sexta olimpiada interuniversitaria examen de …

93
11 Sexta Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias Básicas 4. SOLUCIÓN DE LAS PRUEBAS 2012 4.1 MATEMÁTICA SEXTA OLIMPIADA INTERUNIVERSITARIA EXAMEN DE MATEMÁTICA NIVEL I Instrucciones: A continuación se le presenta una serie de siete problemas, resuélvalos correctamente en el cuadernillo de trabajo. El tiempo de la prueba es de 100 minutos. Problema 1: (20 puntos) Resuelva las siguientes ecuaciones por el método que considere conveniente 1.1 cos2 2 3sen , 0 2 x x x 1.2 3 2 8 2 log log 4 16 2 log 8 3 x x x x Problema 2: (10 puntos) El tesorero de la sociedad de alumnos informó que los recibos por la venta de boletosdel último concierto habían sumado un total de Q916, con la asistencia de 560 personas. Si los estudiantes pagaron las entradas a Q1.25 y los que no eran estudiantes pagaron a Q2.25 cada entrada. ¿Cuántos estudiantes asistieron al concierto? Problema 3: (10 puntos) Calcule el radio “rdel semicírculo, si el área sombreada tiene A unidades cuadradas. Problema 4: (10 puntos) Hallar los valores de las constantesa y b diferentes de cero tal que:

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Page 1: SEXTA OLIMPIADA INTERUNIVERSITARIA EXAMEN DE …

11 Sexta Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias Básicas

4. SOLUCIÓN DE LAS PRUEBAS 2012

4.1 MATEMÁTICA

SEXTA OLIMPIADA INTERUNIVERSITARIA

EXAMEN DE MATEMÁTICA NIVEL I

Instrucciones:

A continuación se le presenta una serie de siete problemas, resuélvalos correctamente

en el cuadernillo de trabajo. El tiempo de la prueba es de 100 minutos.

Problema 1: (20 puntos)

Resuelva las siguientes ecuaciones por el método que considere conveniente

1.1 cos2 2 3sen , 0 2x x x

1.2 3 2

82 loglog4

162 log 8

3

xxx x

Problema 2: (10 puntos)

El tesorero de la sociedad de alumnos informó que los recibos por la venta de boletosdel

último concierto habían sumado un total de Q916, con la asistencia de 560 personas. Si

los estudiantes pagaron las entradas a Q1.25 y los que no eran estudiantes pagaron a

Q2.25 cada entrada. ¿Cuántos estudiantes asistieron al concierto?

Problema 3: (10 puntos)

Calcule el radio “r” del semicírculo, si el área sombreada tiene A unidades cuadradas.

Problema 4: (10 puntos)

Hallar los valores de las constantesa y b diferentes de cero tal que:

Page 2: SEXTA OLIMPIADA INTERUNIVERSITARIA EXAMEN DE …

12 Sexta Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias Básicas

22 2

4 2lim lim

62( 2)x a x b

a xx a

bbx x

Problema 5: (15 puntos)

La figura muestra un sector circular inscrito en un triángulo rectángulo de 20cm de

base. Si 1A es el área sombreada que queda fuera del sector circular y dentro del

triángulo y 2A es el área del sector circular,

5.1 Expresar 1A y 2A en términos de .

5.2 Calcule

1

02

limA

A.

5.3 Encuentre la razón de cambio de 1

2

A

A

con respecto a , cuando 3

.

Problema 6: (20 puntos)

En una situación hipotética, una persona de 1.70 metros de altura se encuentra a 6

metros de un poste de luz de 12 metros de longitud. Por efectos de la corrosión, el

poste se deteriora y empieza a inclinarse hacia donde se encuentra la persona a un

ritmo constante de 0.5 grados por minuto. Suponiendo que el poste mantiene su

longitud constante, y la lámpara describe una trayectoria circular, determine a qué

ritmo decrece la sombra de la persona cuando la inclinación del poste es de 15 grados.

Problema 7: (15 puntos)

Un edificio debe apuntalarse con una viga que ha de pasar sobre un muro paralelo de

10 pies de altura y a 8 pies de distancia del edificio. Hallar la mínima longitud posible

de esa viga.

10

8

20 m

h

Page 3: SEXTA OLIMPIADA INTERUNIVERSITARIA EXAMEN DE …

13 Sexta Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias Básicas

SOLUCIÓN DE LA PRUEBA

PROBLEMA 1

Resuelva las siguientes ecuaciones por el método que considere conveniente

1.1 cos2 2 3sen , 0 2x x x

1.2 3 2

82 loglog4

162 log 8

3

xxx x

Solución

1.1 Resuelva la ecuación

cos2 2 3sen , 0 2x x x

Utilizando la identidad 2 2cos2 cos senx x x para expresar la ecuación en

términos de un solo ángulo

2 2cos sen 2 3senx x x

Expresando la ecuación con una sola función trigonométrica y resolviendo

2 2

2

1 sen sen 2 3sen

2sen 3sen 1 0

(2sen 1)(sen 1) 0

x x x

x x

x x

1sen ; sen 1

2x x

Si1

sen2

x , 1 1sen

2x , como x puede estar en el primero o segundo

cuadrante las soluciones para 0 2x son 6

x

y 5

6x

.

Si sen 1x , 1sen 1x y la única solución en 0 2x es 2

x

.

Por lo tanto todas las soluciones de la ecuación en 0 2x son

6x

,

2x

,

5

6x

Page 4: SEXTA OLIMPIADA INTERUNIVERSITARIA EXAMEN DE …

14 Sexta Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias Básicas

1.2 Resuelva la Ecuación

3 2

82 loglog4

162 log 8

3

xxx x

Expresando los logaritmos en base 2 y utilizando propiedades de los

exponentes

23 2

2 2

2 2

2 2

log

log log 8 2

2

2 1log log

3 3

2/3 1/3log log

log 8162

3 log 4

2 8

2 8 0

x

x

x x

x x

x x

x x

x x

Haciendo la sustitución 2log xu x se obtiene la ecuación

2/3 1/32 8 0u u

Factorizando y resolviendo para u

1/3 1/3( 4)( 2) 0u u

1/3 4

64

u

u

1/3 2

8

u

u

Encontrando los valores de x para 64u

2

2

log

log2 2

2 2

22

2

6 6

64

log ( ) log 64

(log )(log ) 6

(log ) 6

log 6

2 , 2

x

x

x

x

x x

x

x

x x

Para 8u , se tiene que

2

2

log

log2 2

8

log ( ) log ( 8)

x

x

x

x

Como 2log ( 8) , no está definido, no hay soluciones de la ecuación para 8u

Las soluciones de la ecuación son 62x y 62x

Page 5: SEXTA OLIMPIADA INTERUNIVERSITARIA EXAMEN DE …

15 Sexta Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias Básicas

PROBLEMA 2

El tesorero de la sociedad de alumnos informó que los recibos por la venta de boletos

del último concierto habían sumado un total de Q916, con la asistencia de 560

personas. Si los estudiantes pagaron las entradas a Q1.25 y los que no eran

estudiantes pagaron a Q2.25 cada entrada. ¿Cuántos estudiantes asistieron al

concierto?

Solución

Suponga que x es el número total de estudiantes que asistieron al concierto,

entonces:

El número de personas que no eran estudiantes es 560 x

Como el ingreso total por la venta de boletos es de Q916, la ecuación que

resuelve el problema es

1.25 2.25(560 ) 916x x

Resolviendo la ecuación para x

1.25 1260 2.25 916

344

344

x x

x

x

Por lo tanto el asistieron al concierto 344 estudiantes.

Page 6: SEXTA OLIMPIADA INTERUNIVERSITARIA EXAMEN DE …

16 Sexta Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias Básicas

PROBLEMA 3

Calcule el radio “r” del semicírculo, si el área sombreada tiene A unidades cuadradas.

Solución

Si se trazan los radios de los circulos dentro de la figura, se puede observar

que el área sombreada está formada por 8 segmentos circulares iguales.

El área de cada segmento es la diferencia entre el área del sector de

angulo2

y radio2

r yel triángulo de base2

r y altura2

r .

Por lo tanto el área sombreada equivale a:

2

2 2

2 2

8 sector triángulo

1 18

2 2 2 2 2 2

816 8

12

2

A A A

r r r

r r

A r r

Despejando el radio se obtiene

2

2

2 ( 2)

2

2

2

2

A r

Ar

Ar

Page 7: SEXTA OLIMPIADA INTERUNIVERSITARIA EXAMEN DE …

17 Sexta Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias Básicas

PROBLEMA 4

Hallar los valores de las constantesa y b diferentes de cero tal que:

22 2

4 2lim lim

62( 2)x a x b

a xx a

bbx x

Solución

Se considera inicialmente el caso en que 0b .

2 2 2 2

lim6 6 6 6x b

a x a b a b a

b b b

Igualando ambos límites:

2 2 2

4 2lim

2( 2) 6x a

x a a

bx x

Evaluando el límite del lado izquierdo

2 2 2

4 2

2

4 2

2( 2) 6

0

2( 2) 6

a a a

ba a

a

ba a

Si 4 2 2 0ba a , entonces 2 0a , lo que contradice la hipótesis 0a

Por lo tanto: 4 2 2 0ba a (ecuación I)

Al obtener la forma 0/0, es aplicable la regla de L´Hopital:

2 2

4 2 3 3 2

2 2 1lim lim

2( 2) 2(4 2 ) 2(4 2 ) 4 2x a x a

x a x a

bx x bx x ba a a b

Pero el valor del límite es:2

6

a ,de donde obtenemos:

2

2

1

4 2 6

a

a b

(ecuación II)

Por álgebra elemental

2 2

4 2

6 (4 2)

6 4 2

a a b

a b a

De la ecuación I, se tiene que: 4 22ba a

Sustituyendo 4a b por 22 a y despejando a obtenemos

2 2

2

6 4(2 ) 2

1

1

a a

a

a

Page 8: SEXTA OLIMPIADA INTERUNIVERSITARIA EXAMEN DE …

18 Sexta Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias Básicas

Para ambos valores de a se obtiene que 1b .

Por lo tanto si 0b , las soluciones son 1a y 1b .

Si 0b , se pueden construir las ecuaciones siguiendo el mismo procedimiento

y se obtienen las soluciones

7a y 5

49b

Page 9: SEXTA OLIMPIADA INTERUNIVERSITARIA EXAMEN DE …

19 Sexta Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias Básicas

PROBLEMA 5

La figura muestra un sector circular inscrito en un triángulo rectángulo de 20cm de

base. Si 1A es el área sombreada que queda fuera del sector circular y dentro del

triángulo y 2A es el área del sector circular,

5.1 Expresar 1A y 2A en términos de .

5.2 Calcule

1

02

limA

A.

5.3 Encuentre la razón de cambio de 1

2

A

Acon

respecto a , cuando 3

.

Solución

5.1 El área del sector circular con el ángulo en radianes es

2 22

1 1(20) 200

2 2A r

1A es el área del triángulo menos el área del sector circular

11 1

200 (20)(20tan ) 2002 2

200tan 200 200(tan )

A bh

De donde 1 200(tan )A y 2 200A

5.2 Calculando el límite

1

0 02

0 0 0

200(tan )lim lim

200

sentan sen 1coslim lim lim 1

cos

(1)(1) 1 0

A

A

Por lo tanto 1

02

lim 0A

A

5.3 Calculando la razón de cambio

1

2

2 2

2 2

tan

(sec 1) (tan )(1) sec tan

Ad d

d A d

20 m

h

Page 10: SEXTA OLIMPIADA INTERUNIVERSITARIA EXAMEN DE …

20 Sexta Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias Básicas

Evaluando cuando 3

22

1

2 22

2 2 2

sec tan 2 33 3 3 3

93

4 3 34 933 12 9 33 2.24

9

Ad

d A

Por lo tanto 1

22

12 9 32.24

Ad

d A

Page 11: SEXTA OLIMPIADA INTERUNIVERSITARIA EXAMEN DE …

21 Sexta Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias Básicas

PROBLEMA 6

En una situación hipotética, una persona de 1.70 metros de altura se encuentra a 6

metros de un poste de luz de 12 metros de longitud. Por efectos de la corrosión, el

poste se deteriora y empieza a inclinarse hacia donde se encuentra la persona a un

ritmo constante de 0.5 grados por minuto. Suponiendo que el poste mantiene su

longitud constante, y la lámpara describe una trayectoria circular, determine a qué

ritmo decrece la sombra de la persona cuando la inclinación del poste es de 15 grados.

Solución

Cuando el poste comienza a inclinarse, forma un ángulo con su posición

inicial. Sea H es la longitud total del poste y 1H la altura que hay desde el

foco hasta el suelo como se ilustra en figura siguiente

H

l

h

x

1H

Utilizando semejanza de triángulos

1

1

1

1

( )

x h

x l H

xH h x l

xH xh hl

hlx

H h

La altura 1H y la distancia l están dadas por

1 cos

6 sen

H H

l H

Sustituyendo se obtiene que la longitud de la sombra es

(6 sen )

cos

h Hx

H h

Page 12: SEXTA OLIMPIADA INTERUNIVERSITARIA EXAMEN DE …

22 Sexta Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias Básicas

Derivando respecto al tiempo

2

(6 sen )

cos

( cos ) ( cos ) 6( sen )( sen )

( cos )

h Hdx d

dt dt H h

H h h H l H H d

dtH h

2 2 2 2

2

2

( cos cos 6 sen sen )

( cos )

( cos 6sen )

( cos )

h H hH H Hdx d

dt dtH h

hH h H d

dtH h

Sustituyendo la información

2

(1.7)(12) (1.7cos(15) 6sen(15) 12) 0.5

180(12cos15 1.7)

mts0.016

min

dx

dt

Por lo tanto la sombra decrece a mts

0.016min

Page 13: SEXTA OLIMPIADA INTERUNIVERSITARIA EXAMEN DE …

23 Sexta Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias Básicas

PROBLEMA 7

Un edificio debe apuntalarse con una viga que ha de pasar sobre un muro paralelo de

10 pies de altura y a 8 pies de distancia del edificio. Hallar la mínima longitud posible

de esa viga.

