- 1 -

第６章 真直はりの曲げ応力

6.1 はりの曲げ応力

はりがせん断力を受けない条件は，

0dx

dM

（6.1）

である。この条件を満たすはりは，図

6.1 のように支点から対象に荷重を加

えればよく，単純曲げ（pure bending）

はりという。

☆C-D 間で曲げモーメント xM

は一定，せん断力 0xF

☆中立面（neutral surface)：

曲げモーメントを受けても，伸びも

縮みもしない面。 図 6.1 単純曲げはり

☆中立軸(neutral axis)：中立面とその垂直横断面との交わる線( z 軸)

6.1.1 はりの曲げひずみと曲率半径 r の関係

図 6.2 に示すように，中立面 00nm から距離 y 離れた円弧 11nm に生じる x 方向

図 6.2 単純曲げはりのモーメントとひずみの関係

○○

P Paa

SFD

BMD

A B

C D

(+)

(-)

X

X

x

ｂ

ｈ

ｙ

z

ｍ ｎ

ｍ０n0

m' n'

m' n'

ｍ０

n0

ｍ ｎy

dydA

dθ

ｒ

ｙ

ｎ１ｍ１

M M

y

z

ｙ

- 2 -

ひずみ x は

x ＝r

y

rd

rddyr

nm

nmnm

)(

00

0011 （6.2）

材料のポアソン比を とすれば， z 方向のひずみ z は式（6.2）から

r

yxz （6.3）

☆真直はりの曲げ応力 x について

フックの法則から曲げ応力 x は

rEyE xx （6.4）

----------------------------------------------------------------------------------------------------------

Ｑ１：下記の式(6.4)を使って zy, 断面における応力分布 x を図示せよ。

rEyE xx （6.4）

Ｑ２：式(6.4)から応力 x は曲率半径 r ，ヤング率 E ，はりの中立軸からの距

離 y に対してどのようになるか理解できたか。

----------------------------------------------------------------------------------------------------------

ここで，図 6.3 に示すはりの上面 2ey およびはりの下面 1ey の応力は，式

（6.4）からそれぞれつぎのようになる。

r

Eeeyx

22

；

r

Eeeyx

11 （6.5）

図 6.3 単純はりの応力分布

上面圧縮

下面引張 微小面積bdydA

rEe /2

h2e

dy

z

b

M

y

x

M

1e

rEe /1

y

- 3 -

したがって，真直はりにかかる曲げモーメントM によってはりの上面は圧縮応

力，下面は引張応力を受けることがわかる。

さて，このはりには， x 方向に力が働いていない(外力＝０）から， x 方向の応

力 x をはりの zy, 断面内で積分した値は０となるはずである。したがって，

AA

Ax ydA

r

EdA

r

EydA 0 （6.6）

ところで，中立軸に関するモーメントの総和は，（モーメント＝力×距離＝応力

×面積×距離）曲げモーメントM に等しいはずであるから，

Mr

EIdAy

r

E Z

A

2 （6.7)

