sèries temporals discretes amb aplicacions
TRANSCRIPT
IntroduccioEl proces INAR(1)El proces INAR(2)El proces INMA(1)El proces INMA(2)
Aplicacio a la serie de FurthAplicacio a la serie d’ingressos per grip
Series temporals discretes amb aplicacions
David Morina Soler
David Morina Soler Series temporals discretes amb aplicacions
IntroduccioEl proces INAR(1)El proces INAR(2)El proces INMA(1)El proces INMA(2)
Aplicacio a la serie de FurthAplicacio a la serie d’ingressos per grip
Contingut
1 Introduccio
2 El proces INAR(1)
3 El proces INAR(2)
4 El proces INMA(1)
5 El proces INMA(2)
6 Aplicacio a la serie de Furth
7 Aplicacio a la serie d’ingressos per grip
David Morina Soler Series temporals discretes amb aplicacions
IntroduccioEl proces INAR(1)El proces INAR(2)El proces INMA(1)El proces INMA(2)
Aplicacio a la serie de FurthAplicacio a la serie d’ingressos per grip
Introduccio
Les series temporals de recomptes apareixen quotidianament.
Normalment, aquestes series consisteixen en una successio denombres enters no negatius, i alguns aspectes de la modelitzaciocontınua resulten inadequats per a aquests casos.L’analisi classica de series temporals resulta inadequada, perqueassumeix normalitat en les variacions aleatories de la serie.
David Morina Soler Series temporals discretes amb aplicacions
IntroduccioEl proces INAR(1)El proces INAR(2)El proces INMA(1)El proces INMA(2)
Aplicacio a la serie de FurthAplicacio a la serie d’ingressos per grip
Introduccio
Les series temporals de recomptes apareixen quotidianament.Normalment, aquestes series consisteixen en una successio denombres enters no negatius, i alguns aspectes de la modelitzaciocontınua resulten inadequats per a aquests casos.
L’analisi classica de series temporals resulta inadequada, perqueassumeix normalitat en les variacions aleatories de la serie.
David Morina Soler Series temporals discretes amb aplicacions
IntroduccioEl proces INAR(1)El proces INAR(2)El proces INMA(1)El proces INMA(2)
Aplicacio a la serie de FurthAplicacio a la serie d’ingressos per grip
Introduccio
Les series temporals de recomptes apareixen quotidianament.Normalment, aquestes series consisteixen en una successio denombres enters no negatius, i alguns aspectes de la modelitzaciocontınua resulten inadequats per a aquests casos.L’analisi classica de series temporals resulta inadequada, perqueassumeix normalitat en les variacions aleatories de la serie.
David Morina Soler Series temporals discretes amb aplicacions
IntroduccioEl proces INAR(1)El proces INAR(2)El proces INMA(1)El proces INMA(2)
Aplicacio a la serie de FurthAplicacio a la serie d’ingressos per grip
Comentarem alguns casos especials de models coneguts cominteger-valued autoregressive (INAR) i moving average processes(INMA).
Finalment, els resultats teorics s’aplicaran a un parell de casosconcrets: El conjunt de dades conegut com Furth data i unrecompte dels ingressos en un centre hospitalari per causesatribuıbles a la grip, que evidenciara el problema de l’estacionalitaten aquest context.
David Morina Soler Series temporals discretes amb aplicacions
IntroduccioEl proces INAR(1)El proces INAR(2)El proces INMA(1)El proces INMA(2)
Aplicacio a la serie de FurthAplicacio a la serie d’ingressos per grip
Comentarem alguns casos especials de models coneguts cominteger-valued autoregressive (INAR) i moving average processes(INMA).Finalment, els resultats teorics s’aplicaran a un parell de casosconcrets: El conjunt de dades conegut com Furth data i unrecompte dels ingressos en un centre hospitalari per causesatribuıbles a la grip, que evidenciara el problema de l’estacionalitaten aquest context.
