso de dicho sistemaTiempo: y(t) = x(t)* h(t)Frecuencia: Y(w) = X(ω) H(ω) Estudio de sistemas en el dominio de la frecuencia supone una gran simplicidad respecto al dominio del tiempo.

h(t) H(ω)x(t) y(t)



Muestreo


5. MUESTREO

• Paso mundo continuo -> mundo discreto (Muestreo)

• Esquema de muestreo• Teorema de muestreo• Aliasing.


MUESTREO

• Una señal continua puede ser recuperada a partir de sus muestras si se cumplen ciertas condiciones

• Ejemplos de muestreo en la vida real:• Música digital• Cine• Revista con imágenes

• El muestreo sirve de puente entre señales en tiempo continuo y discreto

• Representar señales continuas mediante señales en tiempo discreto facilita el procesado de la señal



Representación de una señal continua por sus muestras

Si no establecemos otras condiciones, no se puede establecer una relación unívoca entre una señal y un conjunto de muestras equiespaciadasUn nº infinito de señales puede originar una serie dada de muestras¿No podemos representar pues una señal mediante sus muestras?




(Condiciones)

Si una señal esta limitada en banda (TF = 0 fuera de una determinada banda de frecuencias)Y si las muestras están tomadas lo suficientemente juntas en relación a la máxima frecuencia de la señalEntonces podemos asegurar que existe una relación unívoca entre esa señal y sus muestras



Muestreo con un tren de impulsos

Para muestrear una señal continua la multiplicamos por un tren de impulsos periódico.

El tren de impulsos es la función de muestreo, el periodo T, el periodo de muestreo y la frecuencia fundamental de p(t), ωs = 2π/T, la frecuencia de muestreo

xp(t) = x(t)p(t) ∑∞

−∞=

−=n

nTttp )()( δ

∑∞

−∞=

−=k

skT

P )(1)( ωωδω



Esquema de muestreo (Dominio del Tiempo)

T t

x(t)

t

2T0-T

p(t)

... ...

xp(t)

... ...

T t0-T

( )∑∞

−∞=

−=k

kTttp δ)(

)(tx ( ) ( ) ( )tptxtxp =



Esquema de muestreo (Dominio de la frecuencia)

T t

t

2T0-T

... ...

... ...

T t0-T

ω

ω

ω0=2π/T0-ω0

... ...

... ...

ω

π21

(a) (b)

-ω0 ω0

-ωm ωm

-ωm ωm

1

1 2π/T

1/T

x(t)

p(t)

xp(t)

X(ω)

P(ω)

Xp(ω)




Aliasing

(a)

(b)


Esquema de muestreo (Dominio de la frecuencia)

ω

ω

ω0=2π/T0-ω0

... ...

... ...

ω

π21

(b)

-ω0 ω0

-ωm ωm

-ωm ωm

2π/T

1/T

X(ω)

P(ω)

Xp(ω)

ω

ω

ω0=2π/T0-ω0

... ...

... ...

ω

π21

(a)

-ω0 ω0

-ωm ωm

-ωm ωm

2π/T

1/T

X(ω)

P(ω)

Xp(ω)



Conversión analógico -digital

x(t)

t

T t2T0-T

p(t)

... ...

xp(t)

... ...

T t0-T n

x[n]

...

10-1 2

...

Conversión detren de impulsos

a secuencia

x[n]x(t)

p(t)

xp(t)

Conversoranalógico digital



Procesado digital de señales analógicas

A/Dx(t) x[n]

D/Ay(t)

Procesadodigital

y[n]

x(t)

t

xp(t)

... ...

T t0-Tn

x[n]

...

10-1 2

...

Conversión desecuencia a tren

de impulsos

x[n] x(t)xp(t)

Sistema de reconstrucción ideal

Filtro ideal dereconstrucción



Filtro de reconstrucción

... ...

ω-ωs ωs-ωm ωm

1/T

Xp(ω)

ω

T

H(ω)

ω-ωm ωm

1

X(ω)

-ωc ωcXp(ω)

h(t)xp(t) xp(t)*h(t)

H(ω)

Xp(ω)H(ω)



Muestreo (Conclusiones)

Si x(t) es una señal limitada en banda (si no lo es habrá que limitarla). Entonces x(t) está unívocamente determinada por sus muestras x(nT), n = 0, ±1, ±2, .. Si

La frecuencia 2 ωm es la frecuencia de Nyquist

ωs > 2ωm



Transformada Discreta de Fourier


7. Transformada discreta de Fourier

Representación práctica del espectro de las señales (DFT)Relación DFT TF señales en tiempo discreto. Razonamiento de la suficiencia de la representaciónAnálisis de Fourier a corto plazoFunciones de ventanaParametrización de señales


DFT

Objetivo: pasar del dominio del tiempo al dominio de la frecuencia.Medios: un sistema digital.Restricciones: señal de entrada discreta y señal de salida discreta.Herramienta: análisis de Fourier



Candidata: Transformada de Fourier para señales de tiempo discreto.


