sifat sifat ruang vektor

SIFAT SIFAT RUANG VEKTOR ATAS LAPANGAN

Dosen Pengampu : Prof. Dr. Sri Wahyuni

DISUSUN OLEH:

Nama : Muh. Zaki Riyanto Nim : 02/156792/PA/08944 Program Studi : Matematika

JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS GADJAH MADA DAERAH ISTIMEWA YOGYAKARTA

2007

2007 oleh Muh. Zaki Riyanto email: [email protected] http://zaki.web.ugm.ac.id

1

Sebelum melangkah lebih jauh untuk membahas sifat sifat ruang vektor,

perlu diberikan terlebih dahulu beberapa definisi dan teorema yang mendasarinya.

Pembaca diharapkan telah memahami beberapa konsep strukur aljabar seperti grup,

gelanggang dan lapangan. Diberikan suatu himpunan V dan suatu lapangan F.

Elemen dari V disebut vektor dan elemen dari F disebut skalar.

Ruang vektor mempunyai dua operasi biner, yaitu + dan . yang masing

masing menotasikan operasi penjumlahan dua vektor dan operasi perkalian antara

suatu vektor dan skalar. Berikut diberikan definisi dari ruang vektor.

DEFINISI 1:

Himpunan V disebut ruang vektor (vector space) atas lapangan F jika

terhadap operasi biner + dan . memenuhi aksioma aksioma di bawah ini. Untuk

setiap , ,u v w V dan ,k l F ,

1) u v V+ ,

2) u v v u+ = + ,

3) ( ) ( )u v w u v w+ + = + + ,

4) terdapat suatu elemen 0 V sedemikian sehingga 0u u+ = ,

5) terdapat u V sedemikian sehingga ( ) 0u u+ = ,

6) .k u V ,

7) untuk suatu skalar 1 ,1.F u u = ,

8) .( ) . .k u v k u k v+ = + ,

9) ( ). . .k l u k u l u+ = + ,

10) ( ). .( . )kl u k l u= .


2

Aksioma 1 5 menunjukkan bahwa ( , )V + merupakan grup abelian (grup

yang komutatif) terhadap operasi penjumlahan vektor. Aksioma 4 menunjukkan

adanya vektor nol yaitu 0 V yang menjadi elemen identitas terhadap operasi

penjumlahan. Aksioma 5 menunjukkan adanya elemen invers untuk setiap vektornya

yaitu vektor u . Aksioma 6 menunjukkan bahwa V tertutup terhadap operasi

perkalian skalar. Aksioma 8 dan 9 menunjukkan sifat distributif. Dan aksioma 10

menunjukkan bahwa operasi perkalian skalar bersifat assosiatif.

CONTOH 1:

Diberikan ( )m nM himpunan semua matriks berukuran m n atas dan lapangan dari bilangan bilangan real terhadap operasi + dan .. Jika didefinisikan:

: operasi penjumlahan matriks

: operasi perkalian skalar dengan matriks,

maka ( )m nM merupakan ruang vektor atas lapangan .

TEOREMA 1:

Misalkan V adalah suatu ruang vektor atas lapangan F, u vektor pada V dan

sebuah skalar k F . Maka

1) 0. 0u = .

2) .0 0k = .

3) ( 1).u u = .

4) Jika . 0k u = , maka 0k = atau 0u = .


3

DEFINISI 2:

Subset W dari suatu ruang vektor V disebut subruang V jika W merupakan

ruang vektor terhadap operasi yang sama pada ruang vektor V.

Berikut ini deberikan sebuah teorema yang dapat digunakan untuk

menunjukkan bahwa suatu subset dari ruang vektor itu merupakan subruang dari

ruang vektor tersebut. Jadi, untuk menunjukkan bahwa subset tersebut adalah

subruang tidak harus menunjukkan ke sepuluh aksioma di atas (definisi 1) berlaku.

TEOREMA 2:

Jika W adalah subset tidak kosong dari suatu ruang vektor V, maka W

merupakan subruang V jika dan hanya jika dipenuhi sifat-sifat di bawah ini

1) untuk setiap ,u v V , maka u v W+ ,

2) untuk setiap k F dan u W , maka .k u W .

Setiap ruang vektor pada V mempunyai paling sedikit dua subruang, yaitu V

sendiri dan himpunan { }0 yang elemennya hanya vektor nol saja, subruang ini sering disebut dengan subruang nol.

TEOREMA 3:

Jika V ruang vektor atas lapangan F, dan U, W subruang dari V, maka

1) U W subruang dari V.

2) { }: ,U W u w u U w W+ = + subruang dari V.


4

Perhatikan sistem persamaan linear berikut.

11 1 12 2 1 1

21 1 22 2 2 2

1 1 2 2

. . ... .

. . ... .

