series de fourier
DESCRIPTION
SERIES DE FOURIERTRANSCRIPT
SINUSOIDALES Y SERIES DE FOURIER
Señales y Sistemas
Agenda
Importancia de Funciones Senoidales Señales Sinusoidales Exponenciales complejos y fasores Suma de Fasores Suma parcial de senoides Series de Fourier
Importancia
Muchos fenómenos físicos generan señales de tipo sinusoidal.
Muchas señales pueden ser expresadas u aproximadas como combinaciones de señales sinusoidales
Ejemplo
El sonido de un diapasón
))440(2cos( tA
(.wav)
EJEMPLO
La voz humana no es una señal senoidal Se puede aproximar por segmentos a la suma
de sinusoidales
(.wav)
Señales Sinusoidales
A Cos(t+)
Amplitud
Velocidad Angular
Fase
A Sin (t+)
=2f
FrecuenciaHz.
Gráfica de ACos(2ft)
-0.02 -0.015 -0.01 -0.005 0 0.005 0.01 0.015 0.02-2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
Tiempo
Am
plitu
d
Señal Senoidal
Señales Sinusoidales
x(t) = A cos(0t+) = A cos (2f0t+)
El ángulo es una función del tiempo Notar que 0 = 2f0
f0 : Frecuencia expresada en Hz (1/s). Recordar que
x(t) = A sin(0t+) = A cos(0t+-/2)
Si f0 = 0, entonces x(t)=A valor DC
Periodo de la Señal
Condición de periodicidad:x(t + T0) = x(t)
Para nuestro caso:A cos(20 (t+T0)+) = A cos(20t+)
Simplificando obtenemos:
El período se expresa en seg.
ooo f
TTT12
2
-0.04 -0.03 -0.02 -0.01 0 0.01 0.02 0.03 0.04
-20
-15
-10
-5
0
5
10
15
20
t
Am
plitu
d
COSENO DESPLAZADO
x(t) = 20 cos(2(40)t – 0.4)
A= 20, 0 = 240 rad/seg., f0 = 40 Hz., = -0.4 rad.
0
1
fT
Fase de la Señal Senoidal
La fase (), tiene que ver con el desplazamiento de la señal
El desplazamiento t1 se expresa como: x(t – t1)Si t1 es positivo, se desplaza a la derecha:
ATRASOSi t1 es negativo, se desplaza a la
izquierda: ADELANTO
= - 2 f0 t1
Funciones Seno y Coseno
sin = y/r
cos = x/r
Esto implica:
y = r sin
x = r cos Los cuadrantes influyen
en el signo
r
x
y
-0.02 -0.015 -0.01 -0.005 0 0.005 0.01 0.015 0.02
-2
-1
0
1
2
t
Am
plit
ud
COSENO
-0.02 -0.015 -0.01 -0.005 0 0.005 0.01 0.015 0.02
-2
-1
0
1
2
t
Am
plit
ud
SENO
Comparación de coseno vs. seno
sin = cos ( – /2)
2
Propiedades de las señales senoidales
Periodicidad cos (+ 2k) = cos , k es un entero
Paridad de coseno cos(-) = cos
Imparidad de seno sin (-) = -sin
Ceros del seno sin (k) = 0, k es un entero
Unos del coseno cos (2k) =1, k es un entero
Menos unos del coseno cos[2 (k+1/2)] = -1, k es un entero
Identidades Trigonométricas
sin2 + cos2 =1
cos 2 = cos2 – sin2
sin 2 = 2 sin cos
sin( ± ) = sin cos ± cos sin
cos( ± ) = cos cos -/+ sin sin
Exponenciales Complejas y Fasores
A veces ayudan en la manipulación de señales sinusoidales
A continuación repasaremos los números complejos y sus representaciones:Representación CartesianaRepresentación Polar
Representación Cartesiana
z = (x, y)x = Re{z} (parte real)
y = Im{z} (parte imaginaria)
z = x + jyEstas son “Formas
Cartesianas”
x Re{z}
y
Im{z}
Forma Cartesiana
z = (x,y) = x + jy
Representación Polar
r: Magnitud de z
: Argumento de z
r = |z|= √(x2+y2) = arg z = arctan (y/x)Recordar que:
ej = cos + jsin
Por lo tanto: z = r ej
x=rcos y=rcos
x Re{z}
y
Im{z}
z = rej
Forma Polar
r
Exponenciales Complejas
|x(t)|= A arg x(t) = w0t+ x(t) = A cos(w0t+) +
jAsin(w0t+) Re{x(t)} = A cos(w0t+) Im{x(t)} = Asin(w0t+
)( 0)( tjAetx
Fasores
x(t) = Entonces x(t) = Ae j(t)
Donde (t) = w0t+ Es decir:|x(t)|= A ; arg x(t) = (t) Así, x(t) es un número complejo que
rota en el tiempo. w0: la velocidad de rotación
)( 0 tjAe
Fasores
Donde C es un número complejo:
AMPLITUD COMPLEJA
|C|= A ; arg C = C es FASOR Como C está multiplicado por ejw0t entonces
C es un Fasor Rotacional
tjtjjtj eCeAeAetx 000 )()(
Sumando Fasores
Es útil cuando queremos sumar sinusoidales.
