SÍKALAPOK TEHERBÍRÁSÁNAK MEGBÍZHATÓSÁGI VIZSGÁLATA

Nagy Roland1 – Kádár István1 – Dr. Nagy László1 1Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem, Építőmér-

nöki kar, Geotechnika és Mérnökgeológia Tanszék

ÖSSZEFOGLALÁS Az építőmérnöki gyakorlatban a szabványosítás, illetve a szabványok vál-tozása a biztonság megválaszolásával kapcsolatos kérdéseket is felvet. A megbízhatósági alapon történő méretezés az Eurocode szabvány egyre szélesebb körben való alkalmazásával nyer teret a geotechnikai számítá-sok során. KULCSSZAVAK tönkremeneteli valószínűség, síkalapok teherbírása, Monte Carlo szimulá-ció BEVEZETÉS A cikk egy általános geometriával és talajviszonyokkal jellemezhető sík-alapozás tönkremeneteli valószínűségét vizsgálja 4 számítási módszer szerint. Ezek a jelenleg is érvényben levő Eurocode, a régi Magyar Szab-vány, Brinch-Hansen eljárás, és Meyerhof ajánlása. Foglalkozik továbbá azzal, hogy milyen hatása van a talajmechanikában használatos variációs tényezőnek a globális biztonsági tényezőre és tönkremeneteli valószínű-ségre. Továbbá elemzi a valószínűségi változók számát és az elemszám hatását a tönkremeneteli valószínűségre. A fő célkitűzés a determinisztikus biztonsági tényezők összehasonlítása volt megbízhatósági számítás alapján, melynek lépései pontról pontra a következők voltak:

A munka során kitértünk talajmechanikai paraméterek eloszlásvizs-gálatára, átlag- és karakterisztikus értékek meghatározásának módjaira és talajfizikai paraméterek variációs tényezőire. Fontos a variációs ténye-

ző megemlítése, hiszen a talajparaméter meghatározásának megbízható-ságának mérőszáma. A számítások során kiemelt jelentőséggel bírt, be-menő paraméterrel szolgált. Értékeit nemzetközi és hazai irodalomból ismert adatokkal vettük alapul.

1. ábra Talajfizikai paraméterek variációs tényezőire meghatá-

rozott intervallumok [Kádár, 2011]

Második lépésben megtörtént a statisztikai paraméterek előállítása az eloszlástípusnak megfelelően. A geotechnikában legtöbb esetben a talajfizikai paraméterek normális, vagy lognormális eloszlást követnek, melyek sűrűségfüggvényének előállításához azok két paraméterét kell ismernünk (várható érték és szórás). Harmadik lépésként alkalmazható a Monte Carlo szimuláció a sík-alap teherbírásának meghatározására. Az eloszlás sűrűségfüggvényének ismeretében ez a módszer hatékony adatgenerálást tesz lehetővé. Ezt követően a talajtörési ellenállás számítása a különböző szabvá-nyok alapján lehetővé vált. A valószínűségelméleten alapuló méretezés a biztonsági tartalék meghatározására törekszik, amit összhangba hoz a tönkremeneteli való-színűséggel és az ebben rejlő gazdasági következményekkel. Ezért a tönkremeneteli valószínűség a valószínűségelméleten alapuló tervezés egyik alapfogalma, számítása az utolsó lépések egyike volt.

2. ábra Tönkremeneteli valószínűség értelmezése [Iqbal, 2012]

A tönkremeneteli valószínűség a sűrűségfüggvény adott szempontoknak megfelelően lehatárolt területe. Esetemben a talajtörési ellenálláshoz tar-tozó globális biztonsági tényező sűrűségfüggvényének a mínusz végte-lentől 1,00-ig vett improprius integrálja adja értékét (1,00 jelenti a 100%-os kihasználtságot). A tönkremeneteli valószínűség értéke 10-3-10-4 nagyságrend között mo-zog alapozások esetében. Amennyiben ennél kisebb akkor a szerkezet gazdaságtalan, ha nagyobb veszélynek, kockázatnak tesszük ki azt. Végezetül a tönkremeneteli valószínűséget befolyásoló tényezők összegyűjtése után az eredmények összehasonlítása, következtetések levonása történt meg. ELVÉGZETT KUTATÁS ISMERTETÉSE A felépített számítási modell a 3. ábrának megfelelően nézett ki, tartal-mazott oldalterhelést, külpontosságot. Kötött volt, hogy a TVSZ. az ala-pozási sík alatt, illetve az 1 réteg alatt legyen. Az 1 réteg az alapozás mélységénél pedig kisebb legyen.