( ) [ ]∑∞

−∞=

Ω−=Ωn

njenxX

[ ] ( )∫ ΩΩ= Ω

ππ 221 deXnx nj

¡¡¡ La variable Ω es continua!!!

DFT


Solución: sólo el DSF para señales de tiempo discreto da lugar a señales de variable independiente discreta.Implicación: implícitamente se supone que la señal es periódica y que se dispone de un periodo de esa señal.Resultado: obtención de valores de la transformada de Fourier a intervalos regulares en frecuencia.


[ ] [ ] [ ]∑∑−

=

Ω−−

=

−==

1

0

1

0

20

N

n

njkN

n

nN

jkenxenxkX

π

[ ] [ ] [ ]∑∑=

Ω−

=

==Nk

njkN

k

nN

jkekX

NekX

Nnx 0

11 1

0

2π

DFT


Señales estacionarias a corto plazo.Necesidad de segmentarAnálisis de Fourier “por trozos”Efecto de la segmentaciónUtilización de funciones de ventanaCompromiso ancho del lóbulo principal versus altura de los lóbulos secundarios.

Análisis de Fourier a corto plazo




0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 5000

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 5000

2

4

6

8

10

12

14

Análisis de Fourier a corto plazo


Funciones de ventana -rectangular


Funciones de ventana - bartlett



Funciones de ventana - hamming



Funciones de ventana - hanning



Funciones de ventana - blackman



Funciones de ventana -comparación


0 5 10 15 20 25 300

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Funciones de ventana

RectangularTriangularHammingHanningBackman




-300 -200 -100 0 100 200 300-100

-90

-80

-70

-60

-50

-40

-30

-20

-10

0Funciones de ventana

RectangularTriangularHammingHanningBackman


Parametrizador

Banco de filtros digitales

Transformada de Fourier

Predicción lineal

Estimación de Energía

Banco de Filtros

Cepstrum

Banco de Filtros

Cepstrum

Traza de Voz

Amplitudes del Banco de Filtros

Amplitudes del Banco de Filtros derivadas

de la T.F.

Coeficientes Cepstrales derivados

de la T.F.

Coeficientes de P. L.

Amplitudes del Banco de Filtros derivadas de Predicción Lineal

Coeficientes Cepstrales derivados de Predicción Lineal



ParametrizadorPreénfasis y enventanado

DFT

Banco de Filtros Mel

Log|.|

IDFT

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 5000

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

-1 -0.5 0 0.5 1-1

-0.8-0.6-0.4-0.2

00.20.40.60.8

1

Parte Real

Par

te Im

agin

aria

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 5000

2

4

6

8

10

12

14

Espectro

Espectro Mel

Mel Cepstrum

f (kHz)541 2 3

Hk(ω)

( ) ( )∑=ω

ωω kHYkE )(Energía a la salida del filtro k-ésimo (k = 1,2,..., NB)

( ))(log)(~ kEkE =

( )Ec ~DCT=

Log-espectro Mel

sβ



Transformada z


Generalización de la transformada de Fourier para tiempo discreto.Exponenciales complejas discretas -> autofunciones de los sistemas LTIDefinición de la transformada zConcepto de región de convergenciaRelación Transformada de Fourier en tiempo discreto / TZ

6. Transformada z• Técnicas de procesado de señal• Señales y sistemas• Transformada de Laplace• Introducción al análisis de Fourier• Muestreo• Transformada Z• DFT• Filtrado básico


Transformada zAnálisis de sistemas de tiempo discretoConcepto de diagramas de polos y ceros Relación con respuesta en frecuenciaFiltrado digital

Ω = 0f = 0 Hz

Ω = 0f = 0 Hz

Ω = πf = fs/2 Hz

Ω = πf = fs/2 Hz


Transformada z

∑∞

−∞=

−=k

knxkhny ][][][nznx 0][ =

∑∞

−∞=

−=k

kzkhzH 00 ][)(

x[n] y [n] = x[n]*h[n]h[n]

