simulacion de pi a traves de excel

8/16/2019 Simulacion de Pi a Traves de Excel

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Simulador el Valor de PI según el Método de Montecarlo

Utilizando Excel

Purihuaman Céspedes Dawer

Rafael Mendoza Juan

Resumen

Mediante el uso de la herramienta de Excel y el Método de Montecarlo

se da una demostración elemental de la existencia del número π, así

como un cálculo aproximado del mismo.

Palabras y frases clave: númeroπ

, Excel, Método de Montecarlo,

tangente.


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IO-II PURIHUAMAN CESPEDES DAWER

RAFAEL MENDOZA JUAN

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1 Introducción:

El número π (pi) es la relación entre la longitud de una circunferencia y su diámetro, en geometría euclidiana.

Es un número irracional y una de las constantes matemáticas más importantes.

Se emplea frecuentemente en matemáticas, física e ingeniería.El valor numérico de π, truncado a sus primeras cifras, es el siguiente: 3,1415.

El valor de π se ha obtenido con diversas aproximaciones a lo largo de la historia, siendo una de las constantes

matemáticas que más aparece en las ecuaciones de la física, junto con el número e.

Por ello, tal vez sea la constante que más pasiones desata entre los matemáticos profesionales y aficionados. La

relación entre la circunferencia y su diámetro no es constante en geometrías no euclídeas.

La notación con la letra griega π proviene de la inicial de las palabras de origen griego "περιφέρεια" (periferia) y

"περίμετρον" (perímetro) de un círculo, notación que fue utilizada primero por William Oughtred (1574 -1660), y

propuesto su uso por el matemático galés William Jones (1675-1749)1, aunque fue el matemático Leonhard Euler,

con su obra «Introducción al cálculo infinitesimal» de 1748, quien la popularizó.

El valor aproximado de π en las antiguas culturas se remonta a la época del escriba egipcio Ahmes en el año 1800

a. C., descrito en el papiro Rhind, donde se emplea un valor aproximado de π afirmando que: el área de un círculo

es similar a la de un cuadrado, cuyo lado es igual al diámetro del círculo disminuido en 1/9, es decir, igual a 8/9 del

diámetro.

Este número es el protagonista de nuestra historia. Vamos a ver en este artículo algunas ideas que han surgido

alrededor del intento de comprender y calcular este importante número que ha fascinado a artistas y matemáticos

desde la antigüedad. Empezaremos recordando el clásico problema griego de la cuadratura del círculo y cómo este

problema hace necesario el cálculo del número π de la manera más exacta posible. Comentaremos a continuación

algunos intentos históricos de conseguir calcularlo, pasando por Arquímedes, Leibniz y Euler, hasta llegar a técnicas

probabilísticas y de cálculo numérico que, gracias al desarrollo del ordenador, permiten hoy en día calcular elnúmero π con una tremenda rapidez y exactitud. Veremos finalmente una cronología (no exhaustiva) del cálculo

de decimales de π y comentaremos brevemente algunos problemas y cuestiones abiertas en torno al número π.

2 Antecedentes:

Para calcular el área de un círculo, los egipcios utilizaban un cuadrado de lado 8/9 del diámetro del círculo, valor

muy cercano al que se obtiene utilizando la constante pi (3,14).

"Uno de los documentos más importantes de origen egipcio es el "Papiro Rhind" que data del siglo XVII a.C. En

dicho papiro aparece un método para calcular el área de un círculo. Este conocimiento, según el copista, es anterior

al siglo XIX a.C.

La regla para calcular el área dice: tomar el diámetro. Restar la novena parte. De esta diferencia tomar nuevamente

la novena parte y restar de la anterior. Multiplicar el resultado por el diámetro. Tal es el área del círculo.

Pi, letra griega (π) usada en matemáticas como el símbolo del cociente entre la longitud de la circunferencia y su

diámetro.

El matemático griego Arquímedes afirmó correctamente que el valor de Pi se encuentra entre 3 +1/7 y 3 + 10/71".

El valor asignado a pi surgía de un círculo cuyo diámetro era un número entero y su longitud un número muy

próximo a otro entero.

