shmeiwseis tsetserh
DESCRIPTION
The extraordinary notes of the known EMP professor.TRANSCRIPT
![Page 1: Shmeiwseis Tsetserh](https://reader038.vdocuments.net/reader038/viewer/2022102503/563db8b7550346aa9a964754/html5/thumbnails/1.jpg)
ΜΑΘΗΜΑ: ΦΥΣΙΚΗ ΙI – 2o ΕΞΑΜΗΝΟ ΣΗΜΜΥ
1ο ΤΜΗΜΑ: Επώνυμα Σπουδαστών Α-Λ, ΑΜΦΙΘΕΑΤΡΟ 1 (ΣΗΜΜΥ)
(Διδάσκων: Επίκ. Καθ. Λεωνίδας Τσέτσερης)
2ο ΤΜΗΜΑ: Επώνυμα Σπουδαστών Μ-Ω, ΑΜΦΙΘΕΑΤΡΑ 1 και 4
(ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΔΡΕΣ)
(Διδάσκων: Αν. Καθ. Γεώργιος Κουτσούμπας)
1 ΦΥΣΙΚΗ ΙΙ: ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΣΜΟΣ
![Page 2: Shmeiwseis Tsetserh](https://reader038.vdocuments.net/reader038/viewer/2022102503/563db8b7550346aa9a964754/html5/thumbnails/2.jpg)
Το μάθημα αποτελεί μία εισαγωγή και συνοπτική παρουσίαση των
θεμελιωδών εννοιών του Ηλεκτρομαγνητισμού. Κύριες ενότητες του
μαθήματος: Ηλεκτροστατική, Μαγνητοστατική, Ηλεκτρομαγνητική
Επαγωγή, Εξισώσεις του Maxwell.
ΩΡΕΣ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ
Δευτέρα 12:45-14:30
Τρίτη 8:45-10:30
Παρασκευή 8:45-10:30
2
Οι παραδόσεις του 1ου τμήματος θα γίνονται με
διαφάνειες Powerpoint οι οποίες θα ανεβαίνουν μετά το
μάθημα στο mycourses.
Θα δοθούν φυλλάδια ασκήσεων που θα δώσουν συνολικά
(μέγιστο) bonus 1 μονάδα στον τελικό βαθμό
ΦΥΣΙΚΗ ΙΙ: ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΣΜΟΣ
![Page 3: Shmeiwseis Tsetserh](https://reader038.vdocuments.net/reader038/viewer/2022102503/563db8b7550346aa9a964754/html5/thumbnails/3.jpg)
ΔΙΔΑΣΚΟΝΤΕΣ
Λεωνίδας Τσέτσερης, Επ. Καθηγητής (Διδάσκοντας στο 1o
Τμήμα με επώνυμα: Α-Λ). e-mail: [email protected]
Γραφείο: 311, Κτήριο Φυσικής. Τηλέφωνο: 210-772-3046.
Γεώργιος Κουτσούμπας, Αν. Καθηγητής (Διδάσκοντας στο 2o
Τμήμα με επώνυμα: Μ-Ω). e-mail: [email protected]
Γραφείο: 313, Κτήριο Φυσικής. Τηλέφωνο: 210-772-3023.
3 ΦΥΣΙΚΗ ΙΙ: ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΣΜΟΣ
![Page 4: Shmeiwseis Tsetserh](https://reader038.vdocuments.net/reader038/viewer/2022102503/563db8b7550346aa9a964754/html5/thumbnails/4.jpg)
«Εισαγωγή στην Ηλεκτροδυναμική», David J. Griffiths,
Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης.
«Τα θεμέλια της ηλεκτρομαγνητικής θεωρίας», J. R. Reitz, F. J.
Milford, R. W. Christy, Πανεπιστημιακές Εκδόσεις ΕΜΠ
«Ηλεκτρομαγνητικό Πεδίο: Βασική Θεωρία και Εφαρμογές»,
Θ. Δ. Τσιμπούκης, Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης
«Ηλεκτρισμός, Μαγνητισμός», 2ος τόμος Πανεπιστημιακής
Φυσικής του Berkeley, Πανεπιστημιακές Εκδόσεις ΕΜΠ
4 ΣΥΓΓΡΑΜΜΑΤΑ
![Page 5: Shmeiwseis Tsetserh](https://reader038.vdocuments.net/reader038/viewer/2022102503/563db8b7550346aa9a964754/html5/thumbnails/5.jpg)
1) Εισαγωγή.
2) Διανυσματική Ανάλυση.
3) Ηλεκτροστατική.
4) Υπολογισμοί δυναμικού.
5) Ηλεκτροστατικά πεδία στην ύλη.
6) Μαγνητοστατική.
7) Μαγνητοστατικά πεδία στην ύλη.
8) Ηλεκτροδυναμική.
9) Νόμοι διατήρησης.
10) Ηλεκτρομαγνητικά κύματα.
5 ΥΛΗ
![Page 6: Shmeiwseis Tsetserh](https://reader038.vdocuments.net/reader038/viewer/2022102503/563db8b7550346aa9a964754/html5/thumbnails/6.jpg)
ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ
O
P
r
O
P
r
. μία από και αλλά ,"" κάποια
από μόνοόχι ονται χαρακτηρίζ μεγέθη φυσικά Πολλά
κατεύθυνσηποσότητα
, τεχρειαζόμασ
μεγεθών αυτών φυσικών των περιγραφή τηνΓια
διανύσματα
θυνση. και κατεύ)ποσότητα""( μέτρο
με ααντικείμεν μαθηματικά δηλαδή
διάνυσμα, είναι το όπου ,ˆ :Γράφουμε rrrr
ς,διανύσματο τουμέτρο )το( rr
κ.ά. πεδίο,ηλεκτρικό δύναμη, ταχύτητα,
θέσης, διάνυσμα :μεγεθών φυσικών κώνδιανυσματι ταΠαραδείγμα
.τουκατεύθυνσητηνδηλώνειπου1)|ˆ(|διάνυσμαμοναδιαίοτοˆ rrr
6
.ˆ συμβολισμότονκαιέχουμεάΕναλλακτικ rr r
![Page 7: Shmeiwseis Tsetserh](https://reader038.vdocuments.net/reader038/viewer/2022102503/563db8b7550346aa9a964754/html5/thumbnails/7.jpg)
ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ A
B
,
.,cosΕίναι :Ορισμός BAABBA
A
B
cos
BAB,AΑcos σχέσητηαπό
δίνεται Β στο πάνωΑ τουπροβολήH
τους.μεταξύ
είναι πουδιανύσματα για0 ΒΑΕίναι
ρθογώνιακάθετα ή ο
1zzyyxxκαι
0xzzyyx ,παράδειγμαγιαΈχουμε,
7
.z,y,xδιανύσματαμοναδιαίατααπόορίζεται
πουνωνσυντεταγμέσύστημαορθογώνιοΈστω xyz
A
y
z
xxA yA
zA
.zΑΑ,yΑΑ,xΑΑόπου
,zAyAxΑΑείναιΑκάθεΓια
zyx
zyx
zzyyxx
2
z
2
y
2
x
2 BAΒABΑΒΑκαιΑΑΑΑΕίναι
![Page 8: Shmeiwseis Tsetserh](https://reader038.vdocuments.net/reader038/viewer/2022102503/563db8b7550346aa9a964754/html5/thumbnails/8.jpg)
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ
:Τότε .b,b,bB και a,a,aA Έστω 321321
332211 ba,ba ,baBA )2
332211 ba και ba ,baBA 1)
321 ca,ca,caAc)3
8
NOMOΣ ΣΥΝΗΜΙΤΟΝΟΥ
A
B
C
.cos2
2Είναι
222
2
CABBA
CBABBAACCΒΑΒΑ
![Page 9: Shmeiwseis Tsetserh](https://reader038.vdocuments.net/reader038/viewer/2022102503/563db8b7550346aa9a964754/html5/thumbnails/9.jpg)
: είναι το Β και Α των γινόμενοεξωτερικό Το διάνυσμαΕΞΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ
B
A
),( BA
C
,CB,AsinABBAC
εξήςωςκατεύθυνσημίαορίζειCόπου
αρχή.κοινήμίασε
ΒκαιΑταΦέρνουμε 1)
Β,Ατωνεπίπεδοστο
κάθετοείναιCΤο 2)
.BτομεσυμπέσειναγιαAτοδιαγράψει ναπρέπειπουγωνία
δυνατήμικρότερητηνακολουθεί""παλάμηυπόλοιπηηότανχεριού
μαςδεξιούτουαντίχειρατοναπόπροκύπτειCτουκατεύθυνσηΗ3)
9
:γινομένουεξωτερικούΙδιότητες .BA Β 1)
.Β || Α με Β ,Α 0,BA 3)
yx z,xzy,zy x 4)
0Α 2)
![Page 10: Shmeiwseis Tsetserh](https://reader038.vdocuments.net/reader038/viewer/2022102503/563db8b7550346aa9a964754/html5/thumbnails/10.jpg)
ΕΞΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ
(1) .CABACΒΑ
: ηισχύει ότι αποδειχτεί ναΜπορεί
ακή ιδιότητεπιμεριστι
z. y, x,τωνεναλλαγήςκυκλικήςσχέσειςκαιzy x:είδαμεΌπως
zΒyΒxΒΒκαιzAy AxΑΑανΟπότε, zyxzyx
(2) ˆˆˆBA:τότε zBABAyBABAxBABA xyyxzxxzyzzy
(3)
BBB
AAA
zyx
BAαλλιώςή
zyx
zyx
10
ACBBCACBA
CBABCACBA
CBDADBCADCBA
DCBA CDBADCBA
ΣΥΝΘΕΤΑ ΓΙΝΟΜΕΝΑ
![Page 11: Shmeiwseis Tsetserh](https://reader038.vdocuments.net/reader038/viewer/2022102503/563db8b7550346aa9a964754/html5/thumbnails/11.jpg)
ΕΞΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ: ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ
.B,AsinΑΒ με ίσο και FGHJ του
αυτό με ίσοείναι DEFG τουεμβαδό To
B
A
),( BA
BAS
D
E
F
G
H
J
.Β και Α τανσχηματίζου που
το
δίνει μας ΒΑ ότι το λοιπόν Έχουμε
λογράμμουου παραλληεμβαδό S τ
.ΒΑS διάνυσμα ως S εμβαδού τουΟρισμός
(1), VCΒΑ
ο ότι τοται αποδεικνύε ύςσυλλογισμο ς παρόμοιουΜε
μενμικτό γινό
.C ,Β ,Α διανύσματα τρία
νσχηματίζου πουπιπέδου παραλληλε τουόγκος οείναι V όπου
11
![Page 12: Shmeiwseis Tsetserh](https://reader038.vdocuments.net/reader038/viewer/2022102503/563db8b7550346aa9a964754/html5/thumbnails/12.jpg)
ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
y = f(x)
x
x0
f(x0+Dx)
x
xfxxfxf
x D
D
D
00
00 lim:ΣυνάρτησηςΠαράγωγος
.στοήείναι
ηότιλέμετότευπάρχειπαράγωγοςηΌταν
0xηδιαφορίσιμμηπαραγωγίσιxf
x0+Dx
f(x0)
.τηςτοορίζει
αυτήσχέσηΗ .
γράφουμετότεη,διαφορίσιμείναιΑν
xfydyδιαφορικό
dxxfdydx
dyxf
xf
12
ΜΕΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ .,...,,, μεταβλητών )( πολλώνσυνάρτηση βαθμωτή Έστω 321 nxxxxfyn
όριοτοαπόορίζεταιμεταβλητήπροςωςπαράγωγοςμερικήH ix
i
ninii
xi x
xxxxfxxxxxf
x
f
i D
D
D
,...,,...,,,...,,...,,lim 2121
0
.633
βρίσκουμε3,τηνΓια:Παράδειγμα22
2 xyx
xy
x
yx
x
fyxyxf
![Page 13: Shmeiwseis Tsetserh](https://reader038.vdocuments.net/reader038/viewer/2022102503/563db8b7550346aa9a964754/html5/thumbnails/13.jpg)
13 ΑΝΩΤΕΡΕΣ ΜΕΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ – ΑΝΑΠΤΥΓΜΑ TAYLOR
x
f
xx
fx
2
2η :προςωςπαράγωγος2
syhxf ,:μεταβλητώνδύοσυνάρτησηςTaylorΑνάπτυγμα
.3,2,23:3,,Για:Παράδειγμα2
2
22
yx
fe
x
fxey
x
fexxyzyxf zzz
f
ys
xh
nf
ys
xhf
ys
xhyxf
n
!
1
!2
1,
2
x
f
yy
f
xyx
f
yx
2
:καιπροςωςπαράγωγοςΜικτή
κ.ό.κ.,,,,,:παράγωγοιανώτερεςορίζονταιΟμοίως3
4
4
43
2
3
3
3
yx
f
x
f
zyx
f
yx
f
x
f
διωνύμουτουκανόνατονμεμεαναπτύσσουτονόροτονόπου
n
ys
xh
.μεωςόρουςτουςεερμηνεύουμκαι nlkyxyx lk
nlk
![Page 14: Shmeiwseis Tsetserh](https://reader038.vdocuments.net/reader038/viewer/2022102503/563db8b7550346aa9a964754/html5/thumbnails/14.jpg)
14 ΜΕΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ: ΚΑΝΟΝΑΣ ΑΛΥΣΙΔΑΣ .,,,και,συνάρτησηβαθμωτήπ.χ.,Έστω, srhysrgxyxfz
αλυσίδαςκανόνατονμεταιυπολογίζονκαιπαράγωγοισύνθετεςΟιs
z
r
z
αλλιώςή,καιs
h
y
f
s
g
x
f
s
z
r
h
y
f
r
g
x
f
r
z
.,,μεταβλητώναλλαγήσεύναντιστοιχοαυτέςσχέσειςΟι sryx
δίνειsin,cosνεςσυντεταγμέπολικέςσεΑλλαγή:Παράδειγμα ryrx
.καιs
y
y
f
s
x
x
f
s
f
r
y
y
f
r
x
x
f
r
f
κ.ό.κ.,:διαστάσεις3Σεr
z
z
f
r
y
y
f
r
x
x
f
r
f
.cossin,sincosy
fr
x
fr
f
y
f
x
f
r
y
y
f
r
x
x
f
r
f
.1
δίνουν2και1Οι
222
2
2
y
f
x
ff
rr
f
![Page 15: Shmeiwseis Tsetserh](https://reader038.vdocuments.net/reader038/viewer/2022102503/563db8b7550346aa9a964754/html5/thumbnails/15.jpg)
ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΗ (ΚΑΤΕΥΘΥΝΤΙΚΗ) ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ 15
χώρου.διάστατουπεδίοβαθμωτόκαιή,,...,,,
ςδιανύσματοδιάστατουτουσυνάρτησηβαθμωτήκαι
ονομάζεταιμεταβλητών,...,,,συνάρτησηβαθμωτήΜία
321
321
nxxxxx
nxf
nxxxxf
n
n
:διάνυσμαπροςωςκαιθέσηστηνπεδίουβαθμωτούΠαράγωγος 0 sxxf
1.lim 00
0 h
xfshxffD
hs
,1τηςςπεριπτώσειειδικέςείναιπαράγωγοιμερικέςΟι
είναι,,γιαπ.χ. rfzyxf
.
ˆlim
,,,,lim ˆ
00fD
h
rfxhrf
h
zyxfzyhxf
x
fx
hh
.όπου,ιδιότηταγραμμικήηαποδειχτείναΜπορεί i
ii
i
aia acafDcfDi
χώρο.διάστατο3στονπεδίοκόδιανυσματικαιονομάζεται
ˆ,,ˆ,,ˆ,,,,συνάρτησηκήδιανυσματιΗ 221
zzyxFyzyxFxzyxFzyxF
![Page 16: Shmeiwseis Tsetserh](https://reader038.vdocuments.net/reader038/viewer/2022102503/563db8b7550346aa9a964754/html5/thumbnails/16.jpg)
ΚΛΙΣΗ ή ΒΑΘΜΙΔΑ (grad) ΒΑΘΜΩΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
.,,τηςgradήβαθμίδαλεγόμενηηείναιˆˆˆ,, zyxfz
fz
y
fy
x
fxzyxf
.ˆˆˆανάδελταήβαθμίδαςτελεστήςκόςΔιανυσματιz
zy
yx
x
16
zyxzyx aaaafDz
ffD
y
ffD
x
zyxf,,γιαδίνει1η,,,
,,Επειδή ˆˆˆ
όπου,ˆˆˆ faz
fa
y
fa
x
fafDafDafDafD zyxzzyyxxa
.συνάρτησηκήδιανυσματιτηνπ.χ.καινούριοκάτι
δίνεικαιπ.χ.άλλοκάτισεδραπουπ.χ.Κάτιτελεστής;έναςείναιΤι
f
f
είναι,,μετάβολήγιαδιαφορικόΤο dzdydxrddf
.dzz
fdy
y
fdx
x
frdfdf
.όπου1,ιδιότηταγραμμικήηΙσχύει i
ii
i
aia acafDcfDi
![Page 17: Shmeiwseis Tsetserh](https://reader038.vdocuments.net/reader038/viewer/2022102503/563db8b7550346aa9a964754/html5/thumbnails/17.jpg)
ΚΛΙΣΗ ή ΒΑΘΜΙΔΑ (grad) ΒΑΘΜΩΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
.τηςμεταβολήςμέγιστηςδιεύθυνσητηνδείχνειτο,ˆΕπειδή ˆ fffnfDn
βρίσκουμεsin3,,Αν:Παράδειγμα 2 zyxzyxf
17
.ˆˆ,και
ˆˆδιαστάσειςδύοΣε
y
fy
x
fxyxf
yy
xx
yxf ,
yxf ,
f
συνάρτησηςκήςδιανυσματιτηςσηΑναπαράστα
σημεία.σαγματικάκαιακρότατασε0f
σημείοσαγματικό:X
.cosˆˆ3ˆ6ˆˆˆ 2 zzyxxxyz
fz
y
fy
x
fxf
![Page 18: Shmeiwseis Tsetserh](https://reader038.vdocuments.net/reader038/viewer/2022102503/563db8b7550346aa9a964754/html5/thumbnails/18.jpg)
ΙΣΟΣΤΑΘΜΙΚΕΣ ΓΡΑΜΜΕΣ ΚΑΙ ΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ
σταθερά.κάποιαόπου
,,εξισώσειςτιςνικανοποιούπουτόποιίγεωμετρικοοιείναιπου
γραμμέςέςισοσταθμικτιςμεθείαναπαρασταναμπορεί,Συνάρτηση
c
cyxf
yxf
18
.επιφάνειεςέςισοσταθμικ
ορίζουν,,
σχέσειςοιδιαστάσεις3Σε
czyxf
βενζόλιο.στοφορτίου
κούηλεκτρονιαπυκνότητας
τηςεπιφάνειαήΙσοσταθμικ
yxf ,τηςγραμμές
έςΙσοσταθμικ
222 coscos, yxyxf
![Page 19: Shmeiwseis Tsetserh](https://reader038.vdocuments.net/reader038/viewer/2022102503/563db8b7550346aa9a964754/html5/thumbnails/19.jpg)
ΙΣΟΣΤΑΘΜΙΚΕΣ ΓΡΑΜΜΕΣ ΚΑΙ ΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ
.Είναι rdfdf
19
τότεκαμπύληήισοσταθμικ
μίασεκήεφαπτομενιείναιμεταβολήαπειροστήηΕάν rd
1.γενικότεραείτε,0είτεδηλαδή,0 rdffdf
0000 ,,σημείοσεβαθμίδας
τηςδιάνυσματοότιδείχνει1σχέσηΗ
zyxr
.ήισοσταθμικστηνδηλαδή,,,το
απόπερνάειπουεπιφάνειαήισοσταθμικστηνκάθετοείναι
00000 rfcrfzyxr
![Page 20: Shmeiwseis Tsetserh](https://reader038.vdocuments.net/reader038/viewer/2022102503/563db8b7550346aa9a964754/html5/thumbnails/20.jpg)
ΙΣΟΣΤΑΘΜΙΚΕΣ ΓΡΑΜΜΕΣ ΚΑΙ ΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ 20
γραμμές.έςισοσταθμικστιςκάθετα
είναιδιανύσματαταδιαστάσεις2Σε f
γραμμές.έςισοσταθμικστιςκάθετα
όντωςείναιπουδιανύσματα
μπλεμερικάφαίνονταισχήμαΣτο
f
![Page 21: Shmeiwseis Tsetserh](https://reader038.vdocuments.net/reader038/viewer/2022102503/563db8b7550346aa9a964754/html5/thumbnails/21.jpg)
ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΗ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ
.καμπύληςτηςμήκος"κατά"ιςμετατοπίσειςστοιχειώδεόπου
,lim:ολοκλήρωμαοΕπικαμπύλι0
Cl
lFldF
i
i
iil
Ci
D
D D
21
. επιφάνειατηνκαλύπτουνπουεμβαδάστοιχειώδηόπου
,lim:ολοκλήρωμαόΕπιφανειακ0
Ss
sFFds
i
i
iis
Si
D
D D
.Ωχώρουτουπεριοχήτηνκαλύπτουνπουόγκοιιςστοιχειώδεόπου
,lim:χώρουήόγκουΟλοκλήρωμα0
i
i
iiV
V
VFFdVi
D
D D
![Page 22: Shmeiwseis Tsetserh](https://reader038.vdocuments.net/reader038/viewer/2022102503/563db8b7550346aa9a964754/html5/thumbnails/22.jpg)
ΕΠΙΚΑΜΠΥΛΙΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ
C. τηςτμήμα
ένα για,αντίστοιχα πέρας, και τοαρχή η
είναι ),( Β και ),( Α ότι ακόμη
Έστω xy.επίπεδο στο C καμπύληΈστω
2211 baba
.,,Ι άθροισμα το
μεσχηματίσου να μπορούμε , και , ςσυναρτήσει δύο Για
1
C kkk
n
k
kkk yQxP
yxQyxP
DD
x
y
A
B
C
1ny
1xkx
1nx
1yky
1a
1b
ς.διαστήματο τουμέσο στο , σημεία
ταορίζουμε και , σημείων των
μέσω διαστήματα σε C τηνΧωρίζουμε
k
yx
n
kk
kk
2a
2b
C.καμπύληςτηςABτμήμαστoπάνω,ˆ,ˆ,
συνάρτησηςκήςδιανυσματιτηςIολοκλήρωμαοεπικαμπύλιτοορίζει C
yxQyyxPxyxR
αυτόόριοτοτότε,, μικράπολύγιαΙτουόριοτουπάρχειAν C kk yx DD
CC
C dyyxQdxyxPrdRI ,,:ςΣυμβολισμό
22
![Page 23: Shmeiwseis Tsetserh](https://reader038.vdocuments.net/reader038/viewer/2022102503/563db8b7550346aa9a964754/html5/thumbnails/23.jpg)
ΕΠΙΚΑΜΠΥΛΙΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ
:τρόπουςκάτωθιτους
απόένανμείυπολογιστεναμπορεί
,,
ολοκλήρωμαοεπικαμπύλιTo
B
AdyyxQdxyxP
.,,και
τότε,συνάρτησητηναπόαιπεριγράφετκαμπύληηΑν 1)
2
1
dxxfxfxQdxxfxPIdxxfdy
xfy
a
aC
x
y
1xkx
1nx
1yky
1ny
A
B
C
1a 2a
1b
2b
,,, τότε, και
μορφή κή παραμετρι τηναπόται περιγράφε καμπύληη Αν 3)
dttgtgtfQdttftgtfPItgytfxB
A
t
tC
.,, και
τότε, συνάρτηση τηναπόται περιγράφεC η αν ,Aντίστοιχα )2
2
1
dyyygQdyygyygPIdyygdx
ygx
b
bC
. , , , όπου 2121 tgbtgbtfatfa AA
23
![Page 24: Shmeiwseis Tsetserh](https://reader038.vdocuments.net/reader038/viewer/2022102503/563db8b7550346aa9a964754/html5/thumbnails/24.jpg)
ΕΠΙΚΑΜΠΥΛΙΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ: ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 1
.1, παραβολής τηςμήκος
κατάγ ,1,2 τοέως 1,1 τοαπό γραμμήςευθείας τηςμετά και 1,1 τοέως 0,1
τοαπό γραμμήςευθείας τηςμήκος κατάβ ,1,2 τοέως 0,1 τοαπό γραμμής
ευθείας τηςμήκος κατάα Ι εί το υπολογιστΝα
2
2,1
0,1
22
tytx
dyxydxyx
.1 ηείναι 1,2 και 0,1 σημεία τααπό περνάει πουευθεία Η α xy
.0 και 1είναι 1,1 στο 0,1 τοαπό ευθεία τηνΓια β dyy
.είναι ευθείας τηςμήκος Κατά dxdy
.3
51
3
122211 Επομένως
1
0
21
0
22 dxxxdxxxdxxx
.321Ιδίνει οεπικαμπύλι το γιααυτό κομμάτι Το1
0
2
1 dxx
.0 και 1 ηείναι 1,2 στο 1,1 τοαπό ευθεία τηνΓια dxx
.3101Ιδίνει οεπικαμπύλι σχετικό Το2
1
2
2 dyy
.38I Άρα 21
24
![Page 25: Shmeiwseis Tsetserh](https://reader038.vdocuments.net/reader038/viewer/2022102503/563db8b7550346aa9a964754/html5/thumbnails/25.jpg)
ΕΠΙΚΑΜΠΥΛΙΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ: ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 1
.1, παραβολής τηςμήκος
κατάγ ,1,2 τοέως 1,1 τοαπό γραμμήςευθείας τηςμετά και 1,1 τοέως 0,1
τοαπό γραμμήςευθείας τηςμήκος κατάβ ,1,2 τοέως 0,1 τοαπό γραμμής
ευθείας τηςμήκος κατάα Ι εί το υπολογιστΝα
2
2,1
0,1
22
tytx
dyxydxyx
.1είναι 1,2 σημείο το γιαενώ ,0 έχουμε 0,1 σημείο τοΓια γ tt
:όπους κάτωθι τρ τουςαπό έναν μεί υπολογιστε
ναμπορεί ,, ολοκλήρωμα οεπικαμπύλι To2
1
a
adyyxQdxyxP
,,, τότε, και
μορφή κή παραμετρι τηναπόται περιγράφε καμπύληη Αν 3)
dttgtgtfQdttftgtfPItgytfxB
A
t
tC
. , , , όπου 2121 tgbtgbtfatfa AA
.21 και 1είναι περίπτωση τηαυτή Σε 2 ttgttgtfttf
.212242211 Επομένως1
0
2351
0
2222 dttttttdtttdttt
25
![Page 26: Shmeiwseis Tsetserh](https://reader038.vdocuments.net/reader038/viewer/2022102503/563db8b7550346aa9a964754/html5/thumbnails/26.jpg)
ΔΙΠΛΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ
:περιοχήστηντοςολοκληρώμαδιπλούΟρισμός
.,σημείααπόγύρωεμβαδάμικρά
σετόποτονχωρίζουμεότιακόμηΈστω
kkkA
n
D
.κάθεγια0με,lim,I1
kAAfdAyxf k
n
k
kkkn
DD
:ολοκλήρωσηδιπλήμεσυνήθωςγίνεταιIτουςυπολογισμόΟ
26
x
y
A
a
Cc
Dd
B
b
σχήμα.στοφαίνεταιόπωςεπιπέδουτου
περιοχήσεορισμένηείναι,ηότιΈστω
xy
yxf
kk ,
.,,,
2
1
2
1
b
ax
xf
xfy
b
ax
xf
xfydxdyyxfdydxyxfdAyxf
όπου,,,:άΕναλλακτικ
2
1
d
cy
yg
ygxdydxyxfdAyxf
xfy 1
xfy 2
.αντίστοιχαγράφημαμπλεκαιπράσινοστοίαντιστοιχεηκαιη 21 ygyg
ygx 2
ygx 1
![Page 27: Shmeiwseis Tsetserh](https://reader038.vdocuments.net/reader038/viewer/2022102503/563db8b7550346aa9a964754/html5/thumbnails/27.jpg)
ΔΙΠΛΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ: ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ (ΚΕΝΤΡΟ ΜΑΖΑΣ) 27
σχέση τηναπόδίνεται μάζας κέντρουτου
θέσης διάνυσμα τοΜ μάζας σώμα εκτεταμένο ένα Για(1). dmr
M
1R cm
.22άραμάζαολικήκαικαιπλευρές
κάθετεςμεπυκνότηταςτριγώνουορθογώνιουομογενούςμάζας Κέντρο
abMabMMba
ρT
x
y
b
a
x
y
aa
cm ydxab
Mx
Mxdm
Mx
00
211Είναι
.(2) 3
222
00
axdx
a
bx
abxydx
abx
aa
cm
:ολοκλήρωμαδιπλόμετοβρούμεναΜπορούμε cmx
,,,,0γιαδίνει,τύπος 21
2
1
2
1
MxyxfaxxdxfdydAyxfx
x
xf
xf
.3
222:,0
0
2
20 021
adxx
adxxdy
abx
a
bxxfxf
aa abx
cm
.332
222:Ομοίως
32
00
b
b
bb
bdy
b
ayay
abdyydx
aby
bb a
baycm
![Page 28: Shmeiwseis Tsetserh](https://reader038.vdocuments.net/reader038/viewer/2022102503/563db8b7550346aa9a964754/html5/thumbnails/28.jpg)
ΤΡΙΠΛΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ (ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΟΓΚΟΥ)
:περιοχήστηντοςολοκληρώματριπλούΟρισμός
.,,σημείααπόγύρωόγκους
μικρούςσεπεριοχήτηνΧωρίζουμε
kkkkV
n
D
.0με,,,lim,,I1
kVVfdVzyxf k
n
k
kkkkn
DD
28
σχήμα.στοφαίνεταιόπωςχώρουτου
περιοχήσεορισμένηείναι,,ηότιΈστω
xyz
zyxf
ydxdydzzyxf
b
ax
xf
xfy
yxg
yxgz
2
1
2
1
,
,,,Ι
βρίσκουμεολοκλήρωσητριπλήΜε
y
z
k
x
kk
.,,,,σχέσειςτιςαπόορίζεται
πουχώρουτουπεριοχήηείναιπερίπτωσηγενικήΣτηνίπεδο.παραλληλεπ
ορθογώνιοείναισχήματοςτουπεριοχήηευκολίαςχάρηΓια:Σημείωση
2121 yxgzyxgxfyxfbxa
dxdydzzyxf
yxg
yxgz
,
,
2
1
,,
![Page 29: Shmeiwseis Tsetserh](https://reader038.vdocuments.net/reader038/viewer/2022102503/563db8b7550346aa9a964754/html5/thumbnails/29.jpg)
ΤΡΙΠΛΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ: ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ (ΡΟΠΗ ΑΔΡΑΝΕΙΑΣ) 29
.μονάδεςκάποιεςσε1πυκνότηταμεομογενέςείναι1,0
,0,0με,,σημείαταόλαειπεριλαμβάνπουστερεότοότιΈστω
zyxz
yxzyxT
y
z
x
O
AB
C
.1,0,0,0,1,0,0,0,1,0,0,0σημείατακορυφέςμετετράεδροτοείναι CBAOΤ
;άξονατονπροςωςτουαδράνειαςροπήηείναιοια zTI
VV
dxdydzzyxrdmrI ,,Είναι 22
1
0
1
0
1
0
22δίνει dxdydzyxIx yx
b
a
xf
xf
yxg
yxgdxdydzzyxf
2
1
2
1
,
,,,ΙτύποςΟ
.30
1
4
1
3
1
2
11
1
0
442222
dx
xxxxxx
1
0
1
0
32221
0
1
0
22 111 dxdyyxyyxxxdxdyyxyxxx
.2ακμήςοκταέδρουομογενούςκανονικούενόςαδράνειας
ροπήτη154βρίσκουμε8μεάζονταςΠολλαπλασι I
![Page 30: Shmeiwseis Tsetserh](https://reader038.vdocuments.net/reader038/viewer/2022102503/563db8b7550346aa9a964754/html5/thumbnails/30.jpg)
ΕΠΙΦΑΝΕΙΑΚΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ
:τοςολοκληρώμαούεπιφανειακΟρισμός
.,,σημείααπόγύρωεμβαδάσεεπιφάνειατηνΧωρίζουμε kkkksnS D
.0με,,,ˆlimˆI1
kssfndsnfsdf k
n
k
kkkkkn
SS
S DD
30
σχήμα.στοφαίνεταιόπωςεπιφάνειασε
πάνωορισμένηείναι,,συνάρτησηκήδιανυσματιηότιΈστω
S
zyxf
.εμβαδόστοκάθετοείναιπουδιάνυσμαμοναδιαίοτοείναιˆορισμόΣτον kk sn D
1n2n
3n
S
![Page 31: Shmeiwseis Tsetserh](https://reader038.vdocuments.net/reader038/viewer/2022102503/563db8b7550346aa9a964754/html5/thumbnails/31.jpg)
ΟΡΙΣΜΟΣ ΚΑΘΕΤΟΥ ΣΕ ΕΠΙΦΑΝΕΙΑ 31
.εμβαδόστοκάθετοείναιπουδιάνυσμαμοναδιαίοτοείναιˆορισμόΣτον kk sn D
.0με,,,ˆlimˆI1
kssfndsnfsdf k
n
k
kkkkkn
SS
S DD
1n2n
3n
;ˆτουκατεύθυνσηηορίζεταιΠως kn
ksDD επιφάνειαςτηςσύνοροτοιατρέχουμε
κοχλία.ουδεξιόστροφ
τουκανόνατονεεφαρμόζουμκαι
δεξιά.biusoMτουλωρίδαηόπως
,επιφάνειεςίσιμεςπροσανατολ-μη
μεσυμβατόςείναιδενορισμόςΟ
![Page 32: Shmeiwseis Tsetserh](https://reader038.vdocuments.net/reader038/viewer/2022102503/563db8b7550346aa9a964754/html5/thumbnails/32.jpg)
ΕΠΙΦΑΝΕΙΑΚΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ
:τοςολοκληρώμαούεπιφανειακΟρισμός
.0με,,,ˆlimˆI1
kssfndsnfsdf k
n
k
kkkkn
SS
S DD
32
:ολοκλήρωμαδιπλόσεΙτο
ανάγουμεσυνήθωςπράξηΣτην
S
sd
επίπεδο.στοπάνωˆεμβαδό
ςστοιχειώδεένασειπροβάλλετα
τηςˆεμβαδόςστοιχειώδεΤο
xyzdAAd
Sdsnsd
Ad
.ˆˆσχέσηηΙσχύει dszndA
0,,εξίσωσητηναπόαιπεριγράφετεπιφάνειαηότιτώραΈστω zyxGS
.ˆˆˆτότεΕίναι222
z
G
y
G
x
G
z
G
znG
Gn
![Page 33: Shmeiwseis Tsetserh](https://reader038.vdocuments.net/reader038/viewer/2022102503/563db8b7550346aa9a964754/html5/thumbnails/33.jpg)
ΕΠΙΦΑΝΕΙΑΚΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ 33 sd
Ad
.ˆˆ
ˆˆσχέσηηΙσχύειzn
dAdsdszndA
yxgzS ,εξίσωσηηισχύειτηνγιαΑν
.
1
1ˆˆˆτότε
22222
y
g
x
g
z
G
y
G
x
G
z
G
znG
Gn
0,,,δηλαδή yxgzzyxG
dxdyy
g
x
gdsds
22
1έχουμεεμβαδόςστοιχειώδετοΈτσι
όπου,1ˆˆIκαι
22
dxdy
y
g
x
gnfdsnf
SS
.περιοχήσυνεκτικήεοποιαδήποτμίαεπίπεδοστοτηςπροβολήη xyS
![Page 34: Shmeiwseis Tsetserh](https://reader038.vdocuments.net/reader038/viewer/2022102503/563db8b7550346aa9a964754/html5/thumbnails/34.jpg)
ΕΠΙΦΑΝΕΙΑΚΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ: ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 34
Άρα.226,,3
ˆˆ2ˆ2ˆΕίναι yxyxg
zyxn
.0,0,0με622
επιπέδουτουτμήμαστοπάνωτηςολοκλήρωμαόεπιφανειακτο
Υπολογίστε.ˆˆˆσυνάρτησηκήδιανυσματιηΔίνεται 2
zyxzyx
f
zzxyxxxyf
dxdyy
g
x
gnfdsnf
SS
22
1ˆˆΙέχουμεΕπομένως
,31,3
22ˆ
222
y
g
x
gzxxxynf
.622,0,0ευθείεςτιςαπόορίζεταιπου
τρίγωνοστοιπροβάλλετατρίγωνοΤο
yxyx
AOBABC
y
z
x
O
A
B
C
3
0
223
0
3
0
2 313262622 dxxxxxxdxdyyxxxyx
.427
.226όπου yxz
![Page 35: Shmeiwseis Tsetserh](https://reader038.vdocuments.net/reader038/viewer/2022102503/563db8b7550346aa9a964754/html5/thumbnails/35.jpg)
ΑΠΟΚΛΙΣΗ – ΣΤΡΟΒΙΛΙΣΜΟΣ
.κλίσητηνβρούμεναγιαήσαμεχρησιμοποιτονκαι f
:τηνμετουγινόμενακάδιανυσματιταορίσουμεναΜπορούμε F
1.div:τηςΑπόκλισηz
F
y
F
x
FFFF zyx
zz
yy
xx
ˆˆˆτελεστήκόδιανυσματιτονορίσειΈχουμε
2.ˆˆˆ
ˆˆˆ
F
y
F
x
Fz
z
F
x
Fy
z
F
y
Fx
FFF
zyx
zyx
xyxzyz
zyx
ού.στροβιλισμ του)( curl τελεστήκόδιανυσματι ορίζει τον (2) H
35
zzyxFyzyxFxzyxFzyxF zyxˆ,,ˆ,,ˆ,,,,πεδίοκόδιανυσματιΈστω
μεcurlrot:τηςόςΣτροβιλισμ FFFF
![Page 36: Shmeiwseis Tsetserh](https://reader038.vdocuments.net/reader038/viewer/2022102503/563db8b7550346aa9a964754/html5/thumbnails/36.jpg)
ΣΦΑΙΡΙΚΕΣ – ΚΥΛΙΝΔΡΙΚΕΣ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ 36
2/πθπ/2 π,2φ0
cossinsinsincos
θrθ, zφrθ, yφrx
νες:συντεταγμέΣφαιρικές
r y
z
x
θ
φ.επίπεδοστοπροβολήςτηςμέτροτοπ,20
sincos
xyρφ
zφ, zρφ,yρxνες:συντεταγμέςΚυλινδρικέ
ρ
z
νες;συντεταγμέσφαιρικέςσετελεστήςοορίζεταιΠως
rφ
.ˆ,ˆ,ˆτωνμήκοςκατά,,
ιςμετατοπίσετιςβρούμεναΠρέπει
φrdldldl φr
.sin,,:Άρα dφrdlrddldrdl φr
rdfdφφ
fd
fdr
r
fdf
Επειδή
φrφ
rrrdlφdldlrrd φr
sinˆˆˆότιˆˆˆγιαπροκύπτει
![Page 37: Shmeiwseis Tsetserh](https://reader038.vdocuments.net/reader038/viewer/2022102503/563db8b7550346aa9a964754/html5/thumbnails/37.jpg)
ΣΦΑΙΡΙΚΕΣ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ – ΣΤΕΡΕΑ ΓΩΝΙΑ 37
.sin
ˆˆˆφr
fφ
r
f
r
frf
βρίσκουμεˆˆˆΓια φr FφFFrF
,
sin
sin
12
2
φ
FF
rrr
FrF
φr
φθr FrrFF
φθr
φrθrr
rF
sin
ˆsinˆˆ
sin
12
,sinόγκονδημιουργούˆ,ˆ,ˆιςμετατοπίσεΟι 2 dφdrdrdVdlφdldlr φr
VVV
dφdrdrφrffdxdydzfdV sin,,:σφαιρικέςσε
νεςσυντεταγμέςκαρτεσιανέαπόολοκλήρωμασεαλλαγήεπιτρέπειπου
2
γωνίαστερεάστοιχειώδητηνορίζειsinποσότηταΗ dφdd
.sinείναιγωνίαστερεάηπεπερασμένγιαενώ2
1
2
1
2
1
2
1
φ
φ
φ
φdφdd
.steradians:μονάδες4είναισφαίραςγωνίαστερεάολικήΗ
![Page 38: Shmeiwseis Tsetserh](https://reader038.vdocuments.net/reader038/viewer/2022102503/563db8b7550346aa9a964754/html5/thumbnails/38.jpg)
ΚΥΛΙΝΔΡΙΚΕΣ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ 38
.ˆˆˆz
fz
r
f
r
frf
βρίσκουμεˆˆˆΓια φr FφFFrF
,
z
F
r
F
rr
rFF zr
.
