simulasi sistem bonus malus (studi kasus · pdf fileabstrak simulasi sistem bonus malus (studi...

SIMULASI SISTEM BONUS MALUS (STUDI KASUS BELGIA)

TESIS

Karya tulis sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Magister dari

Institut Teknologi Bandung

Oleh BENNY IRAWAN

NIM : 20804003 Program Studi Aktuaria

INSTITUT TEKNOLOGI BANDUNG 2007


Oleh

BENNY IRAWAN NIM : 20804003

Program Studi Aktuaria Institut Teknologi Bandung

Menyetujui, Tim Pembimbing

Tanggal 12 September 2007

Pembimbing I Pembimbing II

Dr. Sutawanir Darwis Dumaria R. Tampubolon M.Sc NIP : 130515683 NIP : 131855593

Kupersembahkan Tesis ini untuk kedua orang tuaku tercinta dan seorang wanita

yang paling aku cintai Nurita Taurisia Dasman

DAFTAR RIWAYAT HIDUP

Nama : Benny Irawan

Tempat Tanggal Lahir : Balikpapan, 05 Oktober 1981

NIM : 20804003

Jenis Kelamin : Laki-laki

Agama : Islam

Anak ke : 1 dari 2 bersaudara

Nama Ayah : Sudirman Benyamin

Nama Ibu : Mariati

Alamat : Jl. Kawaluyaan Indah I No. 26 Bandung 40286

Email : [email protected]

Pendidikan formal :

1. Taman Kanak-kanak (TK) Hang Tuah Balikpapan (1987)

2. Sekolah Dasar (SD) Kemala Bhayangkari (1993)

3. Sekolah Menengah Pertama (SMP) Negeri 2 Bandung (1996)

4. Sekolah Menengah Umum (SMU) Negeri 5 Bandung (1999)

5. Program Khusus Diploma II ITB, Jurusan Informatika (2001)

6. Universitas ARS Internasional, Jurusan Manajemen Bisnis Internasional (2003)

7. Magister Aktuaria, Institut Teknologi Bandung (2007)

ABSTRAK


Oleh


Kegiatan bisnis asuransi dapat diklasifikasikan menjadi: asuransi jiwa, anuitas,

dana pensiun, asuransi kesehatan, dan asuransi non-jiwa yang bisa juga disebut sebagai asuransi umum atau asuransi kecelakaan dan harta benda. Akhir-akhir ini di Indonesia banyak sekali terjadi kecelakaan transportasi, seperti: kecelakaan pesawat terbang, kapal/ferri, kereta api, dan tidak terhitung banyaknya kecelakaan mobil. Penelitian di bidang asuransi kecelakaan transportasi dan penggunaan metode aktuaria untuk menangani masalah resiko keuangan akibat kecelakaan tersebut sudah berkembang pesat di banyak negara lain; tetapi belum dikembangkan secara optimal di Indonesia. Tujuan penelitian di bidang asuransi kecelakaan transportasi, antara lain, adalah untuk berkontribusi dalam memberikan perlindungan terhadap risiko kerugian finansial akibat kecelakaan transportasi; dan untuk memotivasi masyarakat dalam meningkatkan keamanan bertransportasi. Tesis ini menjadi bagian dari sebuah langkah awal penelitian untuk mencapai tujuan-tujuan tersebut.

Di banyak negara maju, setiap pemilik maupun pengendara mobil diwajibkan memiliki automobile third-party liability insurance. Apabila terjadi kecelakaan mobil, automobile third-party liability insurance melindungi pemegang polis terhadap kerugian yang dialami pihak ke-tiga atas kerusakan kenderaannya maupun atas kecelakaan yang menimpa dirinya. Automobile third-party liability insurance juga melindungi pemegang polis terhadap kerugian yang dialami oleh penumpang yang berada di dalam kendaraan pemegang polis tersebut. Sistem bonus-malus merupakan suatu sistem penentuan premi yang memberikan penalti (malus) apabila pemegang polis mengajukan satu atau lebih klaim, dengan cara menaikkan premi yang bersangkutan di tahun berikutnya; dan memberikan bonus apabila pemegang polis tidak mengajukan klaim, dengan cara menurunkan premi yang bersangkutan di tahun berikutnya. Untuk memahami sistem bonus-malus, tesis ini mengusulkan pendekatan simulasi karena penulis mengalami kesulitan mendapatkan data yang representatif dari asuransi kecelakaan mobil Indonesia. Banyaknya klaim dimodelkan dengan Binomial Negatif, Poisson-Inverse Gaussian, dan Good-risk/bad-risk. Keluaran (output) dari tesis ini adalah tabel premi berdasarkan ketiga model tersebut. Perhitungan premi dilakukan menggunakan metode Bayesian (khususnya, ekspektasi posterior) karena dengan metode ini, pengalaman mengemudi (claim history) setiap pemegang polis turut diperhitungkan. Apabila penelitian di bidang asuransi kecelakaan mobil menggunakan data Indonesia ingin dilakukan, maka tesis ini merekomendasikasikan pembentukan sistem basis data (database) terintegrasi dari bisnis asuransi kecelakaan mobil di Indonesia. Kata Kunci : Sistem Bonus Malus, Third Party Liability Insurance

ABSTRACT

SIMULATION BONUS MALUS SYSTEM (CASE STUDY BELGIUM)

By


Insurance businesses are classified as: life insurance, annuities, pension fund,

health insurance and non-life insurance (also called general insurance or casualty and property insurance). Lately, Indonesia faces so many accidents: airplanes, ships/ferries, trains; not to mention the already frequent car accidents. These are examples of the risk of financial loss from non-life insurance events. Research in actuarial studies and in using the actuarial approach to solve financial risk problems is well developed overseas; but not yet developed in Indonesia. Some of the aims of conducting research in, for example, car insurance and airline insurance, are to contribute (to the community) protection against the risk of financial loss and to increase safety. This study is part of an initial stage of research which attempt to contribute in attaining these objectives. In most developed countries, automobile third-party liability insurance has been made compulsory; as owning and/or driving a vehicle means taking risks not just for oneself but also for others. Automobile third-party liability insurance, in general, covers the insured against accidental damage to a third party vehicle, injury to third parties and liability to passengers in the policyholder's vehicle. Bonus Malus Systems (BMS) are rating systems which penalize the insured responsible for one or more accidents by an additional premium or malus, and reward claim-free policyholder, by awarding a discount or bonus. To better understand the system, and due to the inaccessibility to a representative Indonesian car insurance data, this thesis presents a simulation study of BMS based on the number of claims of each policyholder. The claim number is modeled by: Negative-Binomial; Poisson-Inverse-Gaussian; and Good-risk/bad-risk models. To evaluate the goodness of a fit, the (standard) chi-square test is used. A quantitative study of the transition matrix of BMS is carried out. To enable research in this area using Indonesian data, we recommend the development of a database system for Indonesian car insurance data. Keyword: Bonus - Malus System, Third Party Liability Insurance, Negative Binomial, Poisson-Inverse Gaussian, Good-risk/Bad-risk, Chi-square Test

PEDOMAN PENGGUNAAN TESIS

Tesis S2 yang tidak dipublikasikan terdaftar dan tersedia di Perpustakaan Institut

Teknologi Bandung, dan terbuka untuk umum dengan ketentuan bahwa hak cipta ada

pada pengarang dengan mengikuti aturan HaKI yang berlaku di Institut Teknologi

Bandung. Referensi kepustakaan diperkenankan dicatat, tetapi pengutipan atau

peringkasan hanya dapat dilakukan seizin pengarang dan harus disertai dengan kebiasaan

ilmiah untuk menyebutkan sumbernya.

Memperbanyak atau menerbitkan sebagian atau seluruh tesis haruslah seizin

Direktur Program Pascasarjana, Institut Teknologi Bandung.

KATA PENGANTAR

Segala puji bagi Allah SWT, atas segala limpahan nikmat, rahmat dan hidayah-

Nya, khususnya kepada Penulis, sehingga Penulis dapat menyelesaikan tesis ini dengan

sebaik-baiknya. Shalawat dan salam dilimpahkan kepada junjungan kita Nabi Allah,

Muhammad SAW sebagai penyempurna akhlaq manusia.

Dengan mengambil judul “SIMULASI SISTEM BONUS MALUS (STUDI

KASUS BELGIA)”, tesis ini disusun sebagai salah satu syarat untuk menyelesaikan studi

program strata dua (S2) pada Program Studi Aktuaria, Fakultas Matematika dan Ilmu

Pengetahuan Alam (FMIPA), Institut Teknologi Bandung.