3. ábra Számítási modell felépítése

Valószínűségi változók kizárólag az ellenállás oldalon voltak. A belső súr-lódási szög, kohézió normális eloszlással került a számításokba, minimum érték megkötéssel. A talajvizet exponenciális eloszlásúnak választottuk irodalomkutatás alapján, itt annak maximumát kellett megkötni. A törőfeszültség, illetve a talajtörési ellenállás meghatározását mutatja az alábbi (1) egyenlet, mely minden esetben általánosan felírva 3 részből áll: szélességi, mélységi és kohéziós tagból.

(1)

A korábban említett 4 külön számítási eljárásra vonatkozóan vizsgáltuk a tönkremeneteli valószínűséget. Ezek közül Meyerhof eljárásában benne van a hiba lehetősége, kissé pontatlan, hiszen a teherbírási tényezőket diagramokról kell leolvasni. A régi Magyar Szabvány esetében különbség a 0,5-es szorzó hiánya a szé-lességi tagban az Eurocode-hoz képest. Valamint itt a hatékony feszült-séget az alapozási síkon az egyes talajrétegekkel kell súlyozni, nem pedig

a pontos értéket számolni. Brinch-Hansen dán mérnök javaslata gyakor-latilag az EC képlet elődjének tekinthető, eltérést csak az egyes tényezők mélyén tartalmaz. Az egyes számítási eljárások bemenő adatainak felvételének helyességé-re kiemelt figyelmet kellett fordítani: Az Eurocode-on kívül minden eset-ben a bemenő paramétereket átlagértékekkel, magánál az EC-nél karak-terisztikus értékekkel kellett figyelembe venni. Két modelltalajjal készültek független számítások, az egyik közepes agyag volt, a másik az iszapos homok. Iszapos, mert így kohézióval ren-delkezett. A paraméterek a következő táblázatban láthatóak karakterisz-tikus értékeken, melyek a szükséges esetekben az ismert képlettel át-számíthatóak voltak átlagértékekre.

1. táblázat. Számítási modellek bemenő értékei – Eurocode 7

Iszapos homok (siSa) Közepes agyag (Cl)

ϕmean [°] 26,5 ϕmean [°] 16,0

Cv(ϕ) [-] 0,17 Cv(ϕ) [-] 0,25

δϕ[°] 4,51 δϕ[°] 4,00

c [kPa] 15,1 c [kPa] 32,0

Cv(c) [-] 0,26 Cv(c) [-] 0,25

δc[kPa] 3,93 δc[kPa] 8,00

A Monte Carlo szimulációt a valószínűségi változóként definiált későbbi számítások bemenő paramétereinek generálására lehetett használni. Az elemszám és/vagy a szórás a variációs tényező egy intervallumán belül 650-szer lett változtatva. Az elemszám változtatásának hatása csak az EC7 szerint, az eljárások biztonsági tartalékai pedig 500 000 iteráció számmal voltak vizsgálva. Érdekesség, hogy a generált adatmennyiség meghaladja a 87 milliót. Eredmények és levonható következtetések bemutatása 1. Elemszám/iteráció szám, illetve a variációs tényező és valószínűségi változó hatása a tönkremeneteli valószínűségre.

a. Iszapos homok

4. ábra Elemszám hatása a tönkremeneteli valószínűségre, iszapos homok - Eurocode 7 alapján –

Bemenő valószínűségi változó a belső súrlódási szög. A nagyobb iteráció szám minimális mértékben befolyásolja Pf érté-keit. Kisimulás figyelhető meg, a variációs tényező változásának hatása egyértelmű.

A variációs tényező, illetve a szórás növekedésével Pf értékei szigo-rúan monoton nőnek.

b. Közepes agyag

5. ábra Elemszám hatása a tönkremeneteli valószínűségre, közepes agyag - Eurocode 7 alapján –

Bemenő valószínűségi változó a belső súrlódási szög és kohézió. A kisimulás egyértelműen csak a magas iteráció számnál figyelhető meg, amennyiben a bemenő paraméterek között több valószínűségi vál-tozó is van. A valószínűségi változók száma az esetek többségében növekvő hatással van Pf értékeire. Ez azonban függ a számítási modell és a be-menő paraméter, mint változó közötti kapcsolat érzékenységétől. Megjegyzendő, hogy bármely iteráció számmal vizsgálva – számítá-si modellem alapján – a talajvíznek csak minimális hatása van a tönkre-meneteli valószínűségre, amennyiben az egyéb feltételek változatlanok. 2. Különböző módszerek által számított eredmények összehasonlítása

A négy számítási modellből kapott legpontosabb végleges eredmé-nyek a következők:

2. táblázat. Tönkremeneteli valószínűség értékei, 500 000 iterációra, Δ-ra – Eurocode 7 alapján iszapos homokra –

3. táblázat. Tönkremeneteli valószínűség értékei, 500 000 iterációra, Δ-ra – Eurocode 7 alapján közepes agyagra –

a. Meyerhof által kapott eredményeket a bemenő paraméterek na-gyobb bizonytalansága miatt fokozott óvatossággal kell kezelni. b. A vártaknak megfelelően a hatályos Eurocode adja minden esetben a legnagyobb tönkremeneteli valószínűséget, ezáltal ez a szabvány nyújt-ja mindközül a leggazdaságosabb felhasználást. c. A legkisebb tönkremeneteli valószínűséget a régi Magyar Szabvány adja. Ez a legbiztonságosabb mindközül. d. Átlagosan 5,5-szer nagyobb tönkremeneteli valószínűségeket ad szemcsés talajra Brinch-Hansen, mint az MSZ 15004-89. Kötött talaj ese-tében ez az arány ugyan mérséklődik, de összességében elmondható, hogy a négy közül a régi Magyar Szabvány rendelkezik a legnagyobb biz-tonsági tartalékkal (legkonzervatívabb). e. Amennyiben a talajfizikai paraméterek közül a kohézió és belső súr-lódási szög együttesen valószínűségi változó, a négy számítási eljárásból kapott tönkremeneteli valószínűségek eredményei minden esetben a 3. csoportban a legnagyobbak. 3. Demonstrációs példák

Két-két demonstrációs példán keresztül az input és output paraméterek viszonyait és a tönkremeneteli valószínűség lehetséges viszonyait mutat-juk be:

6. ábra Első demonstrációs példa bemenő paraméterei – Eurocode 7 alapján –

7. ábra Első demonstrációs példa eredményei – Eurocode 7 alapján –

a. Az első két eset azt mutatja be, hogy lehetséges egyforma tönkre-meneteli valószínűséget előállítani, miközben a globális biztonsági ténye-ző átlaga eltérő. Látszik, hogy a két modelltalaj közül, a kék színnel jelölt belső súrlódási szögének átlaga (sűrűségfüggvény szimmetriatengelyé-hez tartozó érték), valamint az átlagértéktől vett szórása is nagyobb. Ez alapján előzetesen várható, hogy ehhez nagyobb globális biztonsági té-nyező átlagérték tartozik. Ebből végül azt feltételezhetnénk, hogy a kék

színnel jelölt modelltalajhoz tartozó tönkremeneteli valószínűség kisebb. Azonban, mint azt a példa is mutatja PFS,1 = PFS,2 b. További eredmény, hogy az input paraméterek normális eloszlása ellenére a globális biztonsági tényező (output) log-normális eloszlást kö-vet. c. Kísérletek alapján megállapítható, hogy az output jellemzően akkor log-normális eloszlású, amikor input paraméterként a belső súrlódási szög szerepel, mint valószínűségi változó. Ennek valószínűsíthető oka az, hogy φ a talajtörési ellenállás képletében bonyolultabb összefüggések-ben szerepel, mint például a kohézió. (az csak additív tagként) Abban az esetben, amikor csak a kohézió a bemenő valószínűségi változó (normá-lis eloszlással), az output is normális eloszlású lesz.