David Morina Soler Series temporals discretes amb aplicacions
IntroduccioEl proces INAR(1)El proces INAR(2)El proces INMA(1)El proces INMA(2)
Aplicacio a la serie de FurthAplicacio a la serie d’ingressos per grip
El proces INAR(1)
Un proces INAR(1) {Xt , t ∈ Z} es defineix per
Xt = a ◦ Xt−1 + Wt ,
amb Wt una successio de variables aleatories independents iidenticament distribuıdes, amb distribucio de Poisson de parametreλ.
Es molt semblant al proces gaussia AR(1), definit per
Xt = a · Xt−1 + Wt
David Morina Soler Series temporals discretes amb aplicacions
IntroduccioEl proces INAR(1)El proces INAR(2)El proces INMA(1)El proces INMA(2)
Aplicacio a la serie de FurthAplicacio a la serie d’ingressos per grip
El proces INAR(1)
Un proces INAR(1) {Xt , t ∈ Z} es defineix per
Xt = a ◦ Xt−1 + Wt ,
amb Wt una successio de variables aleatories independents iidenticament distribuıdes, amb distribucio de Poisson de parametreλ. Es molt semblant al proces gaussia AR(1), definit per
Xt = a · Xt−1 + Wt
David Morina Soler Series temporals discretes amb aplicacions
IntroduccioEl proces INAR(1)El proces INAR(2)El proces INMA(1)El proces INMA(2)
Aplicacio a la serie de FurthAplicacio a la serie d’ingressos per grip
El proces INAR(1)
L’operador binomial thinning es pot definir per
a ◦ Xt−1 ≡ Y1,t−1 + Y2,t−1 + . . .+ YXt−1,t−1 =
Xt−1∑i=1
Yi ,t−1, (1)
amb els Yi ,t−1 variables aleatories i.i.d. amb distribucio deBernoulli amb P(Yi ,t−1 = 1) = a i P(Yi ,t−1 = 0) = 1− a.
David Morina Soler Series temporals discretes amb aplicacions
IntroduccioEl proces INAR(1)El proces INAR(2)El proces INMA(1)El proces INMA(2)
Aplicacio a la serie de FurthAplicacio a la serie d’ingressos per grip
El proces INAR(1)
Els processos INAR(1) es poden englobar en una classe mes ampliade processos autorregressius lineals de primer ordre (CLAR(1)),que inclouen molts models no gaussians AR(1) de gran utilitat.
Un model INAR(1) es pot interpretar com un proces de naixementi mort o be com una cua infinita.
David Morina Soler Series temporals discretes amb aplicacions
IntroduccioEl proces INAR(1)El proces INAR(2)El proces INMA(1)El proces INMA(2)
Aplicacio a la serie de FurthAplicacio a la serie d’ingressos per grip
El proces INAR(1)
Els processos INAR(1) es poden englobar en una classe mes ampliade processos autorregressius lineals de primer ordre (CLAR(1)),que inclouen molts models no gaussians AR(1) de gran utilitat.Un model INAR(1) es pot interpretar com un proces de naixementi mort o be com una cua infinita.
David Morina Soler Series temporals discretes amb aplicacions
IntroduccioEl proces INAR(1)El proces INAR(2)El proces INMA(1)El proces INMA(2)
Aplicacio a la serie de FurthAplicacio a la serie d’ingressos per grip
Estimacio dels parametres
Metode dels moments:
Pel model INAR(1), suposant quesegueix una llei Poisson (λ), l’estimador de Yule-Walker de aes l’autocorrelacio mostral de primer ordre, i l’estimador de λes (1− aYW )X .
David Morina Soler Series temporals discretes amb aplicacions
IntroduccioEl proces INAR(1)El proces INAR(2)El proces INMA(1)El proces INMA(2)
Aplicacio a la serie de FurthAplicacio a la serie d’ingressos per grip
Estimacio dels parametres
Metode dels moments: Pel model INAR(1), suposant quesegueix una llei Poisson (λ), l’estimador de Yule-Walker de aes l’autocorrelacio mostral de primer ordre, i l’estimador de λes (1− aYW )X .