Dengan segenap kerendahan hati, pada kesempatan ini penulis ingin

menyampaikan ucapan terima kasih yang setinggi-tingginya kepada:

1. Kedua Orang Tua, yang telah membesarkan, mendidik, serta membimbing penulis

dengan penuh kesabaran, pengertian, liimpahan rasa kasih kasih sayang, dan telah

memberikan dorongan baik moril maupun materil serta tidak berhenti-hentinya

berdoa buat penulis.

2. Nenekku dan adikku tercinta, yang telah memberikan kasih sayangnya, doa, dan

perhatiannya kepada penulis untuk menyelesaikan tesis ini.

3. Bapak Dr. Sutawanir Darwis dan Ibu Dr. Dumaria Rulina Tampubolon, selaku

pembimbing yang telah memberikan waktu, tenaga, pemikiran-pemikiran, dan ilmu

pengetahuan kepada penulis dalam membuat tesis ini.

4. Bapak Dr. Muhammad Syamsuddin dan Bapak Dr. Rianto Ahmadi Djojosugito

FSAI yang telah berkenan menjadi tim penguji pada seminar tesis penulis dan

memberikan banyak masukan serta saran-saran terhadap tesis penulis.

5. Bapak Aceng Komaruddin Mutaqien S.Si, M.T yang telah memberikan kontribusi

yang sangat besar kepada penulis dalam membuat tesis ini.

6. Ibu Nurtiti Sanusi, Bapak Hengky, dan Seluruh Mahasiswa Program Doktor

Matematika ITB atas segala sumbangsih pemikirannya kepada penulis sehingga

penulis dapat menyelesaikan tesis ini.

7. Staf pengajar Aktuaria ITB, atas segala limpahan ilmu yang bermanfaat kepada

penulis selama masa perkuliahan.

8. Staf tata usaha ITB dan seluruh Staf di Departemen Matematika ITB atas

bantuannya kepada penulis selama penulis menjadi mahasiswa ITB.

9. Nurita Taurisia Dasman S.H, yang selalu memberikan cinta, kasih sayang, dan doa

yang tulus kepada penulis sehingga penulis dapat menyelesaikan tesis ini.

10. Bapak dan Ibu Dasman Skanni, yang telah memotivasi dan memberi semangat

penulis untuk segera menyelesaikan tesis ini.

11. Aktuaria angkatan 2004 dan 2006, yang selalu memberikan dukungan, semangat,

doa, dan persahabatan yang membuat penulis mendapatkan nilai yang tak terkira.

12. Semua pihak yang tidak dapat disebutkan namanya satu-persatu.

Penulis menyadari bahwa tesis ini masih jauh dari sempurna. Hal ini disebabkan

oleh keterbatasan pengetahuan, kemampuan, dan waktu yang penulis miliki. Oleh karena

itu, segala kritik dan saran merupakan sesuatu yang sangat berharga bagi penulis. Semoga

tesis ini dapat bermanfaat bagi penulis khususnya dan pembaca umumnya.

Akhir kata dengan ketulusan dan kerendahan hati, penulis panjatkan doa semoga

Allah SWT membalas budi baik serta melimpahkan rahmat-Nya kepada semua pihak

yang telah memberikan bantuannya, Amin.

Bandung, September 2007

Penulis

DAFTAR ISI

ABSTRAK i

ABSTRACT ii

PEDOMAN PENGGUNAAN TESIS iii

KATA PENGANTAR iv

DAFTAR ISI vi

DAFTAR LAMPIRAN vii

DAFTAR GAMBAR viii

DAFTAR TABEL ix

BAB 1 PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang 1 1.2 Identifikasi Masalah 1 1.3 Tujuan Penelitian 2 1.4 Metodologi 2 1.5 Sistematika Penulisan Tesis 2

BAB 2 TEORI PENDUKUNG

2.1 Sistem Bonus Malus 3 2.2 Pemodelan Number of Claims 5 2.3 Simulasi Sistem Bonus Malus 7

BAB 3 PEMBAHASAN

3.1 Model Binomial Negatif 8 3.2 Model Poisson-Inverse Gaussian 10 3.3 Model Good-risk/Bad-risk 13

BAB 4 KESIMPULAN DAN SARAN

4.1 Kesimpulan 15 4.2 Saran 15

DAFTAR PUSTAKA 16

DAFTAR LAMPIRAN LAMPIRAN A Data Lemaire (1995) 17

LAMPIRAN B Premi Model Binomial Negatif, Poissson-Inverse

Gaussian, dan Good-risk/Bad-Risk 19

LAMPIRAN C Listing Program 24

DAFTAR GAMBAR GAMBAR 3.1 Plot perbandingan premi Lemaire dengan

simulasi untuk model binomial negatif 10

GAMBAR 3.2 Plot perbandingan premi Lemaire dengan

simulasi untuk model Poisson-Inverse Gaussian 12

GAMBAR 3.3 Plot perbandingan premi Lemaire dengan

simulasi untuk model Good-risk/Bad-risk 14

DAFTAR TABEL TABEL 3.1 Simulasi ( )ˆ ˆ1,6049, 15,8778momen momenBN a τ= = 8

TABEL 3.2 Premi ( )ˆ ˆ1.8287, 18,1815momen momenBN a τ= = 8

TABEL 3.3 Simulasi ( )ˆ ˆ1,6131, 16,1384MLE MLEBN a τ= = 9

TABEL 3.4 Premi ( )ˆ ˆ1.5157, 15, 2363MLE MLEBN a τ= = 9

TABEL 3.5 Simulasi ( )ˆˆ 0,10108, 0,06297momen momenPIG g h= = 10

TABEL 3.6 Premi ( )ˆˆ 0,100947, 0,06875momen momenPIG g h= = 11

TABEL 3.7 Simulasi ( )ˆˆ 0,10108, 0,06298MLE MLEPIG g h= = 11

TABEL 3.8 Premi ( )ˆˆ 0,100996, 0,060975MLE MLEPIG g h= = 12

TABEL 3.9 Simulasi ( )1 1 2ˆ ˆˆ 0,9112, 0,0762, 0,3567

momen momen momenGRBR a λ λ= = = 13

TABEL 3.10 Premi ( )1 1 2ˆ ˆˆ 0,9068, 0,0758, 0,3462

momen momen momenGRBR a λ λ= = = 13

Bab 1 Pendahuluan

1.1 Latar Belakang

Beberapa tahun belakangan ini perkembangan dunia asuransi mengalami kemajuan yang signifikan, terutama asuransi kendaraan bermotor. Asuransi ini melindungi konsumen dari risiko kecelakaan. Pada umumnya perusahaan-perusahaan asuransi kecelakaan mobil di dunia telah mewajibkan: (1) third party only (TPO), asuransi jenis ini hanya melindungi pemegang polis dari resiko kerusakan akibat kecelakaan yang disebabkan oleh pihak ketiga, kecelakaan (injury) pada pengemudi pihak ketiga, penumpang yang ikut bersama dengan kendaraan si pemegang polis, (2) third party, fire and theft (TPFT), asuransi ini memberikan manfaat kepada pihak pemegang polis terhadap resiko kebakaran, kerusakan akibat sesuatu yang berhubungan dengan listrik, ledakan, pencurian, percobaan pencurian, dan pencurian lainnya (taking without consent), (3) comprehensive car insurance, asuransi ini memberikan manfaat untuk semua resiko (all risk).

Perusahaan asuransi kecelakaan mobil di Indonesia belum mewajibkan third party automobile insurance kepada setiap pemegang polis. Di lain pihak, perhitungan premi belum sepenuhnya menggunakan prinsip-prinsip aktuaria sehingga pengelolaan asuransi kecelakaan mobil di Indonesia belum maksimal. Oleh karena itu data yang representatif dari asuransi kecelakaan mobil Indonesia sulit untuk diperoleh.

Sistem bonus malus merupakan salah satu sistem penentuan premi yang mempertimbangkan pengalaman mengemudi dari masing-masing pemegang polis dengan memberikan penalti kenaikan premi di tahun berikutnya jika terjadi klaim atau menurunkan premi jika tidak klaim atau mengajukan sedikit klaim di tahun berikutnya.

Di negara asia lainnya seperti: Jepang, Hongkong, Malaysia, dan Singapura sudah menggunakan sistem bonus malus ini pada setiap perusahaan asuransi kecelakaan mobil sehingga premi yang dihitung lebih proporsional.

