simplex investigacion operativa

Modelo PROTRAC

)(.................5

)(.................03

)(.............1351030

)(.............1601020

)(.............1501510:.

40005000

5

4

3

2

1

orDistribuidLFE

PolticaLFE

CalidadLFE

BLFE

ALFEas

FEZMax

16 14 10 8 4 2 6

12

2

E

16

14

12

10

8

6

4

F

(6.857, 2.286)

(4.05 , 1.35)

(4.5 , 7.0)

(0.9 , 9)

1.35

2.286

0.75

Solucin Optima:

E = 4.5; F = 7.0

1601020:2 FEL

1501510:1 FEL

1351030:3 FEL03:4 FEL

5:5 FEL

FEZMax 40005000

Caso Protrac (Enunciado extra)

7.-Que tanto conviene si aumentamos la disponibilidad de las horas del Departamento B .

16 14 10 8 4 2 6

12

2

E

16

14

12

10

8

6

4

F

(6.857, 2.286)

(4.05 , 1.35)

(4.5 , 7.0)

(0.9 , 9)

1.35

2.286

0.75

Solucin Optima:

E = ; F =

1601020:2 FEL

1501510:1 FEL

1351030:3 FEL03:4 FEL

5:5 FEL

FEZMax 40005000

Capacidad Dpto B= 161 Hrs

16 14 10 8 4 2 6

12

2

E

16

14

12

10

8

6

4

F

(6.857, 2.286)

(4.05 , 1.35)

(4.5 , 7.0)

(0.9 , 9)

1.35

2.286

0.75

Solucin Optima:

E = F =

1601020:2 FEL

1501510:1 FEL

1351030:3 FEL03:4 FEL

5:5 FEL

FEZMax 40005000

Capacidad Dpto A= 151 Hrs

16 14 10 8 4 2 6

12

2

E

16

14

12

10

8

6

4

F

(6.857, 2.286)

(4.05 , 1.35)

(4.5 , 7.0)

(0.9 , 9)

1.35

2.286

0.75

Solucin Optima:

E = 4.5; F = 7.0

1601020:2 FEL

1501510:1 FEL

1351030:3 FEL03:4 FEL

5:5 FEL

FEZMax 40005000

Capacidad Dpto Calidad 135 Hrs

16 14 10 8 4 2 6

12

2

E

16

14

12

10

8

6

4

F

(6.857, 2.286)

(4.05 , 1.35)

(4.5 , 7.0)

(0.9 , 9)

1.35

2.286

0.75

Solucin Optima:

E = F =

1601020:2 FEL

1501510:1 FEL

1351030:3 FEL03:4 FEL

5:5 FEL

40004000

5000

40005000

ZEF

FEZMax

Solucin Grfica

Solucin Factible

Regin Factible

Solucin ptima

Valor ptimo

Construccin de grficos: Graficar c/restriccin, Regin Factible

Fijar Z, Graficar F.O, Desplazar y encontrar

Solucin Grfica; Casos Especiales

Soluciones Alternativas

Solucin no acotada

Sin solucin

Si existe Sol. ptima, ella se encuentra en un punto esquina

Y en el plano como se ven estos casos ESPECIALES?

Solucin Grfica

0,

63

1.

26

21

21

21

21

xx

xx

xxas

xxzMax

0,

232

22.

65

21

21

21

21

xx

xx

xxas

xxzMax

0,

1243

22.

23

21

21

21

21

xx

xx

xxas

xxzMax

0,

5

10.

25

21

1

21

21

xx

x

xxas

xxzMax

Ejercicio n 1

Ejercicio n 2

Ejercicio n 3

Ejercicio n 4

Ejercicio n 5: Cambiar en Ejercicio n 3 Max Z por Min z

16 14 10 8 4 2 6

12

2

E

16

14

12

10

8

6

4

F

(6.857, 2.286)

(4.05 , 1.35)

(4.5 , 7.0)

(0.9 , 9)

1.35

2.286

0.75

Solucin Optima:

E = 4.5; F = 7.0

1601020:2 FEL

1501510:1 FEL

1351030:3 FEL03:4 FEL

5:5 FEL

FEZMax 40005000

4.- Representacin Estndar de un PPL (segn Mtodo de Solucin a Conocer)

F.O. es Max o Min

Restricciones como ecuaciones

Variables no negativas

Lado derecho, constantes no negativas

:.

...)( 2211

as

xcxcxczMinMax nn

Modelo Estndar de un PPL Desagregado (1)

,0,...,0,0

0,...,0,0

...

...

...

