Prof. Dr. May-Britt Kallenrode Fachbereich Physik

Simple SimulationSystemtheorie und SimuLink

Osnabruck, 14. August 2008

Vorbemerkung

The most incomprehensible thing about the world is that it is comprehensibleA. Einstein

1 Das Skript ist eine kurze Einfuhrung in Grundkonzepte linearer, dynamischer und dis-kreter Systeme sowie deren Darstellung in SimuLink.

2 Naturliche Systeme wie die Atmosphare oder die Ozeane bzw. das Klimasystem als eineKopplung der Systeme Ozean und Atmosphare sind dynamische Systeme. Sie werden formaldurch Systeme partieller Differentialgleichungen beschrieben. Diese lassen sich auer unterstark vereinfachenden Annahmen in der Regel nicht analytisch losen. Die Modellierungderartiger Systeme basiert daher auf numerischen Verfahren.

3 Eine Alternative zu numerischen Verfahren bietet zumindest in einigen Fallen (insbe-sondere bei linearen DGLs) die Laplace Transformation der Differentialgleichung(en). Die-se Transformation uberfuhrt das System von Differentialgleichungen in ein System alge-braischer Gleichungen. Letzteres ist mit einfachen Methoden zu losen. Damit lassen sichdie Ubertragungsfunktionen der Teilsysteme bzw. die Ubertragungsfunktion des Gesamt-systems bestimmen. Diese Ubertragungsfunktionen liefern die Systemantwort fur beliebigenInput. Dieses Verfahren ist jedoch nur fur statische Systeme geeignet, da nur in diesen ei-ne Ubertragungsfunktion sinnvoll definiert werden kann ein dynamisches System dagegenwurde eine zeitlich veranderliche Ubertragungsfunktion aufweisen.

4 SimuLink ist eine Erweiterung von MatLab u.a. zur Simulation dynamischer Systeme es enthalt aber ebenso Tools zur Behandlung linearer Systeme und zur Echtzeitsteuerung. Si-muLink stellt das System in der Form eines Blockdiagramms dar: die unterschiedlichen Teil-systeme konnen mit Hilfe ihrer Ubertragungsfunktionen definiert werden oder sie mussendynamisch behandelt werden, d.h. ihre zeitliche Entwicklung wird berucksichtigt.

5 Simulationen mit SimuLink haben gegenuber einer konventionellen numerischen Losungdes Differentialgleichungssystems Vor- und Nachteile: der grote Nachteil ist der theoretischeUberbau mit (Teil-)Systemen und Ubertragungsfunktionen. Die Verwendung von Simulinkerfordert also eine gewisse geistige Anfangsinvestition. Der Vorteil des Verfahrens ist die Ein-fachheit: auch fur eine numerische Losung des Differentialgleichungssystems mussten wir dasBlockdiagramm erstellen und dann in jedem Block die DGL des entsprechenden Untersys-tems mit Hilfe von Euler, RungeKutta oder einem anderen Verfahren losen. Mit Simulinkmussen wir in die Blocke nur die Ubertragungsfunktion eintragen und sparen uns die nume-rische Codierung. Auerdem muss die Verknupfung der Blocke nicht in einen Programmcodeeingearbeitet werden sondern erfolgt direkt das Risiko von Codierungsfehlern wird verrin-gert. Hat man einmal die Anfangsinvestition getatigt, so erlaubt das Verfahren eine schnelleSimulation. Daher wird es in der Industrie auch im rapid prototyping angewendet.