ˆˆˆ
zθr FrFFzθr
rzθrr
F
,όγκονδημιουργούˆ,ˆ,ˆιςμετατοπίσεΟι dzrdrddVdlzdldlr zr
.,,:ςκυλινδρικέσε
νεςσυντεταγμέςκαρτεσιανέαπόολοκλήρωμασεαλλαγήεπιτρέπειπου
VVV
dzrdrdzrffdxdydzfdV
καιˆˆˆˆˆˆτώραΕίναι dzzrddrrdlzdldlrrd zr
![Page 39: Shmeiwseis Tsetserh](https://reader038.vdocuments.net/reader038/viewer/2022102503/563db8b7550346aa9a964754/html5/thumbnails/39.jpg)
.
sin
sin
1ότιΕίδαμε
2
2
φ
vv
rrr
vr
z
v
y
v
x
vv
φrzyx
έχουμεˆˆˆˆΓια:1Παράδειγμα rrzzyyxxv
.0100
βρίσκουμε
1,0,0ˆΓια:2 Παράδειγμα
zyxv
zv
.1είναι,0,0ˆΓια:3Παράδειγμα
z
zvzzzv
39 ΑΠΟΚΛΙΣΗ: ΣΩΛΗΝΟΕΙΔΗ - ΑΠΟΚΛΙΝΟΝΤΑ ΠΕΔΙΑ
.3
2
2
rr
rr
z
z
y
y
x
xv
καταβόθρα.ή
πηγή,υπάρχειΔεν
κέντρο.στοτουπηγή""Υπάρχει v
.πεδίο0στοπηγήΥπάρχει αποκλίνονz
παντού.0ότανπεδίοκαλείταιπεδίοΈνα vv
ςσωληνοειδέ
![Page 40: Shmeiwseis Tsetserh](https://reader038.vdocuments.net/reader038/viewer/2022102503/563db8b7550346aa9a964754/html5/thumbnails/40.jpg)
:πεδίοκόδιανυσματιεοποιοδήποτγια
ισοδύναμεςείναιπροτάσειςπαρακάτωΟι
F
40 ΣΩΛΗΝΟΕΙΔΗ ΠΕΔΙΑ: ΘΕΩΡΗΜΑ
.ςσωληνοειδέείναιπεδίοτοδηλαδήπαντού0)1 F
τους.μεταξύίσαείναισύνοροκοινόμεεπιφάνειες
σεπάνωταολοκληρώμαάεπιφανειακταΌλα)2
CS
adFS
.επιφάνειακλειστήεοποιαδήποτγια0)3 SadFS
.ώστετέτοιοπεδίοΥπάρχει)4 AFA
![Page 41: Shmeiwseis Tsetserh](https://reader038.vdocuments.net/reader038/viewer/2022102503/563db8b7550346aa9a964754/html5/thumbnails/41.jpg)
.ˆ2ˆ
0
ˆˆˆ
βρίσκουμε0,,Για:1Παράδειγμα
zy
y
x
xz
xy
zyx
zyx
v
xyv
.ˆˆ
00
ˆˆˆ
βρίσκουμε0,,0Για:2Παράδειγμα
zx
xz
x
zyx
zyx
v
xv
41 ΣΤΡΟΒΙΛΙΣΜΟΣ: ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ
y
x
y
x
![Page 42: Shmeiwseis Tsetserh](https://reader038.vdocuments.net/reader038/viewer/2022102503/563db8b7550346aa9a964754/html5/thumbnails/42.jpg)
:πεδίοκόδιανυσματιεοποιοδήποτγια
ισοδύναμεςείναιπροτάσειςπαρακάτωΟι
F
42 ΑΣΤΡΟΒΙΛΑ ΠΕΔΙΑ: ΘΕΩΡΗΜΑ
.αστρόβιλοείναιπεδίοτοδηλαδήπαντού0)1 F
τους.μεταξύίσαείναικαιθέσεωνακραίωνκοινών
δύομεταξύταολοκληρώμααεπικαμπύλιταΌλα)2
ba
ldFC
.διαδρομήκλειστήεοποιαδήποτγια0)3 CldFC
.ώστετέτοιοπεδίοβαθμωτόΥπάρχει)4 φFφ
rFrF ˆνεςσυντεταγμέσφαιρικέςσεείναιπεδίοκεντρικόεοποιοδήποτΓια
0.
sin
ˆsinˆˆ
sin
1άρακαι
2
φθr FrrFF
φθr
φrθrr
rF
πεδίο.έναείναι
0μετοότιΛέμε
αστρόβιλο
FF
![Page 43: Shmeiwseis Tsetserh](https://reader038.vdocuments.net/reader038/viewer/2022102503/563db8b7550346aa9a964754/html5/thumbnails/43.jpg)
43 ΓΙΝΟΜΕΝΑ ΠΑΡΑΓΩΓΩΝ – ΛΑΠΛΑΣΙΑΝΗ
:σχέσειςοιδειχτούνναμπορούνκαι,τωνορισμούςτουςβάσηΜε FFf
AAAix
fviii
Avii
BAABBAABBAvi
fAAfAfv
BAABBAiv
ABBAABBABAiii
AfAfAfii
fggffgi
2)
0)
0)
)
)
)
)
)
)
.0ˆˆˆ
ˆˆˆ
Π.χ.,22
zyyz
V
zy
Vx
zVyVxV
zyx
zyx
V
![Page 44: Shmeiwseis Tsetserh](https://reader038.vdocuments.net/reader038/viewer/2022102503/563db8b7550346aa9a964754/html5/thumbnails/44.jpg)
44 ΓΙΝΟΜΕΝΑ ΠΑΡΑΓΩΓΩΝ – ΛΑΠΛΑΣΙΑΝΗ
:σχέσειςοιδειχτούνναμπορούνκαι,τωνορισμούςτουςβάσηΜε FFf
AAAix
fviii
Avii
BAABBAABBAvi
fAAfAfv
BAABBAiv
ABBAABBABAiii
AfAfAfii
fggffgi
2)
0)
0)
)
)
)
)
)
)
Laplace,τουτελεστήςοείναι)σχέσηΣτη2
2
2
2
2
22
zyxix
.τηςΛαπλασιανήηείναι2
2
2
2
2
22 f
z
f
y
f
x
ff
![Page 45: Shmeiwseis Tsetserh](https://reader038.vdocuments.net/reader038/viewer/2022102503/563db8b7550346aa9a964754/html5/thumbnails/45.jpg)
ΑΠΟΚΛΙΣΗ: ΦΥΣΙΚΗ ΕΡΜΗΝΕΙΑ .όγκοπερικλείειπουεπιφάνειακλειστήμίαυπάρχεισημείοαπόΓύρω VSr
45
1.1
lim
ότιδείξουμεΘα
0
SV
sdFV
F
6
1
ˆΤότεi S
i
S i
dsnFsdFy
xz
2
1
00
S
xx
S
x zyx
FxFzyF DD
DDD
4
3
00
S
y
y
S
y zxy
FyFzxF DD
DDD
.
6
5
00
DDD
DDD
z
F
y
F
x
FVxy
z
FzFxyF zyx
S
zz
S
z
1S 2S
3S
4S
5S
6S
.,,είναικορυφήμίαστη
ότικαι,,ακμέςμείπεδοπαραλληλεπ
ορθογώνιοείναιόγκοςοότιυποθέσουμεΑς
0000 FzyxFF
zyx
DDD
x
FxFnFSFnFS x
xx
D 0
022011ˆείναιστηνενώ,ˆείναιέδραΣτην
.,,,τιςγιαΟμοίως 6543 SSSS
![Page 46: Shmeiwseis Tsetserh](https://reader038.vdocuments.net/reader038/viewer/2022102503/563db8b7550346aa9a964754/html5/thumbnails/46.jpg)
ΑΠΟΚΛΙΣΗ: ΦΥΣΙΚΗ ΕΡΜΗΝΕΙΑ .όγκομεεπιφάνειακλειστήμίαυπάρχεισημείοαπόΓύρω VSr
46
1.1
limΙσχύει0
SVsdF
VF
ρευστού.ταχύτηταςπεδίοτοείναιότιτώραΈστω F
.όγκοστονρευστούτουόδουεισόδου/εξρυθμόςοκαιάρα,τηναπό
χρόνουμονάδαανάπερνάειπουρευστούτουποσότηταηείναιΤότε
VS
sdvS
ών.πηγών/χοανπαρουσίατηνδείχνειόντωςαπόκλισηηΕπομένως v
ΣΤΡΟΒΙΛΙΣΜΟΣ: ΦΥΣΙΚΗ ΕΡΜΗΝΕΙΑ
.επιφάνειαμεεπιφάνειαδημιουργείπου
καμπύληκλειστήμίαυπάρχεισημείοαπόΓύρω
S
Cr
2.1
limότιδείξουμεΜπορούμε0
CSldv
Sv
τοπικά.ταιπεριστρέφεπεδίοτοανδείχνειόντωςόςστροβιλισμοΆρα v
![Page 47: Shmeiwseis Tsetserh](https://reader038.vdocuments.net/reader038/viewer/2022102503/563db8b7550346aa9a964754/html5/thumbnails/47.jpg)
ΘΕΜΕΛΙΩΔΗ ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΓΙΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ
1.:ολοκλήρωμαΣύνηθες afbfdxxfb
a
47
.κλίσηςτηςΘεώρημα2.
:καιθέσεωνμεταξύδιαδρομήεοποιαδήποτσεολοκλήρωμαοΕπικαμπύλι
afbfldrf
ba
b
a
StokesτουήούστροβιλισμτουΘεώρημα3.ˆ
:σύνορομεεπιφάνειασεΟλοκλήρωμα
CS
ldFdsnF
CS
GaussτουήαπόκλισηςτηςΘεώρημα4.ˆ
:επιφάνειακλειστήσύνορομεόγκοσεΟλοκλήρωμα
SSΩ
dsnFsdFdVF
SΩ
2.1
limσχέσητηναπόπροκύπτειStokesθεώρημαΤο0
CSldv
Sv
.0,όριοτοπάρουμεκαιόγκοτονφτιάχνουνπου
όγκουςσε1
limσχέσητηεεφαρμόσουμανπροκύπτει4H0
DD
ii
SV
VnV
nsdFV
F
![Page 48: Shmeiwseis Tsetserh](https://reader038.vdocuments.net/reader038/viewer/2022102503/563db8b7550346aa9a964754/html5/thumbnails/48.jpg)
.θέσησεηρεμείφορτίοσημειακόότιΈστω rq
:Coulombτουνόμοτοαπόδίνεταιπουδύναμηθέσηστηνβρίσκεταιπου
φορτίοόδοκιμαστικσημειακόάλλοσεασκείπηγή""ηφορτίοΤο
r
.mN
C1085,8καιόπου1,ˆ
4
12
212
02
0
rrww
w
qQF
κενού.τουτηταεπιδεκτικόήσταθεράήδιηλεκτρικηείναι0
48 ΗΛΕΚΤΡΟΣΤΑΤΙΚΗ – ΝΟΜΟΣ ΤΟΥ COULOMB
O
Q
r
q
r w
.μονάδωνσύστημαSIστοCoulombδύναμητηδίνει1σχέσηΗ
.ˆείναιGaussτουμονάδωνσύστημαλεγόμενοΣτο2
ww
qQF
.SIμονάδωνσύστηματοηθείχρησιμοποιθααυτόμάθημαΣτο
.δύναμηαπωστικήˆˆτότε0Αν wFqQ
.δύναμηελκτικήˆˆτότε0Αν wFqQ
![Page 49: Shmeiwseis Tsetserh](https://reader038.vdocuments.net/reader038/viewer/2022102503/563db8b7550346aa9a964754/html5/thumbnails/49.jpg)
.,4
ˆ:θέσηστηφορτίοσημειακόαπόπεδίοΗλεκτρικό
2
0
rrww
wqrErq
.rrwww
qrE
rq
ii
i
i
i
i
ii
όπου,ˆ4
1
:θέσειςστιςφορτίασημειακάαπόπεδίοΗλεκτρικό
2
0
:τωνκατανομήςσυλλογήςτης
λόγωθέσηστηπεδίοηλεκτρικόαπλάή
πεδίουηλεκτρικούτουέντασηςτηςΟρισμός
iq
rE
E
49 ΑΡΧΗ ΤΗΣ ΕΠΑΛΛΗΛΙΑΣ – ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΠΕΔΙΟ
:δυνάμεωνεπιμέρουςτωνάθροισματομείσηείναιπουφορτίοόδοκιμαστικ
σεδύναμησυνολικήασκείπηγώνφορτίωνσυλλογή:ΕπαλληλίαςτηςΑρχή
.όπου,ˆ4 2
0
ii
i
i
i
i rrwww
qQFF
Q
1q2q
3q
4q
r
O4r
3r
1r 2r
1F
2F
3F
4F
.limσωστάπιοή,0 Q
FE
Q
rFrE
Q
![Page 50: Shmeiwseis Tsetserh](https://reader038.vdocuments.net/reader038/viewer/2022102503/563db8b7550346aa9a964754/html5/thumbnails/50.jpg)
.προςωςόγκουολοκλήρωμαέναδηλαδή,ˆ4
1είναι
πυκνότηταμεχώρουτουόγκοσεφορτίουκατανομήαπόπεδίοΤο
2
0
rdww
rrE
rV
V
50 ΑΡΧΗ ΤΗΣ ΕΠΑΛΛΗΛΙΑΣ – ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΠΕΔΙΟ
.limσωστάπιοή,πεδίοΗλεκτρικό0 Q
FE
Q
rFrE
Q
:φορτίουκατανομέςσυνεχείςαπόπεδίοτογιαέχουμετότε,Εάν rrw
.προςωςολοκλήρωμαόεπιφανειακέναδηλαδή,ˆ4
1
είναιπυκνότηταήεπιφανειακμεεπιφάνειασεφορτίουκατανομήΓια
2
0
radww
rrE
rS
S
.προςωςολοκλήρωμαοεπικαμπύλιέναδηλαδή,ˆ4
1
είναιπυκνότηταγραμμικήμεκαμπύλησεφορτίουκατανομήΓια
2
0
rldww
rrE
rC
C
παραπάνω.τωνσυνδυασμόκαιέχουμεναμπορείΠροφανώς
![Page 51: Shmeiwseis Tsetserh](https://reader038.vdocuments.net/reader038/viewer/2022102503/563db8b7550346aa9a964754/html5/thumbnails/51.jpg)
μέσο.τοαπόπάνωαπόστασησεπεδίοηλεκτρικότοΒρείτε.φορτίου
πυκνότηταγραμμικήομοιόμορφηφέρει2μήκουςτμήμαΕυθύγραμμο
y
L
:ΛΥΣΗ
.θέσειςστιςπλάτουςδιαστήματαστοιχειώδη
τααπόστοςσυνεισφορέοικαιΈστω 21
xdx
EEE
51 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ: ΠΕΔΙΟ ΑΠΟ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΟ ΤΜΗΜΑ
y
x
y
L L
2E
1E
xx
.ˆάρακαιείναισυμμετρίαςΛόγω 21 yEEEE xx
.,0σημείοσεπεδίοηλεκτρικότοουμεπροσδιορίσΘα yE
τότεΕίναι.4Θέτουμε 0C
.
2Άρα.cosκαιόπου,
cos
0 2322
22
2
LL
L xy
CydxE
w
yyxw
w
dxCE
.22
tan1
tan2sin
2
2222
0
20
2
2
Lyy
CL
yLy
yL
y
C
y
C
y
C
2
1 0
3323232322
2
cos2Επομένως.costan1
,cosέχωtanμεταβλητήςαλλαγήΜε
dyCEyyxy
yddxyx
![Page 52: Shmeiwseis Tsetserh](https://reader038.vdocuments.net/reader038/viewer/2022102503/563db8b7550346aa9a964754/html5/thumbnails/52.jpg)
μέσο.τοαπόπάνωαπόστασησεπεδίοηλεκτρικότοΒρείτε.φορτίου
πυκνότηταγραμμικήομοιόμορφηφέρει2μήκουςτμήμαΕυθύγραμμο
y
L
:ΛΥΣΗ
.θέσειςστιςπλάτουςδιαστήματαστοιχειώδη
τααπόστοςσυνεισφορέοικαιΈστω 21
xdx
EEE
52 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ: ΠΕΔΙΟ ΑΠΟ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΟ ΤΜΗΜΑ
y
x
y
L L
2E
1E
xx
.ˆάρακαιείναισυμμετρίαςΛόγω 21 yEEEE xx
.,0σημείοσεπεδίοηλεκτρικότοουμεπροσδιορίσΘα yE
.4Θέτουμε 0C
Επομένως.cosκαιόπου,cos
τότεΕίναι 22
2 w
yyxw
w
dxCE
L
L
.με,
1
222
22220 2322 y
Lh
hy
CL
Lyy
CL
xy
ydxCE
L
.γιατί;λογικό,4
2
2
11
2βρίσκουμε0Για
2
0
2
2 y
Lh
y
CLEhLy
.2βρίσκουμεΓια yCELLy
![Page 53: Shmeiwseis Tsetserh](https://reader038.vdocuments.net/reader038/viewer/2022102503/563db8b7550346aa9a964754/html5/thumbnails/53.jpg)
άκρο.ένααπόπάνωαπόστασησεπεδίοτοΒρείτε.φορτίου
πυκνότηταγραμμικήομοιόμορφηφέρειμήκουςτμήμαΕυθύγραμμο
yE
L
:ΛΥΣΗ
53 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ: ΠΕΔΙΟ ΑΠΟ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΟ ΤΜΗΜΑ
y
x
y
L
Ed
x
:βρήκαμεπουτοςαποτελέσματουήμισυτοσυνιστώσα
τηνγιαήσουμεχρησιμοποιναμπορούμεΠροφανώς
y
:4θέτουμεέχουμεσυνιστώσατηνΓια 0 Cx
.
44
1
22
0
0 23220 Lyy
L
xy
ydxE
L
y
Πως;.,0διάστημαστοσύρματος
υφορτισμένοομοιόμορφαλόγωπεδίοτο,θέσητυχούσασε
βρούμεναμπορούμετααποτελέσμαπαραπάνωταώνταςΧρησιμοποι
L
Eyx
22230 23220 2
22
2
22
2
sin
Ly
C
y
C
h
dhC
yx
xdxC
w
dxCE
Ly
y
yxhLL
x
.φορτίοσημειακόγιαεπεριμένουμόπως,,0τότεΑν2
Ly
CLEELy yx
![Page 54: Shmeiwseis Tsetserh](https://reader038.vdocuments.net/reader038/viewer/2022102503/563db8b7550346aa9a964754/html5/thumbnails/54.jpg)
ΣΦΑΙΡΙΚΕΣ – ΚΥΛΙΝΔΡΙΚΕΣ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ 54
2/πθπ/2 π,2φ0
cossinsinsincos
θrθ, zφrθ, yφrx
νες:συντεταγμέΣφαιρικές
r y
z
x
θ
φρ
z
νες;συντεταγμέσφαιρικέςσετελεστήςοορίζεταιΠως
rφ
.ˆ,ˆ,ˆτωνμήκοςκατά,,
ιςμετατοπίσετιςβρούμεναΠρέπει
φrdldldl φr
.sin,,:Είναι dφrdlrddldrdl φr
.sinόγκονδημιουργούˆ,ˆ,ˆιςμετατοπίσεΟι 2 dφdrdrddlφdldlr φr
![Page 55: Shmeiwseis Tsetserh](https://reader038.vdocuments.net/reader038/viewer/2022102503/563db8b7550346aa9a964754/html5/thumbnails/55.jpg)
σφαίρας.τηςκέντροτοαπόαπόστασησεπεδίοτοΒρείτε.φορτίου
πυκνότηταήεπιφανειακομοιόμορφηφέρειακτίναςφλοιόςΣφαιρικός
RrE
R
:ΛΥΣΗ
55 ΠΕΔΙΟ ΑΠΟ ΦΟΡΤΙΣΜΕΝO ΣΦΑΙΡΙΚΟ ΦΛΟΙΟ
x
y
zq
R
w
r
.ˆείναιθαστοδηλαδήακτινικό,είναι
θαπεδίοτοσυμμετρίαςσφαιρικήςΛόγω
rEEq
συνιστώσαηκαιˆ4
1είναι
στοεπιφάνειαςυςστοιχειώδοσυνεισφοράΗ
2
0
zadww
rEd
Ead
.sinενώ,cos
4
14
2
0
0 dφRRdadw
addEz
ad
.sinάρα,cos2ακόμηΕίναι 222 drRwdwrRrRw
.cos2έχουμεΕπίσης 222 rwrwR
![Page 56: Shmeiwseis Tsetserh](https://reader038.vdocuments.net/reader038/viewer/2022102503/563db8b7550346aa9a964754/html5/thumbnails/56.jpg)
σφαίρας.τηςκέντροτοαπόαπόστασησεπεδίοτοΒρείτε.φορτίου
πυκνότηταήεπιφανειακομοιόμορφηφέρειακτίναςφλοιόςΣφαιρικός
RrE
R
56 ΠΕΔΙΟ ΑΠΟ ΦΟΡΤΙΣΜΕΝO ΣΦΑΙΡΙΚΟ ΦΛΟΙΟ
x
y
zq
R
w
r
,sin,4
cos,ˆΕίναι
2
0
dφRRdadw
addErEE z
ad
.cos2
,sin,cos2
222
222
rwrwR
drRwdwrRrRw
,4
142
1
4
22
0
4
2
22
2
0
222
2
0
22
1 r
Qdw
w
Rr
r
R
rR
wdw
rw
Rrw
w
R
R
Rr
Rr
Rrw
Rrw
:Άρα
σφαίρας.τηςκέντροστοφορτίοσημειακόαπόαυτόμείδιοείναι
πεδίοτοΔηλαδή,σφαίρας.τηςφορτίοολικότοείναι4όπου 2
Q
πRQ
w
φ
dq
rw
RrwdφdR
wE
2
0 0
cos
2222
2
0
2
1 2sin
4
1
![Page 57: Shmeiwseis Tsetserh](https://reader038.vdocuments.net/reader038/viewer/2022102503/563db8b7550346aa9a964754/html5/thumbnails/57.jpg)
σφαίρας.τηςκέντροτοαπόαπόστασησεπεδίοτοΒρείτε.φορτίου
πυκνότηταήεπιφανειακομοιόμορφηφέρειακτίναςφλοιόςΣφαιρικός
RrE
R
57 ΠΕΔΙΟ ΣΤΟ ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΣΦΑΙΡΙΚΟΥ ΦΛΟΙΟΥ
x
y
zq
R
w
r
.καιείναιτογιαόριατα
τώραπουμόνο,γιααυτήνμείδιαείναιλύσηΗ
21 rRwrRww
Rr
ad
.cos2,sin
,cos2:πάλιΕίναι
222
222
rwrwRdrRwdw
rRrRw
.0142
1
4
2
2222
2
12
22
2
0
222
2
0
2
rR
Rr
rR
RrrRRr
rR
rR
rRw
rRwdw
w
Rr
r
R
rR
wdw
rw
Rrw
w
R
:Άρα
w
φ
dq
rw
RrwdφdR
wE
2
0 0
cos
2222
2
0
2
1 2sin
4
1
φλοιού.σφαιρικούυφορτισμένοομοιόμορφαεσωτερικόστοπαντού0E
![Page 58: Shmeiwseis Tsetserh](https://reader038.vdocuments.net/reader038/viewer/2022102503/563db8b7550346aa9a964754/html5/thumbnails/58.jpg)
:ΛΥΣΗ
58 ΠΕΔΙΟ ΑΠΟ ΦΟΡΤΙΣΜΕΝΗ ΣΦΑΙΡΑ
x
y
zq
r
w
r
.προςωςκαιολοκλήρωσηέχουμεκαι
sinόγκουςιςστοιχειώδεσε
υμεολοκληρώνοτώραπουμόνοφλοιού,σφαιρικού
τουπρόβλημαστοόπωςβήματαίδιαταέχειλύσηΗ
2
r
dφdrdrd
:βρίσκουμεκαιˆπάλιείναιθα,συμμετρίαςΛόγω rEE
1,432
sin4
12
0
2
0
32
0 0 0
222
2
2
0 r
Q
r
R
rw
rrw
wrrdddφE
R
σφαίρας.τηςκέντροτοαπόαπόστασησεπεδίοτοΒρείτε
.φορτίουπυκνότηταομοιόμορφηφέρειακτίναςσφαίραΣυμπαγής
RrE
R
d
σφαίρας.τηςκέντροστοφορτίοσημειακόαπόαυτόμείδιοείναι
πεδίοτοΔηλαδή,σφαίρας.τηςφορτίοολικότοείναι34όπου 3
Q
πRQ
.4μεακτινικήγιακαιισχύειπου,1ηπροκύπτει
4ςσυνεισφορέτιςνταςΟλοκληρώνo.4
φορτίομεκαιπάχουςφλοιούςσεσφαίρατηκόψουμεανπροκύπτει1H
0
2
2
0
2
r
drrrQr
rdQdErdrdQ
rd
![Page 59: Shmeiwseis Tsetserh](https://reader038.vdocuments.net/reader038/viewer/2022102503/563db8b7550346aa9a964754/html5/thumbnails/59.jpg)
:ΛΥΣΗ
59 ΠΕΔΙΟ ΣΤΟ ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΦΟΡΤΙΣΜΕΝΗΣ ΣΦΑΙΡΑΣ
:μέρηδύοσεσφαίρα τηνσπάσουμεναΜπορούμε
του.εσωτερικόστοπεδίοστο
ισυνεισφέρεδενφλοιόςοπαραπάνω,ταβάσηΜε Φ
,4
,ˆπεδίοδημιουργείσφαίραΗ2
0r
rQrErrErEΣ Σ
σφαίρας.τηςκέντροτοαπόαπόστασησεπεδίοτοΒρείτε
.φορτίουπυκνότηταακτινικήφέρειακτίναςσφαίραΣυμπαγής
RrE
rR
.σφαίραςτηςφορτίοολικότοείναι4όπου0
2 ΣrdrrrQr
Σ
x
y
z
q
r
w
r
d .πάχουςφλοιόσφαιρικό
ένακαιακτίναςσφαίραμία
rRΦ
rΣ
βρίσκουμεπυκνότητα
σταθερήγια,παράδειγμαΓια
r
.για,33
4
4
1
για,33
4
4
1
2
0
33
2
0
0
3
2
0
Rrr
RR
r
Rrrr
rrE
![Page 60: Shmeiwseis Tsetserh](https://reader038.vdocuments.net/reader038/viewer/2022102503/563db8b7550346aa9a964754/html5/thumbnails/60.jpg)
60 ΔΥΝΑΜΙΚΕΣ ΓΡΑΜΜΕΣ
linesfieldγραμμέςπεδιακέςήδυναμικέςλεγόμενεςτιςμεζωγραφίζου
,διανύσματαμεμονωμέναμεζωγραφίζουναΑντί E
φορτίων.σημειακώνζευγάρια
γιακαιφορτίοσημειακόγια
σχήματασταφαίνεταιόπως
.τουανάλογηείναιγραμμών
δυναμικώντωνπυκνότηταΗ
E
άπειρο.τοήφορτίασε
καταλήγουνκαιξεκινάνε
γραμμέςδυναμικέςΟι
![Page 61: Shmeiwseis Tsetserh](https://reader038.vdocuments.net/reader038/viewer/2022102503/563db8b7550346aa9a964754/html5/thumbnails/61.jpg)
S
ολοκλήρωμαόεπιφανειακτοεπιφάνειαγιαΚαλούμε S
S
Ε adEΦ
έχουμεΤότε.ακτίναςσφαίραμία
επιφάνειατηνεπιλέγουμεαξόνωντων
αρχήστηνφορτίοσημειακόΓια
rS
q
.4
ˆsinˆ4
1
0
4
0
2
2
0
qd
qrdφdrr
r
qadE
SSS
61 ΡΟΗ ΗΛΕΚΤΡΙΚΟΥ ΠΕΔΙΟΥ – ΝΟΜΟΣ ΤΟΥ GAUSS
E
E
E
E
E
.τηναπόμέσαπεδίουτουροή SE
z
y
x S
rEE ˆ
1S
2S
O
σφαίρα.
απόήδιαφορετικεπιφάνειαγιακαι
ισχύειαποτέλεσμαίδιοΤο0
q
γωνία.στερεάίδιαστην
ύναντιστοιχοκαιοιΠ.χ., 21 SS
![Page 62: Shmeiwseis Tsetserh](https://reader038.vdocuments.net/reader038/viewer/2022102503/563db8b7550346aa9a964754/html5/thumbnails/62.jpg)
ωςιγενικεύεταφορτίοσημειακόαπόγύρωεπιφάνειακλειστή
απόμέσαπεδίουηλεκτρικούροήτηνγια1σχέσηΗ0
qS
qadE
S
όπου2,:φορτίωνσυλλογήδιακριτήγια01
QadEadEq
N
iS
iS
i
.καιφορτίαταόλαπερικλείειπουεπιφάνειακλειστήείναι1
N
i
ii qQqS
62 ΡΟΗ ΗΛΕΚΤΡΙΚΟΥ ΠΕΔΙΟΥ – ΝΟΜΟΣ ΤΟΥ GAUSS
έχουμεπυκνότηταμεφορτίωνκατανομήσυνεχήγιαΟμοίως, r
.τηναπόαιπερικλείετπουόγκοςοόπου3,1
00
SVdrQ
V
,τουεκφράσειςόλεςείναι3και2,1σχέσειςΟι Gaussτουνόμου
.τουεκφράσειςκέςολοκληρωτινα,συγκεκριμέ Gaussτουνόμου
![Page 63: Shmeiwseis Tsetserh](https://reader038.vdocuments.net/reader038/viewer/2022102503/563db8b7550346aa9a964754/html5/thumbnails/63.jpg)
βρίσκουμεαπόκλισηςτης
θεώρηματοαςΕφαρμόζοντ
βρίσκουμεόγκοκάθεγιαισχύει4σχέσηηΕπειδή V
63 ΝΟΜΟΣ ΤΟΥ GAUSS: ΔΙΑΦΟΡΙΚΗ ΜΟΡΦΗ
4.1
00
VVS
drQ
dEadE
5.
0
rE
.τουέκφρασηδιαφορικήηείναι5σχέσηΗ Gaussτουνόμου
.ˆμορφήςτηςπεδίοηλεκτρικό
έναδημιουργείπουφορτίουκατανομήτηνΒρείτε:Παράδειγμα
rrrfE
r
όπου,βρίσκουμε5σχέσητηΑπό 0 Er
.μεˆˆˆ 222 zyxrzzyyxxrfzyx
E
.:,,γιαόμωςΕίναι2
fr
x
dr
dff
x
r
dr
dfxf
x
fx
x
xrfzyxx i
i
i
i
i
i
ii
.33:Επομένως 0
222
0
f
dr
dfrf
r
zyx
dr
dfrr
![Page 64: Shmeiwseis Tsetserh](https://reader038.vdocuments.net/reader038/viewer/2022102503/563db8b7550346aa9a964754/html5/thumbnails/64.jpg)
.φορτίουσυνολικούκαιακτίνας
σφαίραςςφορτισμένηομοιόμορφαμιαςεξωτερικόστοπεδίοτοΒρείτε
QR
:ΛΥΣΗ
.ακτίναςσφαίρασε
GaussτουνόμοτονεεφαρμόσουμΘα
RrS
.ˆακτινικόείναιπεδίοηλεκτρικότοΠροφανώς rEE
βρίσκουμεGaussνόμοτοΑπό
σφαίρας.τηςκέντροστοσημειακόωςβρισκόταν
ανσφαίραςτηςφορτίοτοσεδημιουργούθα
πουπεδίοτομείδιοείναισφαίραςςφορτισμένη
τηςεξωτερικόστοπεδίοηλεκτρικότοΔηλαδή
Q
64 ΝΟΜΟΣ ΤΟΥ GAUSS: ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ
.ˆ4
42
00
2
0
rr
QE
QrE
QadE
S
![Page 65: Shmeiwseis Tsetserh](https://reader038.vdocuments.net/reader038/viewer/2022102503/563db8b7550346aa9a964754/html5/thumbnails/65.jpg)
πεδίο.τουηλεκτρικότοΒρείτε.πυκνότητας
φορτίοόεπιφανειακομοιόμορφοέναφέρειεπίπεδοάπειροΈνα
:ΛΥΣΗ
επιπέδου.τουεκατέρωθεναυτόαπόμακριάδείχνεικαι
επίπεδοστοκάθετοείναιπουδιάνυσμαμοναδιαίοτοˆΈστω n
Γιατί;.ˆισχύεισυμμετρίαςλόγουςΓια nEE
65 ΝΟΜΟΣ ΤΟΥ GAUSS: ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ
z
y
x
O
PzP ,0,0
σχήμα.στοόπωςάξονεςεπιλέγουμε
επίπεδοτοαπόπάνωσημείοτυχαίοΓια
xyz
P
.σημείοστοπεδίοστοκαιςσυνεισφορέδίνουν
πουεπίπεδοστοπάνω,και,θέσειςτυχαίες
σεεμβαδούιατετραγωνάκστοιχειώδηεπίσηςΈστω
21 PEdEd
yxyx
dxdy
.ˆκατεύθυνσηστηνδείχνειθασημείοστοολικότοκαι
τελικάκαιτοάρα,,,είναιθαΠροφανώς 212211
nPE
EdEddEdEdEdE yxyx
Γιατί;.,,σημείαταόλαγια
ίδιαείναιέντασηηάπειρο,είναιεπίπεδοτοΕπειδή
Pzyx
E
![Page 66: Shmeiwseis Tsetserh](https://reader038.vdocuments.net/reader038/viewer/2022102503/563db8b7550346aa9a964754/html5/thumbnails/66.jpg)
n
E
πεδίο.τουηλεκτρικότοΒρείτε.πυκνότητας
φορτίοόεπιφανειακομοιόμορφοέναφέρειεπίπεδοάπειροΈνα
:ΛΥΣΗ
επιπέδου.τουεκατέρωθεναυτόαπόμακριάδείχνεικαι
επίπεδοστοκάθετοείναιπουδιάνυσμαμοναδιαίοτοˆΈστω n
.ˆισχύειάπειροείναιεπίπεδοτοεπειδήσυμμετρίαςλόγουςΓια nEE
:σχήματοςτουεπιφάνειακυλινδρική
στηνGaussτουνόμουτουΕφαρμογή
κυλίνδρου2έδρακυλίνδρου1έδρακυλίνδρουπλευράadEadEadEadE
adEadE
αφού0Είναικυλίνδρουπλευρά
.ˆ2
και2
2:δίνειGaussτουνόμοςοΆρα,000
nEEA
EA
έδρας.κάθεεπιφάνειαηόπου,και2έδρα1έδρα
AEAadEadE
66 ΝΟΜΟΣ ΤΟΥ GAUSS: ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ
E
n
![Page 67: Shmeiwseis Tsetserh](https://reader038.vdocuments.net/reader038/viewer/2022102503/563db8b7550346aa9a964754/html5/thumbnails/67.jpg)
περιοχή.κάθεσεπεδίοτοΒρείτε.φορτίουπυκνότητεςέςεπιφανειακ
ςομοιόμορφεαντίθετεςκαιίσεςφέρουνεπίπεδαπαράλληλαάπειραΔύο
x
xE ˆ2 0
xE ˆ
2 0
xE ˆ2 0
xE ˆ2 0
xE ˆ2 0
xE ˆ2 0
Ι ΙI ΙII
φορτίου.πυκνότηταομοιόμορφη
μεεπίπεδοάπειροδημιουργεί
πουπεδίοτοβρειήδηΈχουμε
σ
1
σ
2
σχήματος.τουπεδίοτοδημιουργεί
πυκνότηταμε1πλάκαΗ
.πυκνότηταμε2πλάκας
τηςπεδίοτογιαΟμοίως
.ˆβρίσκουμεΙΙπεριοχή
στηνενώΙΙΙ,καιΙπεριοχές
στιςακυρώνεταιπεδίοτοΤελικά
0
xE
x0
E
67 ΝΟΜΟΣ ΤΟΥ GAUSS: ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ
![Page 68: Shmeiwseis Tsetserh](https://reader038.vdocuments.net/reader038/viewer/2022102503/563db8b7550346aa9a964754/html5/thumbnails/68.jpg)
.δύναμηήδιατηρητικκαιείναικεντρική,είναιCoulombδύναμηηΕπειδή
rr
qEldE
b
aˆ
4γιαολοκλήρωμαοεπικαμπύλιτομευπολογίσουΑς
2
0
.σημείοστοσημείοτοαπόπάνεμαςπουμονοπάτιατυχαίαγιακαι ba
68 ΣΤΡΟΒΙΛΙΣΜΟΣ ΤΟΥ ΠΕΔΙΟΥ
A
B
B
1rd
2rd 2E
1E
dr
. :ισχύεικαιταια 1221121 drErdErdErdrd
ίδια. ηείναι
ταολοκληρώμααεπικαμπύλιστααυτών
τμημάτωντωνσυνεισφοράηεπομένωςκαι
.sinˆˆˆκαιˆ
είναινεςσυντεταγμέσφαιρικέςΣε
dφrφrddrrldrEE
,11
44
άρακαιΕπομένως
0
2
0
ba
r
r
b
a rr
qdr
r
qldE
EdrldE
b
a
![Page 69: Shmeiwseis Tsetserh](https://reader038.vdocuments.net/reader038/viewer/2022102503/563db8b7550346aa9a964754/html5/thumbnails/69.jpg)
.δύναμηήδιατηρητικκαιείναικεντρική,είναιCoulombδύναμηηΕπειδή
rr
qEldE
b
aˆ
4γιαολοκλήρωμαοεπικαμπύλιτομευπολογίσουΑς
2
0
.σημείοστοσημείοτοαπόπάειμαςπουμονοπάτιτυχαίογιακαι ba
.sinˆˆˆκαιˆείναινεςσυντεταγμέσφαιρικέςΣε dφrφrddrrldrEE
,11
44άρακαιΕπομένως
0
2
0
ba
r
r
b
a rr
qdr
r
qldEEdrldE
b
a
διαδρομής.τηςανεξάρτητοείναιολοκλήρωματοόντωςδηλαδή b
aldE
διαδρομήκλειστήκάθεγια0ισχύειΕπομένως ldE
.0ότιπροκύπτειStokesθεώρηματοαπόκαι E
φορτίου.κατανομήσυνεχήήφορτίωνσημειακώνσυλλογήστατική
εοποιαδήποτγια0ότιπροκύπτειεπαλληλίαςτηςαρχήτηνΑπό Ε
69 ΣΤΡΟΒΙΛΙΣΜΟΣ ΤΟΥ ΠΕΔΙΟΥ
![Page 70: Shmeiwseis Tsetserh](https://reader038.vdocuments.net/reader038/viewer/2022102503/563db8b7550346aa9a964754/html5/thumbnails/70.jpg)
70
.τουμέσωδυναμικόηλεκτρικότοορίσουμεναΜπορούμε b
aldE
.:εξήςωςθέσηςδιάνυσμαμεαναφοράς
σημείοπροςωςσημείουτουδυναμικότοορίζουμενα,Συγκεκριμέ
r
rO
O
ldErVrΟ
r
1.:βρίσκουμεορισμότονΑπό b
a
a
O
b
O
r
r
r
r
r
rldEldEldEaVbV
2.:κλίσηςτηςθεώρηματοαπόόμωςΕίναι b
aldVaVbV
3παίρνουμε2και1τιςΑπό b
a
b
aldVldE
δυναμικού.τουκλίσηηείναιπεδίοηλεκτρικότοδηλαδή,
πρέπειθακαιμεταξύδιαδρομήκάθεγιαισχύει3ηΕπειδή
VE
ba
.0:Προφανώς O
O
r
rO ldErV
ΔΥΝΑΜΙΚΟ
![Page 71: Shmeiwseis Tsetserh](https://reader038.vdocuments.net/reader038/viewer/2022102503/563db8b7550346aa9a964754/html5/thumbnails/71.jpg)
71
BA rrrVrV
καιτααναφοράςσημείαμεδυναμικάταείναι~
καιΑν
πεδίο.ίδιοτοδίνουνσταθεράκατάδιαφέρουνπου
και~
δυναμικάταάρα,~
Ωστόσο VVVV
21
21
:πεδίωνεπαλληλίατηναπόπροκύπτει
δυναμικόολικότοαν:δηλαδήδυναμικά,ταγιακαι
ισχύειεπαλληλίαςτηςαρχήηότιεσημειώσουμναακόμηπρέπειΘα
EEE
VVV
όπου,~
τότε CrVldEldEldErVr
r
r
r
r
r A
A
BB
.μεταβλητήτηναπόεξαρτάταιδενσταθεράμίαείναι rldECA
B
r
r
ΔΥΝΑΜΙΚΟ
,11
44
βρίσκουμεφορτίοσημειακόΓια
0
2
0
ab
r
r
b
a rr
qdr
r
qldEaVbV
b
a
.4
τότεάπειροστοαναφοράςσημείοτοθέσουμεανκαι0r
qrV
![Page 72: Shmeiwseis Tsetserh](https://reader038.vdocuments.net/reader038/viewer/2022102503/563db8b7550346aa9a964754/html5/thumbnails/72.jpg)
72
.γραμμήεπιφάνειαήισοδυναμικκαλείταιπουεπίπεδοχώρο
στονγραμμήεπιφάνειαμίαορίζεισχέσηΗ άCrV
.επιφάνειεςέςισοδυναμικ
στιςκάθετοείναιγραμμές,πεδιακές
ήδυναμικέςοικαιάρα,το
ότιπροκύπτεισχέσητηνΑπό
E
VE
ΙΣΟΔΥΝΑΜΙΚΕΣ ΓΡΑΜΜΕΣ ΚΑΙ ΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ
γραμμέςέςισοδυναμικ
γραμμέςδυναμικές
![Page 73: Shmeiwseis Tsetserh](https://reader038.vdocuments.net/reader038/viewer/2022102503/563db8b7550346aa9a964754/html5/thumbnails/73.jpg)
73
άπειρο.στοαναφοράςσημείοτοΘέστε.φορτίο
νοκατανεμημέομοιόμορφαέναφέρειπουακτίναςκελύφους
σφαιρικούεξωτερικόστοκαιεσωτερικόστοδυναμικότοΒρείτε
q
R
.για0καιγιαˆ1
4
:έχουμεGaussτουνόμοτονΑπό
2
0
RrERrrr
qE
.44
:γιαέχουμεΆρα,0
2
0 r
q
r
rdqldEVRr
rr
.44
0έχουμεΓια0
2
0 R
q
r
rdqάVERr
R
ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ: ΔΥΝΑΜΙΚΟ ΣΦΑΙΡΙΚΟΥ ΦΛΟΙΟΥ
![Page 74: Shmeiwseis Tsetserh](https://reader038.vdocuments.net/reader038/viewer/2022102503/563db8b7550346aa9a964754/html5/thumbnails/74.jpg)
74
άπειρο.στοαναφοράςσημείοτοΘέστε.πυκνότηταμεφορτίο
νοκατανεμημέομοιόμορφαέναφέρειπουακτίναςσφαίρας
σφαιρικούεξωτερικόστοκαιεσωτερικόστοδυναμικότοΒρείτε
R
.3
4,
433:γιαέχουμεΆρα,
3
00
3
2
0
3 Rq
r
q
r
R
r
rdRldEVRr
rr
r
R
Rr
rdrErdrErdrErVRr έχουμεΓια
ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ: ΔΥΝΑΜΙΚΟ ΣΦΑΙΡΑΣ
.για,33
4
4
1
για,33
4
4
1
ότιδείξειΈχουμε
2
0
33
2
0
0
3
2
0
Rrr
RR
r
Rrrr
rrE
.