David Morina Soler Series temporals discretes amb aplicacions
IntroduccioEl proces INAR(1)El proces INAR(2)El proces INMA(1)El proces INMA(2)
Aplicacio a la serie de FurthAplicacio a la serie d’ingressos per grip
Maxima versemblanca:
Els estimadors anomenats conditionalleast square (CLS) van ser introduıts per Klimko i Nelson al1978, i per al cas d’un model INAR(1), suposant de nou lleiPoisson (λ), venen donats per
aCLS =(T − 1)
∑Tt=2 XtXt−1 −
∑Tt=2 Xt
∑Tt=2 Xt−1
(T − 1)∑T
t=2 X2t−1 − (
∑Tt=2 Xt−1)2
λCLS = (T − 1)−1
(T∑t=2
Xt − aCLS
T∑t=2
Xt−1
)
David Morina Soler Series temporals discretes amb aplicacions
IntroduccioEl proces INAR(1)El proces INAR(2)El proces INMA(1)El proces INMA(2)
Aplicacio a la serie de FurthAplicacio a la serie d’ingressos per grip
Maxima versemblanca: Els estimadors anomenats conditionalleast square (CLS) van ser introduıts per Klimko i Nelson al1978, i per al cas d’un model INAR(1), suposant de nou lleiPoisson (λ), venen donats per
aCLS =(T − 1)
∑Tt=2 XtXt−1 −
∑Tt=2 Xt
∑Tt=2 Xt−1
(T − 1)∑T
t=2 X2t−1 − (
∑Tt=2 Xt−1)2
λCLS = (T − 1)−1
(T∑t=2
Xt − aCLS
T∑t=2
Xt−1
)
David Morina Soler Series temporals discretes amb aplicacions
IntroduccioEl proces INAR(1)El proces INAR(2)El proces INMA(1)El proces INMA(2)
Aplicacio a la serie de FurthAplicacio a la serie d’ingressos per grip
El proces INAR(2)
El proces INAR(2) es una extensio natural de l’INAR(1), i esdefineix com
Xt = a1 ◦ Xt−1 + a2 ◦ Xt−2 + Wt , (2)
amb Wt una sequencia de variables aleatories independents iidenticament distribuıdes, amb distribucio de Poisson de parametreλ i ◦ es l’operacio que s’ha definit abans. Hi ha maneresalternatives de definir els processos INAR(2).
David Morina Soler Series temporals discretes amb aplicacions
IntroduccioEl proces INAR(1)El proces INAR(2)El proces INMA(1)El proces INMA(2)
Aplicacio a la serie de FurthAplicacio a la serie d’ingressos per grip
El proces INAR(2)
El proces INAR(2) es una extensio natural de l’INAR(1), i esdefineix com
Xt = a1 ◦ Xt−1 + a2 ◦ Xt−2 + Wt , (2)
amb Wt una sequencia de variables aleatories independents iidenticament distribuıdes, amb distribucio de Poisson de parametreλ i ◦ es l’operacio que s’ha definit abans.
Hi ha maneresalternatives de definir els processos INAR(2).
David Morina Soler Series temporals discretes amb aplicacions
IntroduccioEl proces INAR(1)El proces INAR(2)El proces INMA(1)El proces INMA(2)
Aplicacio a la serie de FurthAplicacio a la serie d’ingressos per grip
El proces INAR(2)
El proces INAR(2) es una extensio natural de l’INAR(1), i esdefineix com
Xt = a1 ◦ Xt−1 + a2 ◦ Xt−2 + Wt , (2)
amb Wt una sequencia de variables aleatories independents iidenticament distribuıdes, amb distribucio de Poisson de parametreλ i ◦ es l’operacio que s’ha definit abans. Hi ha maneresalternatives de definir els processos INAR(2).