10

8

Solución

Se definen las siguientes variables

L longitud de la viga

x distancia del pie de la viga al muro paralelo

y altura del apoyo de la viga en el edificio

En la siguiente figura se ilustran cada una de las variables que se han

definido anteriormente

10

8x

yL

Utilizando el teorema de Pitágoras, la longitud de la viga puede expresarse

como

2 2( 8)L x y

Por semejanza de triángulos se expresa y entérminos de x

8

10

10( 8)

y x

x

xy

x

Al sustituir la restricción nos queda

Page 14: SEXTA OLIMPIADA INTERUNIVERSITARIA EXAMEN DE …

24 Sexta Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias Básicas

22

2

100( 8)( 8)

xL x

x

Simplificando se obtiene

28( ) 100

xL x x

x

DOMINIO: (0, ) Problema en intervalo abierto (analizando la restricción )

Calculando la primera derivada y encontrando números críticos

2 1/2 2 1/2 2 1/2

2

3

2 2

( 100) ( 8)( 100) ( 8)( 100)

800

100

x

x x x x x x xD L

x

x

x x

Al igualar a cero para obtener los valores críticos se obtiene

3

3

800 0

2 100

x

x

Que es el único valor crítico en el dominio de la función. Utilizando el criterio

de la primera derivada para establecer si en el valor crítico hay un mínimo

Intervalo ( )L x ( )L x Conclusión

3(0,2 100) * - Decreciente

32 100x 3 3/2( 100 4) 0 Mínimo

32 100, * + Creciente

Como solo existe un valor mínimo, éste es el mínimo absoluto. Por lo tanto

La longitud mínima de la viga es 3 3/2( 100 4)

Page 15: SEXTA OLIMPIADA INTERUNIVERSITARIA EXAMEN DE …

25 Sexta Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias Básicas

SEXTA OLIMPIADA INTERUNIVERSITARIA

EXAMEN DE MATEMÁTICA NIVEL II

Instrucciones:

A continuación se le presenta una serie nueve de problemas, resuélvalos correctamente

en el cuadernillo de trabajo. El tiempo de la prueba es de 100 minutos.

Problema 1: (10 puntos)

El material para el fondo de una caja rectangular cuesta el triple por pie cuadrado de

lo que cuesta el material de las caras y la tapa. Utilice el método de multiplicadores de

Lagrange para obtener la máxima capacidad de dicha caja que se puede tener si la

cantidad total de dinero disponible para material es de Q12.00 y el pie cuadrado de

material para el fondo cuesta Q0.60.

Problema 2: (15 puntos)

Verifique el teorema de Stokes al calcular la circulación del campo

ˆ ˆ ˆ3 4 6F yi zj xk

, a lo largo de la frontera de la superficie 2 29z x y que se encuentra arriba del

plano xy .

Problema 3: (10 puntos)

Calcular el volumen del sólido acotado por las gráficas de las ecuaciones:

0z , z h , exterior a 2 2 1x y , interior a 2 2 2 1x y z .

Problema 4: (10 puntos)

Utilice las técnicas de integración para encontrar:

3

4

4

4

x

x

edx

e

Problema 5: (10 puntos)

Un equipo de oceanógrafos está elaborando un mapa del fondo del océano para ayudar

a recuperar un barco hundido. Utilizando el sonido, desarrollan el modelo:

2, 250 30 50sen 0 2, 0 22

yD x y x x y

donde D es la profundidad, x e y son las distancias.Suponga que el barco se localiza en

el punto P(1, 0.5)

Page 16: SEXTA OLIMPIADA INTERUNIVERSITARIA EXAMEN DE …

26 Sexta Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias Básicas

5.1 Determine la pendiente del fondo del océano en la dirección del eje y positivo a

partir del punto donde se encuentra el barco.

5.2 Determine la dirección de mayor tasa de cambio de la profundidad a partir del

punto donde se encuentra el barco.

5.3 Determine el valor máximo del ritmo de cambio de la profundidad a partir del

punto donde se encuentra el barco.

Problema 6: (15 puntos)

Una masa que pesa 16 libras alarga 83

pies un resorte. La masa se libera inicialmente

desde el reposo desde un punto 2 pies abajo de la posición de equilibrio y el movimiento

posterior ocurre en un medio que ofrece una fuerza de amortiguamiento igual a 12

de la

velocidad instantánea. Encuentre la ecuación de movimiento si se aplica a la masa una

fuerza externa igual a

( ) 10cos3F t t

Problema 7: (10 puntos)

Dada la función: 2( , )f x y x y

Determinar:

7.1 El dominio de la función.

7.2 Trazar 4 curvas de nivel.

Problema 8: (10 puntos)

Resuelva la ecuación diferencial:

3 6 30 15sen tan3xy y y x e x

Problema 9: (10 puntos)

Sea ( )f x la función cuya gráfica se

muestra en la figura.

Encontrar 1

0

( )f x dx

y

x

1y

1y

( )y f x

112

14

Continúa la

misma tendencia

hasta x = 0

18

Page 17: SEXTA OLIMPIADA INTERUNIVERSITARIA EXAMEN DE …

27 Sexta Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias Básicas

SOLUCIÓN DE LA PRUEBA

PROBLEMA 1

El material para el fondo de una caja rectangular cuesta el triple por pie cuadrado de

lo que cuesta el material de las caras y la tapa. Utilice el método de multiplicadores de

Lagrange para obtener la máxima capacidad de dicha caja que se puede tener si la

cantidad total de dinero disponible para material es de Q12.00 y el pie cuadrado de

material para el fondo cuesta Q0.60.

Solución

Se definen las siguientes variables

V volumen

x lado de la base

y ancho de la base

z altura

Como el costo de fabricación es Q12, se tiene la siguiente restricción

12 0.80 0.40xy yz xz

( , , ) 0.80 0.40 12G x y z xy yz xz

Como hay que encontrar el volumen máximo, la función a maximizar es

( , , )V x y z xyz

Utilizando multiplicadores de Lagrange

( , , ) ( , , )x xV x y z G x y z

0.8 0.400.80 0.40

yzyz y z

y z

( , , ) ( , , )y yV x y z G x y z

0.8 0.400.80 0.40

xzxz x z

x z

y

x

z

Page 18: SEXTA OLIMPIADA INTERUNIVERSITARIA EXAMEN DE …

28 Sexta Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias Básicas

( , , ) ( , , )z zV x y z G x y z

0.400.40

xyxy y x

y x

0.80 0.40 0.80 0.40

yz xz

y z x z

0.80 0.40 0.40

xyxz

x z y x

& 2x y z y

Al sustituir en la restricción

2 2 212 0.80 0.40 2 2y y y

5 5 & 2 5y x z

Respuesta

310 5 piesV

Page 19: SEXTA OLIMPIADA INTERUNIVERSITARIA EXAMEN DE …

29 Sexta Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias Básicas

PROBLEMA 2

Verifique el teorema de Stokes al calcular la circulación del campo

ˆ ˆ ˆ3 4 6F yi zj xk

, a lo largo de la frontera de la superficie 2 29z x y que se encuentra arriba del

plano xy .

Solución

Verificar que

.

cS

F dr F dS

Por integral de línea

Curva

2

0

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ9sen 0 18cos 3sen 3cos 0ti j tk tdti tdtj k

22

0

22272

0 0

27sen

1 cos2 sen227 27

2 2

tdt

t td t

Entonces

. 27c

F dr

Curva 3cos ; 3sen

3sen ; 3cos

0 ; 0

x t dx t dt

y t dy t dt

z dz

y

z

S

x

c

Page 20: SEXTA OLIMPIADA INTERUNIVERSITARIA EXAMEN DE …

30 Sexta Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias Básicas

Por integral de superficie.

ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ4 6 3

3 4 6

i j k

F i j kx dy z

y z x

2 2 2

ˆ ˆ ˆ2 2 1

4 4 (1)

xi yj k

x y

2 2 2

8 12 3

4 4 (1)

x yF

x y

ˆS R

dydxF dS F

k

2 2 2

2 2 2

2 32 2

0 0

32 23 3

0 0

2

0

2

0

8 12 3

14 4 (1)4 4 (1)

8 12 3

( 8 cos 12 sen 3 )

8 3cos 4 sen

3 2

2772cos 108sen

2

2772sen 108cos 27

2

R

Rxy

x y dydx

x yx y

x y dydx

r r r drd

rr r d

d

De donde

. 27c

S

F dr F dS

Page 21: SEXTA OLIMPIADA INTERUNIVERSITARIA EXAMEN DE …

31 Sexta Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias Básicas

PROBLEMA 3

Calcular el volumen del sólido acotado por las gráficas de las ecuaciones:

0z , z h , exterior a 2 2 1x y , interior a 2 2 2 1x y z .

Solución

La figura siguiente muestra en forma aproximada la representación gráfica de

las superficies que forman el sólido

En coordenadas cilíndricas el diferencial de volumen está dado por:

dV rdzdrd

Determinando los límites de integración de𝑧 tenemos:

z=h

z=0

h

z

y

z

x y

Page 22: SEXTA OLIMPIADA INTERUNIVERSITARIA EXAMEN DE …

32 Sexta Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias Básicas

2 2 2

2 2

2

2

1

1

1

1

x y z

r z

z r

r z h

Determinando los límites de integración der tenemos:

De: 2 1z r ,Si: z h se puede sustituir

2 1h r

Despejandor tenemos:

2 1r h

21 1r h

Los límites de están dados por:

0 2

La integral de volumen está dado por:

2

2

2 13

0 1 1

1

3

h h

r

V rdzdrd h

y

r

x

1r

2 1r h

Page 23: SEXTA OLIMPIADA INTERUNIVERSITARIA EXAMEN DE …

33 Sexta Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias Básicas

Otra solución del problema

V Volumen del hiperboloide – Volumen del cilindro

El volumen del cilindro es

2 2(1)CV r h h h

El volumen del hiperboloide se puede calcular por el método de discos

2

2

0

32

0 0

3

1

(1 )3

1( )

3

h

H

hh

V z dz

zz dz z

h h

Por lo tanto el volumen del sólido es

3

3

1

3

1

3

V h h h

h

z=h

z=0

h

z

y

dz

Page 24: SEXTA OLIMPIADA INTERUNIVERSITARIA EXAMEN DE …

34 Sexta Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias Básicas

PROBLEMA 4

Utilice las técnicas de integración para encontrar:

3

4

4

4

x

x

edx

e

Solución

Sea xt e entonces xdt e dx

Sustituyendo:

3 2 2

4 4 4

4 4 4

4 4 4

x x x

x x

e e e tdx dx dt

e e t

Completando el trinomio cuadrado perfecto en el denominador se tiene:

3 2 2

4 4 2 2 2 2 2

4 4 4

4 4 4 4 ( 2) 4

x

x

e t tdx dt dt

e t t t t t

Por diferencia de cuadrados:

2 2

2 2 2 2 2

2

2 2

4 4

( 2) 4 (( 2) 2 )(( 2) 2 )

4

( 2 2)( 2 2)

t tdt dt

t t t t t t

tdt

t t t t

Por fracciones parciales:

2

2 2 2 2

4

( 2 2)( 2 2) 2 2 2 2

t At B Ct D

t t t t t t t t

2 2 24 2 2 2 2t At B t t Ct D t t

El sistema de ecuaciones correspondiente es

0A C

2 2 4A B C D

2 2 2 2 0A B C D

2 2 0B D

La solución del sistema es

1, 0, 1, 0 A B C D

Sustituyendo:

2

2 2 2 2

4

( 2 2)( 2 2) ( 2 2) ( 2 2)

t t tdt dt dt

t t t t t t t t

Page 25: SEXTA OLIMPIADA INTERUNIVERSITARIA EXAMEN DE …

35 Sexta Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias Básicas

Sumando y restando 1,

2 2

2 2 2 2

1 1 1 1

2 2 2 2

1 1 1 1

2 2 2 2 2 2 2 2

t tdt dt

t t t t

t tdt dt dt dt

t t t t t t t t

Completando el trinomio cuadrado perfecto:

2 2 2 2

1 1 1 1

2 2 ( 1) 1 2 2 ( 1) 1

t tdt dt dt dt

t t t t t t

Por fórmulas directas de integración, se tiene:

2 1 2 11 1

ln 2 2 tan 1 ln 2 2 tan 12 2

t t t t t t C

Finalmente, en términos de x, se tiene:

2 1 2 11 1ln 2 2 tan 1 ln 2 2 tan 1

2 2

x x x x x xe e e e e e C

Page 26: SEXTA OLIMPIADA INTERUNIVERSITARIA EXAMEN DE …

36 Sexta Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias Básicas

PROBLEMA 5

Un equipo de oceanógrafos está elaborando un mapa del fondo del océano para ayudar

a recuperar un barco hundido. Utilizando el sonido, desarrollan el modelo:

2, 250 30 50sen 0 2, 0 22

yD x y x x y

donde D es la profundidad, x e y son las distancias.Suponga que el barco se localiza en

el punto P(1, 0.5)

5.1 Determine la pendiente del fondo del océano en la dirección del eje y positivo a

partir del punto donde se encuentra el barco.

5.2 Determine la dirección de mayor tasa de cambio de la profundidad a partir del

punto donde se encuentra el barco.

5.3 Determine el valor máximo del ritmo de cambio de la profundidad a partir del

punto donde se encuentra el barco.