8
3
2
3
333 3
0
2222
000
3
R
rRqrRrd
r
R
R r
R
![Page 75: Shmeiwseis Tsetserh](https://reader038.vdocuments.net/reader038/viewer/2022102503/563db8b7550346aa9a964754/html5/thumbnails/75.jpg)
75
.30και2,1:σχέσειςτιςΈχουμε0
EEVE
4,:παίρνουμε2και1τιςαςΣυνδυάζοντ0
2
0
VV
.PoissonεξίσωσηλεγόμενηηείναιεξίσωσηΗ0
2
V
.0Laplaceεξίσωσητηνέχουμε0χώρουτουπεριοχήΣτην 2 V
ς.Λαπλασιανήτηςτελεστήςοείναιόπου2
2
2
2
2
22
zyx
Όντως.0αφού1τηςαπόρροιαφυσικάείναι3εξίσωσηΗ V
ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ POISSON ΚΑΙ LAPLACE
.0ˆˆˆ
ˆˆˆ22
zyyz
V
zy
Vx
zVyVxV
zyx
zyx
V
![Page 76: Shmeiwseis Tsetserh](https://reader038.vdocuments.net/reader038/viewer/2022102503/563db8b7550346aa9a964754/html5/thumbnails/76.jpg)
76
.άπειροτοαναφοράςσημείομε4
δυναμικόδημιουργεί
αξόνωντωναρχήστηνφορτίοσημειακόότιδείξειΈχουμε
0r
qrV
q
.όπου,4
τότε,θέσηστηείναιφορτίοτοΑν0
rrww
qrVrq
.όπου,4
έχουμεθέσειςστιςφορτίωνσημειακώνσυλλογήΓια
1 0
ii
n
i i
i
ii
rrww
qrV
rqn
.όπου,4
1
έχουμεπυκνότηταςχώροστονφορτίωνκατανομήσυνεχήΓια
0
rrww
rdrrV
r
.4
:διαστάσεις2Σε0
2
Dw
adrrV
.
4
1:διάσταση1
0
1
Dw
ldrrV
ΔΥΝΑΜΙΚΟ ΑΠΟ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΦΟΡΤΙΟΥ
![Page 77: Shmeiwseis Tsetserh](https://reader038.vdocuments.net/reader038/viewer/2022102503/563db8b7550346aa9a964754/html5/thumbnails/77.jpg)
77 ΔΥΝΑΜΙΚΟ ΑΠΟ ΚΑΤΑΝΟΜΗ ΦΟΡΤΙΟΥ: ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ
κατανομής.τηςδυναμικότοίυπολογιστε
Ναγ)πεδίου.ηλεκτρικούτουέντασηηίυπολογιστεΝαβ)κατανομής.
τηςφορτίοολικότοίυπολογιστεΝαα).για1και
για0πυκνότηταμεφορτίωνκατανομήσφαιρικήΔίνεται
2
2
0 ara
rr
arr
τότεφορτίοολικότοείναιΑνα):ΛΥΣΗ Q
.15
8
5344sin
3
0
33
00
2
0 0
2
0
2 aaadrrrdφddrrrQ
a
.ˆσυμετρίας,λόγωακτινικόπροφανώςείναιπεδίοηλεκτρικόΤοβ) rrEE
.ακτίναςσφαίρασεπάνωGaussτουνόμοτοεεφαρμόσουμΘα r
.3
515
44φορτίοπερικλείειμεΣφαίρα)
2
23
0
0
2
a
rrrdrrrQari
r
.3
515
4Επομένως2
2
0
0
0
2
a
rrrE
rQrrE
![Page 78: Shmeiwseis Tsetserh](https://reader038.vdocuments.net/reader038/viewer/2022102503/563db8b7550346aa9a964754/html5/thumbnails/78.jpg)
78 ΔΥΝΑΜΙΚΟ ΑΠΟ ΚΑΤΑΝΟΜΗ ΦΟΡΤΙΟΥ: ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ
κατανομής.τηςδυναμικότοίυπολογιστε
Ναγ)πεδίου.ηλεκτρικούτουέντασηηίυπολογιστεΝαβ)κατανομής.
τηςφορτίοολικότοίυπολογιστεΝαα).για1και
για0πυκνότηταμεφορτίωνκατανομήσφαιρικήΔίνεται
22
0 ararr
arr
.ˆσυμετρίας,λόγωακτινικόπροφανώςείναιπεδίοηλεκτρικόΤοβ) rrEE
άρα,φορτίοπερικλείει
ακτίναμεΣφαίρα)
Q
arii .,
15
24
2
0
3
0
0
2 arr
arE
QrrE
.,1535) 0
22
0 ararrrEii
0.δηλαδήάπειρο,στοείναι0αναφοράςσημείοτοότιΈστω)γ VrV
άρακαιΕπομένως.πρέπειθασυμμετρίαςΛόγω
r
rdrErVrVrV
.15
2είναιΓια)
0
3
0
r
ardrErVari
r
είναιΓια) arii
.4
3
2
52
15 2
44222
0
0
a
ararardrErdrErV
r
a
a
![Page 79: Shmeiwseis Tsetserh](https://reader038.vdocuments.net/reader038/viewer/2022102503/563db8b7550346aa9a964754/html5/thumbnails/79.jpg)
σ
79
.ομοιόμορφηαπαραίτηταόχιπυκνότητα
μεφορτίουκατανομήήεπιφανειακμίαΈστω
Aε
:δίνεισχήματοςτουίπεδοπαραλληλεπ
στοGaussτουνόμουτουΕφαρμογή
1.)2 000
άάάά EEAQAEEadE
.0γιαιμηδενίζετα
ολοκλήρωμαόεπιφανειακπλευρικότο1)
σ
άE
άE
||
άE
||
άEε
l
2,δίνει0σχέσηΗ ||||
άά EEldE
.0γιαιμηδενίζετα
ολοκλήρωμαπλευρικότοαφού
.ˆ:σχέσηστηννσυνδυαστούναμπορούν2και1Οι0
nEE άά
ΗΛΕΚΤΡΟΣΤΑΤΙΚΕΣ ΣΥΝΟΡΙΑΚΕΣ ΣΥΝΘΗΚΕΣ
σχήματος.τουκαμπύληστητουοεπικαμπύλικλειστότοκαιΕξετάζουμε E
n
![Page 80: Shmeiwseis Tsetserh](https://reader038.vdocuments.net/reader038/viewer/2022102503/563db8b7550346aa9a964754/html5/thumbnails/80.jpg)
80
δυναμικό;τογιασυνθήκεςσυνοριακέςοιείναιΠοιες
σ
ε
:έχουμεορισμότονΑπό
.3συνθήκητηνέχουμεΆρα άά VV
.0για0 b
aab ldEVV
άE
άE
nVVnEE άάάάˆδίνειˆσχέσηηάλλητηνΑπό
00
βρίσκουμεˆμεγινόμενοεσωτερικότοΠαίρνοντας n
,ˆˆˆ00
n
V
n
VnnVVn άά
άά
ΗΛΕΚΤΡΟΣΤΑΤΙΚΕΣ ΣΥΝΟΡΙΑΚΕΣ ΣΥΝΘΗΚΕΣ
a
bn
.ˆκατεύθυνσηεπίπεδοτοπροςκάθετηστηντου
παράγωγοςκήδιανυσματιηείναιˆόπου
nV
Vnn
V
![Page 81: Shmeiwseis Tsetserh](https://reader038.vdocuments.net/reader038/viewer/2022102503/563db8b7550346aa9a964754/html5/thumbnails/81.jpg)
81
.στοτοαπόπεδίοηλεκτρικόσεμέσακινείταιφορτίοότιΈστω ba rrEQ
έχουμεμετακίνησητηναυτήνγιαέργοτοΓια W
.Q
WVrVrVQldEQldFW abab
r
r
r
rί
b
a
b
a
D
.στοτοαπόμετακίνησητηνγιααπαιτείταιπουφορτίουμονάδα
ανάέργοτομεισούταισημείωνδύομεταξύδυναμικούδιαφοράH
ba rr
γράψουμεναμπορούμετότεάπειροτοείναιαναφοράςσημείοτοΈαν
.
0
Q
WrVrVrVQW
ΕΡΓΟ – ΕΝΕΡΓΕΙΑ
;θέσειςσεφορτίωνσημειακών
κατανομήστατικήμίαείδημιουργηθναγιααπαιτείταιέργοΠόσο
ii rq
κατανομής.τηςενέργειαδυναμικήωςαιαποθηκεύετέργοΤο
![Page 82: Shmeiwseis Tsetserh](https://reader038.vdocuments.net/reader038/viewer/2022102503/563db8b7550346aa9a964754/html5/thumbnails/82.jpg)
82
.θέσηστηνβρίσκεταιφορτίοότιΈστω 11 rq
έργοαπαιτείταιθέσηστηάπειρο
τοαπόφορτίοφέρουμεναΓια
2
2
r
q
.όπου,4
12112
12
1
0
22 rrww
qqW
έργοαπαιτείταιθέσηστητο
απόφορτίοτώραφέρουμεναΓια
3
3
r
q
.καιόπου
,4
1
32233113
23
2
13
1
0
33
rrwrrw
w
q
w
qqW
.4
1έργο
απαιτείται,,τωνκατανομήηίδημουργηθεναγιαΕπομένως,
23
32
13
31
12
21
0
32123
321
w
w
w
qqWWW
qqq
ΕΝΕΡΓΕΙΑ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ ΦΟΡΤΙΩΝ
O
1q
1r
2q
2r
3q
3r
![Page 83: Shmeiwseis Tsetserh](https://reader038.vdocuments.net/reader038/viewer/2022102503/563db8b7550346aa9a964754/html5/thumbnails/83.jpg)
83
αλλιώςή,4
1
έργοαπαιτεί,,τωνκατανομήςτηςδημιουργίαH
23
32
13
31
12
21
0
123
321
w
w
w
qqW
qqq
.8
1
4
1έργοσυνολικό
απαιτείταιτωνκατανομήηίδημουργηθεναγιαΓενικά,
1 1010
n
i
n
ij
j ij
jin
i
n
ij ij
ji
w
w
qqW
q
.αφού8
1
32
23
23
32
31
13
13
31
21
12
12
21
0
123 jiij www
w
w
w
w
w
qqW
όπου,2
1
4
1
2
1:ακόμηΕίναι
11 ,1 0
n
i
ii
n
i
n
ijj ij
j
i rVqw
qqW
.,τωνλόγωσημείοστοδυναμικότοείναι4
1
,1 0
ijqrw
qrV ji
n
ijj ij
j
i
ΕΝΕΡΓΕΙΑ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ ΦΟΡΤΙΩΝ
![Page 84: Shmeiwseis Tsetserh](https://reader038.vdocuments.net/reader038/viewer/2022102503/563db8b7550346aa9a964754/html5/thumbnails/84.jpg)
84
γίνεταικατανομήδιακριτήγια2
1σχέσηΗ
1
n
i
ii rVqW
.όγκοσεπυκνότηταςκατανομήσυνεχήγια2
1ΩrdrVrW
Ω
.ενώ,PoissonεξίσωσητηναπόΑλλά, 0 rVrErEr
.22
:Επομένως 00
dVEEVVdEW
.22
200
VSS
dEadEVdVEadEVW
.0έχουμεκατανομέςσυνήθειςγια
τότεάπειροστοεκτείνεταιναςολοκλήρωσηόγκοτονπάρουμεΕάν
SadEV
.2
:βρίσκουμετελικάΈτσι 20
ώό
dEW
ΕΝΕΡΓΕΙΑ ΣΥΝΕΧΟΥΣ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ ΦΟΡΤΙΩΝ
βρίσκουμεαπόκλισηςτηςθεώρηματοαπότότετουσύνοροτοΑν ΩS
![Page 85: Shmeiwseis Tsetserh](https://reader038.vdocuments.net/reader038/viewer/2022102503/563db8b7550346aa9a964754/html5/thumbnails/85.jpg)
85
.φορτίουολικούκαιακτίναςσφαίραφορτισμένη
ομοιόμορφαμίασενηαποθηκευμέείναιπουενέργειατηνΒρείτε
qR
W
ΕΝΕΡΓΕΙΑ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ ΦΟΡΤΙΩΝ: ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ
:τρόποςος1 1.2
1σχέσητηνήσουμεχρησιμοποιΘα
ί
VdW
.8
3είναιγιαότιβρειΈχουμε
3
0
22
R
rRqrVRr
3
4μεδίνει1ηπερίπτωσητηναυτήσεΕπομένως,
3Rq
.20
33
16
3
8
3
4
3
2
4
0
2
0
422
6
0
2
0
2
3
0
22
3 R
qdrrrR
R
qdrr
R
rRq
R
qW
RR
![Page 86: Shmeiwseis Tsetserh](https://reader038.vdocuments.net/reader038/viewer/2022102503/563db8b7550346aa9a964754/html5/thumbnails/86.jpg)
86
.φορτίουολικούκαιακτίναςσφαίραφορτισμένη
ομοιόμορφαμίασενηαποθηκευμέείναιπουενέργειατηνΒρείτε
qR
WΕΝΕΡΓΕΙΑ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ ΦΟΡΤΙΩΝ: ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ
:τρόποςος2 2.2
σχέσητηνήσουμεχρησιμοποιΘα 20
ώό
dEW
3
4μεδίνει2ηπερίπτωσητηναυτήσεΕπομένως,
3Rq
.20
31
59
2
332
4
0
26
5
0
22
2
2
0
3
0
2
2
0
0
R
q
RR
Rdrr
r
Rdrr
rW
R
R
.για,33
4
4
1
για,33
4
4
1
ότιδείξειΈχουμε
2
0
33
2
0
0
3
2
0
Rrr
RR
r
Rrrr
rrE
ί
VdW2
1τομεσυμπίπτειαποτέλεσματο,περιμέναμεΌπως
![Page 87: Shmeiwseis Tsetserh](https://reader038.vdocuments.net/reader038/viewer/2022102503/563db8b7550346aa9a964754/html5/thumbnails/87.jpg)
87
.ιόνταήηλεκτρόνιαπ.χ.φορτίωνφορείςελεύθερουςφέρουναγωγοίΟι
αγωγού.τουεσωτερικόστοιμηδενίζεταπεδίοολικότοτελικάκαι
αγωγούενόςφορτίαταμετακινείπεδίουεξωτερικούενόςπαρουσίαΗ
αγωγού.κάθε
εσωτερικόστο0E
αγωγού.κάθεεσωτερικόστο0
ότιακόμηπροκύπτειPoissonεξίσωσητηνΑπό
0 E
πεδίο.εξωτ.τοακυρώνειφορτίαεπαγόμενατααπόπεδίοΤο
φορτία.άεπιφανειακμόνοφέρειναμπορείαγωγόςΈνας
.0τότεαγωγού,ενόςσημείαείναικαιΑν b
aabba ldErVrVrr
ός.ισοδυναμικείναι
αγωγόςκάθεΔηλαδή
αυτόν.σεκάθετοείναιαγωγού
τουεξωτερικόστοπεδίοΤο
ΑΓΩΓΟΙ
![Page 88: Shmeiwseis Tsetserh](https://reader038.vdocuments.net/reader038/viewer/2022102503/563db8b7550346aa9a964754/html5/thumbnails/88.jpg)
σχήματος.τουφορτίωνεπαγόμενωνδιάταξηη
προκύπτειτότεκοιλότητα,σεμέσαφορτίοέχειαγωγόςοΑν
αγωγός
88
αυτόν.απόέλκεταιτελικάέτσικαι
αγωγόένανσεφορτίαάεπιφανειακεπάγειφορτίοεξωτερικόΈνα q
q
ΑΓΩΓΟΙ: ΕΠΑΓΟΜΕΝΑ ΦΟΡΤΙΑ
![Page 89: Shmeiwseis Tsetserh](https://reader038.vdocuments.net/reader038/viewer/2022102503/563db8b7550346aa9a964754/html5/thumbnails/89.jpg)
89
αγωγό.τοναπόέξωπεδίοτοΒρείτε.φορτίοαιτοποθετείτκοιλότηταστην
Μέσακοιλότητα.εσωτερικήέχειακτίναςαγωγόςσφαιρικόςΑφόρτιστος
q
R
ότιβρίσκουμεεσωτερικόστοεπιφάνεια
σεGaussτουνόμοτοαςΕφαρμόζοντ
.φορτίοαρνητικόολικόιεμφανίζετα
κοιλότηταςεσωτερικήςτηςεπιφάνειαστην
q
επιφάνεια.τουεξωτερική
στηνιεμφανίζεταφορτίοολικόίσο
αφόρτιστοςαρχικάείναιαγωγόςοΑφού
q
ΕΠΑΓΟΜΕΝΑ ΦΟΡΤΙΑ: ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ
είναιθαπεδίοτοαγωγότοναπόέξωτελικάεπομένωςαγωγού,
σφαιρικούτουεπιφάνειαστηνομοιόμορφαίκατανεμηθεθααυτόφορτίοΤο
.για,4 2
0
Rrr
qrE
![Page 90: Shmeiwseis Tsetserh](https://reader038.vdocuments.net/reader038/viewer/2022102503/563db8b7550346aa9a964754/html5/thumbnails/90.jpg)
90
γειωμένος.γ)καιφορτίοφέρειβ),αφόρτιστοςα):είναιφλοιόςοόταν
σφαίραςτηςδυναμικότοβρεθείναάπειρο,στοείναιαναφοράςσημείοτοΑν
.καιακτίναεξωτερικήκαιεσωτερικήέχειπουφλοιόαγώγιμοσφαιρικό
ομόκεντροαπόαιπεριβάλλετκαιφορτίοφέρειακτίναςσφαίραΑγώγιμη
21
q
RR
QRΑΓΩΓΟΙ: ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ
του.εξωτερικόστοκαιφλοιούτουεσωτερικό
στοφορτίοεπάγεισφαίραςτηςφορτίοΤοα)
Q
R
1R
2R
.ˆείναισυμμετρίαςΛόγω rrErE
δίνειGaussτουνόμουτουΕφαρμογή
.για0
,καιγια4
21
212
0
RrRE
RrRrRr
QrE
.
111
444 210
2
0
0
2
01
1
2
2
RRR
Q
r
QdrdrE
r
QdrldEV
R
R
R
R
RR
σφαίραστηνδυναμικότογιαβρίσκουμεΕπομένως V
![Page 91: Shmeiwseis Tsetserh](https://reader038.vdocuments.net/reader038/viewer/2022102503/563db8b7550346aa9a964754/html5/thumbnails/91.jpg)
91 ΑΓΩΓΟΙ: ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ
του.εξωτερικόστοκαιφλοιούτουεσωτερικό
στοφορτίοεπάγεισφαίραςτηςφορτίοΤοβ)
R
1R
2R
.ˆείναισυμμετρίαςΛόγω rrErE
δίνειGaussτουνόμουτουΕφαρμογή
2112
0
για0,για4
RrRERrRr
QrE
.
4
1
44 2210
2
0
2
01
2
R
q
R
Q
R
Q
R
Q
r
Qdr
r
drqQldEV
R
R
RR
σφαίραστηντογιατώραβρίσκουμεΆρα V .για4
και 22
0
Rrr
qQrE
γειωμένος.είναιγ)καιφορτίοφέρειβ),αφόρτιστοςείναια):φλοιόςοόταν
σφαίραςτηςδυναμικότοβρεθείναάπειρο,στοείναιαναφοράςσημείοτοΑν
.καιακτίναεξωτερικήκαιεσωτερικήέχειπουφλοιόαγώγιμοσφαιρικό
ομόκεντροαπόαιπεριβάλλετκαιφορτίοφέρειακτίναςσφαίραΑγώγιμη
21
q
RR
QR
![Page 92: Shmeiwseis Tsetserh](https://reader038.vdocuments.net/reader038/viewer/2022102503/563db8b7550346aa9a964754/html5/thumbnails/92.jpg)
92 ΑΓΩΓΟΙ: ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ
του.εξωτερικόστοκαιφλοιούτουεσωτερικό
στοφορτίοεπάγεισφαίραςτηςφορτίοΤογ)
Q
R
1R
2R
.0τότεγειωμένος,είναιφλοιόςοΕάν 2 RV
.φορτίοεπάγειαλλιώςήφλοιού,τουεξωτερικό
τοαπόφορτίοτοαφαιρείγείωσηηΕπομένως,
Q
Q
,για4
:τώραείναιΈτσι 12
0
RrRr
QrE
.11
44 10
2
01
RR
Q
r
QdrldEV
R
R
R
σφαίραστηντογιαβρίσκουμεΆρα V .για0και 1RrrE
γειωμένος.γ)καιφορτίοφέρειβ),αφόρτιστοςα):είναιφλοιόςοόταν
σφαίραςτηςδυναμικότοβρεθείναάπειρο,στοείναιαναφοράςσημείοτοΑν
.καιακτίναεξωτερικήκαιεσωτερικήέχειπουφλοιόαγώγιμοσφαιρικό
ομόκεντροαπόαιπεριβάλλετκαιφορτίοφέρειακτίναςσφαίραΑγώγιμη
21
q
RR
QR
![Page 93: Shmeiwseis Tsetserh](https://reader038.vdocuments.net/reader038/viewer/2022102503/563db8b7550346aa9a964754/html5/thumbnails/93.jpg)
93
.φορτίααντίθετακαιίσαφέρουναγωγοίδύοότιΈστω Q
rrww
dwrrE
2
04
ˆσχέσηβασικήτηνΑπό
.φορτίουτουανάλογοείναιπεδίοτοότιπροκύπτει Q
.τουανάλογηείναιδυναμικούδιαφοράηκαιΆρα QldEVVV
διάταξης.τηςταχωρητικότητηορίσουμεναμπορούμεΈτσι VQC
.διάταξηςτηςτικάχαρακτηρισγεωμετρικάτααπόεξαρτάταιταχωρητικότηΗ
.VoltCoulombFarad,FFaradτοείναιτηςμέτρησήςμονάδαΗ
.F10pFτοκαιF10μFτοσυνήθωςείταιχρησιμοποιπράξηΣτην -12-6
ΠΥΚΝΩΤΕΣ – ΧΩΡΗΤΙΚΟΤΗΤΑ
![Page 94: Shmeiwseis Tsetserh](https://reader038.vdocuments.net/reader038/viewer/2022102503/563db8b7550346aa9a964754/html5/thumbnails/94.jpg)
94
τους.μεταξύαπόστασησεκρατούνταικαιεμβαδό
έχουνπουπλακώνεπίπεδωνπαράλληλωνδύοταχωρητικότητηνΒρείτε
dA
x
x2 0
E x
2 0
E x
2 0
E
x2 0
E x
2 0
E x
2 0
E
Ι ΙI ΙII
σ
1
σ
2
x0
E
καιπροσέγγισηκατά
έχουμετότεανΕπομένως,
0
E
dA
.0
0 d
A
d
A
Ed
A
V
QC
D
ΠΥΚΝΩΤΕΣ – ΧΩΡΗΤΙΚΟΤΗΤΑ: ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ
μέτροκατάείναιπεδίο
ομογενέςγιαότιπροκύπτει
σχέσητηνΑπό D EdxV
EdV D
![Page 95: Shmeiwseis Tsetserh](https://reader038.vdocuments.net/reader038/viewer/2022102503/563db8b7550346aa9a964754/html5/thumbnails/95.jpg)
95
πυκνωτή.τουφορτίοτοόπου
,δυναμικούδιαφοράέχειταςχωρητικότηπυκνωτήςότιΈστω
q
CqVC
πόλο.θετικόστοναρνητικότοναπόφορτίο
θετικόεμεταφέρουμναπρέπειπεραιτέρωφορτίσουμεναΓια
dq
.1έργοαπαιτείαυτήμετακίνησηΗC
qdqVdqdW
:φορτίομεπυκνωτήτονφορτίσουμε
ναγιααπαιτείταιπουέργοολικότοδίνει1τηςΟλοκλήρωση
Q
.2
1
2
1 22
0CV
C
Q
C
qdqW
Q
.πυκνωτήτουενέργειαδυναμικήωςαιαποθηκεύετ2
1αυτόέργοΤο 2CV
ΕΝΕΡΓΕΙΑ ΠΥΚΝΩΤΗ
![Page 96: Shmeiwseis Tsetserh](https://reader038.vdocuments.net/reader038/viewer/2022102503/563db8b7550346aa9a964754/html5/thumbnails/96.jpg)
96 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ: ΠΥΚΝΩΤΗΣ ΑΠΟ ΣΦΑΙΡΙΚΑ ΚΕΛΥΦΗ
.καιακτίνων
κελύφημεταλλικάομόκεντραδύοέχουνπουταχωρητικότητηΒρείτε
ba
.καιφορτίαολικάέχουνκελύφηταότιΈστω QQ
βρίσκουμεσυμμετρίαςσφαιρικήςλόγωκαιGaussτουνόμοτοΑπό
είναιθααγωγώνδύοτωνμεταξύ
δυναμικούδιαφοράηΕπομένως,
.11
44 0
2
0
D ba
Qdr
r
QldEV
a
b
a
b
.4είναισυστήματοςτουταχωρητικότηηΆρα 0ab
ab
V
QC
D
.82
1είναιπυκνωτήστονενέργειανηαποθηκευμέΗ
0
22
ab
abQVCW
D
.γιαˆ4 2
0
brarr
QE
ab
Q
Q
![Page 97: Shmeiwseis Tsetserh](https://reader038.vdocuments.net/reader038/viewer/2022102503/563db8b7550346aa9a964754/html5/thumbnails/97.jpg)
97
.Poissonεξίσωσηςτηςμέσωαλλάτων,ολοκληρωμά
σχετικώντωνμέσωόχιφορτίουκατανομήςμιαςδυναμικό
τοήπεδίοτοουμεπροσδιορίσναοπροτιμότερείναιφορέςΠολλές
0
2
V
,10:Laplaceεξίσωσητηνέχουμε
φορτίαχωρίςχώρουτουπεριοχήΣε
2 V
2.0δηλαδή2
2
2
2
2
2
z
V
y
V
x
V
σταθερές.καιόπου,0έχουμεδιάστασημίαΣε2
2
babaxxVdx
Vd
σταθερά.όπου,32διάστασημίασεείναιΈτσι ccxVcxVxV
ακρότατα.τοπικάέχουν
δενLaplaceεξίσωσηςτηςλύσειςοιδιάστασημίασεΠροφανώς
ΕΞΙΣΩΣΗ LAPLACE
![Page 98: Shmeiwseis Tsetserh](https://reader038.vdocuments.net/reader038/viewer/2022102503/563db8b7550346aa9a964754/html5/thumbnails/98.jpg)
98
4.0μορφήτηπαίρνειLaplaceεξίσωσηηδιαστάσειςδύοΣε2
2
2
2
y
V
x
V
.,σημείοτοκέντροκαιακτίναέχειπου
κύκλοσεπάνωτηςοεπικαμπύλιτο5,2
1,
yxR
VVdlR
yxVύ
ακρότατα.τοπικάέχουνδενLaplaceεξίσωσης
τηςλύσειςοιδιαστάσειςδύοσεκαιότιδείχνει5σχέσηΗ
σχέσητηικανοποιεί4τηςλύσηηότιδειχτείναΜπορεί
.σημείοτοκέντροκαιακτίναμεσφαίρασεπάνωολόκληρωμαγια
64
1μορφήτηνπαίρνει5ηδιαστάσειςτρειςΣτις
2
rR
VdaR
rVί
ακρότατα.τοπικάέχουνLaplaceεξίσωσηςτηςλύσειςοιδιαστάσεις
τρειςστιςούτεότιδείχνει6σχέσηη,διαστάσειςδύοκαιμίαστιςΌπως
ΕΞΙΣΩΣΗ LAPLACE
![Page 99: Shmeiwseis Tsetserh](https://reader038.vdocuments.net/reader038/viewer/2022102503/563db8b7550346aa9a964754/html5/thumbnails/99.jpg)
99
.όγκουτουσύνοροστοσυνάρτησηηκαθορισμένείναιδυναμικότοαν
αμονοσήμαντεταιπροσδιορίζόγκοένανσεLaplaceεξίσωσηςτηςλύσηΗ
SV
Ω
Ωόγκοστον
δυναμικότοΖητούμεS
V
σύνοροστοοκαθορισμέν
είναιδυναμικόΤο:Απόδειξη
.σύνοροστοσυνθήκες
ίδιεςτιςνικανοποιούπουκαι
λύσειςδύουπάρχουνότιΈστω
21
S
VV
.σύνοροστοιμηδενίζετακαι0Laplace
εξίσωσητηνικανοποιείσυνάρτησηηΤότε
3
2
213
SV
VVV
ακρότατατοπικάέχουνδενLaplaceεξίσωσηςτηςλύσειςοιόμωςΕπειδή
....δηλαδή,όγκοστονπαντού0είναι 213 έόVVΩV
.όγκοστονπυκνότηταδεδομένηγιαPoissonεξίσωσητην
γιακαιισχύειλύσηςτηςταμοναδικότηηότιδείχνειαπόδειξηΠαρόμοια
0
2 ΩV
1ο ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΟΝΑΔΙΚΟΤΗΤΑΣ
![Page 100: Shmeiwseis Tsetserh](https://reader038.vdocuments.net/reader038/viewer/2022102503/563db8b7550346aa9a964754/html5/thumbnails/100.jpg)
100
παντού.δυναμικούσυνάρτησητηΒρείτε.καιείναιδυναμικόκαι
,ακτίνεςέχουνπάχουςαμελητέουφλοιοίσφαιρικοίομόκεντροιΔύο
21
21
VV
RR
συνθήκεςσυνοριακέςτιςγια0LaplaceεξίσωσητηνλύσουμεΘα 2 V
είναινεςσυντεταγμέσφαιρικέςΣε
άρακαισυμμετρίαςσφαιρικήςΛόγω rVrV
ΕΞΙΣΩΣΗ LAPLACE: ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ
1V
2V
.2,1 2211 VRVVRV
.sin
1sin
sin
112
2
222
2
2
2
φ
f
r
f
rr
fr
rrf
301 2
2
2
r
Vr
rrV 1
2 Cdr
dVr
4.21
21 Cr
CrV
r
drCdV
βρίσκουμε2και1τιςΑπό
.2122112
2121211
2212
2111
RRVRVRC
RRRRVVC
CRCV
CRCV
![Page 101: Shmeiwseis Tsetserh](https://reader038.vdocuments.net/reader038/viewer/2022102503/563db8b7550346aa9a964754/html5/thumbnails/101.jpg)
άπειροστοίσωςσύνορο,εξωτερικό
101
αγωγό.κάθεσεπάνω
φορτίοολικότογνωστόείναιανορισμένοαμονοσήμαντείναι
πεδίοηλεκτρικότοφορτίουπυκνότηταηκαθορισμέν
μίαπεριέχεικαιαγωγούςπερικλείειπουόγκοένανΣε
Ω
ορισμένο
1Q
2Q
3Q
ςολοκλήρωση
επιφάνειες
2ο ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΟΝΑΔΙΚΟΤΗΤΑΣ
εξισώσεων.διαφορικώνεπίλυση
τηνχωρίςτικήςηλεκτροστα
νπροβλημάτωεπίλυσητην
ςπεριπτώσεικάποιεςσεεπιτρέπει
πουειδώλωντωνμέθοδο
λεγόμενητηδυνατήκάνουν
ταςμοναδικότηθεωρήματαΤα
![Page 102: Shmeiwseis Tsetserh](https://reader038.vdocuments.net/reader038/viewer/2022102503/563db8b7550346aa9a964754/html5/thumbnails/102.jpg)
102
επίπεδο.τοαπόπάνωχώροστονδυναμικότοΒρείτε.φορτίοσημειακό
υπάρχειεπίπεδογειωμένοαγώγιμοάπειροαπόπάνωαπόστασηΣε
q
d
x
y
z
q
d
0V
x
y
z
d
q
q
d
συνθήκεςτιςγιαPoissonεξίσωσηςτηςλύσηΑναζητούμε
.για0)2,0για01) rVzV
.,0,0και,0,0θέσειςστις
φορτίωνδύοσύστηματοεξετάσουμεAς
ddq
είναιφορτίαδύοτανδημιουργούπουδυναμικόΤο
.0χώροτονγιαεπίπεδοτομε
ςπροβλήματοτουλύσητηκαιδίνειότιπροκύπτει
ταςμοναδικότηθεώρηματοαπό2),και1)
συνθήκεςτιςικανοποιείαυτόδυναμικότοΕπειδή
z
.4
1,,
2222220
dzyx
q
dzyx
qzyxV
Η ΜΕΘΟΔΟΣ ΤΩΝ ΕΙΔΩΛΩΝ: ΕΠΙΠΕΔΗ ΠΛΑΚΑ
![Page 103: Shmeiwseis Tsetserh](https://reader038.vdocuments.net/reader038/viewer/2022102503/563db8b7550346aa9a964754/html5/thumbnails/103.jpg)
Άρα.4
1,,
2222220
dzyx
q
dzyx
qzyxV
103
επίπεδο.τοαπόπάνωχώροστονδυναμικότοΒρείτε.φορτίο
σημειακόυπάρχειγειωμένηαγώγιμηάπειρηαπόπάνωαπόστασηΣε
q
d
x
y
z
q
d
0V επίπεδο;στοεπάγεταιπουφορτίοτοείναιΠοιο
έχουμεπερίπτωσητηναυτήσεκαιΕίναι 0n
V
όπου,0
0
zz
V
νες.συντεταγμέπολικέςσε2
,,2
,232223222 dr
qdφr
dyx
qdyx
.:είναιφορτίοεπαγόμενοολικόTο
0
22
2
0 0q
dr
qdrdrrdφQ
Η ΜΕΘΟΔΟΣ ΤΩΝ ΕΙΔΩΛΩΝ: ΕΠΙΠΕΔΗ ΠΛΑΚΑ
![Page 104: Shmeiwseis Tsetserh](https://reader038.vdocuments.net/reader038/viewer/2022102503/563db8b7550346aa9a964754/html5/thumbnails/104.jpg)
:επίπεδοτοαπόαπόστασησεφορτίοτοφέρουμεναγιααπαιτείται
πουέργοτοαπόβρούμετηνναμπορούμεσυστήματοςτουενέργειαΤην
dq
104
επίπεδο.τοαπόπάνωχώροστονδυναμικότοΒρείτε.φορτίο
σημειακόυπάρχειγειωμένηαγώγιμηάπειρηαπόπάνωαπόστασηΣε
q
d
x
y
z
q
d
0V επιπέδου;τουκαιφορτίουτουμεταξύδύναμηηείναιΠοια
δηλαδή,,0,0θέσειςσεειδώλωνδύο
τωνμεταξύδύναμηηείναιγιατί;Προφανώς
dq
z
d
qF ˆ
24
12
2
0
.161616 0
2
0
2
2
0
2
d
q
z
q
z
dzqldFW
ddd
επιπέδου.τουπερίπτωσηστην0γιαμηδένείναιπεδίοτοαφού
ειδώλων,τωνσυστήματοςτουενέργειαςτηςμισότοείναιΑυτό
z
Η ΜΕΘΟΔΟΣ ΤΩΝ ΕΙΔΩΛΩΝ: ΔΥΝΑΜΗ – ΕΝΕΡΓΕΙΑ
![Page 105: Shmeiwseis Tsetserh](https://reader038.vdocuments.net/reader038/viewer/2022102503/563db8b7550346aa9a964754/html5/thumbnails/105.jpg)
R
105
σφαίρα.τηαπόέξωδυναμικότοΒρείτε.ακτίναςσφαίρας
γειωμένηςαγώγιμηςκέντροτοαπόαπόστασησεαιτοποθετείτΦορτίο
R
aq
qa
0V
ba
Q q
συνθήκεςτιςγιαPoissonεξίσωσηςτηςλύσηΑναζητούμε
.για0)2,για01) rVRrV
σφαίρας.τηςκέντροτοαπόθέσησε
καιφορτίαμεσύστηματοεξετάσουμεΑς
bQ
q
;ευθείαστηνπάνωσημείασταιμηδενίζετανα
δυναμικότοώστεούτωςκαιταείναιναπρέπειΠοια
qQRx
Qb
Η ΜΕΘΟΔΟΣ ΤΩΝ ΕΙΔΩΛΩΝ: ΑΓΩΓΙΜΗ ΣΦΑΙΡΑ
x
O
:ισχύειναΠρέπει
1,0
44 00
bR
Q
Ra
q
2.0
44 00
Rb
Q
Ra
q
.,δίνει2και1τωνσυστήματοςτουλύσηΗ2
a
Rb
a
RqQ
R
![Page 106: Shmeiwseis Tsetserh](https://reader038.vdocuments.net/reader038/viewer/2022102503/563db8b7550346aa9a964754/html5/thumbnails/106.jpg)
R
106
σφαίρα.τηαπόέξωδυναμικότοΒρείτε.ακτίναςσφαίρας
γειωμένηςαγώγιμηςκέντροτοαπόαπόστασησεαιτοποθετείτΦορτίο
R
aq
qa
0V
b
r
w w
a
q q
συνθήκεςτιςγιαPoissonεξίσωσηςτηςλύσηΑναζητούμε
.για0)2,για01) rVRrV
σφαίρας.τηςκέντρουτουδεξιάθέσηστη
καιφορτίαμεσύστηματοεξετάσουμεΑς
2 aRb
aRqqq
είναιφορτίαδύοτανδημιουργούπουδυναμικόΤο
νσυνημιτόνωτωννόμοτοΑπό.4 0wqwqrV
.cos2
1
cos2
1
4 22220
raRraRraar
qrV
cos2καιcos2 222222 rbrbwraraw
βρίσκουμεΤελικά
ζητάμε.πουλύσηηείναι1η0είναιγιαΕπειδή VRr
Η ΜΕΘΟΔΟΣ ΤΩΝ ΕΙΔΩΛΩΝ: ΑΓΩΓΙΜΗ ΣΦΑΙΡΑ
![Page 107: Shmeiwseis Tsetserh](https://reader038.vdocuments.net/reader038/viewer/2022102503/563db8b7550346aa9a964754/html5/thumbnails/107.jpg)
107
σημείο.μακρινόένασενδημιουργούπουδυναμικότοΒρείτε
τους.μεταξύαπόστασησεβρίσκονταιφορτίασημειακάΔύο dq
q q
r r
r
έχουμενσυνημιτόνωτωννόμοτοΑπό
.4
cos1cos22
22222
r
d
r
drrddrr
2d 2d
drr με,θέσησεδυναμικότογιαέχουμεΕπομένως,
.4
cos
2
cos1
2
cos1
1
44
1,
2
000 r
qd
r
d
r
d
r
q
r
q
r
qrV
cos2
11
cos111
έχουμεγιαΆρα,
21
r
d
rr
d
rrdr
3221
16
5
8
3
2
111Taylorανάπτυγματοβάσημε xxxx
ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΔΙΠΟΛΟ
![Page 108: Shmeiwseis Tsetserh](https://reader038.vdocuments.net/reader038/viewer/2022102503/563db8b7550346aa9a964754/html5/thumbnails/108.jpg)
108
σημείο.μακρινόένασενδημιουργούπουδυναμικότοΒρείτε
τους.μεταξύαπόστασησεβρίσκονταιφορτίασημειακάΔύο dq
q q
r rr
2d 2d
:τάξηςανώτερηςπολύπολααπόμακριάδυναμικότο
βρούμεναμπορούμεTaylorανάπτυγμαστοόρους
ουςπερισσότερκρατώνταςκαιτρόποπαρόμοιοΜε
cos2
11
cos111
έχουμεγιαΆρα,
21
r
d
rr
d
rrdr
211Taylorανάπτυγματοβάσημε21
xx
rV 1~
Μονόπολο
21~
Δίπολο
rV 31~
Τετράπολο
rV 41~
Οκτάπολο
rV
ΠΟΛΥΠΟΛΑ
![Page 109: Shmeiwseis Tsetserh](https://reader038.vdocuments.net/reader038/viewer/2022102503/563db8b7550346aa9a964754/html5/thumbnails/109.jpg)
109
σημείο.μακρινόένασενδημιουργούπουδυναμικότοΒρείτε
τους.μεταξύαπόστασησεβρίσκονταιφορτίασημειακάΔύο dq
έχουμενσυνημιτόνωτωννόμοτοΑπό
.4
cos1cos22
22222
r
d
r
drrddrr q q
r r
r
2d 2d
drr με,θέσησεδυναμικότογιαέχουμεΕπομένως,
.4
cos
2
cos1
2
cos1
1
44
1,
2
000 r
qd
r
d
r
d
r
q
r
q
r
qrV
cos2
11
cos111
έχουμεγιαΆρα,
21
r
d
rr
d
rrdr
3221
16
5
8
3
2
111Taylorανάπτυγματοβάσημε xxxx
ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΔΙΠΟΛΟ
.σχεδόνισχύει4
cos,σχέσηητότεμικρόπολύείναιτοΑν
2
0
rr
qdrVd
![Page 110: Shmeiwseis Tsetserh](https://reader038.vdocuments.net/reader038/viewer/2022102503/563db8b7550346aa9a964754/html5/thumbnails/110.jpg)
110
σημείο.μακρινόένασενδημιουργούπουδυναμικότοΒρείτε
τους.μεταξύαπόστασησεβρίσκονταιφορτίασημειακάΔύο dq
q q
r rr
2d 2d
:τάξηςανώτερηςπολύπολααπόμακριάδυναμικότο
βρούμεναμπορούμεTaylorανάπτυγμαστοόρους
ουςπερισσότερκρατώνταςκαιτρόποπαρόμοιοΜε
cos2
11