ここで， zI は次式で定義される断面２次モーメントを意味し，その単位は 4m で

ある。

A

dAyIz 2 （6.8）

断面２次モーメント：（moment of inertia of area）

zI ： 4m

さらに，式（6.7）を書き換えれば，曲げモーメントとはりの曲

率半径の関係は次式のようになる。

zEI

M

r

1 （6.9）

式（6.9）から constM の時， zEI が大きいほど曲率 r1 は小さくなり，はりは

曲がりにくくなる。そこで， zEI を，

zEI ：曲げこわさまたは曲げ剛性（flexural rigidity）という。

さて，式（6.9）を式（6.5）に代入して整理すれば，応力 x は

zz

xI

Ey

EI

MEy

r

Ey （6.10）

となる。

☆最小圧縮応力 min と最大引張応力 max

1

1max

2

2min ,

Z

M

I

Me

Z

M

I

Me

zz

（6.11）

断面２次モーメント

の単位はｍ４だよ

一定のモーメント M に対し

ては断面係数Zが大きいほど

曲げ応力は小さくなる。

Iz が大きいほ

ど材料は曲が

りにくい。

- 4 -

ここで，式（6.11）に現れる 1Z または 2Z を断面係数とよび，断面係数はそれぞ

れ次式で定義される。

1

1e

IZ z ；

2

2e

IZ z （6.12）

☆ Z ：断面係数（section modulus）の定義

e

IZ Z

までの距離はり材料の図心から端

断面２次モーメント断面係数 （6.13）

6.2 各種物体の重心または図心

ここで，少しはりの曲げ問題からはなれて，図形の重心(図心)や慣性に関係す

る断面１次モーメントおよび断面２次モーメントについて学習しておこう。

6.2.1 重心の定義

最初に，３次元の任意物体

における重心位置を求めるた

め，重心の定義を行う。そこ

で，図 6.4 に示すような任意の

３次元物体の重心位置を定義

することから始める。この場

合，３次元座標系 zyx ,, にお

け る 物 体 の 各 重 心 位 置

GGG zyx ,, は，重力の作用方向

を z と決めて，つぎの定義式

(6.14)から求められる。 図 6.4 3 次元任意物体の重心

m

G xdmm

x1

； m

G ydmm

y1

； m

G zdmm

z1

（6.14）

ここで，式(6.14)における記号m は 3 次元任意物体の全質量で，

vm

dVdmm (6.15)

から求められる。なお，式(6.15)の記号 は密度，V は体積を意味する。

6.2.2 重心，図心および断面１次モーメントの求め方

式（6.14），(6.15)から明らかにしたように，3 次元物体の重心位置 GGG zyx ,,

は，直交座標空間 zyx ,, に物体がどのように質量を分布させているかに依存す

ｚ

ｘ

),,( GGG zyx

y

全質量

密度

全体積

m

V

- 5 -

る。すなわち，物体の形，物体の幅，奥行き，長さに加えて，物体の密度の場

所的な変化などで重心位置が決まる。そこで，この節以降では，物体の密度 が

一定であることを前提として以下，重心の求め方を説明する。

図 6.5 3 次元物体の重心(重力方向厚さ一定)

まず最初に，図 6.5 に示すように，物体の密度 が一定で，物体の形状が yx,

平面に限定され，重力 z 方向の厚さW が一定場合を考え，この重心位置につい

て，一例として yx, 方向の重心 GG yx , を求める。すなわち，式(6.14)

m

G xdmm

x1

， vm

VdVdmm (6.14)

において，物体全体の質量m は，全体の体積V に密度 をかければよく，重力 z

方向の高さW が一定な場合には，質量m はつぎのようになる。

WAdAWdVdmmv Am

， dxxWbWdAdVdm )(

ここで，微小面積 dAは図 6.6(a)に示されるように， dxxbdA )( で求められる。

重心の定義式（6.14）へこれらの関係を代入すれば，結局，

AAm

G xdAA

WxdAWA

xdmm

x111

（6.15）

同様にして y 方向の重心位置 Gy は

AAm

G ydAA

WydAWA

ydmm

y111

（6.16）

このようにして，式（6.15）または式（6.17）に現れるつぎの物理量を断面 1

dxxWbdVdm )( x dx

GGG zyx ,,

Gx

W

z y

xGy

密度

幅

一定

一定W

Vm

- 6 -

次モーメントと名づけ，任意の x 軸または y 軸について，次式で定義される。

AA

x dyyybydAJ )( ， AA

y dxxxbxdAJ )( （6.18）

y

x

y図全面積A

y

x図全面積A

ｘ dxdy

)(yb

)(xbdyybdA )(

dxxbdA )(

図 6.6(a)断面 1 次ﾓｰﾒﾝﾄ

密度が変化しない任意の 3次元物体の場合，その重心位置は,平面的な図形中

心と一致し,次のように求められる。

A

G xdAA

x1

； A

G ydAA

y1

； A

G zdAA

z1

（6.19）

このように，式（6.19）に示される面積の 1次モーメント，すなわち ydAxdA, の

積分形で求めた任意図形の中心位置を図心と呼ぶ。

つぎに，図 6.6(ｂ)の左側に示す座標系 ),( yx における任意の図形 A の重心

GG yx , を，右側に示す新しい座標系 ),( YX においては， )0,0(),( GG yx の原点

として，

図 6.6（ｂ） 重心と座標軸平行移動

座標系 ),( YX におけるつぎの断面１次モーメント XJ および YJ 考える。すると，

0 A GX AYYdAJ ： 0 GA

Y AXXdAJ (6.20)

y

x図全面積A

重心

y

x図全面積A

重心（０，０）

Y

X GG yx ,

Gxx

Gyy

,Gxx

Gyy

0GY

0GX

- 7 -

である。つまり，座標軸が重心を通るとき，その軸まわりの断面１次モーメン

ト XJ ， YJ は当然のことながら０となる。

----------------------------------------------------------------------------------------------------------