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6 Skript und Vorlesung sollen in die hier erwahnten Konzepte einfuhren und diese an Handvon einfachen, aus der Physik wohlbekannten Beispielen illustrieren da ich dabei Wert aufIm- und Exporte lege, werden einige Beispiele auch in erweiterter Anwendung diskutiert.Komplexere Probleme konnen im Rahmen von Projekten bearbeitet werden. Egal, welcheArbeits- und Lernstrategien Sie haben: die Verstandnis- und Zwischenfragen sollten Sie ernstnehmen.

c M.-B. Kallenrode 14. August 2008

Inhaltsubersicht

I Der Anfang 12

1 Einfuhrung 131.1 Ein einfaches Beispiel: Federpendel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.2 Eine erweiterte Form des einfachen Beispiels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341.3 (Dynamische) Systeme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 391.4 Aufbau von Vorlesung und Skript . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

2 Simulink Die Grundlagen 522.1 Erste Schritte: Start von SimuLink . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 532.2 Der SimuLink Library Browser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 562.3 Einfache Modelle: Federpendel und Verwandte(s) . . . . . . . . . . . . . . . . 672.4 (Maskierte) Untersysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 792.5 Kommunikation mit dem WorkSpace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 902.6 Simulationskontrolle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

II Lineare zeitinvariante Systeme 111

3 Laplace Transformation 1123.1 Fourier Reihe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1133.2 Fourier Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1213.3 Laplace Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140

4 Systemtheorie im Vorbeigehen 1474.1 Grundbegriffe: Was ist ein System? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1484.2 Losung der Systemgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1534.3 Ubertragungsfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161

5 Ubertragungsfunktion vertieft: Filter 1705.1 Filter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1715.2 Analoge Filter im Zeitbereich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1735.3 Digitale Filter im Zeitbereich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1825.4 Filter im Spektralbereich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1915.5 Filter im Ortsbereich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191

III Dynamische Systeme 194

6 Etwas Chaos 1956.1 Fraktale: geometrische Annaherung an das Chaos . . . . . . . . . . . . . . . . 196

4

INHALTSUBERSICHT 5

6.2 (Seltsame) Attraktoren und Abbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2016.3 Variationen uber ein einzelnes Pendel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2066.4 Gekoppelte Federpendel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213

7 DiffusionsReaktions-Modelle 2257.1 Das Gleichungssystem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2257.2 Anwendungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2267.3 Losungsverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231

IV Diskrete Systeme 236

8 Etwas Spieltheorie 2378.1 Gefangene, Kuhe und Stichlinge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2388.2 Klimafolgenabminderung spieltheoretisch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2468.3 Strategien auswahlen mit SimuLink . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259

V Anhang 263

9 Einige wichtige Begriffe und Konzepte 2649.1 DiffusionsReaktions-Modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2649.2 Emergenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2659.3 Morphogenese, biologische . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2679.4 Solitonen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2679.5 Synchronisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2749.6 Schmetterlingseffekt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278

10 Nutzliche Erganzungen 28010.1 Formelzeichen und Abkurzungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28010.2 Numerische Integration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28210.3 Code-Beispiele aus dem Text . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29010.4 Nullstellenbestimmung: NewtonRaphson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29110.5 Etwas (historischer) Hintergrund . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29210.6 Losungen ausgewahlter Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292

c M.-B. Kallenrode 14. August 2008

Inhaltsverzeichnis

I Der Anfang 12

1 Einfuhrung 131.1 Ein einfaches Beispiel: Federpendel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.1.1 Die analytische Losung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14Freie Schwingung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14Erzwungene Schwingung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.1.2 Die numerische Losung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16Freie Schwingung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17Erzwungene Schwingung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.1.3 Und die Losung in SimuLink? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20Die Idee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20Freie Schwingung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21Erzwungene Schwingung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

1.1.4 Alternative Darstellungen: Ubertragungsfunktion und State Space . . 25Ubertragungsfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25Losung der Systemgleichungen mit State Space . . . . . . . . . . . . 26Zusammenfassung: Gewohnliche lineare Differentialgleichung in Simu-

Link . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271.1.5 Nichtlineare Erweiterung sorgt fur Chaos: Fadenpendel . . . . . . . . . 281.1.6 Nichtlineares Beispiel in konventioneller Darstellung . . . . . . . . . . 311.1.7 Geist ist geil: Im- und Exporte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

1.2 Eine erweiterte Form des einfachen Beispiels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341.2.1 Die analytische Losung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351.2.2 Die numerische Losung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 361.2.3 Und die Losung in SimuLink? .