cos111
έχουμεγιαΆρα,
21
r
d
rr
d
rrdr
211Taylorανάπτυγματοβάσημε21
xx
rV 1~
Μονόπολο
21~
Δίπολο
rV 31~
Τετράπολο
rV 41~
Οκτάπολο
rV
ΠΟΛΥΠΟΛΑ
![Page 111: Shmeiwseis Tsetserh](https://reader038.vdocuments.net/reader038/viewer/2022102503/563db8b7550346aa9a964754/html5/thumbnails/111.jpg)
111
φορτίου.κατανομήτηναπόμακριάσημείοσεδυναμικότοβρούμε
ναΘέλουμε.φορτίουκατανομήυπάρχειχώρουτουπεριοχήΣε
P
r
d
O
r
Pr
w
.4
είναισημείοστοδυναμικόΤο0
w
drrVP
έχουμενσυνημιτόνωνόμοτοΑπό
,cos21cos2
2
22 r
r
r
rrrrrrw
.cos2όπου,1αλλιώςή
2
r
r
r
rrw
δίνει16
5
8
3
2
111TaylorανάπτυγματοΈτσι 3221
.για1
Προφανώς
rr
32
16
5
8
3
2
11
1
1
11
rrw
ΠΟΛΥΠΟΛΙΚΑ ΑΝΑΠΤΥΓΜΑΤΑ: ΣΥΝΕΧΗΣ ΚΑΤΑΝΟΜΗ
![Page 112: Shmeiwseis Tsetserh](https://reader038.vdocuments.net/reader038/viewer/2022102503/563db8b7550346aa9a964754/html5/thumbnails/112.jpg)
112
φορτίου.κατανομήτηναπόμακριάσημείοσεδυναμικότοβρούμε
ναΘέλουμε.φορτίουκατανομήυπάρχειχώρουτουπεριοχήΣε
P
r
d
O
r P
r
w
1.4
είναισημείοστοδυναμικόΤο0
w
drrVP
.cos2
,16
5
8
3
2
11
112
232
r
r
r
r
rw
:βρίσκουμε1τηναπόΤελικά
3
22
2
0
2
1cos3'cos
4
1
r
drr
r
drr
r
drrV
μονόπολουόρος δίπολουόρος τετράπολουόρος
ΠΟΛΥΠΟΛΙΚΑ ΑΝΑΠΤΥΓΜΑΤΑ: ΣΥΝΕΧΗΣ ΚΑΤΑΝΟΜΗ
![Page 113: Shmeiwseis Tsetserh](https://reader038.vdocuments.net/reader038/viewer/2022102503/563db8b7550346aa9a964754/html5/thumbnails/113.jpg)
113
φορτίου.κατανομήτηναπόμακριάσημείοσεδυναμικότοβρούμε
ναΘέλουμε.φορτίουκατανομήυπάρχειχώρουτουπεριοχήΣε
P
r
3
22
2
0
2
1cos3'cos
4
1
r
drr
r
drr
r
drrV
Q
μονόπολουόρος δίπολουόρος
.4
1
0 r
QV
,
ˆ
4
1ˆ
4
1ˆ
4
12
0
2
0
2
0 r
rp
r
drrr
r
drrrV
βρίσκουμεˆcosσχέσητηώνταςΧρησιμοποι rrr
.κατανομήςτηςροπήδιπολικήηείναιόπου rdrrp
ΠΟΛΥΠΟΛΙΚΑ ΑΝΑΠΤΥΓΜΑΤΑ: ΣΥΝΕΧΗΣ ΚΑΤΑΝΟΜΗ
![Page 114: Shmeiwseis Tsetserh](https://reader038.vdocuments.net/reader038/viewer/2022102503/563db8b7550346aa9a964754/html5/thumbnails/114.jpg)
114
δίνειδυναμικούτουςυπολογισμόοθέσειςσεφορτίων
σημειακώνσυλλογήδιακριτήείναικατανομήηπουπερίπτωσηΣε
ii rq
2
0
cos
4
1
r
rq
r
q
rVii
i
i
Q
i
i
μονόπολουόρος δίπολουόρος
,ˆ
4
12
0 r
rpV
βρίσκουμεˆcosσχέσητηώνταςΧρησιμοποι ii rrr
.κατανομήςτηςροπήδιπολικήηείναιόπου1
rrqpn
i
ii
ΠΟΛΥΠΟΛΙΚΑ ΑΝΑΠΤΥΓΜΑΤΑ: ΔΙΑΚΡΙΤΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗ
![Page 115: Shmeiwseis Tsetserh](https://reader038.vdocuments.net/reader038/viewer/2022102503/563db8b7550346aa9a964754/html5/thumbnails/115.jpg)
115
καιτότεσημείοστοαξόνωντωναρχήτηναλλάξουμεΑν arra
,γίνεταιροπήδιπολικήηκαι aQpdrardrrp
κατανομής.τηςφορτίοολικότοείναι drQ
φορτίο.ολικόμηδενικόέχουνπουφορτίουκατανομέςγιαμόνο
αξόνωντωναρχήςτηςανεξάρτητηείναιροπήδιπολικήηΕπομένως
ΔΙΠΟΛΙΚΗ ΡΟΠΗ: ΑΡΧΗ ΤΩΝ ΑΞΟΝΩΝ – ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ
:έχουμεροπήδιπολικήολικήτηνΓια.τετραγώνουτουκέντρο
τοαξόνωντωναρχήωςδιαλέγουμεκαιμηδένείναιφορτίο
ολικόΤο.2πλευράςτετραγώνουκορυφέςστιςφορτίαΈστω
O
aq
.0,,,, aaqaaqaaqaaqrqp ii
:τώραΕίναι.τοαρχήωςδιαλέγουμεκαι0ξανάΕίναι OQ
.0,4,,,, aqaaqaaqaaqaaqp
O
O
κά.διανυσματιαιπροστίθεντροπέςδιπολικέςΟι
![Page 116: Shmeiwseis Tsetserh](https://reader038.vdocuments.net/reader038/viewer/2022102503/563db8b7550346aa9a964754/html5/thumbnails/116.jpg)
116
κέντρο.τοαπόαπόστασησεβ)δακτυλίου,τουκέντροστοα)
βρίσκεταιφορτίοσημειακότοότανσυστήματοςτουροπήδιπολική
τηνΒρείτε.φορτίοσημειακόίτοποθετηθεέχειτουεσωτερικόστο
ενώ,φορτίονοκατανεμημέομοιόμορφαφέρειακτίναςΔακτύλιος
Ra
Q
QR
ΔΙΠΟΛΙΚΗ ΡΟΠΗ: ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ
Q
περίπτωσητηναυτήνσεδίνειτύποςΟα) rdqrp
δακτυλίου.τουκέντροτοαξόνωντωναρχήωςΕπιλέγουμεQ
.02
sinˆcosˆ02
0
dq
r
RdR
QRyRxQp
Q
Q
προφανώςβρίσκουμεμεκέντροτοαπό
διάνυσμακατάαιμετακινείττοΌτανβ)
aa
aQ
.2
sinˆcosˆ2
0aQRd
R
QRyRxaQp
dq
r
a
![Page 117: Shmeiwseis Tsetserh](https://reader038.vdocuments.net/reader038/viewer/2022102503/563db8b7550346aa9a964754/html5/thumbnails/117.jpg)
117
.τοείναιροπής
διπολικήςηλεκτρικήςμέτρησηςμονάδαηSIσύστημαΣτο
meterCoulomb
ΜΟΝΑΔΕΣ ΔΙΠΟΛΙΚΗΣ ΡΟΠΗΣ, ΠΟΛΙΚΑ ΜΟΡΙΑ
H H
-O
o105
p
.καλούνταιαυτόγιακαιροπές
διπολικέςεγγενείςέχουνμόριαΜερικά
πολικά
νερού.τουμόριοτοείναιμορίου
πολικούπαράδειγματικόΧαρακτηρισ
.φορτισμένοαρνητικάείναιοξυγόνουτουαυτό
ενώφορτίο,θετικόφέρουνυδρογόνουάτομαΤα
.ροπήδιπολικήεμφανίζειναμόριοτοείναιαποτέλεσμαΤο p
.σεσυνήθωςμετρούνταιμορίωνροπέςδιπολικέςΟι DDebye
.1033.3A208.0A1 30oo
mCeesuD
1.85D:OH21.42D:NH3
0.53D:O3 0.12D:CO 0D:CO2
![Page 118: Shmeiwseis Tsetserh](https://reader038.vdocuments.net/reader038/viewer/2022102503/563db8b7550346aa9a964754/html5/thumbnails/118.jpg)
118
1,
4
cosˆ
4
12
0
2
0 r
drr
r
rpV
.κατανομήςτηςροπήδιπολικήηείναιόπου rdrrp
.καιθέσειςσε,φορτίαδύοέχειδίπολοφυσικόΈνα 2121 rrqqqq
.όπου,είναιροπήτουδιπολικήΗ 21 rrddqp
είναιπερίπτωσητηναυτήσεδυναμικότοότιδείξειΈχουμε
.1τηνμεσυμβατήείναι2εξίσωσηΗ
ο.πεπερασμένπαραμένεινατοώστετρόποτέτοιο
με,0οποίοτογιααυτόείναιδίπολοιδανικόΤο
qdp
qd
ΦΥΣΙΚΟ – ΙΔΑΝΙΚΟ ΔΙΠΟΛΟ
2.4
cos2
0r
qdrV
q q
r r
r
2d 2d
![Page 119: Shmeiwseis Tsetserh](https://reader038.vdocuments.net/reader038/viewer/2022102503/563db8b7550346aa9a964754/html5/thumbnails/119.jpg)
119
2
04
cosδυναμικότοΑπό
r
prV
.πεδίοηλεκτρικότοβρίσκουμε VE
,4
cos2έχουμενεςσυντεταγμέσφαιρικέςΣε
3
0r
p
r
VEr
ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΠΕΔΙΟ ΔΙΠΟΛΟΥ
.0sin
1,
4
sin13
0
φ
V
rE
r
pV
rE φ
φορτίασημειακάΔύο δίπολοΙδανικό
![Page 120: Shmeiwseis Tsetserh](https://reader038.vdocuments.net/reader038/viewer/2022102503/563db8b7550346aa9a964754/html5/thumbnails/120.jpg)
120
2
04
cosδυναμικότοΑπό
r
prV
:νεςσυντεταγμέσφαιρικέςσε
πεδίοηλεκτρικότοβρίσκουμε VE
.0sin
1,
4
sin1,
4
cos23
0
3
0
φ
V
rE
r
pV
rE
r
p
r
VE φr
ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΠΕΔΙΟ ΔΙΠΟΛΟΥ
φορτίασημειακάΔύο δίπολοΙδανικό
y
z
ωςγραφτείναμπορείδιπόλουιδανικούδυναμικόΤο
.144
ˆ
4
cos3
0
2
0
2
0 r
rp
r
rp
r
prV
![Page 121: Shmeiwseis Tsetserh](https://reader038.vdocuments.net/reader038/viewer/2022102503/563db8b7550346aa9a964754/html5/thumbnails/121.jpg)
121
ωςγραφτείναμπορείδιπόλουιδανικούδυναμικόΤο
zyxrpppp zyx ,,,,,έχουμενεςσυντεταγμέςκαρτεσιανέΣε
x
VEVE xβρίσκουμεπεδίοηλεκτρικότοΓια
ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΠΕΔΙΟ ΔΙΠΟΛΟΥ: ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΗ ΜΟΡΦΗ
.44
3
4
2
2
3
43
0
5
0
25222
0
23222
0r
p
r
rpx
zyx
rpx
zyx
pE xx
x
.144
ˆ
4
cos3
0
2
0
2
0 r
rp
r
rp
r
prV
2.4
άρακαι23222
0 zyx
zpypxprV
zyx
3
0
5
0
3
0
5
0 44
3,
44
3:Ομοίως
r
p
r
rpzE
r
p
r
rpyE z
z
y
y
.
4
ˆˆ3
44
3:μορφήκήδιανυσματισεκαι
3
0
3
0
5
0 r
prrp
r
p
r
rrpE
![Page 122: Shmeiwseis Tsetserh](https://reader038.vdocuments.net/reader038/viewer/2022102503/563db8b7550346aa9a964754/html5/thumbnails/122.jpg)
122
dO
q
q
r
r F
F
E
.μεθέσειςστιςφορτίαμεδίπολοέναΈστω drrrq
στρέψηςροπήασκείπεδίο
ηλεκτρικόδίπολοτέτοιοέναΣε
E
Eq
dEq
dFrFrN
22
,EpEdqN
ΙΔΑΝΙΚΟ ΔΙΠΟΛΟ: ΡΟΠΗ ΣΤΡΕΨΕΩΣ
.πεδίοτομεδίπολοτοζειευθυγραμμίοποίαη E
q
q
.στοδηλαδήαυτόσεκάθετοςείναικαι
διπόλου.τουκέντροτοαπόπερνάειπουςπεριστροφήάξονα
απόγύρωςπεριστροφέσεβέβαιααναφέρεταιροπήΗ
p
N
![Page 123: Shmeiwseis Tsetserh](https://reader038.vdocuments.net/reader038/viewer/2022102503/563db8b7550346aa9a964754/html5/thumbnails/123.jpg)
123
d
O
q
qr
r
F
F
E
.σημείοστοδυναμικότοόπου,είναι
φορτίουτουενέργειαδυναμικήΗ
11
rVqV
q
1coscos
είναιδιπόλουτουενέργειαδυναμικήη 2121
d
VVqdVVqU
.cossin:άΕναλλακτικ00
EppEdpENdU
ΙΔΑΝΙΚΟ ΔΙΠΟΛΟ ΣΕ ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΠΕΔΙΟ
Άρα,.θέσηστηδυναμικότοόπου,είναι
φορτίουτουενέργειαδυναμικήηΑντίστοιχα
22
rVqV
q
x
.cosκαιcos
είναι0Για 2121 EppEUEdx
dV
x
VV
d
VVd
D
.έχουμεδύναμητηνΓια EpUF
ABBAABBABA
ταυτότητατηνΑπό
.βρίσκουμε
000
EppEEppEEpF
xD
.2για0ωςορίζεταιαναφοράςστάθμηηεδώΠροφανώς 00 U
![Page 124: Shmeiwseis Tsetserh](https://reader038.vdocuments.net/reader038/viewer/2022102503/563db8b7550346aa9a964754/html5/thumbnails/124.jpg)
124
;αντίστοιχακαιθέσειςσεβρίσκονταιπουκαι
διπόλωνδύοασηςαλληλεπίδρενέργειαδυναμικήηείναιΠοια
2121 rrpp
U
.
4
ˆˆ3:Άρα
3
120
1221212112
r
rprpppEpU
ΔΙΠΟΛΟ ΣΤΗΝ ΓΕΙΤΟΝΙΑ ΔΙΠΟΛΟΥ
όπου,
4
ˆˆ3:πεδίοδημιουργείδίπολοτοότιδείξειΈχουμε
3
120
11212111
r
prrpEp
.δηλαδή,θέσητηπροςωςορίζεταιθέσηςδιάνυσματο 1212112 rrrrr
:έχουμεδιπόλωντωνμεταξύδύναμητηΓια F
z
Ep
y
Ep
x
EpEpF zyx
12
12
1212
.πεδίουτουγραμμέςδυναμικέςτιςμεδίπολοτο
σειευθυγραμμίνατείνειπουστρέψηςροπήκαιΥπάρχει
12
122
Ep
EpN
![Page 125: Shmeiwseis Tsetserh](https://reader038.vdocuments.net/reader038/viewer/2022102503/563db8b7550346aa9a964754/html5/thumbnails/125.jpg)
125
.ισορροπίαςκατάστασητηνρείτενται.περιστρέφοναμπορούν
καιαπόστασησταθερήσεβρίσκονταιροπήςμέτρομεδίπολαΔύο
ap
.
4
ˆˆ3ασηςαλληλεπίδρενέργειαςτης
ίησηελαχιστοποτηναπόπροκύπτειισορροπίαςκατάστασηΗ
3
120
12212121
r
rprpppU
ΔΙΠΟΛΟ ΣΤΗΝ ΓΕΙΤΟΝΙΑ ΔΙΠΟΛΟΥ: ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΣ
:ταΠαραδείγμα
:0,θέσηστηˆ,αξόνωντωναρχήστηνˆ)1 21 ayppxpp
.0
4
030,ˆˆ
3
0
12
a
pUxr
.0
4
030,ˆˆ
3
0
12
a
pUyr
:,0θέσηστηˆ,αξόνωντωναρχήστηνˆ)2 21 ayppxpp
.
24
2
4
3,ˆˆ
3
0
2
3
0
2
3
0
2
12a
p
a
p
a
pppUxr
:0,θέσηστηˆ,αξόνωντωναρχήστηνˆ)3 21 axppxpp
x
y
z
x
y
z
x
y
z
![Page 126: Shmeiwseis Tsetserh](https://reader038.vdocuments.net/reader038/viewer/2022102503/563db8b7550346aa9a964754/html5/thumbnails/126.jpg)
126
.ˆροπήσείπεριστραφεναςταυτοχρόνωκαιεπίπεδοτοαπό
2απόστασησεδίπολοτομεταφερθείναγιααπαιτείταιπουέργο
τοΒρείτε.επίπεδοτοεικαταλαμβάνπουπλάκααγώγιμηγειωμένη
απόαπόστασησεαρχικάβρίσκεταιˆροπήςδίπολοΙδανικό
2
1
zpp
aW
xy
aypp
ΔΙΠΟΛΟ ΣΤΗΝ ΓΕΙΤΟΝΙΑ ΓΕΙΩΜΕΝΗΣ ΠΛΑΚΑΣ
x
y
z0V
1p
1p
a
a
πλάκα.-δίπολοσύστηματογιαπρόβλημα
τικόηλεκτροστατολύσουμεναΧρειάζεται
ειδώλων.τωνμέθοδοτημεεύκοληείναιλύσηΗ
Π.χ,ό.κατοπτρισμαπόπροκύπτειδιπόλουείδωλοΤο
.0,0,θέσηστηˆτοείναιˆτουείδωλοτο 11 ayppypp
:είναι-των
ενέργειαδυναμικήΗ
11 pp
.3224
ˆˆ33
0
2
3
0
11111
a
p
a
zpzpppU
.2,0,0θέσηστηνˆτοείναιτουείδωλοτοΟμοίως, 22 azppp
.
128
5:Άρα.
12844
3τώραΕίναι
3
0
2
123
0
2
3
0
22
2a
pUUW
a
p
a
ppU
![Page 127: Shmeiwseis Tsetserh](https://reader038.vdocuments.net/reader038/viewer/2022102503/563db8b7550346aa9a964754/html5/thumbnails/127.jpg)
127
:σευλικάταεδιακρίνουμφορτίωντωνφύσητηνμεΑνάλογα
αγωγού.τουχώροτονόλοσεκινούνταικαι
άτοματααπόξεφύγειέχουνπουφορτίαελεύθερα""Υπάρχουν:Αγωγοί
υλικού.τουάτομασταδέσμια
παραμένουνηλεκτρόνιαταφορτία,ελεύθερα""υπάρχουνΔεν:Μονωτές
.καικαλούνταιμονωτέςΟι άδιηλεκτρικ
μέταλλα.ταείναιαγωγοίΤυπικοί
.SiOπ.χ.οξείδιαείναιμονωτέςΤυπικοί 2
α.αγωγιμότητηλεκτρικήυψηλήέχουναγωγοίΟι
α.αγωγιμότητμηδενικήπρακτικάσυχνάχαμηλήπολύέχουνμονωτέςΟι
.προσμίξεωνύπαρξητηνκαι/ήαθερμοκρασίτηναπόεξαρτάταιααγωγιμότητ
ηοποίωντωνημιαγωγών,τωνκατηγορίαενδιάμεσηηκαιΥπάρχει
ΑΓΩΓΟΙ – ΜΟΝΩΤΕΣ (ΔΙΗΛΕΚΤΡΙΚΑ)
![Page 128: Shmeiwseis Tsetserh](https://reader038.vdocuments.net/reader038/viewer/2022102503/563db8b7550346aa9a964754/html5/thumbnails/128.jpg)
128 ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗ ΕΙΔΙΚΗΣ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΑΝΤΙΣΤΑΣΗΣ
1-5 cm για μέταλλα
(π.χ. Ag, Cu, Al)
3.5 X 103 cm για
γραφίτη
(ημιμέταλλο)
2.3 X 1011 cm για Si
(ημιαγωγός)
~ 1025 cm για
χαλαζία, SiO2
(μονωτής)
Πυκνή δομή, π.χ. κυβική εδροκεντρωμένη (FCC)
![Page 129: Shmeiwseis Tsetserh](https://reader038.vdocuments.net/reader038/viewer/2022102503/563db8b7550346aa9a964754/html5/thumbnails/129.jpg)
129
.ροπήςδιπολικήςεμφάνισητηναποτέλεσματελικόμεταιμετατοπίζε
νέφοςκόηλεκτρονιατοτότεπεδίοηλεκτρικόσεμέσατεθείάτομοέναΑν
p
ατόμου.τουταπολωσιμότη
λεγόμενηηείναιόπου,Είναι αEp
.κατάσφαίρας
τηςκέντροτοαπόταιμετατοπίζεμε
φορτίομεπυρήναςοότιυποθέσουμεΑς
dq
q
καιροπήδιπολικήιεμφανίζεταΈτσι qdp
.4
1πεδίοηλεκτρικό
3
0 r
qdE
ατόμου.τουακτίναηείναιόπου
,γιατοαπόακυρώνεταιπεδίο
εξωτερικότοισορροπίαςκατάστασηΣτη
a
arE
.344
1βρίσκουμεΈτσι 0
3
03
0
όόaEEa
qd
ΠΟΛΩΣΗ – ΕΠΑΓΟΜΕΝΟ ΔΙΠΟΛΟ
![Page 130: Shmeiwseis Tsetserh](https://reader038.vdocuments.net/reader038/viewer/2022102503/563db8b7550346aa9a964754/html5/thumbnails/130.jpg)
130 ΤΑΝΥΣΤΗΣ ΠΟΛΩΣΙΜΟΤΗΤΑΣ
:τανυστήςέναςείναιταπολωσιμότηηπερίπτωσηγενικότερηΣτην
δηλαδή,Eαp
.
z
y
x
zzzyzx
yzyyyx
xzxyxx
z
y
x
E
E
E
p
p
p
![Page 131: Shmeiwseis Tsetserh](https://reader038.vdocuments.net/reader038/viewer/2022102503/563db8b7550346aa9a964754/html5/thumbnails/131.jpg)
όδιηλεκτρικ
131 ΔΙΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΣΕ ΕΞΩΤΕΡΙΚΟ ΠΕΔΙΟ – ΠΟΛΩΣΗ ΚΑΙ
ΔΕΣΜΙΑ ΦΟΡΤΙΑ
φορτίων.θετικώνγειτονιάστην
π.χ.πεδίο,ηλεκτρικόμεπεριοχήσε
βρίσκεταιόδιηλεκτρικέναότιΈστω
ό.διηλεκτρικτοολόκληροσεροπών
διπολικώνεμφάνισητηναποτέλεσμαμε
πολώνονταιούδιηλεκτρικτουάτομαΤα
όγκου.μονάδαανάροπήδιπολικήτηνως
πόλωσητηνορίζουμεδιπόλωνκατανομήμίαφέρειπουυλικόέναΓια
rP
.ροπήδιπολικήυπάρχειθέσηστηνόγκοστοιχειώδηΣε drPpdrd
.rrwrw
pdwdVpd
μεθέσηστη
ˆ
4
1δυναμικόδημιουργείροπήΗ
2
0
1.ˆ
4
1είναιτηςλόγωστοδυναμικόολικόΤο
2
0
d
w
rPwrVrPr
O
r
r w
![Page 132: Shmeiwseis Tsetserh](https://reader038.vdocuments.net/reader038/viewer/2022102503/563db8b7550346aa9a964754/html5/thumbnails/132.jpg)
132
.ˆ1
τότεμεταβλητήτηνγιαβαθμίδαηείναιαν2w
w
wrrw ww
2.4
11
4
1
00
d
w
Pd
w
Pd
wrPrV r
rr
.4
1
4
1δίνειαπόκλισηςτηςθεώρημαΤο
00
Sr
w
adPd
w
P
ΠΟΛΩΣΗ – ΔΕΣΜΙΑ ΦΟΡΤΙΑ
1.ˆ
4
1είναι
τηςλόγωστοδυναμικόολικόΤο
2
0
d
w
rPwrVrP
r
όδιηλεκτρικ
O
r
r
ισχύεινεςσυντεταγμέσφαιρικέςΣε
΄Αρα.ˆ1
ˆ1
2r
r
rrr
r
Επομένως.ˆ1άρακαιόμωςΕίναι 2wwwrwr
w
![Page 133: Shmeiwseis Tsetserh](https://reader038.vdocuments.net/reader038/viewer/2022102503/563db8b7550346aa9a964754/html5/thumbnails/133.jpg)
133
.
dw
dw
P br
έχουμετότεφορτίου
πυκνότηταχωρικήκαιορίσουμεΑν
Pb
3.4
1
γράφεταιτοκαι
0
d
wad
wrV
rV
b
S
b
διπόλων.παρουσίατηνμεισχετίζονταπουφορτίωνδέσμιωνπυκνότητα
ήεπιφανειακκαιχωρικήτηορίζουνˆκαισχέσειςΟι nPP bb
ΠΟΛΩΣΗ – ΔΕΣΜΙΑ ΦΟΡΤΙΑ
που,4
1
4
1δίνειαπόκλισηςτηςθεώρημαΤο
00
Sr
w
adPd
w
P
nPbˆφορτίουπυκνότηταήεπιφανειακαπόδυναμικότομεσυμπίπτει
όδιηλεκτρικ
O
r
r
φορτίωνδέσμιων
κατανομήήεπιφανειακ
![Page 134: Shmeiwseis Tsetserh](https://reader038.vdocuments.net/reader038/viewer/2022102503/563db8b7550346aa9a964754/html5/thumbnails/134.jpg)
134
.τότεείναιθαπυκνότηταολικήΗ.πυκνότηταμε
ελεύθερακαιυπάρχουνναμπορεί φορτία δέσμια τααπόΕκτός
fbf
δίνειGaussτουνόμοςοπερίπτωσητηναυτήΣε
1.00 fffb PEPE
2.:Ορισμός 0 PED
ςμετατόπισηηλεκτρικής
:φορτίαελεύθεραγιαGaussτουνόμοτονδίνουν2και1Οι
.μορφήκήολοκληρωτισεή, fS
f QadDD
.ακόμηΕίναι 0 PPED
.και0είναιούδιηλεκτρικενόςεξωτερικόστοΠροφανώς 0EDb
ΗΛΕΚΤΡΙΚΗ ΜΕΤΑΤΟΠΙΣΗ
![Page 135: Shmeiwseis Tsetserh](https://reader038.vdocuments.net/reader038/viewer/2022102503/563db8b7550346aa9a964754/html5/thumbnails/135.jpg)
135
πεδίο.εξωτερικόκάποιοαπόεπάγεταισυνήθωςυλικούενόςπόλωσηΗ
δηλαδή,πεδίουηλεκτρικούνουεφαρμοζόμετουανάλογηείναι
πόλωσηηότιισχύειάδιηλεκτρικγραμμικάλεγόμεναταΓια
E
P
1,0 EP e
μέσα.γραμμικά-μηγιατότεμιλάμεκαιόροι
γραμμικοί-μηκαιθούνσυμπεριληφναπρέπειπεδίαισχυράπολύΓια E
,1βρίσκουμε1σχέσητηνΑπό 00 EEPED e
υλικού.τουτηταεπιδεκτικόηλεκτρικήηείναιόπου e
υλικού.τουηταδιαπερατότηλεκτρικήηείναι1όπου 0 e
υλικού.
τουσταθεράήδιηλεκτρικσχετική
τηνορίζει1λόγοςΟ0
eK
:ταΠαραδείγμα
ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΔΙΗΛΕΚΤΡΙΚΑ
30OLa25HfO
1200BaTiO4,80
9,3SiO12
741
322
3
2
ό
ί
ίό
Υλικό K KΥλικό
![Page 136: Shmeiwseis Tsetserh](https://reader038.vdocuments.net/reader038/viewer/2022102503/563db8b7550346aa9a964754/html5/thumbnails/136.jpg)
136 ΣΙΔΗΡΟΗΛΕΚΤΡΙΚΑ ΥΛΙΚΑ
![Page 137: Shmeiwseis Tsetserh](https://reader038.vdocuments.net/reader038/viewer/2022102503/563db8b7550346aa9a964754/html5/thumbnails/137.jpg)
137
κέντρο.στοδυναμικότοΒρείτε.ηταςδιαπερατότυλικόαπόακτίνα
τηνμέχριαιπεριβάλλετκαιφορτίοφέρειακτίναςσφαίραΜεταλλική
b
Qa
b
a.γιαˆ
4 2arr
r
QD
συμμετρίαςσφαιρικήςΛόγω
.γιαˆ
4
γιαˆ4
έχουμεΕπομένως
2
0
2
brr
r
Q
brarr
Q
DE
κέντροτοωςάπειροστοαναφοράςσημείοτοαπό
νταςολοκληρώνοκέντροστοδυναμικότοβρούμενατώραΜπορούμε
.111
40
44 0
0
22
0
0
bab
Qdrdr
r
Qdr
r
QldEV
a
a
b
b
ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΔΙΗΛΕΚΤΡΙΚΑ: ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ
f
SQadD
Gaussτουνόμοτοαπόέχουμε
όδιηλεκτρικ
![Page 138: Shmeiwseis Tsetserh](https://reader038.vdocuments.net/reader038/viewer/2022102503/563db8b7550346aa9a964754/html5/thumbnails/138.jpg)
138
κέντρο.στοδυναμικότοΒρείτε.ηταςδιαπερατότυλικόαπόακτίνα
τηνμέχριαιπεριβάλλετκαιφορτίοφέρειακτίναςσφαίραΜεταλλική
b
Qa
b
a
.γιαˆ4 2
arrr
QD
.γιαˆ
4
γιαˆ4
έχουμεΕπομένως
2
0
2
brr
r
Q
brarr
Q
DE
:βρίσκουμεδυναμικότοΓια
.111
40
44 0
0
22
0
0
bab
Qdrdr
r
Qdr
r
QldEV
a
a
b
b
ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΔΙΗΛΕΚΤΡΙΚΑ: ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ
,ˆ4
έχουμεόδιηλεκτρικστο πόλωσητηνΓια2
00 r
r
QEP e
e
.4
,4
πυκνότηταήεπιφανειακσείαντιστοιχεπου2
0
2
0
a
Q
b
Q ear
bebr
b
![Page 139: Shmeiwseis Tsetserh](https://reader038.vdocuments.net/reader038/viewer/2022102503/563db8b7550346aa9a964754/html5/thumbnails/139.jpg)
139 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΔΙΗΛΕΚΤΡΙΚΑ: ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ
παντού.ακτινικάείναιμετατόπισηηκαιπεδίο
ηλεκτρικότοκαισυμμετρίαςσφαιρικήςΛόγω
DE
:δίνειGaussτουνόμοςΟ fQadD
.καιγια0,γιαˆ4
12212RrRrDRrRr
r
QD
2R
1R
όδιηλεκτρικ
,
καιγια0
γιαˆ4:Επομένως
12
212
0
RrRr
RrRrr
QD
Er
.1
100
re
re EEP
έχουμε,αποστάσειςστιςπυκνότητεςέςεπιφανειακτιςΓια 21 RrRr
.4ˆ,4ˆ 2
222
2
111 RQrPRQrP rere
φορτίων.δέσμιωνπυκνότητεςέςεπιφανειακτιςκαικαθώςπυκνωτή,του
περιοχέςδιάφορεςστις,,μεγέθηταΒρείτεα.φορτίοέχει
φλοιόςΟ.σταθεράήδιηλεκτρικσχετικήμευλικόυπάρχει
καιακτίνεςμεφλοιώνσφαιρικώναγώγιμωνομόκεντρωνδύοΜεταξύ
2112
1
PDEQQ
RRRR
R
r
![Page 140: Shmeiwseis Tsetserh](https://reader038.vdocuments.net/reader038/viewer/2022102503/563db8b7550346aa9a964754/html5/thumbnails/140.jpg)
140
πυκνωτή.τουταχωρητικότητηνβρείτε
1ωςόδιηλεκτρικστομέσααιμεταβάλλετσταθερά
ήδιηλεκτρικσχετικήηΑνβ.φορτίοφλοιόςοκαιφορτίοέχει
φλοιόςοότιΈστω.σταθεράσχετικήμευλικόόδιηλεκτρικ
υπάρχεικαιακτίνεςμεφλοιώνσφαιρικώνομόκεντρωνδύοΜεταξύ
2
21
2
211
21
r
rRRr
QRQ
RRR
RR
rr
r
ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΔΙΗΛΕΚΤΡΙΚΑ: ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ
2R
1R
όδιηλεκτρικ
QQ εδώδηλαδή,γιαˆ
4:Είναι 212
0
RrRrr
QE
r
.
1
4
ˆˆ
4 2121021
2
0 RRrRR
rQ
rRRrr
rQE
δυναμικούδιαφοράυπάρχειφλοιώντωνμεταξύΆρα,
D
2
1
2
21021210
ln44
2
1
1
2 R
R
RR
Q
RRrRR
drQEdrV
R
R
R
R
12210 ln2ταχωρητικότητηνβρίσκουμεΤελικά RRRRVQC D
![Page 141: Shmeiwseis Tsetserh](https://reader038.vdocuments.net/reader038/viewer/2022102503/563db8b7550346aa9a964754/html5/thumbnails/141.jpg)
σ
141
.ομοιόμορφηαπαραίτηταόχιπυκνότητα
μεφορτίουκατανομήήεπιφανειακμίαΈστω
Aε
:δίνεισχήματοςτουίπεδοπαραλληλεπ
στοGaussτουνόμουτουΕφαρμογή
1.)2 000
άάάά EEAQAEEadE
.0γιαιμηδενίζετα
ολοκλήρωμαόεπιφανειακπλευρικότο1)
άE
άE
ΗΛΕΚΤΡΟΣΤΑΤΙΚΕΣ ΣΥΝΟΡΙΑΚΕΣ ΣΥΝΘΗΚΕΣ
n
.σταθεράςήςδιηλεκτρικυλικό
υπάρχεικατανομήήεπιφανειακτηναπόκάτωπάνωότιτώραΈστω
άά
βρίσκουμεφορτίοελεύθεροτογιαGaussτουνόμοτονΑπό
1.:άρακαι
άάάά DDAQADDadD
0γιαιμηδενίζετατουολοκλήρωμαόεπιφανειακπλευρικότο D
![Page 142: Shmeiwseis Tsetserh](https://reader038.vdocuments.net/reader038/viewer/2022102503/563db8b7550346aa9a964754/html5/thumbnails/142.jpg)
142
σ
||
άE
||
άEε
l
2,δίνει0σχέσηΗ ||||
άά EEldE
.0γιαιμηδενίζετα
ολοκλήρωμαπλευρικότοαφού
ΗΛΕΚΤΡΟΣΤΑΤΙΚΕΣ ΣΥΝΟΡΙΑΚΕΣ ΣΥΝΘΗΚΕΣ
σχήματος.τουκαμπύληστητουοεπικαμπύλικλειστότοκαιΕξετάζουμε E
.σταθεράςήςδιηλεκτρικυλικό
υπάρχεικατανομήήεπιφανειακτηναπόκάτωπάνωότιπάλιΈστω
άά
.Είναι 0 PED
τώραδίνει2σχέσηηΕπομένως,
.2|||||||| άάάά PPDD
1.:ακόμηΕίναι άά DD
ών.διηλεκτρικπαρουσίασυνθήκεςσυνοριακέςτιςαποτελούν2,1Οι
![Page 143: Shmeiwseis Tsetserh](https://reader038.vdocuments.net/reader038/viewer/2022102503/563db8b7550346aa9a964754/html5/thumbnails/143.jpg)
143
δυναμικό;τογιασυνθήκεςσυνοριακέςοιείναιΠοιες
σ
ε
:έχουμεορισμότονΑπό
.3συνθήκητηνέχουμεΆρα άά VV
.0για0 b
aab ldEVV
άE
άE
nVVnEE άάάάˆδίνειˆσχέσηηάλλητηνΑπό
00
βρίσκουμεˆμεγινόμενοεσωτερικότοΠαίρνοντας n
.ˆόπου,ˆ00
Vnn
V
n
V
n
VVVn άά
άά
ΗΛΕΚΤΡΟΣΤΑΤΙΚΕΣ ΣΥΝΟΡΙΑΚΕΣ ΣΥΝΘΗΚΕΣ
a
bn
.σταθεράςήςδιηλεκτρικυλικό
υπάρχεικατανομήήεπιφανειακτηναπόκάτωπάνωότιπάλιΈστω
άά
άάάάάά EEDD δίνεισχέσηηΤότε
.αλλιώς,ή
n
V
n
V άά
άά
![Page 144: Shmeiwseis Tsetserh](https://reader038.vdocuments.net/reader038/viewer/2022102503/563db8b7550346aa9a964754/html5/thumbnails/144.jpg)
144
fπυκνότηταςφορτίουελεύθερουκατανομήμε
ώνδιηλεκτρικδύομεταξύαδιεπιφάνειμίαυπάρχειπουπερίπτωσηΣτην
20και1συνθήκεςσυνοριακέςοι ||||
0
άάάά EE EE
εξήςωςνταιτροποποιού
.και ||||||||
άάάάfάά DD PPDD
ωςκαιγραφτείναμπορεί3σχέσηΗ
,fάάάά EE
.δυναμικούτουσυναρτήσειή fά
άά
άn
V
n
V
ΔΙΗΛΕΚΤΡΙΚΑ: ΣΥΝΟΡΙΑΚΕΣ ΣΥΝΘΗΚΕΣ
.Είναι 0 PED
![Page 145: Shmeiwseis Tsetserh](https://reader038.vdocuments.net/reader038/viewer/2022102503/563db8b7550346aa9a964754/html5/thumbnails/145.jpg)
145 ΔΙΗΛΕΚΤΡΙΚΑ: ΣΥΝΟΡΙΑΚΕΣ ΣΥΝΘΗΚΕΣ
.φορτίαελεύθεραχωρίςσχήματοςτουαδιεπιφάνει
τηννσχηματίζουκαισταθερώνώνδιηλεκτρικΥλικά 21
1
2
1D
2D
1
2
:δίνουνσυνθήκεςσυνοριακέςΟι
1.coscos
coscos
222111
2211
EE
DD
0fάά DD
0||||
άά EE
2.sinsin 2211 EE
.tan
tan:βρίσκουμε2και1τιςμέρηκατάΔιαιρώντας
2
1
2
1
![Page 146: Shmeiwseis Tsetserh](https://reader038.vdocuments.net/reader038/viewer/2022102503/563db8b7550346aa9a964754/html5/thumbnails/146.jpg)
146
.καιακτίνεςτιςαπόμεγαλύτεροπολύείναιπου
μήκοςέχουνκύλινδροιοιανσυστήματοςτουταχωρητικότη
ηβρεθείΝα.σταθεράςήςδιηλεκτρικυλικόμεγεμάτοςείναι
καιακτίνεςμεκυλίνδρωννομοαξονικώδύομεταξύχώροςΟ
21
121
RR
L
RRR
κυλίνδρων.τωνάκρεςστιςπεριοχήτηναγνοήσουμε
ναεπιτρέπειμας,ότιγεγονόςΤο 21 RRL
ΧΩΡΗΤΙΚΟΤΗΤΑ ΟΜΟΑΞΟΝΙΚΟΥ ΠΥΚΝΩΤΗ: ΠΡΟΒΛΗΜΑ
καισυμμετρίακυλινδρικήπροσέγγισηκατάυπάρχει
κυλίνδρωντωνόγκοκύριοστονανάμεσαπεριοχήΣτην
Gauss.τουνόμοτονεεφαρμόσουμναμπορούμε
,22είναινεςσυντεταγμέςκυλινδρικέΣε rLQDQrLD
κύλινδρο.έξωμέσαστονφορτίοτοόπου QQ
και2ˆείναιγιαΕπομένως, 21 rLQrDERrR
.ln
2
2
ln
2 12
122
1 RR
L
V
QC
L
RRQ
rL
QdrV
R
R
DD
1R2R
L
![Page 147: Shmeiwseis Tsetserh](https://reader038.vdocuments.net/reader038/viewer/2022102503/563db8b7550346aa9a964754/html5/thumbnails/147.jpg)
147
:σύνδεσηΠαράλληλη
ΣΥΝΔΕΣΗ ΠΥΚΝΩΤΩΝ
VD
1C
2C
VD
1C
2C
δυναμικού.διαφορές
ςαντίστοιχεοι,καικαιπυκνωτών
τωνοπλισμούςστουςφορτίατακαιΈστω
2121
21
VVCC
DD
.είναισύνδεσηπαράλληληΣτην 21 VVV DDD
είναιπυκνωτώντωναριστεράφορτίοολικότοενώ
.21 QQQ
.βρίσκουμεταχωρητικότηολικήτηνγιαΆρα, 21
2
2
1
1 CCV
Q
V
Q
V
QC
D
D
D
:σειράσεΣύνδεση .γιατί;καιτώραΕίναι 2121 QQQVVV DDD
έχουμεταχωρητικότηολικήτηνγιαΕπομένως,
.111
212
2
1
121
CCQ
V
Q
V
Q
VV
Q
V
C
D
D
DD
D
![Page 148: Shmeiwseis Tsetserh](https://reader038.vdocuments.net/reader038/viewer/2022102503/563db8b7550346aa9a964754/html5/thumbnails/148.jpg)
148
πυκνωτή.του
ταχωρητικότηηβρεθείΝα.καιεμβαδάέχουνοπλισμούςτουςμε
υλικώνδύοτωνεπαφέςοικαιείναιοπλισμώντωνμεταξύαπόσταση
Ησχήμα.στοφαίνεταιόπωςκαισταθεράςήςδιηλεκτρικυλικά
δύομεγεμάτοςείναιπυκνωτήεπίπεδουοπλισμώνδύοτωνμεταξύχώροςΟ
21
21
C
AA
d
ΧΩΡΗΤΙΚΟΤΗΤΑ ΠΥΚΝΩΤΗ: ΠΡΟΒΛΗΜΑ
1
2
1A
2A
1Q
2Q
1επιφάνειαΓκαουσιανή
2επιφάνειαΓκαουσιανή
δίνεισχήματοςτουεπιφάνειεςςΓκαουσιανέ
στιςGaussτουνόμουτουΕφαρμογή
.