Solución

5.1

25 cos2

ydD

dy

1,0.5 55.5360dD

dy

5.2

60 25 cos2

1,0.5 60 55.5360

yD x

D

i j

i j

5.3

2 260 55.5360 81.7573D

Page 27: SEXTA OLIMPIADA INTERUNIVERSITARIA EXAMEN DE …

37 Sexta Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias Básicas

PROBLEMA 6

Una masa que pesa 16 libras alarga 83

pies un resorte. La masa se libera inicialmente

desde el reposo desde un punto 2 pies abajo de la posición de equilibrio y el movimiento

posterior ocurre en un medio que ofrece una fuerza de amortiguamiento igual a 12

de la

velocidad instantánea. Encuentre la ecuación de movimiento si se aplica a la masa una

fuerza externa igual a

( ) 10cos3F t t

Solución

La ecuación diferencial que resuelve el problema es

83

( )

16 1 1610cos3

32 2

1 16 10cos3

2 2

12 20cos3

mx x kx F t

x x x t

x x x t

x x x t

Se tiene una EDO de 2º orden a coeficientes constantes, no homogénea. Para

resolverla, primero encaramos el problema homogéneo. Planteando la

ecuación característica y resolviendo tenemos:

21 1 4 1 12 1 47

2 2 2m i

1 1

2 21 2

47 47( ) cos sen

2 2

t t

cx t C e t C e t

Ahora se encuentra una solución particular del problema no homogéneo.

cos3 sen3

3 sen3 3 cos3

9 cos3 9 sen3

p

p

p

x A t B t

x A t B t

x A t B t

12 9 cos3 9 sen3 3 sen3 3 cos3

12 cos3 12 sen3

p p px x x A t B t A t B t

A t B t

(3 3 )cos3 ( 3 3 )sen3 ( ) 20cos3A B t A B t F t t

103 10 10

3 3103

3 3 20cos3 sen3

3 3 0p

AA Bx t t

BA B

La solución general de la ecuación no homogénea es:

Page 28: SEXTA OLIMPIADA INTERUNIVERSITARIA EXAMEN DE …

38 Sexta Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias Básicas

1 110 102 2

1 2 3 3

47 47( ) cos sen cos3 sen3

2 2

t tx t C e t C e t t t

Encontrar las constantes:

Para 0 2t x

101 3

41 3

2 C

C

1 1 1

2 2 21 1 2

1

22

1 47 47 47 1 47( ) cos sen sen

2 2 2 2 2 2

47 47cos 10sen3 10cos3

2 2

t t t

t

x t C e t C e t C e t

C e t t t

Para: 0 0t x

1 21 47

0 102 2

C C

264

3 47C

La ecuación de movimiento es:

1 110 102 23 3

4 47 64 47( ) cos sen cos3 sen3

3 2 23 47

t tx t e t e t t t

Page 29: SEXTA OLIMPIADA INTERUNIVERSITARIA EXAMEN DE …

39 Sexta Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias Básicas

PROBLEMA 7

Dada la función: 2( , )f x y x y

Determinar:

7.1 El dominio de la función.

7.2 Trazar 4 curvas de nivel.

Solución

7.1 El dominio de la función está formado por todos los puntos ( , )x y tales que

2x y

La representación gráfica del dominio se muestra en la figura siguiente

7.2 Las cuatro curvas de nivel se muestran en la siguiente figura

x

y

x

y

Page 30: SEXTA OLIMPIADA INTERUNIVERSITARIA EXAMEN DE …

40 Sexta Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias Básicas

PROBLEMA 8

Resuelva la ecuación diferencial:

3 6 30 15sen tan3xy y y x e x

Solución

Dividiendo entre 3

12 10 5s n tan3

3

xy y y e x e x

La solución de la ecuación es de la forma

c py y y

Obteniendo :cy

2 10 0y y y ¨

2 2 10 0m m

22 ( 2) 4(1)(10)1 3

2(1)m i

1 2cos3 e 3s nx xcy C e x C e x

1 2p py y y

1sen cospy A x B x

1cos senpy A x B x

1sen cospy A x B x

( sen cos ) 2( cos sen ) 10( sen cos ) 5sen

sen cos 2 cos 2 sen 10 sen 10 cos 5sen

A x B x A x B x A x B x x

A x B x A x B x A x B x x

10 2 5 9 2 5A A B A B

10 2 0 9 2 0B B A B A

La solución del sistema es

45 10

85 85A B

1

45 10sen cos

85 85py x x

2 1 1 2 2py u y u y 1 cos3xy e x 2 s 3enxy e x

Page 31: SEXTA OLIMPIADA INTERUNIVERSITARIA EXAMEN DE …

41 Sexta Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias Básicas

2cos3 33

cos3 3 3 3 3 cos3

sen

sen sen

x xx

x x x x

e x e xw e

e x e x e x e x

21

sen

se

0 31

tan3 sen31 3tan3 3 3 cos33

n

x

x

x x x

e xw e x x

e x e x e x

22

sen

os3 01

tan3 cos31 3cos3 3 3 tan33

x

x

x x x

e xw e x x

e x e x

c

e x

11 2

1tan3 sen3

1 13 cos39cos3 93 x

x xw

u xw xe

11 1 1 1

( cos3 ) ln sec3 tan3 cos39cos3 9 27 27

u x dx x x xx

2

22 2

1tan3 cos3

13 s n393

x

x

e x xw

u e xw e

21 1

( sen3 ) cos39 27

u x dx x

2 1 1 2 2

1 1ln sec3 tan3 sen3 cos3

27 27

1cos3 3

27

1cos3 ln sec3 tan3

2

s

7

en

p

x

x

x

y u y u y

x x x e x

x e x

e x x x

1 2

45 10 1sen cos cos3 ln sec3 tan3

85 85 27

xp p py y y x x e x x x

1 245 10

cos3 3 sen cos85 85

1cos3 ln sec3 tan3

2

sen

7

c p

x x

x

y y y

C e x C e x x x

e x x x

Page 32: SEXTA OLIMPIADA INTERUNIVERSITARIA EXAMEN DE …

42 Sexta Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias Básicas

PROBLEMA 9

Sea ( )f x la función cuya gráfica se

muestra en la figura.

Encontrar 1

0

( )f x dx

Solución

La integral se puede interpretar como la suma infinita de las áreas de los

triángulos de altura 1 y base que disminuye de acuerdo con la función. Los

triángulos sobre el eje x se consideran con área positiva, mientras que los que

quedan por debajo del eje x se toma negativa

1

1 3 5 2 4 60

2 3

( ) ( )

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

2 2 2 8 2 32 2 4 2 16 2 64

1 1 1 1 1 1 1

2 2 8 32 4 16 64

1 1 1 1 1 1 1 1

2 4 16 64 2 4 4 4

f x dx A A A A A A

La suma resaltada con una llave es una serie geométrica con

1

4a y

1

4r

Por lo tanto

1

0

11 14( )

12 614

f x dx

y

x

1y

1y

( )y f x

112

14

Continúa la

misma tendencia

hasta x = 0

18

Page 33: SEXTA OLIMPIADA INTERUNIVERSITARIA EXAMEN DE …

43 Sexta Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias Básicas

4.2 FÍSICA

SEXTA OLIMPIADA INTERUNIVERSITARIA EXAMEN DE FÍSICA NIVEL I

Instrucciones:

A continuación se le presenta una serie de cuatro problemas, resuélvalos

correctamente en el cuadernillo de trabajo. El tiempo de la prueba es de 100 minutos.

Problema 1: (25 puntos)

Sobre un bloque de 500 N de peso, que inicialmente está en reposo, se aplica una

fuerza P que varía con el tiempo como se muestra en la figura. Si los coeficientes de

fricción estática y cinética entre el bloque y la superficie horizontal son 0.500 y 0.400

respectivamente:

a. ¿En qué instante el bloque empezará a moverse?

b. Determine la rapidez máxima que alcanzará el bloque.

c. ¿En qué instante, desde que se empieza a aplicar la fuerza P, el bloque dejará de

moverse?

Problema 2: (25 puntos)

Una onda tiene una frecuencia de = 512 Hz y una velocidad de v = 360 m/s. Calcule:

a. A qué distancia entre sí están dos puntos que difieran en fase por 55º (0.31rad)

b. La diferencia de fase entre dos desplazamientos en el mismo punto pero en

tiempos que difieran en 1.12 ms.

Page 34: SEXTA OLIMPIADA INTERUNIVERSITARIA EXAMEN DE …

44 Sexta Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias Básicas

Problema 3: (25 puntos)

El sistema de tanques abiertos muy grandes mostrado en la figura, contiene un fluido

ideal. Si el área transversal en C es la mitad del área en D y si D está a una distancia

h1 =1m por debajo del nivel del líquido en A, ¿a qué altura h2 subirá el líquido en el

capilar F?

Problema 4: (25 puntos)

Una cuenta de masa m es obligada a moverse sobre un alambre sin rozamiento en

forma de cicloide y colocado en un plano vertical, como se muestra en la figura. Las

ecuaciones paramétricas son:

( sen )x a (1 cos )y a

El parámetro se encuentra entre 0 ( 0)t y 22

Tt . Si la cuenta parte

del reposo en el punto O.

a. Encuentre su rapidez en el punto inferior de la trayectoria

b. Encuentre su período de oscilación.

c. Demuestre que la oscilación de la cuenta corresponde con el de un péndulo simple

de longitud 4a.

B C

D

h1

F h2

A

O x

y

A B

m s

P

2a

Page 35: SEXTA OLIMPIADA INTERUNIVERSITARIA EXAMEN DE …

45 Sexta Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias Básicas

SOLUCIÓN DE LA PRUEBA

PROBLEMA 1

Sobre un bloque de 500 N de peso, que inicialmente está en reposo, se aplica una

fuerza P que varía con el tiempo como se muestra en la figura. Si los coeficientes de

fricción estática y cinética entre el bloque y la superficie horizontal son 0.500 y 0.400

respectivamente:

a. ¿En qué instante el bloque empezará a moverse?

b. Determine la rapidez máxima que alcanzará el bloque.

c. ¿En qué instante, desde que se empieza a aplicar la fuerza P, el bloque dejará de

moverse?

Solución

a.

La partícula principia a moverse en el instante en que la fuerza P iguala a la

fuerza de fricción estática máxima f sF N

Page 36: SEXTA OLIMPIADA INTERUNIVERSITARIA EXAMEN DE …

46 Sexta Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias Básicas

Sabemos que en este caso la magnitud de la normal es igual a la magnitud del

peso,

0.500 500 N 250 NfF

El valor de 250 N, en la gráfica corresponde al tiempo t, el cual se calcula por

semejanza de triángulos así:

250 N

8.00 s 445 N

(8.00 s)(250)4.49 s

445

t

t

A los 4.49 s de haber principiado a aplicarse la fuerza, se moverá la partícula

b. La rapidez máxima la alcanzará la partícula cuando el impulso de la fuerza P

alcanza la máxima diferencia sobre el impulso de la fuerza de fricción, que es

lo que aparece sombreado en la gráfica. Se calcula los valores b&c para

calcular el área.

El valor de b es solamente una diferencia:

8.00 s 4.49 s

=3.51 s

b

El valor de c se obtiene de una semejanza de triángulos

245 N

8.00 s 445 N

(8.00 s)(245)4.40 s

445

c

c

Con estos resultados, se puede calcular el área y se obtiene:

50 N 245 N (3.51 s) 245 N)(440 sArea

2 2

517.725 Ns 539 Ns

=1,056.725 Ns

Como p J y el movimiento es en una dimensión, se tiene que

0fmv mv J y el bloque parte del reposo,

2

Area

1056.725 Nsv

(500 N / 9.81m/s )

20.73 m/s

f

f

f

mv

v

La rapidez máxima que alcanza el bloque es de 20.73 m/sfv

Page 37: SEXTA OLIMPIADA INTERUNIVERSITARIA EXAMEN DE …

47 Sexta Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias Básicas

c. A partir de la rapidez máxima, principia a dominar el impulso que ejerce la

fuerza de fricción. El intervalo de tiempo en el cual actúa aún la fuerza P, a

partir de la rapidez máxima es “d” en la gráfica

8.00 s 4.40 s 3.60 sd

0

0

2

impulso neto

2

2

(200 N)(3.60 s) 500 N(200 N)(3.60 s) 20.73 m/s

2 9.81 m/s

=360 Ns 720 Ns 1056.725 Ns

696.725 Ns

f f

f f

f

f

p

P tmv mv F t

P tmv F t mv

mv

mv

A partir de este momento, sólo actúa el impulso de la fuerza de fricción:

0

0

0

impulso

696.725 Ns3.48 s

200 N

16 s 3.48 s

f f

f

f

p

mv mv F t

mv F t

mvt

F

t

t

El bloque se detiene 19.48 s después de aplicar la fuerza P.

Page 38: SEXTA OLIMPIADA INTERUNIVERSITARIA EXAMEN DE …

48 Sexta Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias Básicas

PROBLEMA 2

Una onda tiene una frecuencia de = 512 Hz y una velocidad de v = 360 m/s. Calcule:

a. A qué distancia entre sí están dos puntos que difieran en fase por 55º (0.31rad)

b. La diferencia de fase entre dos desplazamientos en el mismo punto pero en

tiempos que difieran en 1.12 ms.

Solución

a. De la ecuación general de una onda, max seny y kx t , la fase viene

dada por el argumento del seno, es decir fase = (kx- t). De tal forma que es

necesario encontrar la fase para cada punto y encontrar su diferencia:

Primer punto: 1 1 1 11fase k x t

Segundo punto: 2 2 2 22fase k x t

Diferencia de fase: 1 2fase fase fase

1 1 1 1 2 2 2 2fase k x t k x t

Como estamos trabajando con una única onda, los vectores de onda k y las

frecuencias angulares son iguales, es decir, 1 2 1 2yk k . Además, para

este inciso, el tiempo en que se están analizando los puntos es el mismo. De

manera que la última ecuación nos queda así:

1 2( )fase k x x

fase k x

De los datos del problema es posible encontrar k para así sustituirlo en la

ecuación anterior y despejar x tenemos:

2

2

kvT k

1

ms

2 (512Hz)22.84 m

360k

v v

De modo que x nos queda así:

-1

0.31 rad

2.84 m

0.11 m

fase k x

fasex

k

x

Page 39: SEXTA OLIMPIADA INTERUNIVERSITARIA EXAMEN DE …

49 Sexta Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias Básicas

b. Ahora encontraremos el cambio de fase para un mismo punto, 1 2x x , pero

con una diferencia temporal, es decir 32 1 1.12 10 st t t . Procedamos

de la misma forma que en el inciso (a):

Tiempo 1: 1 1 1 11fase k x t

Tiempo 2: 2 2 2 22fase k x t

Diferencia de fase:

1 1 1 1 2 2 2 2

1 2fase fase fase

fase k x t k x t

Como estamos trabajando con una única onda, los vectores de onda k y las

frecuencias angulares son iguales, es decir, 1 2 1 2yk k . Además, para

este inciso, las posiciones que se están analizando son iguales. De manera que

la última ecuación nos queda así:

1 2

2 1

-3

( )

2 2 (512Hz)(1.12 10 s)

1.15 rad

fase kx t kx t

t t

t

fase

El cambio de fase encontrado en grados tiene un valor de:

.0360

2 rad1.15 rad

206º

fase

fase

Page 40: SEXTA OLIMPIADA INTERUNIVERSITARIA EXAMEN DE …

50 Sexta Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias Básicas

PROBLEMA 3

El sistema de tanques abiertos muy grandes mostrado en la figura, contiene un fluido

ideal. Si el área transversal en C es la mitad del área en D y si D está a una distancia

h1 =1m por debajo del nivel del líquido en A, ¿a qué altura h2 subirá el líquido en el

capilar F?

Solución

Utilizaremos el principio de Bernoulli donde existe fluido en movimiento y

estática de fluidos en el tanque F, considerando el nivel de referencia la línea

punteada BD.