Trata de descubrir cuáles eran estas dimensiones en el siguiente simulador, en donde variarás el valor del diámetro

y observarás los valores de las longitudes de circunferencias correspondientes.

Efectivamente, se tomaba como referencia una circunferencia de diámetro igual a 7 y longitud muy próxima a 22.

1 Chern, S. S. On the 2002 Congress, Notices of AMS, 48, 8, 2001


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22/7 = 3,1428571

"En 1652, William Oughtred utilizó π /δ para referirse al cociente entre la circunferencia y el diámetro, usando sin

duda la letra griega π (pi) para indicar la circunferencia o periferia y la letra δ (delta) para indicar el diámetro."

"El símbolo π fue usado por primera vez para representar esta razón en 1706 por el matemático inglés WilliamJones, pero su uso no se generalizó hasta su adopción por el matemático suizo Leonhard Euler en 1737.

En 1882 el matemático alemán Ferdinand Lindemann demostró que pi es un número trascendente, esto es, no

puede ser la raíz de una ecuación polinómica con coeficientes racionales. De esta manera, Lindemann fue capaz de

demostrar la imposibilidad de la cuadratura del círculo algebraicamente o usando la regla y el compás.

Aunque pi es un número irracional, es decir, tiene un número infinito de cifras decimales, se puede calcular con la

exactitud deseada utilizando series. Pi ha sido calculada con cien millones de cifras decimales utilizando

ordenadores, aunque esta precisión carece de utilidad práctica."

3.-Metodologia Utilizada:

Método de Montecarlo

Para la simulación con el método Montecarlo2 se procedió siguiendo la forma en que se desarrolla este método, la

cual se encuentra en las instrucciones de este taller como también en la web, se utilizó una planilla en Excel para

realizar los cálculos con 100 ensayos. Los resultados fueron los siguientes:

• Simulación con 100 ensayos: (π = 3.145)

No se mostraran todos los resultados por ser muy extensos.

2 Montecarlo científico propuso una forma de llegar al número pi


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A continuación se pueden observar algunos de los primeros cálculos de este experimento

Los resultados obtenidos nos dan una clara idea de la existencia del número pi y nos dan una aproximación

3 Se muestra la sección del documento de Excel en el cual se ha realizado la simulación del Método de Montecarlo


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4.-Conclusiones:

El experimento demuestra la existencia de pi como una constante

Demuestra que el uso de EXCEL como una plataforma de hallar la existencia de pi

El uso de números aleatorios y el método de Montecarlo son eficientes para hallar una aproximación api

Pi es uno de los pocos conceptos en las matemáticas, cuya mención evoca una respuesta de reconocimiento y el

interés en aquellos que no se traten profesionalmente con el tema.

Ha sido una parte de la cultura humana y la imaginación, estudiado durante más de veinticinco siglos.

El cálculo de Pi es prácticamente el único tema de los más antiguos estratos de las matemáticas que es aún de

gran interés para la investigación matemática moderna.

Ya en la época de las computadoras, uno de los modos de comprobar la eficacia de las maquinas era usarla para

calcular decimales de Pi, en 1949 una computadora ENIAC calculó 2037 decimales en 70 horas, en 1966 un IBM

7030 llego a 250.000 cifras decimales en 8 h y 23 min. y ya en el siglo XXI, en el año 2004 un superordenador

Hitachi estuvo trabajando 500 horas para calcular 1,3511 billones de lugares decimales.

5.-Referencias Bibliográficas

BOBENRIETH ASTETE, M.A. (1998). “Introducción a la Geometria”. En: Burgos Rodríguez R. Metodología de

investigación y escritura científica en clínica. Parte IV. Granada. Escuela de Matemática.

Cuellar Carvajal, Juan Antonio (2005). Matemáticas II para Bachillerato (1ra Edición). México: Editorial McGrawHill.

Baley, John D.; Sarell, Gary (2004). Trigonometría. (3ra Edición). México: McGrLlal Hornsby (2006). Trigonometría.

(1ra Edición). México: Editorial Pearson.

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