sesión 3-sistemas
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Departamento de Ciencias
SISTEMAS DE COORDENADAS EN EL ESPACIO
SISTEMA DE COORDENADAS CICLINDRICAS Y ESFERICAS
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En el sistema de coordenadas cilndricas, ms aun en las coordenadas esfricas, cada punto se representa por un tro ordenado; la primera coordenada es una distancia, la segunda y la tercera son ngulos. Es un sistema similar al de longitud-latitud que se suele utilizar para localizar puntos sobre la superficie terrestre. As, la figura muestra el punto de la superficie terrestre cuya latitud es 40 Norte (del Ecuador) y cuya longitud es 80 Oeste (del meridiano cero). Supuesta la tierra esfrica de radio 4000 millas, ese punto vendr descrito como:
)50,80,4000(
NAVEGACIN MARTIMA Y COMERCIAL
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Las ecuaciones en coordenadas polares nos podr ayudar a definir las ecuaciones cilndricas?
Qu otros sistemas de coordenadas conoces en el espacio tridimensional?
Habr alguna relacin entre las coordenadas cilndricas y esfricas?
INTERROGANTES
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Se vio que ciertas grficas bidimensionales son ms fciles de representar en coordenadas polares que en coordenadas rectangulares. En esta sesin introduciremos dos sistemas alternativos de coordenadas para el espacio. El primero, el sistema de coordenadas cilndricas, es una generalizacin de las coordenadas polares en el espacio.
COORDENADAS CILNDRICAS
El sistema de coordenadas cilndricas es muy conveniente en aquellos casos en que se tratan problemas que tienen simetra de tipo cilndrico o acimutal. Se trata de una versin en tres dimensiones de las coordenadas polares de la geometra analtica plana.
x
y
z
x y
http://es.wikipedia.org/wiki/Simetr%C3%ADahttp://es.wikipedia.org/wiki/Simetr%C3%ADa_cil%C3%ADndricahttp://es.wikipedia.org/wiki/Coordenadas_polareshttp://es.wikipedia.org/wiki/Coordenadas_polareshttp://es.wikipedia.org/wiki/Coordenadas_polareshttp://es.wikipedia.org/wiki/Geometr%C3%ADa_anal%C3%ADticahttp://es.wikipedia.org/wiki/Geometr%C3%ADa_anal%C3%ADticahttp://es.wikipedia.org/wiki/Geometr%C3%ADa_anal%C3%ADticahttp://es.wikipedia.org/wiki/Geometr%C3%ADa_plana -
LOGRO DE SESIN
Al finalizar la sesin, el estudiante grafica puntos, curvas y superficies en el plano y en el espacio, utilizando las ecuaciones de conversiones de coordenadas rectangulares a coordenadas cilndricas y/o esfricas y viceversa; de forma correcta.
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Un punto O y una base B = {
i,
j,
k} de los vectores libres
del espacio constituyen un sistema de referencia en el espacio.
Se escribe S = {O;
i,
j,
k}.
En lo que sigue, por comodidad, trabajaremos en la base ortonormal.
[OP] = x .
i + y .
j + z .
k
Vector de posicin de P
Origen de coordenadas
COORDENADAS EN EL ESPACIO
(x, y, z) son las coordenadas de P respecto del sistema de referencia S.
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Los tres vectores de la base B determinan con el origen O tres ejes de coordenadas OX, OY, y OZ.
Los planos OXY, OYZ y OZX se denominan planos coordenados del sistema de referencia.
EJES Y PLANOS COORDENADOS EN EL ESPACIO
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x y
z
q
R
h
( , ) cos senz R R zq q q r i j k
0 2
0 z h
q
Coordenadas cilndricas
P(x,y,z)
z
222 ryx P(x,y,0)
A
zz
rseny
rx
q
qcos
Donde:
COORDENADAS CILINDRICAS
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ELICOIDAL
Cul es la parametrizacin de la curva?
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Cilndricas a
rectangulares
zz
rseny
rx
q
qcos
Rectangulares a
cilndricas
zz
x
yarctg
x
ytg
yxr
qq
222
Adems:
2222cos,
yx
x
yx
ysen
qq
q 20,0 r
Las variaciones son:
ECUACIONES DE CONVERSIONES
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EJEMPLO 1: Expresar en coordenadas rectangulares el punto
3,
6
5,4),,(
q zr
3
22
14
6
54
322
34
6
5cos4
z
seny
x
Solucin:
As pues, en coordenadas rectangulares ese punto es
)3,2,32(),,( zyx
EJEMPLOS
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EJEMPLO 2: Expresar el punto (x, y, z)= (1, , 2) en coordenadas cilndricas
Solucin:
231 r
2
3
)3(3
z
n
narctgtg
q
qq
Tenemos dos elecciones para r e infinitas para . Sin embargo, dos representaciones convenientes del punto son:
q
q
yr 02,3
,2
q
yr 02,3
4,2
en el cuadrante I
en el cuadrante III
3
EJEMPLOS
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EJEMPLO 3:
Hallar ecuaciones en coordenadas cilndricas para las superficies cuyas ecuaciones rectangulares se especifican a continuacin.