και
2222222
1111111
QAEQAD
QAEQAD
1D
2D
.είναιπυκνωτήσυνολικότονΓια 21 QQQ
.σύνδεσηπαράλληληπροφανώςκαι 21 VVV DDD
.,:ικάπροσεγγιστακόμηΕίναι 2211 dEVdEV DD
.:βρίσκουμεΤελικά 2211
d
AA
V
QC
D
![Page 149: Shmeiwseis Tsetserh](https://reader038.vdocuments.net/reader038/viewer/2022102503/563db8b7550346aa9a964754/html5/thumbnails/149.jpg)
149
.εμβαδόέχειοπλισμόςκάθεοανπυκνωτήτουταχωρητικότηηβρεθεί
Να.καιείναιυλικώντωνπάχητακαιείναιοπλισμώντωνμεταξύ
απόστασηΗσχήμα.στοφαίνεταιόπωςκαισταθεράςήςδιηλεκτρικ
υλικάμεγεμάτοςείναιπυκνωτήεπίπεδουοπλισμώντωνμεταξύχώροςΟ
21
21
A
ddd
ΧΩΡΗΤΙΚΟΤΗΤΑ ΠΥΚΝΩΤΗ: ΠΡΟΒΛΗΜΑ
12
1d2d
Q Q
1E
2E
έχουμεπερίπτωσητηναυτήνΣε
221121 dEdEVVV DDD
:ταχωρητικότητηνγιαβρίσκουμεκαι
.1 2221112211
Q
dDdD
Q
dEdE
Q
V
Cολ
D
.δίνεισχήματος
τουεπιφάνειεςστιςGaussνόμουτουΕφαρμογή
2121 AQDDQADAD
1επιφάνειαΓκαουσιανή
2επιφάνειαΓκαουσιανή
A
.1
βρίσκουμεΤελικά 2211
A
dd
C
![Page 150: Shmeiwseis Tsetserh](https://reader038.vdocuments.net/reader038/viewer/2022102503/563db8b7550346aa9a964754/html5/thumbnails/150.jpg)
150
είναιφορτίατακατάλληλααςμετακινώντφορτίουκατανομή
μίαείδημιουργηθναγιααπαιτείταιπουέργοτοότιδείξειΈχουμε
r
γιατί;ισχύειτότε,αντίστοιχακαιπυκνότητεςμεφορτίαδέσμια
καιελεύθερακαιτελικάεμφανίζεικατανομήηπουπερίπτωσηΣτην
bf
.2
1
2
1
2
1:βρίσκουμεΤελικά
22
όό
dD
dEdEDW
ΔΙΗΛΕΚΤΡΙΚΑ: ΕΝΕΡΓΕΙΑ
.όγκοσεπυκνότηταςκατανομήσυνεχήγια2
1ΩrdrVrW
Ω
.
2
1
2
1
2
1
2
1
ΩΩΩΩ
D
f dVDdVDVdDVdW
παίρνουμεέτσικαι0είναικατανομήτηναπόΈξω D
ύά
ύ
E
ύdEDadVDdVDdVDW
2
1
2
1
2
1
2
1
0
""
![Page 151: Shmeiwseis Tsetserh](https://reader038.vdocuments.net/reader038/viewer/2022102503/563db8b7550346aa9a964754/html5/thumbnails/151.jpg)
151
πυκνωτή.στοννηαποθηκευμέείναι
πουενέργειαςτηςμεταβολήηβρεθείΝα.σταθεράςήςδιηλεκτρικ
σχετικήςυλικόπυκνωτήτουπλάκεςστιςανάμεσαεισάγεταιΚατόπιν
.είναιενέργειαπυκνωτήστοννηαποθηκευμέηκατάστασητηναυτή
Σετου.οπλισμώντωνμεταξύκενόαρχικάέχειπυκνωτήςΕπίπεδος
1
K
U
ΔΙΗΛΕΚΤΡΙΚΑ: ΕΝΕΡΓΕΙΑ
d
ενέργειανηαποθηκευμέτηνγιαβρειΈχουμε
.2
1 2
ό
dD
U
ό.διηλεκτρικ
τομπαίνειόταναλλάζει
δενοπλισμώντωνφορτίοτο
ότιυποθέσουμεναΜπορούμε
.1
2
1
2
1βρίσκουμεΈτσι 1
0
2
0
2
12K
KU
dD
K
dDUUU
D
![Page 152: Shmeiwseis Tsetserh](https://reader038.vdocuments.net/reader038/viewer/2022102503/563db8b7550346aa9a964754/html5/thumbnails/152.jpg)
152
πυκνωτή.τουφορτίοτοόπου
,δυναμικούδιαφοράέχειταςχωρητικότηπυκνωτήςότιΈστω
q
CqVC
πόλο.θετικόστοναρνητικότοναπόφορτίο
θετικόεμεταφέρουμναπρέπειπεραιτέρωφορτίσουμεναΓια
dq
.1έργοαπαιτείαυτήμετακίνησηΗC
qdqVdqdW
:φορτίομεπυκνωτήτονφορτίσουμε
ναγιααπαιτείταιπουέργοολικότοδίνει1τηςΟλοκλήρωση
Q
.2
1
2
1 22
0CV
C
Q
C
qdqW
Q
.πυκνωτήτουενέργειαδυναμικήωςαιαποθηκεύετ2
1αυτόέργοΤο 2CV
ΕΝΕΡΓΕΙΑ ΠΥΚΝΩΤΗ
πυκνωτή.τουοπλισμούςστουςανάμεσα
όδιηλεκτρικυπάρχειότανκαιισχύουνσχέσειςίδιεςοιΠροφανώς
![Page 153: Shmeiwseis Tsetserh](https://reader038.vdocuments.net/reader038/viewer/2022102503/563db8b7550346aa9a964754/html5/thumbnails/153.jpg)
153
w
l
y
d
x
ΔΙΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΣΕ ΠΥΚΝΩΤΗ: ΔΥΝΑΜΗ
,ενέργειαδυναμικήτηναλλάζει
ούδιηλεκτρικτουμετακίνησηΗ
U
:δύναμηαυτόσεασκείταιάρα
dx
dUF
.όπου
,22
0
22
xld
wC
C
QCVU
er
τότεαλλάζει
δενφορτίοολικότο
ότιυποθέσουμεΑν
.222
200
2
2
2
Vd
w
d
wV
dx
dC
C
Q
dx
dUF ee
παράγειαυτήτότεμπαταρίαμίααπόσταθερόιδιατηρείταδυναμικότοΑν
:ανά.έργο VdQdW .2
1
2
222
dx
dCV
dx
dCV
dx
dCV
dx
dQV
dx
dUF
![Page 154: Shmeiwseis Tsetserh](https://reader038.vdocuments.net/reader038/viewer/2022102503/563db8b7550346aa9a964754/html5/thumbnails/154.jpg)
a
a a
a
154 ΠΡΟΒΛΗΜΑ Α.5 Δύο επίπεδοι γειωμένοι αγωγοί καταλαμβάνουν τα επίπεδα z = 0 και y =
0. Σημειακό φορτίο q τοποθετείται στην θέση (0,a,a). α) Βρείτε την δύναμη
που ασκείται στο φορτίο q. β) Βρείτε την δυναμική ενέργεια του
συστήματος όταν το φορτίο q είναι στην θέση (0,a,a). Θεωρήστε ότι η
δυναμική ενέργεια είναι μηδέν όταν το φορτίο q βρίσκεται σε άπειρη
απόσταση από τα δύο επίπεδα.
y
z
O
A
BD
Cq
q
q
q
ειδώλων.μέθοδοτημελύνεταιπρόβλημαΤο
:είδωλαπαρακάτωτατεχρειαζόμασνα,Συγκεκριμέ
.,θέσηστη)3
,,θέσηστη)2,,θέσηστη1)
aaDq
aaCqaaBq
.0για0δίνουνκαιζεύγηΤα zVDCBA
.0για0δίνουνκαιζεύγηΤα yVDBCA
βρίσκουμεδύναμητηνγιαΕπομένως,είδωλα.σημειακά3τα
απόαυτάμεσυμπίπτουνδύναμη,ηκαιάραδυναμικό,Τοα
2
0
2
222
0
2
4
ˆˆ
28
122
222
ˆˆ
2
ˆ
2
ˆ
4 a
zyq
a
zy
a
y
a
zqFFFF DCB
![Page 155: Shmeiwseis Tsetserh](https://reader038.vdocuments.net/reader038/viewer/2022102503/563db8b7550346aa9a964754/html5/thumbnails/155.jpg)
a
a a
a
155 ΠΡΟΒΛΗΜΑ Α.5 Δύο γειωμένοι αγωγοί καταλαμβάνουν τα επίπεδα z = 0 και y = 0. Σημειακό
φορτίο q βρίσκεται στην θέση A(0,a,a). β) Βρείτε την δυναμική ενέργεια του
συστήματος. Θεωρήστε ότι η δυναμική ενέργεια μηδενίζεται όταν το φορτίο q
είναι σε άπειρη απόσταση από τα επίπεδα.
y
z
O
A
BD
Cq
q
q
q
.θέσηστητελικά,θέση""στη
άπειροτοαπόφορτίοπραγματικότομεταφερθεί
ναγια,,δυνάμεωντωνέργοολικότο
απόπροκύψειναμπορείενέργειαδυναμικήβ
A
FFF
U
DCB
.:είναιΔηλαδή DCB WWWWU
:βρίσκουμεΈτσιβολεύει.μαςπουδιαδρομήσεέργοκάθεμεΥπολογίζου
τελικά,0Επειδή.,,,, 121
B
ί
B
ί
BB WaaaWaWW
AB
BAAB
ABaaa
aBB
r
qqU
U
a
qdz
z
qrdFW
00
2
2
0
2,
, 4όπου,
21624
.2,,,2:Ομοίως AD
ί
DACC UaaWWUW
![Page 156: Shmeiwseis Tsetserh](https://reader038.vdocuments.net/reader038/viewer/2022102503/563db8b7550346aa9a964754/html5/thumbnails/156.jpg)
156 ΔΥΝΑΜΗ LORENTZ
.B έντασης σε μέσα
v ταχύτηταμε κινείται που φορτίο Έστω
πεδίομαγνητικό
q
.ΒvFμαγν
q
Β
μαγνF
:είναι στοασκείται πουF δύναμη η Τότε μαγν q
vq
:είναιδύναμηςμαγνητικήςτηςέργοςστοιχειώδεΤο
,0 BvrdqrdBvqrdFdW
.0αφού dt
rdrdvrd
έργο.παράγουνδενδυνάμειςμαγνητικέςΟι
.TTeslaτοείναιτογιαμονάδαSI B
G.10T1:GGaussτοκαιμονάδαηΣυνηθισμέν 4
![Page 157: Shmeiwseis Tsetserh](https://reader038.vdocuments.net/reader038/viewer/2022102503/563db8b7550346aa9a964754/html5/thumbnails/157.jpg)
157 ΚΥΚΛΟΤΡΟ
xvyvzyvxv (1) 0vB/M,qvvB/M,qvv
βρίσκουμεBvqFγιακαιΝεύτωνανόμο2οτονΑπό
yxyxzxyyx
.zBBπεδίομαγνητικόομογενέςσεμέσαzvyv
ταχύτητααρχική,φορτίοΜ,μάζαμεσώματοςκίνησηςτηςΜελέτη
0z10
v
q
έχουμε νταςΠαραγωγίζο . έναείναι 1Οι ξισώσεωναφορικών εσύστημα δι
:Λύση (3) σταθεράv,φωtcosvtv,φωtsinvtv z1y1x
βρίσκουμε2στηνή(1)στηνώνταςΑντικαθιστ
y
2
2
1
2
x
2
12
1
2
vφtcos
,vφtcos
vφtsin
dt
vd
dt
d
dt
vd
.MqB ω όπου 2 vωv,vωMBvqv y
2
yx
2
yx
.21τωνλύσειςόντωςείναι 3οι δηλαδή 0v0tvΕίναι
0. φβρίσκουμεσυνθήκεςαρχικέςτιςαυτέςαπόκαι
![Page 158: Shmeiwseis Tsetserh](https://reader038.vdocuments.net/reader038/viewer/2022102503/563db8b7550346aa9a964754/html5/thumbnails/158.jpg)
158 ΚΥΚΛΟΤΡΟ
. έναςείναι επίπεδο στο σώματος του κίνησης της προβολήΗ κύκλοςxy
. άξονα τονκατά
κίνησηςελεύθερης και της
επίπεδο στο ής περιστροφκυκλικής
τηςσυνδυασμός έναςείναι
σώματος του κίνησησυνολική Η
z
yx
κίνηση.Ελικοειδής
όπου r)Mω(qBv ος κεντρομόλωςενεργεί δύναμη μαγνητική Η 2
c1
κύκλου τουακτίνα ηείναι /qBMvr 1
. η M
qB ωκαι c τακή συχνότηκυκλοτρονι
![Page 159: Shmeiwseis Tsetserh](https://reader038.vdocuments.net/reader038/viewer/2022102503/563db8b7550346aa9a964754/html5/thumbnails/159.jpg)
159 ΚΥΚΛΟΕΙΔΗΣ ΚΙΝΗΣΗ
ακίνητο.είναιπρωτόνιοτο0tγιαότιΥποθέτουμε.zBBκαιxEE
πεδίομαγνητικόκαιηλεκτρικόσεμέσαπρωτονίουκίνησητηνΠεριγράψτε
zBy ˆˆvxvexeEBveEeF :Είναι yx
.(4) eEvκαι(3) 0v
ηείναι (2)-(1)τωνλύσηειδικήΜία
yx BEM c
x
y
z
E
B
.Sτονπροςωςταχύτηταηόπου,vvκαιvv
έχουμεy ταχύτηταμεκινείται πουS παρατηρητήΓια
yyxx
v
VvvB
E
(2) vωvκαι(1) vωEM
ev
)(ω βρίσκουμε ΒκαιΕ δοθένταταγια
xcyycx
c
MeB
.(6) vωvκαι(5) vωvB
E
M
eB
M
eEvv:Άρα xcyycyxx
![Page 160: Shmeiwseis Tsetserh](https://reader038.vdocuments.net/reader038/viewer/2022102503/563db8b7550346aa9a964754/html5/thumbnails/160.jpg)
160 ΚΥΚΛΟΕΙΔΗΣ ΚΙΝΗΣΗ
.zBBκαιxEEσεμέσαπρωτονίουκίνησητηνΠεριγράψτε
x
y
z
E
B
.(6) vωv και (5) vωv xcyycx
:λύσεις ι τιςεπιδέχοντα (6) και (5) εξισώσειςΟι
.(10)t ωcosB
Ev (9),t ωsin
B
Ev cycx
.eB
ME
ω
vr και
B
E v με κίνηση
κυκλικήομαλή έχουμε S Στο
2
c
κίνησης.ομαλής ςευθύγραμμη και κυκλικήςσυνδυασμό ένανεκτελεί
σωματίδιο τοS σύστημα στοότι προκύπτει(10)(9),(8), (7), σχέσεις τιςΑπό
:βρίσκουμε (8) και (7) τιςνταςΟλοκληρώνο
tsinωtωry ,tcosω1rx ccc
.8 vvκαι7 v v:ταχυτήτωνισμόςΜετασχηματ yyxx
![Page 161: Shmeiwseis Tsetserh](https://reader038.vdocuments.net/reader038/viewer/2022102503/563db8b7550346aa9a964754/html5/thumbnails/161.jpg)
161 ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΡΕΥΜΑ: ΚΑΜΠΥΛΗ, ΕΠΙΦΑΝΕΙΑ, ΟΓΚΟΣ
.AAmpereτοείναιρεύματοςέντασηςτηςΜονάδα.χρόνοσε
διάστημαςστοιχειώδεαπόπερνάειπουφορτίοτοόπου,
λόγοτοναπόδίνεταιαγωγότομονοδιάστασερεύματοςτουέντασηΗ
dt
dxdqdt
dqI
φορτίου.πυκνότηταγραμμικήηόπου,Είναιdx
dqvv
dx
dq
dt
dx
dx
dqI
;διαστάσειςδύοσερεύματοςτουέντασητηνορίζουμεΠως
.χρόνοσεκατάαιμετακινείτπουφορτίουπάρχειεμβαδό
ςστοιχειώδεσετότεφορτίουπυκνότηταήεπιφανειακηείναιΑν
dtdtvdadq
,
έντασηςρεύμαδιαρρέειτηνλωρίδαστενήΤην
dyKdyvdt
dxdy
dt
dadI xx
xy
.ρεύματοςπυκνότηταςήςεπιφανειακ
τηςσυνιστώσαηείναιόπου
vK
x-vK xx
![Page 162: Shmeiwseis Tsetserh](https://reader038.vdocuments.net/reader038/viewer/2022102503/563db8b7550346aa9a964754/html5/thumbnails/162.jpg)
S
162 ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΡΕΥΜΑ: ΚΑΜΠΥΛΗ, ΕΠΙΦΑΝΕΙΑ, ΟΓΚΟΣ
,
έντασηςρεύμαδιαρρέειτηνλωρίδαστενήΤην
dyKdyvdt
dxdy
dt
dadI xx
xy
.ρεύματοςπυκνότηταςήςεπιφανειακ
τηςσυνιστώσαηείναιόπου
vK
x-vK xx
;διαστάσειςτρειςσερεύματοςτουέντασητηνορίζουμεΠως
.στηνκάθετοκαιστηνκόεφαπτομενι
είναιˆμοναδιαίοτοόπου,ˆείναιεπιφάνεια
στηνπάνωκαμπύληδιαπερνάπουρεύμασυνολικόΤο
CS
ndlnKIS
C
C
SC
n
x
y
z φορτίου.πυκνότηταχωρικήηόπου
,ρεύματοςπυκνότητατηνΟρίζουμε
vJ
.ˆείναιˆκάθετημε
επιφάνειατηναπόμέσαρεύμαολικόΤο
SS
danJadJIn
S
![Page 163: Shmeiwseis Tsetserh](https://reader038.vdocuments.net/reader038/viewer/2022102503/563db8b7550346aa9a964754/html5/thumbnails/163.jpg)
S
163 ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΡΕΥΜΑ: ΚΑΜΠΥΛΗ, ΕΠΙΦΑΝΕΙΑ, ΟΓΚΟΣ ;διαστάσειςτρειςσερεύματοςτουέντασητηνορίζουμεΠως
x
y
z φορτίου.πυκνότηταχωρικήηόπου
,ρεύματοςπυκνότητατηνΟρίζουμε
vJ
1.ˆείναιˆκάθετημε
επιφάνειατηναπόμέσαρεύμαολικόΤο
SS
danJadJIn
S
1tS
v
0tS
.tκαιtμεταξύσαρώθηκεπουVΌγκος 10
vSdt
dV:όγκουσάρωσηςΡυθμός
φορτίοˆεπιφάνειαστοιχειώδη
απόμέσαπερνάχρόνοσεΕπομένως,
danad
dt
.με, vJdtadJdtvaddVdq
.είναιρεύμαςστοιχειώδεαντίστοιχοΤο adJdtdqdI
;ρεύμαςστοιχειώδετοπροκύπτειΠως adJdI
![Page 164: Shmeiwseis Tsetserh](https://reader038.vdocuments.net/reader038/viewer/2022102503/563db8b7550346aa9a964754/html5/thumbnails/164.jpg)
164 ΡΕΥΜΑ ΧΩΡΟΥ: ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ
.νεςσυντεταγμέςκυλινδρικέσε
0,σχέσειςτιςικανοποιείκαιεπίπεδο
στοβρίσκεταιπουεπιφάνειατηναπόπερνάειπουρεύμαολικότο
βρεθείΝα.ˆπυκνότηταςρεύμακυκλοφορείκύλινδροστον
Μέσα.άξονατονμεσυμπίπτειακτίναςκυλίνδρουάξοναςΟ
210
0
Lzrrr
eJJ
zR
ar
0x
y
z
R
L
σχήματος.τουραμμοπαραλληλόγλωρίδαπράσινη
ηείναιεδώόπου,ολοκλήρωμα
όεπιφανειακτομευπολογίσουναΧρειάζεται
SadJIS
έχουμενεςσυντεταγμέςκυλινδρικέσεςΔουλεύοντα
2
1
2
10
0
r
r
arr
r
L
S
dreLJdzJdrJdrdzI
.120 araree
a
LJI
![Page 165: Shmeiwseis Tsetserh](https://reader038.vdocuments.net/reader038/viewer/2022102503/563db8b7550346aa9a964754/html5/thumbnails/165.jpg)
x
y
z
165 ΡΕΥΜΑ ΧΩΡΟΥ: ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ
.ότιΈστω.νεςσυντεταγμέςκυλινδρικέσε
,σχέσειςτιςικανοποιείκαιεπίπεδο
στοβρίσκεταιπουεπιφάνειατηναπόπερνάειπουρεύμαολικότο
βρεθείΝα.ˆπυκνότηταςρεύμακυκλοφορείκύλινδροστον
Μέσα.άξονατονμεσυμπίπτειακτίναςκυλίνδρουάξοναςΟ
12
21210
0
D
rrrzz
zeJJ
zR
ar
σχήματος.τουεπιφάνειαπράσινηη
είναιεδώόπου,ολοκλήρωμα
όεπιφανειακτομευπολογίσουναΧρειάζεται
SadJIS
έχουμενεςσυντεταγμέςκυλινδρικέσεςΔουλεύοντα
D 2
1
2
1
2
10
r
r
arr
rS
drreLJdrJdrdrJrdI
.11
12
120
D
arare
are
ar
a
LJI
0z
![Page 166: Shmeiwseis Tsetserh](https://reader038.vdocuments.net/reader038/viewer/2022102503/563db8b7550346aa9a964754/html5/thumbnails/166.jpg)
166
.πυκνότηταςχωρικήςρεύμαδιαπερνάτηνκαι
όγκοπερικλείειεπιφάνειακλειστήότιΈστω
J
ΩS
ΕΞΙΣΩΣΗ ΣΥΝΕΧΕΙΑΣ
1.είναι
τηνδιαπερνάπουρεύμαολικόΤο
ΩS
dJadJIS
2.
τότεστιγμήχρονικήτη
όγκοστονφορτίοολικότοείναιΑν
ΩΩ
ολ
dt
ddt
d
dt
dQI
t
ΩtQ
3.:βρίσκουμε2και1τιςΑπό
ΩΩd
tdJ
μορφήδιαφορικήσεπροκύπτειόγκοκάθεγιαισχύει3ηΕπειδή Ω
40.συνέχειαςεξίσωσηλεγόμενηη
tJ
φορτίου.τουδιατήρησητοπικήτηνεκφράζεισυνέχειαςεξίσωσηH
![Page 167: Shmeiwseis Tsetserh](https://reader038.vdocuments.net/reader038/viewer/2022102503/563db8b7550346aa9a964754/html5/thumbnails/167.jpg)
167 ΜΑΓΝΗΤΙΚΗ ΔΥΝΑΜΗ ΣΕ ΡΕΥΜΑΤΟΦΟΡΟ ΑΓΩΓΟ
.πεδίομαγνητικόσεμέσαβρίσκεταιπου
φορτίουπυκνότηταμεαγωγόςτοςμονοδιάσταΈστω
B
.δύναμηδέχεταιτότεαγωγού,τουμήκοςκατά
ταχύτηταμεκινείταιφορτίοςστοιχειώδετοΑν
BvdqFd
vdxdq
ρεύματοςτουέντασηηείναιόπου,:όμωςΕίναιdt
dqIlIdvdq
αγωγού.τουμήκοςκατάμετατόπισηςστοιχειώδηηκαι ld
είναιαγωγόςοδέχεταιπουδύναμησυνολικήηπαραπάνωταβάσηΜε
αγωγό.στονπάνωολοκλήρωμαοεπικαμπύλιένα, C
BldIF
![Page 168: Shmeiwseis Tsetserh](https://reader038.vdocuments.net/reader038/viewer/2022102503/563db8b7550346aa9a964754/html5/thumbnails/168.jpg)
168 ΜΑΓΝΗΤΙΚΗ ΔΥΝΑΜΗ ΣΕ ΡΕΥΜΑΤΟΦΟΡΟ ΑΓΩΓΟ
.δύναμηδέχεταιταχύτηταμε
κινείταιπουφορτίοςστοιχειώδετοδιαστάσεις2Σε
BvdaFdv
da
ρεύματος.πυκνότηταχωρικήηείναιόπου, vJdBJFΩ
καιόγκοεικαταλάμβαναγωγόςδιαστάσεις3σεανΑντίστοιχα Ω
.πεδίομαγνητικόσεμέσαβρίσκεταιπου
φορτίουπυκνότηταμεαγωγόςτοςμονοδιάσταΈστω
B
.δύναμηδέχεταιταχύτηταμεκινείταιπουΦορτίο BvdqFdvdxdq
όπου,ολοκλήρωμαόεπιφανειακτοαπόδίνεταιδέχεται
πουδύναμηολικήητότεεπιφάνειαέχειαγωγόςςδιδιάστατοοΑν
S
daBKF
S
δύναμηδέχεταιτότεπεδίομαγνητικόσεμέσαβρίσκεται B
αγωγό.τονδιαρρέειπουρεύματοςπυκνότηταήεπιφανειακηvK
![Page 169: Shmeiwseis Tsetserh](https://reader038.vdocuments.net/reader038/viewer/2022102503/563db8b7550346aa9a964754/html5/thumbnails/169.jpg)
169
.ημικυκλίουτουσημείαρικάαντιδιαμεττααπόορίζεταικαιρεύμα
ίδιοτοαπόδιαρρέεταιπουτμήμαευθύγραμμοδέχεταιπουαυτήμε
ίσηείναιότιδείξτεκαιαγωγόςοδέχεταιπουδύναμητηνΒρείτε.ˆ
πεδίομαγνητικόομογενέςσεαιτοποθετείταγωγόςΟ.έντασηςρεύμααπό
διαρρέεταικαιεπίπεδοστοβρίσκεταιακτίναςαγωγόςςΗμικυκλικό
zBB
I
xyR
ΔΥΝΑΜΗ ΣΕ ΑΓΩΓΟ: ΠΡΟΒΛΗΜΑ
1.είναιαγωγόςςημικυκλικόοδέχεταιπουδύναμηΗ C
BldIF
έχουμεεπίπεδοστοςσυνταγμένεπολικέςσεςΔουλεύοντα xy
.ˆˆˆˆ:δύναμηβρίσκουμε
ρεύμαμετμήμαευθύγραμμοστοδύναμητηνΓια
FdxyIBzdyydxxIBF
BAAB
R
RABAB
AB
Άρα.sinˆcosˆˆˆ
0
dyxBRdrrdrBBld
R
r
x
y
O.ˆ2sinˆcosˆ
00yBIRdydxBIRF
![Page 170: Shmeiwseis Tsetserh](https://reader038.vdocuments.net/reader038/viewer/2022102503/563db8b7550346aa9a964754/html5/thumbnails/170.jpg)
170
.ημικυκλίουτουσημείαρικάαντιδιαμεττααπόορίζεταικαιρεύμα
ίδιοτοαπόδιαρρέεταιπουτμήμαευθύγραμμοδέχεταιπουαυτήμε
ίσηείναιότιδείξτεκαιαγωγόςοδέχεταιπουδύναμητηνΒρείτε.ˆ
πεδίομαγνητικόομογενέςσεαιτοποθετείταγωγόςΟ.έντασηςρεύμααπό
διαρρέεταικαιεπίπεδοστοβρίσκεταιακτίναςαγωγόςςΗμικυκλικό
zBB
I
xyR
ΔΥΝΑΜΗ ΣΕ ΑΓΩΓΟ: ΠΡΟΒΛΗΜΑ
άκρα.τασυνδέειπου
αγωγούτουσχήματοαπόόχικαιάλλοτοπροςως
άκρουενόςτουθέσησχετικήτηαπόμόνοεξαρτάται
δύναμηητότεομογενές,είναιπεδίοτοανΕπομένως,AB
BrrIBldIBldIF ABCC
r
x
y
O
:ισχύειομογενέςγια,Γενικότερα B
.ˆˆˆˆπερίπτωσηαυτήνΣε yRBzBxRxRBrr AB
![Page 171: Shmeiwseis Tsetserh](https://reader038.vdocuments.net/reader038/viewer/2022102503/563db8b7550346aa9a964754/html5/thumbnails/171.jpg)
171 ΔΥΝΑΜΗ ΑΠΟ ΜΑΓΝΗΤΙΚΟ ΠΕΔΙΟ: ΠΡΟΒΛΗΜΑ
δέχεται.πουδύναμη
τηνβρείτε,ˆπεδίομαγνητικόομογενέςσεείναιδίσκοςοΑναυτόν.σε
κάθετοςείναικαιτουκέντροτοαπόπερνάειπουάξονααπόγύρωταχύτητα
γωνιακήσταθερήμεταιπεριστρέφεκαιεπίπεδοστοβρίσκεταιδίσκοςΟ
.φορτίονοκατανεμημέομοιόμορφαφέρειακτίναςδίσκοςςΗμικυκλικό
zBB
xy
QR
r
x
y
O
.22φορτίουκατανομήήεπιφανειακΥπάρχει 22 RQRQ
υπάρχειεπομένωςκαιˆταχύτηταμεκινείται
τοαπόαπόστασησεφορτίοςστοιχειώδεΚάθε
rv
Or
.ˆρεύματοςπυκνότηταήεπιφανειακ rvK
είναιαγωγόςοδέχεταιπουδύναμηηΆρα,
SSSrdrdrrBdazBrdaBKF ˆˆˆ
,3ˆ2sinˆcosˆ 3
0 0
2 yBRyxddrrBFR
δίσκο.τονμεμαζίταιπεριστρέφεˆτοβέβαιαόπου y
![Page 172: Shmeiwseis Tsetserh](https://reader038.vdocuments.net/reader038/viewer/2022102503/563db8b7550346aa9a964754/html5/thumbnails/172.jpg)
172
:καμπύληςαγωγόένανδιαρρέειπουέντασηςρεύμαρτητοχρονοανεξά
σταθερόέναδημιουργείπουπεδίομαγνητικότοδίνειSavartBiotνόμοςΟ
CI
-
ΝΟΜΟΣ BIOT-SAVART
.όπου1,ˆ
4
ˆ
4 2
0
2
0 rrww
wldIld
w
wIrB
CC
I
OP
r w
r
ld κενού.τουηταδιαπερατότμαγνητικήλεγόμενη
ηείναι104σταθεράΗ 27
0
:μορφήτηπαίρνει1νόμοςορεύματοςπυκνότητας
χωρικής)2ή,ήςεπιφανειακ)1περίπτωσηΣτην JK
ολοκλήρωμαόεπιφανειακˆ
4)1
2
0
S
adw
wKrB
ολοκλήρωμαχωρικόˆ
4)2
2
0
Ω
dw
wJrB
![Page 173: Shmeiwseis Tsetserh](https://reader038.vdocuments.net/reader038/viewer/2022102503/563db8b7550346aa9a964754/html5/thumbnails/173.jpg)
173
.έντασηςρεύμασταθερόαπόδιαρρέεταιπου
μήκουςτμήμαευθύγραμμοαπόγύρωπεδίομαγνητικότοΒρείτε
I
LΝΟΜΟΣ BIOT-SAVART: ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ
P
ld
I
w
s
.όπου1,ˆ
4
ˆ
4 2
0
2
0 rrww
wldIld
w
wIrB
CC
.ˆάρακαιˆΕδώ zBBdxxld
.cosˆ90sinˆsinˆˆακόμηΕίναι ο dxzdxzdxzwld
2costan:επίσηςΈχουμε
dsdx
s
x .
cos1cosκαι
2
2
2 swws
I
P
s 1
2
L
τμήμαευθύγραμμοοπεπερασμένγιαδίνουνπαραπάνωTα
1.sinsin4
cos
cos
cos
412
0
2
2
2
0 2
1
s
Id
s
sIB
βρίσκουμεκαι2,2τότεΑν 21 L
2.2
0
s
IB
συμμετρία.κυλινδρικήέχειπεδίοΤο
![Page 174: Shmeiwseis Tsetserh](https://reader038.vdocuments.net/reader038/viewer/2022102503/563db8b7550346aa9a964754/html5/thumbnails/174.jpg)
174 ΝΟΜΟΣ BIOT-SAVART: ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ τμήμαευθύγραμμοοπεπερασμένγιαδίνουνπαραπάνωTα
1.sinsin4
cos
cos
cos
412
0
2
2
2
0 2
1
s
Id
s
sIB
βρίσκουμεκαι2,2τότεΑν 21 L
2.2
0
s
IB
συμμετρία.κυλινδρικήέχειπεδίοΤο
I
P
s 1
2
L
sII απόστασηαπέχουνκαικαιρεύματασταθερά
φέρουνπουαγωγούςςπαράλληλουδύοέχουμεΑν
21
ˆ2
πεδίοδημιουργείτοτότε 1011
s
IBI
2I 1I
δύναμη
ασκείκαι
2210
12212212ˆ
2dly
s
IIBldIBldIF
s
IIf
2είναιμήκουςμονάδαανάδύναμηηΕπομένως, 210
12
ρεύματα.παράλληλαηλααντιπαράλλγιαελκτικήαπωστικήείναικαι
s y
z
O
![Page 175: Shmeiwseis Tsetserh](https://reader038.vdocuments.net/reader038/viewer/2022102503/563db8b7550346aa9a964754/html5/thumbnails/175.jpg)
175 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ: ΠΕΔΙΟ ΑΠΟ ΤΕΤΡΑΓΩΝΟ ΠΛΑΙΣΙΟ
.τετραγώνουτουκέντροτοαπό
πάνωαπόστασηβρίσκεταιπουσημείοσεπεδίομαγνητικότοΒρείτε
.έντασηςρεύμααπόδιαρρέεται2πλευράςπλαίσιοΤετράγωνο
zP
IaABCD
x
y
z
P
A
B
C
D I
E
.τετραγώνουτουπλευρέςτιςαπόςσυνεισφορέτις
επροσθέτουμ,0,0στοπεδίοτοβρούμεναΓια zP
τμήμαευθύγραμμοοπεπερασμένγιαΈχουμε
1.sinsin4
cos
cos
cos
412
0
2
2
2
0 2
1
s
Id
s
sIB
I
P
s
1
2
L
sLBB ˆˆ:έχουμεκατεύθυνσητηνΓια
:δίνειπλαισίουτουπλευράτηνγιαπαραπάνωτωνΕφαρμογή BC
.ˆˆˆ,ˆˆ,,ˆˆ 22 zaxzsLyLzaszzxaEPs
.sinμε:ακόμηΕίναι 22
12 saaCPCE
.ˆˆ24
:παίρνουμεΈτσι222
0 zaxzsa
a
s
IBBC
![Page 176: Shmeiwseis Tsetserh](https://reader038.vdocuments.net/reader038/viewer/2022102503/563db8b7550346aa9a964754/html5/thumbnails/176.jpg)
176 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ: ΠΕΔΙΟ ΑΠΟ ΤΕΤΡΑΓΩΝΟ ΠΛΑΙΣΙΟ
.τετραγώνουτουκέντροτοαπό
πάνωαπόστασηβρίσκεταιπουσημείοσεπεδίομαγνητικότοΒρείτε
.έντασηςρεύμααπόδιαρρέεται2πλευράςπλαίσιοΤετράγωνο
zP
IaABCD
x
y
z
P
A
B
C
D I
E
I
P
s
1
2
L
:δίνειπλαισίουτουπλευράτηνγιαπαραπάνωτωνΕφαρμογή BC
.ˆˆˆ,ˆˆ,,ˆˆ 22 zaxzsLyLzaszzxaEPs
.2sinμε:ακόμηΕίναι 22
12 zaa
.ˆˆ2
:παίρνουμεΈτσι222
0 zaxzsa
a
s
IBBC
:βρίσκουμε
Ομοίως
,ˆˆ2
,ˆˆ2 222
0
222
0 zayzsa
a
s
IBzayz
sa
a
s
IB CDAB
.ˆˆ2
και222
0 zaxzsa
a
s
IBAD
.ˆ2
:είναιΤελικά22
2
2
0
sa
za
s
IBBBBB CDBCADAB
![Page 177: Shmeiwseis Tsetserh](https://reader038.vdocuments.net/reader038/viewer/2022102503/563db8b7550346aa9a964754/html5/thumbnails/177.jpg)
P
177 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ: ΠΕΔΙΟ ΑΠΟ ΚΥΚΛΙΚΟ ΠΛΑΙΣΙΟ
κύκλου.τουκέντρο
τοαπόπάνωαπόστασηβρίσκεταιπουσημείοσεπεδίομαγνητικό
τοΒρείτε.έντασηςρεύμααπόδιαρρέεταιακτίναςαγωγόςΚυκλικός
zP
IR
x
y
z
z .όπου1,4
ˆ
4 3
0
2
0 rrww
wldIld
w
wIrB
CC
:τύπογενικότονεεφαρμόσουμΘα
,ˆ:έχουμενεςσυντεταγμέςκυλινδρικέΣε Rdld
w
R.,ˆˆ,ˆˆ 2222 zRwdRzzRdrwldrRzzw
:βρίσκουμε1σχέσητηναπόΕπομένως,
.2
ˆˆ
4sinˆcosˆ
42322
2
02
03
2
02
03
0
zR
zIRdz
w
IRdyx
w
IRzrB
τότεέωςαπότόξοαλλάκύκλος,είναιδεναγωγόςοΑν 11
.ˆsinˆ2
ˆ2sinˆ24
113
0113
0
Rzzx
w
IRzRxz
w
IRrB
r
I
B
![Page 178: Shmeiwseis Tsetserh](https://reader038.vdocuments.net/reader038/viewer/2022102503/563db8b7550346aa9a964754/html5/thumbnails/178.jpg)
178 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ: ΠΕΔΙΟ ΑΠΟ ΚΥΚΛΙΚΟ ΠΛΑΙΣΙΟ
![Page 179: Shmeiwseis Tsetserh](https://reader038.vdocuments.net/reader038/viewer/2022102503/563db8b7550346aa9a964754/html5/thumbnails/179.jpg)
179 ΑΠΟΚΛΙΣΗ ΤΟΥ ΜΑΓΝΗΤΙΚΟΥ ΠΕΔΙΟΥ
.όπου,ˆ
4πεδίομαγνητικό
δημιουργείρεύματοςπυκνότηταχωρικήότιδειΈχουμε
2
0 rrwdw
wrJrB
rJ
Ω
:Είναι.τουαπόκλιση
τηνμευπολογίσουΑς
B
.
