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Séries Temporelles
Dossier
Sylvain LE BARILLEC
Master 1 Economie Fondamentale et AppliquéeUniversité de Caen Basse-Normandie
Année Universitaire 2005 - 2006
Taux d’occupation des places de litdans l’hôtellerie en Italie
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Table des matières
Table des matières……………………………………………………2
Introduction et présentation……..…………………………………3
Décomposition saisonnière………………………………………...4
Lissage par moyenne mobiles.....................................................4
Prévisions par MMC(12)....………………......................................5
Tableaux de Buys-Ballot....………...……......................................6
Calcul des coefficients saisonniers..….......................................7
Prévisions et intervalle de confiance..........................................9
Graphiques...................................................................................11
Lissage exponentiel…………………………………………………13
Lissage exponentiel de Holt-Winters..…...................................13
Prévisions et intervalle de confiance...….............................….15
Graphiques...........................……………………….......................16
Méthode de Box et Jenkins………………………………………..17
Corrélogrammes de la série…...................................................17
Modélisations de la série…...........................…..........................18
Corrélogramme des résidus et test de normalité...............…..19Prévisions sur la période août 2003 à juillet 2005....................20
Prévisions sur la période août 2005 à juillet 2007....................21
Comparaison et conclusion……………...………………………..22
T A B L E D
E S M A T I È R E S
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Présentation de la série
INTRODUCTION
L’Italie compte 40 biens inscrits sur la
Liste du patrimoine mondial de
l’UNESCO. Pays riche en Histoire,
l’Italie compte 57 millions d’habitants et
fait partie de l’UE. Les activités touris-
tiques se développent autours des sites
archéologiques, des musées, des lacs,
des thermes, des mers et des montagnes.
Les fêtes traditionnelles ayant un carac-
tère historique se déroulent sur tout le
territoire; on peut à ce titre citer les ré-
gates de Venise, la Joute du Sarrazin à
Arezzo, le Palio de Sienne…Les itinéraires proposés aux touristes
peuvent donc être multiples: les itinérai-
res oenologiques et gastronomiques, le
tourisme vert (agriturismo) ou d’autres
thématiques. Les villes d’art et d’his-
toire des provinces italiennes, comme
par exemple Naples, attirent également
un nombre important de touristes.
Selon l’OMT1, l’Italie est le quatrième pays le plus visité au monde après la France, les Etats Unis
et l’Espagne. Même si cette position est enviable, l’Italie n’a fait que régresser au palmarès des destina-
tions choisies depuis 1970. En effet, en 1970 l’Italie était le premier pays visité au Monde. A l’horizon
2020, la Péninsule sera sixième. Cependant, le nombre de touristes sera important: de 14,19 millions
par an en 1970 à 52,9 millions en 2020.
PRÉSENTATION
La série que nous allons étudier, s’intitule “Taux d’occupation des places de lit dans l’hôtellerie en
Italie”. Elle provient de la base statistique Eurostat2 de l’Union Européenne. Cette base recueille les
données pour l’ensemble des pays membres, sur un grand nombre de thématiques. Nous tenterons doncd’analyser cette série par une modélisation saisonnière, un lissage exponentiel et la méthode de Box &
Jenkins. Les donnés relatives à cette série sont contenues dans les fichiers Excel 2004 et Eviews 5, c’est
pourquoi nous avons décidé de ne pas imprimer la totalité des données, mais plutôt d’expliquer par des
exemples les diverses méthodes que nous avons utilisé. La série présente une saisonnalité forte. En
effet, les mois d’août et de juillet présentent un fort taux d’occupation des établissements hôteliers. Ceci
est notamment dû au fait que les hôtels sont fréquentés par les vacanciers pendant les vacances estiva-
les.
3
1 Organisation Mondiale du Tourisme
2 http://europa.eu.int/comm/eurostat/
P R É S E N T A T I O N
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Décomposition saisonnièreLissage par moyennes mobilesPRINCIPE
Les moyennes mobiles constituent la base des
méthodes de décomposition saisonnière. Elles sont
notamment utilisées afin de produire des donnéesCVS (corrigées des variations saisonnières) et ser-
vent également d’outils de prévision.
Le lissage par moyenne mobile consiste à se
placer en une date t afin de produire une moyenne
mobile d’ordre k. Ainsi, si les données disponibles
sont y1,y2,...,yt, on construira une moyenne mo-
bile en utilisant la formule:
MMt(k)=
[yt-p+0,5+yt-p+1,5+...+yt-0,5+yt+p-1,5]/k
pour k pair
k=2p et si t entier + 1/2
C’est cette formule que nous utiliserons dans
le présent document. En effet, la série que nous
traitons est mensuelle, et nous allons effectuer un
lissage par moyennes mobiles d’ordre 12.
APPLICATION
Date Valeur MM(12) MMC(12) Med(12)
jan-90 15,6 fév-90 19,5
mars-90 21,5 avr-90 27,1 mai-90 26,2
juin-90 38,4 juil-90 52,3 30,650 30,671 25,900
aoû-90 67,5 30,692 30,671 25,900
sep-90 43,8 30,650 30,733 25,900
oct-90 25,6 30,817 30,700 25,900
nov-90 15 30,583 30,629 24,950
déc-90 15,3 30,675 30,721 24,950
Plaçons nous en 6,5 La moyenne mobile
d’ordre 12 sera calculée de la façon suivante:
MM6,5(12)=[15,6+19,5+21,5+27,1+26,2+38
,4+52,3+67,5+43,8+25,6+15+15,3]/12
MM6,5(12)=Z6,5/12
Z6,5=367,8
MM6,5(12)=30,65
Les moyennes mobiles suivantes se calculeront
par récurrence:
MM7,5(12)=[Z6,5+16,1-15,6]/12=368,3/12
MM7,5(12)=30,692
MM8,5(12)=[Z7,5+19-19,5]/12=367,8/12
MM8,5(12)=30,65
La méthode de calcul sera identiques pour
toutes les moyennes mobiles suivantes. Il est à no-
ter qu’une perte d’informations survient. Pour 187
données, nous ne disposons que de 176 moyennes
mobiles d’ordre 12. En effet la perte d’information
est égale à k-1 valeurs. Ici, 12-1=11.