El tanque A es lo suficientemente grande como para considerar la velocidad

en ese punto cero, 0Av .Aplicaremos la ecuación de Bernoulli entre los

puntos A y D, la presión en el punto A es la misma que en D y es igual a la

presión atmosférica ( A D atmp p p )de manera que:

2 21 112 2

211 2

A A D D D

D

p v gh p v gh

gh v

Al despejar de la ecuación anterior la velocidad en el punto D, obtenemos:

12Dv gh (1)

Como es un fluido ideal, y conocemos la relación de áreas entre los puntos D y

C(2 )C DA A , encontraremos la velocidad en C, con la condición de

continuidad :

2

2

D D C C

C D C C

D C

A v A v

A v A v

v v

Si en la ecuación anterior sustituimos la ecuación (1) tenemos:

12 2 Cgh v (2)

B C

D

h1

F h2

A

Page 41: SEXTA OLIMPIADA INTERUNIVERSITARIA EXAMEN DE …

51 Sexta Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias Básicas

Aplicaremos ahora la ecuación de Bernoulli entre los puntos A y C,

considerando que pA= patm y que la altura en el punto C es cero:

2 21 112 2

211 2

A A C C C

atm C C

p v gh p v gh

p gh p v

Si en la ecuación anterior, sustituimos la velocidad encontrada en la ecuación

(2), y despejamos la diferencia de presiones entre el punto A y C:

2

11 12

2 2atm Cp gh p gh

13atm Cp p gh (3)

Analicemos ahora el tanque F, y qué condiciones es posible aplicar. Note que

en el punto F, la presión dentro del capilar es la misma que la que existe fuera

del capilar, que es la presión atmosférica. En la parte superior de la columna

del líquido, la presión es la misma que en C (ya que despreciamos la

contribución del aire dentro del capilar), de manera que al aplicar estática de

fluidos:

2

F dentrodelcapilar F fueradel capilar

C atm

p p

p gh p

2atm Cp p gh (4)

Si finalmente igualamos la ecuación (3) con la ecuación

(4) y ordenamos términos obtenemos:

2 13gh gh

2 13h h

F h2

p

C

aire

Page 42: SEXTA OLIMPIADA INTERUNIVERSITARIA EXAMEN DE …

52 Sexta Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias Básicas

PROBLEMA 4

Una cuenta de masa m es obligada a moverse sobre un alambre sin rozamiento en

forma de cicloide y colocado en un plano vertical, como se muestra en la figura. Las

ecuaciones paramétricas son:

( sen )x a (1 cos )y a

El parámetro se encuentra entre 0 ( 0)t y 22

Tt . Si la cuenta parte

del reposo en el punto O.

a. Encuentre su rapidez en el punto inferior de la trayectoria

b. Encuentre su período de oscilación.

c. Demuestre que la oscilación de la cuenta corresponde con el de un péndulo simple

de longitud 4a.

Solución

a. Sean P la posición de la cuenta en cualquier tiempo, t y s la longitud del arco

de la cicloide medida desde el punto O.

Teniendo en cuenta la conservación de la energía y colocando el nivel de

referencia en la línea AB que pasa por el punto más bajo de la cicloide,

tenemos:

2

12

(2 ) (2 ) 0ds

mg a y m mg adt

Entonces:

2

2 2ds

v gydt

En el punto más bajo la velocidad tendría un valor de:

2v ga

O x

y

A B

m s

P

2a

Page 43: SEXTA OLIMPIADA INTERUNIVERSITARIA EXAMEN DE …

53 Sexta Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias Básicas

b. De la ecuación de velocidad de la parte a) tenemos:

2 222 2

2 2 2 2(1 cos ) sindyds dx

a adt dt dt

22

22 2 (1 cos ) 2 (1 cos )ds

gy ga adt

2

1

g gt c

a a

Para las condiciones: =0 y t=0, =2, t=T/2, donde T es el período, de

manera que tenemos:

42

aT

g

c. Para un péndulo simple el período viene dado por la ecuación:

2l

Tg

De manera que la longitud equivalente de un péndulo simple que tenga el

mismo período es de:

4l a

Page 44: SEXTA OLIMPIADA INTERUNIVERSITARIA EXAMEN DE …

54 Sexta Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias Básicas

SEXTA OLIMPIADA INTERUNIVERSITARIA

EXAMEN DE FÍSICA NIVEL II

Instrucciones:

A continuación se le presenta una serie de cuatro problemas, resuélvalos

correctamente en el cuadernillo de trabajo. El tiempo de la prueba es de 100 minutos.

Problema 1: (25 puntos)

Dos electrones se encuentran fijos a 2m de distancia. Desde el infinito se lanza un

tercer electrón que queda en reposo en el punto medio entre los primeros dos. ¿Cuál

debe ser su velocidad inicial?

Problema 2: (25 puntos)

Un circuito plano tiene la forma de un triángulo isósceles, cuyos lados son dos barras

fijas perpendiculares y una tercera barra MN que se desplaza perpendicularmente con

velocidad constante v como se indica en la figura. El circuito está colocado en un

campo magnético uniforme B que forma un ángulo con la normal al plano del

circuito. Sabiendo que la resistencia eléctrica de las barras por unidad de longitud es

r, determine:

a. La potencia necesaria para desplazar la barra MN

b. La potencia disipada en calor en función de la posición de la barra.

Page 45: SEXTA OLIMPIADA INTERUNIVERSITARIA EXAMEN DE …

55 Sexta Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias Básicas

Problema 3: (25 puntos)

Una esfera sólida no conductora tiene una distribución de carga volumétrica dada por:

( ) sen2

rr

r R

a. Encuentre la carga total contenida en el volumen esférico.

b. Encuentre el campo eléctrico en la región r R .

Problema 4: (25 puntos)

Tres láminas metálicas paralelas están dispuestas como se indica en la figura: la

lámina central, aislada, tiene una carga +Q y las otras dos están unidas eléctricamente

y separadas de la lámina central distancias d y 3d respectivamente. Si a la lámina

izquierda se le da una carga igual a -3Q determinar:

a. Las distribuciones de carga en las superficies de las tres láminas.

b. La fuerza que actúa sobre la lámina central.

Se desprecian efectos de bordes d S .

Page 46: SEXTA OLIMPIADA INTERUNIVERSITARIA EXAMEN DE …

56 Sexta Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias Básicas

SOLUCIÓN DE LA PRUEBA

PROBLEMA 1

Dos electrones se encuentran fijos a 2m de distancia. Desde el infinito se lanza un

tercer electrón que queda en reposo en el punto medio entre los primeros dos. ¿Cuál

debe ser su velocidad inicial?

Solución

Aplicando el principio de conservación de la energía se tiene:

o o f fU K U K

La energía cinética final 0;fK ya que los tres electrones están en reposo.

Denominaremos 1 y 2 a los electrones que se encuentran fijos y 3, al que es

lanzado desde el infinito. Sea 12 2mr la distancia entre los electrones que se

encuentran fijos. Entonces: 13 231m;   1mr r

2

12 12 13 23

31 2 9 19 2

( )( ) ( )( ) ( )( )1

2

19.1 10 2(9 10 )(1.6 10 )

2

31.82 m/s

e o

o

o

k e ek e e k e e k e em v

r r r r

v

v

Page 47: SEXTA OLIMPIADA INTERUNIVERSITARIA EXAMEN DE …

57 Sexta Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias Básicas

PROBLEMA 2

Un circuito plano tiene la forma de un triángulo isósceles, cuyos lados son dos barras

fijas perpendiculares y una tercera barra MN que se desplaza perpendicularmente con

velocidad constante v como se indica en la figura. El circuito está colocado en un

campo magnético uniforme B que forma un ángulo con la normal al plano del circuito.

Sabiendo que la resistencia eléctrica de las barras por unidad de longitud es r,

determine:

a. La potencia necesaria para desplazar la barra MN

b. La potencia disipada en calor en función de la posición de la barra.

Solución

La fem inducida en el circuito es:

2coscos 2 cos

2

d BAd d xN B Bxv

dt dt dt

La resistencia del circuito en función de “x”

2 2R r x

Y la intensidad de la corriente:

2 cos

2 2

BvI

r

El signo significa que la corriente crea un campo que se opone al aumento de

flujo producido por el movimiento de la barra y la fuerza que actúa sobre la

barra es opuesta a la velocidad, o sea una fuerza de frenado F IL B

con

una magnitud de:

Page 48: SEXTA OLIMPIADA INTERUNIVERSITARIA EXAMEN DE …

58 Sexta Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias Básicas

2 22 cos2 cos

2 2

xvBF I xB

r

En un cierto instante la potencia necesaria para mover la barra y la potencia

disipada en calor son, respectivamente:

2 2 22

2

cos

2m

xv BP Fv

r

2 2 22 cos2

2 2e

xv BP I R

r

Page 49: SEXTA OLIMPIADA INTERUNIVERSITARIA EXAMEN DE …

59 Sexta Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias Básicas

PROBLEMA 3

Una esfera sólida no conductora tiene una distribución de carga volumétrica dada por:

( ) sen2

rr

r R

a. Encuentre la carga total contenida en el volumen esférico.

b. Encuentre el campo eléctrico en la región r R .

Solución

a. Se trata de una distribución volumétrica de carga, en la cual:

dq dV ; 24dq r dr

la carga total contenida en la esfera viene dada por:

2

0

0

sen 42

4 sen2

R

R

Q dq

rQ r dr

r R

rQ r dr

R

Integrando por partes; sea

;   ;u r du dr

2sen         cos

2 2

r R rdv v

R R

2

2

2 24 cos cos

2 2

2 44 cos sen

2 2

Rr r R rQ dr

R R

Rr r R rQ

R R

Ahora valuando entre 0 y R:

22

2

1644

RRQ

Page 50: SEXTA OLIMPIADA INTERUNIVERSITARIA EXAMEN DE …

60 Sexta Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias Básicas

b. Encuentre el campo eléctrico en la región r R

Al dibujar una superficie gausiana esférica de radio r R

0

encerradaqE dA

2

2

0

16

4

R

E r

2

2 20

4 ̂

RE r

r

Page 51: SEXTA OLIMPIADA INTERUNIVERSITARIA EXAMEN DE …

61 Sexta Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias Básicas

PROBLEMA 4

Tres láminas metálicas paralelas están dispuestas como se indica en la figura: la

lámina central, aislada, tiene una carga +Q y las otras dos están unidas eléctricamente

y separadas de la lámina central distancias d y 3d respectivamente. Si a la lámina

izquierda se le da una carga igual a -3Q determinar:

a. Las distribuciones de carga en las superficies de las tres láminas.

b. La fuerza que actúa sobre la lámina central.

Se desprecian efectos de bordes d S .

Solución

a. Como las láminas A y C están unidas eléctricamente, la carga de la lámina A

se reparte entre las caras de ambas láminas. Denominando las densidades de

carga con los subíndices que se indican en la figura y teniendo en cuenta la

conservación de la carga eléctrica, obtenemos:

Page 52: SEXTA OLIMPIADA INTERUNIVERSITARIA EXAMEN DE …

62 Sexta Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias Básicas

Láminas A y C:

1 2 5 63Q

S

Lámina B:

3 4Q

S

Aplicando la ley de Gauss a las superficies punteadas indicadas en la figura,

como el campo en el interior de los conductores es cero, también es cero la

carga encerrada por la superficie gausiana por lo que:

2 3 0

4 5 0

Asimismo, las placas A y C se encuentran al mismo potencial 0;A CV V

52

0 0

(3 )0

dd

2 53

Resolviendo el sistema de ecuaciones anteriores:

1 6Q

S ; 2

3;

4

Q

S 3

3

4

Q

S

4 ; 4

Q

S 5

4

Q

S ;

b. La fuerza eléctrica que actúa sobre la lámina central es debida a los campos

eléctricos existentes a cada lado de la placa. Observe que la dirección de los

campos es normal a la placa. Denominaremos 1E

al campo que se encuentra

a la izquierda de la lámina y que ejerce sobre ésta una fuerza hacia la

izquierda, asimismo 2E

al campo que se encuentra a la derecha de la lámina

y que ejerce sobre ésta una fuerza hacia la derecha.

3 1 4 2( ) ( )F S E S E

2 2 2

0 0 0 0 0

3 3 9

4 4 4 4 16 16 2

Q Q Q Q Q Q QF

S S S S S

El signo negativo indica que está dirigida hacia la izquierda.

Page 53: SEXTA OLIMPIADA INTERUNIVERSITARIA EXAMEN DE …

63 Sexta Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias Básicas

4.3 QUÍMICA

SEXTA OLIMPIADA INTERUNIVERSITARIA EXAMEN DE QUÍMICA NIVEL I

INSTRUCCIONES:

A continuación se le presentan dos series generales de problemas, con instrucciones y

valor adjunto. Está permitido el uso de Tabla Periódica, y calculadora. No está

permitido el uso de celular.

Primera Serie (50 puntos):

Consta de 25 preguntas de selección múltiple todas corresponden a la parte teórica.

Subraye la respuesta correcta. Si necesita razonar una respuesta, hágalo en la parte de

atrás de la hoja, indicando el número de inciso que se razona.

