ship motion and wave load...

Ship Motion and Wave Load(파랑 중 선박 운동과 하중)

2008.6

서울대학교 조선해양공학과

이규열

서울대학교 조선해양공학과 학부4학년 “창의적 선박설계” 강의 교재

NAOE/SNUShip design, Ship Motion & Wave Load,2008.6

학습 목표 (왜 배우는가? 어디에 쓰는가?)

선박의 6자유도 운동(가속도, 속도, 변위)을 구함으로써외부에서 주파수 w인 파가 올 때, 선박의 거동 확인

해양파에 의한 동적인 힘과 모멘트가 구조 설계에 반영됨

2


배울 내용

선박의 6자유도 운동 방정식 유도

6자유도 운동 방정식에 필요한 외력을 Laplace Equation1)과

Bernoulli Equation2)으로 부터 구함

Hydrodynamic Force3)를 구하는 방법

Step1 : 2-D 단면의 velocity potential을 계산하고, 이로부터 hydrodynamic

Force를 계산하는 방법 (Singularity distribution method)

Step2 : 2-D 단면에서 계산된 hydrodynamic Force를 3차원으로 확장하는 방

법 (Strip method)

2) Bernoulli Equation : C2

1 2

zgP

t

02

1) Laplace Equation :3) Potential Virtual Inertial Force (“Added mass”),

Potential Wave Damping Force

Wave Exciting Force

3


참고 자료

Text book1) Newman, J.N. , Marine Hydrodynamics, The MIT Press, Cambridge, 1997

2) Bhattacharyya, R. , Dynamics of Marine Vehicles, John Wiley & Sons, 1978

3) Faltinsen, O.M. , Sea loads on ships and offshore structures, Cambridge Univ. Press, 1998

4) 이승건, 선박운동 조종론, 부산대학교 출판부, 2004

5) Journee, J.M.J. , Massie, W.W. , Offshore Hydrodynamics, Delft University of Technology, 2001 (http://www.shipmotions.nl/index.html)

6) Journee, J.M.J. , Adegeest, L.J.M. ,Theoretical Manual of Strip Theory program“ Seaway for Windows”, Delft University of Technology, 2003 (http://www.shipmotions.nl/index.html)

7) Tommy Pedersen, Wave Load Prediction – a Design Tool, PhD thesis, Department of naval architecture and offshore engineering, 2000

8) Cengel & Cimbala, Fluid Mechanics Mc Graw Hill,2005

9) Erwin Kreyszig, Advanced Engineering Mathematics, Wiley, 2005

4

http://www.shipmotions.nl/index.html

http://www.shipmotions.nl/index.html

6DOF Equations of Motion

DOF : Degree Of Freedom


CoordinateSystem

축 – 원점: Midship, (+): 선수

축 – 원점: Centerline, (+): 좌현

축 – 원점: 수선면, (+): 선박의 위

x

y

z

Body Fixed Coordinate System

x

y

z

x

y

z

Water Surface Fixed Coordinate System

(Global Fixed Coordinate System)

축 – 원점: Midship, (+): 축을 포함하고 수선면과 직교인 평면과수선면 사이의 교선

축 – 원점: Centerline, (+): 축과 축의 외적 방향

축 – 원점: 수면, (+): 수선면에 수직한 위 방향

x

z x

x

y

z

(Surge)z z

x x

y y

1

(Roll)

y

z z

y

x x

2

CL

(Sway)

z z

x

x

y y

(Pitch)

(Heave)z

z

x

x

y

y 3

x 축 translation

x 축 rotation

y 축 translation

y 축 rotation

z 축 translation

z 축 rotation (Yaw) y

x

y

zz

x6

4

y

zz

y

CL

x x

5

6


유체 중을 움직일 때 표면에 작용하는 힘

만유인력에 의한 힘

Cauchy Equation1) 유도

x

y

z

dx

dy

dz

미소 유체 요소 미소 유체 요소가 받는 힘 (Newton‟s 2nd Law)

SurfaceBody

dt

dm FFF

V(체적력 + 표면력)

1) Cengel & Cimbala, Fluid Mechanics Mc Graw Hill,2005, p396~401

질량 X 가속도

물 늪지

유체의 종류에 따라 다르지만, 저항하는 힘을 느낌

(Q) 공기중에서도 표면력이 있는가?

(A) 있다.

(밀도가 작아서 작용하는 힘을 못 느낄 뿐)

(질량이 있는 물체간에 서로를 끌어당기는 힘)

rR

7


대입

Cauchy Equation1) 유도

x

y

z

dx

dy

dz

미소 유체 요소

SurfaceBody

dt

dm FFF

V(체적력 + 표면력)


dxdydzBody

gF dxdydzijSurface

F

,dxdydzz

wy

vx

utdt

dm

VVVVV dxdydzm

dxdydzdxdydzdxdydzz

wy

vx

ut

ij

g

VVVV

ijz

wy

vx

ut

g

VVVV=> Cauchy Equation

로 나누면dxdydz

미소 유체 요소가 받는 힘 (Newton‟s 2nd Law)

8


Summary (I)

※ 현재까지의 가정 정리

① 뉴턴 유체 (Newtonian fluid)

③ 비점성 유동 (Invicid flow)

② 비압축성 유동 (Incompressible flow)

④ 비회전 유동 (Irrotational flow)

Bernoulli Equation :

)(2

1 2

tfgzPt

Euler Equation :P

dt

d g

V

Navier-Stokes Equation :Vg

V 2 P

dt

d

Cauchy Equation :ij

dt

d g

V

9


Summary (II)

Newton‟s 2nd Law

Fam (Body Force) + (Surface Force)

Navier-Stokes Equation2)

Euler Equation3)

Bernoulli Equation5)

C2

1 2

zgP

t

Continuity Equation6) (질량보존)

0

V

t

02

0 (invicid)

0 V (irrotational4))

VgV 2

Pdt

d

0 V

Pdt

d g

V

(incompressible)

0 V (irrotational4))

Laplace Equation7)

0

2

2

2

2

2

2

zyx



3) Cengel & Cimbala, Fluid Mechanics, Mc Graw Hill,2005, p450~452




7) Erwin Kreyszig,Advanced Engineering Mathematics, Wiley,Ch12.PDE

V

V

Cauchy Equation1)ij

dt

d g

V

V2

Pij

뉴턴 유체, 비압축성(incompressible)이라면, Surface force를 속도성분으로 표현 가능

: Velocity potential

: 점성 계수

P

V : 유체의 속도

: 압력

적용

유도 과정 중에 continuity Equation이사용되었으므로, Bernoulli Equation은반드시 Laplace Equation을 만족해야 한다.

10


압력

h

z

y

TopP

BottomP

아래 물체에 작용하는 수직방향의 정적인 힘은?

dS

1n : Normal vector

: Area

dSPdFBottomBottom 2

n

: 물체 아랫면의 미소 면적에 작용하는 힘

kn2

ghPPatmBottom

: 물체 윗면의 미소 면적에 작용하는 힘

dSPdFTopTop 1

n

kn1

0gPPatmTop

)(

)()(

21

dSghdSgh

dSghPdSP

dSPdSP

dFdFdF

atmatm

BottomTop

BottomTop

kk

kk

nnatm

PρgzPt

2

2

1

Bernoulli Equation :

: 대기압에 의한 힘이 서로 상쇄됨

※ 압력(Pressure) : 단위 면적에 수직으로 작용하는 힘즉, 힘을 구하기 위해서는 압력에 면적과그 작용면의 법선 벡터(Normal Vector)를 곱해야 함

FluidatmStatic

PPPwhere

atmFluidatm

PρgzPPt

2

2

1

02

1 2

ρgzP

tFluid

11


Force & moment acting on the surface( : wetted surface)

BS

좌현으로 기울어진 상태(선박을 정면에서 바라봄)

r

Sd

r

dSPPdd nSF

FrM dd (미소 면적)

(미소 면적에 작용하는 힘)

(미소면적에작용하는 모멘트)

( : wetted surface)B

S

dSgz n

4

y

z z

y

OO

BS

Tzyx

111,,r

왜 r이 먼저 오는가? (좌표축에서 양의 방향을 고려함)

Force : 표면에 작용하는 모든 힘을 적분하여 구함

Moment : (모멘트)=(거리) X (힘)

BS

dSPnF

BS

dSP nrM

dSgzdSPdPd nnSF

미소 면적에 작용하는 단위 길이당 힘 :

Total force

미소 면적에 작용하는 단위 길이당 모멘트 :

PdSdSPdd nrnrFrM

Total moment

12


Notation

BS

dSPnF

Total force

성분별로나눠쓰면,

BS

dSnznyPM21311

BS

dSnxnzPM31112

BS

dSnynxPM11213

성분별로나눠쓰면,

BS

dSPnF44

BS

dSPnF55

BS

dSPnF66

BS

jjdSPnF

BS

dSP nrM

Total moment

Tzyx

111,,r

)()()(112131112131

321

111nynxnxnznzny

nnn

zyx kji

kji

BS

dSPnF11

BS

dSPnF22

BS

dSPnF33

13

)6,,1( j


운동 방정식 유도 – 선박에 작용하는 힘

: 하나의 유체 입자가선박 표면에 가하는 힘

02

0

2

1 2

ρgzP

t

tρgzP T

유체 압력 (From Bernoulli Eq.)