∑∑∞

−∞=

−∞

−∞=

− ==k

kn

k

kn zkhzzkhny 00)(

0 ][][][

∑∞

−∞=

−=⎯→←n

nTZ znxzXnx ][)(][



Transformada z

Propiedades de la ROC• Anillos• No contiene polos• x(n) duración finita -> ROC plano z

Propiedades (traslación en el tiempo)Análisis de sistemas LTI mediante TZ



Transformada z: relación con la respuesta en frecuencia

Eje real

Eje imaginario

z = 1= ej0

z = j = ejπ/2

z = -1 = ejπ

z = -j = ej3π/2

β

z = ejβ



Eje real

Eje imaginarioZona correspondiente a las altas frecuencias

z = -j = ej3π/2

Zona correspondiente a bajas frecuencias

Ω = π radianes (Corresponde a la mitad de la frecuencia de muestreo)




Vamos a “desdoblar” la circunferencia de radio 1 y a establecer la correspondencia ángulo - frecuencia.

Por supuesto podemos dar todas las vueltas que queramos a la circunferencia, pero volveremos a ver los mismos ángulos y las mismas frecuencias

ángulo (rad)frecuencia

0 π 2π

0 fs/2 fs

fs= frecuencia de muestreo

α

αfs/2π

Sólo tiene sentido físico ese rango de frecuencias




Transformada zPropiedad muy importante: desplazamiento en el tiempoT Z {x[n-no]} = X(z) z-n0

Una forma de expresar un sistema discreto es mediante una ecuación en diferencias. P ej:

En el dominio z tendriamos:

Con lo cual la función de transferencia quedaría:

y[n] = x[n] - x[n-1]

Y(z) = X(z) - X(z)z-1

zz1z1

X(z)Y(z)H(z) 1 −=−== −



Diagrama de polos y

ceros

polo cero

Ángulo de visión de la transparencia siguiente

Zona de frecuencias altas

Zona de frecuencias bajas


Influencia de los polos y cerosDesde esta posición se puede observar que el sistema del ejemplo corresponde a un filtro paso alto


Sistemas definidos mediante ec. en dif. lin. de coef. ctes.

[ ]0nnx − [ ]∑∞

−∞=

−−⎯→←n

nTz znnx 0 [ ]∑∞

−∞=

−−

=−=

k

nn

knnzkx 0

0[ ]∑

∞

−∞=

−−=k

nn zkxz 0 )(0 zXz n−=

[ ] n

nznxzX −

∞

−∞=∑=)(

H(z)X(z) Y(z)=X(z)H(z)Sistema discreto L I:

Ejemplo de sistema definido por ecuación en diferencias:[ ] [ ] [ ] [ ]115.0 −++−= nxnxnyny [ ] [ ] [ ] [ ]115.0 −+=−−⇒ nxnxnyny

Aplicando transformada z:11 )()()(5.0)( −− +=− zzXzXzzYzY

)()()(

zXzYzH =⇒ 1

1

5.011

−

−

−−

=z

z5.0

1−−

=zz

Faltaría por definir la ROC


Diagrama de polos y ceros

5.01)(

−−

=zzzH

0.5 1

Suponiendo por ejemplo sistema estable, la ROC y el diagrama de polos y ceros serían:



Estructuras de filtros digitales

Elementos básicos

Retardos z-1x[n] x[n-1]

Sumas x[n] x[n]+y[n]

y[n]

Escalados x[n] ax[n]a



Filtros FIR[ ] [ ]∑

=

−=M

kk knxbny

0

z-1

z-1

z-1

x[n] y[n]b0

b1

b2

bM-1

bM

x[n-1]

x[n-2]

x[n-M+1]

x[n-M]

y1=0

for(i=0;i<=M;i++)

y1=y1+b[i]x[n-i];

y[n]=y1

for(i=M;i>0;i--)

x[n-i] = x[n-i+1];



Filtros IIR

[ ] [ ]∑∑==

−=−M

kk

N

kk knxbknya

00

z-1

z-1

z-1

x[n] b0

b1

b2

bM-1

bM

x[n-1]

x[n-2]

x[n-M+1]

x[n-M]

y[n]

z-1

z-1

z-1

1/a0

-a1

-a2

-aM-1

-aM

[ ] [ ] [ ]∑∑==

−−−=N

kk

M

kk knyaknxbnya

100



Diseño de filtros digitales

Diseño de filtros IIR basado en técnicas de diseño analógico

Prototipado paso bajoTransformación de frecuenciasTeoría de la aproximación

Diseño de filtros FIRMétodo de la ventanaMétodo del muestreo en frecuencia


señales digitales

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