6.2.2 重心の演習問題

１．図 6.7 に示すように，奥行きｚ方

向の幅 W=一定で，x 方向に板厚

が t=to+ax と直線的に厚くなり，

x=Lで板厚が t=4toとなる台形板

の重心ｘGを求めよ。ただし a は

板厚の y 方向増加率。to はｘ=0

における y 方向板厚。

図 6.7 台形板の重心

---------------------------------------------------------------------------------------------------------

6.2.3 各種物体の重心

この節では，重心の定義式(6.15)または(6.19)を使い，いくつかの各種物体に

ついて重心を求めてみる。

（１）線要素（丸棒）

最初に，図 6.8（１）に示すような極めて細い線の重心を求める。この場合は

式(6.22)に結論を示すように，単に線の長

さに関する積分で求められる。

L

G xdxL

x0

1 (6.21)

証明：線の直径を d ，全長を Lとし，密度

(一定)と仮定する。微少線要素 dxの質量

dmは密度をおよび全質量m は

dxd

dm

4

2

；4

2 Ldm

（6.22）

である。この関係を重心の定義式(1.4)へ代

入すれば，

LL

G

xdxd

Ldxdm

mx

0

2

0 2 4

4

11

2

10

Lxdx

L

L

(6.23)

という，自明の結論が得られる。 図 6.8 線要素の重心

x dx

奥行きw=一定

L

0tt

04 tt ｙ

ｘ

0taxt

微小質量ｄｍ

（２）細長い円弧の線

αｒ

ｄθ

θ

dL

cosr

x

y

2sin

2

rxG

（１）細長い線の丸棒

d

dxx

L

x

2LxG

42dxddm

- 8 -

（２）線要素（円弧）

つぎに，図 6.8（２）に示す円弧線の場合は重心を求めるのに， ,r 座標で計

算した方がより簡単で，分かりやすい。すなわち， rddL ； cosrx である

ことに注意して，線要素積分公式（6.21）を適用すれば，

2

2

2

2

cos11

rdrr

xdLL

xG

2

2

sin

r (6.24)

----------------------------------------------------------------------------------------------------------

☆6.2.3 細い円弧線の重心の演習問題

１．図 6.8（２）に示された細い線で作られた円弧の角度がα＝180°のとき

その重心 Gx はいくらとなるか。

---------------------------------------------------------------------------------------------------------

（３）平面板要素･円盤・円錐体・半球の重心

ア）直角定規（スコヤ）の重心

つぎに，板厚が一定な直角定規の重心を求めよう。この場合は，重心の定義に

忠実に積分すれば求められるが，図 6.9 に示すように，直角定規を構成する個々

の要素面積 1A ，面積 2A とその要素の重心が分かっているから，モーメントの釣

り合いの考え方を使えば簡単に重心が求められる。すなわち，

☆重要：全体の面積モーメント＝個々の面積モーメントの和 (6.25)

を使う。定規の図形に注目して x方向

の重心位置 Gx は，式(6.26)を使って，

221121 AxAxAAx GGG (6.26)

同様に y 方向の重心位置 Gy は

221121 AyAyAAy GGG

で求められる。

各図形要素の面積 1A および 2A とそ

の各要素の重心座標を代入して，

21

22

111

22

AA

Ab

bAb

xG

(6.27)

図 6.9 直角スコヤ

面積

面積

スコヤ重心

22

11 h,

b重心１

重心２

22

221

h,

bb

111 bhA

222 bhA

x

x GG yx ,

Gy

Gx

1A

2A

L

1b

1h

y

2h

2b

- 9 -

21

2211

22

AA

AhAh

yG

21

2211

2 AA

AhAh

(6.28)

イ）直角３角定規の重心

続いて，図 6.10 に示す厚さ一定の直角３角定規の重心を求めてみよう。この

場合は，重心の定義に忠実に実行すればよい。一例として y 方向の重心 Gy を求

めてみよう。y 方向の重心 Gy は式(6.19)において，板厚と密度が一定であれば，

AAm

G ydAA

WydAWA

ydmm

y111

で求められる。ここで直角３角形の面積 Aは， 2/bhA で与えられる。

さて，面積モーメント A ydAを求

める際に，横幅 )(yb は，図 6.10 に

示した３角形の相似に注目して

)(:)(: ybyhbh

∴

h

yhbyb

)( (6.29)