1. ¿Cuántos protones y electrones tiene el ion Se2-?

a. 36 protones y 36 electrones

b. 36 protones y 34 electrones

c. 34 protones y 34 electrones

d. 34 protones y 36 electrones

e. Ninguna de las anteriores

2. Cifras significativas son:

a. Sólo los dígitos enteros de una cantidad

b. Sólo los dígitos decimales de una cantidad

c. Todos los dígitos decimales de una cantidad

d. Todos los dígitos de una cantidad

e. Sólo los números enteros de una cantidad

3. Una estatua de Buda que se encuentra en el Tibet mide 26 m de alto y está

recubierta con 279 kg de oro. Si el oro se aplicó con un espesor de 0.0015 mm, ¿qué

área superficial se recubrió (en metros cuadrados)?

a. 9600 m2

b. 9.6 x 103m2

c. 9.6 x 102m2

d. 4800 m2

e. 89 x 102m2

Page 54: SEXTA OLIMPIADA INTERUNIVERSITARIA EXAMEN DE …

64 Sexta Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias Básicas

4. El cobre tiene densidad de 8.94 g/cm3. Un lingote de cobre con masa de 57 kg se

forma como alambre con diámetro de 9.50 mm. ¿Qué longitud de alambre, en

metros, se podría producir?

a. 323 m

b. 100 m

c. 90 m

d. 85.37 m

e. 92.45 m

5. ¿A cuánto equivalen 327.5° C (el punto de fusión del plomo) en grados Fahrenheit?

a. 621.5 ° F

b. 600 ° F

c. 623.84 ° F

d. 650.853 ° F

e. 678.52 ° F

6. ¿Cuál de los compuestos siguientes es una substancia pura?

a. concreto

b. madera

c. agua salada

d. cobre elemental

e. leche

7. ¿Cuáles de los siguientes son procesos químicos?

a. Oxidación de un clavo

b. Congelamiento del agua

c. Descomposición del agua en hidrógeno y oxígeno

d. Compresión del gas oxígeno

e. Evaporación del agua

8. La fórmula del carbonato de amonio es:

a. (NH4)2CO3

b. NH4CO2

c. (NH3)2CO4

d. (NH3)2CO3

e. N2(CO3)3

Page 55: SEXTA OLIMPIADA INTERUNIVERSITARIA EXAMEN DE …

65 Sexta Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias Básicas

9. Un cierto elemento tiene 3 isótopos. Las masas isotópicas (uma) y sus abundancias

son: 159.37 (30.60%), 162.79 (15.79%), y 163.92 (53.61%). ¿Cuál es la masa

atómica promedio (uma) de este elemento?

a. 161.75

b. 162.03

c. 162.35

d. 163.15

e. 33.33

10. ¿Cuál es el porcentaje en masa del carbono en el compuesto dimetilsulfóxido,

C2H6SO?

a. 60.0

b. 20.6

c. 30.7

d. 7.74

e. 79.8

11. De los siguientes conjuntos de números cuánticos cuál, no puede ser correcto:

a. n = 3, l = 2, ml = -2

b. n = 3, l = 2, ml = 3

c. n = 1, l = 0, ml = 0

d. n = 6, l = 0, ml = 0

e. n = 2, l = 0, ml = -1

12. ¿Cuál es la frecuencia de la luz que tiene una longitud de onda de 456 nm?

a. 6.58 x 10-14 Hz

b. 6.58 x 1014 Hz

c. 6.58 x 1013 Hz

d. 3.29 x 1014 Hz

e. 3.29 x 10-14 Hz

13. Calcule la energía de un fotón con una frecuencia de 2.85 x 1012 s-1.

a. 2.32 x 10-46J

b. 6.97 x 10-38J

c. 1.89 x 10-21J

d. 4.30 x 1045J

e. 2.55 x 10-23J

Page 56: SEXTA OLIMPIADA INTERUNIVERSITARIA EXAMEN DE …

66 Sexta Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias Básicas

14. Para ℓ = 2, ¿cuáles son los valores posibles de ml?

a. 2

b. 1, 0

c. 1, 0, -1

d. 2, 1, 0

e. 2, 1, 0, -1, -2

15. Indique los valores de n, l y mlde cada orbital de la subcapa 2p.

a. n = 2, l = 2, ml = 2, 1, 0, -1, -2

b. n = 2, l = 1, ml = 1, 0, -1

c. n = 2, l = 0, ml = 0

d. n = 2, l = 1, ml = 0

e. n = 2, l = 3, ml = 3, 2, 1, 0, -1, -2, -3

16. Identifique el elemento específico que corresponde a la configuración electrónica

siguiente: [Ne]3s23p1

a. Boro

b. Carbono

c. Aluminio

d. Silicio

e. Galio

17. ¿Cuál de los siguientes es un cambio físico?

a. Al calentarse el agua se convierte en vapor

b. El peróxido de hidrógeno convierte el pelo amarillo

c. Al calentar el azúcar se pone café

d. La leche se pone agria

e. Las manzanas que se exponen al aire se oxidan

18. Los grupos de la tabla periódica corresponden a:

a. Las columnas de los elementos de la tabla

b. Las filas de los elementos de la tabla

c. Las diagonales de los elementos de la tabla

d. Los lantánidos y los actínidos

e. Los periodos de la tabla

Page 57: SEXTA OLIMPIADA INTERUNIVERSITARIA EXAMEN DE …

67 Sexta Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias Básicas

19. El número atómico de un elemento es igual a:

a. El número de protones de ese elemento

b. El número de neutrones de ese elemento

c. La sumatoria de los protones y neutrones de ese elemento

d. La sumatoria de los protones y electrones de ese elemento

e. La sumatoria de los protones, electrones y neutrones de ese elemento

20. Los metales alcalinotérreos tienen _____ electrones de valencia.

a. Dos

b. Uno

c. Tres

d. Cuatro

e. Cinco

21. Los gases nobles existen como:

a. Átomos gaseosos individuales

b. Moléculas gaseosas diatómicas

c. Iones gaseosos

d. Cationes gaseosos

e. Aniones gaseosos

22. Las formas diferentes de un mismo elemento se llaman:

a. Alótropos

b. Compuestos moleculares

c. Compuestos iónicos

d. Iones

e. Iones poliatómicos

23. En referencia al tamaño los aniones son:

a. Más grandes que los átomos de los que se originan

b. Más pequeños que los átomos de los que se originan

c. Del mismo tamaño que los átomos de los que se originan

d. Levemente menores que los átomos de los que se originan

e. No ha sido determinado

Page 58: SEXTA OLIMPIADA INTERUNIVERSITARIA EXAMEN DE …

68 Sexta Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias Básicas

24. Un elemento neutro tiene el mismo número de:

a. Protones y electrones

b. Protones y neutrones

c. Neutrones y electrones

d. Electrones y cationes

e. Protones y aniones

25. La energía mínima requerida por un átomo o ión para separar un electrón del

estado basal del átomo o ión aislado en estado gaseoso se llama:

a. Energía de ionización

b. Afinidad electrónica

c. Polaridad

d. Electronegatividad

e. Energía de red

Segunda Serie (50 puntos):

A continuación encontrará 5 problemas. Resuélvalos correctamente en su cuadernillo

de trabajo. Deje constancia escrita, objetiva, lógica, explícita y ordenada todo

su procedimiento y todas sus suposiciones. Resalte sus resultados y ecuaciones

más importantes de forma inequívoca y anote la respuesta específica en el temario.

Problema 1:

Para la elaboración de vidrio se utiliza Oxido de Calcio, compuesto que le da

resistencia al vidrio. Si para preparar un lote de vidrio (ρv= 2.5080 g/cm3), uno de los

componentes es arena (ρarena= 1.3 g/cm3) con un volumen 0.69 m3 y otro es Oxido de

Magnesio 12%, Carbonato de Sodio 18 % y otros componentes 0.75%. ¿Cuál es la masa

de Oxido de Calcio que se debe de utilizar si el lote llena un mezclador cilíndrico con

un diámetro de 0.9 m y cuya altura es 2 veces el radio del mezclador?

Problema 2:

El gas Cloro se obtiene calentando ácido Clorhídrico con óxido de Manganeso. Si este

gas se recoge sobre agua y luego se utiliza para preparar Hipoclorito de

Sodiohaciéndolo reaccionar con Hidróxido de Sodio a una temperatura de 35°C,

obteniéndose como productos secundarios Cloruro de Sodio y agua. ¿Cuánto de gas

Cloro se necesita para preparar 1 m3 de Hipoclorito de Sodio al 15 % v/v si la reacción

tiene un rendimiento del 95%?

Densidad de Hipoclorito de Sodio = 1.165 g/cm3

Page 59: SEXTA OLIMPIADA INTERUNIVERSITARIA EXAMEN DE …

69 Sexta Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias Básicas

Problema 3:

Realice la estructura de Lewis del Peróxido de Hidrógeno.

a. Indique y explique el número de oxidación de cada átomo de oxígeno en función de

los electrones recibidos o proporcionados por el átomo.

b. Indique y explique el número de oxidación de cada átomo de hidrogeno en función

de los electrones recibidos o proporcionados por el átomo.

c. ¿Cuántos enlaces covalentes polares existen e indique entre que átomos?

d. ¿Cuántos enlaces covalentes puros existen e indique entre que átomos?

e. Si el Peróxido de Hidrógeno perdiera los átomos de Hidrógeno y estos fueran

sustituidos por un solo átomo de Potasio (formando un Superóxido), explique el

número de oxidación del Oxígeno realizando la estructura de Lewis y los pasos del

a al d.

Problema 4:

El umbral fotoeléctrico del aluminio es de 5.986 V. Si, en el efecto fotoeléctrico, el

voltaje de frenado de los electrones es de 0.3 V, cuando la placa de aluminio es

irradiada con 300W, calcule la intensidad de flujo de electrones, en amperios.

Problema 5:

Considere la combustión del GLP, compuesto por 85 por 100 n/n de propano y el resto

es butano. :

C3H8 +C4H10 + O2 CO + CO2 + H2O

En un proceso, se queman 35 lb/h de este gas, por una combustión el 85 por 100 n/n

completa, y el resto produce monóxido de carbono. ¿Cuántos kg/h de O2 consume

esteproceso? ¿Cuántos kg/año de gas de invernadero se vierte al ambiente?

Page 60: SEXTA OLIMPIADA INTERUNIVERSITARIA EXAMEN DE …

70 Sexta Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias Básicas

SOLUCIÓN DE LA PRUEBA

PRIMERA SERIE

1. d 6. d 11. b 16. c 21. a

2. d 7. a 12. b 17. a 22. a

3. b 8. a 13. c 18. a 23. a

4. c 9. c 14. e 19. a 24. a

5. a 10. c 15. b 20. a 25. a

SEGUNDA SERIE

Problema 1:

Para la elaboración de vidrio se utiliza Oxido de Calcio, compuesto que le da

resistencia al vidrio. Si para preparar un lote de vidrio (ρv= 2.5080 g/cm3), uno de los

componentes es arena (ρarena= 1.3 g/cm3) con un volumen 0.69 m3 y otro es Oxido de

Magnesio 12%, Carbonato de Sodio 18 % y otros componentes 0.75%. ¿Cuál es la masa

de Oxido de Calcio que se debe de utilizar si el lote llena un mezclador cilíndrico con

un diámetro de 0.9 m y cuya altura es 2 veces el radio del mezclador?

Solución

arena arena arena

3 3

Masa Volumen

(1,300 kg/m ) (0.69 m ) 897 kg

Volumenmezclador= πr2h = (π)*(0.9 m/2)2*(0.9m) = 0.5723 m3

ρvidrio*Vmezclador = Masa Total

Masa Total = (2,508 Kg/m3)*(0.5723 m3)

Masa Total = 1,435.03 Kg

Masa Total= Masaarena+ MasaNa2CO3 + MasaMgO+ MasaOtros+ MasaCaO

X = MasaCaO

Masa Total = 897 Kg + 0.18*MT + 0.12*MT + 0.0075*MT + X

1,435.03 = 897 + 0.3075*MT + X

602.78 = 0.3075*MT + X ec. 1

MT = 897 + 0.3075*MT + X

X = MT – 897 – 0.3075*MT

Page 61: SEXTA OLIMPIADA INTERUNIVERSITARIA EXAMEN DE …

71 Sexta Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias Básicas

X = 0.6925*MT – 897 ec. 2

Sustituimos la ec. 2 en la ec. 1

602.78 = 0.3075*MT + 0.6925*MT – 897

602.78 = MT – 897

MT = 1,499.78 ≈ 1,500 Kg

X = 0.6925*1,500 – 897

X = 141.75 ≈ 142 Kg

R. 142 Kg de CaO.

Problema 2:

El gas Cloro se obtiene calentando ácido Clorhídrico con óxido de Manganeso. Si este

gas se recoge sobre agua y luego se utiliza para preparar Hipoclorito de

Sodiohaciéndolo reaccionar con Hidróxido de Sodio a una temperatura de 35°C,

obteniéndose como productos secundarios Cloruro de Sodio y agua. ¿Cuánto de gas

Cloro se necesita para preparar 1 m3 de Hipoclorito de Sodio al 15 % v/v si la reacción

tiene un rendimiento del 95%?

Densidad de Hipoclorito de Sodio = 1.165 g/cm3

Solución

Cl2 + 2NaOH NaCl + H2O NaClO

1 m3NaClO al 15 % v/v 95%

1 m3 sol NaClO* 15 m3NaClO / 100 m3 sol* 1.165 Kg NaClO / 1 m3 *

1,000g NaClO/ 1 Kg * 1 mol NaClO / 74.4394 g NaClO * 1 mol Cl2/1 mol

NaClO * 70.9054 g Cl2 / 1 mol Cl2 = 166.45Cl2

% R = g Exp / g Teo * 100

gExp =( % R * g Teo) / 100

gExp = (95*166.45) / 100 = 158.13 g Cl2

166.45 g Cl2 * L / 3.214 g = 51.78 L * 1 m3 / 1,000 L = 0.051 m3*0.95= 0.049 m3

R. 49 L de Cl2

Page 62: SEXTA OLIMPIADA INTERUNIVERSITARIA EXAMEN DE …

72 Sexta Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias Básicas

Problema 3:

Realice la estructura de Lewis del Peróxido de Hidrógeno.

a. Indique y explique el número de oxidación de cada átomo de oxígeno en función de

los electrones recibidos o proporcionados por el átomo.

b. Indique y explique el número de oxidación de cada átomo de hidrogeno en función

de los electrones recibidos o proporcionados por el átomo.

c. ¿Cuántos enlaces covalentes polares existen e indique entre que átomos?

d. ¿Cuántos enlaces covalentes puros existen e indique entre que átomos?

e. Si el Peróxido de Hidrógeno perdiera los átomos de Hidrógeno y estos fueran

sustituidos por un solo átomo de Potasio (formando un Superóxido), explique el

número de oxidación del Oxígeno realizando la estructura de Lewis y los pasos del

a al d.

Solución

a. Número de oxidación del oxígeno, -1, existe un enlace covalente puro O-O

por lo que cada átomo recibe del H un é.

b. Número de oxidación del H es +1, ya que un átomo de H proporciona

un electrón a cada átomo de oxígeno.

c. Existen 2 enlaces covalentes polar, cada uno entre un átomo de

hidrógeno y un átomo de oxígeno.

d. Existe un enlace covalente puro O-O.

e. Número de oxidación de cada átomo de oxígeno -1/2, lo que significa

que el electrón que proporciona el átomo de potasio permanece la

mitad del tiempo en cada átomo de oxígeno. Número de oxidación del

K es +1, ya que un átomo de K proporciona un electrón a los dos

átomos de oxígeno.

Los enlaces formados por el potasio y cada átomo de oxígeno son

iónicos debido a las propiedades de las especies que forman el

enlace, diferencia de electronegatividades, enlace entre un metal y un

no metal. Existe un enlace covalente puro O-O.