선형화

Solve

RDIT

Laplace Equation

tttρgz RDI

staticP

dSPd nF

dS

dS

Fd

: 미소 면적

n : 미소 면적의 Normal 벡터

RDKFstaticFFFF

.

GravityFxM

RestoringF

excitingF xBxAF

R

xBxAFCxxM exciting

exciting

FCxxBxAM

Matrix66:,,, CBAM

T

61,, x(변위 : )

Linearization )( Cx

14

RDKFPPP

.

유체 입자 하나가표면에 주는 압력

선박의 침수 표면 전체에 대하여 적분(유체에 의해 선박이 받는 힘과 모멘트)

BSdSPn

added

mass

Damping

Coefficient

임의의 길이 x까지만 적분(선박의 내부에 작용하는 S.F / B.M. 구함)

2-D 3-D (Strip method)

Motion RAO (Response Amplitude Operator) Shear force, Bending moment




02

0

2

1 2

ρgzP

t

tρgzP T


선형화

Solve

RDIT

Laplace Equation

tttρgz RDI

staticP

dSPd nF

dS

dS

Fd

: 미소 면적


RDKFstaticFFFF

.

GravityFxM

RestoringF

excitingF xBxAF

R

xBxAFCxxM exciting

exciting

FCxxBxAM

Matrix66:,,, CBAM

T

61,, x(변위 : )

Linearization )( Cx

15

RDKFPPP

.



BSdSPn

added

mass

Damping

Coefficient




Step1

Step2

Step3 Step4

Step1.Velocity potential

16




02

1 2

ρgzP

t

tρgzP T


선형화

tttρgz RDI

staticP

dSPd nF

dS

dS

Fd

: 미소 면적


RDKFstaticFFFF

.

GravityFxM

RestoringF

excitingF xBxAF

R

xBxAFCxxM exciting

exciting

FCxxBxAM

Matrix66:,,, CBAM

T

61,, x(변위 : )

Linearization )( Cx

17

RDKFPPP

.



BSdSPn

added

mass

Damping

Coefficient




Step2

Step3 Step4

02

Solve

RDIT

Laplace Equation Step1


파랑 중 선박이 받는 힘

파랑 중 선박이 받는 힘: 유체장의 운동으로 인해 유체 입자의 속도,가속도,압력이변하게 되고, 선박 표면의 유체 입자가 선박에 가하는 압력도변하게 된다.

선형화1)된 힘으로 분해

입사파가 선박에 의해 교란되지 않는다고 가정함 입사파에 의한 힘 (Froude-Krylov Force)

선박의 존재로 인하여 교란된 파에 의한 힘. 물체 고정 산란파에 의한 힘 (Diffraction Force)

정수 중에서 선박의 강제 진동으로 인해 작용하는 힘 기진력에 의한 힘(Radiation Force)

RDIT

Total Velocity Potential

교란정지상태

Fixed

Incident wave velocity potential I

Diffraction wave velocity potential D

Radiation wave velocity potential R

1) Erwin Kreyszig, Advanced Engineering Mathematics, Wiley, 2005, Ch 12.1 (pp 535~538)

Superposition Theorem

Laplace equation은 선형방정식이므로, 각의 해를더한 것 (superposition)도해가 된다.

02

2

2

2

yx18


Assumption

가정 정리 (유체)

① 뉴턴 유체 (Newtonian fluid)

: 전단응력이 전단 변형률에 선형적으로 비례하는 유체

③ 비점성 유동 (Invicid flow)

② 비압축성 유동 (Incompressible flow)

④ 비회전 유동 (Irrotational flow)

Bernoulli Equation

C2

1 2

zgP

t

02

Laplace Equation

: Governing Equation

⑤ Small amplitude water wave

(파장에 비해 파고가 작음)

가정 정리 (Wave)

⑥ Wave is periodic in space

and time.

⑦ two dimensional water wave

0

2

2

2

2

2

2

2

zyx

Partial Differential Equation

가정 정리 (Ship)

⑧ Resulting motion will be small

⑨ The hull is slender

⑩ The hull sections are wall-sided

at the waterline

⑩ Zero forward speed

19


Superposition of Velocity potential1)R

D

I

: Incident Wave V.P.

: Diffraction V.P.

: Radiation V.P.

1) Newman, J.N. , Marine Hydrodynamics, The MIT Press, Cambridge, 1997, pp 285~290

Erwin Kreyszig, Advanced Engineering Mathematics, Wiley, 2005, Ch 12.1 (pp 535~538)

Decomposition of Velocity potential

),,,(),,,(),,,(),,,( tzyxtzyxtzyxtzyxRDIT

ti

RDIezyxzyxzyx

),,(),,(),,(

Time Independent Term (Complex)

시간이 많이 지나 Steady 상태에서Harmonic Motion

(Transient motion 고려안함)

),,,(Re),,,( tzyxtzyxT

taI

cosRe

ex) ),,( zyxI

is not a complex (real)If ),,( zyxI

is a complexIf

axI

)(Let

tatbitbta

titiba

sincossincos

sincos

(or Take an Imaginary term)

ti

IIex

)(

)sin(cos tita

tiata sincos

(Euler 공식)

)cos(sincosRe tctbtaI

ibaxI

)(Let

ti

IIex

)( (Euler 공식)

Phase가 나타남20


※

6

1

665544332211),,(

j

j

A

j

AAAAAA

Rzyx

Superposition of Velocity potential1)

Decomposition of Velocity potential

),,,(),,,(),,,(),,,( tzyxtzyxtzyxtzyxRDIT

ti

RDIezyxzyxzyx

),,(),,(),,(

Time Independent Term (Complex)

시간이 많이 지나 Steady 상태에서Harmonic Motion

(Transient motion 고려안함)

R

D

I

: Incident Wave V.P.

: Diffraction V.P.

: Radiation V.P.


Erwin Kreyszig, Advanced Engineering Mathematics, Wiley, 2005, Ch 12.1 (pp 535~538)

6

1

00),,(),,(),,(

j

j

A

jDIzyxzyxzyx

선박의 j방향 운동변위가 1일 때 Velocity Potential:j

ex) Heave 변위 0.5m, roll 변위 0.1rad 일 때,

431.05.0

R

6

1

),,(),,(),,(),,(

j

j

A

jDITzyxzyxzyxzyx

:A

j 선박의 j방향 운동변위의 크기 ( j = 4,5,6에서는 rotational angle in Radian)

파고( )에 비례하는 Velocity potential0

21

선박의 운동변위(Given)

tiA

jjet

)(

크기(Amplitude)

와 는 주어지는 값0

A

3

파고 운동변위의 크기


Incident Wave Velocity Potential (1): Boundary condition

Wave Equation

① Governing Equation :

02

Lateral B.C.

Lateral B.C.

Bottom B.C.u

w

Dynamic Free Surface B.C. (경계면 사이에서 압력의 변화가 없음

즉, 두 매질의 경계면에서 압력은 동일)

Kinematic Free Surface B.C.

(No flow across the interface)

② Boundary condition(B.C.) :

z

x

h

22



① Kinematic Free Surface B.C.(KFSBC)

: 경계면 사이에 유동(flow)이 없기 위해서는 경계면에서 입자의 속도가 동일해야 한다.

z

xLateral B.C.

Lateral B.C.

Bottom B.C.u

w

Dynamic Free Surface B.C. Kinematic Free Surface B.C.

Boundary condition(B.C.)

txz ,

* : z방향 변위

h

유체입자의 z 방향 속도 :z

w

자유표면의 z 방향 속도 :xxtx

utdt

dx

xtdt

txd

),(

xxtzdt

dw

23



z

xLateral B.C.

Lateral B.C.