で，面積 hdyyhbdyybdA )()(

であるから，したがって，

dy

h

yhyb

AydA

AA

Jy

h

A

xG

0

11

h33

y-

2

hy

h

b

bh

h

0

12 32

＝

（6.30）

同様にして， Gx は， 図 6.10 3 角板の重心

3bxG＝ (6.31)

となる。

ウ）半円板の重心

つぎに，図 6.11 に示す板厚一定の半円板の重心を求めてみる。図において，

微小扇形の面積 dAは，微小扇を三角形と近似して，

重心

x

b

)(yb

dyybdA )(

dy

y

)( yh

h

dxx

y

),( GG yx

- 10 -

dr2

1rdrdA 2

2

1

で与えられるから，重心 Gx は，

dr2

rr

xdAA

xA

G

22

2

2

1cos

3

221

3

4rsin

r6

r2

2-

2

34 (6.32)

図 6.11 半円板の重心

エ) 円錐体の重心

続いて，図 6.12 に示される底面半径が R で，高さが h である円錐体の重心を

求めてみよう。まず，円錐体の全体積V および微小な幅 dxの円板の体積dV は，

それぞれ，

図 6.12 円錐体の重心

hRV 2

3

1 ； dxrdV 2 (6.33)

さらに，円錐体の図形の相似に注目して， h:xR:r より hRxr となる。

ゆえに，微小体積は dxxh

RdV 2

2

2 で表され，したがって，円錐体の重心は，

dxxh

R

hRxdV

Vx

hh

G

3

0 2

2

0 2

31

円弧の長さ

微少扇面積の図心

cos3

2rx ｙ

微少扇形の面積

drdA 2

2

1

rd

d

x

r

円錐体の全体積V

微小体積ｄV

r

h

dxx

x

R

dxrdV 2

r

hRV 2

3

1

微小質量ｄｍ

- 11 -

hx

hdxx

hR

Rh

h

4

3

4

33

0

4

30

3

32

2

(6.34)

---------------------------------------------------------------------------------------------------------

6.2.3 各種物体の重心の演習問題

１．図 6.12 に示したような密度一定で，軸対称な 3 次元物体の重心が体積モー

メント xdV を使って， h

G xdVV

x0

1で求められることを証明せよ。

----------------------------------------------------------------------------------------------------------

オ）半球の重心(重心)

最後に，図 6.13 に示す半球の重心を求めよう。この問題はつぎの演習に取り

組み，自分で理解を深めることとし，結論のみを以下に示す。

83rxG (6.35)

☆半球の重心と解答

図 6.13 に示した半球の重心を求めよ。

１）半球の全体積Ｖは？

32 3rV

２）体積要素の重心の定義から，

dxyxr

xdVV

xVV

G 2

32

31

ここで， drdsdx sinsin で与えられる

から

drrrr

xG sinsincos2

32

2

03

dsincosrr

32

0

4

32

3

dsincosr 2

0

3

2

3 (6.36) 図 6.13 半球の重心

ここで， tsin とおくと， dtd cos となるから，式(6.36)は，つぎのように

積分され，式(6.35)の結論を証明することができた。

8

3

42

3

2

31

0

41

0

3 rtrdtt

rxG

(6.37)

----------------------------------------------------------------------------------------------------------

第 6 章 2 節 重心の総合演習問題

円弧長

微小要素の体積

半径ｒ

x

d

r

dx

sinry

rdds

y

cosrx

dxydV 2

- 12 -

１．複合要素，線

図 6.14 に示す複

数の線要素からな

る物体の重心を求

めよ。ただし，細線

で作られた円弧の

重心は既に式（6.25）

で求めたように既

知で /2r が使える

ものとする。 図 6.14 線の複合物体の重心

２．複合要素，平板

図 6.15 に示す３角板と孔ありの長方形板から構成される，板厚一定の平板の

重心を求めよ。

30 20 30

90

4020

x

y

図 6.15 ３角板と長方形板から構成される物体の重心

３．複合要素，体積

図 6.16に示す円錐体，円柱および半球から構成される物体の重心を求めよ。

また，特殊な例として hrba の場合の重心 GX はいくらになるか。

ｙ

ｘ

ｙ

a

b

c

d a

r=b

c

x

ｄ

- 13 -

y

x

ba

直径ｄ

半径ｒ

円錐

円柱 半球円錐

図 6.16 体積物体の重心

----------------------------------------------------------------------------------------------------------