Les dates d’affectation des moyennes mobilesd’ordre 12 seront intermédiaires. Par convention,
elles seront placées en t+0,5. C’est pourquoi la
MM6,5(12 ) est placée sur la ligne de juillet 1990.
PRINCIPE
Nous calculerons la moyenne mobile centrée
d’ordre 12 (forme particulière des moyennes mobi-
les pondérées) pour pallier aux problèmes des da-
tes d’affectation.
La MMCt(k) se définie comme la moyenne de
deux moyennes mobiles consécutives. Ainsi
MMCt(k)=[MMt-0,5(k)+MMt+0,5(k)]/2
APPLICATION
MMC7(12)=[MM6,5(12)+MM7,5(12)]/2
MMC7(12)=[30,65+30,692]/2
MMC7(12)=30,671
MMC8(12)=[30,692+30,65]=30,671
MMC9(12)=[30,65+30,817]=30,733
La première date d’affectation sera donc en
juillet 1990. La méthode de calcul sera identique
pour toutes les moyennes mobiles centrées suivan-
tes. Il est à noter que nous perdons une informa-
tion supplémentaire par rapport aux moyennes
mobiles d’ordre 12, portant à 12 le nombre de
valeurs perdues.
La médiane d’ordre 12 sera elle aussi calculée, car
elle a la propriété d’être insensible aux valeurs
aberrantes. Cependant, elle forme des plateaux.
Médiane(12)=Med{yt-p,yt-p+1,...,yt+p}
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Prévision par MMC(12)
La prévision par moyenne mobile centrée d’ordre
12 s’avère relativement simple. Les données
n’étant plus disponibles à partir d’août 2005, les
moyennes mobiles centrées d’ordre 12 ne sont plus
calculables à partir de janvier 2005. Il suffit de
remplacer la donnée manquante par la dernière
moyenne mobile centrée calculée.
Pour février 2005, la moyenne mobile centrée
d’ordre 12 sera égale à:
Ŷ182=[62,8+2*42+2*26,4+2*26,4+2*15,6
+2*15,8+2*20,5+2*22,8+2*26,9+2*26,2+2*32,5
+2*46,1+2*57,1+MMC12(181)] /24
avec MMC181(12)=32,80
Ŷ182=31,642
Au fur et à mesure, on remplace les données
inexistantes par les moyennes mobiles centrées
estimées.
Ŷ183=
[42+2*26,4+2*26,4+2*15,6+2*15,8+2*20,5+2*2
2,8+2*26,9+2*26,2+2*32,5+2*46,1+2*57,1+2*MMC12(181)+MMC12(182)] /24
avec MMC183(12)=31,642
Ŷ183=29,960
Il est à noter que l’on ne peut utiliser cette
méthode que sur une période relativement courte.
En effet, si on produit des moyennes mobiles cen-
trées d’ordre 12 à un horizon infini, on va tendre
vers 33,50.
Date Valeur MMC 12
sep-04 42 32,588
oct-04 26,4 32,638nov-04 15,6 32,575
déc-04 15,8 32,650
jan-05 20,5 32,800
fév-05 22,8 31,642
mars-05 26,9 29,960
avr-05 26,2 29,677
mai-05 32,5 30,412
uin-05 46,1 31,607
juil-05 57,1 32,679
aoû-05 33,553sep-05 34,242
oct-05 34,854
nov-05 35,287
déc-05 34,935
jan-06 33,561
fév-06 32,669
mars-06 32,743
avr-06 32,902
mai-06 33,153
juin-06 33,401
juil-06 33,590
aoû-06 33,703
sep-06 33,747
oct-06 33,733
nov-06 33,665
déc-06 33,551
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Tableaux de Buys-Ballot
Tableau 1Moyennes et écarts-types
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Moyenne ET
1990 15,6 19,5 21,5 27,1 26,2 38,4 52,3 67,5 43,8 25,6 15,0 15,3 30,650 16,604
1991 16,1 19,0 23,5 24,3 27,3 39,5 55,8 70,4 44,2 25,1 15,1 15,2 31,292 17,661
1992 17,0 21,0 22,0 26,0 28,0 40,0 54,0 67,0 42,0 23,0 13,0 15,0 30,667 16,735
1993 17,0 20,0 20,0 25,0 26,0 38,0 54,0 66,0 41,0 23,0 13,0 14,0 29,750 16,679
1994 18,0 21,0 22,0 26,0 29,0 41,0 58,0 70,0 45,0 25,0 14,0 14,0 31,917 17,911
1995 18,5 20,8 21,6 28,7 28,8 44,0 58,4 69,9 45,3 26,2 14,8 15,5 32,708 17,804
1996 18,6 21,8 24,2 28,2 30,5 43,8 57,9 66,8 43,2 25,9 15,2 14,8 32,575 16,839
1997 17,9 22,0 26,0 25,2 31,5 41,3 55,5 66,9 42,9 25,5 14,2 15,2 32,008 16,509
1998 18,6 22,2 22,1 27,7 31,2 44,2 56,8 68,7 43,1 26,9 14,5 16,0 32,667 17,082
1999 19,2 22,3 22,9 27,7 32,7 44,7 57,4 67,8 45,3 26,5 15,1 14,7 33,025 17,129
2000 20,8 22,8 24,8 30,8 32,0 48,9 60,0 69,8 48,1 28,3 17,5 19,1 35,242 17,282
2001 21,2 24,7 24,9 31,9 34,0 50,9 61,5 71,8 47,9 27,9 17,3 17,5 35,958 17,949
2002 17,6 22,7 25,7 27,0 32,9 45,7 56,8 66,1 43,7 27,1 16,3 16,2 33,150 16,4212003 20,4 24,8 25,3 31,1 33,7 51,9 61,1 70,6 46,3 29,5 17,3 20,2 36,017 17,426
2004 19,4 23,6 23,8 28,1 32,1 44,7 54,9 62,8 42,0 26,4 15,6 15,8 32,433 15,394
2005 20,5 22,8 26,9 26,2 32,5 46,1 57,1 33,157 13,517
Moyenne 18,52521,938 23,575 27,56330,525 43,944 56,969 68,140 44,253 26,127 15,193 15,9 Moyenne Générale 32,689
ET 1,665 1,678 1,944 2,220 2,630 4,181 2,559 2,339 2,080 1,765 1,422 1,764 ET Général 16,329
Tableau 2
Classement par valeur décroissante
1990 août juillet septembre juin avril mai octobre mars février janvier décembre novembre
1991 août juillet septembre juin mai octobre avril mars février janvier décembre novembre
1992 août uillet se tembre uin mai avril octobre mars février anvier décembre novembre