21

21

2211

22222121

11212111

m

n

mnmnmm

n

n

bbb

xxx

bxaxaxa

bxaxaxa

bxaxaxa

njmi

bx

bxaas

xczMinMax

ij

n

j

ijij

n

j

jj

,...1;,...1

0;0

:.

)(

1

1

Modelo Estndar de un PPL Desagregado (2)

Modelo Estndar de un PPL MATRICIAL

Estndar

0

0

b

x

bAx

Matrices:

:.

)(

as

cxzMinMax

n

mnmnm

n

ccc

b

b

b

x

x

x

aa

aa

A

....

..

...

...

...

1

11

1

111

A: Matriz de coeficientes Tecnolgicos

B: Vector de restricciones, vector lado derecho

c: Vector fila beneficios, costos o rendimientos

X: Vector de decisiones

SISTEMA DE ECUACIONES

Transformar a Forma Estndar

Lado derecho no negativo

Reducir Desigualdades

Variables negativas

Variables no restringidas en signo

Ejercitar los casos

Ejercicios Estandarizacin

0,0,

523

2

7.

32

321

321

321

321

321

xxx

xxx

xxx

xxxas

xxxzMax

0,0,0,

2232

143

224.

5243

4321

4321

4321

4321

4321

xxxx

xxxx

xxxx

xxxxas

xxxxzMax

Ejercicio n 1 Ejercicio n 2

0,0,

523

2

7.

,32

321

321

321

321

3221

xxx

xxx

xxx

xxxas

xxMinxxzMaxEjercicio n 3

Que pasa si en el N 3 cambiamos en la F.O a 3max{x2,x3}

5.- Resolviendo Sistemas de Ecuaciones Lineales

Sistema de Ecuaciones Cualquiera ESTANDAR

Sistema de Ecuaciones Equivalente

Cannico

Base, Solucin Bsica

Solucin Factible (Todas las Var >= 0)

Solucin Infactible (Algunas Var

Variables Bsicas

Una variable xi se dice bsica si le acompaa un factor +1 en una ecuacin y un cero en las dems.

Solucin Bsica y Factible: SB y factible (XB0)

Solucin Bsica:

Solucin obtenida de un sistema cannico, haciendo las variables NO bsicas cero.

En cada punto esquina encontramos una SB

!)!(

!

mmn

n

m

n

S1

Encontrar las combinaciones de VB que conforman

todas las SB: Factible, Infactible? Generar nuevo sistema cannico equivalente y concluir.

Nuevo sistema cannico equivalente: Operaciones Fila (Objetivo: Despejar Variables):

* una ecuacin. por un nmero + o - Sumar a una ec. Un mltiplo de otra ec.

Evaluar sus variables

43

2242

54321

54321

xxxxx

xxxxx

Objetivo: Despejar x1 y x2

S2

S3

S3: Sistema Cannico

Solucin Bsica: x1 y x2 son bsicas

232

2242

5432

54321

xxxx

xxxxx

232

6423

5432

5431

xxxx

xxxx

1. Comenzar con una solucin bsica inicial cannica

y factible. se podr mejorar?

2. Es factible, Mejorarla?

3. Determinar la siguiente

Cuando no es factible encontrar soluciones mejores, la bsqueda termina

6.- SIMPLEX

Principios del Mtodo Simplex

Ejemplo. Es factible mejorarla? Max Z = 5X1 + 2X2 + 3X3 - X4 + X5 Sujeto a: X1 + 2X2 + 2X3 + X4 = 8 ( 2.7 ) 3X1 + 4X2 + X3 + X5 = 7 ( 2.8 ) Solucin bsica X1 = X2 = X3 = 0, X4 = 8, X5 = 7. Z = 5*(0) + 2*(0) + 3*(0) - 1*(8) + 1*(7) = -1

Ve usted otras soluciones bsicas en este sistema equivalente, cuales?

Es factible mejorarla?

Debemos pensar en un cambio de base

conveniente

Calculemos un

Indicador para esto:

Ganancia/Beneficio Relativo

jc Ganancia Relativa de la Variable xj

a) Primero se examina si la presente es ptima.

b) Si no la es. El Simplex examina una: Solucin

bsica factible Adyacente con un mejor valor

de Z.

Mejorando la Solucin

Definicin. Una Solucin bsica factible Adyacente difiere de la solucin bsica factible actual, en solo una variable bsica.

Solucin bsica factible Adyacente

1. Definir una variable bsica como no bsica.

2. Definir una no bsica de reemplazo de la bsica

saliente.

Siempre y Cuando mejore el valor de Z.

Observe que:

1. Variables bsicas asumen valores positivos y las no

bsicas cero.