Dalam tesis ini premi dihitung dengan ekspektasi posterior dan hanya melihat pengalaman mengemudi (claim history) masing-masing pemegang polis dengan melihat premi dasar yang telah ditetapkan sebelumnya. Besarnya klaim (claim severity) tidak diperhitungkan dalam menentukan premi. 1.2 Identifikasi Masalah Untuk mempelajari sistem bonus malus diperlukan database asuransi kecelakaan mobil yang lengkap dan akurat. Di Indonesia, database untuk asuransi kecelakaan mobil tersebut belum tersedia secara lengkap dan akurat. Oleh karena itu, untuk mempelajari sistem bonus malus ini dilakukan pendekatan simulasi. Simulasi yang dilakukan adalah simulasi invers (Ross, 1997).

1.3 Tujuan Penelitian

Tujuan jangka panjang dari penelitian ini adalah membangun sistem bonus malus untuk asuransi kendaraan bermotor di Indonesia. Secara khusus, penelitian ini dilakukan untuk mempelajari sistem bonus malus melalui pendekatan simulasi terutama perhitungan premi yang menggunakan ekspektasi posterior sebagai basis perhitungannya. 1.4 Metodologi

Langkah awal yang dilakukan pada peneltian ini adalah mengenerate 106974 data untuk setiap model, yaitu: Binomial Negatif, Poisson-Inverse Gaussian, dan Good-risk/Bad-risk. Masing-masing model disimulasikan dengan menggunakan parameter Lemaire (1995). Langkah berikutnya adalah membuat tabel distribusi banyaknya klaim dan tabel distribusi empiris untuk setiap model dalam satu portfolio, kemudian menentukan parameter baru untuk setiap model. Langkah selanjutnya adalah menentukan premi untuk masing-masing model berdasarkan parameter yang baru. Pada tahap akhir akan dibandingkan tabel premi yang diperoleh dari simulasi dengan tabel premi yang dilaporkan oleh Lemaire dengan plot grafik premi dari masing-masing model. 1.5 Sistematika Penulisan Tesis

Tesis ini terdiri dari 4 (empat) bab, yaitu: (1) Bab 1 merupakan pendahuluan yang memuat latar belakang penelitian dimana penulis menguraikan alasan dilakukannya penelitian sistem bonus malus, identifikasi masalah yang memuat arah dan batasan dari masalah sistem bonus malus, tujuan penelitian yang memuat kegunaan tesis ini dan implementasinya, dan sistematika penulisan tesis ini untuk mengarahkan pembaca agar dapat memahami tesis tersebut, (2) Bab 2 menguraikan teori pendukung yang berkenaan langsung dengan sistem bonus-malus, pemodelan banyaknya klaim, dan perhitungan premi, (3) Bab 3 berisi tabel hasil simulasi, tabel premi, plot perbandingan simulasi dengan Lemaire (1995), dan (4) Bab 4 berisikan kesimpulan dan juga saran penulis tentang penelitian lebih lanjut tentang sistem bonus malus.

Bab 2 Teori Pendukung

2.1 Sistem Bonus Malus

Sistem bonus malus Belgia mulai diterapkan tahun 1971 terdiri dari 18 kelas. Tahun 1995, sistem bonus malus menjadi 23 kelas (Tabel 2.1), { }0,1, , 22C = … .

Tabel 2.1 Sistem Bonus Malus Belgia

Kelas Premi Kelas Premi 22 200 10 81 21 160 9 77 20 140 8 73 19 130 7 69 18 123 6 66 17 117 5 63 16 111 4 60 15 105 3 57 14 100 2 54 13 95 1 54 12 90 0 54 11 85

Lemaire (1995;4) menjelaskan bahwa sistem bonus malus merupakan sistem yang memberikan penalti kepada pemegang polis apabila terjadi sekurang-kurangnya satu klaim dengan menaikkan premi di periode berikutnya dan memberikan penghargaan berupa penurunan premi jika tidak klaim atau mengajukan sedikit klaim. Pemegang polis dikelompokkan ke dalam satu kelas premi tertentu ( ),C T dengan { }1, , jC C C= … ,

( )( ){ }kk ijT T t= = . kT merupakan aturan transisi yang menentukan perpindahan pemegang

polis dari kelas yang satu ke kelas yang lain bila terjadi k klaim. Aturan ini diperkenalkan pada bentuk transformasi ( )( )k

k ijT t= , yang menjadi

( ) jiTk = jika polis berpindah dari kelas iC ke dalam kelas jC jika klaim ke- k

dilaporkan. kT juga dapat dituliskan dalam bentuk sebuah matriks ( )( )⎩

⎨⎧

≠=

=jiTjiT

Tk

kk jika ,0

jika ,1.

Pemegang polis bisa pindah ke kelas yang atas atau ke kelas yang bawah dari kelas sebelumnya. Lemaire (1995) melaporkan aturan transisi sistem bonus-malus Belgia 1995 (Tabel 2.2).

Tabel 2.2 Transisi Markov Sistem Bonus Malus Belgia

Kelas setelah k klaim

Kelas Premi 0 1 2 3 4 >4 Klaim

22 200 21.1 22 22 22 22 22 21.0 160 20.1 22 22 22 22 22 21.1 160 20.2 22 22 22 22 22 20.0 140 19.1 22 22 22 22 22 20.1 140 19.2 22 22 22 22 22 20.2 140 19.3 22 22 22 22 22 19.0 130 18.1 22 22 22 22 22 19.1 130 18.2 22 22 22 22 22 19.2 130 18.3 22 22 22 22 22 19.3 130 14 22 22 22 22 22 18.0 123 17 22 22 22 22 22 18.1 123 17.2 22 22 22 22 22 18.2 123 17.3 22 22 22 22 22 18.3 123 14 22 22 22 22 22 17 117 16 21.0 22 22 22 22

17.2 117 16.3 21.0 22 22 22 22 17.3 117 14 21.0 22 22 22 22 16 111 15 20.0 22 22 22 22

16.3 111 14 20.0 22 22 22 22 15 105 14 19.0 22 22 22 22

14 100 13 18.0 22 22 22 22 13 95 12 17 22 22 22 22 12 90 11 16 21.0 22 22 22 11 85 10 15 20.0 22 22 22 10 81 9 14 19.0 22 22 22 9 77 8 13 18.0 22 22 22 8 73 7 12 17 22 22 22 7 69 6 11 16 21.0 22 22 6 66 5 10 15 20.0 22 22 5 63 4 9 14 19.0 22 22 4 60 3 8 13 18.0 22 22 3 57 2 7 12 17 22 22 2 54 1 6 11 16 21.0 22 1 54 0 5 10 15 20.0 22 0 54 0 4 9 14 19.0 22

Dari tabel 2.2, jika pemegang polis pertama kali masuk di kelas 14 dengan nilai

premi 100 dan di tahun pertama pemegang polis tidak mengajukan klaim,maka di tahun berikutnya pemegang polis akan pindah ke kelas 13 dengan premi 95, akan tetapi jika mengajukan 1 klaim maka akan pindah ke kelas 18.0 dengan premi 123.

Dari aturan transisi pada Tabel 2.2 terlihat besarnya bonus terhadap premi ketika pemegang polis tidak mengajukan klaim atau mengajukan sedikit klaim yaitu 95 100% 5%

100× = dan dari Tabel 2.2 bisa dilihat juga besarnya penalti atau malus ketika

pemegang polis mengajukan sedikit klaim atau banyak klaim yaitu sebesar 100 100% 18,6%123

× = .

Peluang transisi ( )λijp adalah peluang pergerakan polis dari kelas tarif iC ke

jC dalam satu periode tertentu, untuk setiap pemegang polis dikarakterisasikan oleh

parameter λ , dengan intensitas ( ) ( ) ( )kij

kkij tpp ∑

∞

=

=0

λλ dengan ( )λkp merupakan peluang

tertanggung mengajukan k klaim. Matriks ( ) ( )( ) ( ) kk

kij TppM ∑∞

=

==0

λλλ dinamakan

matriks peluang transisi. Sistem bonus malus merupakan sistem penentuan premi bagi para pemegang polis

jika: 1. Portfolio dapat dikelompokkan menjadi kelas-kelas tertentu sehingga premi setiap

periode tergantung dari kelas dimana pemegang polis berada pada periode tersebut.

2. Kelas yang sebenarnya digambarkan secara unik oleh kelas periode sebelumnya dan banyaknya klaim yang terjadi selama periode tersebut.

