DESARROLLOENSERIESORTOGONALESC ardenasGamboaVega12deagostode20152IndicegeneralI CAPITULO5.7 51. Introduccion 92. Denciones 112.1. FuncionesOrtogonales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.2. DesarrollodeSeriesOrtogonales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.3. ConjuntosOrtonormales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.4. Expansionenseriesortogonales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.5. ConjuntoOrtogonalyFuncionPeso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123. EjerciciosdeAplicacion 133.1. EjercicioN.-1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133.2. EjercicioN.-2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163.3. EjercicioN.-3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164. AplicacionenMatlab 174.1. EjercicioN.-1AplicacionenMatlab . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174.2. EjercicioN.-2AplicacionenMatlab . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174.3. EjercicioN.-3AplicacionenMatlab . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1734INDICEGENERALParteICAPITULO5.7578Captulo1Introducci onAlquererrepresentarfuncionesf(t)comounaexpansionenseriedeotrosconjuntosdefuncionesperiodicasf(t)noexisteunaalternativanatural,perosisedesearepresentarfuncionesperiodicasf(t)dadosenunsolointervalost1 t t2selaspuederepresentarenunaclasedefuncionllamadaFuncionesOrtogonales.Paraciertostiposdecondicionesdefrontera,elmetododeseparacionde,variablesyelprincipiodesuperposicionconducenaldesarrollodeunafuncionenunaserieinnitaquenoesunaseriedeFourier.Pararesolverlosproblemasdeestaclasedeproblemas,vamosautilizarelconceptodedesarrollosenseriesortogonalesoeldeseriesdeFourier.910 CAPITULO1. INTRODUCCIONCaptulo2Denciones-12.1. FuncionesOrtogonalesDosfuncionesrealesf(t)yg(t)soncontinuasapedazosenel intervalot1 t t2sedicequesonortogonalessi:_t2ttf(t)g(t) dt = 0Unconjuntodefuncionesreales 1(t), 2(t)... {n(t)}cadaunadelascualesescontinuapedazosent1 t t2,sedicequeesunconjuntoortogonalenesteintervalosi n(t) y m(t)sonortogonalesparacadapardedistintosn,m;estoessi:_t2ttn(t)m(t) dt = 0 (n = m)-22.2. DesarrollodeSeriesOrtogonalesParaciertostiposdecondicionesdefrontera,el metododeseparacionde,variablesyel principiodesuperposicionconducenal desarrollodeunafuncionenunaserieinnitaquenoesunaseriedeFourier.Pararesolverlosproblemasdeestaseccion,vamosautilizarel conceptodedesarrollosenseriesortogonalesoel deseriesdeFourier.-32.3. ConjuntosOrtonormalesLanormacuadradadeunafuncion nes n(x)2= (n, n),yentonceslanorma,osulongitudgeneralizada,es n(x) =_(n, n).Enotraspalabras,enunconjuntoortogonal {n(x)}lanormacuadradaylanormadeunafuncion nson,respectivamente,n(x)2=_ba n2(x) dx y n(x) =__ba n2(x) dxSi /11(x)esunconjuntoortogonaldefuncionesenel intervalo[a,b]conlapropiedaddequen(x) = 1paran=O,l,2,...,entoncessediceque {n(x)}esunconjuntoortonormalenelintervalo.-41112 CAPITULO2. DEFINCIONES2.4. Expansi onenseriesortogonalesSupongaque {n(x)}esunconjuntodefuncionesortogonalesinnitodeunintervalo[a,b].Dondey= f(x)esunafunciondenidaenel intervalo[a,b],esposibledeterminarunconjuntodecoecientescn, n = 0, 1, 2, ...,parael quef(x) = c00(x) + c11(x) + cnn(x) +...al multiplicaralaexpresion m(x)eintegrandoenel intervalo[a,b]obtenemos:_baf(x)m(x) dx = c0_ba 0(x)m(x) dx + c1_ba 1(x)m(x) dx +cn_ba 1(x)m(x) dx + ...Debidoalaortogonalidad,cadaterminodel ladoderechodela ultimaecuacionescero,exceptocuandom=n.Enestecasotenemos:_baf(x)n(x) dx = cn_ba n2(x) dxSededucequeloscoecientesrequeridosson:cn=

baf(x)n(x) dx

ba n2(x) dx, = 0, 1, 2, ...Enotraspalabras,f (x) =

n=0cnn(x),dondecn=

baf(x)n(x) dxn(x)2Usandolanotaci ondel productointernof (x) =

n=0cnn(x) =

n=0(f,n)n(x)2n(x),-52.5. ConjuntoOrtogonalyFuncionPesoSedicequeunconjuntodefuncionesconvalorreal {0(x), 1(x), 2(x), ...}esortogonal respectoaunafuncionpesow(x)enunintervalo[a,b]si_baw(x)m(x)n(x) dx = 0, m = ndonde:cn=

baf(x)w(x)n(x) dxn(x)2seobtiene:n(x)2=_baw(x)n2(x) dxAl generalizarlasecuacionesobtenidastenemos:f (x) =