David Morina Soler Series temporals discretes amb aplicacions
IntroduccioEl proces INAR(1)El proces INAR(2)El proces INMA(1)El proces INMA(2)
Aplicacio a la serie de FurthAplicacio a la serie d’ingressos per grip
Estimacio dels parametres
Els estimador de Yule-Walker es poden deduir de lesautocorrelacions de primer i segon ordre:
ρ(k) =(T − k)−1
∑Tt=k+1(Xt − X )(Xt−k − X )
T−1∑T
t=1(Xt − X )2, k = 1, 2
Si assumim que el proces es un INAR(2) i segueix una llei dePoisson, l’equacio diferencial de segon ordre que hem vist quecomplia la ACF d’aquest model ens dona els estimadors deYule-Walker de a1 i a2:
a1 = ρ(1); a2 = ρ(2)− ρ(1)2
David Morina Soler Series temporals discretes amb aplicacions
IntroduccioEl proces INAR(1)El proces INAR(2)El proces INMA(1)El proces INMA(2)
Aplicacio a la serie de FurthAplicacio a la serie d’ingressos per grip
Estimacio dels parametres
Els estimador de Yule-Walker es poden deduir de lesautocorrelacions de primer i segon ordre:
ρ(k) =(T − k)−1
∑Tt=k+1(Xt − X )(Xt−k − X )
T−1∑T
t=1(Xt − X )2, k = 1, 2
Si assumim que el proces es un INAR(2) i segueix una llei dePoisson, l’equacio diferencial de segon ordre que hem vist quecomplia la ACF d’aquest model ens dona els estimadors deYule-Walker de a1 i a2:
a1 = ρ(1); a2 = ρ(2)− ρ(1)2
David Morina Soler Series temporals discretes amb aplicacions
IntroduccioEl proces INAR(1)El proces INAR(2)El proces INMA(1)El proces INMA(2)
Aplicacio a la serie de FurthAplicacio a la serie d’ingressos per grip
En aquest cas, l’estimador de λ es pot calcular a partir del’esperanca d’aquest model, i es
λ = (1− a1 − a2)X
David Morina Soler Series temporals discretes amb aplicacions
IntroduccioEl proces INAR(1)El proces INAR(2)El proces INMA(1)El proces INMA(2)
Aplicacio a la serie de FurthAplicacio a la serie d’ingressos per grip
El proces INMA(1)
Els dos models anteriors es basen en el fet que un proces {Xt} espot representar a partir d’un nombre finit de valors del passatd’aquest proces. Suposem que tenim unes dades que podemmodelitzar per un proces INAR(p), amb p = 1, 2. Aleshores, ladistribucio marginal de Xt es la mateixa que la de
∞∑i=1
cj ◦Wt−j + Wt
on cj = aj si p = 1 i c1 = a1, cj = a1cj−1 + a2cj−2, j = 2, 3, . . . sip = 2.
David Morina Soler Series temporals discretes amb aplicacions
IntroduccioEl proces INAR(1)El proces INAR(2)El proces INMA(1)El proces INMA(2)
Aplicacio a la serie de FurthAplicacio a la serie d’ingressos per grip
Suposant que el proces segueix una llei de Poisson de parametre λ,la mitjana i la variancia del proces venen donats perE[Xt ] = Var(Xt) = (1 + b)λ.
David Morina Soler Series temporals discretes amb aplicacions
IntroduccioEl proces INAR(1)El proces INAR(2)El proces INMA(1)El proces INMA(2)
Aplicacio a la serie de FurthAplicacio a la serie d’ingressos per grip
Estimacio dels parametres
Els estimadors de Yule-Walker es poden obtenir a partir del’esperanca del model que hem vist:
b =ρ(1)
1− ρ(1); λ =
X
1 + b
David Morina Soler Series temporals discretes amb aplicacions
IntroduccioEl proces INAR(1)El proces INAR(2)El proces INMA(1)El proces INMA(2)
Aplicacio a la serie de FurthAplicacio a la serie d’ingressos per grip
El proces INMA(2)
El proces INMA(2) es una extensio dels processos INMA(1), ambestructura
Xt = b1 ◦Wt−1 + b2 ◦Wt−2 + Wt ,
on els parametres bi ∈ [0, 1], per i = 1, 2. S’assumeix que lesoperacions bi ◦Wt−i es realitzen de manera independent, i = 1, 2entre elles i tambe de manera independent en el temps.