Page 63: SEXTA OLIMPIADA INTERUNIVERSITARIA EXAMEN DE …

73 Sexta Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias Básicas

Problema 4:

El umbral fotoeléctrico del aluminio es de 5.986 V. Si, en el efecto fotoeléctrico, el

voltaje de frenado de los electrones es de 0.3 V, cuando la placa de aluminio es

irradiada con 300W, calcule la intensidad de flujo de electrones, en amperios.

Solución

Los electrones se mueven gracias a una diferencia de potencial de:

Potencial total = (5.986 + 0.3) V = 6.286 V

Cuando son irradiados con 300 W.

Entonces:

1 C/6.286 J * 300 J/s = 47.73 C/s = 47.73 A

Respuesta: 47.73 A

Problema 5:

Considere la combustión del GLP, compuesto por 85 por 100 n/n de propano y el resto

es butano. :

C3H8 +C4H10 + O2 CO + CO2 + H2O

En un proceso, se queman 35 lb/h de este gas, por una combustión el 85 por 100 n/n

completa, y el resto produce monóxido de carbono. ¿Cuántos kg/h de O2 consume

esteproceso? ¿Cuántos kg/año de gas de invernadero se vierte al ambiente?

Solución

Fracciones másicas, Yi: para un total de n mol de GLP:

C3H8 : n mol GLP * 85 mol C3H8/100 mol GLP * 44 g C3H8/1 mol C3H8 =

37.40n g C3H8

C4H10 : n mol GLP * 15 mol C4H10/100 mol GLP * 58 g C4H10/1 mol C4H10 =

8.70n g C4H10

Total= 37.40n g C3H8 + 8.70n g C4H10 = 46.10n g

Y(C3H8) = 37.40n g / 46.10n g = 0.8113

Y(C4H10) = 0.1887

Reacciones:

Propano: 100/3 C3H8 + 955/3 O2 15 CO +85 CO2 + 400/3 H2O (1)

Butano: 25C4H10 + 155 O2 15 CO + 85 CO2 + 125 H2O (2)

Page 64: SEXTA OLIMPIADA INTERUNIVERSITARIA EXAMEN DE …

74 Sexta Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias Básicas

O2

(kg/h)

de 1:

35 lb GLP/h * 354 g GLP/1 lb GLP *0.81.13 g C3H8/1.00 g GLP * 1

mol C3H8/44 g C3H8 * (955/3) mol O2/(100/3) mol C3H8 * 32E-3 kg

O2/1 mol O2 =

69.8157577 kg O2/h

de 2:

35 lb GLP/h * 354 g GLP/1 lb GLP * 0.1887 g C4H18/1.00 g GLP * 1

mol C4H10/58 g C3H8 * 155 mol O2/25 mol C4H10 * 32E-3 kg O2/1

mol O2 =

7.99754847 kg O2/h

TOTAL 77.8133062 kg O2/h

CO2

(kg/año) 1 año = 365.2564 días

de 1:

69.82 kg O2/h * 1 kmol O2/32 kg O2 * 85 kmol CO2/(955/3) kmol O2

* 44 kg CO2/1 kmol CO2 * 24 h/1 día * 365.2564 día/1 año =

224699.465 kg CO2/año

de 2:

7.998 kg O2/h * 1 kmol O2/32 kg O2 * 85 kmol CO2/155 kmol O2 *

44 kg CO2/1 kmol CO2 * 24 h/1 día * 365.2564 día/1 año =

52863.4962 kg CO2/año

TOTAL:

2.777E+05 kg CO2/año

Page 65: SEXTA OLIMPIADA INTERUNIVERSITARIA EXAMEN DE …

75 Sexta Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias Básicas

SEXTA OLIMPIADA INTERUNIVERSITARIA

EXAMEN DE QUÍMICA NIVEL II

INSTRUCCIONES:

A continuación se le presentan dos series generales de problemas, con instrucciones y

valor adjunto. Está permitido el uso de Tabla Periódica, y calculadora. No está

permitido el uso de celular.

Primera Serie (50 puntos):

Consta de 25 preguntas, 21 de selección múltiple y las últimas 4 de respuesta directa;

todas corresponden a la parte teórica. Subraye la respuesta correcta en la de selección

múltiple y razonela respuesta en las de respuesta directa.

1. ¿Cuál de las siguientes soluciones de NaCl es más concentrada?

a. 0.1 M

b. 0.1 N

c. 0.1 m

d. Xsoluto = 0.2

e. 0.1 g soluto/ 1 L de solución

2. Si una solución acuosa congela a -0.93° C, se puede decir que ebulle a:

a. 100°C

b. 100.26°C

c. 100.52°C

d. 100.1°C

e. 126°C

3. Si una solución acuosa ebulle a 100.26°C, su concentración molar es:

a. 0.26

b. 2.6

c. 0.1

d. 0.5

e. 0.026

Page 66: SEXTA OLIMPIADA INTERUNIVERSITARIA EXAMEN DE …

76 Sexta Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias Básicas

4. Para convertir 100 ml de HCl con pH = 1 a otra de pH = 2, es necesario:

a. evaporar 100 ml de agua

b. adicionar 900 ml de agua

c. adicionar 100 ml de agua

d. adicionar 0.1 mol de ácido clorhídrico

e. Ninguno

5. Considere el equilibrio de la fase gaseosa:

4HCl + O2 ↔ 2H2O + 2Cl2 + calor

Esta reacción se utiliza industrialmente para obtener Cl2. Cuáles son las mejores

condiciones:

a. Presión alta y temperatura alta

b. Presión baja y temperatura alta

c. Presión baja y temperatura baja

d. Presión alta y temperatura baja

e. Temperatura baja y no afecta la presión

6. En una reacción A + B ↔ C + D donde se emplea un catalizador. Sucede lo

siguiente:

a. La reacción se desplaza hacia la derecha

b. Reacción se desplaza hacia la izquierda

c. Aumenta la energía cinética de los productos.

d. Aumenta la concentración de C pero disminuye la concentración del

catalizador.

e. Ninguna

7. La velocidad de una reacción química aumenta a:

a. Si aumenta la concentración de los reactivos aumenta la velocidad de la

reacción:

b. Si aumenta la temperatura.

c. La presencia de un catalizador.

d. Al amentar el área superficial de los reactivos

e. a,b y c son correctas

f. Todas son correctas

Page 67: SEXTA OLIMPIADA INTERUNIVERSITARIA EXAMEN DE …

77 Sexta Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias Básicas

8. La ecuación de Arrehenius es:

a. K = A eea/rt

b. K = A e-ea/t

c. K = A e-ea/rt

d. K = e-ea/rt

e. Ninguno

9. El coloide formado por un líquido en un gas se denomina:

a. Emulsión

b. Aerosol

c. Sol

d. Espuma

e. Ninguno

10. Tenemos la siguiente reacción:

4NH3(g) + 5O2(g) ↔ 4NO (g) + 6H2O (g)

La velocidad de desaparición del NH3 es igual a la velocidad de:

a. De desaparición del O2

b. Formación del NO

c. Formación H2O

d. Toda las velocidades son iguales

e. Si la velocidad de desaparición del NH3 es –( 0.01 moles/ L S) la

velocidad de formación del NO es –(0.04 Mol/L S)

11. La energía de activación de una reacción puede ser disminuida por:

a. Aumento de la temperatura.

b. Adición de un catalizador.

c. Aumentar la concentración de los reactivos.

d. Incrementar la presión.

e. A y B son correctas.

f. C y D son correctas.

Page 68: SEXTA OLIMPIADA INTERUNIVERSITARIA EXAMEN DE …

78 Sexta Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias Básicas

12. ¿Cuál de los siguientes conceptos es falso?

a. Velocidad ∞ 𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜𝑑𝑒𝑐𝑜𝑙𝑖𝑠𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠

𝑠

b. Los cálculos basados en la teoría cinética molecular muestran que a

presiones y temperaturas normales, existen aproximadamente 1 x 1027

colisiones binarias a un volumen de 1 ml cada segundo en fase gaseosa.

c. cuando las moléculas chocan, la energía cinética se convierte en energía

vibracional, que es la responsable que se rompan los enlaces químicos.

d. Para que haya una reacción, es decir formación de productos, las

moléculas en un choque deben tener una energía cinética total, igual o

mayor que la energía de activación.

e. Todas son correctas

f. f. A y C son correctas.

13. Para la siguiente reacción en equilibrio:

N2(g) + 3H2(g) ↔ 2NH3(g) + 22kcal

Conteste: A. Si el equilibrio se desplaza hacia la derecha

B. Si el equilibrio se desplaza hacia la izquierda

C. No Varia

a. Si aumenta el volumen del recipiente ____B_____

b. Si aumenta la presión sobre el sistema _____A____

c. Si se agrega un catalizador _____C____

d. Si se agrega N2 ____A_____

e. Si se extrae NH3____A_____

f. Si se calienta el sistema ____B______

g. Si se aumenta la concentración de N2 ____A____

14. Tenemos la siguiente ley de velocidad para una reacción química:

V = K [NO] [BR2]

Se puede decir:

a. Que el orden de la reacción es 2

b. El mecanismo de reacción es de una etapa

c. Que las unidades de K son 1

𝑀𝑆

d. Que K no depende de la temperatura.

e. A y C son correctas

f. B y D son correctas

Page 69: SEXTA OLIMPIADA INTERUNIVERSITARIA EXAMEN DE …

79 Sexta Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias Básicas

15. Para la reacción A → productos de segundo orden se puede decir:

a. Que las dimensiones de K son 1

𝑀∗𝑆

b. Que la T1/2 = 1

𝐾[𝐴]𝑜

c. 1

[𝐴] =

1

[𝐴]𝑜 + KT

d. Que la vida media depende de la concentración.

e. Todas son correctas.

f. b y d son correctas.

16. Subraye todas las respuestas correctas: puede haber más de una.

La solubilidad de los líquidos en los líquidos aumenta con la temperatura porque:

a. Las fuerzas de London entre partículas del soluto se hace más pequeña

cuando aumenta la temperatura.

b. Las fuerzas de London entre partículas del soluto se hace más grande

cuando aumenta la temperatura.

c. La reacción de disolución es endotérmica.

d. La reacción de disolución es exotérmica.

17. La solubilidad de los gases en los líquidos disminuye con la temperatura porque:

a. Las fuerzas de London entre partículas del soluto se hace más pequeña

cuando aumenta la temperatura.

b. Las fuerzas de London entre partículas del soluto se hace más grande

cuando aumenta la temperatura.

c. La reacción de disolución es endotérmica.

d. La reacción de disolución es exotérmica.

e. La presión de vapor de los gases es proporcional a la temperatura, según

la Constante Universal de los gases ideales.

18. La presión de vapor de los líquidos aumenta con la temperatura porque:

a. La distribución de velocidad media en la campana de Gauss presenta

un ala derecha mayor con respecto a la velocidad de escape.

b. El valor de las constantes en la Ecuación de Antoine Aumenta.

c. La distribución molar del soluto en el solvente se hace más grande hacia

el solvente.

d. La reacción de presión se vuelve endotérmica.

Page 70: SEXTA OLIMPIADA INTERUNIVERSITARIA EXAMEN DE …

80 Sexta Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias Básicas

19. En una reacción A <-> 2B, en fase gaseosa, que es exotérmica y está en equilibrio

en un recipiente rígido: un aumento de la presión del sistema, ¿hacia dónde

desplazará la reacción?

a. Hacia A

b. Hacia B

c. Permanece en equilibrio

20. Un elemento tiene un potencial de oxidación de 0.479 V. En una reacción con

Hidrógeno en una celda, ¿Quién es el cátodo?

a. El elemento

b. El Hidrógeno.

21. ¿Qué condiciona que una reacción sea exotérmica o endotérmica?

a. Las Energías de enlace

b. La diferencia de Electronegativadad de los enlaces.

c. La diferencia mol entre productos y reactivos.

d. El estado de oxidación de productos y reactivos.

22. Considere la combustión completa del propano:

C3H8 + O2 CO2 + H2O

¿Cuántos Faraday dona 1 mol de propano al sistema?

Solución:

1 F = 1 mol e.

Estado de oxidación de C en el propano: -8/3

Estado de oxidación de C en CO2 : +4

Electrones transferidos por 1 mol de propano:

Cada carbono transfiere: 4- (-8/3) = 20/3 e

Como hay 3 C en el propano: 20 mol e por mol de propano.

Respuesta: 20 Faraday.

Page 71: SEXTA OLIMPIADA INTERUNIVERSITARIA EXAMEN DE …

81 Sexta Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias Básicas

23. Considere la combustión completa del pentano:

C5H12 + O2 CO2 + H2O

¿Cuántos equivalentes-gramo tiene el pentano en esta reacción redox?

Solución:

En una redox, el número de equivalentes-gramo es igual al número de

electrones transferidos por mol de sustancia que se reduce o se oxida. En este

caso, el pentano se oxida. Como se ve, el caso es igual que el anterior: el

número de equivalentes-gramo es igual al número de Faraday (los químicos

puros tienden a no unificar conceptos, por eso usan varios nombres para un

mismo fenómeno):

Estado de oxidación de C en el pentano: -12/5

Estado de oxidación de C en CO2 : +4

Electrones transferidos por 1 mol de propano:

Cada carbono transfiere: 4- (-12/5) = 32/5 e

Como hay 5 C en el propano: 32 mol e por mol de propano.

Respuesta: 32 equivalentes-gramo (= 32 Faraday = 32 mol e transferidos por

mol de compuesto).

24. La constante cinética de una reacción particular aumenta con la temperatura en el

rango de 0°C a 100°C, ¿necesariamente seguirá aumentando con la temperatura

arriba de ese rango? Explique.

Solución

No necesariamente: Las reacciones siempre son paralelas: Imaginemos dos

caminos (sólo dos, para simplificar): A B, AC. Si la Energía de Activación

para formar B es mucho menor que para formar A, la formación de B será

preferida; pero si la temperatura del sistema llega a ser tal que C alcance su

Energía de Activación, entonces la formación de C será igual que la de B. Y

hasta puede ser que la formación de C domine sobre la de B. Incluso puede ser

que la formación de B se inhiba frente a la de C. Todo esto está dado por la

Energía de Activación, y al fondo, por el cambio en la Energía Libre de Gibbs

de formación de B y de C.

25. Considere 2 alcanos lineales: A y B; si B tiene más carbonos que A, ¿quién tendrá

mayor calor de combustión? ¿Por qué?