2.2 Pemodelan Number of Claims Binomial Negatif

Misalkan ( )N t menyatakan banyaknya klaim dalam selang ( )0, t dan misalkan

( ) ( )N t PΛ Λ∼ dengan ( ),G a τΛ ∼ , maka

( )( ) 1 1 11 1 1

a kk aP N t k BN

kττ τ τ

+ −⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ + +⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠∼ dan posterior

( ) ( ),N t k G a k tτΛ = + +∼ , dengan k menyatakan banyaknya klaim yang dicover oleh perusahaan asuransi dan a menyatakan banyaknya klaim yang tidak dicover ke perusahaan asuransi. Distribusi ( )N t untuk model binomial negatif adalah

( )( ) ( ) ( ) ( )( )11 1k aP N t k P N t k

k τ+

= + = =+ +

, ( )( )01

a

P N t ττ

⎛ ⎞= = ⎜ ⎟+⎝ ⎠

Premi model binomial negatif adalah ( ) ( )( )1 1

100, , 100t t

a ka ktP k k a a t

τττ

τ

+

+++= =+

… ,

dengan ( )1 1, ,t tP k k+ … adalah premi pada selang waktu 1t + dengan pengalaman

mengemudi ( )1, , tk k… , 100 adalah premi dasar yang ditentukan sebelumnya,

1, , ta kE k k

tτ+

⎡Λ ⎤ =⎣ ⎦ +… merupakan ekspektasi distribusi posterior dari Λ dengan

pengalaman mengemudi ( )1, , tk k… dan aτ

adalah expected income perusahaan asuransi

per pemegang polis. Poisson-Inverse Gaussian

Selain model binomial negatif, pemodelan banyaknya klaim untuk portofolio asuransi yang heterogen dapat juga dimodelkan dengan model Poisson-Inverse Gaussian. Jika prior ( ),IG g hΛ ∼ maka posterior ( ) ( )( )2, 1N t PIG m g g hσΛ = = +∼ . Distribusi

marginal ( )N t untuk Poisson-Inverse Gaussian adalah:

( )( )( )

( )( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )

121 1 2

12

0

2

0 ;

1 1 2 , 1 2 1 ;

1 2 3 1 ( 2) 2,3,

g hhP N t e

P N t gp h h k k

P N t k h k k P N t k g P N t k k

⎡ ⎤− +⎢ ⎥

⎣ ⎦

−

= =

= = + + −

= = − − = − + = − = …

Premi model Poisson-Inverse Gaussian ( )1 1, ,t t kP k k Q μμβ+

⎛ ⎞= ⎜ ⎟

⎝ ⎠… , dengan

( ) 10 =uQ , ( ) ( )uQukuQ

kk

1

112

−

+−

= .

Good-risk/bad-risk

Pada model Good-risk/Bad-risk, portofolionya terdiri dua kategori 1a "good" drivers Poisson ( 1λ ) dan 12 1 aa −= "bad" drivers Poisson ( 2λ ).

Distribusi marginal ( )N t untuk Good-risk/Bad-risk adalah:

( )( )1 2

1 21 2! !

k ke eP N t k a ak k

λ λλ λ− −

= = +

Premi model Good-risk/Bad-risk adalah:

( ) ( ) ( ) ( )[ ]{ }21111111 ,,1,,1,, λλα tttt kkakkakkP ……… −++=+ ,

dengan ( )( ) ( )12

1

2

1

1

1111

1,,λλ

λλ −−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+

=t

kt

ea

akka …

2.3 Simulasi sistem bonus malus Untuk menghasilkan data klaim asuransi kecelakaan mobil, tesis ini menerapkan metode simulasi invers (Ross, 1997) yang akan menghasilkan data peubah acak ( ) ( )( ){ }, , 0,1, 2,3, 4, 4N t P N t k k= = > dengan mengenerate 106974 angka acak ( )0,1U

dan ( )N t :

( )

( )( )

( )( ) ( )( )

( )( )

1

04

0

0, 0

, , 1, 2,3, 4

4,

k k

i i

i

u P N t

N t k P N t i u P N t i k

u P N t i

−

=

=

⎧⎪ ≤ =⎪⎪

= = < ≤ = =⎨⎪⎪> > =⎪⎩

∑ ∑

∑

Bab 3 Pembahasan

3.1 Model Binomial Negatif

( )ˆ ˆ,moment momentBN a τ Tabel 3.1

Simulasi ( )ˆ ˆ1,6049, 15,8778momen momenBN a τ= =

( )1 ( )2 ( )3 ( )4 k ( )( )n N t k= ( )( )P N t k= ( )( )nP N t k= 0 96988 0,907 96985,64 1 9269 0,086 9222,31 2 666 0,0067 711,68 3 45 0,0004 50,67 4 6 0,00003 3,46

>4 0 0,000002 0,25 Total 106974 1 106974

Dari Tabel 3.1 terlihat bahwa dari 106974 pemegang polis yang tidak mengajukan klaim 96988 orang dengan proporsi 0,907, mengajukan 1 klaim 9269 orang dengan proporsi 0,086, 2 klaim 666 orang dengan proporsi 0,0067, 3 klaim 45 orang dengan proporsi 0,0004, dan 4 klaim 6 orang dengan proporsi 0,00003.

Tabel 3.2 Premi ( )ˆ ˆ1.8287, 18,1815momen momenBN a τ= =

k t 0 1 2 3 4 5 6 0 100.00 1 94,7867 146,6168 198,4470 250,2772 302,1074 353,9376 405,7678 2 90,0899 139,3519 188,6139 237,8759 287,1379 336,3999 385,6619 3 85,8367 132,7730 179,7093 226,6456 273,5819 320,5181 367,4544 4 81,9670 126,7873 171,6075 216,4278 261,2481 306,0684 350,8886 5 78,4311 121,3179 164,2048 207,0916 249,9784 292,8652 335,7521 6 75,1877 116,3010 157,4143 198,5275 239,6408 280,7541 321,8674 7 72,2018 111,6825 151,1631 190,6437 230,1243 269,6049 309,0855 Tabel 3.2 memperlihatkan premi binomial negatif dengan taksiran parameter ˆ 1,8287momena = dan ˆ 18,1815momenτ = dengan premi dasar 100. Jika pemegang polis di

tahun ke-0 tidak mengajukan klaim, maka di tahun berikutnya preminya turun menjadi 94,79, akan tetapi jika di tahun ke-0 mengajukan 6 klaim maka di tahun berikutnya preminya naik menjadi 405,77.

( )ˆ ˆ,MLE MLEBN a τ Tabel 3.3

Simulasi ( )ˆ ˆ1,6131, 16,1384MLE MLEBN a τ= =

( )1 ( )2 ( )3 ( )4 k ( )( )n N t k= ( )( )P N t k= ( )( )nP N t k= 0 97018 0,907 97086,87 1 9190 0,085 9138,01 2 715 0,0065 696,64 3 45 0,0004 48,95 4 5 0,00003 3,46

>4 1 0,0000021 0,23 Total 106974 1 106974

Dari Tabel 3.3 terlihat bahwa dari 106974 pemegang polis yang tidak mengajukan klaim 97018 orang dengan proporsi 0,907, mengajukan 1 klaim 9190 orang dengan proporsi 0,085, 2 klaim 715 orang dengan proporsi 0,0065, 3 klaim 45 orang dengan proporsi 0,0004, 4 klaim 5 orang dengan proporsi 0,00003, dan >4 klaim 1 orang dengan proporsi 0,0000021.

Tabel 3.4 Premi ( )ˆ ˆ1.5157, 15, 2363MLE MLEBN a τ= =

k t 0 1 2 3 4 5 6 0 100.00 1 93.8409 155.7521 217.6633 279.5744 341.4856 403.3967 465.3079 2 88.3966 146.7158 205.0350 263.3543 321.6735 379.9928 438.3120 3 83.5493 138.6705 193.7918 248.9130 304.0343 359.1556 414.2768 4 79.2059 131.4617 183.7175 235.9733 288.2290 340.4848 392.7406 5 75.2919 124.9654 174.6389 224.3124 273.9858 323.6593 373.3328 6 71.7464 119.0808 166.4152 213.7496 261.0841 308.4185 355.7529 7 68.5199 113.7256 158.9313 204.1370 249.3427 294.5484 339.7541 Tabel 3.4 memperlihatkan premi binomial negatif dengan taksiran parameter ˆ 1,5157MLEa = dan ˆ 15, 2363MLEτ = dengan premi dasar 100. Jika pemegang polis di tahun

ke-0 tidak mengajukan klaim, maka di tahun berikutnya preminya turun menjadi 93,84, akan tetapi jika di tahun ke-0 mengajukan 6 klaim maka di tahun berikutnya preminya naik menjadi 465,31.

