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Sólido Rígido
Miguel Ángel Otaduy
Animación Avanzada 6 de Febrero de 2014
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Vídeo Juegos
Batman: Arkham Asylum (nVidia Physx)
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Índice
• Cinemática – Traslación, rotación – Velocidad lineal, velocidad angular
• Dinámica – Conservación del momento, 2ª ley de Newton – Masa, inercia, momento angular, par/torque
• Implementación – Integración – Impacto – Rotación – detalles – Cuaterniones – Referencias – Librerías
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Grados de Libertad Sólido Deformable Vs. Sólido Rígido
Deformable: • Fuerzas entre partículas
Deformación • Discretización: n partículas • 3n grados de libertad
Rígido: • Fuerzas entre partículas
Deformación inapreciable • Discretización: traslación y
rotación • 6 grados de libertad
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Traslación y Rotación
Posición del punto en coordenadas locales
Posición del centro de masas
Matriz de rotación
Posición del punto en coordenadas globales
Sistema local
Sistema global
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Rotación: Opciones
• La rotación tiene 3 grados de libertad, pero no hay una opción estándar para describirla: –Ángulos de Euler. 3 valores, pero difícil
de operar. –Matriz de rotación. 9 valores. –Cuaternión (quaternion). 4 valores. – Teoría de tornillos (screw motion). –…
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Matriz de Rotación
Sistema local
Sistema global
¿Pero cómo calculamos la rotación ?
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Matriz de Rotación
• Propiedades: –Sus columnas son los ejes rotados –Determinante unidad –Ortonormal
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Velocidad
• Velocidad lineal • Velocidad angular
– Módulo: velocidad de giro (rad/s)
– Dirección: vector alrededor del cual se gira
• Velocidad de un punto:
Coordenadas locales del punto
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Velocidad Vs. Derivada del Estado
• Velocidad lineal = derivada de la posición del centro de masas
• La velocidad angular NO es la derivada de la matriz de rotación
El producto vectorial es una transformación lineal, por lo que se puede representar como una matriz
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Dinámica de una Partícula
• 2ª Ley de Newton:
Momento Lineal
• Conservación del Momento Lineal: – En ausencia de fuerzas, el momento lineal no cambia. – La 2ª ley de Newton es un caso particular de la
conservación del momento lineal, para masa constante.
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Conservación del Momento Aplicación al Sólido Rígido
Sistema de partículas • Para una partícula: • Para todo el sistema:
Sólido rígido • Velocidad del sólido rígido:
• Ecuaciones dinámicas:
Se reescribe la ley de conservación del momento para el sistema de partículas, pero utilizando las velocidades de sólido rígido
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Dinámica del Sólido Rígido
• Traslación:
• Rotación:
Fuerza total sobre el sólido
Masa total del sólido
Aceleración del centro de masas
Variación del momento lineal
Par/torque total sobre el sólido
Variación del momento angular
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Par / Torque
Coordenadas locales del punto
• “Fuerza” aplicada fuera del centro de masas, y que hace girar
• Se puede interpretar como dos fuerzas de igual magnitud pero contrapuestas
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Momento Angular
Tensor de inercia Velocidad angular Momento angular
• Mide la velocidad a la que gira la masa; tiene en cuenta la distribución de masa en el objeto
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Masa e Inercia
• Centro de masas: – Cada partícula tiene su propio momento. – Hallar un punto que, al aplicar en él la masa total,
el momento lineal sea el mismo.
Integral sobre el volumen
Densidad
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Masa e Inercia
• Tensor de inercia – Representa la distribución de masa en el objeto;
resistencia a acelerar con respecto a varios ejes.
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Rotación e Inercia
• Al variar la rotación del objeto, varía su tensor de inercia.
• Pero se puede calcular de manera sencilla conociendo la rotación:
• Incluso la inversa es sencilla:
Tensor de inercia en coordenadas locales
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Ecuaciones de Newton-Euler
• Traslación:
• Rotación: – Se aprecia la influencia de la variación de inercia. – Para la rotación hay dos posibles ec.
diferenciales: con momento angular o con velocidad angular.
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Integración Numérica
• Integración por Euler simpléctico: 1. Sumar fuerzas
2. Integrar traslación
3. Integrar momento angular
4. Calcular velocidad angular
5. Integrar rotación
6. Reparar rotación
7. Calcular momento de inercia
aprox.
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Integración Numérica
• Para un sólido rígido en movimiento libre, suele ser suficiente con Euler simpléctico.
• Puede que necesitemos Euler implícito si tenemos muelles muy rígidos.
• Los cuerpos alargados tienen poca inercia alrededor del eje principal, y también dan más problemas en la integración explícita.
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Ortonormalización de la Rotación
• Al integrar la rotación, deja de ser ortonormal. • Algoritmo de ortonormalización (p.ej. Gram-
Schmidt).
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Cuaterniones
• Definición del cuaternión mediante vector y ángulo
• La rotación de un vector se puede expresar mediante un producto de cuaterniones.
• Ventajas: utilizando cuaterniones es sencillo interpolar rotaciones.
• Derivada de la rotación usando cuaterniones
Eje de rotación
Ángulo
Cuaternión formado por la velocidad angular y s=0
Producto de cuaterniones
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Investigación Sólido Rígido
• Algoritmos de resolución de contacto entre pilas de sólidos
• Control de trayectorias (animación dirigible)
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Referencias
• Notas de Baraff y Witkin • Libro de Erleben • ‘Dynamics of Multibody Systems’,
Shabana. • ‘Fast and accurate computation of
polyhedral mass properties’, Journal of Graphics Tools. B. Mirtich.
• Librerías: Bullet, ODE, Havok, nVidia Physx…