señales y sistemas de tiempo continuo
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Señales de tiempo continuo
Ing. Armando Cajahuaringa Camaco
FIEE-UNI 2012
Series de Fourier. 17
Ejemplo: ¿Cuál es el período de la función
Solución.- Si f(t) es periódica se debe cumplir:
Pero como se sabe cos(x+2kp)=cos(x) para cualquier entero k, entonces para que se cumpla la igualdad se requiere que
T/3=2k1p, T/4=2k2pEs decir,
T = 6k1 p = 8k2p
Donde k1 y k2 son enteros,
El valor mínimo de T se obtiene con k1=4, k2=3, es decir, T=24p
)?cos()cos(f(t) 4t
3t
)cos()cos(T)f(t 4Tt
3Tt )cos()cos(f(t) 4
t3t
Gráfica de la función
0 50 100 150 200-3
-2
-1
0
1
2
3
f(t)=cos(t/3)+cos(t/4)
t
f(t)
24p
Funciones Periódicas
Funciones PeriódicasPodríamos pensar que cualquier suma de funciones seno y coseno produce una función periódica.
Esto no es así, por ejemplo, consideremos la función
f(t) = cos(w1t)+cos(w2t).
Para que sea periódica se requiere encontrar dos enteros m, n tales que
w1T= 2pm, w2T=2pn
De donde
Es decir, la relación w1/ w2 debe ser un número racional.
n
m
2
1
Funciones Periódicas
Ejemplo: la función cos(3t)+cos(p+3)t no es periódica,
ya que no es un número racional.
3
3
2
1
0 5 10 15 20 25 30-2
-1
0
1
2f(t)=cos(3t)+cos((3+pi)t)
t
f(t)
Propiedades de la función impulso
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)(8) y (9) son una generalización de (7)
∫−∞
+∞
𝜹(𝒏 ) (𝝉 ) 𝒇 (𝝉 )𝒅𝝉=(−𝟏 )𝒏 𝒇 (𝒏 )(𝟎)
Convolucion como operación matemática
Sistemas continuos
Francisco Carlos Calderón
PUJ 2010
Objetivos
Definir las propiedades básicas de los sistemas continuos
Analizar la respuesta en el tiempo de un SLIT continuo
Definición y clasificación Conjunto de componentes físicos (hardware) y/o
algoritmos (software) que calculan la señal de salida de una señal de entrada.
Un sistema esta caracterizado por sus entradas, sus salidas, y las reglas de operación (o leyes) adecuados para describir su comportamiento.
Sistemas en tiempo continuo
tx tyH
)(tx)(tyH
Sistemas en tiempo discreto
][nx ][nyH
Sistemas híbridos o mixtos
][nx ][nyH x t o y t o
Propiedades de los sistemas en tiempo continuo
1) Sistemas lineales y no lineales
Un sistema lineal es aquel que cumple la propiedad de superposición.
1. La respuesta a x2(t)+ x1(t) es y1(t)+ y2(t)
2. La respuesta a
Conocidas como las propiedades de aditividad y escalamiento u homogeneidad
)( es )( 11 taytax
Clasificación de los sistemas en tiempo continuo
Si el sistema es lineal, una entrada que sea cero todo el tiempo resulta en una salida que sea cero todo el tiempo.
0)(0)(00
)()(
tytx
tytx
Sistemas lineales “deben cumplir”
tx1
tx 2
H
H
a
b
a
b
tx1
tx 2
H ty 3
tx 3
Que sean iguales
𝑎 𝑦1 (𝑡 )+𝑏𝑦 2(𝑡)
Clasificación de los sistemas en tiempo continuo2) Sistemas con y sin memoria
Sistema SIN memoria: Es aquel cuya salida para cada valor de la variable independiente en un tiempo dado depende solamente de la entrada en ese mismo momento.
Ej
Si entrada es la salida es: . De donde se aprecia que la salida depende de entradas a tiempos diferentes de t0. Por lo tanto el sistema es Con Memoria.
0tx 00 22 txtx
txtxty 22
Clasificación de los sistemas en tiempo continuo
3) Invertibilidad y sistemas inversos
Sistema Invertible: Si un sistema es invertible debe existir un sistema inverso, tal que al interconectarlo en cascada con el sistema original produce una salida igual a la entrada del primer sistema.
tx tx ty
Clasificación de los sistemas en tiempo continuo
4) Causalidad
Sistema Causal: Si su salida en cualquier instante de tiempo depende sólo de los valores de la entrada en el momento presente y en el pasado. (No-anticipativo).