David Morina Soler Series temporals discretes amb aplicacions
IntroduccioEl proces INAR(1)El proces INAR(2)El proces INMA(1)El proces INMA(2)
Aplicacio a la serie de FurthAplicacio a la serie d’ingressos per grip
Els moments d’aquest proces sonE[Xt ] = Var(Xt) = λ(1 + b1 + b2), i la seva ACF es
ρ =
{ ∑2−ki=0 bibi+k
1+b1+b2si k = 1, 2
0 si k > 2
amb b0 = 1.
David Morina Soler Series temporals discretes amb aplicacions
IntroduccioEl proces INAR(1)El proces INAR(2)El proces INMA(1)El proces INMA(2)
Aplicacio a la serie de FurthAplicacio a la serie d’ingressos per grip
Estimacio dels parametres
A partir de l’esperanca del model que hem vist, es poden deduir elsestimadors de Yule-Walker per al cas dels models INMA(2),suposant que segueixen llei de Poisson(λ):
b1 =ρ(1)− 1 + [(1− ρ(1))2 + 4ρ(1)ρ(2)]1/2
2ρ(2)
b2 =ρ(1) + 2ρ(2)− 1 + [(1− ρ(1))2 + 4ρ(1)ρ(2)]1/2
2(1− ρ(2))
λ =X
1 + b1 + b2
David Morina Soler Series temporals discretes amb aplicacions
IntroduccioEl proces INAR(1)El proces INAR(2)El proces INMA(1)El proces INMA(2)
Aplicacio a la serie de FurthAplicacio a la serie d’ingressos per grip
David Morina Soler Series temporals discretes amb aplicacions
IntroduccioEl proces INAR(1)El proces INAR(2)El proces INMA(1)El proces INMA(2)
Aplicacio a la serie de FurthAplicacio a la serie d’ingressos per grip
Figura: Dades de Furth
David Morina Soler Series temporals discretes amb aplicacions
IntroduccioEl proces INAR(1)El proces INAR(2)El proces INMA(1)El proces INMA(2)
Aplicacio a la serie de FurthAplicacio a la serie d’ingressos per grip
Figura: Ingressos per grip
David Morina Soler Series temporals discretes amb aplicacions
IntroduccioEl proces INAR(1)El proces INAR(2)El proces INMA(1)El proces INMA(2)
Aplicacio a la serie de FurthAplicacio a la serie d’ingressos per grip
La funcio d’autocorrelacio i la funcio d’autocorrelacio parcialindiquen que un model INAR(2) pot resultar adequat per aaquestes dades:
David Morina Soler Series temporals discretes amb aplicacions
IntroduccioEl proces INAR(1)El proces INAR(2)El proces INMA(1)El proces INMA(2)
Aplicacio a la serie de FurthAplicacio a la serie d’ingressos per grip
Figura: Funcio d’autocorrelacio
David Morina Soler Series temporals discretes amb aplicacions
IntroduccioEl proces INAR(1)El proces INAR(2)El proces INMA(1)El proces INMA(2)
Aplicacio a la serie de FurthAplicacio a la serie d’ingressos per grip
Figura: Funcio d’autocorrelacio parcial
David Morina Soler Series temporals discretes amb aplicacions
IntroduccioEl proces INAR(1)El proces INAR(2)El proces INMA(1)El proces INMA(2)
Aplicacio a la serie de FurthAplicacio a la serie d’ingressos per grip
MOLTES GRACIES!!!
David Morina Soler Series temporals discretes amb aplicacions