Bottom B.C.u

w



② Bottom B.C. (BBC)

: 바닥면에서 유체가 스며들거나 바닥으로 침투하지 않는다면(Impermeable) 다음 조건이 성립

txz ,

* : z방향 변위

h

만약, 바닥이 수심 z=-h에서평평하다고 가정하면(Horizontal bottom)

0

hzz

(바닥면의 속도) = (바닥면의 유체의 속도)

바닥면은 고정되어 있으므로,

(바닥면의 속도) = 0

→ (좌변) :

hzn

nV(바닥면 유체의 속도)

→ (우변) :

0

hzn

24



z

xLateral B.C.

Lateral B.C.

Bottom B.C.u

w



③ Dynamic Free Surface B.C. (DFSBC) : 경계면에서 유체의 압력은 대기압과 같아야 함

txz ,

* : z방향 변위

h

한편, 경계면에서 표면의 압력은 대기압과 같으므로,

)z(on2

1 2

atmSurface

PgPt

Wave가 생성되었을 때, Bernoulli Equation에 의해 표면에서 유체의 압력은,

Wave가 생성되기 전 상태를 고려하면, 이므로,)0z(on,0 atm

PPV

Bernoulli Equation

C2

1 2

zgP

t

)z(on

양변을 로 나누면,

02

1 2

g

t

Catm

P

)z(on atmSurface

PP

atmatmPgP

t

2

2

125



z

xLateral B.C.

Lateral B.C.

Bottom B.C.u

w



④ Lateral B.C. (DFSBC)

txz ,

* : z방향 변위

h

),,(),,(

),,(),,(

tzLxtzx

Ttzxtzx

파의 주기(wave period)를 T, 파장(wave length)을 L 이라고 하면, 다음이 성립한다.

: 주기가 일정하다는 조건에 의해 Periodic lateral B.C를 적용한다.

L

26



z

xLateral B.C.

Lateral B.C.

Bottom B.C.u

w



txz ,

* : z방향 변위

h

L

④ Lateral B.C.

),,(),,(

),,(),,(

tzLxtzx

Ttzxtzx


0

xxtz

③ Dynamic Free Surface B.C. (DFSBC)

02

1 2

g

t


0

hzz

<Summary of the 2-D periodic water wave boundary condition>

)z(on )z(on

27


Incident Wave Velocity Potential (7): Linearization(선형화)


0

xxtz

)z(on

0..

00

TOHxxtzzxxtzxxtz

zzz

Tayler series로 전개하면,

여기서 파장에 비해 파고가 작다고 가정했으므로, 1

1,1

0

0

0

0

z

z

z

zz

wx

u

작은 텀이 두 개 이상 곱해진 경우를 무시하면,

0

0

ztz

=> Linearized Kinematic Free Surface B.C.(KFSBC)

28

(High Order Term)


Incident Wave Velocity Potential (8): Linearization(선형화)


02

1 2

g

t)z(on

0..2

1

2

1

2

1

0

2

0

22

TOHgtz

gt

gt

zzz

Tayler series로 전개하면,

여기서 파장에 비해 파고가 작다고 가정했으므로, 1

1,1

0

0

0

0

z

z

z

zz

wx

u

작은 텀이 두 개 이상 곱해진 경우를 무시하면,

0

0

z

gt

=> Linearized Dynamic Free Surface B.C.(DFSBC)

tg

1 )0z(on

29

(High Order Term)


<Summary of the 2-D periodic water wave boundary condition>


z

xLateral B.C.

Lateral B.C.

Bottom B.C.u

w



④ Lateral B.C.

txz ,

* : z방향 변위

h

),,(),,(

),,(),,(

tzLxtzx

Ttzxtzx

L

① Kinematic Free Surface B.C.(KFSBC) ③ Dynamic Free Surface B.C. (DFSBC)


0

hzz

)0z(on )0z(on tg

1

tz

30



z

xLateral B.C.

Lateral B.C.

Bottom B.C.u

w



txz ,

* : z방향 변위

h

L



)0z(on

)0z(on

tg

1

tz

t로 미분

2

21

tgt

2

21

tgz

02

2

zg

t

0ztt

g

)0z(on

=> Linearized Free Surface B.C. 31



Boundary condition(B.C.) * : z방향 변위

z

xLateral B.C.

Lateral B.C.

u

w


txz ,

h

L

0

z

)0(on z )0(on ztg

1

tz

)(on hz

Bottom B.C.

),,(),,(

),,(),,(

tzLxtzx

Ttzxtzx

0ztt

g

Linearized Free Surface B.C.

)0(on z

32


Incident Wave Velocity Potential (12): Boundary conditionBoundary condition(B.C.) * : z방향 변위

z

xLateral B.C.

Lateral B.C.

u

w

txz ,

h

L

0

z )(on hz

Bottom B.C.

),,(),,(

),,(),,(

tzLxtzx

Ttzxtzx

0ztt

g


)0(on z

tiezx

),(Re

),( zx( : Complex amplitude of the velocity potential)

에서 시간에 대한 주기 함수로 가정하면),,( tzx

시간 항을 분리하면,

위 Velocity potential을 지배 방정식과경계 조건에 대입하면,

① 지배 방정식

0),(),(222

zxeezxtiti

0,0

2

2

2

2

2

zx

② Linearized Free Surface B.C.

02

ti

z

ti

zttegeg

tie

로 나누면,

02

z

g

③ Bottom B.C.

0

ze

z

ti 0

z

)(on hz

)0(on z

④ Lateral B.C.

),,(),,( tzLxtzx

),(),( zLxzx

33


Incident WaveVelocity Potential (13)


z

xLateral B.C.

Lateral B.C.

u

w

tx ,

h

L

0

z )(on hz

Bottom B.C.

),,(),,(

),,(),,(

tzLxtzx

Ttzxtzx

0ztt

g


)0(on z


z

xLateral B.C.

Lateral B.C.

u

w

txz ,

h

L

)(on hz

Bottom B.C.


)0(on z02

z

g

0

z

),(),( zLxzx

34


Incident Wave Velocity Potential (14)

공학 수학 Chapter 12.51)

(2-D Heat equation of

Steady state ))(),( xfbxu

0)0,( xu

0),( yau0),0( yu

a

b

R

x

y

02

2

2

2

2

y

u

x

uu

② Boundary condition :


3학년 해양파 역학(Wave Equation)


02

동일한 방정식을 푸는데 각각 다른 경계 조건이 적용됨

② Boundary condition(B.C.) :

Lateral B.C.Lateral B.C.

z

x

u

w

txz ,

h

L


)0(on z02

z

g

)(on hz

Bottom B.C.

0

z

),(),( zLxzx

0

2

2

2

2

yx

( Dirichlet B.C.1) )

( Robin B.C.1) )

1) Erwin Kreyszig, Advanced Engineering Mathematics 9th ,Wiley,2005,Ch12.5(p552~562)

35


Wave Equation 유도 (1)


z

xLateral B.C.

Lateral B.C.

u

w

tx ,

h

L

)(on hz

Bottom B.C.


)0(on z02

z

g

0

z

),(),( zLxzx

02

Laplace Equation

: Governing Equation

① Velocity potential 는 의 함수 이므로,

변수 분리법(separation of variables)에 의해

zx ,

)()( zGxF 로 둘 수 있다.

② Laplace Equation에 대입하면,

02

2

2

2

2

2

2

2

2

zzxxFGGF

z

GFG

x

F

zx

0zzxx

FGGF 0F

F

G

Gxxzz p

F

F

G

Gxxzz

FG 로 나눔

(∵ x와 z만의 함수가 같은 것은 상수뿐)

0

0

pGG

pFF

zz

xx

36



③ 의 부호에 따른 방정식의 해를 계산해 보면,p

02

FFxx

0

0

pGG

pFF

zz

xx

(i) 일 때,0p 2p

Lateral B.C.에 의해 x에 대한 주기함수여야 하는데 exponential 함수는 주기함수가 아님.

따라서 해가 될 수 없음.

xxBeAeF

(ii) 일 때,0p

0xx

F BAxF

이라 하면,


z

xLateral B.C.

Lateral B.C.

u

w

txz ,

h

L

)(on hz

Bottom B.C.


)0(on z02

z

g

0

z

),(),( zLxzx

37

BLxALxFBAxxF )()()(

BxF )(

wave는 x에 따라서 주기적으로 „변‟하는 데, 이를 만족하지 않음.

따라서 해가 될 수 없음

txz ,

37



0

0

pGG

pFF

zz

xx

(iii) 일 때,0p 2kp 이라 하면,

02

FkFxx

ikxikxBeAeF


z

xLateral B.C.

Lateral B.C.

u

w

txz ,

h

L

)(on hz

Bottom B.C.