6.3 断面２次モーメントについて

この節のの学習目的は

１）断面 2 次モーメントの理解

２）断面係数 Z の理解

である。

6.3.1 長方形断面形状のはりにおける断面２次モーメント

（parallel axis theorem）

まず，図 6.17 に示す長方形断面のはりにおける断面２次モーメントの求め方

を説明しよう。重心G を通る yx, 座標系において， x 軸まわりの断面２次モー

図 6.17 長方形断面形状のはりの断面２次モーメント

bdydA

Gh

b

x

dy

y

XGIX

d

G

yGI

Y

x

hdxdA

b

d

h

x

yy

yGI

xGI

dx

- 14 -

メント xGI および y 軸まわりの断面２次モーメント yGI は

AGx dAyI 2 ； AyG dAxI 2 (6.38)

で求められる。ちなみに，図 6.17 左側において，重心 G を通る軸まわりの断面

２次モーメントはつぎのようになる。

122

3

2

0

22 bhbdyydAyI

h

AGx (6.39)

一方，図 6.18 右側に示されるように，重心から距離 d 離れた任意の軸 X まわ

りの断面２次モーメント XI は，

AX dAYI 2 (6.40)

ここで，距離 dyY で与えられるから，これを式(6.40)に代入して，

AA

2

AAAX dAddAyddAydAdydAYI 22

22

AdI 2

xG （6.41）

となる。ここで，式(6.41)第２項すなわち A ydAd2 は重心を通る断面１次モーメ

ントであり，この値は０である。式（6.42）を平行軸の定理という。

図 6.18 平行軸の定理

6.3.2 平行軸の定理のまとめ

前節で示したように，任意の X 軸周りの断面２次モーメント XI は，その重心

を通る２次モーメント xGI に軸と重心との距離 d の２乗に図形面積 A をかけた

2

h

2

h

bdydA

Gh

b

x

dy

y

y

xGI

2

h

2

h

d

b

h

Y,y

G

x

X

Y

y

bdydA

dy

XI

xGI

- 15 -

和となる。すなわち，これを平行軸の定理とよび，次式で表わされる。

AdII xGX

2 または AdII XxG

2 (6.42)

同様にして， AdII yGY

2' または AdII YyG

2 (6.43)

6.3.3 平行軸の定理の応用

（１）３角形断面のはり

図 6.19 に示す３角形状断面はりにおいて，まず底辺 AB に平行で，重心をG

通る断面２次モーメント xGI は，平行軸の定理，式(6.42)，(6.43)から

AdII xxG

2

で与えられる。３角はりの場合，重心と底辺までの距離は 3hd ，三角形の面

積はは 2bhA である。さて，底辺ｘ軸まわりの断面 2 次モーメント xI は

dyydAyIA

h

x 0

22

である。このままでは，x

I を計算で

きないので，先ず，３角形断面はり

の相似に注目する。すると，任意位

置 yy における幅は

:)(: yhbh より

hyhb )( ，したがって，

dyh

yhbydyydAyI

h

A

h

x

0

2

0

22 )(

h

bhbhdyy

h

bdyyb

hh

43

43

0

3

0

2 図 6.19 ３角断面はり

1212

34 333 bhbhbh

（6.44）

平行軸の定理から重心G まわり断面２次モーメントは式(6.39 から，

36

bhbhh

12

bhAdII

332

xGx ２9

2

(6.45)

となる。

h

A B

C

（h-d）η

b

h-y

y

dy

ｄＡ＝η ｄｙ

ＩｘＧ

ＩＸ

ｙ

x

x

hd3

1

重心G

- 16 -

（２）円形断面（丸棒）のはり

この場合のように断面形状が円

形の場合は，図 6.20 に示すように，

円筒座標 ,r の断面２次モーメント

を求めた方が計算は簡単になる。つ

まり，任意点 y における幅 )y(b は

cos2)( ryb であり，またその位

置における微少面積 dAは，図に示

さ れ る よ う に ，

dyrdyybdA cos2)( となる。さ

らに sinry を考慮して微分すれ

ば，

cosrd

dy ；

∴ drdy cos 図 6.20 丸棒の断面 2 次モーメント

となる。以上で前準備備が出来たので xGI を求めると，

drdrrrdAyIA

xG 2

0

22422

0

2 cossin4coscos2sin2 (6.46)

ここで，式(6.46)において，

212

12 cossin ； 212

12 coscos より，

2cos14

1cossin 222 4cos1

8

14cos1

2

11

4

1

であり，さらに，半径は 2dr に注意して

dd

I xG 4cos18

1

24 2

0

4

2

0

4

4sin4

1

32

d

640

232

44 dd

(6.47)