1993 août juillet septembre juin mai avril octobre février mars janvier décembre novembre
1994 août uillet se tembre uin mai avril octobre mars février anvier novembre décembre
1995 août uillet se tembre uin mai avril octobre mars février anvier décembre novembre
1996 août juillet juin septembre mai avril octobre mars février janvier novembre décembre
1997 août juillet septembre juin mai mars octobre avril février janvier décembre novembre
1998 août juillet juin septembre mai avril octobre février mars janvier décembre novembre
1999 août juillet septembre juin mai avril octobre mars février janvier novembre décembre
2000 août uillet uin se tembre mai avril octobre mars février anvier décembre novembre
2001 août juillet juin septembre mai avril octobre mars février janvier décembre novembre
2002 août uillet uin se tembre mai octobre avril mars février anvier novembre décembre
2003 août uillet uin se tembre mai avril octobre mars février anvier décembre novembre
2004 août juillet juin septembre mai avril octobre mars février janvier décembre novembre
2005 juillet juin mai mars avril février janvier
Comme nous le voyons, il existe une saisonnalité dans la série: le mois d’août arrive systématiquement premier et le mois de juillet, second. (pour les années complètes) . Il n’y a donc pas de rupture. Le classement de l’année 2005 ne peut être pris enconsidération, car les données disponibles ne couvrent pas la totalité de l’année.
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Calcul des coefficients saisonniers
PRINCIPE
Il existe trois types de modèles. Le modèle additif,
le modèle multiplicatif, le modèle mixte. Ces mo-
dèles permettent la juxtaposition de plusieurscomposantes: la tendance, le cycle conjoncturel,
les variations saisonnières et les variations acciden-
telles ou erreurs.
La tendance (T) donne l’allure générale de la
série, c’est à dire les variations de long terme.
Le cycle conjoncturel (C) regroupe les varia-
tions autours de la tendance avec des alternances
de phases d’expansion, de contraction et de réces-
sion.
Les variations saisonnières (S) sont liées au
rythme imposé par les saisons météorologiques,
ainsi qu’aux phénomènes périodiques.Enfin, les erreurs (E) résultent de multiples
causes. Elles sont aléatoires et de courte durée.
Le modèle additif a pour équation de base:
y=T+C+S+E
Le modèle multiplicatif est lui défini par
l’équation:
y=T*C*S*E
Le choix entre les deux modèles s’effectue par
analyse graphique de l’évolution de la série. Notre
modèle est de type additif.
Nous allons décomposer la série. Il nous faut
donc utiliser un des quatre cas de suppositions
relatives à la tendance-cycle. (noté fij, i étant l’in-
dice de la période et j l’indice de la saison)
Nous utiliserons le cas général, c’est à dire la
cas dans lequel les fij ne sont pas spécifiés. T et C
existent de façon arbitraires. On comparera donc
les données de la série aux moyennes mobiles cen-trées d’ordre 12.
Ainsi, fij=MMCij(12)
Il conviendra ensuite de calculer les coeffi-
cients saisonniers (Sj):
Sij=yij-fij=yij-MMCij(12)
Dans le cas du modèle additif, la somme des
coefficients saisonniers doit être égale à 0. Sinon,
une correction doit être effectuée.
Si tel n’est pas le cas, les coefficients saison-
niers corrigés s’obtiendront ainsi:
APPLICATION
Ici, le modèle que nous cherchons à modéliser
est de type additif. En effet, à partir du graphique,
on ne constate pas d’amplification des variations.
Il faut tout d’abord calculer les Sij. La pre-
mière donnée sera donc S1990,7.En effet, la pre-
mière MMCt(12) est disponible en juillet 1990.
Ainsi
S1990,7=52,3-30,671=21,629
S1990,8=67,5-30,671=36,829
S1990,9=43,8-30,733=13,067
Il en sera de même pour les Sij suivants.
Une fois ces Sij calculés, il convient de calculer
les coefficients saisonniers Sj
Calculons celui de janvier:
S1=[1/15] *
[-14,812-14,575-13-12,883-14,479-14,308-13,637
-13,783-14,729-16,829-14,229-15,067-12,3]
S1=-14,112
Nota bene: il n’existe pas de S1990,1, c’est
pourquoi nous commençons la sommation à partir
de 1991. En effet, il n’existe que 175 Sij, s’étalant
de juillet 1990 à janvier 2005
Une fois les Sj calculés, nous les sommons.
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S°=-14,112-10,778-9,323-5,113-2,117+11,37
2+24,276+35,433+11,522-6,617-17,565-16,898
S°=0,079
Donc S°≠0
Il faut corriger les données.
Alors:
Il faudra corriger les onze autres coefficients
saisonniers.
Enfin, le calcul des données CVS dans le casdu modèle additif se présentera sous la forme:
...
On obtiendra 187 données CVS.
Le graphique des données CVS figure à la fin
de cette section sous le numéro 2.
