septiembre 2012 v.b.v. mat022 – ii semestre 2012
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ÁreasSeptiembre 2012
V.B.V.
MAT022 – II semestre 2012
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2
Ya estudiamos la integral de Riemann
f(x)
a b
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Área Sea f una función no negativa y acotada en
[a,b]Buscamos calcular el área en la región:R= {(x,y) 2: x[a,b] y [0,f(x)]}Se denota: Aa
b(f)
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Proposición.f riemann integrable el área Aa
b(f) corresponde a la integral de riemann.
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5
Área entre dos funciones
f(x)
a bg(x)
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Área entre dos funcionesSean f y g funciones.Se tiene:
x[a,b]: 0f(x) g(x) : Aab(f) Aa
b(g)c[a,b]: Aa
b(f) = Aac(f) + Ac
b(f)
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Proposición.El área encerrada por dos funciones f y g
entre a y b, está dada por:
න |𝑓ሺ𝑥ሻ−𝑔(𝑥)|𝑑𝑥𝑏𝑎
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ESTRATEGIA1. Hacer la grafica2. Calcular intersección(es) de las curvas3. Estudiar los “rectángulos”4. Determinar |f(x)-g(x)|
Luego de obtener esto, calcular el área.
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Ejemplo 1: Área entre dos curvasCalcular el área de la región acotada por las graficas de y = x2+2 ; y = -x ; x = 0 ; x = 1
OBS: f y g no se cortana y b se dan explicitamente
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Ejemplo 2: Área entre dos curvas que se cortan, con a y b desconocidosCalcular el área de la región acotada por las graficas de y = 2 –x2 ; y = x
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Ejemplo 3: Área entre dos curvas que se cruzanCalcular el área de la región acotada por las graficas de f(x) = x2 ; g(x) = 2- x2 ; 0 x2
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Ejemplo 4: Área de una región determinada por 3 curvas.Calcular el área de la región acotada por las graficas de y = x2 ; y= 2- x ; y=0
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Observación:
•Imaginar que rotamos los ejes…•O bien pensar en intercambiar “x” por “y”.•Podemos calcular el área en términos de “dy”.
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Ejemplo 5: Calcular el área como una integral en y.Resolver el ejercicio anterior en dy.
IMPORTANTE:•Escribir x=f-1(y) ; x=g-1(y) •Determinar intersección en y.•Signo de f-1(y) - g-1(y) en el intervalo [c,d]
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Ejercicio Propuesto:1. Encontrar el área de las regiones encerradas
por:
x=3-y2 ; x=y+1. Utilizar dx y dy ¿en que caso resulta mas simple?2. Calcular el área acotada por las graficas de
x= y2 ; x=2-y2
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Ejemplo 6: Los puntos de intersección no se conocen “exactamente”.Calcular el área acotada por y= cos x e y = x2
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Ejemplo 7: Área de una curva cerrada (loops).Calcular el área acotada por y2= x2- x4
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Ejercicios Propuestos:Encontrar el área de las regiones encerradas
por:y=3-x ; y=x2-9y=10x-x2 ; y = 3x-8y = sen x ; y = cos x entre las rectas x=0 y
x= 8y = x3 ; 8y = 2x3 +x2 -2xxy = 9 ; x + y = 4