Por ahora sumaremos sinusoidales con:Diferentes AmplitudesDiferentes FasesFrecuencias Idénticas
N
kkk tAtA
100 )cos()cos(
x(t) = 2cos (2(10)t + 50/180) + 3cos(2(10)t+100/180)
Ejemplo
Expresar Seno y Coseno con Fasores
)Im(2
)2( )2()2()2(
ftj
ftjftj
eAj
eeAftASin
)Re(2
)2( )2()2()2(
ftj
ftjftj
eAee
AftACos
Espectro de una Señal
En la realidad:No todos los componentes de una señal
tienen la misma frecuencia
Espectro: representación gráfica de los componentes de frecuencia de una señal.
)2cos()(1
0 kk
N
kk tfAAtx
Espectro de Línea de Señales Sinusoidales
Espectro de Ambos Lados
f1
A/2A/2
-f1f1
Espectro un solo Lado
ff
A
|C| |C|
Espectro de Línea de Señales Sinusoidales
Espectro de Ambos Lados
f1
-
-f1 f1
Espectro un solo Lado
ff
Fase Fase
Suma de Senoides
La suma de 2 senoides es periódica cuando la relación de sus frecuencias es un número racional. En otras palabras, la suma de 2 senoides es periódica y esta provista de frecuencias enteros múltiples de una frecuencia fundamental.
Para examinar la representación de señales periódicas por la suma de senoides cuyas frecuencias son harmónicas, o entero múltiple, de una frecuencia fundamental, consideraremos 2 series y dibujaremos sus sumas parciales
Función Ejemplo
.......55
13
3
1)( tsentsentsentx ooo
Sumas Parciales
tsents o)(1
tsentsents oo 33
1)(2
tsentsentsents ooo 55
13
3
1)(3
0
)12(12
1)(
notnsen
ntx
Ejemplo 1 y 2 Términos
Ejemplo con 4 y 45 términos
Código para generar la función
n_max=input(‘Ingrese el número la más alta harmónica deseada(impar)’);
N=length(n_max);t=0:0.002:1;omega_0=2*pi;for k=1:N n=[ ]; n=[1:2:n_max(k)]; b_n = 4./(pi*n); x=b_n*sin(omega_0*n'*t); subplot(N,1,k), plot(t,x),xlabel('t'),ylabel('suma parcial'), axis([0 1
-1.5 1.5]), text(0.05,-5,['max.har.=',num2str(nmax(k))])end
Series de Fourier
Vemos en las gráficas que esta sumatoria tiende a parecerse a una onda cuadrada con una frecuencia fundamental igual a la frecuencia del primera suma parcial que corresponde al seno.
Cuando una nueva harmónica es añadida, el efecto de rizo se aproxima a una cresta plana de una onda cuadrada y posee una frecuencia igual a la más alta harmónica indicada en la serie.
La convergencia de las series en cualquier punto particular puede ser examinada por la sustitución apropiada del valor de ot.
Ejemplo ot = /2.
4.......
7
1
5
1
3
11)(
tx
Series de Fourier
Se puede normalizar la serie para tener la amplitud igual a la unidad cuando ot = /2, por la multiplicación de 4/.
.......5
5
13
3
14)( tsentsentsentx ooosq
0
)12(12
14)(
nosq tnsen
ntx
Función Ejemplo 2
.......55
14
4
13
3
12
2
1)( tsentsentsentsentsentx ooooo
Sumas Parciales
tsents o)(1
tsentsents oo 22
1)(2
tsentsentsents ooo 33
12
2
1)(3
1
1
)(1
)(n
o
n
tnsenn
tx
Ejemplo con 1 y 2 harmónicasEjemplo con 1 y 2 harmónicas
-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
t
Sum
a P
arcia
l
Max.Har=1
-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
t
Sum
a P
arcia
l
Max.Har=2
Ejemplo con 20 harmónicasEjemplo con 20 harmónicas
-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
t
Sum
a P
arc
ial
Max.Har=20
¿Dada una forma de onda periódica, podemos encontrar su representación en series trigonométricas?