CALCUL DE LA DROITE DE REGRES-
SION, DE LA TENDANCE ET DU CY-
CLE
Nous calculons la droite de régression à l’aide
d’Excel. La régression linéaire porte sur les 15
années complètes: de 1990 à 2004.
Variable Endogène Trend
30,650 1
31,292 2
30,667 3
29,750 4
31,917 5
32,708 6
32,575 7
32,008 8
32,667 933,025 10
35,242 11
35,958 12
33,150 13
36,017 14
32,433 15
On obtient les paramètres suivantes:
A 0,317 30,134 B
σ A 0,075 0,681 σ B
r2 0,580 1,253 F-stat 17,919 13,000 Degrés de lib.
28,152 20,423 Somme résidus 2
Une transformation est nécessaire, car ces para-mètres sont annuels. Ainsi:
Nous pouvons maintenant calculer la tendance etle cycle, ce qui nous permettra par la suite deréaliser des prévisions.
Le calcul de la tendance se fait en appliquant laformule:
T=b+t*a
La première donnée sera donc:
T1=30,279+1*0,0264=30,306T2=30,279+2*0,0264=30,332…On peut calculer 187 données.
Le cycle se définit comme la différence entre lamoyenne mobile centrée d’ordre 12 et la ten-
dance.
Le premier cycle ne s’obtiendra qu’à partir de juillet 1990, c’est à dire la première moyennemobile centrée que nous avons pu produire.
C7=30,671-30,664=0,207C8=30,671-30,491=0,180
On obtiendra donc 175 données.La moyenne du cycle est de 0,013La dernière donnée disponible donne un cycle de-2,262. (janvier 2005)
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Prévision et intervalle de confiance
PRINCIPE
Selon le principe de décomposition, on prévoit
chaque composante et on combine les prévisions.
Pour la tendance, on utilise la courbe de crois-
sance appropriée, que l’on va calculer dans le fu-tur.
Pour le cycle conjoncturel, on se réfère à la
situation conjoncturelle. C’est la composante la
plus difficile à prévoir. Dans la pratique, on a éven-
tuellement recourt à une expertise extérieure. (en-
quêtes de conjoncture auprès des ménages, enquê-
tes de prévision réalisées auprès d’un panel d’ex-
perts, publications économiques d’organisations
nationales et internationales...)
Pour la composante saisonnière, on utilisera
les coefficients saisonniers estimés que nous avons
calculés.
APPLICATION
Nous connaissons aussi les coefficients saison-
niers:
S*1 -14,119
S*2 -10,785
S*3 -9,330
S*4 -5,120
S*5 -2,124
S*6 11,366
S*7 24,269
S*8 35,426
S*9 11,516
S*10 -6,624
S*11 -17,572
S*12 -16,904
Pour le cycle, nous retiendrons la moyenne,
c’est à dire 0,013. Nous effectueront également
une prévision pour un cycle de -2,262 (hypothèse
basse).
Effectuons le calcul de la prévision pour août
2005.
Nous obtiendrons la prévision suivante pour
un cycle de 0,013:
Ŷ188=T+C+S
Ŷ188=[0,0264*188+30,279]+0,013+35,426
Ŷ188=70,686
Pour un cycle de -2,262, la prévision sera cal-
culée de la façon suivante:
Ŷ188=[0,0264*188+30,279]-2,262+35,426
Ŷ188=78,411
Pour calculer l’intervalle de confiance à 80%,
nous avons classé les erreurs par ordre croissant.
D’autre part, nous avons pris deux valeurs extrê-
mes. Nous avons donc choisi -5,5 et 5. Nous avonsaussi calculé les probabilités associées aux erreurs.
(le pas étant de 1/187). La borne inférieure est
donc la prévision effectuée à laquelle on addi-
tionne -1,62 tandis que la borne supérieure est
égale à la prévision à laquelle on ajoute 1,52. En
effet, il y aura 10% d’erreurs inférieures à -1,62 et
10% d’erreurs supérieures à 1,52.
9
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Pour un cycle de 0,013, on obtiendra les pré-
visions et bornes suivantes:
Date Borne Inf. Prévision Borne Su .
fév-05 22,696 24,316 25,836
mars-05 24,178 25,798 27,318
avr-05 28,414 30,034 31,554
mai-05 31,436 33,056 34,576
juin-05 44,952 46,572 48,092
uil-05 57,882 59,502 61,022
aoû-05 69,066 70,686 72,206
se -05 45,182 46,802 48,322
oct-05 27,069 28,689 30,209
nov-05 16,147 17,767 19,287
déc-05 16,841 18,461 19,981
jan-06 19,653 21,273 22,793
fév-06 23,013 24,633 26,153
mars-06 24,495 26,115 27,635
avr-06 28,731 30,351 31,871
mai-06 31,753 33,373 34,893
juin-06 45,269 46,889 48,409
juil-06 58,199 59,819 61,339
aoû-06 69,383 71,003 72,523
sep-06 45,499 47,119 48,639
oct-06 27,386 29,006 30,526
nov-06 16,464 18,084 19,604
déc-06 17,158 18,778 20,298
jan-07 19,970 21,590 23,110
fév-07 23,330 24,950 26,470
mars-07 24,812 26,432 27,952
avr-07 29,048 30,668 32,188
mai-07 32,071 33,691 35,211
juin-07 45,587 47,207 48,727
uil-07 58,516 60,136 61,656
aoû-07 69,700 71,320 72,840
se -07 45,816 47,436 48,956
oct-07 27,703 29,323 30,843
nov-07 16,781 18,401 19,921
déc-07 17,475 19,095 20,615
Pour un cycle de -2,262, on obtiendra les
prévisions et bornes suivantes:
Date Borne Inf. Prévision Borne Sup.
