simboluri matematice
TRANSCRIPT
Simbol
Seminificație
Explicație ExempleSe citește
Categorie
=
egalitate
x = y înseamnă x și y reprezintă
același lucru sau au aceeași
valoare.
1 + 1 = 2este egal cu
oriunde
≠
<>
neegalitate
x ≠ y înseamnă că x și y nu
reprezintă același lucru sau nu au
aceeași valoare.
1 ≠ 2nu este egal cu
diferit de
oriunde
<
>
≪
≫
strictă inegalitate x < y înseamnă că x este mai mic
decât y.
x > y înseamnă că x este mai mare
decât y.
x ≪y înseamnă că x mult mai mic
decât y.
x ≫ y înseamnă că x mult mai
mare decât y.
3 < 4
5 > 4
0,003 ≪1000000
este mai mic decât,
este mai mare decât,
este mult mai mic decât,
este mult mai mare decât
teoria ordonării
≤
≥
inegalitate
x ≤ y înseamnă că x este mai mic
sau egal cu y.
x ≥ y înseamnă că x este mai mare
sau egal cu y.
3 ≤ 4 și 5 ≤ 5
5 ≥ 4 and 5 ≥ 5
este mai mic sau egal cu,
este mai mare sau egal cu
teoria ordonării
∝
proporționalitate
y ∝ x înseamnă că y = kx pentru o
constantă k.dacă y = 2x, atunci y ∝ xeste proporțional cu
oriunde
+
adunare
4 + 6 înseamnă suma lui 4 și 6 2 + 7 = 9plus
aritmetică
reuniune disjunctă
A1 + A2 înseamnă reuniunea
disjunctă a mulțimilor A1 și A2.
A1={1,2,3,4} ∧ A2={2,4,5,7}
⇒
A1 + A2 = {(1,1), (2,1),
(3,1), (4,1), (2,2), (4,2),
(5,2), (7,2)}
reuniunea disjunctă între
teoria mulțimilor
− diferență 9 − 4 înseamnă diferența dintre 9 și
4
8 − 3 = 5
minus
aritmetică
opusul
−3 înseamnă opusul lui 3. −(−5) = 5negativ ; minus
aritmetică
complementul unei mulțimi
A − B înseamnă mulțimea care
conține toate elementele din A care
nu sunt în B.
{1,2,4} − {1,3,4} = {2}minus; fără
teoria mulțimilor
× produs
3 × 4 înseamnă produsul lui 3 și 4. 7 × 8 = 56ori,
înmulțit cu
aritmetică
produs cartezian X×Y înseamnă mulțimea tuturor
perechilor ordonate cu primul
element din X și al doilea element
din Y.
{1,2} × {3,4} = {(1,3),(1,4),
(2,3),(2,4)}
produsul cartezian între;
produsul direct
teoria mulțimilor
produs vectorial
u × v înseamnă produsul vectorial
al vectorilor u și v
(1,2,5) × (3,4,−1) =
(−22, 16, − 2)produs vectorial cu
algebră vectorială
÷
/
împărțire
6 ÷ 3 sau 6/3 înseamnă împărțirea
lui 6 la 3
2 ÷ 4 = 0,5
12 / 4 = 3
împărțit la
aritmetică
√
rădăcină pătrată
√x înseamnă numărul pozitiv al
cărui pătrat este x.√4 = 2
rădăcina pătrată a lui;
radicalul de ordin doi din
numere reale
rădăcina pătrată complexă
dacă z = r exp(iφ) este reprezentat
în coordonate polare, atunci √z =
√rexp(iφ/2).
√(-1) = irădăcina pătrată complexă
a lui
numere complexe
| |
valoare absolută
|x| înseamnă distanța pe axa reală
(sau în planul complex)
dintre x șizero.
|3| = 3, |-5| = |5|
|i| = 1, |3+4i| = 5
valoarea absolută a lui;
modul din
numere
!
factorial
n! este produsul 1×2×...×n. 4! = 1 × 2 × 3 × 4 = 24factorial
combinatorică
~
distribuție de probabilitate
X ~ D, înseamnă că variabila
aleatoare X are distribuția de
probabilitateD.