Si, mediante Series de Fourier trigonométricas.Si, mediante Series de Fourier trigonométricas.
PREGUNTA
Series de Fourier Trigonométricas
.......22)( 22110 tSenbtCosatsenbtCosaatx oooo
11
0)(n
onn
on ntsenbtCosnaatx
00
)(n
onn
on ntsenbtCosnatx
Lo cual puede ser escrito de una forma mas compacta, Lo cual puede ser escrito de una forma mas compacta, en donde en donde oo es es 22ffoo, siendo , siendo ffoo la frecuencia fundamental la frecuencia fundamental
de la señal x(t):de la señal x(t):
Coeficientes de Fourier an y bn
Para encontrar los coeficientes an’s y bn’s de cualquier señal periódica empezaremos con ao.
Siendo To, el periodo de la señal x(t), es decir, el inverso de la frecuencia fundamental fo.
oTo
dttxT
a )(1
0
oo oo TT TT
tdtCosatdtCosadtadttx ....2)( 02010
oo TT
tdtSenbtdtSenb ....2 0201
Usando la forma de la serie original, se puede derivar una expresión valida para cualquier an’s. La derivación procede para cualquier an excepto para a0.
o ooT T n
n
T
mtdtCosntCosamtdtCosamtdtCostx 01
0000 .)(
oT n
n mtdtCosntSenb 01
0
1
001
000 ..)(n T
n
T n T
n
oo o
mtdtCosntSenbmtdtCosntCosamtdtCostx
Coeficientes de Fourier am
nmT
nmtdttCosnCosm
To
oo
2
0
0
0To
oo tdttCosnSenm
00
2
T
oT
m mtdtCostxT
a 00
)(2
Coeficientes de Fourier am
Para obtener los valores de bn se hace un procedimiento similar solo que esta vez se multiplica la señal original por Sen y se integra en un periodo, dando como resultado.
oT
m mtdtSentxT
b 00
)(2
Coeficientes de Fourier bm
Condiciones Requeridas para asegurar la convergencia
Si x(t) tiene un período igual a To y tiene una primera y segunda derivada continuas para todo t, excepto en un número finito de puntos donde puede tener saltos discontinuos, la Serie de Fourier converge a x(t) para cada punto de t excepto en los puntos de discontinuidad.
Se debe notar que las fórmulas de los coeficientes usan solo los valores de x(t) en un intervalo de T0 seg.
Asi, si x(t) esta dada solo para algún intervalo de T0, las Series de Fourier puede ser formada y converge uniformemente a x(t) dentro del intervalo en todos los puntos de continuidad. Fuera del intervalo, la serie de Fourier converge a la extensión periódica de la señal x(t).
To
Extensión Periódica x(t)
Condiciones Requeridas para asegurar la convergencia
Series Exponenciales Complejas de Fourier Si partimos de la sumatoria de funciones
trigonométricas de Fourier y remplazando el seno y el coseno por la suma de fasores complejos conjugados, se tiene:
00
00
00
22
22
)(
n
tjnnn
n
tjnnn
n
tjntjn
nn
tjntjn
n
non
non
oo
oooo
ejba
ejba
eebj
eea
ntsenbtCosnatx
Series Exponenciales Complejas de Fourier
110 22
)(n
tjnnn
n
tjnnn oo ejba
ejba
atx
Si hacemos el cambio de variable k=-n.
n
tjnn
k
tjkkk
n
tjnnn
o
oo
eC
ejba
ejba
atx
22)(
1
10
Cn C-k=Cn*
Series Exponenciales Complejas de Fourier
Usando la forma de la serie original, se puede derivar una expresión valida para cualquier Cn’s. La derivación procede para cualquier Cn, al multiplicar x(t) por una exp(-jmot) e integrar en un periodo.