fév-05 20,422 22,042 23,562
mars-05 21,903 23,523 25,043
avr-05 26,140 27,760 29,280
mai-05 29,162 30,782 32,302
juin-05 42,678 44,298 45,818
juil-05 55,608 57,228 58,748
aoû-05 66,791 68,411 69,931
sep-05 42,907 44,527 46,047
oct-05 24,794 26,414 27,934
nov-05 13,872 15,492 17,012
déc-05 14,567 16,187 17,707
an-06 17,378 18,998 20,518
fév-06 20,739 22,359 23,879
mars-06 22,220 23,840 25,360
avr-06 26,457 28,077 29,597
mai-06 29,479 31,099 32,619
juin-06 42,995 44,615 46,135
uil-06 55,925 57,545 59,065
aoû-06 67,108 68,728 70,248
se -06 43,224 44,844 46,364
oct-06 25,111 26,731 28,251
nov-06 14,189 15,809 17,329
déc-06 14,884 16,504 18,024
an-07 17,695 19,315 20,835
fév-07 21,056 22,676 24,196mars-07 22,537 24,157 25,677
avr-07 26,774 28,394 29,914
mai-07 29,796 31,416 32,936
juin-07 43,312 44,932 46,452
juil-07 56,242 57,862 59,382
aoû-07 67,426 69,046 70,566
sep-07 43,541 45,161 46,681
oct-07 25,428 27,048 28,568
nov-07 14,506 16,126 17,646
déc-07 15,201 16,821 18,341
Les graphiques correspondants figurent à la
fin de cette section sous les numéros 3 et 4.
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Graphique 1MM(12), MMC(12) et Med(12)
10
20
30
40
50
60
70
80
jan-90
jan-91
jan-92
jan-93
jan-94
jan-95
jan-96
jan-97
jan-98
jan-99
jan-00
jan-01
jan-02
jan-03
jan-04
jan-05
Série MM(12) MMC(12) Med(12)
Comme nous le voyons sur le graphique, la médiane d’ordre 12 est inférieure aux moyennes mobiles et moyennes mobi-
les centrées. Il existe donc dans la série de fortes amplitudes. La médiane a éliminé les aspérités, mais pas autant que les
MM(12) et MMC(12).
Graphique 2Données CVS
0
10
20
30
40
50
60
70
80
j a n - 9 0
j u i l - 9 0
j a n - 9 1
j u i l - 9 1
j a n - 9 2
j u i l - 9 2
j a n - 9 3
j u i l - 9 3
j a n - 9 4
j u i l - 9 4
j a n - 9 5
j u i l - 9 5
j a n - 9 6
j u i l - 9 6
j a n - 9 7
j u i l - 9 7
j a n - 9 8
j u i l - 9 8
j a n - 9 9
j u i l - 9 9
j a n - 0 0
j u i l - 0 0
j a n - 0 1
j u i l - 0 1
j a n - 0 2
j u i l - 0 2
j a n - 0 3
j u i l - 0 3
j a n - 0 4
j u i l - 0 4
j a n - 0 5
j u i l - 0 5
Série CVS Série Initiale
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Graphique 3Prévision et intervalle de confiance (cycle de 0,013)
0
10
20
30
40
50
60
70
80
f é v - 0 5
a v r - 0 5
j u i n
- 0 5
a o û -
0 5
o c t -
0 5
d é c - 0 5
f é v - 0 6
a v r - 0 6
j u i n
- 0 6
a o û -
0 6
o c t -
0 6
d é c - 0 6
f é v - 0 7
a v r - 0 7
j u i n
- 0 7
a o û -
0 7
o c t -
0 7
d é c - 0 7
Prévision Borne Inf. Borne Sup.
Graphique 4Prévision et intervalle de confiance (cycle de -2,262)
0
10
20
30
40
50
60
70
80
f é v - 0 5
a v r - 0 5
j u i n
- 0 5
a o û -
0 5
o c t -
0 5
d é c - 0 5
f é v - 0 6
a v r - 0 6
j u i n
- 0 6
a o û -
0 6
o c t -
0 6
d é c - 0 6
f é v - 0 7
a v r - 0 7
j u i n
- 0 7
a o û -
0 7
o c t -
0 7
d é c - 0 7
Prévision Borne Inf. Borne Sup.
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Lissage exponentielLissage exponentiel de Holt WintersPRINCIPE
Les méthodes de lissage exponentiel permet-
tent un calcul rapide pour un grand nombre de
séries. Ces méthodes de prévision sont avéréesfournir une prévision de qualité.
Il existe trois méthodes, suivant que la série
présente ou non une tendance, et une saisonnalité.
Le lissage exponentiel simple est employé dans le
cas d’une série ne présentant pas de tendance li-
néaire, ni de saisonnalité. Le lissage exponentiel
double et la méthode de Holt ne conviennent que
lorsqu’une tendance est présente, et qu’il n’existe
pas de saisonnalité. La méthode de Holt est une
généralisation de la méthode de lissage exponen-
tiel double. Enfin, la méthode de Holt Winters
(additive ou multiplicative) est utilisée dans la casd’une série présentant à la fois une tendance et
une saisonnalité.
Avant d’introduire le modèle de Holt Winters
additif, que nous allons utiliser ici pour modéliser
la série, il est nécessaire d’expliquer les principes
du modèle de Holt.
La série traitée dans ce dossier présente une
saisonnalité. il conviendra donc d’utiliser la mé-
thode de Holt Winters additive.
La méthode de Holt Winters est une générali-
sation de la méthode de Holt. Elle est conçue de
telle sorte qu’une composante saisonnière soit in-
troduite dans la méthode de prévision localement
linéaire. Nous noterons It la composante saison-
nière de la série. Cette composante sera supposée
périodique, de période s.
Ainsi: It=It-s
La fonction de prévision localement linéaire se
présentera donc sous la forme suivante dans le cas
d’un modèle Holt Winters additif:ŷt(h)=St+hTt+It+h
Avec It+h ={
Une troisième équation est ajoutée au modèle,
avec le même principe que les deux premières. Il
s’agit en effet de combiner la variation saisonnièreet la dernière estimation du coefficient saisonnier
de la saison considérée.