8. ábra Második demonstrációs példa bemenő paraméterei – Eurocode 7 alapján –

9. ábra: Második demonstrációs példa eredményei – Eurocode 7 alapján –

d. A második két demonstrációs példa azt mutatja be, hogy lehet na-gyobb is a tönkremeneteli valószínűség, miközben az egyik feladat globá-lis biztonsági tényezőjének átlaga nagyobb. Azaz amelyik feladat talajtö-rési ellenállása a kettő közül jobban megfelel, az statisztikailag kevésbé biztonságos. Szintén látszik, hogy a két modelltalaj közül, a kék színnel jelölt belső súrlódási szögének átlaga (sűrűségfüggvény szimmetriaten-gelyéhez tartozó érték), valamint az átlagértéktől vett szórása is na-gyobb. e. Apriori feltételezhető, hogy nagyobb biztonsági tényező értékhez, kisebb tönkremeneteli valószínűség párosul. Azonban ez nem minden esetben igaz. A második demonstrációs példa (harmadik és negyedik számmal jelölt modelltalajjal végzett számítás) eredményeinek összeha-sonlításából látszólag ellentmondó reláció mutatkozik. Ebben az esetben a nagyobb biztonsági tényezőhöz tartozik a nagyobb tönkremeneteli va-lószínűség is: FS3 < FS4 és PFS,3 < PFS,4 A bemutatott demonstrációs példák arra engednek következtetni, hogy hiába felel meg egy feladat átlagértéken (2,5-szeres biztonsággal sem!), amennyiben a laboratóriumi eredmények szórása kellően nagy, akkor egy-egy minta nem elégíti ki a biztonsággal szemben támasztott köve-telményeket. A példák rávilágítanak arra, hogy mennyire fontos a talajfi-zikai paraméterek eloszlásának minél pontosabb ismerete. A megbízha-tósági elven történő méretezési módszer esetében ehhez a kísérletsoro-zatok részletes statisztikai feldolgozása szolgáltatja az alapot. ELVÉGZETT KUTATÁS ISMERTETÉSE A cikk a megbízhatósági elven történő méretezést dolgozza fel egy sík-alapozás alatti talajtörés példáján keresztül bemutatva. Napjainkban a tönkremeneteli valószínűség számításán alapuló tervezési eljárások az építőmérnöki gyakorlatban egyre inkább teret hódítanak. A valószínűségi elméletek alkalmazása az Eurocode 7 szabvány elterjedésével a geotechnikában is egyre nagyobb hangsúlyt kap. Ez az elv a hazai gya-korlatban jelenleg még kevésbé elterjedt, azonban objektívebb módszer lehet arra, hogy a különböző biztonsági megfontolások összehasonlítha-tók legyenek. A szabványok fejlesztésével a biztonságot és a vállalható kockázatot pró-bálják optimalizálni. A csökkenő biztonsági tartalékkal nagyobb kihasz-náltságot és gazdaságosságot érhetünk el. Valószínűsíthető, hogy a mér-

nöki tudományok további fejlődésével, illetve újabb méretezéselméleti eljárások kidolgozásával, és a számítási pontosság növelésével a bizton-sági tényező meghatározásának további pontosítását érik el. Kérdés mekkora kockázat mellett? Javaslatok további vizsgálatokra 1. A kutatás későbbi folytatása további érdekes eredményekkel szol-gálhat, amennyiben az eddigi bemenő paramétereket normális eloszlás helyett log-normális eloszlásúnak választanánk. Ennek megfelelően vizs-gálatokat lehetne folytatni arra vonatkozóan, hogy miként hat a bemenő paraméterek eloszlástípusa a tönkremeneteli valószínűségre. 2. További valószínűségi változóként lehetne kezelni az ellenállás ol-dalon az alaptest méretét, vagy a külpontosság mértékét is. Be lehetne vonni a vizsgálatokba a teher oldalt is és valószínűségi változóként ke-zelni a függőleges állandó– és esetleges terheket, vagy akár az oldalter-helést. Mindezek alapján elemezni lehetne, hogyan hat a tönkremeneteli valószínűségre az ellenállás- és teher oldal együttes változtatása. IRODALOMJEGYZÉK A. Borovkov: Matematikai statisztika – Paraméterek becslése, hipotézis-vizsgálat, Typotex Kiadó, Budapest, 2012 (ISBN 9789632797076) A. Iqbal: Probability of Failure for Concrete Gravity Dams for Sliding Failure, Master of Science Thesis, Sweden, 2012 (ISSN 1652-599X) B. Hansen: A General Formula for Bearing Capacity, Bulletin No. 11, Danish Geotechnical Institute, Copenhagen, 1961 Farkas J.: Alapozás, Műegyetemi Kiadó 9. kiadás, Budapest, 1994 Kehl D.: Monte-Carlo-módszerek a statisztikában, Statisztikai Szemle 2012, 90. évfolyam 6. szám, 2012 Móczár B., Szendefy J.: Síkalapok teherbírásának egyszerűsített számítá-sa az Eurocode 7 elveinek figyelembevételével, Vasbetonépítés 2013/1, pp. 20-26, 2013 Rétháti L.: Valószínűségelméleti megoldások a geotechnikában, Akadé-miai Kiadó, Budapest, 1985 Széchy K.: Alapozás, Műszaki Könyvkiadó, I. kötet 2. kiadás, Budapest, 1957 MSZ 15004-89: Síkalapok határteherbírásának és süllyedésének megha-tározása

MSZ EN 1990:2005: Eurocode: A tartószerkezetek tervezésének alapjai, B melléklet, Építmények megbízhatósági szintjei MSZ EN 1997-1:2006: Eurocode 7: Geotechnikai tervezés. 1. rész: Álta-lános szabályok, D melléklet, Számításos módszer síkalapok talajtörési ellenállásának meghatározására