Series

Alumno:

Yerinson Lizarazo

4.1 Definición de serie

Una serie aritmética es la suma de una sucesión de términos.

Por ejemplo, una serie interesante que aparece en muchos

problemas en ciencia, ingeniería, y matemática es la serie

geométrica r + r2 + r3 + r4 +... donde ... indica que la serie

continúa indefinidamente.

,

Donde n es el número de términos, a1 es el primer término y r es la

relación común.

Carácter de una serie.

Convergente: Cuando la suma es un número real.

Divergente: Cuando la suma da + o - infinito.

Oscilante: Cuando no es ninguna de las anteriores.

4.1.1 SERIE FINITA

En matemáticas, una serie es la suma de los términos de

una sucesión. Se representa una serie con

términos an como donde n es el índice final de la

serie. Las series infinitas son aquellas donde i toma el

valor de absolutamente todos los números naturales, es

decir, .

Las series finitas son las que constan de un determinado, o

finito número de términos, cuya suma extrae exactamente el

valor de una cantidad.

Serie aritmética:

Serie geométrica:

4.1.2 SERIE

INFINITAHaciendo la división, que indica esta expresión a+b / a2 – ½ b,

el cociente tendrá muchos términos separados unos de otros

con dichos signos, por consiguiente será una serie. Si

prosiguiendo la división siempre hubiese un residuo que dividir,

es decir, que no exista un elemento que al multiplicarlo por

divisor no haya resta que realizar, el cociente que saldría sería

una serie infinita, o que jamás se acabaría, por lo tanto jamás

se podría llegar a una expresión del todo exacta, de la fracción,

o del cociente.

Si 𝑈𝑛 es una sucesión y 𝑠𝑛 = 𝑢1 + 𝑢2 + 𝑢3 +⋯+ 𝑢𝑛 Entonces 𝑆𝑛 es una sucesión de sumas parciales

denominada serie infinita y se denota por 𝑛−1+∞ 𝑢𝑛 =𝑢1 +

𝑢2 + 𝑢3 +⋯+ 𝑢𝑛 +⋯

Los números 𝑢1 + 𝑢2 + 𝑢3 +⋯+ 𝑢𝑛 +⋯ son los términos de

la serie infinita.

4.2 SERIE NUMERICA Y CONVERGENCIA PRUEBA DE

LA RAZON (CRITERIO DE D’ALEMBERT) Y PRUEBA DE

LA RAIZ (CRITERIO DE CAUCHY).

Una secuencia es una lista ordenada de objetos (o eventos).

Como un conjunto, que contiene los miembros (también

llamados elementos o términos ), y el número de términos

(posiblemente infinita) se llama la longitud de la secuencia. A

diferencia de un conjunto, el orden importa, y exactamente

los mismos elementos pueden aparecer varias veces en

diferentes posiciones en la secuencia. Una secuencia es una

discreta función.

Criterio de D'Alembert (Criterio de la razón)

Sea una serie , tal que ak > 0 ( serie de términos positivos).

Si existe

con , el Criterio de D'Alembert establece que:

§ si L < 1, la serie converge.

§ si L > 1, entonces la serie diverge.

§ si L = 1, no es posible decir algo sobre el comportamiento de la serie.

En este caso, es necesario probar otro criterio, como el criterio de Raabe.

Criterio de Cauchy (raíz enésima)

Sea una serie , tal que ak > 0 (serie de términos positivos). Y supongamos que existe

, siendo

Entonces, si:

§ L < 1, la serie es convergente.

§ L > 1 entonces la serie es divergente.

§ L=1, no podemos concluir nada a priori y tenemos que recurrir al criterio de Raabe,o de comparación, para ver si podemos llegar a alguna conclusión.

CRITERIO DE D’ALEMBERT:

CRITERIO DE CAUCHY:

4.3 SERIE DE POTENCIAS

Derivando o integrando una serie de potencias, cuya suma analítica

conozcamos, podemos llegar a una expresión que, por substitución

de la variable, corresponda a la serie numérica cuya suma

buscamos. De esta forma podemos conseguir determinar la suma

numérica indirectamente. Estas operaciones de derivación e

integración sólo son posibles dentro del radio de convergencia de las

serie de potencias. Aquí radica la importancia de determinar con

exactitud el radio de convergencia.