n T
tmnjn
T
tjm dteCdtetx oo )()(
mn
mn 0)(
Tdte
T
tmnj o T
tjmm dtetx
TC o)(
1
Propiedades de Simetría de los Coeficientes de la Series de Fourier
La expresión de los coeficientes de la serie exponencial compleja de Fourier, a través del uso del teorema de Euler puede ser escrita como:
Si x(t) es real, el primer término de Cn es la parte real y el segundo término es la parte imaginaria de Cn. Comparando contra las ecuaciones anteriores de la Serie Trigonométrica de Fourier
oo T
ooT
oo
n dttnSentxT
jdttnCostx
TC )()()()(
1
0n )(2
1
0n )(2
1
nn
nn
n
jba
jbaC
0n para )Im(2
)Re(2
nn
nn
Cb
Ca
Propiedades de Simetría de los Coeficientes
Si remplazamos n por –n, se puede observar que
Cn = C*-n
para señales x(t) reales. Si escribimos Cn en notación fasorial
donde
n-n -y nn CC
njnn eCC
Propiedades de Simetría
Si consideramos una señal real par, sabemos que
x(t)= x(-t)
Esto hace que la parte imaginaria sea cero, ya que x(t) sen ot es una función impar y su integral nos da cero sobre el intervalo alrededor de t =0. Por lo tanto los coeficientes Cn son reales y par con respecto a n.
Propiedades de Simetría
Si consideramos una señal real impar, sabemos que
x(t)= -x(-t)
Esto hace que la parte real sea cero, ya que x(t) cos ot es una función impar y su integral nos da cero sobre el intervalo alrededor de t =0. Por lo tanto los coeficientes Cn son imaginarios.
Propiedades de Simetría
Otro tipo de simetría es la mitad de onda impar definida como
Donde To es el período de la señal x(t). Para estas señales los
Cn= 0, n= 0, ±2, ±4, ±6
)(2
txTo
tx
TEOREMA DE PARSEVAL
La potencia promedio para una señal periódica es
Se puede expresar x*(t) como su Serie Exponencial de Fourier
oo ToTo
dttxtxT
dttxT
P )()(1
)(1 *2
nn
n
tjn
Ton
T n
tjnn
o
CdtetxT
CdteCtxT
Poo
2** 00 )(1
)(1
n
n
To
CdttxT
Po
22)(
1
Espectro de Línea de 2 lados
La serie compleja de Fourier de una señal consiste de una sumatoria de fasores rotantes.
Vimos anteriormente como la suma de fasores rotantes pueden ser caracterizados en el dominio de la frecuencia mediante 2 gráficos: Amplitud Fase
De igual manera se puede obtener 2 gráficos para una señal periódica: Espectro de Amplitud Espectro de Fase
Cuando el espectro es analizado para frecuencias positivas y negativas se llama ESPECTRO DE DOS LADOS.
Espectro de línea de 2 Lados
ff0 2f0 3f0-f0-2f0-3f0
Fase de los Coeficientes
ff0 2f0 3f0-f0-2f0-3f0
|C0|
|C1|
|C2|
|C3|
|C-1|
|C-2||C-3|
Amplitud de los Coeficientes
Espectro de Línea de un lado
Tomando la serie de Fourier y representadola en su forma polar a los coeficientes Cn.
1
1
)(n
tnjno
n
tnjn
n
tjnn
nonoo eccecectx
11
)()(
)(22
2)(n
nonon
tnjtnj
no tnCosccee
cctxnono
)(
1
)()( nono tnjn
n
tnjno ececctx
Espectro de línea de un Lado
ff0 2f0 3f0
|C0|2|C1|
2|C2|
2|C3|
Amplitud de los Coeficientes
ff0 2f0 3f0
Fase de los Coeficientes
Convergencia del Espectro de Fourier
Consideremos una señal periódica x(t) que tiene su k-ésima derivada, la cual es continua en partes. Su derivada k+1-ésima contiene impulso donde la derivada k-ésima es discontinua.
Ahora si diferenciamos las Series Exponenciales de Fourier k+1 veces, obtenemos que:
Por lo tanto los coeficientes de Fourier de la derivada (k+1)-ésima son los coeficientes de Fourier multiplicados por (jno)k+1
tjnn
k
nok
koeCjn
dt
txd 1
1
1 )(
Convergencia del Espectro de Fourier
Consideremos ahora el calculo de los coeficientes de la señal k+1-esima derivada.
Cuando la derivada de esta expresión es un impulso se puede evaluar directamente por la propiedad de desplazamiento de la función impulso unitario.
Estos términos dan constantes para los coeficientes, lo que significa que tendremos términos proporcionales a (jno)-(k+1), puesto que dividimos la expresión para los coeficientes de Fourier para la (k+1)-ésima derivada de x(t), los cuales tienen componentes constantes, por (jno)(k+1) para obtener Cn.
Así concluimos que, la señal periódica x(t) con derivada k-ésima, la cual es continua en partes, tiene coeficientes de Fourier que decrementa con la frecuencia como (no)-(k+1)
o
o
T
tjnk
k
on dte
dt
txd
TC
1
1 )(1