)0(on z02

z

g

0

z

),(),( zLxzx

txz ,

38

한편, 0 pGGzz 에서

02

GkGzz

kzkzDeCezG

)(

(Euler 공식에 의해 kxikxeikx

sincos 이므로,

x에 대한 주기 함수의 성질을 가짐 -> Lateral B.C. 만족)

38




z

xLateral B.C.

Lateral B.C.

u

w

txz ,

h

L

)(on hz

Bottom B.C.


)0(on z02

z

g

0

z

),(),( zLxzx

txz ,

kxBkxAxF sincos)(

2 kL (하나의 wave만 다루었으므로, 2nπ 라 하지 않고, 2π 라 함.)

Lk

2

wave number k : 한 주기(2π) 내에 존재하는 wave의 개수

0

2

xxf 3sin)( 예를 들어 f (x)=sin3x 인 경우, wave

number는 3이며, x = 0부터 2π 사이에3개의 파가 들어있다.

39

ikxikxBeAeF

기저 변환

)sin()cos()( kLkxBkLkxALxF

39



④ Bottom B.C. 적용

kzkzDkeCkeF

z

GF

z

0

khkh

hz

DkeCkeFz

0 khkh

DkeCkekh

DeC2


z

xLateral B.C.

Lateral B.C.

u

w

tx ,

h

L

)(on hz

Bottom B.C.


)0(on z02

z

g

0

z

),(),( zLxzx

kzkzkhkzkzkhkzkzeeeDDeeDeDeCezG

22

)(

kzkz

ikxikx

DeCeG

BeAeF

zGxFzx )()(),(

F 나눔

kh

hzkBeAezx

ikxikx

cosh

)(cosh),(

)()( hzkhzkkhkhkzkhkzkheeDeeeDe

khkhkheeDeG

)0(

z=0을 대입하면,

여기서 을 만족하는 D를 정하면,1)0( G

khkhkheee

D

1

kh

hzk

ee

ee

eee

eeezG

khkh

hzkhzk

khkhkh

hzkhzkkh

cosh

)(cosh

)(

)()(

)()(

40


kh

hzkG

BeAeF

zGxFzx

ikxikx

cosh

)(cosh

)()(),(



z

xLateral B.C.

Lateral B.C.

u

w

tx ,

h

L

)(on hz

Bottom B.C.


)0(on z02

z

g

0

z

),(),( zLxzx

⑤ Linearized Free Surface B.C. 적용

02

z

g

02

z

gFGFG

02

z

gGG

kh

hzkk

dz

dGG

kh

hzkzG

zcosh

)(sinh

cosh

)(cosh)(

0cosh

)(sinh

cosh

)(cosh2

kh

hzkgk

kh

hzk

khgkkh

khgk tanh

cosh

sinh2

khgk tanh2

=> dispersion relation

)()( zGxF 대입

F 로 양변을 나눠줌

zGG , 대입

0z 대입

41


참고 – Dispersion Relation

gkkhgk tanh2

Deep sea 일 때, ( h→∞)

h→∞

22

limsinhlim

khkhkh

hh

eeekh

22

limcoshlim

khkhkh

hh

eeekh

12/

2/

cosh

sinhlimtanhlim

kh

kh

hh e

e

kh

khkh

T

2

Lk

2

Lg

T

222

L

g

T

2

2

L :파장

T :주기

=> 파장(길이)과 주기(시간)와의 관계식

즉, 장파일수록 주기가 길고, 단파일수록 주기가 짧아짐을 알 수 있다.

42


Wave Amplitude


z

xLateral B.C.

Lateral B.C.

u

w

tx ,

h

L

)(on hz

Bottom B.C.


)0(on z02

z

g

0

z

),(),( zLxzx

Dynamic Free Surface B.C. 적용

titi

ti

eeg

i

t

ezx

gtg

ˆ),(11

Dynamic Free Surface B.C. :

),(ˆ zxg

i

B

A

g

B ,

0

라 두면

)(0

zGeeiikxikx

)(ˆ

)(

)()(),(

0

zGi

g

zGeeg

zGeeBzGBeBezx

ikxikx

ikxikxikxikx

0z 대입

ikxikxeei

0

ˆ

1)0( G

Dynamic Free Surface B.C.

)0(on ztg

1

( 는 파고(η)에 비례함)

Wave Amplitude

)( zGBeAeg

i ikxikx

kh

hzkG

zGBeAezxikxikx

cosh

)(cosh

)(),(

)(ˆ zGXeeB

A

g

Bi ikxikx

0,

gBBA

대입

),( zx 에

ikxikxeei

0

ˆ

43


Incident WaveVelocity Potential (15)

<Summary of the wave equation>

ti

IIezxtzx

),(Re),,(

kh

hzkzG

cosh

)(cosh)( )(),(

0zGee

gzx

ikxikx

I


z

xLateral B.C.

Lateral B.C.

u

w

tx ,

h

L

)(on hz

Bottom B.C.


)0(on z02

z

g

0

z

),(),( zLxzx

If Deep water,

kzezG )(

)( h

kz

kh

hzk

hkhkh

hzkhzk

h

hh

ee

e

ee

ee

kh

hzkzG

)()()(

limlim

cosh

)(coshlim)(lim

44

Plane progressive wave의 경우, (+)방향으로 진행파를 가정하면, 0

kzikxee

g

0

),( zxI




z

xLateral B.C.

Lateral B.C.

u

w

tx ,

h

L

)(on hz

Bottom B.C.


)0(on z02

z

g

0

z

),(),( zLxzx

Step1.

해상에서 파의 파고 및 주파수 계측 ,

0

Step3.

Velocity Potential식에 대입

kzikx

Iee

gzx

0),(

Step2.

Dispersion Relation으로 부터 Wave number 계산dispersion relation : khgk tanh

2

45



파의 진행 방향

선박의 진행 방향

0s

V

wave

crest

wave

crestw

V

wV

w

파의 진행 방향

0

=선박의 진행 방향

0s

V

wave

crest

wave

crestw

V

wV

0X

0Y 0

Z

x

y z

xy

z

kzikx

Iee

gzyx

0),,(

파의 진행방향이z축 기준으로

만큼 회전

kzyxik

Iee

gzyx

)sincos(

0),,(

w

0X

0Y 0

Z

46


Radiation Wave Velocity Potential (1)

정수중 선박의 강제운동에 의해 발생한 힘

Radiation Force

ti

RRezyxtzyx

),,(),,,(

ti

j

jjezyx

6

1

),,(

Radiation wave velocity potential

Boundary Condition1)

① Free surface condition

02

zg

j

j

)0(on z

② Radiation Condition : 파가 무한이 발산하면 소멸됨

yaseiky

j,

)6,,1( j

j

jni

n

)(

BSon

j

n

B

n

V

S : 침수표면

: 침수표면에 수직인 속도

: Generalized normal component

③ Body boundary condition : 선박 표면에서 유체 입자와 표면의 속도가 동일함

n

R Vn

단위 진폭에 대한유체 속도 성분(선체 표면에 수직)

단위 진폭에 대한선체 표면의 속도 성분(선체 표면에 수직)


47


Radiation wave Velocity Potential (2)


Radiation Force

Considering Simple Example1)

r

R

3

y

z

r

w

0 0

2

2

Rr

r

0

A

r3

cos

Given 02

j

02

z

g

)6,,1( j

yaseiky

j,

j

jni

n

)(

BSon

- Governing Equation :

- Boundary Condition :

Find : j )6,,1( j

- Motion of the ship :tiA

jje

)6,,1( j

Given :


- Motion of the ship : tiAet

33)(

Find : 3

2,

2

ir

cos3

Rr

,r03

03

2

03

1) Faltinsen, O.M. , Sea loads on ships and offshore structures, Cambridge Univ. Press, 1998, Ch3 (pp 50~55)

48


Radiation Velocity Potential (3)

r

R

tiAe

33

y

z 물체 표면 경계 조건: 물체 표면의 속도는 유체의 속도와 동일함

(kinematic Boundary Condition)

※ 원통 좌표계 사용 (Polar Coordinate)

)sin,cos(),( rrzy

r

w

22,

Rr

물체 표면에서 유체의 속도r

0

tiAertr

),(),,(

33

tiAe

rr

3

3


강체의 z방향 속도 (어느 지점에서나 동일함)

tiAei

dt

dw

3

3

강체의 반지름 방향 속도 성분

tiA

reiww

3coscos

rw

r

tiAtiAeie

r

3

3

3cos

(위쪽이 +이므로)

Rr

ir

cos3

49



r

R

tiAe

33

y

z

r

3

w

03 0

3

2

2

Rr

r

03

i

rcos

3

경계 조건


50



r

R3

y

z

r

w

0

011

2

3

2

2

3

rrr

rr

011

2

3

2

22

3

2

3

rrrr

02

3

2

3

2

3

2

2

rrr

0333

2

rrrrr

)()(),(3

GrFr 라 하면,

02

FGGrFGFrrrr

2

2

kG

G

F

rFFrrrr

,022

FkrFFrrrr

02

GkG

(Euler-Cauchy Equation)

kkBrArrF

)(

ikikDeCeG

)(

ikikkkDeCeBrArr

),(

351



r

R3

y

z

r

w

0

ikikkkDeCeBrArr

),(

경계 조건 (1)을 대입하면,

ir

cos3

Rr

iDeCeBkRAkRr

ikikkk

Rr

cos113

11 kk

BkRAkR

cosiDeCeikik

cossincos

cossincossincos

ikDCikDC

ikikDkikC

한편, r이 무한대일 경우 수렴해야함.

k=1이므로, A=0이 되어야 한다.