となる。

（３）H 型鋼の断面２次モーメント

この場合は，H 形鋼を図 6.21 に示すように，面積 bhA 0 の長方形板材から２

ｙ=ｒｓｉｎθ

θ

ｄｙ

ｂ（ｙ）=２ｒｃｏｓθ

dA=b(y)ｄｙ =2rcosθ dy

x

ｙ

半径ｒ直径ｄ

xGI

yGI

G

- 17 -

個の面積，1

1

12

2 hbb

A

の板材を

引いたものと考える。すなわち，重

心をとおる x 軸まわりの断面２次モ

ーメントは， dAyIA

xG 2 で，

dAydAyAA

10

22 2

12

22

12

3

11

3 hbbbh

1212

3

11

3 hbbbh （6.48）

図 6.21 H 形鋼の 2 次モーメント

---------------------------------------------------------------------------------------------------------

☆断面 2 次モーメントおよび断面係数（演習問題）

１． 図6.21に示すH形鋼の断面2次モーメントおよび断面係数 Z はいくらか？

２．図 6.21 に示す H 形鋼の底辺（ x）まわりの断面２次モーメントを平行軸の

定理を使って求めよ。

----------------------------------------------------------------------------------------------------------

6.4 極断面２次モーメメント PI の紹介

6.3.3 節の例題（２）で求めた円形断

面のように軸対称物体の断面２次モー

メントは以下に解説する極断面２次モ

ーメメント PI を用いたほうが容易に求

められることがある。すなわち， PI は図

6.22 に示すように， yx, 平面上の点と

原点までの距離を r として，次式で定義

される。 図 6.22 極断面２次モーメント

yGxGAA

P IIdAyxdArI 222 (6.49)

---------------------------------------------------------------------------------------------------------

☆極断面 2 次モーメントの演習例題

（１）図 6.23 に示した円形の断面２次モーメントを極断面２次モーメントの PI

の定義式(6.49)から求めなさい。

＝ -

H形鋼の全面積A

面積A 面積A02(面積A1）

xI

xGI

2h

1h

1b

h

by

x

x

2h

xGI xGI xGI

G

x

y

z

r

点（ｘ，ｙ）

面積ｄA

PI

- 18 -

解答：図 6.22 に示すように，半径 r 方向に

微小面積 dAをとれば， rdrdA 2 であり，

さらに PI は，

yGxGAA

P IIdAyxdArI 222

で，この場合，軸対称であるので

エラー! ブックマークが定義されていま

せ ん 。 (6.50)

であることに注意すれば，

2

0

22 22

1

2

12/

d

APxG rdrrdArII

6442

2 42

4 drd

o

(6.51) 図 6.23 円形断面

となり，すでに求められている式(6.47)

の結果がこのように比較的簡単に求

められる。

（２）孔抜き丸棒断面のはり

図 6.24 に示す丸棒（円板）から長方形を切

り出した時の断面２次モーメントを求める。

(いわゆる，銭方平次の６文銭)