Gambar 3.1

Plot grafik perbandingan premi Lemaire dan simulasi untuk model binomial negatif

Lemaire vs Simulasi

0

50

100

150

200

250

300

350

400

450

0 100 200 300 400 500

Lemaire

Sim

ulas

i

Gambar 3.1 memperlihatkan plot grafik perbandingan premi Lemaire dan simulasi untuk model binomial negatif dengan standard residual positif 2,35. 3.2 Model Poisson-Inverse Gaussian

( )ˆˆ ,momen momenPIG g h

Tabel 3.5 Simulasi ( )ˆˆ 0,10108, 0,06297momen momenPIG g h= =

( )1 ( )2 ( )3 ( )4 k ( )( )n N t k= ( )( )P N t k= ( )( )nP N t k= 0 96942 0,907 96979,72 1 9258 0,086 9238,24 2 719 0,0065 698,38 3 51 0,0005 53,03 4 4 0,00004 4,24

>4 0 0,000004 0,39 Total 106974 1 106974


Tabel 3.6 Premi ( )ˆˆ 0,100947, 0,06875momen momenPIG g h= =

k t 0 1 2 3 4 5 6 0 100.00 1 94,2075 149,5869 225,4685 316,2595 415,7181 519,7629 626,2481 2 89,3176 139,0970 206,6913 287,4941 376,2051 469,2207 564,5760 3 85,1177 130,3257 191,2158 263,9296 343,9071 427,9395 514,2189 4 81,4595 122,8652 178,2246 244,2603 317,0061 393,5834 472,3221 5 78,2357 116,4290 167,1512 227,5850 294,2477 364,5412 436,9167 6 75,3668 110,8102 157,5905 213,2610 274,7390 339,6659 406,6009 7 72,7919 105,8549 149,2449 200,8182 257,8264 318,1184 380,3494 Tabel 3.6 memperlihatkan premi Poisson-Inverse Gaussian dengan taksiran parameter ˆ 0,100947momeng = dan ˆ 0,06875momenh = dengan premi dasar 100. Jika pemegang polis di


( )ˆˆ ,MLE MLEPIG g h

Tabel 3.7 Simulasi ( )ˆˆ 0,10108, 0,06298MLE MLEPIG g h= =

( )1 ( )2 ( )3 ( )4 k ( )( )n N t k= ( )( )P N t k= ( )( )nP N t k= 0 97011 0,907 96979,73 1 9200 0,086 9238,23 2 695 0,0065 698,39 3 62 0,0005 53,04 4 6 0,00004 4,24

>4 0 0,000004 0,39 Total 106974 1 106974


Tabel 3.8 Premi ( )ˆˆ 0,100996, 0,060975MLE MLEPIG g h= =

k t 0 1 2 3 4 5 6 0 100.00 1 94,4089 148,2207 221,5691 309,2862 405,5011 506,2870 609,5352 2 89,6616 138,1978 203,7802 282,1312 368,2477 458,6565 551,4255 3 85,5653 129,7678 189,0270 259,7449 337,6049 419,5094 503,6805 4 81,9835 122,5629 176,5777 240,9612 311,9494 386,7606 463,7517 5 78,8169 116,3221 165,9199 224,9663 290,1498 358,9566 429,8630 6 75,9910 110,8550 156,6837 211,1752 271,3930 335,0534 400,7385 7 73,4488 106,0190 148,5953 199,1562 255,0798 314,2816 375,4382 Tabel 3.8 memperlihatkan premi Poisson-Inverse Gaussian dengan taksiran parameter ˆ 0,100996MLEg = dan ˆ 0,060975momenh = dengan premi dasar 100. Jika pemegang polis di


Gambar 3.2 Plot grafik perbandingan premi Lemaire dan simulasi untuk model Poisson-Inverse

Gaussian

Lemaire vs Simulasi

0

100

200

300

400

500

600

700

0 100 200 300 400 500 600 700

Lemaire

Sim

ulas

i

Gambar 3.2 menunjukkan plot grafik perbandingan premi Lemaire dan simulasi untuk model Poisson-Inverse Gaussian dengan standard residual positif 2,29.

3.3 Model Good-risk/Bad-risk

( )1 1 2ˆ ˆˆ , ,

momen momen momenGRBR a λ λ

Tabel 3.9 Simulasi ( )1 1 2

ˆ ˆˆ 0,9112, 0,0762, 0,3567momen momen momen

GRBR a λ λ= = =

( )1 ( )2 ( )3 ( )4 k ( )( )n N t k= ( )( )P N t k= ( )( )nP N t k= 0 96981 0,907 96972,41 1 9245 0,086 9254,44 2 696 0,0064 685,24 3 44 0,0005 56,96 4 8 0,00004 4,61

>4 0 0,0000032 0,34 Total 106974 1 106974


Tabel 3.10 Premi ( )1 1 2

ˆ ˆˆ 0,9068, 0,0758, 0,3462momen momen momen

GRBR a λ λ= = =

k t 0 1 2 3 4 5 6 0 100,00 1 94,5132 145,7162 241,3641 311,3282 335,2814 341,1850 342,5127 2 90,1568 132,5637 223,8472 302,9873 333,0066 340,6608 342,3967 3 86,7286 121,2843 205,7989 292,9082 330,0848 339,9770 342,2448 4 84,0496 111,8293 187,8647 280,9745 326,3544 339,0861 342,0460 5 81,9674 104,0538 170,6740 267,1815 321,6276 337,9276 341,7859 6 80,3559 97,7596 154,7554 251,6765 315,6956 336,4246 341,4457 7 79,1129 92,7291 140,4793 234,7825 308,3403 334,4807 341,0013 Tabel 3.10 memperlihatkan premi Good-risk/Bad-risk dengan taksiran parameter

( )1 1 2ˆ ˆˆ 0,9068, 0,0758, 0,3462

momen momen momena λ λ= = = dengan premi dasar 100. Jika pemegang

polis di tahun ke-0 tidak mengajukan klaim, maka di tahun berikutnya preminya turun menjadi 94,51, akan tetapi jika di tahun ke-0 mengajukan 6 klaim maka di tahun berikutnya preminya naik menjadi 342,51.

Gambar 3.3 Plot grafik perbandingan premi Lemaire dan simulasi untuk model Good-risk/Bad-risk

Lemaire vs Simulasi

0

50

100

150

200

250

300

350

400

0 100 200 300 400

Lemaire

Sim

ulas

i

Gambar 3.3 memperlihatkan plot grafik perbandingan premi Lemaire dan simulasi untuk model GRBR dengan standard residual positif 2,55.

Bab 4 Kesimpulan dan Saran

4.1 Kesimpulan

Hal yang dapat disimpulkan penelitian ini yaitu: 1. Sistem bonus malus merupakan sistem penentuan premi yang memberikan penalti

kepada pemegang polis yang mengalami satu atau lebih kecelakaan dengan tambahan premi atau disebut juga malus, dan penghargaan kepada pemegang polis yang tidak pernah klaim dengan memberikan penurunan premi atau bonus.

2. Pemodelan banyaknya klaim dengan model Binomial negatif, Poisson-Inverse Gaussian, dan Good-risk/Bad-risk cocok untuk merepresentasikan model portfolio asuransi yang heterogen (beraneka ragam) yang artinya bisa merepresentasikan pengalaman mengemudi masing-masing Individu dalam portfolio tersebut.

3. Premi model Good-risk/bad-risk merupakan financially balanced dilhat dari plot grafik perbandingan premi dari ketiga model tersebut dengan melihat standard residual positif terbesar 2,55 sehingga simulasi model GRBR cukup dekat dengan hasil Lemaire(1995).

4.2 Saran

Dari beberapa hal yang bisa disimpulkan sebelumnya, penulis dapat memberikan saran atau rekomendasi sebagai berikut : 1. Membangun jaringan database yang terintegrasi untuk merepresentasikan data

asuransi mobil di Indonesia. 2. Melakukan proses underwriting yang baik dan terintegrasi. 3. Simulasi program Matlab yang telah dibangun dalam tesis ini (dalam prosesnya akan

mengalami banyak pengembangan) dapat digunakan untuk menghitung premi untuk kasus asuransi kecelakaan mobil Indonesia.

4. Sebagai bahan penelitian selanjutnya, model untuk severity claim (besarnya klaim) juga dapat diperhitungkan dengan model Bayesian.