n=0cnn(x) =_

baf(x)n(x) dxn(x)2___baw(x)n2(x) dx_Captulo3EjerciciosdeAplicacion3.1. EjercicioN.-1Latemperaturadeunavarilladelonguitudunitariaenlaqueexistetransferenciadecalordesdesu frontera derecha hacia un medio circundante que se mantiene a una temperatura constante de cerosedeterminaapartirdeDesarrolloenSeriesOrtogonalesUsodedesarrollosenSeriesOrtogonales(Ecuaciondel Calor) Sesabeque:Laecuaciondelcalorestadenidapor:k2ux2=ut, 0 < x < L, t > 0u(0, t) = 0 u(L, t) = 0 , t > 0u(x, 0) = f(x) , 0 < x < LPorlotantosetiene:k2ux2=ut, 0 < x < 1, t > 0u(0, t) = 0,uxx = 1 = h u(1, t) = 0 , h > 0 , t > 0u(x, 0) = 1 , 0 < x < 1Despejandou(x,t)Entonces:Usandolassustitucionesu(x,t)=X(x)T(t)y-comolaconstantedeseparacionparallegara:u = XTuxx = X

uT= XT

k X

T = XT

x

x=T

KT= X

+ x = 0 EDO HomogeneaT

+ kT= 01314 CAPITULO3. EJERCICIOSDEAPLICACIONLascondicionesdefronteradadasseconviertenen:u(0, t) = X(0)T(t) = 0u(1, t) = X(1)T(t) = 0Puestoquelasigualdadesdebenservalidasparatodotiempotdebemostener:x(0) = 0 y x

(1) = hX(1)Estas condiciones de fronterahomogeneas, juntoconlaecuaciondiferencial ordinariahomogenea,constituyenunproblemaregulardeSturn-Liouvillex

+x = 0, x(0) = 0 , x

(1) + hx(1) = 0AplicandoelOperadorAnulador(D)parahallarlasoluciongeneraldelaecuaciondiferenciales:D2+ = 0D =D = jx = C1Cos(x) + C2Sen(x)X(x) = C1Cos(x) + C2Sen(x)Ahoralaprimeracondiciondefronteraimplicaquex(0)=0dainmediatamentec1=0AplicandolasegundacondiciondefronteraaX(x) = C2Sen(x)tenemos: cos() + hsen() = 0h sen() = Cos()sen()cos()= htan() = hsix = ,entoncesy= tan(x)y= xh, h > 0Debidoaquelasgracasdey=tan(x)yy=-x/h, h0, tienenunn umeroinnitodepuntosdein-tereseccionesparax0la ultimaecuaciontieneunn umeroinnitoderaices.Desdeluego,estasraicesdependen del valor de h. Si las raices positivas consecutivas se expresan mediante n, n = 1, 2, 3, ...,,entonces los valores propios del problema son n= (n)2, y las correspondientes funciones propias sonX(x) = C2sen(nx), n = 1, 2, 3, ...,Lasoluciondelaecuaciondiferencialdeprimerordenes:T

+ kT = 0AplicandoOperadoresAnuladores3.1. EJERCICION.-1 15D + = 0D = usandon= (n)2T(t) = C3ek(n)2tporloquesetieneun= XT = C2sen(nx) C3ek(n)2tpara C2C3= Anun= Anek(n)2tsen(nx) yu(x, t) =

n=1Anek(n)ttsen(n)xAhora,ent=0,u=(x,0)=1,0x1,enconsecuencia1 =

n=1Ansen(nx)LaseriemostradanoesunaseriesenodeFourier, envezdeeso, esundesarrollodeu(x,0)=1enterminosdelasfuncionesortogonalesquesurgenapartirdelproblemadeSturn-LiouvilleSepuedededucirqueelconjuntodefuncionespropias {sen(nx)}, n = 1, 2, 3, ...,dondelas estandenidaspor tg() = hesortogonal respectoalafuncionpesop(x)=1enelintervalo[0,1],conf(x)=1yn(x) = sen(nx)ApartirdeCn=

baf(x) n(x) dx||n(x)||2PorlotantoAn=

10sen(nx) dx

10sen2(nx) dxPara evaluar la norma cuadrada de cada una de las funciones propias: usando sen2(x) =12 12cos(2x)_10sen2nx dx =12_10(1 cos(2nx) dx =12(1 12nsen(2n))usando sen(2n) = 2sen(n) cos(n) y ncos(n) = h sen(n)podemos simplificar hasta llegar a_10sen2nx dx =12h(h +cos2n)Evaluando16 CAPITULO3. EJERCICIOSDEAPLICACION_10sen(nx) dx = 1ncos(nx)10=1n(1 cosn)yreemplazandolascondicionesanterioressetiene:_10sen(nx) dx = 2h(1 cos(n))porlotantosetieneAn=2h(1cos(n))n(h+cos2(n))por ultimo,unasoluciondelproblemadevaloresenlafronteraesu(x, t) = 2h

n=11cos(n)n(h+cos2(n))ek(n)2tsen(nx)3.2. EjercicioN.-2Resuelvaelproblemadevaloresenlafronterak2ux2=ut, 0 < x < 1 , t > 0u(0, t) = 0,utcuandox=1= h(u(1, t) u0), h > 0, t > 0u(x, 0) = f(x), 0 < x < 13.3. EjercicioN.-3Captulo4AplicacionenMatlab4.1. EjercicioN.-1AplicacionenMatlab4.2. EjercicioN.-2AplicacionenMatlab4.3. EjercicioN.-3AplicacionenMatlab17