ˆ
4 2
0
Ωrr d
w
wrJrB
.:γινομένουκανόναςεξήςοΙσχύει BAABBA
.
ˆˆˆ:Άρα
222
w
wrJrJ
w
w
w
wrJrrr
.τοαπόεξαρτάταιδεντοαφού0:Είναι rrJrJr
.0δηλαδήαστρόβιλο,καιπροφανώςείναι
ακτινικόείναιˆ
πεδίοκόδιανυσματιτοΕπειδή2
f
r
rrf
r
.0είναιˆγιαΆρα 2 gwwwg w
![Page 180: Shmeiwseis Tsetserh](https://reader038.vdocuments.net/reader038/viewer/2022102503/563db8b7550346aa9a964754/html5/thumbnails/180.jpg)
180 ΑΠΟΚΛΙΣΗ ΤΟΥ ΜΑΓΝΗΤΙΚΟΥ ΠΕΔΙΟΥ
:Είναι.τουαπόκλιση
τηνμευπολογίσουΑς
B
1.
ˆ
4 2
0
Ωrr d
w
wrJrB
.:γινομένουκανόναςεξήςοΙσχύει BAABBA
.
ˆˆˆ:Άρα
222
w
wrJrJ
w
w
w
wrJrrr
.τοαπόεξαρτάταιδεντοαφού0:Είναι rrJrJr
2.0είναιˆγιαΆρα 2 gwwwg w
.ότιπροκύπτεισχέσητηΑπό rwrrw
.0ˆ
δίνει2σχέσηηΕπομένως2
w
wr
.0:τελικάβρίσκουμεπαραπάνωτααςΣυνδυάζοντ B
![Page 181: Shmeiwseis Tsetserh](https://reader038.vdocuments.net/reader038/viewer/2022102503/563db8b7550346aa9a964754/html5/thumbnails/181.jpg)
181
πεδίομαγνητικόδημιουργείέντασηςρεύμασταθερόφέρειπου
άξονατουμήκοςκατάσύρμαευθύγραμμοάπειροέναότιδειΈχουμε
I
z
ΝΟΜΟΣ TOY AMPERE
σύρμα.τοαπόαπόστασησεˆ2
0 ss
IB
:νεςσυντεταγμέςκυλινδρικέσεςδουλεύονταβρίσκουμεσύρματο
απόγύρωκαμπύλησετουολοκλήρωμαοεπικαμπύλιτογιαΆρα, CB
1.2
ˆˆˆˆ2
0
2
0
00 IdI
dzzrddrrr
IldB
CC
.ρεύματοςπυκνότηταχωρικήσεύναντιστοιχοπου
σύρματααπόσυλλογήμίαέχουμεότανκαιισχύεισχέσηίδιαΗ
J
.καμπύλητηνσύνορομε
επιφάνειασεπάνωολοκλήρωμαόεπιφανειακένα
,περίπτωσητηναυτήνΣε 00
C
adJIldBSC
C
S
![Page 182: Shmeiwseis Tsetserh](https://reader038.vdocuments.net/reader038/viewer/2022102503/563db8b7550346aa9a964754/html5/thumbnails/182.jpg)
182 ΝΟΜΟΣ TOY AMPERE
.καμπύλητηνσύνορομε
επιφάνειασεπάνωολοκλήρωμαόεπιφανειακένα
,περίπτωσητηναυτήνΣε 00
C
adJIldBSC
C
S
2.έχουμε
StokesτουθεώρηματοΑπό
SC
adBldB
3.
:βρίσκουμε2και1τιςαςΣυνδυάζοντ
0 SS
adJadB
:ισχύειτελικάσύρματαευθύγραμμαάπειρααπόρεύμασταθερό
διαπερνάοποίατηνεπιφάνειακάθεγιαισχύει3ηΕπειδή
4.0JB
.συρμάτωννευθύγραμμωμόνοόχιρεύματοςπυκνότητα
ανεξάρτητη-χρονοαπόταιδημιουργείπεδίοεοποιοδήποτ
γιαισχύεικαιAmpereτουνόμοςωςγνωστήείναι4σχέσηΗ
J
B
C
S
![Page 183: Shmeiwseis Tsetserh](https://reader038.vdocuments.net/reader038/viewer/2022102503/563db8b7550346aa9a964754/html5/thumbnails/183.jpg)
183 ΝΟΜΟΣ TOY AMPERE
.συρμάτωννευθύγραμμωμόνοόχιρεύματοςπυκνότητα
ανεξάρτητη-χρονοαπόταιδημιουργείπουπεδίοκάθεγια
ισχύεικαιAmpereτουνόμοςωςγνωστήείναισχέσηΗ 0
J
B
JB
C
S
βρόχοςΑμπεριανός:C
όπου,:έχουμεμορφήκήολοκληρωτιΣε 0 IldBC
.τηαπόμέσαπερνάειπουρεύμαολικότο CI
:τικήηλεκτροσταστηνGaussτουαυτόν
μεπαρόμοιοςείναιAmpereτουνόμοςΟ.
0
QadE
άή
.καμπύλητηνεδιατρέχουμπουφοράτηναπόκαιτουφορά
τηναπόχεριούδεξιούτοκανόνατονμεικαθορίζεταπουπρόσημο
κατάλληλοτοουμεσυμπεριλάβναπρέπειθαρεύματοΓια
CI
I
.0είναισχήματοςτουρεύματογια
τότεβέλος,μπλετοδείχνειόπωςτηνεδιατρέξουμανΠ.χ.,
I
C
![Page 184: Shmeiwseis Tsetserh](https://reader038.vdocuments.net/reader038/viewer/2022102503/563db8b7550346aa9a964754/html5/thumbnails/184.jpg)
184 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ: ΠΕΔΙΟ ΑΠΟ ΚΥΚΛΙΚΟ ΠΛΑΙΣΙΟ
.,0,σημείοσεπεδίομαγνητικότοΒρείτεαξόνων.
τωναρχήστηντουκέντροτομεεπίπεδοστοβρίσκεταιαγωγόςο
ότιΈστω.έντασηςρεύμααπόδιαρρέεταιακτίναςαγωγόςΚυκλικός
zx
xy
IR
.όπου1,4
ˆ
4 3
0
2
0 rrww
wldIld
w
wIrB
CC
:τύπογενικότονεεφαρμόσουμΘα
καιˆsinˆcosˆˆˆˆ:Έχουμε zzRyRxxrRzzxxw
:βρίσκουμε1σχέσητηναπόΕπομένως,
2.cos
ˆ4
sinˆcosˆ
4
2
0 3
02
0 3
0
d
w
xRz
IRd
w
yxIRzrB
x
y
z
wR
r
I
φ
.ˆ,cosˆsinˆsinˆcosˆˆˆˆˆ Rdldyxyxzrz
cosˆcoscosˆsinˆsinˆˆ:Άρα 2 zxRxzzyRzw
.sinˆcosˆcosˆˆ yxzxRzw
αναλυτικά.αιυπολογίζετδενολοκλήρωματοcos222 xRzxww
όμως
Επειδή
![Page 185: Shmeiwseis Tsetserh](https://reader038.vdocuments.net/reader038/viewer/2022102503/563db8b7550346aa9a964754/html5/thumbnails/185.jpg)
185 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ: ΠΕΔΙΟ ΑΠΟ ΚΥΚΛΙΚΟ ΠΛΑΙΣΙΟ
.,0,σημείοσεπεδίομαγνητικότοΒρείτεαξόνων.
τωναρχήστηντουκέντροτομεεπίπεδοστοβρίσκεταιαγωγόςο
ότιΈστω.έντασηςρεύμααπόδιαρρέεταιακτίναςαγωγόςΚυκλικός
zx
xy
IR
:βρίσκουμε1σχέσητηναπόΕπομένως,
2.cos
ˆ4
sinˆcosˆ
4
2
0 3
02
0 3
0
d
w
xRz
IRd
w
yxIRzrB
x
y
z
wR
r
I
φ
.cos2επειδή 22 xRzxww
αναλυτικάταιυπολογίζονδενόμωςταολοκληρώμαΤα
.συνιστώσεςκαιαντίθετεςκαιίσεςέχειτο,0,Σ
και,0,σημείασταότιεσημειώσουμναωστόσοΑξίζει
yxBzx
zx
τα.ολοκληρώματαικάπροσεγγιστμευπολογίσουνακαι
1συνάρτησης
τηςTaylorοςαναπτύγματτουόρουςπρώτουςτουςήσουμεχρησιμοποι
ναμπορούμετότεανότιεσημειώσουμνααξίζειΕπίσης
3
22
w
zxxR
![Page 186: Shmeiwseis Tsetserh](https://reader038.vdocuments.net/reader038/viewer/2022102503/563db8b7550346aa9a964754/html5/thumbnails/186.jpg)
186 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ: ΠΕΔΙΟ ΑΠΟ ΔΥΟ ΚΥΚΛΙΚΑ ΠΛΑΙΣΙΑ
.ˆ,είναιεπιπέδουτουσημείοτυχαίο
σεπεδίομαγνητικότοότιΔείξτε.0,0,και0,0,θέσειςστις
βρίσκονταιτουςκέντρατοκαιάξοναστονκάθετοιείναιαγωγοίοι
ότιΈστω.έντασηςρεύμααπόιδιαρρέονταακτίναςαγωγοίΚυκλικοί
21
zyxBBxy
zOzO
z
IR
x
y
z
I
.αγωγότοναπόκαιαγωγότοναπό
θέσηκατακόρυφησεβρίσκεται0,,σημείοτυχαίοΤο
21 OzOz
yx
I
1O
2O
α,προηγούμενταβάσηΜε
:ισχύειτότε,καιαγωγούςτουςαπό
πεδίαμαγνητικάταείναιαντίστοιχακαιαν
21
21
OO
BB
.και 2121 yyxx BBBB
:έχουμεολικότογιαΕπομένως, B
.ˆ,,ˆ2121 zzyxBzBBBBB zz
![Page 187: Shmeiwseis Tsetserh](https://reader038.vdocuments.net/reader038/viewer/2022102503/563db8b7550346aa9a964754/html5/thumbnails/187.jpg)
187 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ: ΠΕΔΙΟ ΑΠΟ ΚΥΚΛΙΚΟ ΠΛΑΙΣΙΟ
:εποπτικάκαιπροκύψειναμπορείαγωγών
κυκλικώνόμοιωνπαράλληλωνδύομεταξύεπίπεδο
μεσοκάθετοτογιαˆ,αποτέλεσμαΤο zyxBB
επίπεδομεσοκάθετο
2αγωγός
1αγωγός
επιπέδου.υμεσοκαθέτοτουσημείοτυχαίοσε
αγωγούςτουςαπόπεδίατακαιΈστω 21 BB
1B
2B
Άρα,επίπεδο.μεσοκάθετοτοπροςως
κατοπτρικάείναικαιταΠροφανώς 21 BB
επίπεδο.στομέσασυνιστώσεςίδιεςτιςέχουνκαιτα 21 BB
![Page 188: Shmeiwseis Tsetserh](https://reader038.vdocuments.net/reader038/viewer/2022102503/563db8b7550346aa9a964754/html5/thumbnails/188.jpg)
z
188 ΝΟΜΟΣ TOY AMPERE: ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΣΕ ΠΗΝΙΑ
.ρεύμααπόιδιαρρέονταοποίουτουσπείρεςοιμήκουςαπείρου
ςσωληνοειδέαπόπεδίομαγνητικότοουμεπροσδιορίσΘα
I
μήκους.μονάδαανάσπείρεςμεάλληστηνμίαηκοντά
πολύείναιύςσωληνοειδοτουσπείρεςοιότιΥποθέτουμε
n
αγωγών.κυκλικώνεπαλληλίασε
προσέγγισηκατάίαντιστοιχεπηνίοπυκνότοΕπομένως
.ˆ,,είναιθα
α,προηγούμενταβάσημε,επίπεδομεσοκάθετο
στοτότεοπεπερασμένείναιπηνίουτουμήκοςτοΑν
0
0
zzyxBB
zz
και"μεσοκάθετο"είναιάξοναστονκάθετο
επίπεδοκάθετότεάπειρο,είναιςσωληνοειδέτοΑν
0 zzz
.κάθεγιαˆ,, 00 zzzyxBB
.ˆ,άρακαισύστηματοαλλάζειδεν
κατάμετατόπισηςσωληνοειδέάπειρογιαΕπίσης,
zzyxBBz
I
I
I
![Page 189: Shmeiwseis Tsetserh](https://reader038.vdocuments.net/reader038/viewer/2022102503/563db8b7550346aa9a964754/html5/thumbnails/189.jpg)
l
z
189 ΝΟΜΟΣ TOY AMPERE: ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΣΕ ΠΗΝΙΑ
a
b
1βρόχος
Αμπεριανός
2βρόχος
Αμπεριανός
μήκους.απείρουςσωληνοειδέαπόπεδίο
μαγνητικότοουμεπροσδιορίσΘα
.ˆ,:Έχουμε zyxBB
l
IldB 01
σχέσητηΑπό
βρίσκουμε1βρόχοτονγια
.,, babrBarB
ς.σωληνοειδέτοαπόέξω0
έχουμε,0Επειδή
B
rB
ρεύμαπερνάει2βρόχοτοναπόΜέσα
μήκους.μονάδαανάσπειρώντων
αριθμόςοείναιόπου, nnIlI
2βρόχοτονγιαβρίσκουμεΈτσι
ς.σωληνοειδέστομέσα
,ˆ00 znIBnIlBl
I
![Page 190: Shmeiwseis Tsetserh](https://reader038.vdocuments.net/reader038/viewer/2022102503/563db8b7550346aa9a964754/html5/thumbnails/190.jpg)
190 ΠΕΔΙΟ ΑΠΟ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΟ ΑΓΩΓΟ: ΝΟΜΟΣ AMPERE
1AmpereτουνόμοτοναπόΞεκινώντας 0 IldB
.έντασηςρεύμααπόδιαρρέεταιπουσύρμαευθύγραμμοάπειρο
δημιουργείπουπεδίομαγνητικότοβρούμεναεύκολαπολύμπορούμε
I
I y
z
.ˆσυμμετρίαηυπάρχειότιδείξουμεναπρώτα
πρέπει1νόμοτονόμωςεεφαρμόσουμναΓια
BB
.ˆ,,ˆ,,ˆ,,:είναιτουμορφήγενικήΗ zzrBzrBrzrBBB zr
.ˆ,ˆ,ˆ,:είναι
σύρμαάπειροπροςωςςμετατόπισησυμμετρίαςΛόγω)1
zrBrBrrBB
z
zr
.ˆˆˆ:προςωςςπεριστροφήσυμμετρίαςΛόγω)2 zrBrBrrBB zr
1βρόχος
.,,
με1βρόχοστον1τηνεΕφαρμόζουμ)3
21210 rrrzzz
.δηλαδή,,,:ότιέτσιΠροκύπτει 2121 άBrrrBrB zzz
![Page 191: Shmeiwseis Tsetserh](https://reader038.vdocuments.net/reader038/viewer/2022102503/563db8b7550346aa9a964754/html5/thumbnails/191.jpg)
191 ΠΕΔΙΟ ΑΠΟ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΟ ΑΓΩΓΟ: ΝΟΜΟΣ AMPERE
I
y
z
.ˆˆˆ:προςωςςπεριστροφήσυμμετρίαςΛόγω)2 zrBrBrrBB zr
.δηλαδή,,,:ότιέτσιΠροκύπτει3) 2121 άBrrrBrB zzz
.0πρέπειθαγιαλίγο,σεδούμεθαόμωςΌπως zBr
.ˆˆ:είναιΔηλαδή rBrrBB r
πρόσημο.αλλάξειναπεδίοτοσχέσητηαπό
πρέπειθαρεύμαστοφοράτηναλλάξουμεΑν4)
0JB
.0πρέπειθα,ˆτοαλλάζειδεν
περιστροφήηΕπειδήάξονα.τοναπόπ.χ.,γύρω,180κατά
περιστροφήμεισοδύναμηείναιρεύματοςτουαντιστροφήηΌμως
ο
rr BrB
x
2βρόχος
:βρίσκουμεκαι0,20,
με2βρόχοστον1τηνεεφαρμόζουμΤελικά)5
10 rrzz
.ˆ2
21
001
r
IBIrB
;γιαιμηδενίζεταναπρέπειεδώπεδίομαγνητικότοόμωςΓιατί r
![Page 192: Shmeiwseis Tsetserh](https://reader038.vdocuments.net/reader038/viewer/2022102503/563db8b7550346aa9a964754/html5/thumbnails/192.jpg)
192 ΠΕΔΙΟ ΑΠΟ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΟ ΑΓΩΓΟ: ΝΟΜΟΣ AMPERE
I
y
z
;γιαιμηδενίζεταναπρέπειεδώπεδίομαγνητικότοόμωςΓιατί r
.ταχύτηταμεκινείταιφορτίοτηςςστοιχειώδεκάθεότικαι
φορτίουπυκνότηταγραμμικήυπάρχεισύρμαστοότιυποθέσουμεΑς
v
.ταχύτηταμε
κινείταιπουσύρματοαπόαπόστασημεγάληπολύ
σεφορτίοσημειακόόδοκιμαστικεπίσηςΈστω
V
q
.δύναμηδέχεταιΤο BVqFq
v
ταχύτηταμεκινείταιπουαναφοράςσύστημασεπάμεΑν
.δύναμηδέχεταικαιφορτίου
κατανομήστατικήεταιαντιλαμβάνφορτίοτοτότε
EqF
q
.0δηλαδή,0είναιΓια FEr
FF
ισχύειΓαλιλαίουτουισμούςμετασχηματτουςαπόΕπειδή
ό.έ.δ.,για0επομένως,0πρέπειθα rBVBV
![Page 193: Shmeiwseis Tsetserh](https://reader038.vdocuments.net/reader038/viewer/2022102503/563db8b7550346aa9a964754/html5/thumbnails/193.jpg)
193 ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟ ΔΥΝΑΜΙΚΟ
.δυναμικούτουεισαγωγήστηνοδηγεί0σχέσηΗ VEE
,σχέσηστηεοδηγούμαστ0σχέσητηαπόΟμοίως, ABB
.κόδιανυσματιμαγνητικόλεγόμενοτοορίζειπου A
συνάρτησηβαθμωτήόπουανΠροφανώς, ffAA
.αφούπεδίοίδιοτονπεριγράφουκαιτα
0 fAABAA
:βρίσκουμετουαπόκλισητηνγιαΈτσι A
.2 fAfAA
.ώστετέτοιασυνάρτησηβαθμωτήβρούμε
ναμπορούμεπεδίοέναγιαανερώτηματοτώραΤίθεται
2 Aff
A
.0οποίαταγιαπεδίακάδιανυσματιταεκείναεπιλέξουμενα
πάντοτεμπορούμεότισημαίνειαυτόκαιθετικήείναιαπάντησηΗ
A
Coulomb.βαθμίδακαιονομάζεται0σχέσηΗ A
![Page 194: Shmeiwseis Tsetserh](https://reader038.vdocuments.net/reader038/viewer/2022102503/563db8b7550346aa9a964754/html5/thumbnails/194.jpg)
194 ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟ ΔΥΝΑΜΙΚΟ
:βρίσκουμετώραAmpereτουνόμοτονΑπό
.0
22
0
JAAAAB
Poissonεξίσωσηςτηςτύπουτουείναι1εξίσωσηΗ 0
2 JA
ναΣυγκεκριμέλύση.παρόμοιαέχειθαάρακαι
w
drrVV
0
0
2
4
1βρίσκουμετηναπόόπως
.όπου,4
τηνλύσηέχει1εξίσωσηηκαιέτσι 0 rrww
drJrA
έχουμερεύματοςπυκνότητεςέςεπιφανειακκαιγραμμικέςγιαΑντίστοιχα
.D24
καιD14
00
w
adKrA
w
lIdrA
![Page 195: Shmeiwseis Tsetserh](https://reader038.vdocuments.net/reader038/viewer/2022102503/563db8b7550346aa9a964754/html5/thumbnails/195.jpg)
195 ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟ ΔΥΝΑΜΙΚΟ ΟΜΟΓΕΝΟΥΣ ΠΕΔΙΟΥ
.2
1:είναιπεδίομαγνητικόομογενέςγια
δυναμικόκόδιανυσματιτοότιδείξουμεναΜπορούμε
BrA
.ˆότιΈστω zBB
:είναινεςσυντεταγμέςκυλινδρικέΣε
,ˆ2
ˆˆˆ2
1
rBzBzzrrA
.
2,0,0
rBAAA zr
z
A
r
rA
rr
A
z
Ar
z
AA
rA rzrz ˆ
1ˆˆ1
:Είναι
ό.έ.δ.,ˆˆ
21zBz
r
rrB
rA
,0
11:είναιΕπιπλέον
z
AA
rr
rA
rA zr
Coulomb.βαθμίδαστηνείμαστεδηλαδή
x
y
z
rr
![Page 196: Shmeiwseis Tsetserh](https://reader038.vdocuments.net/reader038/viewer/2022102503/563db8b7550346aa9a964754/html5/thumbnails/196.jpg)
196 ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟ ΔΥΝΑΜΙΚΟ ΑΠΟ ΚΥΚΛΙΚΟ ΑΓΩΓΟ
P
κύκλου.τουκέντροτοαπόπάνω
απόστασηβρίσκεταιπουσημείοσεδυναμικόκόδιανυσματιμαγνητικό
τοΒρείτε.έντασηςρεύμααπόδιαρρέεταιακτίναςαγωγόςΚυκλικός
z
P
IR
x
y
z
z
.όπου1,4
:τύπογενικότονΈχουμε 0 rrww
ldIrA
C
,ˆ:έχουμενεςσυντεταγμέςκυλινδρικέΣε Rdld w
R .,ˆˆ 222 zRwrRzzw
:βρίσκουμε1σχέσητηναπόΕπομένως,
.0cosˆsinˆ4
2
0
0
Rdyx
w
IrAP
r
I .cosˆsinˆsinˆcosˆˆˆˆˆ:ακόμηΕίναι yxyxzrz
![Page 197: Shmeiwseis Tsetserh](https://reader038.vdocuments.net/reader038/viewer/2022102503/563db8b7550346aa9a964754/html5/thumbnails/197.jpg)
197 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ: ΠΕΔΙΟ ΑΠΟ ΚΥΚΛΙΚΟ ΠΛΑΙΣΙΟ
.,0,σημείοσεδυναμικόκόδιανυσματιμαγνητικό
τοΒρείτεαξόνων.τωναρχήτηνκέντρομεεπίπεδοστοβρίσκεται
αγωγόςΟ.έντασηςρεύμααπόδιαρρέεταιακτίναςαγωγόςΚυκλικός
zx
xy
IR
x
y
z
όπου,cosˆsinˆ
4
2
0
0
dφ
w
φyφxIrA
:έχουμεπερίπτωση
τηναυτήνΣε
wR
φyφxRzzxxrRzzxxw sinˆcosˆˆˆˆˆˆ
:παίρνουμε1τηναπόΕπομένως
και0cos2
sin
4
2
0 222
0
dφ
φRxzRx
φIrA
άή
x
r
φ
I
.cos2222 φRxzRxw
μόνοδίνεταιπου,cos2
cos
4
2
0 222
0
dφ
φRxzRx
φIrA y
των.ολοκληρωμάελλιπτικώνλεγόμενωντωνσυναρτήσει
![Page 198: Shmeiwseis Tsetserh](https://reader038.vdocuments.net/reader038/viewer/2022102503/563db8b7550346aa9a964754/html5/thumbnails/198.jpg)
B
198 ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟ ΔΥΝΑΜΙΚΟ – ΜΑΓΝΗΤΙΚΗ ΡΟΗ
γραφτείναμπορείσχέσηδιαφορικήΗ AB
όπου1, SCadBldA
.επιφάνειατηναπόμέσα
περνάειπουροήμαγνητικήλεγόμενηηείναι
S
C
S
I
ς,σωληνοειδέστομέσαˆ0 znIB
ς.σωληνοειδέτοαπόέξω0B
ςσωληνοειδέάπειρο:Παράδειγμα
:1τηνΑπό
.ˆ2
2:ςσωληνοειδέστομέσα)1 00
2
nIrAnIrrA
.ˆ2
2
:ςσωληνοειδέτοαπόέξω)2
2
00
2
r
nIRAnIRrA
![Page 199: Shmeiwseis Tsetserh](https://reader038.vdocuments.net/reader038/viewer/2022102503/563db8b7550346aa9a964754/html5/thumbnails/199.jpg)
199
φορτίου.κατανομήτηναπόμακριάσημείοσεδυναμικότοβρούμε
ναΘέλουμε.φορτίουκατανομήυπάρχειχώρουτουπεριοχήΣε
P
r
d
O
r
Pr
w
.4
είναισημείοστοδυναμικόΤο0
w
drrVP
έχουμενσυνημιτόνωνόμοτοΑπό
,cos21cos2
2
22 r
r
r
rrrrrrw
.cos2όπου,1αλλιώςή
2
r
r
r
rrw
δίνει16
5
8
3
2
111TaylorανάπτυγματοΈτσι 3221
.για1
Προφανώς
rr
32
16
5
8
3
2
11
1
1
11
rrw
ΠΟΛΥΠΟΛΙΚΑ ΑΝΑΠΤΥΓΜΑΤΑ: ΣΥΝΕΧΗΣ ΚΑΤΑΝΟΜΗ
![Page 200: Shmeiwseis Tsetserh](https://reader038.vdocuments.net/reader038/viewer/2022102503/563db8b7550346aa9a964754/html5/thumbnails/200.jpg)
200
βρόχο.τοναπόμακριάσημείοσε
δυναμικόκόδιανυσματιτοβρούμεναΘέλουμε.έντασηςρεύμααπό
διαρρέεταιπουβρόχοςΑμπεριανόςυπάρχειχώρουτουπεριοχήΣε
PA
I
C
O
r
P
r
w
1.4
είναισημείοΣτο 0
C w
ldIrAP
ΠΟΛΥΠΟΛΙΚΟ ΑΝΑΠΤΥΓΜΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΥ ΔΥΝΑΜΙΚΟΥ
ld
I .cos2
,16
5
8
3
2
11
112
232
r
r
r
r
rw
:βρίσκουμε1τηναπόΤελικά
3
22
2
0 2
1cos3'cos
4 r
ldr
r
ldr
r
ldIrA
CCC
μονόπολουόρος δίπολουόρος τετράπολουόρος
ατική.μαγνηστοστστηνπάντοτειμηδενίζεταμονόπολουτουόροςΟ
![Page 201: Shmeiwseis Tsetserh](https://reader038.vdocuments.net/reader038/viewer/2022102503/563db8b7550346aa9a964754/html5/thumbnails/201.jpg)
201 ΜΑΓΝΗΤΙΚΗ ΔΙΠΟΛΙΚΗ ΡΟΠΗ
:βρίσκουμε1τηναπόΤελικά
3
22
2
0 2
1cos3'cos
4 r
ldr
r
ldr
r
ldIrA
CCC
δίπολουόρος
1.4
είναισημείοΣτο 0
C w
ldIrAP
:έχουμεδιπόλουτουόροτονΓια
CC
ldrrr
Ildr
r
IrA
ˆ
4cos
4 2
0
2
0
1.ˆ
:έχουμεStokesτουθεώρηματοΑπό
SC
dafnlfd
O
r
P
r
w
ld
I
:βρίσκουμε
ˆΓια rrf
C
S
.ˆˆˆˆˆ r
z
zrz
y
yry
x
xrxzryrxrrr zyx
zyxrr
zzyyxxrzryrxrr zyxˆˆˆκαιˆˆˆˆότιέστω
![Page 202: Shmeiwseis Tsetserh](https://reader038.vdocuments.net/reader038/viewer/2022102503/563db8b7550346aa9a964754/html5/thumbnails/202.jpg)
202 ΜΑΓΝΗΤΙΚΗ ΔΙΠΟΛΙΚΗ ΡΟΠΗ
:έχουμεδιπόλου
τουόροτονΓια
CCldrr
r
Ildr
r
IrA
ˆ
4cos
4 2
0
2
0
,ˆˆˆˆˆ:προκύπτειΈτσι radnadrnldrrSSC
:έχουμετελικάκαι
όπου,ˆ4 2
0 rmr
rA
βρόχου.επίπεδουτουροπήδιπολικήμαγνητικήηείναιaIadImC
1.ˆ
:είναιStokesτουθεώρηματοΑπό
SC
dafnlfd
.ˆˆ:βρίσκουμεˆΓια rrrrrf r
O
r
P
r
w
ld
I
ρεύματος.πυκνότηταχωρικήηόπου,2
1:διαστάσεις3Σε JdrJrm
![Page 203: Shmeiwseis Tsetserh](https://reader038.vdocuments.net/reader038/viewer/2022102503/563db8b7550346aa9a964754/html5/thumbnails/203.jpg)
203 ΔΙΠΟΛΙΚΗ ΡΟΠΗ: ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ
.στοάλλοτοκαιεπίπεδοστοένατο,ακτίνας
ημικύκλιαδύο)3,πλευράςότετραγωνικ)2,ακτίναςκυκλικό1)
:πλαισίωνωνρευματοφόρπαρακάτωτωνροπήδιπολικήηβρεθείΝα
xzxyR
aR
I
.ˆ)1 2zRIm
x
y
x
y I
.ˆ)2 2zIam
x
y
z
.ˆ2
ˆ2
)322
21 yR
IzR
Immm
I
I
![Page 204: Shmeiwseis Tsetserh](https://reader038.vdocuments.net/reader038/viewer/2022102503/563db8b7550346aa9a964754/html5/thumbnails/204.jpg)
204 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ: ΜΑΓΝΗΤΙΚΗ ΔΙΠΟΛΙΚΗ ΡΟΠΗ ΔΙΣΚΟΥ
δίσκου.τουροπήδιπολικήμαγνητικήηβρεθείΝατου.κέντρο
τοαπόπερνάκαιδίσκοστονκάθετοςείναιπουάξονατοναπό
γύρωταχύτηταγωνιακήμεταιπεριστρέφεκαιπυκνότητας
φορτίοόεπιφανειακομοιόμορφοφέρειακτίναςδίσκοςΚυκλικός
R
x
y
O
r
διαρρέεταιπουπλαίσιοκυκλικόσείαντιστοιχε
πάχουςκαιακτίναςδακτύλιοςλεπτόςΈνας drr
.2
2:έντασηςρεύμααπό rdr
rdr
T
dq
dt
dqdI
.:ροπή
μαγνητικήστηνισυνεισφέρεπλαίσιοκυκλικότοΑυτό
32 drrrrdrdadIdm
είναιροπήδιπολικήμαγνητικήσυνολικήηΕπομένως,
.ˆ4
κάδιανυσματικαι4
44
0
3
0z
Rm
Rdrrdmm ί
RR
ί
δίσκο.στονφορτίοολικότοόπου,ˆ4
είναιΕπίσης 22
RQzRQ
m ί
![Page 205: Shmeiwseis Tsetserh](https://reader038.vdocuments.net/reader038/viewer/2022102503/563db8b7550346aa9a964754/html5/thumbnails/205.jpg)
205 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ: ΜΑΓΝΗΤΙΚΗ ΔΙΠΟΛΙΚΗ ΡΟΠΗ ΣΦΑΙΡΑΣ
σφαίρας.τηςροπήδιπολικήμαγνητικήηβρεθείΝατης.κέντροτο
απόπερνάπουάξονααπόγύρωταχύτηταγωνιακήμεταιπεριστρέφε
καιπυκνότηταςχωρικήςφορτίοομοιόμορφοφέρειακτίναςΣφαίρα
R
.φορτίοφέρειπάχους
καιακτίναςδίσκοςλεπτόςΈνας
2dzrQdz
r
r
.4
ˆ4
:ροπήδιπολικήμαγνητική
έχειαυτόςδίσκοςοπρόβλημα,οπροηγούμεντοΑπό
42 dzrz
rQmd r
r
είναισφαίραςτηςροπήδιπολικήσυνολικήηΕπομένως,
3
252
224
32
55
0
22444 R
RR
RdzzRzRdzr
mRR
Rί
x
y
z
r
R
:έχουμεσχήματοςτουγεωμετρίατηΑπό
.2 22444222 zRzRrzRr
.3
4όπου,ˆ
5ˆ
53
4ˆ
15
4 32235
RQz
RQz
RRz
Rm ί
![Page 206: Shmeiwseis Tsetserh](https://reader038.vdocuments.net/reader038/viewer/2022102503/563db8b7550346aa9a964754/html5/thumbnails/206.jpg)
206 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ: ΜΑΓΝΗΤΙΚΗ ΔΙΠΟΛΙΚΗ ΡΟΠΗ ΣΦΑΙΡΑΣ
σφαίρας.τηςροπήδιπολικήμαγνητικήηβρεθείΝατης.κέντροτο
απόπερνάπουάξονααπόγύρωταχύτηταγωνιακήμεταιπεριστρέφε
καιπυκνότηταςχωρικήςφορτίοομοιόμορφοφέρειακτίναςΣφαίρα
R
φορτίουπυκνότηταχωρικήυπάρχειαυτήπερίπτωσηΣτην
.sinˆ:ςσυνταγμένεσφαιρικέςσε rφvJ
x
y
z
.0sincosταολοκληρώμαπεριέχουν
γιατίαιμηδενίζονττηςσυνιστώσεςκαιΟι
2
0
2
0
φdφφdφ
myx
.sinˆsinˆˆ:λοιπόνΕίναι 2 rrφrrJr
.sinˆsincosˆcoscosˆˆ:ακόμηΕίναι zφyφx
R
z rddφdrrJrmzmm0 0
222
0
2 sinsin2
1
2
1όπου,ˆΆρα
.15
41
5coscos1
51
1
25
0 0
24 Rdxx
Rddrrm
Rx
ως.προηγουμένβρήκαμεπουαυτόμεσυμπίπτειαποτέλεσμαΤο
rφ
![Page 207: Shmeiwseis Tsetserh](https://reader038.vdocuments.net/reader038/viewer/2022102503/563db8b7550346aa9a964754/html5/thumbnails/207.jpg)
207 ΙΔΑΝΙΚΟ ΔΙΠΟΛΟ – ΜΑΓΝΗΤΙΚΟ ΠΕΔΙΟ διπόλουηλεκτρικούιδανικούτουορισμότονμεααντιστοιχίΣε
Taylor.ανάπτυγμαστομοναδικόόροδιπολικότονμεπεδίομαγνητικό
δημιουργείπουβρόχοΑμπεριανότονδίπολομαγνητικόιδανικόωςορίζουμε
.ˆ4
έχουμεπερίπτωσητηναυτήνΣε2
0 rmr
rA
zmm ˆˆμεαξόνωντωναρχήστηνίτοποθετηθετοανκαι
καιˆ4
sinέχουμενεςσυντεταγμέσφαιρικέςσετότε
2
0 φr
mA
.4
sin,0εδώόπου,
sin
ˆsinˆˆ
sin
12
0
2 r
mAAA
ArrAA
φθr
φrθrr
rAB φr
φθr
ο.πεπερασμένπαραμένειναγινόμενοτοώστε
ούτωςέντασηςμεγάληςρεύμααπόδιαρρέεταιαλλά,εμβαδόμικρό
πολύέχειπουβρόχοςΑμπεριανόςέναςείναιδίπολομαγνητικόιδανικόΤο
Iam
Ia
![Page 208: Shmeiwseis Tsetserh](https://reader038.vdocuments.net/reader038/viewer/2022102503/563db8b7550346aa9a964754/html5/thumbnails/208.jpg)
208 ΙΔΑΝΙΚΟ ΔΙΠΟΛΟ – ΜΑΓΝΗΤΙΚΟ ΠΕΔΙΟ
.4
sin,0εδώόπου,
sin
ˆsinˆˆ
sin
12
0
2 r
mAAA
ArrAA
φθr
φrθrr
rAB φr
φθr
.sinˆcosˆ24
sinˆsinˆ
sin
1
4:Άρα
3
0
22
2
0
θr
r
m
r
rθr
θ
rr
r
mB
δίπολοΙδανικόδίπολοΦυσικό
![Page 209: Shmeiwseis Tsetserh](https://reader038.vdocuments.net/reader038/viewer/2022102503/563db8b7550346aa9a964754/html5/thumbnails/209.jpg)
209 ΙΔΑΝΙΚΟ ΔΙΠΟΛΟ – ΜΑΓΝΗΤΙΚΟ ΠΕΔΙΟ
.4
έχουμεπερίπτωσητηναυτήνΣε2
0 rmr
rA
1.ˆ
4:λοιπόνΕίναι
2
0
r
rmrAB
yxxzzyzyx xmymzzmxmyymzmxr
rzryrx
mmm
zyx
r
rm
ˆˆˆ
1ˆˆˆ
3
333
3
:Όμως
και
ˆˆˆ
:Άρα333
3
rxmymrzmxmrymzm
zyx
zyx
r
rm
yxxzzy
333 r
zmxm
zr
xmym
yr
rm xzyx
x
.3333
355
22
5
22
555
22
zyxxzy
x zmymr
x
r
rxm
r
zrm
r
zm
r
ymx
r
yrm
![Page 210: Shmeiwseis Tsetserh](https://reader038.vdocuments.net/reader038/viewer/2022102503/563db8b7550346aa9a964754/html5/thumbnails/210.jpg)
210 ΙΔΑΝΙΚΟ ΔΙΠΟΛΟ – ΜΑΓΝΗΤΙΚΟ ΠΕΔΙΟ
:αλλιώςή,333
:Όμως3555
22
r
m
r
xzmymxmzmym
r
x
r
rxm xzyx
zyx
.3
353 r
m
r
xrm
r
rm x
x
:βρίσκουμεΟμοίως
353353
3,3r
m
r
zrm
r
rm
r
m
r
yrm
r
rm z
z
y
y
δηλαδή,3
4:Τελικά
353
0
r
m
r
rrm
r
rmB
.ˆˆ34
:διπόλουμαγνητικούΠεδίο3
0 mrrmr
B
.ˆˆ34
1:διπόλουηλεκτρικούΠεδίο
3
0
prrpr
E
![Page 211: Shmeiwseis Tsetserh](https://reader038.vdocuments.net/reader038/viewer/2022102503/563db8b7550346aa9a964754/html5/thumbnails/211.jpg)
x
y
zO
211 ΔΥΝΑΜΗ – ΡΟΠΗ ΣΕ ΜΑΓΝΗΤΙΚΟ ΔΙΠΟΛΟ
πλαίσιο.στοδύναμητηνβρούμεΘαμικρή.πολύείναιτετραγώνουτου
πλευράηότιΥποθέτουμε.πεδίομαγνητικόσεμέσαβρίσκεται
καιέντασηςρεύμααπόδιαρρέεταιπλαίσιοότετραγωνικότιΈστω
aB
I
.σημείοστοπεδίουμαγνητικούτουτιμήηΈστω OBO
I
A
CD,:είναιτουμήκοςκατάΤότε
0
x
OOAx
BxBBOA
.:τουμήκοςκατάενώ
00
yx
ODCy
Ba
x
BxBBDC
:είναικαιτμήματαταδέχονταιπουδύναμηηΕπομένως CDOA
a
DC
a
OACDOA
CDOA dxBxIdxBxIBldIBldIFF00
ˆˆ
00
2
00
ˆˆˆy
By
y
BzIadx
y
BxIaFF zya
CDOA
![Page 212: Shmeiwseis Tsetserh](https://reader038.vdocuments.net/reader038/viewer/2022102503/563db8b7550346aa9a964754/html5/thumbnails/212.jpg)
x
y
zO
212 ΔΥΝΑΜΗ – ΡΟΠΗ ΣΕ ΜΑΓΝΗΤΙΚΟ ΔΙΠΟΛΟ
πλαίσιο.στοδύναμητηνβρούμεΘαμικρή.πολύείναιτετραγώνουτου
πλευράηότιΥποθέτουμε.πεδίομαγνητικόσεμέσαβρίσκεται
καιέντασηςρεύμααπόδιαρρέεταιπλαίσιοότετραγωνικότιΈστω
aB
I
I
A
CD:καιτμήματα
ταγιαέχουμεΟμοίως
ACOD
:είναικαιτμήματασταδύναμηηΕπομένως ACOD
000
,
yx
OAC
y
OODy
By
x
BaBB
y
ByBB
aa
AC
a
ODACOD dxx
ByIadyByIdyByIFF
00
00ˆˆˆ
.ˆˆ00
2
x
Bx
x
BzIaFF zx
ACOD
00
2 ˆˆy
By
y
BzIaFF zy
CDOA
![Page 213: Shmeiwseis Tsetserh](https://reader038.vdocuments.net/reader038/viewer/2022102503/563db8b7550346aa9a964754/html5/thumbnails/213.jpg)
x
y
zO
213 ΔΥΝΑΜΗ – ΡΟΠΗ ΣΕ ΜΑΓΝΗΤΙΚΟ ΔΙΠΟΛΟ
πλαίσιο.στοδύναμητηνβρούμεΘαμικρή.πολύείναιτετραγώνουτου
πλευράηότιΥποθέτουμε.πεδίομαγνητικόσεμέσαβρίσκεται
καιέντασηςρεύμααπόδιαρρέεταιπλαίσιοότετραγωνικότιΈστω
aB
I
I
A
CD καιˆˆότιλοιπόνΒρήκαμε00
2
y
By
y
BzIaFF zy
CDOA
.ˆˆ00
2
x
Bx
x
BzIaFF zx
ACOD
είναιδύναμη
ολικήηΆρα
.ˆˆˆ
0000
2
y
By
x
Bx
y
B
x
BzIaFFFFF zzyx
ACODCDOA
τελικάβρίσκουμεέτσικαι0όμωςΕίναι000
z
B
y
B
x
BB zyx
Bmy
By
x
Bx
z
BzIaF zzz
000
2 ˆˆˆ
.τετραγώνουτουροπήδιπολικήμαγνητικήηείναιˆόπου 2zIam
![Page 214: Shmeiwseis Tsetserh](https://reader038.vdocuments.net/reader038/viewer/2022102503/563db8b7550346aa9a964754/html5/thumbnails/214.jpg)
214 ΔΥΝΑΜΗ – ΡΟΠΗ ΣΕ ΜΑΓΝΗΤΙΚΟ ΔΙΠΟΛΟ
.ˆκατεύθυνσηγενικήπροςροπήέχειπουδίπολομαγνητικόςστοιχειώδε
εοποιόδηποτγιαισχύειδηλαδήισχύ,γενικήέχειτύποςΟ
n
BmF
προκύπτειπαραπάνωοιόπωςύςσυλλογισμοπαρόμοιουςΜε
ότιπροκύπτεισχέσητηνΑπό UF
.είναιπεδίοσεμέσαδιπόλουμαγνητικούενέργειαδυναμικήη BmUBm
.:ροπήδέχεταιπεδίοσεμέσαροπήςδίπολομαγνητικόότι BmNBm
ότιδείχνουνκαισχέσειςΟι BmNBmU
.τοπροςπαράλληλαίζεταιπροσανατολ
πεδίοσεμέσαροπήςδίπολομαγνητικό
B
Bm
.ροπήςδίπολοηλεκτρικόιδανικόγια
καισχέσειςτιςμεπαρόμοιεςείναι
ισμόςπροσανατολσχετικόςοκαισχέσειςπαραπάνωΟι
p
EpNEpU
![Page 215: Shmeiwseis Tsetserh](https://reader038.vdocuments.net/reader038/viewer/2022102503/563db8b7550346aa9a964754/html5/thumbnails/215.jpg)
215 ΕΝΕΡΓΕΙΑ ΔΙΠΟΛΟΥ
.ˆˆ34
πεδίομαγνητικόδημιουργείδίπολομαγνητικόότιδειΈχουμε
3
0 mrrmr
B
1122 δίπολοπροςωςθέσησεβρεθείροπήςδίπολοανΕπομένως, mrm
ενέργειαδυναμικήέχειδιπόλωντωνζεύγοςτοτότε
.