5. Kita dapat menghitung risk profile dari sistem bonus malus yang kita bangun ini.

DAFTAR PUSTAKA

1. KLUGMAN, S.A., PANJER, H.H, WILLMOT,G.E. (2004) Loss Model from Data to

Decisions, John Wiley & Sons, New York.

2. LEMAIRE, J. (1995) Bonus-Malus Systems in Automobile Insurance, Kluwer

Academic Publishers, Massachusetts.

3. ROSS, S. (1997) Simulation, Statistical Modeling and Decision Science, Harcourt

Academic Press.

Lampiran A Data Lemaire (1995)

Observed and Fitted Distribution of Number of Claims: Negative Binomial Model, Moments Method

k ( )( )n N t k= ( )( )nP N t k=

0 96978 96985,5 1 9240 9222,5 2 704 711,7 3 43 50,7 4 9 3,6

>4 0 0 Total 106974 106974,0

Observed and Fitted Distribution of Number of Claims: Negative Binomial Model,

Maximum Likelihood Method

k ( )( )n N t k= ( )( )nP N t k=

0 96978 96980,5 1 9240 9230,5 2 704 708,6 3 43 50,1 4 9 3,4

>4 0 0,2 Total 106974 106974,0

Observed and Fitted Distribution of Number of Claims: Poisson-Inverse Gaussian

Model, Moments Method

k ( )( )n N t k= ( )( )nP N t k=

0 96978 96979,8 1 9240 9238,5 2 704 698,4 3 43 53,0 4 9 4,2

>4 0 0,4 Total 106974 106974,0

Observed and Fitted Distribution of Number of Claims: Poisson-Inverse Gaussian, Maximum Likelihood Method

k ( )( )n N t k= ( )( )nP N t k=

0 96978 96978,5 1 9240 9240,4 2 704 697,6 3 43 52,9 4 9 4,2

>4 0 0,4 Total 106974 106974,0

Observed and Fitted Distribution of Number of Claims: Good-risk/Bad-risk Model,

Moments Method

k ( )( )n N t k= ( )( )nP N t k=

0 96978 96975,0 1 9240 9252,5 2 704 685,0 3 43 56,9 4 9 4,6

>4 0 0,3 Total 106974 106974,0

Lampiran B 1. Prior dan posterior ( )( )P N t k= dari model binomial negatif

Misalkan ( )( ){ }; 0,1, ,P N t k k k= = … merupakan banyaknya klaim model binomial

negatif maka:

( )( ) ( )

( )

( )( )

1

0

1

0

11

0

!

!

!

k a a

ak a

ak a

e eP N t k dk a

e da k

e da k

λ τλ

λ τλ

τ

λ τ λ λ

τ λ λ

τ λ λ

∞ − − −

∞+ − − −

∞− ++ −

= = ⋅Γ

=Γ

=Γ

∫

∫

∫

Kita misalkan ( ) ( )1 ; 1 ; ; 1 1

z dzz dz d dτ λ τ λ λ λτ τ

= + = + = =+ +

dengan batas-batas

0 0; z zλ λ→ ⇒ → →∞⇒ →∞ sehingga :

( )( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )( )

( )( ) ( )( )

( ) ( )( )

( ) ( ) ( )

( )

( ) ( )

1

0

11

0

1

1 1

! 1 1

! 1 1

! 1 1

! 1

! 1

1 1

1

1

1 11 1

k aaz

ak a z

k a

a

k a

a

k a

a

k a

a

k a

a

k a

a k

a k

z dzP N t k ea k

z e dza k

k aa k

k aa k

k aa k

k ak a

k ak

k ak

ττ τ

ττ τ

ττ τ

τ

τ

τ

τ

ττ

ττ

ττ τ

+ −∞−

∞+ − −

+ −

+ −

+ − +

+

+

+

⎛ ⎞= = ⎜ ⎟Γ + +⎝ ⎠

=Γ + +

= ⋅Γ +Γ + +

Γ +=Γ +

Γ +=Γ +

Γ += ⋅Γ + Γ +

+ −⎛ ⎞= ⎜ ⎟

+⎝ ⎠

+ −⎛ ⎞ ⋅= ⎜ ⎟

+ ⋅ +⎝ ⎠

=

∫

∫

1 11 1

a kk ak

ττ τ

+ −⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ +⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

Kita misalkan 1 1; 1 11 1 1 1

p p qτ τ τ ττ τ τ τ

+ −= − = − = = =

+ + + +, maka diperoleh:

( )( ) 1 a kk aP N t k p q

k+ −⎛ ⎞

= = ⎜ ⎟⎝ ⎠

2. Premi model binomial negatif

Prinsip perhitungan premi didasarkan pada ekspektasi posterior dari banyaknya klaim dengan menggunakan Teorema Bayes sebagai berikut:

( ) ( ) ( )

( )

( ) ( )

( ) ( )( )

( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )

1

1 1

1

1

1

1

0

1

1

0

1

1

0

1

, ,

! !

!

!

!

t

t t

kk

tk t

t

jj

k t a a

j

k t a a

j

tk a

tk a

a k ta k

a k t

a k a k

P k k P k P k

e ek k

e

k

e eak

e e dak

e

e d

t e

t e d t

t e

λ λ

λ

λ τλ

λ τλ

τ λ

τ λ

τ λ

τ λ

λ λ λ

λ λ

λ

λ τ λ

λ τ λ λ

λ

λ λ

τ λ

λ τ τ λ

τ λ

− −

−

=

− − −

∞ − − −

− ++ −

∞− ++ −

+ − ++ −

∞+ − − +

+ + −

=

=

=

⋅Γ

=⋅

Γ

=

+=

+ +⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦

+=

∏

∏

∫∏

∫

∫

… …

…

( )

( )

t

a k

τ λ− +

Γ +

Akibatnya, rataan banyaknya klaim dari pemegang polis dengan pengalaman mengemudi ( )1, , tk k… adalah:

( ) ( )1 1 1, , , ,t t tk k E k k

a kt

λ

τ

+ = Λ

+=

+

… …

Maka premi model binomial negatif: ( ) ( ) ( )

( )

( )( )

1 1 1 1, , 1 , ,

1

100100

t t t tP k k k ka k

ta k

a kta a t

α λ

ατ

τττ

τ

+ += +

+= +

++

++= =+

… …

3. Premi model Poisson-Inverse Gaussian

Structure function dari model Poisson-Inverse Gaussian adalah:

( ) ( )232

1exp22

gu ghh

λ λλ

π λ

⎡ ⎤= − −⎢ ⎥⎣ ⎦

Setelah diketahui pengalaman mengemudi ( )1, , tk k… , structure function tersebut menjadi :

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

11

10

232

23

0 2

, ,, ,

, ,

1exp2! 21exp

2! 2

tt

t

k t

j

k t

j

P k k uu k k

P k k u d

e g ghk h

e g g dhk h

λ

λ

λ λλ

λ λ λ

λ λλ

π λλ λ λ

λπ λ

∞

−

∞ −

=

⎡ ⎤− −⎢ ⎥⎣ ⎦=

⎡ ⎤− −⎢ ⎥⎣ ⎦

∫

∏

∫∏

……

…

Akibatnya, rataan banyaknya klaim dari pemegang polis diketahui pengalaman mengemudi ( )1, , tk k… adalah:

( ) ( )

( )

( )

2

2

1 1 1

10

1 2 2

0

1 1 2 2

0

21 1

0

11 1 2

0

, , , ,

, ,

2

1

2

1

2

1

2

t t t

t

v

vv

v

vv

v

vv

xv x

vv

v

k k E k k

u k k d

e e dK

e dK

e dK

x e dxK

λ μβ βλ

λ μβ βλ

μ λ μβ μ λ

μβ

λ

λ λ λ

λλ λμμβ

λ λμμβ

λ λμμβ

μ μμμβ

μ

+

∞

− −∞ −

∞ − −+ −

⎛ ⎞∞ − +⎜ ⎟+ − ⎝ ⎠

⎛ ⎞∞ − +⎜ ⎟+ − ⎝ ⎠

+

= Λ

= ⋅

=⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

=⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

=⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

=⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

=

∫

∫

∫

∫

∫

… …

…

1

111 1 2

0

2

112

12

2v

xv x

vv

K

v k

v k

x e dxK

KK

K K

μβ

μβ

μμβ

μμββ

μ μμ μβ β

+

⎛ ⎞∞ − +⎜ ⎟+ − ⎝ ⎠

⎛ ⎞⋅ ⎜ ⎟

⎝ ⎠

+ +

−

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠= =

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

∫

Maka premi model PIG menjadi : ( ) ( ) ( )

( )

1 1 1 1, , 1 , ,

1

t t t t

k

P k k k k

Q

α λ

μα μβ

+ += +

⎛ ⎞= + ⎜ ⎟

⎝ ⎠

… …

dengan ( ) ( ) ( )01

2 1 11 dan kk

kQ u Q uu Q u−

−= = +

4. Premi model Good-risk/Bad-risk Misalkan seorang pemegang polis dengan pengalaman mengemudi ( )1, , tk k… dengan

menerapkan teorema Bayes, maka peluang posterior ( )1 1, , ta k k… untuk “good” driver adalah:

( )[ ]

[ ]

( )

1 1 1 1

1 1 1 1 2 1 2 1

1

1 2

1 1 1

1

1 1

1 11

1

1 1 2 21 1

1 1

11

1 21

, , , ,

, ,, , , ,

! !