X ~ N(0,1), distribuția
normală standardare distribuția
statistică
⇒
→
⊃
implicație A ⇒ B înseamnă că dacă A este
adevărată, atunci și B este
adevărată; în caz că A este falsă,
nu se poate spune nimic despre B.
→ poate însemna același lucru ca
și ⇒ sau poate avea sensul pentru
funcții descris mai jos.
⊃ poate însemna același lucru ca
și ⇒ sau poate avea sensul de
x = 2 ⇒ x2 = 4 este
adevărată, dar x2 = 4
⇒ x = 2 este în general
falsă (deoarece x poate fi
−2, dacă domeniul studiat
permite).
implică; dacă .. atunci
logică propozițională
supramulțime descris mai jos.
⇔
↔
echivalență
A ⇔ B înseamnă că A și B au
aceleași valori de adevăr.x + 5 = y +2 ⇔ x + 3 = y
dacă și numai dacă (dnd);
echivalent cu
logică propozițională
¬
˜
negație logică Propoziția ¬A este adevărată dacă
și numai dacă A este falsă.
O bară oblică ce taie un operator
reprezintă același lucru ca și "¬"
scris în față.
¬(¬A) ⇔ A
x ≠ y ⇔ ¬(x = y)non
logică propozițională
∧
conjuncție
logică sauinfimum într-o la
tice
Propoziția A ∧ B este adevărată
dacă A și B sunt ambele adevărate;
altfel este falsă.
n < 4 ∧ n >2 ⇔ n = 3
dacă n este număr natural.și
logică propozițională,teoria
laticelor
∨ disjuncție
logică sausupremum într-
o latice
Propoziția A ∨ B este adevărată
dacă A sau B (sau ambele) sunt
adevărate; altfel este falsă.
n ≥ 4 ∨ n ≤ 2 ⇔ n ≠ 3
dacă n este număr natural.
sau
logică propozițională,teoria
laticelor
⊕
⊻
sau exclusiv
Afirmația A ⊕ B este adevărată
dacă fie A, fie B, dar nu ambele,
este adevărată. A ⊻ B înseamnă
același lucru.
(¬A) ⊕ A este mereu
adevărată, A ⊕ A este
mereu falsă.
xor
logică
propozițională,algebră
booleană
∀
cuantificator universal
∀ x: P(x) înseamnă P(x) este
adevărată pentru toți x din
domeniu.
∀ n ∈ N: n2 ≥ n.oricare; pentru fiecare
logica predicatelor
∃
cuantificator existențial
∃ x: P(x) înseamnă că există cel
puțin un x astfel încât P(x) este
adevărată.
∃ n ∈ N: n este par.există
logica predicatelor
∃! cuantificator de unicitate ∃! x: P(x) înseamnă că există exact
un x astfel încât P(x) este
adevărată.
∃! n ∈ N: n + 5 = 2n.
există un(o) unic(ă)
există și e unic(ă)
logica predicatelor
:=
≡
:⇔
definiție x := y sau x ≡ y înseamnă că x este
definit ca un alt nume pentru y (de
observat că ≡ poate avea și alte
sensuri, precum congruență).
P :⇔ Q înseamnă că P este definit
astfel încât, din punct de vedere
logic, este echivalent cu Q.
cosh x := (1/2)(exp x +
exp (−x))
A XOR B :⇔
(A ∨ B) ∧ ¬(A ∧ B)
se definește ca
oriunde
{ , }
acolade de mulțime
{a,b,c}înseamnă mulțimea formată
din a, b și c.N = {0,1,2,...}mulțimea
teoria mulțimilor
{ : }
{ | }
notație de construcție a
unei mulțimi
{x : P(x)} sau {x | P(x)} înseamnă
mulțimea acelor x pentru care P(x)
este adevărată.
{n ∈ N : n2 < 20} =
{0,1,2,3,4}mulțimea elementelor cu
proprietatea că
teoria mulțimilor
{}
mulțimea vidă
înseamnă mulțimea cu nici un
element. {} este o notație
echivalentă.
{n ∈ N : 1 < n2 < 4} = mulțimea vidă
teoria mulțimilor
∈
apartenență
a ∈ S înseamnă că a este un
element al mulțimii S; a
S înseamnă căa nu este un
element al mulțimii S.