2

BR

2

RB 12)(

rRrF

2

BRAR

2/,1 iDCk cos)( iG

52



r

R3

y

z

r

w

0

cos)( iG

r

RrRrF

2

12)(

cos)()(),(

2

3i

r

RGrFr

tiAtiAei

r

Rer

cos),(

2

3333

53


Radiation WaveVelocity Potential (8)


Radiation Force

Given 02

j

02

z

g

)6,,1( j

yaseiky

j,

j

jni

n

)(

BSon



Find : j )6,,1( j

- Motion of the ship :tiA

jje

)6,,1( j

How to solve ?

1) Journee, J.M.J. , Massie, W.W. , Offshore Hydrodynamics, Delft Univ. of Technology, 2001, Ch 7-22~23

Erwin Kreyszig, Advanced Engineering Mathematics, Wiley, 2005, Ch 17,Ch18

이승건, 선박운동 조종론, 부산대학교 출판부, 2004, pp93~101, pp91~93


Faltinsen, O.M. , Sea loads on ships and offshore structures, Cambridge Univ. Press, 1998, Ch3 (pp 104~108)

이승건, 선박운동 조종론, 부산대학교 출판부, 2004, pp93~101

Lewis Conformal Mapping1) (2-D)

3

311:

aaw

Mapping

Function

Singularity Distribution Method2) (2-D)

Line

Source

각 Line마다 Source 분포.

경계 조건을 만족하도록Source Strength 구함.

Panel Method (3-D) (기타 방법)54



55

Lewis Conformal Mapping1) (2-D)


Erwin Kreyszig, Advanced Engineering Mathematics, Wiley, 2005, Ch 17,Ch18

이승건, 선박운동 조종론, 부산대학교 출판부, 2004, pp93~101, pp91~93

3

311:

aaw

Mapping

Function

planew planez



56




Singularity Distribution Method2) (2-D)

물체 표면에 특이점 (source, doublet, vortex)을

분포시켜 수학적으로 물체 경계면을 생성시키고,

이들 특이점들의 강도(Strength)를 구하여

전체 유장의 velocity potential을 구하는 방법

Laplace Equation을 만족함0

11

2

2

2

rrr

rr

,1

rr

rln

,1

rr

,0

rr

r

0

2

2

※ Laplace equation on polar coordinate

Let 2-D source

0 0

Given : 특이점 (source, doublet, vortex)

Find : 특이점의 강도(Strength)

N

m

mmq

1

GivenFind

N개의 미지수가 존재함

N개의 경계조건으로 부터 방정식 구함

n

mV

n






R

tiet

1)(

3

y

z

11

, zy

1S

2S

3S

4S

5S

6S

7S

22

, zy

33

, zy 44

, zy

55

, zy

66

, zy

가 구해짐3

Step 1. 반원을 6등분 한다. 61

,, SS

Step 2. 등분된 점과 점 사이를 선으로연결하고, 각 Line segment에Line source를 분포시킨다. 한 Line에분포된 source는 같은 강도(strength)를 가짐

1

22)()(ln

mm SSmm

dsszsyq

- 점 )(),( ss 에 위치한 크기 jq 인 source

22

)()(ln szsyqm

- Line( )에 분포된 Line source1mm

SS

ex) 반원이 로 운동 중일 때,

Velocity potential을 구하시오.

tiet

1)(

3

Step 3. Source를 다음과 같이 각 Line Source들의 합으로 가정함

6

1

226

1

31

)()(ln),(

mSS

m

m

mmm

dsszsyqzy

57

:,mm

zy1mm

SS 의 중점

※ 2차원 source : rq ln



58




Step 4. 물체 경계 조건(Body boundary condition)

3

3ni

n

),(cos

mm zyi

),(

22

6

),(

22

2

),(

22

1

),(

3

76

32

21

)()(ln

)()(ln

)()(ln

mm

mm

mmmm

zySS

zySS

zySS

zy

dsszsyn

q

dsszsyn

q

dsszsyn

qn

3

ni

LHS:

RHS :

R

tiet

1)(

3

y

z

11

, zy

1S

2S

3S

4S

5S

6S

7S

22

, zy

33

, zy 44

, zy

55

, zy

66

, zy

가 구해짐3

ex) 반원이 로 운동 중일 때,

Velocity potential을 구하시오.

tiet

1)(

3

1

n

)(1

6

1

226

1

31

)()(ln),(

mSS

m

m

mmm

dsszsyqzy



59




물체 경계 조건(Body boundary condition)

),(

),(

22

6

),(

22

1 11

1176

1121

cos)()(ln)()(lnzy

zySS

zySS

idsszsyn

qdsszsyn

q

),(

),(

22

6

),(

22

1 22

2276

2221

cos)()(ln)()(lnzy

zySS

zySS

idsszsyn

qdsszsyn

q

),(

),(

22

6

),(

22

1 66

6676

6621

cos)()(ln)()(lnzy

zySS

zySS

idsszsyn

qdsszsyn

q

61,, qq 미지수 : 6개

방정식 : 6개

Now we can find the solution !!!

R

tiet

1)(

3

y

z

11

, zy

1S

2S

3S

4S

5S

6S

7S

22

, zy

33

, zy 44

, zy

55

, zy

66

, zy



60




1166111bIqIq

R

tiet

1)(

3

y

z

11

, zy

1S

2S

3S

4S

5S

6S

7S

22

, zy

33

, zy 44

, zy

55

, zy

66

, zy

),(

),(

22

6

),(

22

1 11

1176

1121

cos)()(ln)()(lnzy

zySS

zySS

idsszsyn

qdsszsyn

q

11I 16

I

2266211bIqIq

6666611bIqIq

Step 5. 방정식을 Matrix 형태로 나타내면,

bAq ,

6661

1611

II

II

A ,

6

1

q

q

q

6

1

b

b

b

bAq1



61




R

tiet

1)(

3

y

z

11

, zy

1S

2S

3S

4S

5S

6S

7S

22

, zy

33

, zy 44

, zy

55

, zy

66

, zy

32

,,),(

nnz

f

y

ff

n

zyf

n

),(

22

1

)()(ln

jjkk zy

SSjk

dsszsyn

I

22

22

)()(

)(

)()(

)(

szsy

sz

z

f

szsy

sy

y

f

ds

szsy

szn

szsy

syn

kk SSjj

j

jj

j

1223222

)()(

)(

)()(

)(

22

)()(ln),( szsyzyf

(참고) 의 계산jkI

라 하면,



62





)0(on z02

z

g

따라서, 단순한 형태의 2차원 source 대신Free surface condition을 만족하는 Green function을 사용함

rq ln

ex) Green function introduced by Wehausen and Laitone(1960)

te

tdkk

ePVzztzG

zi

zik

sin

cos2lnln2

1),,(

)(

0

)(

iiyxz ,

)/(2

g

complex notation :

Wave number :

Wehausen,J.V.,Laitone,E.V.(1960), Surface Waves,

Handbuch der hysik,edited by S.Fluegge, Vol.9,Fluid Dynamics 3,Springer Verlag,Berlin,Germany,pp 446~778


Diffraction Wave Velocity Potential (1)

ti

DDezyxtzyx

),,(),,,(

Diffraction wave velocity potential

Boundary Condition1)

① Free surface condition

02

zg D

D

)0(on z

② Radiation Condition : 파가 무한이 발산하면 소멸됨

yaseiky

D,

0

n

DI

n

B

V

S : 침수표면

: 침수표면에 수직인 속도

③ Body boundary condition : 선박 표면에서 유체 입자의 속도가 Zero

)(B

Son

0n

V


nn

ID

)(

BSon

Diffraction Force

산란파에 의한 힘

63


Diffraction Wave Velocity Potential (2)

Diffraction Force

산란파에 의한 힘 Given 02

D

02

zg D

D

yaseiky

D,

)(

BSon



Find : D

nn

ID

를 직접 구할 수도 있지만, Body Boundary Condition과

Green 2nd Theorem을 사용하여, 를 와 로 대체 가능

D

D

I

k

64

DI , are the solutions of Laplace equation.

