simulación en ing. eléctrica - integración numérica
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Informe 6 Simulación en Ing. Eléctrica - Integración numéricaTRANSCRIPT
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Simulación en Ingeniería Eléctrica
ELI-213
INFORME: GUÍA DE TRABAJO N° 6
INTEGRACIÓN NUMÉRICA
Profesor: - Esteban Gil Sagás
Integrantes: - Sebastián Flores Carrasco
- Carlos Vergara Branje
Fecha: 13/06/2014
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Pregunta 1:
Pregunta 2: Con el fin de conocer la influencia del campo magnético sobre las propiedades eléctricas de ciertos gases se realiza un experimento consistente en lanzar una partícula
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cargada eléctricamente dentro de un recipiente que contiene el gas. El experimento consiste en arrojar la partícula de manera perpendicular a la dirección de un campo magnético de magnitud H 0 y registrar el movimiento de la partícula en el recipiente. El movimiento de una partícula estuvo caracterizado por una curva paramétrica (espiral logarítmica) determinada por:
x (t )=3cos (t ) e−0.04 t [cm ] ,t ∈ [0,100 ] y (t )=3sin (t ) e−0.04 t [cm ] ,t∈ [0,100]
La distancia d (t ) que recorre la partícula hasta el instante t se puede determinar mediante integración (largo de un arco para funciones paramétricas):
d (t )=∫0
t
√x ' ( t )2+ y ' (t )2
a) Grafique la trayectoria de la partícula y obtenga una expresión para d (t ). Programe el integrando de d (t ) como una función en Matlab.
b) Divida el intervalo de tiempo [0,100] en n sub-intervalos para distintos valores de n. Utilice los métodos del trapecio, de Riemann y de Simpson para estimar la distancia recorrida por la partícula para cada valor de n (paso h=100/n). Compare gráficamente la convergencia de cada método en la medida que n crece.
c) Usando valores tabulados para los pesos y nodos, estime la distancia recorrida por la partícula utilizando integración de Gauss-Legendre para n=1 ,… ,5 nodos.
d) Usando la función 'lgwt.m' provista en la página web, estime la distancia recorrida por la partícula usando integración de Gauss-Legendre para n>5 nodos y muestre gráficamente como converge.
Solución:
a) Primero se define la función del integrando en Matlab, según el siguiente código:
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Luego se grafica el movimiento se la partícula, teniendo las componentes definidas del movimiento en el plano de x e y, según el siguiente código:
Lo que arroja el siguiente gráfico:
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Comenzando el movimiento en el punto (3,0). Como se aprecia en el gráfico, la partícula sigue una trayectoria paramétrica, según el comportamiento de las componentes x e y.
b) Se programa el siguiente código, en el cual se utiliza la función creada anteriormente:
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Lo que entrega el siguiente gráfico:
Como se observa en el gráfico, la integración que converge más rápido es por método de Simpson, siendo necesario solo un par de sub-intervalos. Luego le sigue el método del trapecio, el cual se acerca la integral definida un poco después de los 10 sub-intervalos.
Por último, la integral por suma de Riemann es la que converge más lento, siendo necesario unos 80 sub-intervalos, aunque no converge como lo llega a ser por método Simpson o Trapecio.
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c) Con los valores tabulados de pesos y nodos presentados en el marco teórico, y dada la trasformación lineal necesaria para cambiar los límites de integración, se programó el siguiente código en Matlab:
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Lo que entrega los siguientes valores:
Nodos Distancia Recorrida [cm]1 40.6330524571567722 70.8686138972702653 73.5919932211178184 73.6835523580093225 73.685186352230787
Considerando que la integral definida es de 73.685204603416452, desde los 3 nodos se puede decir que se acerca al valor real, aunque desde los 4 nodos el valor respecto al real tiene una diferencia de punto flotante en el orden 10−3, lo que es poco como error porcentualmente.
d) Usando la función programada 'lgwt.m' se analizó el caso para 5<n≤15, según el siguiente código:
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Lo que entrega los siguientes valores de integración por cantidad de nodos:
Nodos Distancia Recorrida [cm]6 73.6852044657793787 73.6852046026629358 73.6852046034134109 73.68520460341649410 73.68520460341642311 73.68520460341633812 73.68520460341640913 73.68520460341640914 73.68520460341646615 73.685204603416324
Gráficamente:
Se tiene que la integral definida es de 73.685204603416452 (distancia recorrida real), y como se aprecia, sobre los 5 nodos es muy parecido por método de integral de Gauss-Legendre.
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Como observación, se aprecian subidas y caídas de valor de integral entre nodos, no siendo un comportamiento lineal a medida que se tengan más nodos. Como se está cerca del valor real, existiendo variaciones de punto flotante del orden 10−12, las crecidas y caídas se pueden atribuir a un error de truncamiento por parte del programa.
De todas formas, un error de ese orden es bajo, por lo que ya 6 nodos serían considerados como buena cantidad para integrar.