(1/2)−1 ∈ N
2−1 N
aparține lui, este inclus în;
nu aparține lui, nu este
inclus în
oriunde, teoria mulțimilor
⊆
⊂
submulțime(submulțime) A ⊆ B înseamnă că
fiecare element din A este și
element al lui B.
(submulțime
proprie) A ⊂ B înseamnă
că A ⊆ B dar A ≠ B.
A ∩ B ⊆ A; Q ⊂ R
este inclusă în; este o
submulțime pentru; este
submulțime a lui
teoria mulțimilor
⊇
⊃
superset A ⊇ B înseamnă că fiecare
element din B este și element al
lui A.
A ⊃ B înseamnă
că A ⊇ B dar A ≠ B.
A ⊇ B este echivalent
cu B ⊆ A, A ⊃ B este echivalent
cu B ⊂ A.
A ∪ B ⊇ B; R ⊃ Q
include; este o
supramulțime pentru; este
supramulțime a lui
teoria mulțimilor
∪ reuniune Reuniune exclusivă (vezi și
diferență
simetrică): A ∪ B înseamnă
mulțimea care conține toate
elementele lui A, și toate
elementele lui B, dar nu și
elementele lor comune.
A ⊆ B ⇔ A ∪ B = B
A ∪ B =
{x | x ∈ A ∨ x ∈ B)}
reuniunea între
teoria mulțimilor
"A sau B, dar nu amândouă".
Reuniune
inclusivă: A ∪ B înseamnă
∩intersecție de mulțimi A ∩ B înseamnă mulțimea ce
conține elementele comune
din A și B
{x ∈ R : x2 = 1} ∩ ℕ = {1}intersecția dintre
teoria mulțimilor
\set-theoretic complement A \ B înseamnă mulțimea ce
conține elementele pe care A le are
în plus față de B
{1,2,3,4} \ {3,4,5,6} = {1,2}diferența
teoria mulțimilor
( )
valoarea funcțieif(x) înseamnă 'f de x', sau valoarea
lui f în elementul x.
Dacă f(x) := x2,
atunci f(3) = 32 = 9.de
teoria mulțimilor
modificatori de precedențăSe efectuează întâi operațiile din
paranteze.
(8/4)/2 = 2/2 = 1, dar
8/(4/2) = 8/2 = 4.paranteze
oriunde
f:X→Yfunctie săgeată f: X → Y înseamnă că
funcția f transportă elementele
lui X în cele din Y.
Let f: Z → N be defined
by f(x) := x2.de ... la
teoria mulțimilor
ofuncția compunere
fog e functia, fiind (fog)(x) = f(g(x)).if f(x) := 2x, și g(x) := x + 3,
apoi (fog)(x) = 2(x + 3).compus cu
teoria mulțimilor
N
ℕ
numere naturale
N înseamnă {0,1,2,3,...}, dar a se
vedea și numere naturale pentru o
altă convenție.
{|a| : a ∈ Z} = NN
număr
numere întregi Z înseamnă {..., {a : |a| ∈ N} = Z
Z
ℤ−3,−2,−1,0,1,2,3,...}.
Z
număr
Q
ℚ
numere raționale
Q înseamnă {p/q : p,q ∈ Z, q ≠ 0}.
3.14 ∈ Q
π ∉ Q
Q
număr
R
ℝ
numere reale
R înseamnă setul de numere reale.
π ∈ R
√(−1) ∉ R
R
număr
C
ℂ
numere complexe
C înseamnă {a + bi : a,b ∈ R}. i = √(−1) ∈ CC
număr
∞infinitate ∞ este un element al mulțimii reale
extinse și este mai mare ca orice
alt număr real, fiin deseori întalnit
în limite matematice.
limx→0 1/|x| = ∞infinitate
număr
pi π este raportul dintre
lungimea cercului și diametrul său.
Valorea lui este 3.1415....
A = πr² este aria unui cerc
cu raza rpi
geometrie euclidiană
|| ||norma ||x|| este norma unui
element x din spațiul vectorial
normat.
||x+y|| ≤ ||x|| + ||y||norma lui; lungimea lui
algebră liniară
∑
Însumare
∑k=1n ak înseamnă a1 + a2 + ... + an.
