seosed täisnurkses kolmnurgas

Seosed täisnurkses kolmnurgas

21. aprill 2023. a

Teoreem: Täisnurkses kolmnurgas hüpotenuusile

joonestatud kõrgus jaotab selle kolmnurga kaheks kolmnurgaks, mis on sarnased esialgse kolmnurgaga ja omavahel.

AB

C

D

A

BC

D

D

A

CDB

C

Δ BDC Δ BCA (NN tunnus) Δ CDA Δ BCA (NN tunnus)

Δ BDC Δ CDAm.o.t.t.

Geomeetriline keskmine Kui a, b ja x on mittenegatiivsed

arvud, siis nimetatakse arvu x arvude a ja b

geomeetriliseks keskmiseks,

kui ta on ruutjuur nende arvude korrutisest

bax

Kaatetite projektsioonid Hüpotenuusile joonestatud kõrgus

jaotab hüpotenuusi kaheks osaks, mida nimetatakse kaatetite projektsioonideks hüpotenuusil

AB

a b

cf g

h

Cf – kaateti a projektsioon g – kaateti b projektsioon

D

Teoreem täisnurkse kolmnurga kõrgusest Täisnurkse kolmnurga hüpotenuusile

tõmmatud kõrgus on kaatetite projektsioonide geomeetriline keskmine

a b

f g

h

C

ABD

fgh

fgh

2

ehk

A

BC

D

D

A

CDB

C

a

bc

f

g

h

f

ha

h

gb

DB

C

f

ha

D

A

Ch

gb

Δ BDC Δ CDA =>

fghfgh

g

h

h

f

2

võrde põhiomadusest

m.o.t.t.

Näide 1 Täisnurkse kolmnurga ΔABC kõrgus BD on 4 cm Leia lõik CD, kui lõik AD on 2 cm

A

B

CD

4 cm

2 cm x cm

)(82:424 22

2

cmxx

fgh

Ülesanne 1 Täisnurkse kolmnurga ΔABC jaotab

hüpotenuusi AC kaheks osaks: 4 cm ja 5 cm. Leia kolmnurga ΔABC pindala.

AC

B

Eukleidese teoreem

Eukleides Vana-Kreeka matemaatik ja

filosoof sündinud umbes 325 eKr tähtsaim teos, 13 raamatust

koosnev „Elemendid” sisaldab peaaegu kogu

elementaargeomeetria 465 lauset (definitsioonid,

aksioomid, teoreemid) hõlmav tööon kirjutatud ranges loogilises järjekorras

on olnud paljude sajandite vältel peaaegu ainsaks geomeetria õpikuks

surnud umbes 265 eKr

Teoreem

Täisnurkse kolmnurga kaatet on oma projektsiooni ja hüpotenuusi geomeetriline keskmine.

a b

f g

h

C

ABD

gcbgcb

fcafca

2

2

ehk

Näide 2 Täisnurkse kolmnurga ΔABC kõrgus jaotab AC

kaheks osaks, mille pikkused on 3 cm ja 6 cm. Leia kaatetite AB ja BC pikkused.

)(3393 cmx

c = AC = AD + DC = 3 + 6 = 9 (cm)

)(6396 cmy

3 cm 6 cm

x y

A

B

CDc

Pythagorase teoreem

Pythagoras Vana-Kreeka matemaatik

ja filosoof sündis umbes 569 eKr

Samoses (Kreekas) rajas Lõuna-Itaaliasse

Krotonisse usulis-filosoofilise vennaskonna pütagoorlaste liidu

arvasid, et iga asi on arv paarituid arve loeti

halbadeks, paarisarve headeks

teadsid, et hästi kõlavad kokku vaid need pillikeeled, mille pikkused suhtuvad nagu täisarvud

suri umbes 475 eKr.

Teoreem: Täisnurkses kolmnurgas võrdub kaatetite

ruutude summa hüpotenuusi ruuduga

a b

C

ABc

222 cba

a

b c

a

b c

a

b c

a

b c

Iga sellise täisnurkse kolmnurga pindala on ½ ab

Suure ruudu pindala ühelt poolt avaldub seega:4 · ½ ab + c2

Teiselt poolt on suure ruudu pindala:(a + b)2

Seega:

222222

222

22

22

22

)(2

4

bacabbabac

babacab

bacab

m.o.t.t.

Võtame 4 võrdset täisnurkset kolmnurka ja paigutame need järgmiselt:

Pythagorase teoreemi…

… kasutatakse täisnurkse kolmnurga külje pikkuse leidmiseks kahe ülejäänud külje kaudu

hüpotenuus2 = kaatet12 + kaatet2

2

kaatet12 = hüpotenuus2 – kaatet2

2

kaatet22 = hüpotenuus2 – kaatet1

2

Näide

Sukelduja ujus vee all 20 m kivini, mis asub mere põhjas. Poi paikneb veepinnal täpselt kivi kohal, kusjuures kivi kaugus poist on 10m. Kui kaugel asub poi kohast, kus sukelduja oma sukeldumist alustas?

Tee tekkinud täisnurkse kolmnurga joonis, kanna andmed joonisele ja leia otsitav suurus.

20 m

10 m

Näide

16 m redel seisab maja seina najal. Redeli alumine serv asub maja seinast 2 m kaugusele. Kui kõrgele maja seinale redel ulatub?


16 m

2 m

Näide

Täisnurkse kolmnurga kujuline puri on 30 m kõrgune. Selle laius on 10 m. Milline on purje hüpotenuusi pikkus?


30 m

30 ft.10 m

Näide Mari ja Jüri lennutavad tuulelohet.

Lohe on õhus täpselt Mari kohal, paiknedes 12 m kõrgusel. Jüri hoiab lohet kinni 30 m nööri otsas. Kui kaugel on Mari Jürist?


30 m

12 m

Näide

Täisnurkse kolmnurga üks külg on 45 m. Selle kolmnurga hüpotenuus on 80 m. Leia kolmnurga kolmas külg.


45 m

80 m

Pythagorase kolmikud: Arve a, b ja c, kui need rahuldavad

tingimusta² + b² = c²

nimetatakse Pythagorase kolmikuteks.

Kui kolmnurga külgede pikkused moodustavad Pythagorase kolmiku, siis on see kolmnurk täisnurkne.

Pythagorase kolmikud:

a 3 5 7 8 9 11 12 13 16 20 20 28 33 3639

b 4 12 24 15 40 60 35 84 63 21 99 45 56 7780

c 5 13 25 17 41 61 37 85 65 29 101 53 65 8589

Kõige tuntumaks Pythagorase kolmikuks on arvud 3, 4 ja 5

Selliste külgedega kolmnurka nimetatakse ka Egiptuse kolmnurgaks

seosed täisnurkses kolmnurgas

Documents