simetria grupos pontuais
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Cap 2. Simetria
Elementos de Simetria
Grupo Pontual
1. Eixos de Rotação
C2
. .12
3
1
2
3
C3
1
2
3
45
6
2
1
4 6
3
5
Molécula com eixo de rotação C3
FB
FA
FC
FA
FC
FB
FC
FB
FA
1200
1200
1200
B
B
B
C4
12
3 4
1
2 3
4
Operação de rotação própria
n
2πCn =
2. plano
B
σA
σBA
1
23σ
1
2 3σ
XY
Z
X
-Y
Z
σXZ
(X,Y,Z) X,-Y,Z)σXZ
3. Centro de inversão
.
1
23
4
5
67
8
.
1
23
4
5
6 7
8i
[x,y,z] → [-x,-y,-z]i
ClAClB
ClDClC
Pt i
ClCClD
ClBClA
Pt
1
2
3
4
5
6
4
5
6
1
2
3i
4. Rotação reflexão (rotaçãoimprópria)
1’
1
23
3’ 2’
1
23
2’
1’
3’ 1
2
3
2’1’
3’
2’1’
1
2
3’
3
900
plano
reflexão
900reflexão
Classificação das Simetrias de Grupos Pontuais
1. Grupos especiais: a) moléculas lineares: C∞v, D∞h
b) eixos múltiplos de ordem elevada: Oh, Td, T, Th, I, Ih
2. Não possui eixos de rotação própria ou imprópria: C1, Cs, Ci
3. Sómente eixo de rotação imprópria (n par): Sn n=2, 4, 6
eixo Cnnão possui nC2 ⊥ Cn possui nC2 ⊥ Cn
σh σv ñ σ σhσv ñ σ
Cnh Cnv Cn Dnh DndDn
σh
C∞
. C2
C2
C2C2
C2
C2
∞ C2
σv
σv
σv
σv
σv
σv
σv∞
Molécula linear
1a. Moléculas lineares:
H-C≡C-H C CH H C∞
σh
C∞ ⊥ σh → D∞h
H-C≡NH-C≡N C∞
Não possui σh → C∞v
Determinar a simetria de grupo pontual das moleculas abaixo
x xx
x
xx
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
y
x
x
y
a b c
d ef
g hi
S O
X
X
O
H D
N
HD
H
C
O
H
Cl
Determinar a simetria de grupo pontual das moleculas abaixo
x
x
y
H H
y
H
H
H
H
HH
Determinar a simetria de grupo pontual das moleculas abaixo
N
N
N N
NN
O O
H H
Simetria de grupo pontual C2
C2
Fe
+
-
Representação matricial das Operações de Simetria
x
y
z
Considerando a coordenada ao lado,
vamos efetuar as operações:
E(x,y,z) → (x,y,z)
σhxy(x,y,z) → (x,y,-z)
i(x,y,z) → (-x,-y,-z)
C2z(x,y,z) → (-x,-y,z)
1 0 0
0 1 0
0 0 1
x
y
z
=
x
y
z
E
-1 0 0
0 -1 0
0 0 -1
x
y
z
=
-x
-y
-z
i
1 0 0
0 1 0
0 0 -1
x
y
z
=
x
y
-z
σhxy
-1 0 0
0 -1 0
0 0 1
x
y
z
=
-x
-y
z
C2z
-1 0 0
0 -1 0
0 0 -1
i
-1 0 0
0 -1 0
0 0 -1
i
=
1 0 0
0 1 0
0 0 1
E
1 0 0
0 1 0
0 0 -1
σhxy
1 0 0
0 1 0
0 0 -1
σhxy
=
1 0 0
0 1 0
0 0 1
E
Multiplicação das operações de simetria
-1 0 0
0 -1 0
0 0 1
C2z
-1 0 0
0 -1 0
0 0 1
C2z
=1 0 0
0 1 0
0 0 1
E
-1 0 0