∑k=14 k2 = 12 + 22 + 32 +
42 = 1 + 4 + 9 + 16 = 30
sumă peste ... de ... la ...
din
oriunde
Înmulțire ∏k=1n ak înseamnă a1a2···an. ∏k=1
4 (k + 2) = (1 + 2)(2 +
∏
2)(3 + 2)(4 + 2) = 3 × 4 ×
5 × 6 = 360
produs peste ... de ... la ...
din
oriunde
Produs cartezian
∏i=0nYi înseamnă setul
tuturor (n+1)-uplurilor (y0,...,yn).∏n=1
3R = Rnprodusul cartezian dintre;
produsul direct dintre
algebră
'Derivată f '(x) este derivata funcției f în
punctul x,ex: tangenta la graficul
lui f în x.
Dacă f(x) := x2,
atuncif '(x) = 2x… prim; derivata lui …
analiză matematică
∫
Integrala nedefinită sau
antiderivată ∫ f(x) dx înseamnă o funcție a cărui
derivată e f.∫x2 dx = x3/3 + C
integrală nedefinită din …;
calculus
Integrala definită∫a
b f(x) dx înseamnă aria cu semn
dintre axa x și grficul funcției
lui f întrex = a și x = b.
∫0b x2 dx = b3/3;
integrala de la ... până
la ....
analiză matematică
∇gradient ∇f (x1, …, xn) este vectorul
derivatelor parțiale (df / dx1,
…, df / dxn).
Dacă f (x,y,z) := 3xy + z²,
atunci ∇f = (3y, 3x, 2z)Nabla, gradient din
analiză matematică
∂
derivată parțială Cu f (x1, …, xn), ∂f/∂xi este derivata
lui f în funcție de xi, celelalte
variabile păstrându-se constante.
dacă f(x,y) := x2y, atunci
∂f/∂x = 2xyderivată parțială din
calculus
frontiera
∂M înseamnă frontiera mulțimii M∂{x : ||x|| ≤ 2} = {x : ||x|| =
2}frontiera
topologie
⊥ perpendicular x ⊥ y înseamnă x este
perpendicular pe y; sau mai
general x e ortogonal pe y.
Dacă l⊥m și m⊥n atunci l
|| n.e perpendicular pe
geometrie
element minim (cel mai
mic) x = ⊥ înseamnă că x este cel mai
mic element.∀x : x ∧ ⊥ = ⊥
Elementul minimt
lattice theory
⊧entailment A ⊧ B means the sentence A entails
the sentence B, that is every model
in which A is true, B is also true.
A ⊧ A ∨ ¬Aentails
model theory
⊢
inference
x ⊢ y means y is derived from x. A → B ⊢ ¬B → ¬Ainfers or is derived from
propositional
logic,predicate logic
◅normal subgroup
N ◅ G means that N is a normal
subgroup of group G.Z(G) ◅ Gis a normal subgroup of
group theory
/quotient group
G/H means the quotient of
group G modulo its subgroup H.
{0, a, 2a, b, b+a, b+2a} /
{0, b} = {{0, b}, {a, b+a},
{2a,b+2a}}
mod
teoria grupurilor
≈
izomorfism
G ≈ H înseamnă că grupul G e
izomorf cu grupul H
Q / {1, −1} ≈ V,
unde Q este quaternion
group și V este grupul
Klein de 4 elemente.
e izomorf cu
teoria grupurilor
egal aproximativx ≈ y înseamnă x este aproximativ
egal cu yπ ≈ 3.14159este aproximativ egal cu
oriunde
〈,〉
( | )
< , >
produs scalar 〈x,y〉 înseamnă produsul scalar
al lui x și y.
În cadrul spațiilor euclidiene se
obișnuește de a nota produsul
scalar atît prin (x,y) cît și prin x·y.
Pentru matrice se poate utiliza
semnul :.
În spațiul
euclidian ℝ2 produsul
scalar al
vectorilorx = (2, 3)
și y = (−1, 5) este:
〈x, y〉 = 2 × −1 + 3 × 5 =
13
produs scalar
algebra liniară
·
⊗Produs tensorial
V ⊗ U înseamnă produsul tensorial
dintre V și U.
{1, 2, 3, 4} ⊗ {1,1,2} =
{{1, 2, 3, 4}, {1, 2, 3, 4}, {2,
4, 6, 8}}