𝑎0 + 𝑎1(𝑥 − 𝑎) + 𝑎2(𝑥 − 𝑎)2+𝑎3(𝑥 − 𝑎)

3 +⋯+𝑎𝑛(𝑥 − 𝑎)

𝑛 +⋯

4.4 RADIO DE CONVERGENCIA

En muchos casos podemos determinar el intervalo de convergencia

de una serie de potencias con la ayuda del criterio de convergencia

de d’Alembert. A dicho efecto, construimos —en primer lugar— la

serie compuesta por los valores absolutos de los términos de la

serie, que será una serie de números reales positivos:

4.5 SERIE DE TAYLOR

La serie de Taylor de una función f de números reales ocomplejos que es infinitamente diferenciable en unentorno de números reales o complejos a, es la serie depotencias:

Que puede ser escrito de una manera más compactacomo:

Donde n! es el factorial de n y f (n)(a) denota la n-ésimaderivada de f en el punto a; la derivada cero de f esdefinida como la propia f y (x − a)0 y 0! son ambosdefinidos como uno.

4.6 REPRESENTACION DE

FUNCIONES MEDIANTE SERIE

DE TAYLOR En matemáticas, una serie de Taylor de una función f(x)

infinitamente derivable (real o compleja) definida en un

intervalo abierto (a-r, a+r) se define como la siguiente suma:

Aquí, n! es el factorial de n y f (n)(a) indica la n-ésima

derivada de f en el punto a.

Si la función f y sus primeras n+1 derivadas son continuas en un intervalo que contiene a a y a x, entonces el

valor de la función en un punto x está dado por:

Existen series de Taylor para: Función exponencial y función Coseno.

Función e

Se puede aplicar la ecuación de las series de Taylor como más sencillo le resulte a cada quien, una de tantas

formas la explicare aquí.

Lo primero que se hace es derivar unas 3 o 4 veces la función, esto porque algunas funciones empiezan a

tener un patrón repetitivo después de cierto número de derivaciones, como la función e.

Después se tiene que sustituir "a" en cada una de las derivadas, pero como se decidió que "a" era 0 se

sustituye un 0 en cada derivada y se observa que resultados da.

f(x)=e(x).... f(o)=1

Esto de sustituir en cada derivada es solo para simplificar la ecuación de la serie y para darnos una idea de

como se comporta la función. Una vez que se tiene una idea del comportamiento de la función se puede ir

empezando a armar la ecuación de la serie

La función cumple para todo y todo .Tomamosy deducimos que

para todo . Ahora bien,

luego en la serie solo aparecen los sumandos con n = 2k+1 y queda

para todo . El mismo razonamiento con la función coseno prueba que

para todo . También se puede obtener derivando el desarrollo de la función seno.

4.7 CALCULO DE INTEGRALES DE

FUNCIONES EXPRESADAS COMO

SERIE DE TAYLOR

Este teorema permite obtener aproximaciones poli nómicas de una función enun entorno de cierto punto en que la función sea diferenciable. Además elteorema permite acotar el error obtenido mediante dicha estimación.

La serie de Taylor de una función f de números reales o complejos que esinfinitamente diferenciable en un entorno de números reales o complejos a, esla serie de potencias:

Si Rn (f) es expresado de la primera forma, se lo denomina Términocomplementario de Lagrange, dado que el Teorema de Taylor se expone comouna generalización del Teorema del valor medio o Teorema de Lagrange,mientras que la segunda expresión de R muestra al teorema como unageneralización del Teorema fundamental del cálculo integral.

Bibliografía1. Unidad 4: Series .Instituto Tecnológico de Tepic. Ingeniero

Roberto Oramos Bustillos.

http://oramasseries.blogspot.com/2011/05/411-serie finita.html

2. Cálculo Integral, Unidad 4.Ing. José Enrique Márquez Eloísa

http://micahga.blogspot.com/2011/06/411-definicion-de-serie-finita.html

3. Thomas Cerda Lecciones de Matemáticas: Elementos generalesde aritmética y algebra. Impresor de la real academia de buenasletras de Barcelona. Primera edición.273 paginas.

http://calculointegralchris.blogspot.mx/2012/07/unidad-iv-

series.html

http://es.scribd.com/doc/34238135/Sucesiones-y-Series

http://www.dspace.espol.edu.ec/bitstream/123456789/4800/6/74

19.pdf