Both satisfy 0,022

DI

S

D

k

S

k

DdA

ndA

n


Proof) Green TheoremDivergence Theorem of Gauss1)

(Theorem 1) Divergence Theorem of Gauss

(Transformation Between Triple and Surface Integrals)

Let T be a closed bounded region in space whose boundary

is a piecewise smooth orientable surface S.

x

z

yR

n

n

n

2S

1S

3S

Fig. 250. Example of a special region

),,( zyxF

T S

dAdV nFF

: a vector function that is continuous

and has continuous first partial

derivatives in T

(2)

],,,[321

FFFF ]cos,cos,[cos nUsing component,

S

ST

dxdyFdzdxFdydzF

dAFFFdxdydzz

F

y

F

x

F

)(

)coscoscos()(

321

321

321 (2‟)

z

F

y

F

x

F

321F

1) Erwin Kreyszig, Advanced Engineering Mathematics, Wiley, 2005, Ch10.7 (pp 458~462)

65


Proof) Green Theorem

(Example 4) Let

gfgf

z

gf

z

g

z

f

y

gf

y

g

y

f

x

gf

x

g

x

f

z

gf

y

gf

x

gfgf

2

2

2

2

2

2

2

,,)( F

gf F

n

gfff

)g()g( nnFnnF

T S

dAn

gfdVgfgf

2

(1) Green‟s first formula


T S

dAdV nFFDivergence Theorem :

LHS :

RHS :

66



(Example 4) Let gf F

(2) Green‟s second formula

T S

dAn

fg

n

gfdVfggf

22

T S

dAn

gfdVgfgf

2

Let fg F

T S

dAn

fgdVfgfg

2

①

②

① - ② :


T S

dAn

gfdVgfgf

2

(1) Green‟s first formula

67



(2) Green‟s second formula

T S

dAn

fg

n

gfdVfggf

22

If gf , are the solutions of Laplace equation

Both satisfy 0,022

gf

From Green‟s 2nd formula, we can derive an equation (3)

0

S

dAn

fg

n

gf(3)

SS

dAn

fgdA

n

gf(3‟)

항을 분리하여, 두 번째 항을 우변으로 넘김


68

Step2.Forces & Momentsacting on the ship

69


02

Solve

RDIT




02

1 2

ρgzP

t

tρgzP T


선형화

tttρgz RDI

staticP

dSPd nF

dS

dS

Fd

: 미소 면적


RDKFstaticFFFF

.

GravityFxM

RestoringF

excitingF xBxAF

R

xBxAFCxxM exciting

exciting

FCxxBxAM

Matrix66:,,, CBAM

T

61,, x(변위 : )

Linearization )( Cx

70

RDKFPPP

.


added

mass

Damping

Coefficient



Step3 Step4


BSdSPn


Step2


Radiation Force (FR) (1)


Radiation Force

BS

RRdSP nF

Radiation Wave Velocity Potential

ti

RRezyxtzyx

),,(),,,(

Radiation Force

tρP R

R

ti

j

j

A

jezyxρi

6

1

),,(

BS

k

ti

j

j

A

jdSnieρ

6

1

BB S

k

j

ti

j

A

jS

kRkRdSnezyxρidSnPF

6

1

,),,(

Consider

kth component

(k=3이면, Heave Force)

1) Journee, J.M.J. , Adegeest, L.J.M. ,Theoretical Manual of Strip Theroy program“ Seaway for Windows”, Delft University of Technology, 2003, pp30~33


6

1

),,(),,(

j

j

A

jRzyxzyx

- B.C.과 Laplace Eq. 으로부터 구한 것

- 변위 는 주어진 값A

j tiA

jjet

)(

71


( j방향 운동으로 인해 나타나는 k방향 힘 )


(Continue)

BS

k

ti

j

j

A

jkRdSnieρF

6

1

,

BS

kti

j

j

A

jdS

neρ

6

1

대입k

kni

n

BBB S

ktiA

S

ktiA

S

ktiAdS

nedS

nedS

neρ

662211

6

1jS

kti

j

A

jB

dSn

eρ

ti

jS

k

j

A

jedS

nρ

B

6

1

ti

j

jk

A

jeF

6

1

BS

k

jjkdS

nF

로 치환

:jk

F



72



(Continue)

ti

j

jk

A

jkReFF

6

1

,

BS

k

jjkdS

nF

L

c

k

jdxdl

nx0

L

jkdxf

0

xc

k

jjkdl

nf

xC

(2-D 단면에서 j방향 운동으로 인해 나타나는 k방향 힘 )

(2-D 단면에서 구한 힘 또는 모멘트를 길이 방향으로 적분하여선박 전체에 작용하는 힘 또는 모멘트를 계산 = “Strip Theory”)

(Slender body)

jkjkbia

2



(2-D 단면의Added mass)

(2-D 단면의Damping Coefficient)

73



1) Journee, J.M.J. , Adegeest, L.J.M. ,Theoretical Manual of Strip Theory program“ Seaway for Windows”, Delft University of Technology, 2003, pp30~33


L

jkjkdxfF

0

jkjkbia

2

(Continue)

(2-D 단면의Added mass)

(2-D 단면의Damping Coefficient)

jkjkBiA

2

(Added mass) (Damping Coefficient)

ti

j

jk

A

jkReFF

6

1

,

L

jk

L

jkdxbidxa

00

2

6

1

2)(

j

jkjk

tiA

jBiAe

6

1

2)(

j

jk

tiA

jjk

tiA

jBeiAe

6

1

)(

j

jkjjkjBA

(가속도에 비례) (속도에 비례)

tiA

jj

tiA

jj

tiA

jj

e

ei

e

2

y

3

변위 :

속도 :

가속도 :

z

2

4

j

j 74

xc

k

jjkdl

nf

xC






75

tiAet

33)(

ex) 2차원 반원의 Velocity potential이 주어져 있다고 했을 때,

Heave 방향 Added mass 및 Damping Coefficient를 구하시오

r

R

3

y

z

r

w

0 0

2

2

Rr

r

0

A

r3

cos

tiAtiei

r

Rertr

cos),(),,(

2

333

- 선박의 운동 변위 :

- Radiation Wave Velocity Potential :

sol) )(,3

333Rrondl

nf

xc

cos),(

2

3i

r

Rr

cos2

2

33i

r

R

rn

coscos

2

22

3

3i

r

Ri

r

R

n

222

3

4

cosir

R

22

3

4

cosr

R

xc

dlRf 22

33cos

22

cosR )( Rron






76

tiAet

33)(



r

R

3

y

z

r

w

0 0

2

2

Rr

r

0

A

r3

cos

tiAtiei

r

Rertr

cos),(),,(

2

333



sol)

xcdl

nf

3

333

xc

dlR 22

cos

2/

2/

22

33cos

RdRf

Rddl

2/

2/

222cos

dR

2/

2/

22

2

2cos1

dR

2/

2/

22

4

2sin

2

R

2

22 R

2

2

2 R

33a (반원 단면의 질량과 동일함)



77

tiAet

33)(



tiAtiei

r

Rertr

cos),(),,(

2

333



r

R

3

y

z

r

w

0 0

2

2

Rr

r

0

A

r3

cos

2

2

2

33

Rf

2

2

2

333333

RefeF

tiAtiA




sol)

tiA

tiA

tiA

et

eit

et

2

33

33

33

)(

)(

)(

변위 :

속도 :

가속도 :

3

333a

33a


6661

2221

161211

66

AA

AA

AAA

A

6661

2221

161211

66

BB

BB

BBB

B

- Added mass matrix - Damping coefficient

matrix

- Radiation wave velocity potential

654321,,,,,

jkjkc

k

jjkbiadl

nf

x

2대입

( 선박의 j방향 운동변위가 1일 때 Velocity Potential):j


78

1) Journee, J.M.J. , Massie, W.W. , Offshore Hydrodynamics, Delft University of Technology, 2001,8-5~10

단면의 정보로 부터 선박의 added mass와 Damping Coefficient 구하기 위해서는

각 단면의 를 구한 뒤, 길이 방향으로 적분한다. (Strip Theory)jkjkba , )6,,1,( kj

How to find added mass and damping coefficient ???