2. Una no bsica se convierte en bsica aumentando

su valor de cero a una cantidad positiva.

Beneficio Relativo: (Referido a una variable no bsica j).

Para la base actual, la optimalidad es chequeada calculando los beneficios relativos de todas las variables no bsica y en caso de no cumplirse; la nueva base se empieza a formar eligiendo aquella de mejor aporte.

Chequeo de optimalidad

j

jx

zc

Hacer estas operaciones calculando el indicador de optimalidad:

Resumen del Mtodo Simplex

Paso 1. Comenzar con una S. B. F. cannica

.

Paso 2. Optimalidad?

Paso 3 Seleccionar VNB que ingresa a la base

Paso 4 Determinar VB. Que abandona la base

Aplicar regla razn mnima

Paso 5 Generar nuevo sistema. Y volver a Paso 2.

Mtodo Simplex en Forma de Tableu

(4) (3)

(2) (1)

0

743

822

..

325

5321

4321

54321

jx

xxxx

xxxx

as

xxxxxzMax

(5)

Resumen de pasos. (Max z, Min z)

1. Expresar el problema en forma estndar.

2. Comenzar con una solucin factible bsica inicial en forma cannica y

plantear la Tabla inicial.

3. Usar producto interno para encontrar los beneficios relativos

4. Si todos los no aportan al objetivo la solucin actual es ptima. De otro

modo seleccionar la no bsica para que entre a la base.

5. Aplicar razn mnima para determinar la variable que deja la base.

6. Ejecutar operacin pivote para obtener la nueva tabla.

7. Calcular beneficios relativos. Retorne al paso 4.

jc

jc

Resolver por el mtodo Simplex el siguiente problema (Caso 1):

0;3

1423

42..

23

21

21

21

21

jxxx

xx

xxas

xxzMax

(1)

(3) (4)

(2)

0;;

40322

3033.

634

321

321

321

321

xxx

xxx

xxxas

xxxzMax

EJERCICIO

(Caso 2)

0;;

722

84

1053.

42

321

31

321

321

321

xxx

xx

xxx

xxxas

xxxzMax

EJERCICIO (Caso 3)

Max Z = -3X1 + X2 + X3 X1 - 2X2 + X3 = 3 2X1 - X3 = -1 Convertir a forma estndar. Max Z = -3X1 + X2 + X3 Sujeto a: X1 - 2X2 + X3 + X4 = 11 -4X1 + X2 + 2X3 - X5 = 3 -2X1 + X3 = 1 Xi >= 0 , i=1,5

7.- Uso de Variables Artificiales en el SIMPLEX

Cul es la Base XB?

Que Hacemos, No tenemos una Solucin Bsica, Inmediata?

Agregamos Dos V. Artificiales, Variables que no son parte del Problema, esto

no es un cambio en la forma si no un cambio en el fondo. El modelo que

resulta representa una realidad que no es nuestro problema

Este es un Modelo Artificial

X1 - 2X2 + X3 + X4 = 11 - 4X1 + X2 + 2X3 - X5 + X6 = 3 -2X1 + X3 + X7 = 1 Xi >= 0 , i=1,7 XB = (X4 , X6 , X7 ) X6 y X7 son V. Artificiales

Cual es la Funcin Objetivo que se usar?

Podemos inventarla?

Qu se persigue que nos oriente para inventarla?

Se asigna un valor M muy grande a cada coeficiente de V.a. presente en la funcin objetivo. -M si es maximizacin y M si es minimizacin. En el ejemplo anterior se asigna un valor M grande como costo a la variables X6 y X7. Luego Min W = -3X1 + X2 + X3 + MX6 + MX7

7.1.- Mtodo de la M grande.

X1 - 2X2 + X3 + X4 = 11 - 4X1 + X2 + 2X3 - X5 + X6 = 3 -2X1 + X3 + X7 = 1 Xi >= 0 , i=1,7

S.a

cj

Cte. CB XB X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X

X

X

jc

cj


X

X

jc


Min Z = -3X1 + X2 + X3 + MX6 + MX7

cjCB XB X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 Cte.

X

X

X

jc


X

X

X

jc

Fase 1. Usando un modelo artificial, encontrar una solucin bsica inicial al problema original. Fase 2. La solucin bsica encontrada se optimiza con respecto a la funcin objetivo original. La Tabla final de la fase 1 es la Tabla inicial para la fase 2.

7.2.- El Mtodo de las Dos Fases.


Min W = X6 + X7

S.a:

cj


X

X

jc

cj


X

X

jc


Min W = X6 + X7


X

X

X

jc


X

X

X

jc

simplex investigacion operativa

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