dAydAydAyIAAAxG

10

222

)(1264

434

mbhd

（6.52）

図 6.24 穴抜き円形板

6.5 その他の形状の断面２次モーメントの

計算法（演習問題）

１．図 6.25 に示される孔抜き３角板と長方形板から構成される物体の x 軸（底

辺），すなわち，底辺まわりの断面２次モーメントを，以下の設問手順にした

がって求めよう。

Q1；合成板材の全面積 Aはいくらか？

r

直径d

ｘ

ｙ

ｄｒxG

I

yGI

G

x

ｙ

直径ｄ

IxG

=

IxG

-

IxG

ｂ

ｈ

面積A 面積A0

面積A1

yGI

xGI

= -

0A

1A

- 19 -

Q2；板材の底辺 x軸から測った，

１）板材の重心座標はいくらか？

２）３角板の重心座標は底辺からい

くらか？

３）穴抜き円板の重心座標はいくら

か？

平行軸の定理， AdII xGx

2

を使って，

４）板材の x軸からの断面 2 次モー

メント1x

I はいくらか？

５）３角板の x軸からの断面２次モ

ーメント2x

I はいくらか？

６）穴抜き円板の x軸からの断面２

次モーメント3x

I はいくらか？ 図 6.25 三角・四角板と穴抜き円

７）以上の結果を使って， xI を求めよ。

８）この図形の重心座標G

y はいくらか？

３．図 6.26 示すような家の側面図を書いてみました。このような窓付き板材の

x軸まわりの断面２次モーメントを以下の設問手順にしたがって求めよう。

Q1；合成板材の全面積 Aはいくらか？

Q2；底辺 x軸から測った，

1）板材の重心座標はいくらか？

２）三角板の重心座標はい くらか？

３）穴抜き円板の重心座標はいくらか？

さて，平行軸の定理， AdII xGx

2 を使って，

４）板材の x軸からの断面 2 次モーメント1x

I はいくらか？

b

h1

h2

Dh3

x

yyGI

Ix＝

-

＋Ix

Ix Ix

面積A 面積A1 面積A2 面積A3

xI

1A

3A

2A

- 20 -

５）三角板の x軸からの断面２次モ

ーメント2x

I はいくらか？

６）穴抜き円板の x軸からの断面２

次モーメント3x

I はいくらか？

７）穴抜き 2 枚の板材の x軸からの

２次モーメント4xI はいくらか？

８）以上の結果を使って， xI を求め

よ。

９）この図形の重心ｙG はいくら

か？

6.5 はりのまげ強さについて

6.5.1各種形状の物体の断面２次モ

ーメントと断面係数

☆重要な公式のまとめ

まず，断面係数 Z はつぎのように 図 6.26 家の側面図

定義される。

e

IZ xG

図心から辺までの距離

モーメント図心まわりの断面２次 （6.13）

ここで，

断面２次モーメント xGI ：はりの中立面(重心)まわり dAyI 2 4m

断面係数 Z ： eIZ xG 3m （ eは中立面からはりの端部までの距離）

曲げモーメントM と曲げ応力 の関係： ZM

----------------------------------------------------------------------

☆断面 2 次モーメントおよび断面係数(演習問題)

１．右図 6.27 に示した長方形断面のはりの断面係数 Z を求めよ。

解答：

62

12

2

23

2

bh

h

bh

h

IZ xG

h ；

b

c ca

h1

h2

h4

h3

23

1h

x

考え方

Ix＝

-2 + -

D

A1 A2 A3

A4

y

xI

yGI

A

2A2A

3A

4A

全面積

A

- 21 -

323

262

12

2m

bh

h

bh

h

IZ xG

h (6.53)

図 6.27 長方形はり

２．図 6.28(a)，(b)，(c)に示す，長方形はりの中立軸に対称な断面の断面係数

を求めなさい。

図 6.28 各種長方形はりの断面係数

解答：はりの断面係数の定義式（6.13）から

1

1e

IZ xG

e ；2

2e

IZ xG

e

で与えられ，長方形はりのように，中立軸に対称な断面物体は，はり端部ま

での距離が 21 ee である。したがって

21 ee ZZ

である。以下に各場合の計算例を示す。

（ａ）の長方形が横置きの場合

3223

1

21 90006

3060

62

12mm

bh

h

bh

e

IZZ xG

ee

（ｂ）の長方形が縦置きの場合

3223

1

21 180006

6030

62

12mm

bh

h

bh

e

IZZ xG

ee

（ｃ）角パイプの場合

この場合，まず角パイプの断面２次モーメントは，中空部分を引けば

よいので， 21 xGxGxG III で求められる。

20

60

30

30

60

(a)長方形横置き （ｂ）長方形縦置き

30

60

45

（ｃ）角パイプ

h

b

h/2

xGI

- 22 -

2

3

22

1

3

1121

1212

hbhbIII xGxGxG

433

38812512

4520

12

6030mm

したがって，断面係数は端部までの距離 mmee 3021 を代入して，

3

1

21 5.1239730

388125mm

e

IZZ xG

ee

３．図 6.29(a)，(b)に示す円形はりの断面係数を求めなさい。

（ａ）中実丸棒

20

40

40

(b)中空丸棒

図 6.29 中実・中空丸棒

☆解答：

(a)中実丸棒の断面係数

mmdee 20221 を代入して，

2

644

1

21d

d

e

IZZ xG

ee

333

18628332

40143

32mm.

.d

（ｂ）中空丸棒の断面係数

この場合の断面２次モ－メントは，中実丸棒から中空丸棒の断面２次モーメ

ントを引けばよい。すなわち，

2

4

2

1

4

121

6464

ddIII xGxGxG

44443

6117809204064

143

64

20143

64

40143mm.

...

- 23 -

したがって， mmdee 20221 を代入して，

3

1

21 48589020

6117809mm.