Solución

B, que tiene más carbono, tendrá mayor calor de combustión: Esto es porque

el O2 tiene un calor de formación O.OO J, y al reducirse su calor de formación

es negativo: la reacción de reducción de O2 es negativa; por tanto, la reacción

de oxidación del carbono es positiva, y también la del hidrógeno. Entre más

carbonos lineales, más hidrógenos también, y más oxígenos. Por tanto, la

reacción será siempre más exotérmica.

Page 72: SEXTA OLIMPIADA INTERUNIVERSITARIA EXAMEN DE …

82 Sexta Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias Básicas

SEGUNDA SERIE

A continuación encontrará 5 problemas. Resuélvalos correctamente en su cuadernillo

de trabajo. Deje constancia escrita, objetiva, lógica, explícita y ordenada todo

su procedimiento y todas sus suposiciones. Resalte sus resultados y ecuaciones

más importantes de forma inequívoca y anote la respuesta específica en el temario.

Problema 1:

El Texaco es un proceso de oxidación parcial, destinado a la producción de hidrógeno

para síntesis de amoniaco, en el que se hace reaccionar octano gaseoso con oxígeno

puro. Las reacciones que tienen lugar son las siguientes:

C8H18 + 4 O2 8 CO + 9 H2 (Reacción A)

C8H18 + 8 O2 8 CO2 + 9 H2 (Reacción B)

Con los datos que se indican a continuación, calcula por cada 100 moles de octano que

reaccionan:

a. La Cantidad de oxígeno consumido, si el 90% del octano se oxida según la reacción

A.

b. El Calor total desprendido en el inciso anterior, si el proceso ocurriese a 25 grados

centígrados. Entalpías de formación estándar a 25 oC, ∆fHmo (kcal/mol): octano: -

59,749 dióxido de carbono: -94,052 y monóxido de carbono: -26,416.

Solución

a. Por estequiometría tenemos:

Reacción A:

22

4 mol O90 mol Oct 360 mol O

1 mol Oct

Reacción B:

22

8 mol O10 mol Oct 80 mol O

1 mol Oct

b. Considerando 100 moles de mezcla

Reacción A:

26.416 Kcal 59.74 KcalHA 8 mol CO 1 mol Oct

mol CO mol Oct

151.588 Kcal/mol Oct

151.588 KcalQA 90 mol Oct 13,643 Kcal

mol Oct

Page 73: SEXTA OLIMPIADA INTERUNIVERSITARIA EXAMEN DE …

83 Sexta Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias Básicas

Reacción B:

94.052 Kcal 59.74 KcalHB 8 mol CO2 1 mol Oct

mol CO2 mol Oct

692.676 Kcal/mol Oct

692.676 KcalQB 10 mol Oct 6,926.76 Kcal

mol Oct

Problema 2:

El diazometano, CH3-N=N-CH3, se descompone en etano, CH3-CH3, el nitrógeno, N2. Si

la presión inicial es 360 mm Hg, transcurridos 400 s, asciende a 363,6 mm Hg. a) ¿Cuál

es la fracción de diazometano descompuesta? b) ¿Cuál es la constante de Velocidad de

descomposición, supuesta de primer orden? c) ¿Cuál es el periodo de Vida media, t1/2,

del diazometano?

Solución

a) la Ecuación química correspondiente a la descomposición del diazometano es:

CH3 N CH3 (g) CH3 CH3 (g) N2 (g)N

Las presiones son:

diazometano Etano Nitrógeno

P (t=0) 360 --- ---

P (T= 400) 360 - X X X

De acuerdo con la ley de Dalton de las mezclas gaseosas, la presión total para

t=400 es:

P = Pdiazo + Petano + P N2

Sustituyendo las presiones dadas:

363,6 = (360 – X) + X +X

Se obtiene: x = 3,6 mm Hg

Por lo que la fracción del diazometano descompuesta al cabo de 400 s se

obtiene:

P diazo (transfo) 3.6 mmHg0.01 equivale al 1%

P diazo (inicial) 360 mmHg

Page 74: SEXTA OLIMPIADA INTERUNIVERSITARIA EXAMEN DE …

84 Sexta Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias Básicas

b) La ecuación de velocidad de primer orden es:

0

[ ]ln

[ ]

Akt

A

En este caso

Pdiazoln

Pdiazo inikt

Sustituyendo:

5 1

360 3.6ln 400

360

2.5 10 s

k

k

c) El periodo de la vida media al aplicar la ecuación de velocidad es:

01/2

0

[ /2]ln

[ ]

Akt

A

Sustituyendo es 42.8 10 s

Problema 3:

Se dispone de 6.5 g de Disolución acuosa de hidróxido de litio (LiOH) de 1,07 de

densidad relativa y 0.08 de fracción molar en LiOH. Calcular: La Molalidad de la

disolución. B) ¿Cuántos gramos de agua habrá que añadir a la citada cantidad de

disolución para que la fracción molar de LiOH sea Ahora 0.04?

Solución

a) Calculando cantidades de soluto y solvente:

24 g LiOH0.08 mol LiOH =1.92 g LiOH

1mol LiOH

218 g H O0.92 mol agua =16.56 g

1mol agua

Al final se tiene 18.48 g de disolución

Las cantidades de LiOH y H2O contenidas en los 6.5 g de disolución son:

24 g LiOH0.08 mol LiOH =1.92 g LiOH

1mol LiOH

Page 75: SEXTA OLIMPIADA INTERUNIVERSITARIA EXAMEN DE …

85 Sexta Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias Básicas

1.92 g LiOH6.5 g disolución =0.675 g LiOH

18.48 g disolución

Entonces:

6.5 g disolución – 0.675 g LiOH = 5.825 g agua

La molalidad es:

30.675 g LiOH 10 g agua1 mol LiOH=4.83 mol por kg

5.825 g agua 24 g LiOH 1 kg de agua

c) la nueva disolución contiene la misma cantidad de LiOH y n moles de agua:

2

1 mol LiOH0.675 g LiOH

24 g LiOH0.04

1 mol LiOH0.675 g LiOH mol H O

24 g LiOHn

Despejando se obtiene

0.675 g aguan

Como la disolución ya contiene 5.825 g de agua, la masa de esta sustancia a

añadir es:

18 g agua0.675 5.825 g agua = 6.325 g

1mol agua

Problema 4:

La constante de equilibrio de la reacción H2 + I2 2 HI es a 600 grados Celsius igual a

70.0. ¿Cuántos moles de hidrógeno pueden ser mezclados con un mol de yodo cuando el

99 % del yodo es convertido en Ioduro de hidrógeno si la reacción se lleva a cabo a 600

grados Celsius?

Solución

2[H ] Xc 0.99c 2[I ] c 0.99c

[HI] = 1.98 c

2 2 2

2

1.98 c 1.98

0.01(X 0.99)c (1 0.99)(X 0.99)K

X= 6.59 mol H2

Page 76: SEXTA OLIMPIADA INTERUNIVERSITARIA EXAMEN DE …

86 Sexta Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias Básicas

Problema 5

¿Cuántas horas son necesarias para producir 30 g de oro metálico, haciendo pasar una

corriente eléctrica continua de 4.00 A, a través de una disolución de un compuesto

iónico de oro (III)?

Solución

La semireacción en el cátodo sería:

Au 3e Au

Los moles de oro depositados son:

1mol Au30.0 g Au 0.152 mol Au

197 g Au

Sabiendo que 1 mol de electrones tiene una carga de 96500 C (1 Faraday), se

relaciona el oro depositado con la corriente eléctrica necesaria:

3mol e 96500 C0.152 mol Au 44004 C

1 mol Au 1mol e

La cantidad de corriente que circula a través de la disolución electrolítica

viene dado por:

lq t

Por lo que el Tiempo sería:

44004 C 1 h3.1 h

4.00 A 3600 st

Page 77: SEXTA OLIMPIADA INTERUNIVERSITARIA EXAMEN DE …

87 Sexta Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias Básicas

4.4 BIOLOGÍA

SEXTA OLIMPIADA INTERUNIVERSITARIA

EXAMEN DE BIOLOGÍA NIVEL I

Instrucciones:

Esta prueba consta de seis series. Debe responder toda la prueba con tinta azul o

negra. Puede usar calculadora, pero no celular. El tiempo máximo para responder es de

90 minutos.

SERIE I:COMPLETACIÓN/RESPUESTA DIRECTA

Instrucciones: responda únicamente lo que se le indica. Valor de cada inciso: 2 puntos.

1. Los seres vivos “nacen, crecen, se reproducen y mueren”. Indique otras DOS

características compartidas por TODOS los organismos vivos.

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

2. Complete la ecuación simplificada de disociación del agua, escribiendo las fórmulas

y los nombres de los iones correspondientes.

H2O <=> +

Ion _________ Ion _________

3. ¿Cuál es el número máximo de enlaces que puede formar un átomo de carbono?

___________________________________________________________________________

4. En las plantas, ¿en qué organelas (organelos/orgánulos) ocurre la fotosíntesis?

___________________________________________________________________________

5. Complete la reacción general de la respiración celular y encierre en un cuadro el

reactivo que se reduce.

C6H12O6 + → + 6 H2O + energía (ATP + calor)

6. ¿Cuáles son los tres componentes de CADA NUCLEÓTIDO de ADN?

________________________________

________________________________

7. ¿En qué se diferencia la reproducción sexual de la asexual?

___________________________________________________________________________

8. ¿Qué tipo de enlaces se forman entre dos moléculas de agua?

Page 78: SEXTA OLIMPIADA INTERUNIVERSITARIA EXAMEN DE …

88 Sexta Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias Básicas

___________________________________________________________________________

9. ¿Cuáles son los cuatro elementos químicos predominantes en la materia orgánica?

___________________________________________________________________________

10. De las macromoléculas (ácidos nucleicos, carbohidratos, lípidos y proteínas),

¿cuáles NO son polímeros?

___________________________________________________________________________

11. Enumere DOS distintas funciones de las proteínas de membrana.

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

12. Complete la ecuación simplificada de la fotosíntesis:

+ 6 H2O + Energía lumínica → C6H12O6 +

Preguntas 13 a 16

Complete el cuadro acerca de estructuras de las células eucarióticas.

Estructura Descripción Función

Ejemplo: Núcleo Estructura grande rodeada

por una membrana doble

La información contenida en

el ADN se transcribe a ARN

13. Cuerpo granular en el

núcleo; consiste en ARN y

proteínas.

Sitio de síntesis del ARN

ribosómico y de ensamble de

subunidades ribosómicas

14. Red de membranas

internas que se extienden

en el citoplasma, sin

ribosomas en su superficie

interna

Sitio de síntesis de lípidos y

destoxificación de sustancias

15. Pilas de sacos

membranosos aplanados

Modificación de proteínas,

empaque de proteínas

secretadas, clasificación de

otras proteínas que se

distribuyen a vacuolas u otros

organelos

16. Saco consistente en dos

membranas, de las cuales

la interna se pliega para

formar crestas y contiene

una matriz

Sitio de la mayor parte de las

reacciones de la respiración

celular; transformación de la

energía de glucosa o lípidos

en energía almacenada en el

ATP

Preguntas 17 a 19

Indique la estructura de los grupos funcionales siguientes.

Page 79: SEXTA OLIMPIADA INTERUNIVERSITARIA EXAMEN DE …

89 Sexta Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias Básicas

17. hidroxilo

18. carboxilo

19. amino

SERIE II. ESQUEMATIZACIÓN

20. Esquematice la bicapa fosfolipídica de la membrana celular (1 punto).

21. Esquematice la traducción del ARNm en una célula eucariota (5 puntos).

Incluya y señale:

a. El ARNm

b. Un aminoácido activado (aminoácido + ARNt)

c. Un anticodón

d. Un codón

e. Un ribosoma con los sitios A, E y P

22. Esquematice las cinco fases de la mitosis (10 puntos)

Page 80: SEXTA OLIMPIADA INTERUNIVERSITARIA EXAMEN DE …

90 Sexta Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias Básicas

SERIE III. ORDENAMIENTO

Valor de cada inciso: 2 puntos.

23. Ordene los niveles de organización biológica en secuencia DECRECIENTE:

Biósfera

Células

Comunidades

Ecosistemas

Moléculas

Organelas / organelos / orgánulos

Organismos

Órganos y sistemas orgánicos

Poblaciones

Tejidos

___________________________________________________________

___________________________________________________________

___________________________________________________________

___________________________________________________________

___________________________________________________________

___________________________________________________________

___________________________________________________________

___________________________________________________________

___________________________________________________________

___________________________________________________________

24. Ordene las fases del ciclo celular, empezando por la fase G1:

Citocinesis

Fase G1

Fase G2

Fase S

Mitosis

_____________________________

_____________________________

_____________________________

_____________________________

_____________________________

25. Ordene las etapas de la respiración celular:

Ciclo del ácido cítrico

Fosforilación oxidativa

Glucólisis

___________________________________________________________

___________________________________________________________

___________________________________________________________

Page 81: SEXTA OLIMPIADA INTERUNIVERSITARIA EXAMEN DE …

91 Sexta Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias Básicas

SERIE IV. SELECCIÓN MÚLTIPLE

Instrucciones: subraye la respuesta correcta. Valor de cada inciso: 2 puntos.

26. ¿Aproximadamente cuántos elementos químicos son esenciales para la vida?

a. 4

b. 25

c. 92

d. 96

27. El ________ es un oligoelemento necesario para todos los seres vivos.

a. Calcio (Ca)

b. Fósforo (P)

c. Hierro (Fe)

d. Potasio (K)

28. La comunicación intercelular empieza cuando un/una __________________

receptor(a) de la célula diana se une a una molécula señalizadora.

a. carbohidrato

b. lípido

c. molécula de fosfato

d. proteína

Page 82: SEXTA OLIMPIADA INTERUNIVERSITARIA EXAMEN DE …

92 Sexta Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias Básicas

SERIE V. PROBLEMAS DE GENÉTICA

Instrucciones: responda las siguientes preguntas dejando constancia de su

procedimiento.