It+h-s si 0≤h≤s
It+h-2s si s<h≤2s
...
Le modèle se présentera sous la forme sui-
vante:
St=α(yt-It-s)+(1-α )(St-1+Tt-1)Tt= γ(St-St-1)+(1- γ )Tt-1
It=δ(yt-St)+(1-δ )It-s
ŷt(1)=St+Tt+It+1
Nous utiliserons la méthode de mise à jour par
l’erreur.
Ainsi,
St=St-1+Tt-1+α(et)
Tt=Tt-1+ γα(et)
It=It-s+δ(1-α )et
ŷt(h)=St+hTt+It+h
APPLICATION
Période Valeur St Tt It
jan-90 15,6 30,650 -15,050
fév-90 19,5 30,650 -11,150
mars-90 21,5 30,650 -9,150
avr-90 27,1 30,650 -3,550
mai-90 26,2 30,650 -4,450
uin-90 38,4 30,650 7,750
juil-90 52,3 30,650 21,650
aoû-90 67,5 30,650 36,850
sep-90 43,8 30,650 13,150
oct-90 25,6 30,650 -5,050
nov-90 15 30,650 -15,650
déc-90 15,3 30,650 0,000 -15,350
jan-91 16,1 30,828 0,000 -14,851
fév-91 19 30,587 0,000 -11,419
mars-91 23,5 31,322 0,000 -8,330
avr-91 24,3 30,085 0,000 -4,929
Il faut préalablement définir St sur la période al-lant de janvier 1990 à décembre 1990. On prendradonc la moyenne annuelle de la série pour St.
Pour Tt, on se place en décembre 1990, et on yinscrit la valeur 0. En effet, ce n’est qu’à partir de1991 que nous utiliserons la formule de calcul.
It, pour les douze premiers mois de la série se dé-finira comme la différence entre les valeurs de lasérie et St, c’est à dire la moyenne de l’année1990.A partir de janvier 1991, on peut utiliser les for-mules définies plus haut.
13
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Prenons un exemple:
On calcule d’abord la prévision, ce qui nous per-mettra par la suite de calculer l’erreur qui est in-dispensables aux calculs suivants.
Ainsi, ŷ12(1)=S12+1*T12+I1= 30,65+1*0+(-15,05)ŷ12(1)=15,6L’erreur de prévision est la différence entre la va-
leur qui s’est réalisée en janvier 1991 et la prévi-sion que nous avons effectué en décembre 1990avec un horizon de un mois.Ici, nous avons une erreur de 0,5, c’est à dire 16,1-15,6.
Maintenant que nous possédons l’erreur, et la pré-vision, nous pouvons calculer St, Tt et It
Pour S13, en suivant les formules, nous obtenons:
S13=30,65+0+0,356*0,5S13=30,828
Pour Tt:T13=0+0,356*0*0,5T13=0
Pour It enfin, nous obtenons:
I13=-15,05+0,617*(1-0,356)*0,5I13=-14,851
Les données calculées figurent en annexe X.
LE CHOIX DE α,δ,γ
Les valeurs de α,δ,γ, s’obtiennent avec le solveur d’Excel. Le critère choisi est celui du RMSE.
Ici, on simplifiera la formule par:
L’application calculera toutes les combinaisons possibles de α,δ,γ afin d’obtenir le minimum del’erreur quadratique moyenne. La formule pour obtenir ce critère sur Excel réside en une combi-naisons de fonctions:On calculera dans un premier temps le SCR par le produit matriciel des erreurs (175,1) avec la ma-trice transposée (1,175). Nous obtiendrons uneseule valeur (175,1)*(1,175).Puis, on divise par 175 et on fait la racine carré.
Cette minimisation s’obtient une fois que toutesles formules ont été rentrées dans les cellules.
L’avantage de ce critère est d’être exprimé dans lamême unité que la valeur d’origine.
C’est ainsi que nous avons retenu les valeurs sui-vantes pour α,δ,γ.
α=0,356
δ=0,617
γ=0
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Prévision et intervalle de confiancePREVISION
La dernière donnée disponible est celle de juillet
2005. On se place donc à cette date et on effectuedes prévisions selon l’horizon choisi.
Ainsi, pour août 2005, on procédera de la façon
suivante:
S187=33,103
T187=0
I176=33,255 (août 2004)
ŷ187(1)=S187+1*T187+I176
ŷ187(1)=33,103+1*0+33,255
Pour septembre 2005:
Il faut ici prendre I177 (septembre 2004)
ŷ187(2)=S187+2*T187+I177
ŷ187(2)=33,103+2*0+11,346
Les prévisions ont été calculées pour un hori-
zon de 24 mois. (juillet 2007) Etant donné que
γ=0, nous obtiendront des valeurs identiques dansle futur. Ainsi, la prévision pour août 2005 sera
égale à celle d’août 2006. Celle de septembre
2005 sera égale à celle de septembre 2006...la
tendance est nulle.
INTERVALLE DE CONFIANCE
Pour calculer l’intervalle de confiance à 80%,
nous avons classé les 175 erreurs par ordre crois-
sant. D’autre part, nous avons pris deux valeurs
extrêmes. Nous avons donc choisi -4,3 et 4,5. Nousavons aussi calculé les probabilités associées aux
erreurs. (le pas étant de 1/175). La borne infé-
rieure est donc la prévision effectuée à laquelle on
additionne -1,8 tandis que la borne supérieure est
égale à la prévision à laquelle on ajoute 2,12. En
effet, il y aura 10% d’erreurs inférieures à - 1,8 et
10% d’erreurs supérieures à 2,12.