.

e

IZZ xG

ee

または，

4

2

4

1

12

4

2

1

4

1

11

21326464

2dd

d

dd

de

IZZ xG

ee

344 48589020404032

143mm.

.

6.5.2 各種はりの強さ

１．図 6.30に示したように，断面積が

一定（質量が同じ）中実丸棒と中

空丸棒のはりに，同じ曲げモーメ

ントM がかかる場合，どちらがど

れほど丈夫であるか。ただし，中

実丸棒の外径 d は中空丸棒の内径

d と等しいものとする。

解答：円形断面のはりの応力は

ZM であるから，断面係数 図 6.30 円形断面はりの強さ

Z を比べればよい。断面積が一定の関係から

44

22

1

2 ddd

ゆえに， dd 21 となる。さて，つぎに，中実円の断面係数32

d3中 実Z ；

中空円の断面係数 44

1

1

d-d32d

中 空Z となる。したがって，両者の断面係数

の比を考えると，

中 空

中 実

中 実

中 空

中 実

中 空

M

M

Z

Z

となる。

1

44

1

3

1

44

1

3

dd-d

d

32dd-d

32d

Z

Z

中 空

中 実

中 実

中 空

ここで，上式に題意から得られた， dd 21 の関係を代入して，

d

d1d

- 24 -

3

2

d2d-4d

d

dd-d

d

Z

Z

44

3

1

44

1

3

中 空

中 実

中 実

中 空

となり，結局，中実円のほうが曲げ応力は小さくなり，この条件では当然な

がら中実円のほうが曲げに対しては強いことが分かった。

---------------------------------------------------------------------

☆第 6 章 総合演習問題

１．許容曲げ応力 MPa60 のはりが， mmN. 61021 の最大曲げモーメントをう

けるとき，必要最小限の断面係数ｚはいくらか。 （解答： 34 mm102.0 ）

２．図 6.31に示す長方形の断面を持った両端支持はりについて以下の設問に答

えよ。ただし，はりの断面形状は mmmm 3015 の長方形とする。

図 6.31 長方形断面はりの強さ

１）支点反力はそれぞれいくらか。 （解答： 90NRa ， NRb 210 ）

２）最大曲げモーメント maxM はいくらか （解答： mm000NMmax 45 ）

３）断面係数Zはいくらか （解答： 32250mmZ ）

４）最大曲げ応力 max はいくらか （解答： 2

max N/mm00.20 ）

３.図 6.32 に示すような断面形状の H 形鋼において，その許容曲げ応力を

80MPa とするとき，片持ちはりの先端にかける最大荷重 P はいくらま

で許されるか。

500 300 200

1000mm 15

30

100N

200N

A BC D

Ra Rb

- 25 -

図 6.32 H 形断面はりのつよさ

☆解答の手順

１）H 形鋼の，断面 2次モーメント xGI およ

び断面係数Zを求める。

２）曲げモーメントM を計算する。

３）モーメント -PLM より P を算出する。

４．図 6.33 に示すような直径ｄ一定の丸棒

から長方形断面を持ったはりを切り出

し，その断面係数を最大としたい。b と

hの比はいくらにすればよいか。 図 6.33 丸棒から角材の切り出し

５．同一断面積をもつ正方形と円の断面係数を比較し，両者の比を求めよ。

６．図 6.34 に示すよ

うな片持ちはりがあ

る。このはりの許容曲

げ応力 MPab 60 と

すれば，固定端に必要

な断面係数 Z はどれ

ほどか。またはりの断

面を幅 mmb 500 の長方 図 6.34 片持ちはりの強さ

形とした場合，高さ hはどれほどか。 (解答： )(1083.5 34 mmZ ， )(6.83 mmh )

1000ｍｍ

P

10

20

20

40

b

h直径ｄ

2000N3000N

500 50050

h

- 26 -

７．断面が図 6.35に示すような逆 T字

型はりに一様な 曲げモーメントが

作用するとき，このはりの最大応力

が最大圧縮応力の 1/3 になるために

はフランジ幅ｘはどれだけあればよ

いか。

図 6.35 逆 T 字型はりの強さ

８．図 6.36 に示す段付の片持ちはりにお

いて，A，B に生じる最大応力を等しく

するには直径 21, DD にどのような関係

が必要か。

図 6.36 段付片持ちはりのつよさ

----------------------------------------------------------------------

ｔ

ｔ

ｈ

ｃ G

ｘ

圧縮側

引張側

2D

1D

1L2L

L

P

C BA

x

x