Problema 1

En algunas plantas, una cepa de flores rojas de línea genéticamente pura origina

plantas con todas sus flores rosas cuando se la cruza con una cepa de flores blancas:

RR (rojas) x rr (blancas) → Rr (rosas). Si la posición de la flor (axial o terminal) se

hereda de manera mendeliana,

29. ¿cuáles serían las proporciones de los genotipos y los fenotipos de la generación F1

que se originan del siguiente cruce: axial-roja (línea genéticamente pura) x

terminal-blanca? (2 puntos)

30. ¿cuáles serían las proporciones en la generación F2? (2 puntos)

Problema 2

En los conejos, el pelaje manchado (S) es dominante sobre la uniformidad de color (s), y

el negro (B) es dominante sobre el pardo (b). Estos loci no están ligados. Un conejo

pardo manchado, de una línea pura, se aparea con un conejo de color uniformemente

negro, también de una línea pura.

31. ¿Cuáles son los genotipos de los padres? (2 puntos)

32. ¿Cuáles serían el genotipo y el fenotipo de un conejo F1?(2 puntos)

33. ¿Cuáles serían los genotipos y fenotipos esperados de la generación F2? (2 puntos)

Page 83: SEXTA OLIMPIADA INTERUNIVERSITARIA EXAMEN DE …

93 Sexta Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias Básicas

SERIE VI. DESARROLLO DE TEMAS

Instrucciones: desarrolle los cuatro temas que se indican a continuación.

34. Diversidad celular (8 puntos)

Incluya los siguientes subtemas (cada subtema debe constituir un párrafo aparte):

tamaño;

estructura;

forma;

función.

35. Selección natural y adaptación (4 puntos)

36. Microevolución (8 puntos)

Dentro del tema, incluya y explique los siguientes conceptos:

mutación y recombinación sexual;

selección natural;

deriva genética;

flujo génico.

37. Macroevolución (4 puntos)

Incluya los siguientes subtemas (cada subtema debe constituir un párrafo aparte):

especiación alopátrica;

especiación simpátrica.

Page 84: SEXTA OLIMPIADA INTERUNIVERSITARIA EXAMEN DE …

94 Sexta Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias Básicas

SEXTA OLIMPIADA INTERUNIVERSITARIA

EXAMEN DE BIOLOGÍA NIVEL II

Instrucciones generales:

Esta prueba consta de 5 series. Debe responder toda la prueba con tinta azul o negra.

Puede usar calculadora, pero no celular. El tiempo máximo para responder es de 90

minutos.

SERIE I:COMPLETACIÓN/RESPUESTA DIRECTA

Instrucciones: responda únicamente lo que se le indica.

Valor de cada inciso: 2 puntos.

1. En la molécula de ADN, ¿qué tipo de enlaces químicos se encuentran entre dos

bases nitrogenadas?

___________________________________________________________________________________________

2. Mencione un ejemplo de proteína de almacenamiento (para nutrir embriones).

___________________________________________________________________________________________

3. ¿Cuántos pares de cromosomas tiene cada célula somática de un ser humano (n)? A

partir de la cifra anterior, ¿cuántos tipos de gametos distintos puede producir una

persona (sin tomar en cuenta el entrecruzamiento)?

__________________________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________________________

4. A partir del inciso anterior, ¿cuántas posibilidades de hijos distintos existen para

una pareja?

__________________________________________________________________________________________

5. Describa brevemente algún experimento sencillo para poner a prueba la teoría de

la selección natural.

__________________________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________________________

6. Mencione un ejemplo de taxón.

__________________________________________________________________________________________

7. Explique cómo el “grupo externo” (en sistemática filogenética) permite distinguir

entre caracteres compartidos primitivos y derivados.

__________________________________________________________________________________________

Page 85: SEXTA OLIMPIADA INTERUNIVERSITARIA EXAMEN DE …

95 Sexta Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias Básicas

8. ¿A qué Dominio pertenecen los procariotas que están más emparentados con los

eucariotas?

__________________________________________________________________________________________

9. Mencione UN ejemplo de planta medicinal.

__________________________________________________________________________________________

10. Mencione UN ejemplo de animal parásito del ser humano.

__________________________________________________________________________________________

11. Mencione cuatro ejemplos de factores abióticos.

__________________________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________________________

12. ¿Cuál es el fenómeno que permite la incorporación del carbono atmosférico a la

materia orgánica?

__________________________________________________________________________________________

Preguntas 13 a 16

Complete la tabla siguiente, referente a la importancia económica de organismos

específicos. En cada caso, deben quedar completos tres aspectos: 1) el nombre científico;

2) la importancia económica; 3) el grupo general al que pertenece la especie en

cuestión.

No Nombre

científico Importancia económica

Grupo al que pertenece (marcar con una “X”)

Procarionte Protista Planta Hongo Animal

13. Kappaphycus

alvarezii

De esta especie se extrae

carragenina.

14. Es el cereal históricamente

más importante para la

subsistencia de los pueblos

indígenas de América, y uno

de los cultivos más

importantes para la

economía guatemalteca

actual.

15. Lactobacillusa

cidophilus

16. Levadura utilizada para

elaborar pan, y en la

industria cervecera.

Page 86: SEXTA OLIMPIADA INTERUNIVERSITARIA EXAMEN DE …

96 Sexta Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias Básicas

Preguntas 17 a 19

Complete la tabla siguiente con ejemplos de organismos patógenos para el ser humano.

Pregunta

No.

Grupo

general

Nombre científico Enfermedad

(Ejemplo) Virus Treponema pallidum Sífilis

17. Procarionte

18. Protista

19. Hongo

SERIE II. SELECCIÓN MÚLTIPLE

Instrucciones: subraye la respuesta correcta. Valor de cada inciso: 1 punto.

20. La ADN polimerasa III agrega nucleótidos…

a. al extremo 3’ de la hebra adelantada

b. al extremo 3’ de la hebra retrasada

c. al extremo 5’ de un cebador

d. a y b son correctas

21. Las enzimas capaces de cortar fragmentos dañados de una hebra de ADN son las…

a. ADN ligasas

b. helicasas

c. nucleasas

d. primasas

22. Dos codones correspondientes a un mismo aminoácido suelen diferir en…

a. la primera base nitrogenada

b. la segunda base nitrogenada

c. la tercera base nitrogenada

d. Ninguna de las anteriores es correcta.

23. Una hélice alfa es un ejemplo de estructura proteica…

a. primaria

b. secundaria

c. terciaria

d. cuaternaria

24. Un alopoliploide es…

a. un híbrido viable fértil

b. un individuo con más de dos juegos de cromosomas, derivados de una única

especie

c. un poliploide estéril

d. una nueva especie surgida por especiación alopátrica

Page 87: SEXTA OLIMPIADA INTERUNIVERSITARIA EXAMEN DE …

97 Sexta Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias Básicas

25. Entre los papeles ecológicos de los procariotas está el de…

a. descomponer materia orgánica

b. producir oxígeno

c. sintetizar materia orgánica

d. Todas las anteriores son correctas.

26. Se cree que los alveolados y estramenópilos se originaron por…

a. endosimbiosis primaria de algas rojas

b. endosimbiosis primaria de algas verdes

c. endosimbiosis secundaria de algas rojas

d. endosimbiosis secundaria de algas verdes

27. Las algas coralinas son algas…

a. doradas

b. pardas

c. rojas

d. verdes

28. ¿Cuáles son los parientes más cercanos de las plantas terrestres?

a. Las algas rojas.

b. Las carofíceas.

c. Las cianobacterias.

d. Las clorofitas.

29. La turba, formada a base del musgo _______________, es un reservorio de carbono

que contribuye a estabilizar la concentración atmosférica de CO2.

a. Bryophyta

b. Marchantia

c. Polytrichum

d. Sphagnum

30. ¿De los siguientes, cuáles son los parientes más cercanos de los hongos?

a. Las plantas.

b. Los animales.

c. Los ovomicetos.

d. Los procariontes.

31. Las micorrizas son relaciones simbióticas de…

a. comensalismo

b. mutualismo

c. parasitismo

d. patogenia

Page 88: SEXTA OLIMPIADA INTERUNIVERSITARIA EXAMEN DE …

98 Sexta Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias Básicas

32. Los grupos Echinodermata y Chordata pertenecen al linaje…

a. Deuterostomia

b. Porifera

c. Protostomia

d. Radiata

33. Los arrecifes de coral son formados por organismos de la clase…

a. Anthozoa

b. Cubozoa

c. Hydrozoa

d. Scyphozoa

34. La mayoría de peces popularmente conocidos (como el atún) son…

a. celacantos

b. condrictios

c. osteíctios de aletas radiadas

d. pulmonados

35. Las paredes de las arterias son un ejemplo de músculo…

a. cardíaco

b. esquelético

c. estriado

d. liso

36. Las inmunoglobulinas que son las primeras en producirse tras la exposición a un

antígeno, y que cuentan con cinco unidades monoméricas son las…

a. IgA

b. IgE

c. IgG

d. IgM

37. Bioma cuya temperatura es siempre cálida:

a. chaparral

b. pradera templada

c. sabana

d. tundra

38. La especie humana se caracteriza por una curva de supervivencia…

a. tipo I (pendiente casi nula al inicio; muy negativa al final)

b. tipo II (pendiente constante)

c. tipo III (pendiente muy negativa al inicio; casi nula al final)

d. tipo IV (pendiente muy positiva al inicio; muy negativa al final)

Page 89: SEXTA OLIMPIADA INTERUNIVERSITARIA EXAMEN DE …

99 Sexta Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias Básicas

39. Los organismos fijadores de nitrógeno son:

a. bacterias

b. hongos

c. protistas

d. Todas las anteriores son correctas.

40. El problema atmosférico que causan los CFC es…

a. el aumento del efecto invernadero

b. el daño a la capa de ozono

c. la lluvia ácida

d. Todas las anteriores son correctas.

SERIE III. ESQUEMATIZACIÓN

41. Esquematice los principales pasos de una infección lítica provocada por un fago (5

puntos).

42. Esquematice las cuatro fases de la meiosis I (8 puntos).

43. Dibuje el tallo de una planta (5 puntos).

Señale SOLAMENTE:

a. un nudo

b. un internudo

c. una axila

d. una yema axilar

e. una yema terminal

44. Esquematice el ciclo del agua (4 puntos).

Page 90: SEXTA OLIMPIADA INTERUNIVERSITARIA EXAMEN DE …

100 Sexta Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias Básicas

SERIE IV. PROBLEMAS DE GENÉTICA

Instrucciones: responda las preguntas dejando constancia de su

procedimiento.

Problema 1 (5 puntos)

María es una anciana albina. Su hija, Paula, tiene pigmentación normal. María se hace

amiga de Raúl, un hombre albino como ella, y le presenta a Paula. Si Paula y Raúl se

enamoraran y tuvieran descendencia,

45. ¿qué proporciones genotípicas y fenotípicas se esperarían para esa descendencia?

Considere como recesivo al alelo del albinismo.

Problema 2

En los pollos, el genotipo sexual de los machos es XX (dos cromosomas X) mientras que

el de las hembras es XO (un cromosoma X sin homólogo). Un alelo dominante B, ligado

al sexo, es responsable de la aparición de manchas blancas sobre los pollos negros.

Elabore los cuadros de Punnett de la F1 y de la F2 de los siguientes cruces.

46. Macho manchado homocigoto x hembra no manchada (2 puntos)

47. Macho no manchado homocigoto x hembra manchada (2 puntos)

Problema 3 (5 puntos)

Un estudio del polimorfismo de la alcohol deshidrogenasa de un pequeño mamífero

reveló la presencia de dos formas alélicas: ADHsy ADHf. La población presentó las

frecuencias genotípicas siguientes:

Frecuencia de ADHsADHs = 0.16

Frecuencia de ADHsADHf = 0.48

Frecuencia de ADHfADHf= 0.36

48. Calcule las frecuencias de los alelos ADHs y ADHfen esta población.

Page 91: SEXTA OLIMPIADA INTERUNIVERSITARIA EXAMEN DE …

101 Sexta Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias Básicas

3. CONTENIDO DE LAS PRUEBAS

Matemática: Nivel 1

Ecuaciones y desigualdades

Funciones y graficas

Geometría

Funciones polinomiales y racionales

Funciones exponencial y logarítmica

Funciones trigonométricas

Trigonometría analítica

Geometría analítica

Límites y derivadas

Reglas de derivación

Aplicaciones de la derivada

Matemática: Nivel 2

Integrales

Técnicas de integración

Aplicaciones de la Integral

Ecuaciones paramétricas, coordenadas polares y ecuaciones de las cónicas en

polares

Sucesiones y series infinitas

Vectores y geometría analítica en el espacio

Funciones vectoriales y derivadas parciales

Integrales múltiples

Calculo vectorial

Ecuaciones diferenciales de primer orden

Modelos matemáticos y métodos numéricos

Ecuaciones lineales de orden superior

Física: Nivel I, Mecánica

Física y mediciones

Vectores

Movimiento en una dimensión

Page 92: SEXTA OLIMPIADA INTERUNIVERSITARIA EXAMEN DE …

102 Sexta Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias Básicas

Movimiento en dos dimensiones

Las leyes del movimiento

Movimiento circular y otras aplicaciones de las leyes de Newton.

Energía y transferencia de energía

Energía potencial

Cantidad de movimiento lineal y colisiones

Rotación de un cuerpo rígido alrededor de un eje fijo.

Cantidad de movimiento angular

Equilibrio

Elasticidad

Gravitación universal

Mecánica de fluidos

Mecánica de fluidos dinámica

Movimiento oscilatorio

Energía de oscilador armónico simple

Física: Nivel II, Electricidad y Magnetismo

Ley de Coulumb

Campo eléctrico

Ley de Gauss

Potencial eléctrico

Capacitores y dieléctricos

Corrientes y resistencia

Circuitos eléctricos

Fuerza magnética

Ley de Ampere

Ley de Faraday y la ley de inducción

Inductancia

Química: Nivel 1

Ciencia y Medición

Teoría Atómica

Clasificación Periódica

Enlace Químico

Page 93: SEXTA OLIMPIADA INTERUNIVERSITARIA EXAMEN DE …

103 Sexta Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias Básicas

Nomenclatura

Estequiometria

Gases

Química: Nivel II

Estequiometria de las reacciones

Soluciones

Cinética química

Equilibrio químico

Electroquímica

Termodinámica

Biología: Nivel I

Introducción al estudio de los seres vivos

Bases químicas de la vida

Las células

Procesos energéticos fundamentales

División y muerte celular

Genética

Mecanismos de la evolución

Biología:Nivel II

Introducción al estudio de los seres vivos

Bases químicas de la vida

Las células

Procesos energéticos fundamentales

División y muerte celular

Genética

Mecanismos de la evolución

Diversidad de los seres vivos

Estructura y función de los sistemas del cuerpo humano

Ecología