. . ... .

n n

n n

m m mn n m

a x a x a x ba x a x a x b

a x a x a x b

+ + + =

+ + + =

+ + + =

atau, dalam notasi matriks, Ax = b. Suatu vektor

1

2

n

s

ss

s

=

pada n disebut dengan

vektor penyelesaian (solution vector) dari sistem persamaan tersebut jika

1 1 2 2, ,..., n nx s x s x s= = = merupakan penyelesaiannya. Dapat ditunjukkan bahwa

himpunan semua vektor penyelesaian dari sistem homogen tersebut merupakan

subruang dari n , dan disebut dengan ruang penyelesaian (solution space).

DEFINISI 3:

Suatu vektor w disebut kombinasi linear dari vektor vektor 1 2, ,..., rv v v jika

vektor tersebut dapat dinyatakan dalam bentuk

1 1 2 2. . ... .r rw k v k v k v= + + +

dengan 1 2, ,..., rk k k adalah skalar.

DEFINISI 4:

Misal V ruang vektor atas lapangan F, dan { }1 2, ,..., rS v v v= subset V. Himpunan W yang elemennya terdiri dari semua kombinasi linear dari vektor

vektor di S disebut himpunan yang dibangun oleh 1 2, ,..., rv v v (dibangun oleh S), dan

1 2, ,..., rv v v membangun/pembangun W, dinotasikan dengan span( )W S= .


5

TEOREMA 4:

Jika V ruang vektor atas lapangan F dan { }1 2, ,..., rS v v v= subset V, maka 1) span( )W S= subruang V.

2) W merupakan subruang terkecil yang memuat S, yaitu jika terdapat W

subruang dari V dan S subset W, maka W subset W.

3) { }span( ) : subruang danW S U U V S U= = yaitu irisan semua subruang dari V yang memuat S.

TEOREMA 5:

Misal V ruang vektor atas lapangan F, dan { }1 2, ,..., rS v v v= ,

{ }1 2, ,..., rS w w w = subset subset V. Maka span( ) span( )S S = jika dan hanya jika untuk setiap i, 1 i r , berlaku span( )iw S dan span( )iv S .

DEFINISI 5:

Misal V ruang vektor atas lapangan F, dan { }1 2, ,..., rS v v v= subset V. Himpunan S dikatakan bebas linear jika 1 1 2 2. . ... . 0n nk v k v k v+ + + = hanya

mempunyai penyelesaian 1 2 ... 0nk k k= = = = . Jika terdapat penyelesaian lain yang

tidak nol, maka himpunan S dikatakan tidak bebas linear.

TEOREMA 6:

Misal { }1 2, ,..., rS v v v= adalah himpunan vektor vektor di n . Jika r n> , maka S tidak bebas linear.


6

TEOREMA 7:

Misal V ruang vektor atas lapangan F, S subset V dengan 2S , maka

berlaku :

1) S tidak bebas linear jika dan hanya jika terdapat paling sedikit satu vektor di S

yang dapat disajikan sebagai kombinasi linear dari vektor vektor lain di S.

2) S bebas linear jika dan hanya jika tidak ada vektor dari S yang merupakan

kombinasi linear dari vektor vektor yang lain di S.

TEOREMA 7:

Misal V ruang vektor atas lapangan F, S subset V dengan S < . Jika S

memuat vektor nol, maka S tidak bebas linear.

DEFINISI 6:

Misal V ruang vektor atas lapangan F dan { }1 2, ,..., rS v v v= subset V. Jika S bebas linear dan span(S) = V, maka S disebut basis untuk V.

TEOREMA 8:

Misal V ruang vektor atas lapangan F dan { }1 2, ,..., nS v v v= basis untuk V dan

{ }1 2, ,..., mS w w w = subset V. 1) Jika m n> , maka S tidak bebas linear.

2) Jika m n< , maka span( )S V .

3) Jika { }1 2, ,..., mS w w w = basis untuk V, maka n = m.


7

DEFINISI 7:

Dimensi dari suatu ruang vektor V atas lapangan F, ditulis dim(V)

didefinisikan sebagai banyaknya vektor dalam basis untuk V. Dimensi dari ruang

vektor nol didefinisikan dengan 0.

TEOREMA 9:

Misal V ruang vektor atas lapangan F, S subset tak kosong dari V.

1) Jika S bebas linear dan , span( )v V v S , maka { }S v bebas linear. 2) Jika v S dan v dapat disajikan sebagai kombinasi linear dari vektor

vektor yang lain di S, maka { }( )span span( )S v S = .

TEOREMA 10:

Misal V ruang vektor atas lapangan F dengan dim(V) = n dan

{ }1 2, ,..., nS v v v= subset V, maka S basis untuk V jika span(S) = V atau S bebas linear.

DAFTAR PUSTAKA

Anton, Howard, 2000, Elementary Linear Algebra: Eight Edition, John Willey and Sons, Inc., New York.

Vanstone, Scott A. and van Oorschot, Paul C., 1989, An Introduction to Error Correcting Codes with Applications, Kluwer Academic Publishers,

Massachusetts, USA.

sifat sifat ruang vektor

Documents