Date Borne Inf. Prévision Borne Sup.
aoû-05 64,558 66,358 68,478
sep-05 42,649 44,449 46,569
oct-05 25,879 27,679 29,799
nov-05 14,303 16,103 18,223
déc-05 14,910 16,710 18,830
jan-06 17,469 19,269 21,389
fév-06 20,603 22,403 24,523
mars-06 22,827 24,627 26,747
avr-06 25,021 26,821 28,941
mai-06 30,346 32,146 34,266
juin-06 44,506 46,306 48,426
juil-06 55,303 57,103 59,223
aoû-06 64,558 66,358 68,478
sep-06 42,649 44,449 46,569
oct-06 25,879 27,679 29,799
nov-06 14,303 16,103 18,223
déc-06 14,910 16,710 18,830
an-07 17,469 19,269 21,389
fév-07 20,603 22,403 24,523
mars-07 22,827 24,627 26,747
avr-07 25,021 26,821 28,941
mai-07 30,346 32,146 34,266
juin-07 44,506 46,306 48,426
uil-07 55,303 57,103 59,223
Le graphique des prévisions et de l’intervalle
de confiance figure sous le numéro 6.
15
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Graphique 5La prévision
0
10
20
30
40
50
60
70
80
j a n - 9 0
j u i l -
9 0
j a n - 9 1
j u i l -
9 1
j a n - 9 2
j u i l -
9 2
j a n - 9 3
j u i l -
9 3
j a n - 9 4
j u i l -
9 4
j a n - 9 5
j u i l -
9 5
j a n - 9 6
j u i l -
9 6
j a n - 9 7
j u i l -
9 7
j a n - 9 8
j u i l -
9 8
j a n - 9 9
j u i l -
9 9
j a n - 0 0
j u i l -
0 0
j a n - 0 1
j u i l -
0 1
j a n - 0 2
j u i l -
0 2
j a n - 0 3
j u i l -
0 3
j a n - 0 4
j u i l -
0 4
j a n - 0 5
j u i l -
0 5
Série Initiale Prévision
Graphique 6Prévision et intervalle de confiance
0
10
20
30
40
50
60
70
80
a o û
- 0 5
s e p
- 0 5
o c t - 0 5
n o v - 0 5
d é c - 0 5
j a n
- 0 6
f é v - 0 6
m a r s - 0 6
a v r - 0 6
m a i - 0
6
j u i n
- 0 6
j u i l -
0 6
a o û
- 0 6
s e p
- 0 6
o c t - 0 6
n o v - 0 6
d é c - 0 6
j a n
- 0 7
f é v - 0 7
m a r s - 0 7
a v r - 0 7
m a i - 0
7
j u i n
- 0 7
j u i l -
0 7
Borne Inf. Prévision Borne Sup.
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L I S S A G E E X P O N E N T I E L
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Méthode de Box et Jenkins
PRINCIPE
La méthode de Box et Jenkins, contrairement aux modè-
les saisonniers et le lissage exponentiel, ne suppose aucun
modèle théorique fixé a priori. A partir des corrélogrammesgénérés par Eviews 5, nous utiliserons des modèles stochasti-
ques AR et MA pour effectuer une modélisation. Nous utili-
serons un modèle SARIMA, présentant donc une partie sai-
sonnière et une partie non saisonnière.
APPLICATION
Corrélogramme 1Corrélogramme de la série ITAL
Comme nous le voyons, la série initiale (ITAL) n’est pas sta-
tionnaire. En effet, il existe une saisonnalité, et il convient dela stationnariser. Nous allons donc générer une série ITAL12
(1-B12 )ITALt=ITALt-ITALt-12
Corrélogramme 2Corrélogramme de la série ITAL12
Comme nous le voyons, les coefficients tendent rapide-
ment vers 0. Il ne convient donc pas de différencier cette sé-
rie à l’ordre 1 ou à l’ordre 2. Nous remarquons la présence
de valeurs significatives dans le corrélogramme partiel en 1 et
2. Dans le corrélogramme nous constatons que les coeffi-
cients sont significatifs jusqu’en 6 et que la deuxième valeur
est supérieure à la première. La partie saisonnière sera for-
cément une structure en 12, car le douzième coefficient d’au-
tocorrélation partiel est significatif. On remarque cependant
qu’il existe quelques perturbation, car la série n’est pas un cas
parfait. Nous tentons donc de modéliser la série par un pre-
mier modèle AR(2) et SMA(12).
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Modélisation 1 AR(2) SMA(12) avec constante
Modélisation 2
AR(2) SMA(12) sans constante
La constante n’est pas significative, c’est
pourquoi nous l’enlevons de la modélisa-
tion.
On constate que les coefficients associés à
AR(1), AR(2) et SMA(12) sont significatifs,
car la probabilité associée au T-Stat est in-
férieure à 5%. Le coefficient de détermina-
tion (0,595) et le coefficient de détermina-
tion corrigé (0,590) semblent satisfaisants. Il
convient également de regarder les critères
d’Akaike et de Schwarz afin de le minimi-
ser. Cependant, dans notre cas, nous
n’avons qu’un seul modèle pertinent. On
peut juste remarquer que le fait d’enlever la
constante a réduit les deux critères.
Notre modèle s’écrira donc:
SARIMA(2,0,0).(0,1,1)12
Donc:
Avec Xt la série initiale. (ITAL)
Il faut maintenant vérifier que les erreurs ne
sont pas autocorrélées. (hypothèse d’ho-moscédasticité)
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Corrélogramme 3Corrélogramme des résidus de l’estimation
Les perturbations doivent former un bruit
blanc. Les résidus de la série ne semblent pas
autocorrélés. C’est la meilleure estimation que
nous aillons obtenu. En effet, nous avons tenté
de faire disparaître certaines valeurs qui sem-
blaient à la limite du seuil de significativité,
mais sans succès. D’autre part, un modèle plus
“compliqué” génère plus de valeur significative
dans le corrélogramme des résidus qu’il n’en
élimine. Le seuil de significativité est ici fixé à
±0,149 pour une erreur de 5 %. (aucune valeur
n’est significative pour le corrélogramme, tan-
dis que pour le corrélogramme partiel, on re-
marque qu’en 16 et 22, les coefficients sortent
légèrement de l’intervalle) Nous décidons, mal-
gré ces deux valeurs posant problème de vali-
der le modèle. On notera aussi que les probabi-
lités associées au Q-Stat sont supérieures à0,05, et ce dès le quatrième coefficient d’auto-
corrélation. Q-Stat<Q-Théorique pour accep-
ter le risque. L’hypothèse jointe est que les n
coefficients d’autocorrélation consécutifs sont
égaux à 0.