1! ! ! !

!

1! !

t t

t

t t

k k

tk k k k

t ttk

jt tk k

j j

a k k P GR k k

P k k GR P GRP k k GR P k k BR P BR

e e ak k

e e e ea ak k k k

e ak

e ea ak k

λ λ

λ λ λ λ

λ

λ λ

λ λ

λ λ λ λ

λ

λ λ

− −

− − − −

−

− −

= ⎡ ⎤⎣ ⎦⎡ ⎤ ⋅⎣ ⎦=

⎡ ⎤ + ⎡ ⎤ ⋅⎣ ⎦ ⎣ ⎦

=+ −

=+ −

∏

∏ ∏

… …

…… …

…

… …

( )

( )

( ) ( )

1

1 2

1 2 1

1

1

1 1

1 1 1 2

1 2

1

11

1

tk

t tk k

ka t

a

a ea e a e

e

λ

λ λ

λ λ

λλ λ

λλ

−

− −

− − −

=+ −

=⎛ ⎞

+ ⎜ ⎟⎝ ⎠

Sedangkan peluang Bad-risk:

( ) ( )( )

1 1

1 1

, , 1 , ,

1 , ,t t

t

P BR k k P GR k k

a k k

= −

= −

… …

…

Maka premi model GRBR adalah :

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ){ }( ) ( ) ( ){ }

1 1 1

1 1 2 1

1 1 1 1 1 2

, , 1 , ,

1 , , , ,

1 , , 1 , ,

t t t

t t

t t

P k k E policy holder k k

P GR k k P BR k k

a k k a k k

α

α λ λ

α λ λ

+ = −

= + +

= + + −⎡ ⎤⎣ ⎦

… …

… …

… …

Lampiran C 1. Listing program untuk simulasi model binomial negatif dengan penaksir momen

clear all; clc; global xbar s2 atopi tautopi nk pk data a = 1.6049; tau = 15.8778; data = 106974; nk(1) = 0; % inisialisasi awal untuk jumlah pemegang polis yang mengajukan 0 klaim nk(2) = 0; nk(3) = 0; nk(4) = 0; nk(5) = 0; nk(6) = 0; % inisialisasi awal untuk jumlah pemegang polis yang mengajukan >4 klaim pk(1) = (tau/(1+tau))^a; % peluang pemegang polis mengajukan 0 klaim pk(2) = ((0+a)/((0+1)*(1+tau)))*pk(1); pk(3) = ((1+a)/((1+1)*(1+tau)))*pk(2); pk(4) = ((2+a)/((2+1)*(1+tau)))*pk(3); pk(5) = ((3+a)/((3+1)*(1+tau)))*pk(4); pk(6) = 1-(pk(1)+pk(2)+pk(3)+pk(4)+pk(5)); % peluang pemegang polis mengajukan >4 klaim pktot = pk(1)+pk(2)+pk(3)+pk(4)+pk(5)+pk(6); %iterasi untuk menghasilkan bilangan random yang mirip dengan data Lemaire dengan model negative binomial for j=1:data u=rand(1,1); if u < pk(1) nk(1) = nk(1)+1; elseif u < pk(1)+pk(2) nk(2) = nk(2)+1; elseif u < pk(1)+pk(2)+pk(3) nk(3) = nk(3)+1; elseif u < pk(1)+pk(2)+pk(3)+pk(4) nk(4) = nk(4)+1; elseif u < pk(1)+pk(2)+pk(3)+pk(4)+pk(5) nk(5) = nk(5)+1; else

nk(6) = nk(6)+1; end % if end % for npk(1) = data*pk(1); % npk0 npk(2) = data*pk(2); % npk1 npk(3) = data*pk(3); % npk2 npk(4) = data*pk(4); % npk3 npk(5) = data*pk(5); % npk4 npk(6) = data*pk(6); % npk>4 npktotal = npk(1)+npk(2)+npk(3)+npk(4)+npk(5)+npk(6); %perhitungan nilai-nilai chi-square sebelum dilakukan grouping chi(1) = (nk(1)-npk(1))^2/npk(1); chi(2) = (nk(2)-npk(2))^2/npk(2); chi(3) = (nk(3)-npk(3))^2/npk(3); chi(4) = (nk(4)-npk(4))^2/npk(4); chi(5) = (nk(5)-npk(5))^2/npk(5); chi(6) = (nk(6)-npk(6))^2/npk(6); chitotal = chi(1)+chi(2)+chi(3)+chi(4)+chi(5)+chi(6); % nkgabungan untuk rule A nkgabA(1) = nk(1); nkgabA(2) = nk(2); nkgabA(3) = nk(3); nkgabA(4) = nk(4); nkgabA(5) = nk(5)+nk(6); % Rule A for i = 1 : 6 temp = 0.8*npk(i); if npk(i) < 1 && temp < 5 indeks = i; % perlu digabung mulai indeks - 1 break end end % for npkgab = 0; for i = indeks-1 : 6 npkgab = npkgab + npk(i); end

for i = 1 : indeks - 1 if i == indeks - 1 npkA(i) = npkgab; else npkA(i) = npk(i); end end %menghitung nilai-nilai chi-square dengan rule A chiA(1) = (nkgabA(1)-npkA(1))^2/npkA(1); chiA(2) = (nkgabA(2)-npkA(2))^2/npkA(2); chiA(3) = (nkgabA(3)-npkA(3))^2/npkA(3); chiA(4) = (nkgabA(4)-npkA(4))^2/npkA(4); chiA(5) = (nkgabA(5)-npkA(5))^2/npkA(5); chiAtotal = chi(1)+chi(2)+chi(3)+chi(4)+chi(5); % Rule B for i = 1 : 6 if npk(i) < 5 indeks = i; % perlu digabung mulai indeks - 1 break end end % for npkgab = 0; for i = indeks-1 : 6 npkgab = npkgab + npk(i); end for i = 1 : indeks-1 if i == indeks - 1 npkB(i) = npkgab; else npkB(i) = npk(i); end end %nk gabungan untuk rule B nkgabB(1) = nkgabA(1); nkgabB(2) = nkgabA(2); nkgabB(3) = nkgabA(3); nkgabB(4) = nkgabA(4)+nkgabA(5);

%perhitungan nilai-nilai chi-square dengan rule B chiB(1) = (nkgabB(1)-npkB(1))^2/npkB(1); chiB(2) = (nkgabB(2)-npkB(2))^2/npkB(2); chiB(3) = (nkgabB(3)-npkB(3))^2/npkB(3); chiB(4) = (nkgabB(4)-npkB(4))^2/npkB(4); chiBtotal = chi(1)+chi(2)+chi(3)+chi(4); %perhitungan parameter-parameter dari data simulasi untuk model negative binomial xbar = (0*nk(1)+1*nk(2)+2*nk(3)+3*nk(4)+4*nk(5))/data; s2 = ((0-xbar)^2*nk(1)+(1-xbar)^2*nk(2)+(2-xbar)^2*nk(3)+(3-xbar)^2*nk(4)+(4-xbar)^2*nk(5))/(data-1); atopi = xbar^2/(s2-xbar); tautopi = xbar/(s2-xbar); %perhitungan expected premi for t=1:7 for k=0:6 premi(t,k+1)=100*tautopi*(atopi+k)/(atopi*(tautopi+t)); end end format short nk format short 'e' pk format bank npk disp('nilai-nilai chi-square sebelum grouping :') chi chitotal format short nkgabA format bank npkA disp('nilai-nilai chi-square setelah grouping dengan rule A :') chiA chiAtotal format short nkgabB format bank

npkB disp('nilai-nilai chi-square setelah grouping dengan rule B :') chiB chiBtotal format long xbar s2 atopi tautopi format short t = [1 2 3 4 5 6 7]'; temppremi = [t premi]; temp = []; for i = 1 : 7 temp = [temp; sprintf('%1.0f %5.4f %10.4f %10.4f %10.4f %10.4f %10.4f %10.4f', temppremi(i,:))]; end label1 = ' k ' ; label2 = 't 0 1 2 3 4 5 6'; label3 = '0 100.00'; tempstring = num2str(temp); Expected_Premi = strvcat(label1, label2, label3, tempstring) load ws [T0,T1,T2,T3,T4,Tbsr4,P]=MPTNBBELGIA(databelgia);