CAUSAL:
NO-CAUSAL:
txty
txty
Clasificación de los sistemas en tiempo continuo
5) Estabilidad (BIBO)
Sistema Estable: Es aquel que a entradas acotadas produce salidas que no divergen.
ESTABLE: , NO-ESTABLE: ,
Clasificación de los sistemas en tiempo continuo
6) Invariante en el tiempo
Sistema Invariante en el tiempo: Si el comportamiento y características del mismo están fijos en el tiempo.
Sistemas Invariantes “deben cumplir”
tx1 otty 1H 0t
tx1 ty 2H0t tx 2
ty1
Que sean iguales
Sistemas Lineales e invariantes en el tiempo Este tipo de sistemas son conocidos como
SLIT o LTI(ingles). Muchos fenómenos físicos pueden
modelarse mediante estos sistemas. El análisis matemático del comportamiento
de estos sistemas puede desarrollarse a través de procedimientos directos.
anaxannx
x[n] puede escribirse como una suma de impulsos desplazados
k
knkxnx
Dada una señal discreta x[n]
SLIT discretos.Las señales discretas pueden representarse por medio de una secuencia de impulsos, aplicando la propiedad:
...11011... nxnxnxnx
Sistemas Lineales e invariantes en el tiempo continuosSe puede encontrar una caracterización para los SLIT en término de su respuesta al impulso unitario.
k
ktkxtx
k
ktkxlímtx 0
∫
dtxtx
La salida y(t) puede verse como una combinación lineal de respuestas a las señales impulso
)( tH
),( th
Y como mi sistema es invariante en el tiempo se tiene que:
)(),( thth
Sistemas Lineales e invariantes en el tiempo continuos
Este resultado se conoce como la integral de convolución.También representada como:
)()()( thtxty
Un sistema SLIT continuo puede caracterizarse totalmente con la respuesta al impulso.
𝑦 (𝑡 )=∫−∞
∞
𝑥 (𝜏 )h (𝑡−𝜏 )𝑑𝜏
𝑦 (𝑡 )=∫−∞
∞
𝑥 (𝜏 )h (𝑡−𝜏 )𝑑𝜏
Propiedades de los Sistemas Lineales e invariantes en el tiempo
Propiedad distributiva
Propiedades de los Sistemas Lineales e invariantes en el tiempo
Propiedad asociativa
Propiedades de los Sistemas Lineales e invariantes en el tiempo
Propiedad conmutativa
Propiedades de los Sistemas Lineales e invariantes en el tiempo
SLIT con y sin memoria.
Sistema SIN memoria: Es aquel cuya salida para cada valor de la variable independiente en un tiempo dado depende solamente de la entrada en ese mismo momento.
En el caso continuo esto se cumple si:
( ) 0 para t 0h t
( ) ( )y t Kx t
Por lo que la suma de convolución se reduce a:
Donde K=
Propiedades de los Sistemas Lineales e invariantes en el tiempo
Causalidad para los SLIT
Si su salida en cualquier instante de tiempo depende sólo de los valores de la entrada en el momento presente y en el pasado. (No-anticipativo).La respuesta impulso de un SLIT causal discreto, basándose en la definición debe ser de la forma:
( ) 0h t para t < 0 que a su vez implica:
0
( ) ( ) ( )y t x h t d
∫
Invertibilidad de los SLIT
Si el sistema es invertible, posee un sistema inverso, de tal forma que si el sistema es un SLIT se cumple que:
Figura 38. SLIT invertible y su sistema inverso
Es decir, para el caso continuo:
De forma análoga se puede concluir una expresión para el caso discreto.
Propiedades de los Sistemas Lineales e invariantes en el tiempo
tthth 21
Propiedades de los Sistemas Lineales e invariantes en el tiempo
Estabilidad para los SLIT
Aquel que a entrada limitadas en amplitud produce salidas limitadas en amplitud
Puede encontrarse “ver Oppenheim pag 113” que el sistema es estable si la respuesta al impulso unitario es absolutamente integrable
( )h d
∫
Referencias
Señales y sistemas continuos y discretos, Soliman. S y Srinath. M. 2ª edición cap 2
Señales y sistemas ,Oppenheim, alan cap 1