TestTest de Normalité
La probabilité associée
au test de Jarque-Bera
est supérieure à 5%. Les
résidus suivent donc une
distribution normale. Il
n’y a pas de valeur abé-
rante. D’autre part, on
peut remarquer que le
Skewness est proche de
0, et le Kurtosis proche
de 3, c’est à dire les va-
leurs obtenues pour une
loi normale.
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Graphique 7Graphe de l’estimation sur la période août 2003 à juillet 2005
Nous avons “enlevé” deux ans à
la série et avons effectué l’esti-
mation sur les deux années
manquantes. Ainsi, nous avons
considéré que la série s’arrêtait
en juillet 2003 et effectué les
prévisions jusqu’en juillet 2005
Tableau 1Comparaison de la série initiale et de l’estimation obtenue
La prévision semble relativement peu éloignée de la réalité. Nous déci-
dons de réintégrer les deux années que nous avons omis pour obtenir les
présents résultats afin d’obtenir des prévisions jusqu’en juillet 2007.
Les prévisions de la série ITAL, comprises dans ITALF commencent à
partir d’août 2003; Les valeurs précédentes (janvier 1990 à juillet 2003)
correspondent aux observations réelles.
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Prévision par AR(2) et SMA(12)
Tableau 2Prévision pour la période août 2005 - juillet 2007
Nous obtenons les résultats suivant pour la période allant d’août 2005 à
juillet 2007. Les prévisions de la série ITAL, comprises dans ITALF2commencent à partir d’août 2005; Les valeurs précédentes (janvier 1990 à
juillet 2005) correspondent aux observations réelles.
Nous verrons ultérieurement que ces résultats semblent relativement pro-
ches des valeurs obtenues précédemment par la modélisation Holt-Win-
ters additive et le modèle saisonnier pessimiste.
Graphique 9Prévision pour la période août 2005 - juillet 2007
Nous obtenons le graphique suivant pour
une prévision s’étalant d’août 2005 à juillet
2007.
Nous remarquons que l’intervalle de con-
fiance ne croît pas beaucoup au cours dutemps. Nous allons comparer dans la partie
suivante les données obtenues avec les mo-
dèles Holt-Winters, Box-Jenkins et saison-
niers.
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Comparaison des prévisionsGraphique 10Graphique des prévisions obtenues avec les quatre modèles
Nous avons donc créé un graphe avec les différentes méthodes de prévision.
Comparaison des méthodes
0
10
20
30
40
50
60
70
80
a o û - 0 5
s e p - 0 5
o c t - 0
5
n o v - 0 5
d é c - 0 5
j a n - 0 6
f é v - 0 6
m a r s - 0 6
a v r - 0
6
m a i
- 0 6
j u i n
- 0 6
j u i l -
0 6
a o û - 0 6
s e p - 0 6
o c t - 0
6
n o v - 0 6
d é c - 0 6
j a n - 0 7
f é v - 0 7
m a r s - 0 7
a v r - 0
7
m a i
- 0 7
j u i n
- 0 7
j u i l -
0 7
Saisonnier (cycle=0,013) Saisonnier (cycle=-2,262) Holt-Winters Box-Jenkins
Date
Saisonnier (cy-
cle=0,013)
Saisonnier (cy-
cle=-2,262) Holt-Winters Box-Jenkins
aoû-05 70,686 68,411 66,358 66,246
sep-05 46,802 44,527 44,449 43,886
oct-05 28,689 26,414 27,679 26,995
nov-05 17,767 15,492 16,103 15,909
déc-05 18,461 16,187 16,71 16,848
an-06 21,273 18,998 19,269 19,622
fév-06 24,633 22,359 22,403 23,108
mars-06 26,115 23,84 24,627 25,19
avr-06 30,351 28,077 26,821 27,884
mai-06 33,373 31,099 32,146 32,479
juin-06 46,889 44,615 46,306 46,706
juil-06 59,819 57,545 57,103 57,436
aoû-06 71,003 68,728 66,358 66,607
sep-06 47,119 44,844 44,449 44,149
oct-06 29,006 26,731 27,679 27,232
nov-06 18,084 15,809 16,103 16,099
déc-06 18,778 16,504 16,71 17,011
an-07 21,59 19,315 19,269 19,756
fév-07 24,95 22,676 22,403 23,221
mars-07 26,432 24,157 24,627 25,284
avr-07 30,668 28,394 26,821 27,963
mai-07 33,691 31,416 32,146 32,544
juin-07 47,207 44,932 46,306 46,76
juil-07 60,136 57,862 57,103 57,481
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Au final, il semble que le modèle saisonnier avec
un cycle de 0,013, c’est à dire la moyenne du cy-
cle, surestime le taux d’occupation. Il en est de
même pour le modèle calculé à partir d’un cycle
de -2,262, c’est à dire, le dernier cycle disponible,
même s’il semble plus proche des modélisation de
Holt-Winters et de Box & Jenkins. Le modèle
Holt-Winters semble relativement proche du mo-
dèle Box & Jenkins. Cependant, on peut noter une
légère surestimation de la part du modèle Box &
Jenkins par rapport au modèle Holt-Winters. Le
modèle Box & Jenkins étant un modèle théori-
quement plus élaboré, nous le retiendrons.
Les prévisions semble donc croître (faible-
ment), ce qui est normal étant donné l’attractivité
du pays. Cette hausse limitée est notamment dueà la concurrence toujours plus intense des destina-
tions touristiques extra-communautaires, facilitée
par les compagnies d’aviation low-cost.
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