0 -1 0
0 0 1
C2z
-1 0 0
0 -1 0
0 0 -1
=1 0 0
0 1 0
0 0 -1
i σhxy
-1 0 0
0 -1 0
0 0 1
C2z
1 0 0
0 1 0
0 0 -1
=-1 0 0
0 -1 0
0 0 -1
iσhxy
Rotação propria Cn
(x1, y1).→
1r
→
2r .(x2, y2)
θα
θ-α
lcosα
lsenα
lcos(θ-α)
-lsen(θ-α)
x
y
Considerandop a rotação do vetor r1 na figura acima por um angulo θ para dar o vetor r2:
x1= lcosα , y1= lsenα ; x2= lcos(θ-α), y2= -lsen(θ-α)
Lembrando que: cos(θ-α)= cosθ.cosα + senθ.senα
sen(θ-α)= senθ.cosα - cosθ.senα
x2= lcosθ.cosα + lsenθ.senα
y2= -lsenθ.cosα + lcosθ.senα
como x1= lcosα , y1= lsenα
x2 = x1cosθ + y1senθ
y2= - x1cosα + y1cosθ
cosθ senθ
-cosα cosθ
x1
y1
=
x2
y2
Cn
Tabela de Mutiplicação
E σhxy
C2z
C2z i
E
C2z
σhxy
i
E
E
E
E
C2z
σhxy
i
C2z σh
xyi
i
i
σhxy
σhxy
C2z
E
σhxy
C2z
i
Formam um grupo
Tabela de caracteres
E C2 i σh
Γ1
Γ2
Γ4
Γ3
1 1 1 1
1 -1 1 -1
1 1 -1 -1
1 -1 -1 1
Γ1, Γ2 , Γ3 , Γ4 Forma um conjunto de representações irredutiveis.
A tabela acima deve obeder as seguintes propriedades:
1. A soma dos quadrados das dimensões das representações irredutiveis, é igual
ordem do grupo, isto é:
2. A soma dos quadrados dos caracteres é igual a h:
∑ =χR
2
i h)]R([ onde χt(R) é o carater da representação,
3. 0)R()R(R
ji =χχ∑ para i≠j
∑ = hl2i
Exemplo: (1)2 + (1)2 + (-1)2 + (-1)2 = 4
Exemplol: (1)2 + (1)2 + (1)2 + (1)2 = 4
Exemplo= (1)(1) + (1)(1) + (1)(-1) + (1)(-1)= 0 para Γ1 e Γ2
4. O número de representações irredutiveis, Γ, é igual ao número de classes no grupo
E C2 i σh
Ag
Bg
Bu
Au
1 1 1 1
1 -1 1 -1
1 1 -1 -1
1 -1 -1 1
C2h
Tabela de caracteres para o grupo pontual C2h
Aplicações gerais da Teoria da Teoria de Grupo
Espectroscopia vibracional O
H H
grupo pontual C2v
O
H H
No modo vibracional ao lado o
estiramento das ligações ocorrem
em fase. A operação de simetria
assumindo o valor 1 ou -1,
conforme a mudança do sentido
do vetor, temo:
O
H H
O
H H
υ1 υ2υ3
y
z
x
E C2 σvxz σz
yz
1 1 1 1υ1
υ2
υ3
1 1 1 1
1 -1 -1 1
E C2 σvxz σz
yz
1 1 1 1A1
A2
B1
1 1 -1 -1
1 -1 1 -1
B21 -1 -1 1
C2v
O
H H
O
H H
O
H H
υ2 υ3
A1 A1
υ1
B2
estiramento
simétricodeformação
estiramento
assimétrico
y
z
z zy
B
Cl
Cl Cl
B
Cl
Cl Cl
B
Cl
Cl Cl+
+
+
B
Cl
Cl Cl
y
x
µ∆ =0 µ∆ =0
µ∆ ≠0 µ∆ ≠0
.
471 cm-1
956 cm-1
245 cm-1
(sómente no Raman)