xyb
zyxa
2
222
)
4)
222 4zyx
Solucin:
a) Si sustituimos x2 + y2 por r2 , obtenemos su ecuacin en cilndricas
22 4zr
Ecuacin en coordenadas rectangulares
Ecuacin en coordenadas cilndricas
EJEMPLOS
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b) Sustituyendo y2 por r2 sen2 y x por r cos , obtenemos: q q
xy 2
qq cos22 rsenr
0)cos( 2 qqrsenr
0cos2 qqrsen
q
q2
cos
senr
qqqq
qctg
sensenr csc
1cos
Ecuacin rectangular
Ecuacin en cilndricas
EJEMPLOS
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EJEMPLO 4: Hallar la ecuacin en coordenadas rectangulares de la curva determinada por la ecuacin en cilndricas.
012cos 22 zr q
012cos 22 zr q
01)(cos 2222 zsenr qq
Solucin:
1cos 22222 zsenrr qq
1222 zyx
1222 zxy
Ecuacin en cilndricas
Ecuacin rectangular
Identidad trigonomtrica
CONVERSIN DE ECUACIONES CILNDRICAS A CARTESIANAS
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16 07/04/2015
COORDENADAS ESFRICAS
En el sistema de coordenadas esfricas cada punto se representa por un tro ordenado; la primera coordenada es una distancia, la segunda y la tercera son ngulos. Es un sistema similar al de longitud-latitud que se suele utilizar para localizar puntos sobre la superficie terrestre. As, la figura 10.74 muestra el punto de la superficie terrestre cuya latitud es 40 Norte (del Ecuador) y cuya longitud es 80 Oeste (del meridiano cero). Supuesta la tierra esfrica de radio 4000 millas, ese punto vendr descrito como:
)50,80,4000(
radio 80 del meridiano cero en el sentido de las agujas del reloj
50 del Polo norte hacia abajo
IMPORTANCIA DE LAS COORDENADAS ESFRICAS
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A partir de un punto P(x,y,z) de la superficie esfrica Vamos a obtener un nuevo sistema de coordenadas llamado: COORDENADAS ESFRICAS.
2222 rzyx
Proyectar el punto P sobre el plano XY el cual sera P(x,y,0), debemos hallar una relacin trigonomtrica entre las coordenadas (x,y,z) de P con los ngulos se obtiene: q ,
q
q
cos
cos
rz
senrseny
rsenx
SISTEMA DE COORDENADAS ESFRICAS
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En un sistema de coordenadas esfricas un punto genrico P del espacio viene
representado por un tro ordenado . q ,,
1 . es la distancia de P al origen, 2. es el mismo ngulo utilizado en coordenadas cilndricas para
3. es el ngulo entre el semieje z positivo y el segmento recto
0
q 0r
P0
0
Ntese que las coordenadas primera y tercera son siempre no negativas.
SISTEMA DE COORDENADAS ESFRICAS
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La relacin entre las coordenadas rectangulares y las esfricas se ilustra en la figura 10.75. Para pasar de uno a otro deben usarse las frmulas siguientes:
Esfricas a rectangulares:
q
q
cos
cos
z
senseny
senx
Rectangulares a esfricas:
222
2222
cos,zyx
zar
x
ytg
zyx
q
CONVERSIONES DE SISTEMA DE COORDENADAS ESFRICAS
A RECTANGULARES
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CONVERSIONES DE SISTEMA DE COORDENADAS
RECTANGULARES A ESFRICAS
a) Cono 222 zyx
b) Esfera 04222 zzyx
Solucin: a) Utilizando las ecuaciones de conversin, se obtiene:
q
q
cos
cos
z
senseny
senx
0,1tancos
coscos
22222
222
222
qq
sen
sensensen
zyx
4
3
4
La ecuacin , representa la mitad superior del cono y la ecuacin su mitad inferior. 4
4
3
EJEMPLO 3: Hallar una ecuacin en coordenadas esfricas para las superficies cuyas ecuaciones en coordenadas rectangulares se especifican a continuacin.
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a) Cambie la ecuacin de la esfera, en coordenadas cilndricas.
2 2 2 2 6 4 0x y z x y z
cos4,0
0cos40cos4
04
2
222
obtenenoscomo
zzyx
El conjunto solucin de sta ecuacin incluye un punto con , de manera que no se ha perdido nada al descartar el factor .
0
CONVERSIONES DE SISTEMA DE COORDENADAS
RECTANGULARES A ESFRICAS
b) Cambie la ecuacin de la esfera, en coordenadas cilndricas.
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a) Transforme la ecuacin de la esfera utilizando las ecuaciones cilndricas. Grafique la superficie.
04222 zzyx
EJERCICIOS PROPUESTOS
b) Transforme la ecuacin del cono utilizando las ecuaciones esfricas. Grafique la superficie.
2 2 24 4 0x y z z
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REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS
http://www.aliatuniversidades.com.mx/bibliotecasdigitales/pdf/construccion/Geometria_analitica.pdf