ˆˆ3
4 3
12
12212121012
r
rmrmmmBmU
διπόλωνηλεκτρικώνζεύγους
περίπτωσηστηνκαιΌπως
.τοπροςπαράλληλαίζεταιπροσανατολ
δίπολομαγνητικόόδοκιμαστικτο
1
2
B
m
![Page 216: Shmeiwseis Tsetserh](https://reader038.vdocuments.net/reader038/viewer/2022102503/563db8b7550346aa9a964754/html5/thumbnails/216.jpg)
216
.ισορροπίαςκατάστασητηνρείτενται.περιστρέφοναμπορούνκαι
απόστασησταθερήσεβρίσκονταιροπήςμέτρομεδίπολαμαγνητικάΔύο
a
m
.
4
ˆˆ3
4ασηςαλληλεπίδρενέργειαςτης
ίησηελαχιστοποτηναπόπροκύπτειισορροπίαςκατάστασηΗ
3
12
122121210
r
rmrmmmU
ΔΙΠΟΛΟ ΣΤΗΝ ΓΕΙΤΟΝΙΑ ΔΙΠΟΛΟΥ: ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΣ
:ταΠαραδείγμα
:0,θέσηστηˆ,αξόνωντωναρχήστηνˆ)1 21 aymmxmm
.0
030
4,ˆˆ
3
012
a
mUxr
.
4
003
4,ˆˆ
3
2
0
3
2
012
a
m
a
mUyr
:,0θέσηστηˆ,αξόνωντωναρχήστηνˆ)2 21 axmmxmm
.
24
23
4,ˆˆ
3
2
0
3
2
0
3
2
012
a
m
a
m
a
mmmUxr
:0,θέσηστηˆ,αξόνωντωναρχήστηνˆ)3 21 axmmxmm
x
y
z
x
y
z
x
y
z
![Page 217: Shmeiwseis Tsetserh](https://reader038.vdocuments.net/reader038/viewer/2022102503/563db8b7550346aa9a964754/html5/thumbnails/217.jpg)
217 MΑΓΝΗΤΙΚΕΣ ΡΟΠΕΣ ΑΤΟΜΩΝ
IέντασηςρεύμααπόδιαρέεταιπουπλαίσιοκυκλικόότιδειΈχουμε
,ˆροπήδιπολικήμαγνητικήέχει 2zrIm
.ˆ22
1ˆˆˆδηλαδή 222 zrvrzrvzr
dt
ds
ds
dqzr
dt
dqm
ται.περιστρέφεπουφορτίοολικότοείναι2όπου Qr
.μάζασείαντιστοιχεαυτόφορτίοτοότιΈστω M
,2
ˆ2
ˆ2
1:Τότε L
M
QzvrM
M
QzvrQm
άτομα.σταπυρήνεςτουςαπόγύρωνηλεκτρονίωτων
κίνησητηνγιανεφαρμοστούναμπορούνπεριγραφή,νικήκβαντομηχα
σωστήτηνμεσχέσησεατελείςείναιπαρότιί,συλλογισμοπαραπάνωΟι
I
.ˆ2zRIm
x
y
.συστήματοςτουστροφορμήολικήηˆόπου zvrML
![Page 218: Shmeiwseis Tsetserh](https://reader038.vdocuments.net/reader038/viewer/2022102503/563db8b7550346aa9a964754/html5/thumbnails/218.jpg)
218 MΑΓΝΗΤΙΚΕΣ ΡΟΠΕΣ ΑΤΟΜΩΝ
.συστήματοςτουστροφορμήολικήηόπου,2
:Είναι LLM
Qm
,2
:άτομοσευηλεκτρονίοενόςκίνησηκυκλικήτηνγιαΈτσι, Lm
em
e
πυρήνα.τοναπόγύρωυηλεκτρονίοτουστροφορμήτροχιακήη
καιυηλεκτρονίοτουφορτίοτοκαιμάζαηείναικαιόπου
L
eme
.2
ροπήμαγνητικήτροχιακήεμφανίζειάτομοτοτότεάτομο
κάποιοσενηλεκτρονίωτωνστροφορμήτροχιακήολικήηείναιΑν
Lm
em
L
e
L
ανάλογο.κλασικό
χωρίςιδιότητακβαντικήκαθαράείναιπουspinτουλόγωσωστάπιο
,ροφής"ιδιοπεριστ"λόγωστροφορμήέχειηλεκτρόνιοκάθες,Ταυτοχρόνω
S
!2όμωςόπου,2
:ροπήδιπολικήspinκαιυπάρχειΈτσι s
e
sS gSm
egm
![Page 219: Shmeiwseis Tsetserh](https://reader038.vdocuments.net/reader038/viewer/2022102503/563db8b7550346aa9a964754/html5/thumbnails/219.jpg)
219 ΑΠΟΚΡΙΣΗ ΥΛΙΚΩΝ ΣΕ ΜΑΓΝΗΤΙΚΟ ΠΕΔΙΟ – ΜΑΓΝΗΤΙΣΗ
άτομο.ένασεροπήδιπολικήμαγνητικήκάποιαδίνειροπής
διπολικήςμαγνητικήςspinτηςκαιτροχιακήςτηςσυνδυασμόςΟ
m
ις.κατευθύνσετυχαίεςκατά
ατόμωντωνροπέςδιπολικέςτιςίσουνπροσανατολνατείνουνκινήσεις
θερμικέςτυχαίεςοια,θερμοκρασίμηδενική-μηηπεπερασμένΣε
μαγνήτιση.ιεμφανίζετανααποτέλεσμαμεδίπολα,ατομικά
ταβαθμόκάποιοσείζειπροσανατολπεδίουμαγνητικούΕφαρμογή
όγκου.μονάδαανάροπήδιπολικήμαγνητικήτηνωςμαγνήτισητην
ορίζουμεδιπόλωνμαγνητικώνκατανομήμίαφέρειπουυλικόέναΓια
rM
.ροπήδιπολικήυπάρχειθέσηστηνόγκοστοιχειώδηΣε drMmdrd
.rrwrw
wmdAd
md
μεθέσηστηˆ
4
δυναμικόκόδιανυσματιδημιουργείροπήΗ
2
0
![Page 220: Shmeiwseis Tsetserh](https://reader038.vdocuments.net/reader038/viewer/2022102503/563db8b7550346aa9a964754/html5/thumbnails/220.jpg)
220 ΑΠΟΚΡΙΣΗ ΥΛΙΚΩΝ ΣΕ ΜΑΓΝΗΤΙΚΟ ΠΕΔΙΟ – ΜΑΓΝΗΤΙΣΗ
.rrwrw
wmdAd
md
μεθέσηστηˆ
4
δυναμικόκόδιανυσματιδημιουργείροπήΗ
2
0
1.ˆ
4είναιτηςλόγωστοδυναμικόολικόΤο
2
0
d
w
wrMrArMr
ισχύεινεςσυντεταγμέσφαιρικέςΣε ΄Αρα.ˆ1
ˆ1
2r
r
rrr
r
.ˆ1
τότεμεταβλητήτηνγιαβαθμίδαηείναιαν2w
w
wrrw ww
Επομένως.ˆ1άρακαιόμωςΕίναι 2wwwrwr
.1
4
0
d
wrMrA r
.όμωςΕίναι
CfCffC
fCCfCf
2.4
:,1
γιαΆρα 0
d
w
Md
w
MrAMC
wf r
r
![Page 221: Shmeiwseis Tsetserh](https://reader038.vdocuments.net/reader038/viewer/2022102503/563db8b7550346aa9a964754/html5/thumbnails/221.jpg)
221 ΔΕΣΜΙΑ ΡΕΥΜΑΤΑ
2.4
:Άρα 0
d
w
Md
w
MrA r
r
.:ταυτότηταμαθηματικήηόμωςΙσχύει S
adCdC
3.4
:Επομένως 0
S
r
w
adMd
w
MrA
MJb
ρεύματοςπυκνότηταχωρικήορίσουμεΑν
διπόλων.μαγνητικώνκώνμικροσκοπιπαρουσίατηνμε
ισχετίζονταπουρευμάτωνδέσμιωνπυκνότηταήεπιφανειακ
καιχωρικήτηορίζουνˆκαισχέσειςΟι nMKMJ bb
έχουμετότεˆρεύματοςπυκνότηταήεπιφανειακκαι nMKb
4.4
0
S
bb
w
adrKd
w
rJrA
![Page 222: Shmeiwseis Tsetserh](https://reader038.vdocuments.net/reader038/viewer/2022102503/563db8b7550346aa9a964754/html5/thumbnails/222.jpg)
222 ΜΑΓΝΗΤΙΣΗ – ΠΕΔΙΟ Η
μαγνήτιση.μεισχετίζονταδενπουρεύματαδηλαδήρεύματα,
ελεύθερακαιαλλάδέσμια,υπάρχουνχώρουτουπεριοχήσεότιΈστω
.καιείναιρεύματοςπυκνότητεςςαντίστοιχεοιότιακόμηΈστω fb JJ
MJJJJB fbf
000:τότεΕίναι
1.1
00
ff JMB
JMB
2.:μορφήτηνπαίρνει1ηορισμότονΜε0
fJHMB
H
,:ισχύειμορφήκήολοκληρωτιΣε fC
IldH
.βρόχοτονσύνοροέχει
πουεπιφάνειααπόμέσαπερνάειπου
ρεύμαελεύθεροσυνολικότοόπου
C
S
I f
fJ
C
S
.0τότεσχήμαστοόπωςτηνεδιατρέχουμΑν fIC
![Page 223: Shmeiwseis Tsetserh](https://reader038.vdocuments.net/reader038/viewer/2022102503/563db8b7550346aa9a964754/html5/thumbnails/223.jpg)
223 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΜΑΓΝΗΤΙΚΑ ΥΛΙΚΑ
HM m
σχέσηηισχύειμέσαμαγνητικάγραμμικάταΓια
υλικού.τουτηταεπιδεκτικόμαγνητικήηείναιόπου m
HHMHB m
1:βρίσκουμεΈτσι 00
μέσου.τουηταδιαπερατότμαγνητικήηείναι1όπου 0 m
Τύποι μαγνητικής συμπεριφοράς:
ΠΑΡΑΜΑΓΝΗΤΙΚΟ: Απουσία εγγενούς Μ, απόκριση σε
εξωτερικό H, M παράλληλο στο H , χm > 0 (π.χ. Ο2, Al, Pt, κ.ά.)
ΔΙΑΜΑΓΝΗΤΙΚΟ: Απουσία εγγενούς Μ, απόκριση σε εξωτερικό
H, M αντι-παράλληλο στο H, χm < 0 (π.χ. Cu, Au, Ag, κ.ά.)
Κατηγοριοποίηση ανάλογα με την απόκριση σε εφαρμοζόμενο
μαγνητικό πεδίο H
![Page 224: Shmeiwseis Tsetserh](https://reader038.vdocuments.net/reader038/viewer/2022102503/563db8b7550346aa9a964754/html5/thumbnails/224.jpg)
224 ΠΡΟΒΛΗΜΑ
κυλίνδρου.τουεκτόςκαιεντόςπεδίομαγνητικότοΒρείτε
.ˆότιέστωτουάξονάστονπαράλληλημαγνήτιση
ομοιόμορφημιαέχειακτίναςκαιμήκουςάπειρουκύλινδροςΈνα
zMMM
R
z
bK
bK
bK
.0ρεύματοςδέσμιου
πυκνότηταχωρικήσείαντιστοιχεαυτήμαγνήτισηΗ
MJb
.ˆˆˆˆρεύματοςδέσμιου
πυκνότηταήεπιφανειακσείαντιστοιχεΕπίσης
MrzMnMKb
1βρόχος
ll
2βρόχος
.,,βρίσκουμε1βρόχοτονΓια babrBarB
.0άρα,0Είναι RrBrB
ρεύμαπερνάει2βρόχοτοναπόΜέσα
.MlKlI
2βρόχοτονγιαβρίσκουμεΈτσι
ς.σωληνοειδέστομέσα,ˆ00 zMBMlBl
![Page 225: Shmeiwseis Tsetserh](https://reader038.vdocuments.net/reader038/viewer/2022102503/563db8b7550346aa9a964754/html5/thumbnails/225.jpg)
225 ΠΡΟΒΛΗΜΑ
ύς.σωληνοειδοτουεκτόςκαιεντόςπεδίομαγνητικό
τοβρεθείνα,έντασηςρεύμααπόδιαρρέεταικαιμήκουςμονάδαανά
σπείρεςέχειςσωληνοειδέτοΑν.τηταςεπιδεκτικόυλικόγραμμικό
απόγεμάτοείναιακτίναςκαιμήκουςαπείρουςσωληνοειδέΈνα
I
n
R
m
I
z.:σχέσητηνήσουμεχρησιμοποιΘα f
CIldH
.,,βρίσκουμε1βρόχοτονΓια babrHarH
.0 RrHB
ρεύμαελεύθεροπερνάει2βρόχοτοναπόΜέσα
.nIlI f
2βρόχοτονγιαβρίσκουμεΈτσι
ς.σωληνοειδέστομέσα,znIHnIlHl
1βρόχος
l
τελικά,0είναιπηνίοτοαπόέξωΕπειδή M
l
2βρόχος .ˆ1,:γιαΕπίσης 0 znIBHMRr mm
![Page 226: Shmeiwseis Tsetserh](https://reader038.vdocuments.net/reader038/viewer/2022102503/563db8b7550346aa9a964754/html5/thumbnails/226.jpg)
226 Σιδηρομαγνητισμός, Αντισιδηρομαγνητισμός
Τύποι μαγνητικής συμπεριφοράς:
Κατηγοριοποίηση με βάση την ύπαρξη (εγγενούς) μαγνήτισης
ΣΙΔΗΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΟ: Εγγενής μαγνήτιση, παράλληλες μαγνητικές
ροπές, του ίδιου μεγέθους (π.χ. Fe, Ni, Co)
ΣΙΔΗΡΙΜΑΓΝΗΤΙΚΟ: Εγγενής μαγνήτιση, παράλληλες μαγνητικές
ροπές, ανόμοιου μεγέθους (π.χ. Fe3O4)
ΑΝΤΙΣΙΔΗΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΟ: Εγγενής μαγνήτιση, αντι-παράλληλες
μαγνητικές ροπές, του ίδιου μεγέθους (π.χ. Cr, NiO, κ.ά.)
ΣΙΔΗΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΟ ΑΝΤΙΣΙΔΗΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΟ ΣΙΔΗΡΙΜΑΓΝΗΤΙΚΟ
![Page 227: Shmeiwseis Tsetserh](https://reader038.vdocuments.net/reader038/viewer/2022102503/563db8b7550346aa9a964754/html5/thumbnails/227.jpg)
227 ΝΟΜΟΣ ΤΟΥ OHM, ΑΓΩΓΙΜΟΤΗΤΑ
αγωγό.στονπαντούκαι0τότεΕίναι.ισορροπία
τικήηλεκτροστασεπουαγωγώνάσυμπεριφορτηνεξετάσαμετώραΜέχρι
όVE
E
0E
0E
EJ
.0καιρεύμααπόδιαρρέεται
αγωγόςοτότεδυναμικούδιαφοράκάποιασε
αιδιατηρούνταγωγούτουόμωςάκραταΌταν
E
φορτίουπυκνότηταμηδενικήσυνολικάέχειαγωγόςοΕπειδή
1.0:δίνειPoissonεξίσωσηη 2 V
αγωγού.τουάκρασταδυναμικούδιαφορά
νηεπιβαλλόμετηνσυνθήκεςσυνοριακές
με1τηναπόεταιπροσδιορίζδυναμικόΤο
τηνκαιπεδίοτοβρίσκουμεΚατόπιν VE
αγωγού.τουααγωγιμότητηείναιόπου,ρεύματοςπυκνότητα EJ
ισχυρά.πολύείναιδενπου
πεδίαγιαισχύεικαιOhmτουνόμοςωςγνωστήείναισχέσηΗ EJ
![Page 228: Shmeiwseis Tsetserh](https://reader038.vdocuments.net/reader038/viewer/2022102503/563db8b7550346aa9a964754/html5/thumbnails/228.jpg)
228 ΑΓΩΓΙΜΟΤΗΤΑ, ΑΝΤΙΣΤΑΣΗ
.αγωγούτουαντίστασητην
ουμεπροσδιορίσναμπορούμετότεδιαρρέειτον
πουρεύματοςέντασηολικήτηνκαιαγωγούτου
άκρασταδυναμικούδιαφοράτηνβρούμεΑν
IVR
I
V
D
:λοιπόνΕίναι .2
S
C
S
C
sdE
ldE
sdJ
ldER
αγωγού.τουαντίστασηειδικήηείναι1όπου,3τότε
διατομήστηνπαντούίδιαηείναιααγωγιμότητηπουπερίπτωσηΣτην
S
C
sdE
ldER
S
0τηςλύσηημήκουςκαιδιατομήςσταθερήςαγωγόένανΓια 2 VLA
.)(,0συνθήκεςοριακέςμεδίνει 21121 VLxVVxVVVL
xVxV
.καιβρίσκουμεΈτσι 1212
A
L
AE
VVRLVVE
0E
EJ
![Page 229: Shmeiwseis Tsetserh](https://reader038.vdocuments.net/reader038/viewer/2022102503/563db8b7550346aa9a964754/html5/thumbnails/229.jpg)
229 ΝΟΜΟΣ ΤΟΥ OHM: ΠΡΟΒΛΗΜΑ
τιμές.σταθερέςσειδιατηρείταεπιφάνειαςέξωκαιμέσατηςδυναμικότοαν
αγωγούτουαντίστασηηβρεθείΝα.αςαγωγιμότητυλικόαγώγιμοαπό
γεμάτοςείναιμεχώροςΟσημείο.ένααπόαπόστασηηΈστω 21
rrrr
O1r
2r
.με2και1ότιΈστω 122211 VVVVrVVrV D
.:είναισυμμετρίαςσφαιρικήςΛόγω rVrV
:είναινεςσυντεταγμέσφαιρικέςΣε
.sin
1sin
sin
112
2
222
2
2
2
φ
f
r
f
rr
fr
rrf
.21συνθήκεςτιςμε30τηνλύσουμεΘα 2 V
:δίνει3η0Επειδή φVV
4.0 121
22
r
CCrVC
r
Vr
r
Vr
r
:έχουμε4και
21τιςΑπό
.και2
122
1
121
r
CCV
r
CCV .11:Έτσι
12
21121112
rr
VrrCrrCVV
D
![Page 230: Shmeiwseis Tsetserh](https://reader038.vdocuments.net/reader038/viewer/2022102503/563db8b7550346aa9a964754/html5/thumbnails/230.jpg)
230 ΠΡΟΒΛΗΜΑ: ΑΝΤΙΣΤΑΣΗ ΣΦΑΙΡΙΚΟΥ ΦΛΟΙΟΥ
αγωγού.τουαντίστασηηβρεθείΝα.αςαγωγιμότητυλικόαγώγιμοαπό
γεμάτοςείναιμεχώροςΟσημείο.ένααπόαπόστασηηΈστω 21
rrrr
O1r
2r
.με2και1ότιΈστω 122211 VVVVrVVrV D
.ˆsin
1ˆˆˆ:Άρα
2
1
r
Cr
φ
V
rφ
r
V
r
VrVE
.μελύσητηνΒρήκαμε12
211
12
rr
VrrC
r
CCrV
D
είναιακτίναςσφαίρααπόμέσαλοιπόνρεύμαΤο rS
.44 1
2
2
1 Crr
CadEadJI
SS
:αντίστασητηνγιαβρίσκουμεΤελικά.
44 21
12
12
21 rr
rr
rr
Vrr
V
I
VR
D
D
D
![Page 231: Shmeiwseis Tsetserh](https://reader038.vdocuments.net/reader038/viewer/2022102503/563db8b7550346aa9a964754/html5/thumbnails/231.jpg)
231 ΠΡΟΒΛΗΜΑ: ΑΝΤΙΣΤΑΣΗ ΚΥΛΙΝΔΡΟΥ
.αντίστοιχακαιδυναμικάέχουνκαιεπιφάνειεςοιαν
αγωγούτουαντίστασηηβρεθείΝα.αςαγωγιμότητυλικόαπόγεμάτοςείναι
0καιμεχώροςΟάξονα.τοναπόαπόστασηηΈστω
2121
21
VVrrrr
Lzrrrzr
O1r
2r
.:είναισυμμετρίαςςκυλινδρικήΛόγω rVrV
:νεςσυντεταγμέ
ςκυλινδρικέΣε
δίνει3ηκαι11
2
2
2
2
22
2
z
ff
rr
fr
rrf
.21συνθήκεςοριακέςτιςμε
30εξίσωσητηνλύσουμεΘα 2
V
4.ln0 121 rCCrVCr
Vr
r
Vr
r
:έχουμε4και
21τιςΑπό
.ln
lnln
121
121
rrVC
VrrC
D
D.ˆˆˆˆ:Άρα 1
r
Cr
z
Vz
r
V
r
VrVE
:είναιακτίναςκύλινδροαπόπερνάειπουρεύμαΤο r
,22 1LCrLEI
.2
lnείναιαντίστασηητελικάκαι 12
L
rrIVR
D
![Page 232: Shmeiwseis Tsetserh](https://reader038.vdocuments.net/reader038/viewer/2022102503/563db8b7550346aa9a964754/html5/thumbnails/232.jpg)
232 ΠΡΟΒΛΗΜΑ: ΜΑΓΝΗΤΙΣΜΕΝΗ ΣΦΑΙΡΑ
σφαίρας.τηςεκτόςκαιεντόςπεδίομαγνητικό
τοβρεθείΝα.μαγνήτισηομοιόμορφηφέρειακτίναςΣφαίρα R
x
y
z
rφ
0ρεύματοςδέσμιου
πυκνότηταχωρικήσείαντιστοιχεαυτήμαγνήτισηΗ
MJb
rMnMKbˆˆρεύματοςδέσμιουπυκνότηταήεπιφανειακκαι
:είναισημείοστοδυναμικόκόδιανυσματιΤο P
.sinκαιcos2,ˆόπου 2
0
22
00 dφdRdaRrRrwrRrw
M
.cosˆsinˆότικαιˆθέσηςδιάνυσμα
έχειςπαρατήρησησημείοτοότιθεωρήσουμενα
μπορούμεγενικότητατηαπόκάτιχάσουμεναΧωρίς
00 zxMMzrr
P
P
cosˆsinsinˆcossinˆcosˆsinˆ zφyφxzxMKb
.sinsinsinˆcossincossincosˆsinsincosˆ φzφyφxM
,sin
44
2
000
w
dφdRK
w
daKrA b
S
b
![Page 233: Shmeiwseis Tsetserh](https://reader038.vdocuments.net/reader038/viewer/2022102503/563db8b7550346aa9a964754/html5/thumbnails/233.jpg)
233 ΠΡΟΒΛΗΜΑ: ΜΑΓΝΗΤΙΣΜΕΝΗ ΣΦΑΙΡΑ
σφαίρας.τηςεκτόςκαιεντόςπεδίομαγνητικό
τοβρεθείΝα.μαγνήτισηομοιόμορφηφέρειακτίναςΣφαίρα R
x
y
z
rφ
.cos2,ˆόπου 0
22
00 RrRrwrRrw
M
P
,sin
44:στοΕίναι
2
000
w
dφdRK
w
daKrAP b
S
b
.cossincossincosκαι
sinsinsin,sinsincos:Έχουμε
φMK
φMKφMK
y
zx
0sin,0sin:Είναι0
2
00
2
0
φdφdgDAφdφdfCA zx
.τηςόρουπρώτουτουστοσυνεισφοράηιμηδενίζεταΟμοίως yy KA
0
0
22
0
2
0
cos2
sincos
4
sin2:βρίσκουμεΈτσι
RrRr
dMRAy
1
1
0
22
0
2
0
0
0
22
0
2
0
22
sin
cos2
coscos
2
sin
RurRr
uduMR
RrRr
dMRAy
![Page 234: Shmeiwseis Tsetserh](https://reader038.vdocuments.net/reader038/viewer/2022102503/563db8b7550346aa9a964754/html5/thumbnails/234.jpg)
234 ΠΡΟΒΛΗΜΑ: ΜΑΓΝΗΤΙΣΜΕΝΗ ΣΦΑΙΡΑ
σφαίρας.τηςεκτόςκαιεντόςπεδίομαγνητικό
τοβρεθείΝα.μαγνήτισηομοιόμορφηφέρειακτίναςΣφαίρα R
x
y
z
rφ
M
P
,3
2:είναισφαίραςτηςεσωτερικόστοΤελικά 0MB
.3
4ροπήδιπολικήέχεικαι
κέντροστοβρίσκεταιπουδιπόλουαυτόμε
ίδιοείναιπεδίοτοεξωτερικόστοενώ
3
MR
m
σφαίρας.τηςεσωτερικό
στοπεδίομαγνητικόολικότοακυρώσουνναρεύματα
άεπιφανειακκατάλληλαδυνατόνείναιότιόμαστεαντιλαμβανˆ
ρεύματοςπυκνότηταήεπιφανειακσείαντιστοιχεμαγνήτισηηΕπειδή
nMK
M
b
![Page 235: Shmeiwseis Tsetserh](https://reader038.vdocuments.net/reader038/viewer/2022102503/563db8b7550346aa9a964754/html5/thumbnails/235.jpg)
235 Βραβεία Nobel Φυσικής περί τον μαγνητισμό
2007 (A. Fert, P. Grünberg): for the discovery of giant magnetoresistance
1970 (L. Neel): for fundamental work and discoveries concerning
antiferromagnetism and ferrimagnetism which have led to important
applications in solid state physics
1955 (P. Kusch): for his precision determination of the magnetic moment of the
electron
1952 (F. Bloch, E. Purcell): for their developments of new methods for nuclear
magnetic precision measurements and discoveries in connection therewith
1944 (I. Rabi): for his resonance methods for recording the magnetic
properties of atomic nuclei
1943 (O. Stern): for his contribution to the development of the molecular ray
method and his discovery of the magnetic moment of the proton
1902 (H. Lorentz, P. Zeeman): in recognition of the extraordinary service they
rendered by their researches into the influence of magnetism upon radiation
phenomena
1977 (P. W. Anderson, N. Mott, J. van Vleck): for their fundamental theoretical
investigations of the electronic structure of magnetic and disordered systems
![Page 236: Shmeiwseis Tsetserh](https://reader038.vdocuments.net/reader038/viewer/2022102503/563db8b7550346aa9a964754/html5/thumbnails/236.jpg)
236 ΗΛΕΚΤΡΕΓΕΡΤΙΚΗ ΔΥΝΑΜΗ
ρεύμα.απόδιαρρέεταιπουβρόχοςέναςΈστω C
τότεφορτίων,τωνκίνησητηνγιαυπεύθυνηείναιπου
φορτίουμονάδαανάδύναμημίαυπάρχειβρόχουτουμήκοςκατάΑν f
sf
δύναμημίατηςπεριοχήστην
δημιουργείπουπηγήμίαέχουμεκυκλώματαηλεκτρικάαμιγώςΓια
DC
sC
s ldfldfEff
καιβρίσκουμεΈτσι
πεδία.τικάηλεκτροσταγια0αφού CldE
.:βρόχοστοντηςολοκλήρωμα
οεπικαμπύλικλειστότοδύναμητικήηλεκτρεγερωςορίζουμε
C
ldfΗΕΔCf
ΗΕΔ
βρόχο.τονόλοσεκινηθούνναφορτίατααναγκάζει
καικύκλωματοόλοσευπάρχειπουπεδίοηλεκτρικόένακαι E
![Page 237: Shmeiwseis Tsetserh](https://reader038.vdocuments.net/reader038/viewer/2022102503/563db8b7550346aa9a964754/html5/thumbnails/237.jpg)
237 ΗΛΕΚΤΡΕΓΕΡΤΙΚΗ ΔΥΝΑΜΗ: ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ
.δύναμημίατηςπεριοχήστην
δημιουργείπουπηγήμίαέχουμεκυκλώματαηλεκτρικάαμιγώςΓια
sf
βρόχου.τουσημείωνδύομεταξύσταθερήιδιατηρείταπου
τάσηδυναμικούδιαφοράσείαντιστοιχεαυτήδύναμηηΣυνήθως
ς.αντιδράσειικέςηλεκτροχημμε
τάσηδημιουργείμπαταρίαΜία
φωτός.απορρόφησηηπροκαλείπου
διεγέρσειςκέςηλεκτρονιατιςμετάση
δημιουργείστοιχείοκόιφωτοβολταΈνα
.ηλεκτρόδιαδύοστα
ενεργειώνκώνηλεκτρονιατωνμεταξύ
διαφοράτηναπόταιδημιουργείτάσηη
λιθίουμπαταρίαμίασε,παράδειγμαΓια
![Page 238: Shmeiwseis Tsetserh](https://reader038.vdocuments.net/reader038/viewer/2022102503/563db8b7550346aa9a964754/html5/thumbnails/238.jpg)
238 ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΗ ΓΕΝΝΗΤΡΙΑ
![Page 239: Shmeiwseis Tsetserh](https://reader038.vdocuments.net/reader038/viewer/2022102503/563db8b7550346aa9a964754/html5/thumbnails/239.jpg)
B
239 ΚΙΝΗΤΙΚΗ ΗΕΔ
πεδίο.μαγνητικόομογενές-μημεπεριοχήσεμέσαπλαισίουαγώγιμου
ενόςκίνησητηναπόκαιπροκύψειναμπορείδύναμητικήΗλεκτρεγερ
A
B C
D
.ˆδύναμηδέχεταιπλευράστηνφορτίοκάθεΤότε yqvBBvqFABq
xy
.ρεύμαρέεικαιαιαναπτύσσετΈτσι IvBhldqFldfΗΕΔB
Aόs
h
I
.:Επομένωςdt
dΗΕΔΗΕΔBhv
dt
dxBh
dt
d
.ροήπερνάειτοαπότότε,είναιπεδίοστομέσα
βρίσκεταιπουπλαισίουτουάξονατονκατάμήκοςτοστιγμήτηνΑν
BhxABCDxB
xt
.ˆταχύτηταμε
κινείταιπλαίσιοορθογώνιο
ότικαιˆπεδίο
μαγνητικόυπάρχειπεριοχή
σκιασμένηστηνότιΈστω
xvv
zBB
![Page 240: Shmeiwseis Tsetserh](https://reader038.vdocuments.net/reader038/viewer/2022102503/563db8b7550346aa9a964754/html5/thumbnails/240.jpg)
B
240 ΚΙΝΗΤΙΚΗ ΗΕΔ
πεδίο.μαγνητικόομογενές-μημεπεριοχήσεμέσαπλαισίουαγώγιμου
ενόςκίνησητηναπόκαιπροκύψειναμπορείδύναμητικήΗλεκτρεγερ
A
B C
D
xy h
I 1.:Επομένως dtdΗΕΔ
πλαίσιο.
ορθογώνιοκαιπεδίομαγνητικόομογενέςγια
μόνοόχικαιισχύγενικήέχει1κανόναςΟ
.πεδίουμαγνητικούτουαλλαγήήτου,σχήματόςτουαλλαγή
πλαισίου,τουκίνησηαπόεπέλθειναμπορείροήςτηςμεταβολήΗ
B
E
πεδίοηλεκτρικόυπάρχειότιιπρουποθέτεφορτίουκίνησηόμωςΕφόσον
ώστεπεδίοδημιουργείροήςμαγνητικήςτηςαλλαγήηότιδεχόμαστε E
.
SSSC
adBdt
dadEadB
dt
d
dt
dldEΗΕΔ
τότεχρόνοτονμεσταθερή
παραμένειεπιφάνειαηΑν S 2.
t
BEad
t
BadE
SS
v
![Page 241: Shmeiwseis Tsetserh](https://reader038.vdocuments.net/reader038/viewer/2022102503/563db8b7550346aa9a964754/html5/thumbnails/241.jpg)
241 ΝΟΜΟΣ ΤΟΥ FARADAY – ΝΟΜΟΣ ΤΟΥ LENZ
Faraday.τουνόμοςωςκαιγνωστός,2tBE
B
A
B C
D
xy
άI
v
τικής.ηλεκτροστατης0σχέσητηντροποποιεί2Η E
αστρόβιλα.είναιδενοποίαταπεδίαηλεκτρικάνδημιουργούπεδία
μαγνητικάεναμεταβαλλόμχρονικάFaradayτουνόμοτομεΣύμφωνα
ότανΠ.χ.,ροής.μαγνητικήςτηςμεταβολή
στηναντιδρούν""συστήματαφυσικάτα:Lenz
τουνόμοστονοδηγείκανόναςΟ ΗΕΔ
μειώνεται.τοαπόμέσαΦροήηˆ ABCDxvv
.τοαπόμέσαΦροήτηναυξήσεινατείνειοποίοτοπεδίο
μαγνητικόδημιουργείπλαίσιοτοτότεδιαρρέειπουρεύμακόκκινοΤο
ABCDBABCD
.τοαπόμέσαΦροήτηνμειώσεινατείνειθα
οποίοτοπεδίομαγνητικόδημιουργείθαδιαρρέειτοθαπουρεύμα
μπλετοτότεαριστερά,ταπροςπλαισίουτουκίνησητηναλλάξουμεΑν
ABCD
BABCD
v
άI
![Page 242: Shmeiwseis Tsetserh](https://reader038.vdocuments.net/reader038/viewer/2022102503/563db8b7550346aa9a964754/html5/thumbnails/242.jpg)
242 ΝΟΜΟΣ ΤΟΥ LENZ
z
I
I
I
B
Φ
t
dt
d
t
![Page 243: Shmeiwseis Tsetserh](https://reader038.vdocuments.net/reader038/viewer/2022102503/563db8b7550346aa9a964754/html5/thumbnails/243.jpg)
243 ΝΟΜΟΣ ΤΟΥ FARADAY: ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ
χρόνου.τουσυναρτήσειράβδουτηςταχύτητατηνΒρείτεαφήνουμε.την
αμέσωςκαιταχύτητααρχικήμεδεξιάταπροςράβδοτηνΣύρουμε
τους.επίπεδόστοκάθετοείναιπουπεδίουμαγνητικούπαρουσίαμε
ράγεςπαράλληλεςδύοσεπάνωολισθαίνειμάζαςκαιμήκουςΡάβδος
0v
ml
B
xy :δίνειΝεύτωνατουνόμος2Ο ος
h
:βρίσκουμε1τηναπόΕπομένως
.όπου3,2222
mR
hBCCdt
v
dvv
R
hB
dt
dvm
.lnln:δίνει3τηςλύσηΗ 0000
Cttv
vevtvCtvvtdC
v
vd
.όπου,ρεύμαφθίνονένασείαντιστοιχελύσηΗ 000
R
BhvIeItI Ct
.ˆδύναμηδέχεταιρεύμααπόδιαρρέεταιράβδοςηΌσο xIhBBldIFIC
R .όπου,R
BhvIIhB
dt
dvmFx
![Page 244: Shmeiwseis Tsetserh](https://reader038.vdocuments.net/reader038/viewer/2022102503/563db8b7550346aa9a964754/html5/thumbnails/244.jpg)
244 ΕΠΑΓΟΜΕΝΟ ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΠΕΔΙΟ
.20και1ισχύειτότεπεδίομαγνητικό
ενομεταβαλλόμ-χρονοαπόμόνοταιδημιουργείπεδίοηλεκτρικότοΑν
E
t
BE
:εξισώσειςτιςμεάποψημαθηματική
απόόμοιεςείναιαυτέςεξισώσειςΟι .40και30 BJB
.4-3τωνσύστηματογιαούνταιχρησιμοποιπουαυτέςόπως
τεχνικέςόμοιεςμελύνεται2-1τωνσύστηματοΕπομένως,
.σχέσηηείναιτηςανάλογοτο,παράδειγμαΓια 0dt
dldEIldB
CC
.ˆ2
δίνειηακτίναςκύκλοκάθετο
γιατότερεύματοςπυκνότηταομογενήέχουμεανΠ.χ.,
00
r
IBIldBr
J
C
.ˆ
22δίνειητότε
ομογενέςενομεταβαλλόμ-χρονοέχουμεανΑντίστοιχα
2
Br
Edt
rBdrEldE
B
C
![Page 245: Shmeiwseis Tsetserh](https://reader038.vdocuments.net/reader038/viewer/2022102503/563db8b7550346aa9a964754/html5/thumbnails/245.jpg)
245 ΕΠΑΓΟΜΕΝΟ ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΠΕΔΙΟ: ΠΡΟΒΛΗΜΑ
άξονα.τονπροςωςστιγμήχρονικήσε
δίσκοςοδέχεταιπουροπήτηνΒρείτε.σταθεράθετικήμεˆ
πεδίομαγνητικόαλλόμενοχρονομεταβυπάρχειπεριοχήΣτηναξόνων.