L

jkjkdxaA

0 L

jkjkdxbB

0

- Added mass component - Damping coefficient component

6개 Velocity

potential을모두 구해야Matrix를구할 수 있음


Strip Theory : Definition & Assumption

79

x

y

z

1x

y

3

z

2

4

xC

Strip Theory

: 각 2차원 단면의 유체력 계수 (Added mass, Damping Coefficient) 및 Wave exciting force를구한 후, 이를 길이 방향으로 적분하여 전체의 유체력을 구하는 근사적 방법

Assumption

(1) Resulting motion will be small

(2) The hull is slender

(4) The frequency of encounter should not be too low or too high

(3) Forward speed of the ship should be relatively low

(5) The hull sections are wall-sided at the waterline



80


tiAet

22)(

y

3

y축 병진 운동 :

z

2

4

xC

tiAet

33)(

tiAet

44)(

z축 병진 운동 :

x축 회전 운동 :

다음 중 2-D 단면에서 구할 수 있는 것은?

1

2 3

4

5

6

( 선박의 j방향 운동변위가 1일 때 Velocity Potential):j


x

z

1x

(-) Moment

3

31x

x

y

1x

(+) Moment

2

21x


81


은 어떻게 구할 수 있을까? ( 선박의 j방향 운동변위가 1일 때 Velocity Potential):j

651

,,

x

y

z

1x

tiAet

33)( z축 병진 운동 :

315 x,

3

216 xtiA

et

22

)( y축 병진 운동 : ,2

※ 은 일반적인 2-D strip theory로 구할 수 없다.

따라서, 경험식 또는 길이 방향 단면을 사용하여 계산함1



82


x

y

z

1x

tiAet

22)(

y

3

y축 병진 운동 :

z

2

4

xC

tiAet

33)(

tiAet

44)(

z축 병진 운동 :

x축 회전 운동 :

Conclusion

2-D 단면의 세 velocity potential

을 구하고,

의 관계식을 사용하여

다른 velocity potential을 구한다.

432,, ,

35 x

26 x

즉, 2-D 단면의 만구하면 된다.

432,,



83


3333

223

3

23

3

5

555

)()( biaxdl

nxdl

n

xxdl

nf

xxx ccc

,2222

22

222biadl

nf

xc

3333

23

333biadl

nf

xc

,4444

24

444biadl

nf

xc

2222

222

2

22

2

6

666

)()( biaxdl

nxdl

n

xxdl

nf

xxx ccc

2424

24

224biadl

nf

xc

3333

23

3

3

3

5

335)(

)(biaxdl

nxdl

n

xdl

nf

xxx ccc

4242

22

4

2

4

6

446

)(biaxdl

nxdl

n

xdl

nf

xxx ccc

Given :432

,,

만 알고 있으면,

added mass 및 damping coefficient를 구할 수 있다.

),(),,(),,(),,(4444333324242222

babababa

: 2-D 단면에서 j 방향 운동에의해 나타나는 k 방향 힘

jkf

y

3

z

2

4

xC※

xc

k

jjkdl

nf

xx ccdl

ndl

n

2

4

4

2

이므로, 42244224, bbaa

※


Froude-Krylov Force & Diffraction Force (1)



입사파에 의한 힘

Froude-Kriloff Force Diffraction Force

산란파에 의한 힘

ti

IIezyxtzyx

),,(),,,(

Incident Wave & Diffraction Velocity Potential

ti

DDezyxtzyx

),,(),,,(

kzyxik

Iee

gzyx

)sincos(

0),,(

)(B

Sonnn

ID

Body B.C. :

Froude Krylov Force & Diffraction Force

,),,(ti

I

I

FKeizyxρ

tρP

ti

D

D

Deizyxρ

tρP

),,(

BS

DFKDFKdSPP nFF

Consider

kth component

(k=3이면, Heave Force)

BSkDFKkDkFKdSnPPFF

,,

BSk

ti

DIdSnie

84


Froude-Krylov Force & Diffraction Force (2)



(Continue)

BS

I

k

k

I

ti

kDkFKdS

nnρeFF

,,

kzyxik

Iee

g )sincos(

0

kth radiation velocity potential : k

Incident wave velocity potential :

Already found

대입

85

L C

I

k

k

I

tidxdl

nnρe

x

L

kk

tidxhfρe )(

x

x

C

I

kk

C

k

Ik

dln

h

dln

f

: 2-D 단면에 작용하는 Froude-Krylov force

: 2-D 단면에 작용하는 Diffraction force

Step3.6DOF Equations of Ship Motion

86


staticP

RDKFstaticFFFF

.

GravityFxM

RDKFPPP

.



BSdSPn


Step2

02

Solve

RDIT




02

1 2

ρgzP

t

tρgzP T


선형화

tttρgz RDI

dSPd nF

dS

dS

Fd

: 미소 면적


RestoringF

excitingF xBxAF

R

xBxAFCxxM exciting

Matrix66:,,, CBAM

T

61,, x(변위 : )

Linearization )( Cx

87

added

mass

Damping

Coefficient


Shear force, Bending moment

Step4 exciting

FCxxBxAM

Motion RAO (Response Amplitude Operator)

Step3


6DOF Equations of Ship Motion (1)

88



3) Journee, J.M.J. , Massie, W.W. , Offshore Hydrodynamics, Delft University of Technology, 2001,pp8-1~4

exciting

FCxxBxAM

Assumption

1. Slender body (선박의 길이에 비해 폭이 작음)

물체의 x축 병진 운동에 의한 Velocity potential 이 작음 (Surge 운동은 독립적으로 취급)

2. Lateral symmetry (symmetric about xz-plane) & small amplitude motion

물체 운동이 종운동(Longitudinal motion) 과 횡운동(Transverse motion)으로 나뉨

1

sway,roll,yawsurge,heave,pitch

서로 영향을 주지 않음

y

x

tiAet

33)(

x

z z

y

6DOF Equations of Ship Motion : 6 coupled equation

heave

surge , pitch

sway , roll , yaw

tiAet

33)(

Matrix66:,,, CBAM

T

61,, x(변위 : )



89




6DOF Equations of Ship Motion

: 3 kinds of coupled motions (surge-heave-pitch, sway-roll-yaw)

666462

555351

464442

353331

262422

151311

000

000

000

000

000

000

AAA

AAA

AAA

AAA

AAA

AAA

A

666462

555351

464442

353331

262422

151311

000

000

000

000

000

000

BBB

BBB

BBB

BBB

BBB

BBB

B

000000

0000

00000

0000

000000

000000

5553

44

3533

CC

C

CCC

zzzx

yyc

xzxxc

c

c

II

Imz

IImz

m

mzm

mzm

0000

0000

000

00000

0000

0000

M

exciting

FCxxBxAM

6

5

4

3

2

1

x

6

5

4

3

2

1

F

F

F

F

F

F

excitingF



90




exciting

FCxxBxAM

666462

555351

464442

353331

262422

151311

000

000

000

000

000

000

AAA

AAA

AAA

AAA

AAA

AAA

A

666462

555351

464442

353331

262422

151311

000

000

000

000

000

000

BBB

BBB

BBB

BBB

BBB

BBB

B

000000

0000

00000

0000

000000

000000

5553

44

3533

CC

C

CCC

zzzx

yyc

xzxxc

c

c

II

Imz

IImz

m

mzm

mzm

0000

0000

000

00000

0000

0000

M



heave-pitch motion :

6

5

4

3

2

1

x

5

3

5

3

5553

3533

5

3

5553

3533

5

3

5553

3533

F

F

CC

CC

BB

BB

IAA

AAm

xx

6

5

4

3

2

1

F

F

F

F

F

F

excitingF


Heave & Pitch

91:,,

:

:

A

jk

A

jkA

j

bax

h

선박의 전진 속도

유체의 밀도

Wave amplitude

Sectional Froude Krylov force (jth mode)

Sectional Diffraction force (jth mode)

Encounter wave frequency

Values at the aftermost section

A

Lb

UdxaA

3323333

A

LUadxbB

333333

AA

AL

aU

bxU

BU

dxxaA332

2

332

0

3323335

AA

AL

bU

aUxUAdxxbB332

2

33

0

333335

A

AL

bxU

BU

dxxaA332

0

3323353

A

AL

aUxUAdxxbB33

0

333353

A

A

A

AL

axU

bxU

AU

dxaxA332

2

332

0

332

2

33

2

55

A

A

A

AL

bxU

aUxBU

dxbxB332

2

33

20

332

2

33

2

55

A

Lh

i

UdxhfF

3333

A

AL

hxi

Udxh

i

UhfxF

33335

:

:

:

:

jf

U

Ljkjk

Ljkjk

dxbBdxaA00

,

안의 값은 Library File에서 구할 수 있음



92




666462

555351

464442

353331

262422

151311

000

000

000

000

000

000

AAA

AAA

AAA

AAA

AAA

AAA

A

666462

555351

464442

353331

262422

151311

000

000

000

000

000

000

BBB

BBB

BBB

BBB

BBB

BBB

B

000000

0000

00000

0000

000000

000000

5553

44

3533

CC

C

CCC

zzzx

yyc

xzxxc

c

c

II

Imz

IImz

m

mzm

mzm

0000

0000

000

00000

0000

0000

M

exciting

FCxxBxAM



sway-roll-yaw :

6

5

4

3

2

1

x

6

4

2

6

4

2

44

6

4

2

666462

464442

262422

6

4

2

666462

464442

262422

000

00

000

F

F

F

C

BBB

BBB

BBB

AIAIA

AIAIAmz

AAmzAm

zzzx

xzyyc

c

6

5

4

3

2

1

F

F

F

F

F

F

excitingF


:

:,,

:

:

*

4B

bax

h

A

jk

A

jkA

j


유체의 밀도

Wave amplitude





:

:

:

:

jf

U

Sway & Roll & Yaw

93

Roll Damping

A

Lb

UdxaA

2222222

A

LUadxbB

222222

A

Lb

UdxaAA

242244224

A

LUadxbBB

24244224

AA

AL

aU

bxU

BU

dxxaA222

2

222

0

2222226

AA

AL

bU

aUxUAdxxbB222

2

22

0

222226

A

Lb

UdxaA

4424444

*

44444444BUadxbB

A

L

AA

AL

aU

bxU

BU

dxxaA242

2

242

0

2422446

AA

AL

bU

aUxUAdxxbB242

2

24

0

242446

A

A

A

AL

axU

bxU

AU

dxaxA222

2

22

2

2

0

222

2

22

2

66

A

A

A

AL

bxU

aUxBU

dxbxB222

2

22

20

222

2

22

2

66

A

AL

bxU

BU

dxxaA222

0

2222262

A

AL

aUxUAdxxbB22

0

222262

A

AL

bxU

BU

dxxaA242

0

2422464

A

AL

aUxUAdxxbB24

0

242464

Ljkjk

Ljkjk

dxbBdxaA00

,


Sway & Roll & Yaw

94

A

Lh

i

UdxhfF

2222

A

AL

hxi

Udxh

i

UhfxF

22226

A

Lh

i

UdxhfF

4444

Ljkjk

Ljkjk

dxbBdxaA00

,

:

:,,

:

:

*

4B

bax

h

A

jk

A

jkA

j


유체의 밀도

Wave amplitude





:

:

:

:

jf

U

Roll Damping


666462

555351

464442

353331

262422

151311

000

000

000

000

000

000

AAA

AAA

AAA

AAA

AAA

AAA

A

666462

555351

464442

353331

262422

151311

000

000

000

000

000

000

BBB

BBB

BBB

BBB

BBB

BBB

B

000000

0000

00000

0000

000000

000000

5553

44

3533

CC

C

CCC

zzzx

yyc

xzxxc

c

c

II

Imz

IImz

m

mzm

mzm

0000

0000

000

00000

0000

0000

M

exciting

FCxxBxAM

Find

6

5

4

3

2

1

F

F

F

F

F

F

excitingF

각 단면의 Added mass 및 Damping Coefficient, Wave exciting force),,,(

44332422aaaa

443322,,,,, hfhfhf),,,(

44332422bbbb

Given

Strip Theory :

95


Ship Motion in Regular waves : RAO(Response Amplitude Operator)

exciting

FCxxBxAM

선박의 6자유도 운동 방정식

ex) Heave

3,333333333 exciting

FCBAM

tiAtiAtiAtiAefeCeiBeAM

303333333

2

33)()())((

tiAet

33)(

tiAeit

33)(

tiAet

3

2

3)(

tiAtiA

excitingefeFF

3033,

( : Wave Amplitude, Real)0

( : Wave exciting force Amplitude, Complex)A

f3

tiAtiAefeCBiAM

303333333

2)(

D

AAfCBiAM

303333333

2)( 1

303

Df

AA

1

3

0

3 D

A

A

f

RAO(Response Amplitude Operator)

: 1m wave height를 가지는주파수 ω인 wave에 대한선박의 6자유도 운동 변위

( Complex)




97

exciting

FCxxBxAM

선박의 6자유도 운동 방정식

General Case

,

6

5

4

3

2

1

6

5

4

3

2

1

tiAti

A

A

A

A

A

A

ee

xx

,tiA

ei

xx ,2 tiA

e

xx tiAti

A

A

A

A

A

A

excitingee

f

f

f

f

f

f

fF

0

6

5

4

3

2

1

0

tiAtiAtiAtiAeeeie

fxCxBxAM

0

2

D

RAO(Response Amplitude Operator)

: 1m wave height를 가지는주파수 ω인 wave에 대한선박의 6자유도 운동 변위 tiAtiA

eei

fxCBAM0

2

AAi fxCBAM

0

2

AAfDx

1

0

A

A

fDx 1

0




98

1) 그림 출처 : Newman, J.N. , Marine Hydrodynamics, The MIT Press, Cambridge, 1977, pp 47

<Roll>

<Pitch>

Example of RAO

Step 4.Shear force & Bending moment(SWBM1), VWBM2))

99

1) SWBM : Still Water Bending Moment

2) VWBM : Vertical Wave Bending Moment


exciting

FCxxBxAM

Motion RAO (Response Amplitude Operator)

Step3

staticP

RDKFstaticFFFF

.

GravityFxM

RDKFPPP

.



BSdSPn


Step2

02

Solve

RDIT




02

1 2

ρgzP

t

tρgzP T


선형화

tttρgz RDI

dSPd nF

dS

dS

Fd

: 미소 면적


RestoringF

excitingF xBxAF

R

xBxAFCxxM exciting

Matrix66:,,, CBAM

T

61,, x(변위 : )

Linearization )( Cx

100

added

mass

Damping

Coefficient


Shear force, Bending moment

Step4


Review : 재료역학1)

101

균일 분포 하중 w

y

x

L길이

보에 균일 하중 w가 작용하고 있다.

왼쪽 끝(x=0)에서 x1만큼 떨어진 지점에서의전단 응력과 굽힘 모멘트를 구하시오.

1) 임상전 편저, 재료역학, 문운당,2001, Chapter 8, pp 265~275

1x

자유 물체도

w

y

x

1x

2

wL

- y축 방향 힘의 평형 조건

VM

02

1

0

x

wdxwL

V

- 모멘트의 평형 조건(x=x1기준)

0)(2

1

011

x

dxxxwxwL

M

1

01

2)(

x

wdxwL

xV

1

0111

)(2

)(x

dxxxwxwL

xM

x1이전까지 작용한 힘의 합

x1이전까지 작용한 모멘트의 합

z

x

Application

선미로부터 x1만큼 떨어진 지점의전단 응력과 굽힘 모멘트는?


Shear force & Bending moment acting on the ship

102

z

x

선미로부터 x1만큼 떨어진 지점의전단 응력과 굽힘 모멘트는?

z

x

1x V

M- z축 방향 힘의 평형 조건

1

)()()(1

x

APz

dxaxmxFxV

11

)()()()(11

x

AP

x

APdxxFxzxmxxdxxVxM

- 모멘트의 평형 조건(x=x1기준)

gravityF

z방향 힘 성분만 고려 (Heave & Pitch의 z방향 고려)

staticF

..KFF

RDFF ,

zma

)()()()()()(.

xFxFxFxFxFxFRDKFstaticgravity

xzaz

z방향 가속도

: x위치의 단면에 작용하는 수직 방향의 유체력

운동 방정식 풀이로 부터 얻은 값

선박이 가속도 운동 중이므로, 동적 평형 상태일 때작용하는 힘을 고려한다. (D‟alembert Principle)

Fxm

0.

xFFFFF mRDKFstaticgravity

: 운동 방정식

: 동적 평형 상태

RDKFstaticgravityFFFFF

.


Shear force & Bending moment acting on the ship

103

- 각 단면에 작용하는 힘 (Load)

zaxmxFxq )()()(

)()()()()()(.

xFxFxFxFxFxFRDKFstaticgravity

x위치의 단면에 작용하는 수직 방향의 유체력

zRDKFstaticgravityaxmxFxFxFxFxF )()()()()()(

.

)()( xqxqdynamicstatic

)( xFgravity

)( xFstatic

)(.

xFKF

)( xFD

)( xFR

zaxm )(

ship motion and wave load...

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