τωναρχήστηντουκέντροτομεεπίπεδοστοβρίσκεταιδίσκοςΟ
.φορτίουπυκνότηταομοιόμορφηφέρειακτίναςδίσκοςαγώγιμος-Μη
0
zt
bzbttB
xy
R
Rdt
dldE
CακτίναςκύκλογιαδίνεισχέσηΗ
2ˆ:είναιροπήΗ
bdqrrEdqrN
.ˆ2
ˆ2
22
rbBr
rEdt
rBdrrE
RR
drrbzrb
rdrrzNzr0
3
0ˆ
22ˆ:άρακαιˆˆˆόμωςΕίναι
.ˆ4
ˆ4
24
zbRQ
zRb
N
x
yz
![Page 246: Shmeiwseis Tsetserh](https://reader038.vdocuments.net/reader038/viewer/2022102503/563db8b7550346aa9a964754/html5/thumbnails/246.jpg)
246 ΑΜΟΙΒΑΙΑ ΕΠΑΓΩΓΗ .καιέντασηςρεύματααπόιδιαρρέοντακαιβρόχοιΔύο 2121 II
1
2
11011
ˆ
4πεδίομαγνητικόδημιουργείBΟ
C w
wldIB
:2βρόχοτοναπόμέσαπερνάειπουροήκαι 2
.222
2121212 CSS
ldAadAadB
.4
όμωςΕίναι1
1101
C w
ldIA
.
4:Άρα 121
21102
2 1
IMw
ldldI
C C
21
21021
τουτηταςσυμμετρικόΛόγωβρόχους.δύοτουςγιαεπαγωγής
αμοιβαίαςςσυντελεστήοείναι4
ποσότηταΗ2 1
ldld
w
ldldM
C C
2.βρόχοστονρεύματοςτουλόγω1βρόχοτοναπό
μέσαροήτηνδίνειόπου,ισχύει,τουκαι
2
2121211221
I
IMMMrrw
.θέσηςδιάνυσμαέχειBBστονσημείοτυχαίοότιΈστω 2121 rr
O
1I
2I
1r
w
2r
![Page 247: Shmeiwseis Tsetserh](https://reader038.vdocuments.net/reader038/viewer/2022102503/563db8b7550346aa9a964754/html5/thumbnails/247.jpg)
247 ΑΜΟΙΒΑΙΑ ΕΠΑΓΩΓΗ
βρόχους.δύοτουςγιαεπαγωγήςαμοιβαίας
ςσυντελεστήοείναι14
ποσότηταΗ2 1
21021
C C w
ldldM
βρόχων.δύοτωνθέσησχετικήτηνκαιτικάχαρακτηρισγεωμετρικά
τααπόμόνοεξαρτάταιεπαγωγήςαμοιβαίαςςσυντελεστήO
.ολοκλήρωμα
οεπικαμπύλιδιπλότομευπολογίσουναδύσκολοείναικανόνα
κατάπράξηστηναλλάιδιότητα,γεωμετρικήωςεπαγωγής
αμοιβαίαςσυντελεστήτονδώσειμαςναμπορεί1τύποςΟ
![Page 248: Shmeiwseis Tsetserh](https://reader038.vdocuments.net/reader038/viewer/2022102503/563db8b7550346aa9a964754/html5/thumbnails/248.jpg)
248 ΑΜΟΙΒΑΙΑ ΕΠΑΓΩΓΗ – ΑΥΤΕΠΑΓΩΓΗ
.ότιΕίδαμε.έντασηςρεύμααπόδιαρρέεταιπου
2βρόχοςκαιέντασηςρεύμααπόδιαρρέεταιπου1βρόχοςΈστω
12122
1
IΜI
I
,:ρεύματοςτουέντασηςτηςανάλογηείναιβρόχουτου
ίδιουτουλόγωβρόχοορευματοφόραπόπερνάειπουροήηΟμοίως,
LII
βρόχου.τουςαυτεπαγωγήςσυντελεστήλεγόμενοςοείναιόπου L
ύς.σωληνοειδοτουακτίνατην
απόμεγαλύτεροπολύείναιτοότιΥποθέτουμεσπείρες.πυκνές
φέρειπουμήκουςςσωληνοειδέέχουμεότιπαράδειγμαγιαΈστω
lN
l
.μείσοκαιομογενές
προσέγγισηκατάείναιύςσωληνοειδοτουπεδίομαγνητικότοΤότε
00 Il
ΝnIB
ςσωληνοειδέτοαπόμέσαροήολικήΗσπείρας.κάθετηςακτίναη
όπου,ροήπερνάεισπείρακάθεαπόΜέσα2
0 RIl
NRBAί
.είναι 22
0 lNRILN ύί
![Page 249: Shmeiwseis Tsetserh](https://reader038.vdocuments.net/reader038/viewer/2022102503/563db8b7550346aa9a964754/html5/thumbnails/249.jpg)
249 ΑΜΟΙΒΑΙΑ ΕΠΑΓΩΓΗ: ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ
;συστήματοςτουεπαγωγήαμοιβαίαηείναιΠοιασπείρες.
μεςσωληνοειδέάλλοένοπεριτυλιγμείναιέςσωληνεοειδτο
απόΓύρωύς.σωληνοειδοτουακτίνατηναπόμεγαλύτεροπολύ
είναιτοότιΥποθέτουμε.ακτίναέχεικαισπείρεςπυκνές
φέρειπουμήκουςςσωληνοειδέέχουμεότιπαράδειγμαγιαΈστω
2
11
N
lRN
l
.μείσοκαιομογενές
προσέγγισηκατάείναιςσωληνοειδέμέσα
τοδημιουργείπουπεδίομαγνητικόΤο
11
01101 Il
ΝInB
.Φείναιςσωληνοειδέέξωτο
απόπερνάειπουΦροήηΕπομένως,
2
1122
2
RBN
.:βρίσκουμεΈτσι2
1210
1
221
l
RNN
IM
1I
![Page 250: Shmeiwseis Tsetserh](https://reader038.vdocuments.net/reader038/viewer/2022102503/563db8b7550346aa9a964754/html5/thumbnails/250.jpg)
250 ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ ΜΕ ΑΥΤΕΠΑΓΩΓΗ
dt
dIL
dt
d
δύναμη
τικήηλεκτρεγερεπιπλέονμίαδημιουργείπηνίου
ενόςαυτεπαγωγήηLenzτουνόμοτονμεΣύμφωνα
ρεύματος.τουμεταβολήηείναιοποίαςτηςπηγήπηνίο,το
απόμέσαροήςτηςμεταβολήτηνελαττώσεινατείνειπου
μπαταρία.μίααπόπ.χ.,δύναμητικήηλεκτρεγερυπάρχει
αντίστασηκαιςαυτεπαγωγήπηνίοειπεριλαμβάνπουκύκλωμαέναΣε
VΗΕΔ
RL
D
.ΦτότεπηνίοτοαπόμέσαροήμαγνητικήηείναιΦΑνdt
dIL
dt
dLI
L
R
ΔV
.:ΗΕΔολικήυπάρχειαντίστασηςτηςάκρασταΕπομένωςdt
dILV D
1.:έχουμεΈτσι IRdt
dILV D
.ηείναι1τηςλύσητότε
χρόνοτοναπόεξαρτάταιδενΗΕΔηΕάν
RVCetI
V
LRt D
D
.όπου,11τότε00Αν RLeR
Ve
R
VtII tLRt
D
D
![Page 251: Shmeiwseis Tsetserh](https://reader038.vdocuments.net/reader038/viewer/2022102503/563db8b7550346aa9a964754/html5/thumbnails/251.jpg)
251 ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ LC
.(1) δυναμικού διαφοράαι αναπτύσσετ πλάκες
στις ανάμεσα τότε πυκνωτή, του πλάκεςστις νοαποθηκευμέείναι που
φορτίο τοQ και πυκνωτήεπίπεδου ενός ταχωρητικότη ηείναι C Aν
CQVC
Q Q-
L
C
(2).dt dILV
είναι Lτηςάκρα σταΗητότεL, αυτεπαγωγή
διατρέχει πουρεύματοςτουένταση ηείναι ΙΑν
L
D
(3). 0ισχύει ναπρέπει τότεσειράσε
ενωθούν L αυτεπαγωγή ηκαιCπυκνωτήςο Όταν
CL VV
:)είναι( βρίσκουμε (3)και(2) (1),τιςΑπό dtdQΙ
(4). 002
2
C
Q
dt
QdL
C
Q
dt
dIL
εςαντιστοιχί τιςβάση με ελατηρίου
τουεξίσωση τηνμε ίδιαείναι (4) H
ελατηρίου. τουσταθερά η C όπου ,C1 , , ελCMLxQ
,φcos και φsinδίνει (4) τηςΛύση 00000 tQItQQ
.1ω όπου 0 LC
LV
CV
![Page 252: Shmeiwseis Tsetserh](https://reader038.vdocuments.net/reader038/viewer/2022102503/563db8b7550346aa9a964754/html5/thumbnails/252.jpg)
I
252 ΡΕΥΜΑ ΜΕΤΑΤΟΠΙΣΗΣ
2S
1S
Q
Q
ι.φορτίζοντανααρχίζουνέτσικαιτάση
μεσυνδέονταιπυκνωτήενόςοπλισμοίΟιI
.βρίσκουμεκαμπύλη
στηνAmpereτουνόμοτονεεφαρμόσουμΑν
0 IldBCC
C
;ρεύματοδιαπερνάεπιφάνειαποιαΌμως I
.τότεεπιφάνειακόκκινητηνθεωρήσουμεΑν 1 IIS
!0προφανώςτότεεπιφάνειατηνμπλετην
σύνοροέχειπουεπιφάνειαωςθεωρήσουμεόμωςΑν
2 ISC
τοκαιθείσυμπεριληφναπρέπειθαAmpereτουνόμοστονρεύμα
οσυνηθισμέντοαπόεκτόςότιδεχόμενοςαντίφασητηνέλυσεMaxwell
dt
dQI
πουροήηλεκτρικήηείναιόπου,ςμετατόπισηρεύμα 0
S
ee
d adEdt
dI
.βρόχοΑμπεριανότονσύνοροέχειπουεπιφάνειατηναπόμέσαπερνά C
![Page 253: Shmeiwseis Tsetserh](https://reader038.vdocuments.net/reader038/viewer/2022102503/563db8b7550346aa9a964754/html5/thumbnails/253.jpg)
253 ΡΕΥΜΑ ΜΕΤΑΤΟΠΙΣΗΣ ωςAmpereτουνόμοτονετροποποίησMaxwellοΈτσι
I
2S
1S
Q
Q
IC
1.00000dt
dIIIIldB e
dC
:τααποτελέσμαίδιαταδίνειSκαιεπιφάνειεςδύο
στιςνόμουτουεφαρμογήητροποίησητηναυτήνΜε
21S
.πυκνωτήτοναπόέξωείναιτηναπόροήηλεκτρική
περνάειδεναφού3,:δίνειAmpereτου
νόμοςοτότεεπιφάνειατηνήσουμεχρησιμοποιΑν1)
1
0
1
S
IldB
S
C
.τηναπόρεύμαπερνάειδεναφού4,
:δίνειAmpereτουνόμοςοτότεεπιφάνειατηνήσουμεχρησιμοποιΑν2)
2000
2
SIdt
dIldB
S
ed
C
του.διατομήηκαιπυκνωτήτουεντόςπεδίοτοόπου,:Όμως AEEAe
Idt
dQ
dt
dQEA e
00 έτσικαιέχουμεGaussτουνόμοτοΑπό
.αποτέλεσμαίδιοτοόντωςδίνουν4και3οιδηλαδή
![Page 254: Shmeiwseis Tsetserh](https://reader038.vdocuments.net/reader038/viewer/2022102503/563db8b7550346aa9a964754/html5/thumbnails/254.jpg)
254 ΡΕΥΜΑ ΜΕΤΑΤΟΠΙΣΗΣ
ωςAmpereτουνόμοτονετροποποίησMaxwellοΈτσι
I
2S
1S
Q
Q
IC
1.00000dt
dIIIIldB e
dC
βρίσκουμεμορφήκήολοκληρωτιπαραπάνωτηνΑπό
Stokesτουθεωρήματοςτουεφαρμογήμε
2000 SSS
adEdt
dadJadB
SSad
t
EadE
dt
dS
:τότεχρόνοτονμεαλλάζειδενεπιφάνειαηΑν
3.2τηναπόπαίρνουμεέτσικαι 000
SSS
adt
EadJadB
4.:μορφήδιαφορικήηπροκύπτει3τηναπόΤελικά 000t
EJB
πεδία.ηλεκτρικάεναμεταβαλλόμχρονικάαπόκαιαλλά
ρεύματα,απόπροκύπτουνπεδίαμαγνητικάΔηλαδή,
![Page 255: Shmeiwseis Tsetserh](https://reader038.vdocuments.net/reader038/viewer/2022102503/563db8b7550346aa9a964754/html5/thumbnails/255.jpg)
255 ΕΙΔΗ ΡΕΥΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΥΛΗ
:ύληστηνμέσαρεύματαεξήςταεδιακρίνουμνητισμόΗλεκτρομαγΣτον
.φορτίωνκίνηση:αςαγωγιμότητΡεύμα1) S
f adJdt
dQI
.:ρεύμαΔέσμιο4) MJb
.είναι:ςμετατόπισηΡεύμα2) 00 PEDt
P
t
E
t
DJd
.:πόλωσηςΡεύμα3)t
PJ P
:συνέχειαςεξισώσειςπαρακάτωοινταιικανοποιούΑντίστοιχα
.0:αςαγωγιμότητΡεύμα1)
tJ
f
f
.0:πόλωσηςΡεύμα3)
tJ b
P
.0:ρεύμαΔέσμιο4) MJb
.ή,:AmpereτουΝόμος 000t
DJHJJJ
t
EB fPbf
![Page 256: Shmeiwseis Tsetserh](https://reader038.vdocuments.net/reader038/viewer/2022102503/563db8b7550346aa9a964754/html5/thumbnails/256.jpg)
256 ΡΕΥΜΑ ΜΕΤΑΤΟΠΙΣΗΣ: ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ
πεδίοπαράγειπουτάσηενηεναλλασσόμσεοςσυνδεδεμένείναι
σταθεράςήςδιηλεκτρικκαιαςαγωγιμότηταγωγόςότιΈστω ε
.2,cos0 ftEE
.cosκαιsin:τότεΕίναι 00 tEJtEt
Df
.Επομένως
fJ
tD
16
0 103είναιτογιατιμήτυπικήμίακαιΕπειδή
m
.Hz1022 1700 f
f
α.ακτινοβολίορατήσε
ίαντιστοιχεπουHz1010απόςμεγαλύτερεσυχνότητεςγιαμόνο
αντιληπτόγίνεταιςμετατόπισηρεύματοσυνθήκες,τιςαυτέςαπόΚάτω
1514 f
![Page 257: Shmeiwseis Tsetserh](https://reader038.vdocuments.net/reader038/viewer/2022102503/563db8b7550346aa9a964754/html5/thumbnails/257.jpg)
257 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ MAXWELL
10
E
2t
BE
30 B
.4000t
EJB
:βρίσκουμε4τηςμέρηδύοστακαιαπόκλισητηνπάρουμεΑν
άρα,00 0000
tJ
t
EJ
t
EJB
Maxwell.εξισώσειςστιςαιεμπεριέχετ0συνέχειαςεξίσωσηη
tJ
.:LorentzδύναμηηκαινητισμούΗλεκτρομαγ
τουθεμέλιοωςυπάρχειMaxwellεξισώσειςτιςαπόΕκτός
BvEqF
:Maxwellτουεξισώσειςωςγνωστέςείναιπουεξισώσειςπαρακάτωστις
στηρίζεταινητισμόςΗλεκτρομαγΚλασσικόςοώνοντας,Ανακεφαλαι
![Page 258: Shmeiwseis Tsetserh](https://reader038.vdocuments.net/reader038/viewer/2022102503/563db8b7550346aa9a964754/html5/thumbnails/258.jpg)
258 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ MAXWELL ΣΤΗΝ ΥΛΗ
1fD
2t
BE
30 B
.4t
DJH f
:εξισώσεις
έςΚαταστατικEPEDPED e
00 καιόπου,
.και1
όπου,1
0
HMBHMBH m
MJP bb
,
.:πόλωσηςρεύμαλεγόμενοτοορίσουμεναχρειάζεταιΕπίσηςt
PJ P
φορτία.δέσμιαταγια
:συνέχειαςεξίσωσηηισχύειορισμότοναυτόνΜε
tt
PJ b
P
ύλη;στηνμέσαMaxwellεξισώσειςοινταιδιαμορφώνοΠως
:ρευμάτωνδέσμιωνκαιφορτίωνδέσμιωνπυκνότητεςτιςΟρίζουμε
:γράφονταιεξισώσειςοι καιμεγέθηταώνταςΧρησιμοποι HD
![Page 259: Shmeiwseis Tsetserh](https://reader038.vdocuments.net/reader038/viewer/2022102503/563db8b7550346aa9a964754/html5/thumbnails/259.jpg)
259 ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΑ ΚΥΜΑΤΑ ΣΤΟ ΚΕΝΟ
10 E
2t
BE
30 B .400
t
EB
:μορφήτηνλαμβάνουνMaxwellεξισώσειςοιτότερεύματα,ούτε
φορτία,ούτευπάρχουνδενχώρουτουπεριοχήσεπουπερίπτωσηΣτην
.:2τηςόστροβιλισμτονπάρουμεΑς
t
BE
.:βρίσκουμε4τηνΑπό2
2
00t
E
t
B
.:είναιάλλητηνΑπό 22 EEEE
5.:τηνικανοποιείπεδίοτοΕπομένως2
2
00
2
t
EEE
εξίσωσηκυματική
t
EB
00:παίρνουμε4τηναπόΟμοίως
6.02
2
00
2
2
2
00
2
t
BB
t
BBB
![Page 260: Shmeiwseis Tsetserh](https://reader038.vdocuments.net/reader038/viewer/2022102503/563db8b7550346aa9a964754/html5/thumbnails/260.jpg)
260 ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΑ ΚΥΜΑΤΑ ΣΤΟ ΚΕΝΟ
:τιςνικανοποιούκαιπεδίαταΕπομένως εξισώσειςκυματικέςBE
6.και5,2
2
00
2
2
2
00
2
t
BB
t
EE
.ταχύτηταμεκύματοςενόςδιάδοσητην
περιγράφειόντωςτότε01
εξίσωσητην
ικανοποιείσυνάρτησημίαανεπόμενα,σταεξηγήσουμεθαΌπως
2
2
2
2
t
ff
f
κυμάτωννητικώνηλεκτρομαγδιάδοσητηννπεριγράφου6και5
εξισώσεωντωνλύσειςοικαιπεδίωντωνπερίπτωσηΣτην BE
κενό.στοφωτόςτουταχύτηταηείναιόπου,11
και00
200 ccc
![Page 261: Shmeiwseis Tsetserh](https://reader038.vdocuments.net/reader038/viewer/2022102503/563db8b7550346aa9a964754/html5/thumbnails/261.jpg)
261 ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ LORENTZ
yzzzyyxx BEEBEEEE ,,
yzzzyyxx Ec
BBEc
BBBB22
,,
Ec
BEc
BEc
BBBx
yzzyx
2
ˆ
22
1,,0:τότε0ανΠ.χ.,
.,,0:τότε0Ανˆ
BEBEBEEEx
yzzyx
ισχύουναναφοράςσυστημάτωνδύοτωνμεταξύΤότε.παρατηρητήάλλο
προςωςˆταχύτητασχετικήμεκινείταιπουςπαρατηρητήΈστω
S
xS
:φωτόςτουταχύτηταη,,1
1Lorentzισμοίμετασχηματοι
2
c
c
τότε,καιπεδίαεταιαντιλαμβάνοενώ
,καιπεδίαεταιαντιλαμβάνοαν,Αντίστοιχα
BES
BES
(IV). ,(III) ,(II) ,(I) 2 xcttzzyytxx
![Page 262: Shmeiwseis Tsetserh](https://reader038.vdocuments.net/reader038/viewer/2022102503/563db8b7550346aa9a964754/html5/thumbnails/262.jpg)
262 ΚΥΚΛΩΜΑ RLC
;αντίστασηκαισειράσεεπροσθέσουμκύκλωμαστοανσυμβαίνειΤι RLC
dt
dQRI RVείναι Rτηςάκρα στατάσηητότεL,
αυτεπαγωγήδιατρέχειπουρεύματοςτουένταση ηείναι Ι Αν
R
(1). ισχύει ναπρέπει τότεσειράσε
ενωθούν L αυτεπαγωγή ηκαιCπυκνωτήςο Όταν
RCL VVV
εξίσωσηδιαφορικήτηέτσιΠαίρνουμε
(2). 002
2
C
Q
dt
dQR
dt
QdL
C
QRI
dt
dIL
.,C1 , ,εςαντιστοιχίτιςβάση
μεαπόσβεση με ελατηρίουεξίσωσητηνμε ίδιαείναι (2) H
bRkMLxQ
,φsinδίνει (2)τηςΛύση 0 teQQ t
.2
4και
2
2
1
2όπου
2
L
RCL
R
L
L
R
LV
CV
Q Q-
L
C
R
![Page 263: Shmeiwseis Tsetserh](https://reader038.vdocuments.net/reader038/viewer/2022102503/563db8b7550346aa9a964754/html5/thumbnails/263.jpg)
263 EΞΑΝΑΓΚΑΣΜΕΝΟΣ ΤΑΛΑΝΤΩΤΗΣ
είναι κίνησηςεξίσωση H sinωt.FtFότι ε υποθέσουμΑς .tF δύναμη
εξωτερικήδέχεται και C σταθεράς ελατήριο σε δεμένοείναι Μ μάζας Σώμα
0
.αντίστασης δύναμη την γιαςσυντελεστή ο b όπου ,(1) sin0 tFCxxbxM
μορφή ην παίρνει τ(1) η Για 000 MF, aMC, ωbMτ
(2). sin0
2
0 taxxx (3). sin λύση τηνεδοκιμάσουμ Θα 0 txx
πράξεις) κάποιεςαπό (μετά βρίσκουμε (2) στην (3) τηνώνταςΑντικαθιστ
tx
att
sincoscossinsinsincos
0
022
0
22
0
(5). 0cossin και (4) sincos :Άρα 22
0
0
022
0
x
a
(6). tan βρίσκουμε (5) τηνAπό22
0
παίρνουμε(4) τηναπόκαι
,cos,sin δίνει τα μας (6)
(7). 2222
000 ax
![Page 264: Shmeiwseis Tsetserh](https://reader038.vdocuments.net/reader038/viewer/2022102503/563db8b7550346aa9a964754/html5/thumbnails/264.jpg)
264 EΞΑΝΑΓΚΑΣΜΕΝΟΣ ΤΑΛΑΝΤΩΤΗΣ
(7). (6), tan (3), sin2222
00022
0
0
axtxx
100Q
5Q
.1για2
11γιαπροκύπτειπλάτοςμέγιστοΤο 0020 Q
Q
0
0x
1
.τηνμεφάσησεταλάντωση0(6)τηναπότότεΑν 0 F
.2φκαιείναιςσυντονισμόια0
000
ax
. και τότε Aν2
0
2
000
M
Fax
:sinτάσηενηεναλλασσόμμε
οσυνδεδέμενείναιπουκύκλωμαγιαδίνει
,C1 , ,ααντιστοιχίΗ
0 tVtV
RLC
bRkMLxQ
.1 00
00
M
F
L
V, a
M
k
LC, ω
b
M
R
Lτ
![Page 265: Shmeiwseis Tsetserh](https://reader038.vdocuments.net/reader038/viewer/2022102503/563db8b7550346aa9a964754/html5/thumbnails/265.jpg)
265 ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΑ ΚΥΜΑΤΑ ΣΤΟ ΚΕΝΟ
:τιςνικανοποιούκαιπεδίαταΕπομένως εξισώσειςκυματικέςBE
6.και5,2
2
00
2
2
2
00
2
t
BB
t
EE
.ταχύτηταμεκύματοςενόςδιάδοσητην
περιγράφειόντωςτότε01
εξίσωσητην
ικανοποιείσυνάρτησημίαανεπόμενα,σταεξηγήσουμεθαΌπως
2
2
2
2
t
ff
f
κυμάτωννητικώνηλεκτρομαγδιάδοσητηννπεριγράφου6και5
εξισώσεωντωνλύσειςοικαιπεδίωντωνπερίπτωσηΣτην BE
κενό.στοφωτόςτουταχύτηταηείναιόπου,11
και00
200 ccc
![Page 266: Shmeiwseis Tsetserh](https://reader038.vdocuments.net/reader038/viewer/2022102503/563db8b7550346aa9a964754/html5/thumbnails/266.jpg)
266 ΚΥΜΑΤΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ: ΛΥΣΗ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ
:διάστασημίασε
τηνεξετάσουμεΑς
εξίσωση
κυματική 1.0
12
2
22
2
t
f
x
f
.1τηςλύσηαποτελείμορφήςτηςσυνάρτησηότιδείξουμεΘα txg
hgtxgtxtxh είναιΤότε.,έστωΌντως,
.:Άρα2
2
2
2
2
2
txhtxhdh
gd
x
h
dh
gd
x
g
txhtxhtxh dh
gd
t
g
dh
dg
t
h
dh
dg
t
g
2
22
2
2
και:ακόμηΕίναι
txhtxh dh
dg
x
h
dh
dg
x
g
και
.1τηςλύσηείναιηδηλαδή,:όντωςότιλοιπόνΒλέπουμε2
22
2
2
txgx
g
t
g
.1τηςλύσηείναιηκαιότιπροκύπτειύςσυλλογισμοπαρόμοιουςΜε txg
;μορφήςτηςήμορφής
τηςσυνάρτησημίαπεριγράφειόμωςεξέλιξηχρονικήΤι
txgtxg
![Page 267: Shmeiwseis Tsetserh](https://reader038.vdocuments.net/reader038/viewer/2022102503/563db8b7550346aa9a964754/html5/thumbnails/267.jpg)
267 ΚΥΜΑΤΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ: ΛΥΣΗ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ
:διάστασημίασε
τηνεξετάσουμεΑς
εξίσωση
κυματική 1.0
12
2
22
2
t
f
x
f
.1τηςλύσηείναιηδηλαδή,:όντωςότιλοιπόνΒλέπουμε2
22
2
2
txgx
g
t
g
;μορφήςτηςσυνάρτησημίαπεριγράφειόμωςεξέλιξηχρονικήΤι txg
σχήμα.στοίαντιστοιχε
τηςγράφηματοότιΈστω xg
x
0x xx D
.κατάτηςμετακίνησημε
προκύπτειτηςγράφηματοΤότε
xxg
xxg
D
D
,Αντίστοιχα.0ανδεξιάταπροςτηςγραφήματος
τουμετακίνησητηνπεριγράφεισυνάρτησηηΓια
D
xg
txgtx
.0αναριστεράταπροςμετακίνησηπεριγράφεισυνάρτησηη txg
![Page 268: Shmeiwseis Tsetserh](https://reader038.vdocuments.net/reader038/viewer/2022102503/563db8b7550346aa9a964754/html5/thumbnails/268.jpg)
268 ΚΥΜΑΤΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ: ΛΥΣΗ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ
.0ανδεξιάταπροςτηςγραφήματος
τουμετακίνησητηνπεριγράφεισυνάρτησηΗ
xg
txg
.ταχύτηταμεκύματοςδιάδοσησείαντιστοιχε
σχήματοςτουητροποποίησχωρίςγραφήματοςτουμετακίνησηηότιΛέμε
:κύματοςούςημιτονοειδτουαυτήείναιμορφήτυπικήπλέονηκαιαλλάΕιδική
κύματος.τουπλάτοςτοόπου2,sinsin, 000 ftk
xkftkxftxf
κύματος.τουδιάδοσηςταχύτηταηείναιενώ
,περιόδουτηςκαικύματοςμήκουςτουσυναρτήσεισυχνότητα
γωνιακήκαιοκυματάριθμτονορίζουν2
και2
σχέσειςΟι
k
T
kT
k
![Page 269: Shmeiwseis Tsetserh](https://reader038.vdocuments.net/reader038/viewer/2022102503/563db8b7550346aa9a964754/html5/thumbnails/269.jpg)
269 ΚΥΜΑΤΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ: ΛΥΣΗ ΤΡΕΙΣ ΔΙΑΣΤΑΣΕΙΣ
1.01
:μορφήτηνέχειδιαστάσειςτρειςσεεξίσωσηκυματικήΗ2
2
2
2
t
ff
2.sin,:κύμαέςημιτονοειδτοείναι1τηςλύσηΜία 0 trkftrf
kf ˆκατεύθυνσητηνκατάδιαδίδεταικαιπλάτοςέχει2κύμαΤο 0
.2συχνότητακαι2κύματοςμήκος,ταχύτηταμε kk
.ονομάζεται2κύματοτιμή,ίδιατηνέχουν
επιπέδουτουσημείαταόλαστιγμήχρονικήκάθεσεΕπειδή
επίπεδοάrk
t
αφού,coscossin:Είναι trkktrktrktrk
.coscos:Επομένως 2
00
2 fktrkkftrkkff
.cos:ακόμηΕίναι 2
2
2
02
2
fkk
ftrkt
ft
f
tt
f
.1τηςλύσηόντωςείναι2ητότεανΔηλαδή k
.ˆˆˆˆˆ kkzkykx
z
rkz
y
rky
x
zkykxkxtrk zyx
zyx
![Page 270: Shmeiwseis Tsetserh](https://reader038.vdocuments.net/reader038/viewer/2022102503/563db8b7550346aa9a964754/html5/thumbnails/270.jpg)
270 ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΑ ΚΥΜΑΤΑ
:τιςνικανοποιούκαιπεδίαΤα εξισώσειςκυματικέςBE
2.1
και1,1
2
2
22
2
00
2
2
2
22
2
00
2
t
B
ct
BB
t
E
ct
EE
:κύματαεπίπεδαταλύση
ωςέχουν2και1Oι .sin0 trkEE
.sin0 trkBB
3.cossin:δίνεισχέσηη 00
trkBtrkE
t
BE
.cossin:όμωςΕίναι trkktrk
4.coscosδίνει3ηΈτσι 00 trkBtrkkE
.καιότιπροκύπτει4τηνΑπό kk
:κενόστοκύματαγια0μεAmpereτουνόμοτοναπόΟμοίως, J
5.coscos 020
1
00
2
trkEc
trkkBt
EB
c
Έτσι.Είναι fAAfAf
![Page 271: Shmeiwseis Tsetserh](https://reader038.vdocuments.net/reader038/viewer/2022102503/563db8b7550346aa9a964754/html5/thumbnails/271.jpg)
271 ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΑ ΚΥΜΑΤΑ
4.coscos:λοιπόνΈχουμε 00 trkBtrkkE
5.coscosκαι 020 trkEc
trkkB
διανύσματαταότικαι0:ότιπροκύπτει5και4τιςΑπό
:νωνσυντεταγμέσύστημαοδεξιόστροφένανδημιουργού,, 00 BEk
,1ˆ,ˆ
0000 Ec
kBBcEk
.ˆδιάδοσηςκατεύθυνση
στηνκάθετεςείναιπουιςκατευθύνσε
σεταιταλαντώνοντοκαιτοκαι
δηλαδήεγκάρσια,είναικύματαΗΜ
ταότιδείχνουνσχέσειςπαραπάνωΟι
k
BE
E
B
k
.:έχουμεπλατών
τωνμέτραταγιαενώ
00 cBE
![Page 272: Shmeiwseis Tsetserh](https://reader038.vdocuments.net/reader038/viewer/2022102503/563db8b7550346aa9a964754/html5/thumbnails/272.jpg)
272 ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ ΠΕΔΙΩΝ – ΔΙΑΝΥΣΜΑ POYNTING
.καιπεδίανδημιουργούπουρευμάτωνκαιφορτίων
κατανομήμίαυπάρχειχώρουτουΩπεριοχήμίασεότιΈστω
BE
τηςφορτίοσεπεδίατααπόχρόνοσεπαράγεταιπουέργοΤο qdtdWq
.είναικατανομής vEqdt
dWdtvEqdtvBvEqldFdW
q
q
:είναιέργουσυνολικούτουμεταβολήςρυθμόςοΕπομένως
σχέσειςτιςώνταςΧρησιμοποι1. dJEvEdvEdqdt
dW
:βρίσκουμε2,,2
0
0 t
EE
t
EBEEBBE
t
EJ
B
d
t
EdBEEBd
t
EBE
dt
dW 2
0
0
0
0 2
1
.2
1 2
0
0
d
E
dt
ddBE
t
BB
dt
dW
![Page 273: Shmeiwseis Tsetserh](https://reader038.vdocuments.net/reader038/viewer/2022102503/563db8b7550346aa9a964754/html5/thumbnails/273.jpg)
273 ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ ΠΕΔΙΩΝ – ΔΙΑΝΥΣΜΑ POYNTING :είναιέργουσυνολικούτουμεταβολήςρυθμόςοΕπομένως
.Poyntingδιάνυσμαλεγόμενοτο1
και22 00
22
0 BESdBE
UΩ
Ω,όγκοστοννηαποθηκευμέείναιπουπεδίωντωνενέργειαςδυναμικήςτης
μέροςτοεύειαντιπροσωπποσότηταηότιείναι2τηςερμηνείαφυσικήΗ U
όπου2,2
1 2
0
0
SadS
dt
dUd
E
dt
ddBE
t
BB
dt
dW
Ω.τοναπόδιαφεύγειήεισρέειενέργειανητικήηλεκτρομαγοποίοτον
μερυθμότονδίνεισύνοροστοολοκλήρωμαόεπιφανειακτοενώ SadSS
ροής.ςενεργειακήπυκνότηταηείναιPoyntingδιάνυσματοΔηλαδή, S
Ωd
BEUώό
0
22
0
22ποσότηταητότεΑν
.δημιουργείαυτήπουπεδίασταισοδύναμα,ή,ρεύματων,καιφορτίων
κατανομήστηννηαποθηκευμέείναιπουενέργειαδυναμικήολικήτηνδίνει
![Page 274: Shmeiwseis Tsetserh](https://reader038.vdocuments.net/reader038/viewer/2022102503/563db8b7550346aa9a964754/html5/thumbnails/274.jpg)
274 ΔΙΑΝΥΣΜΑ POYNTING: ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ .ρεύμααπόδιαρρέεταιπουαντίστασηςαγωγόςςευθύγραμμοΈστω IR
πεδίοηλεκτρικόυπάρχειαγωγόστονμέσαότισημαίνειΑυτό
.ˆ2
:πεδίομαγνητικό
προσέγγισηκατάδημιουργείαγωγόςΟ
0
r
IB
.ˆ2
είναιPoyntingδιάνυσματοΕπομένως2
0
rrL
RIBES
.ˆˆ zL
IRz
L
VE
D
LrS μήκουςκαιακτίναςκύλινδροστονπάνωτουολοκλήρωμαΤο
.ˆˆδίνει 2RIdarSdanSadSdt
dW
όόS
R
L
E
S
B
θερμότητα.π.χ.,σε,αιμετατρέπετβέβαιαοποίαηισχύςOhmτου
νόμοτοναπόγνωρίζουμεόπωςεισρέειαντίστασηστηνΕπομένως
2RI
R
I
z
![Page 275: Shmeiwseis Tsetserh](https://reader038.vdocuments.net/reader038/viewer/2022102503/563db8b7550346aa9a964754/html5/thumbnails/275.jpg)
275 ΔΙΑΝΥΣΜΑ POYNTING: ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΑ ΚΥΜΑΤΑ
κύμα;νητικόηλεκτρομαγεπίπεδογιαPoyntingδιάνυσματοείναιΠοιο
trkBBtrkEE
sinκαιsinΕίναι 00
.ˆμε2
000 k
c
EBE
:Poyntingδιάνυσματο
βρίσκουμεκύμαΗΜεπίπεδογιαΕπομένως
.sinˆsinˆ22
00
0
22
0
0
trkkEcc
trkkEBES
.ˆηείναιοποίαηκαιδιαδίδεταιοποίαστην
κατεύθυνσητηνκατάενέργειαμεταφέρεικύματολογικό,είναιΌπως
k
2ροήςπυκνότηταμεορμήκαιμεταφέρειΕπίσης
c
S
.1ροήςπυκνότηταμεστροφορμήκαικαθώς
2Sr
c
![Page 276: Shmeiwseis Tsetserh](https://reader038.vdocuments.net/reader038/viewer/2022102503/563db8b7550346aa9a964754/html5/thumbnails/276.jpg)
276 ΕΝΕΡΓΕΙΑ ΑΥΤΕΠΑΓΩΓΗΣ
.χρόνοσεμεταβολή
μίαεπέρχεταιρεύμααπόδιαρρέεταιπουαυτεπαγωγήσεότιΈστω
dtdI
I
.ισχύςταικαταναλώνεεπομένωςκαι
ΗΕΔμίααυτεπαγωγήστηναιαναπτύσσετότισημαίνειΑυτό
dt
dILI
dt
dW
dt
dIL
:είναιτιμήσε0απόςαυτεπαγωγήμιας
ρεύματοανοίξουμεναγιααπαιτείταιπουέργοσυνολικότοΈτσι,
II
.2
1 2
0LIIdILW
I
![Page 277: Shmeiwseis Tsetserh](https://reader038.vdocuments.net/reader038/viewer/2022102503/563db8b7550346aa9a964754/html5/thumbnails/277.jpg)
277 ΠΡΟΒΛΗΜΑ: ΗΕΔ
πλαίσιο.τριγωνικότοδιαρρέειπουρεύματοβρεθείνα
ςαυτεπαγωγήφαινόμενααγνοήσουμεκαιείναιμήκουςμονάδαανά
αντίστασηηΑνπεδίο.μαγνητικόομογενέςκάθετοσεμέσαβρίσκεται
σύστημαΤο.ταχύτητασταθερήμεαγωγόςςευθύγραμμοαγωγό
στον πάνωκινείταινααρχίζει0στιγμήχρονικήτηνσημείοτο
απόξεκινώνταςκαιαυτήςγωνίαςτηςδιχοτόμοστηνΚάθετα.σημείο
σε2γωνίαμίαμήκουςαπείρουαγωγόευθύγραμμομεμεΣχηματίζου
tO
O
a
:είναιτρίγωνοτοαπόμέσαπερνάειπουροήμαγνητικήΗ OAB
yxB2
1
B
x.καιtan
2με txax
y :Επομένως
.tan2tanαιαναπτύσσετ 22 atBaBxdt
d
dt
dΗΕΔ
.cos2tan2είναιτουπλευρώντωνμήκοςΤο atatlOAB
.
1sin
sintan2:τελικάΈτσι
2
a
aB
λl
atB
R
ΗΕΔI
I
O
A B
![Page 278: Shmeiwseis Tsetserh](https://reader038.vdocuments.net/reader038/viewer/2022102503/563db8b7550346aa9a964754/html5/thumbnails/278.jpg)
278 ΠΡΟΒΛΗΜΑ: ΔΥΝΑΜΙΚΟ ΑΠΟ ΦΟΡΤΙΣΜΕΝΟ ΚΩΝΟ
βάσης.τηςκέντρου
τουκαικώνουτουκορυφήςτηςμεταξύΔδυναμικούδιαφοράτην
Βρείτετου.βάσηςτηςακτίνατηνμείσο,είναικώνουτουύψοςΤο.
φορτίουπυκνότηταήεπιφανειακομοιόμορφηφέρειεπιφάνειακωνικήΜία
C
OV
h
.όπου,4
1τύπογενικότονήσουμεχρησιμοποιΘα
0
rrww
adrV
S
P
,22cos
2φορτίοφέρεικαιακτίνα
έχειύψοςσεπάχουςδακτύλιοςλεπτόςΈνας
zdzdz
rdqzr
zdz
:,0,0σημείοσεδυναμικόστοισυνεισφέρεδακτύλιοςΟ aP
.
2
2:Άρα.
1
4
22
0 220
220
h
P
zaz
zdzV
zaz
zdzdV
O
C
x
y
z
κώνου.τουάνοιγμαγωνιακότοείναι4εδώόπου
![Page 279: Shmeiwseis Tsetserh](https://reader038.vdocuments.net/reader038/viewer/2022102503/563db8b7550346aa9a964754/html5/thumbnails/279.jpg)
279 ΠΡΟΒΛΗΜΑ: ΔΥΝΑΜΙΚΟ ΑΠΟ ΦΟΡΤΙΣΜΕΝΟ ΚΩΝΟ
βάσης.τηςκέντρου
τουκαικώνουτουκορυφήςτηςμεταξύΔδυναμικούδιαφοράτην
Βρείτετου.βάσηςτηςακτίνατηνμείσο,είναικώνουτουύψοςΤο.
φορτίουπυκνότηταήεπιφανειακομοιόμορφηφέρειεπιφάνειακωνικήΜία
C
OV
h
1.22222
2:Έτσι
000 2
0
hh
z
zdzV
h
O
.2
2:Άρα
0 220
h
P
zaz
zdzV
2.
222
2
2
2:ακόμηΕίναι
0 220
0 220
hh
C
hhzz
zdz
zhz
zdzV
βρίσκουμετωνολοκληρωμάπίνακεςΑπό
3.22ln1
2
1 22
2baxcbxaxa
aa
bcbxax
acbxax
xdx
.δυναμικούδιαφοράζητούμενητην
1τηνμεμαζίτελικάκαιτοδίνει2στην3τηςΕφαρμογή
OC
C
VVV
V
D