2. Listing program untuk simulasi model binomial negatif dengan penaksir maximum likelihood

clear all; clc; global nk xbar atopiMLE tautopiMLE a = 1.6131; tau = 16.1384; data = 106974;

nk(1) = 0; % inisialisasi awal untuk jumlah pemegang polis yang mengajukan 0 klaim nk(2) = 0; nk(3) = 0; nk(4) = 0; nk(5) = 0; nk(6) = 0; % inisialisasi awal untuk jumlah pemegang polis yang mengajukan >4 klaim pk(1) = (tau/(1+tau))^a; % peluang pemegang polis mengajukan 0 klaim pk(2) = ((0+a)/((0+1)*(1+tau)))*pk(1); pk(3) = ((1+a)/((1+1)*(1+tau)))*pk(2); pk(4) = ((2+a)/((2+1)*(1+tau)))*pk(3); pk(5) = ((3+a)/((3+1)*(1+tau)))*pk(4); pk(6) = 1-(pk(1)+pk(2)+pk(3)+pk(4)+pk(5)); % peluang pemegang polis mengajukan >4 klaim pktot = pk(1)+pk(2)+pk(3)+pk(4)+pk(5)+pk(6); %iterasi untuk menghasilkan bilangan random yang mirip dengan data Lemaire dengan model negative binomial for j=1:data u=rand(1,1); if u < pk(1) nk(1) = nk(1)+1; elseif u < pk(1)+pk(2) nk(2) = nk(2)+1; elseif u < pk(1)+pk(2)+pk(3) nk(3) = nk(3)+1; elseif u < pk(1)+pk(2)+pk(3)+pk(4) nk(4) = nk(4)+1; elseif u < pk(1)+pk(2)+pk(3)+pk(4)+pk(5) nk(5) = nk(5)+1; else nk(6) = nk(6)+1; end % if end % for npk(1) = data*pk(1); % npk0 npk(2) = data*pk(2); % npk1 npk(3) = data*pk(3); % npk2 npk(4) = data*pk(4); % npk3 npk(5) = data*pk(5); % npk4 npk(6) = data*pk(6); % npk>4 npktotal = npk(1)+npk(2)+npk(3)+npk(4)+npk(5)+npk(6); %perhitungan nilai-nilai chi-square sebelum dilakukan grouping chi(1) = (nk(1)-npk(1))^2/npk(1);

chi(2) = (nk(2)-npk(2))^2/npk(2); chi(3) = (nk(3)-npk(3))^2/npk(3); chi(4) = (nk(4)-npk(4))^2/npk(4); chi(5) = (nk(5)-npk(5))^2/npk(5); chi(6) = (nk(6)-npk(6))^2/npk(6); chitotal = chi(1)+chi(2)+chi(3)+chi(4)+chi(5)+chi(6); % nkgabungan untuk rule A nkgabA(1) = nk(1); nkgabA(2) = nk(2); nkgabA(3) = nk(3); nkgabA(4) = nk(4); nkgabA(5) = nk(5)+nk(6); % Rule A for i = 1 : 6 temp = 0.8*npk(i); if npk(i) < 1 && temp < 5 indeks = i; % perlu digabung mulai indeks - 1 break end end % for npkgab = 0; for i = indeks-1 : 6 npkgab = npkgab + npk(i); end for i = 1 : indeks - 1 if i == indeks - 1 npkA(i) = npkgab; else npkA(i) = npk(i); end end %menghitung nilai-nilai chi-square dengan rule A chiA(1) = (nkgabA(1)-npkA(1))^2/npkA(1); chiA(2) = (nkgabA(2)-npkA(2))^2/npkA(2); chiA(3) = (nkgabA(3)-npkA(3))^2/npkA(3); chiA(4) = (nkgabA(4)-npkA(4))^2/npkA(4); chiA(5) = (nkgabA(5)-npkA(5))^2/npkA(5);

chiAtotal = chi(1)+chi(2)+chi(3)+chi(4)+chi(5); % Rule B for i = 1 : 6 if npk(i) < 5 indeks = i; % perlu digabung mulai indeks - 1 break end end % for npkgab = 0; for i = indeks-1 : 6 npkgab = npkgab + npk(i); end for i = 1 : indeks-1 if i == indeks - 1 npkB(i) = npkgab; else npkB(i) = npk(i); end end %nk gabungan untuk rule B nkgabB(1) = nkgabA(1); nkgabB(2) = nkgabA(2); nkgabB(3) = nkgabA(3); nkgabB(4) = nkgabA(4)+nkgabA(5); %perhitungan nilai-nilai chi-square dengan rule B chiB(1) = (nkgabB(1)-npkB(1))^2/npkB(1); chiB(2) = (nkgabB(2)-npkB(2))^2/npkB(2); chiB(3) = (nkgabB(3)-npkB(3))^2/npkB(3); chiB(4) = (nkgabB(4)-npkB(4))^2/npkB(4); chiBtotal = chi(1)+chi(2)+chi(3)+chi(4); %perhitungan parameter-parameter dari data simulasi untuk model negative binomial A0 = zeros(nk(1),1); A1 = ones(nk(2),1); A2 = 2*ones(nk(3),1); A3 = 3*ones(nk(4),1); A4 = 4*ones(nk(5),1); DAT = [A0;A1;A2;A3;A4];

MLE = nbinfit(DAT); atopiMLE = MLE(1); tautopiMLE = MLE(2)/(1-MLE(2)); % perhitungan expected premi for t=1:7 for k=0:6 premi(t,k+1)=100*tautopiMLE*(atopiMLE+k)/(atopiMLE*(tautopiMLE+t)); end end format short nk sum(nk) format short 'e' pk format bank npk disp('nilai-nilai chi-square sebelum grouping :') chi chitotal format short nkgabA format bank npkA disp('nilai-nilai chi-square setelah grouping dengan rule A :') chiA chiAtotal format short nkgabB format bank npkB disp('nilai-nilai chi-square setelah grouping dengan rule B :') chiB chiBtotal format short atopiMLE tautopiMLE

t = [1 2 3 4 5 6 7]'; temppremi = [t premi]; temp = []; for i = 1 : 7 temp = [temp; sprintf('%1.0f %5.4f %10.4f %10.4f %10.4f %10.4f %10.4f %10.4f', temppremi(i,:))]; end label1 = ' k ' ; label2 = 't 0 1 2 3 4 5 6'; label3 = '0 100.00'; tempstring = num2str(temp); Expected_Premi = strvcat(label1, label2, label3, tempstring) load ws [T0,T1,T2,T3,T4,Tbsr4,P]=MPT_NB_MLE_BELGIA(databelgia);

3. Listing program untuk simulasi model Poisson-Inverse Gaussian dengan penaksir momen clear all; clc; global xbar s2 g_sim h_sim pk nk data g = 0.101081; h = 0.062979; data = 106974; nk(1) = 0; %nk0 nk(2) = 0; %nk1 nk(3) = 0; %nk2 nk(4) = 0; %nk3 nk(5) = 0; %nk4 nk(6) = 0; %nk>4 pk(1) = exp((g/h)*(1-(1+2*h)^0.5)); %pk(0) pk(2) = g*pk(1)*((1+2*h)^-0.5); %pk(1) pk(3) = (h*(2-1)*(2*2-3)*pk(2)+(g^2)*pk(1))/((1+2*h)*2*(2-1)); %pk(2) pk(4) = (h*(3-1)*(2*3-3)*pk(3)+(g^2)*pk(2))/((1+2*h)*3*(3-1)); %pk(3)

pk(5) = (h*(4-1)*(2*4-3)*pk(4)+(g^2)*pk(3))/((1+2*h)*4*(4-1)); %pk(4) pk(6) = 1-(pk(1)+pk(2)+pk(3)+pk(4)+pk(5)); %pk.4 pktotal = pk(1)+pk(2)+pk(3)+pk(4)+pk(5)+pk(6); %iterasi untuk menghasilkan data yang mirip dengan data Lemaire for j=1:data u=rand(1,1); if u < pk(1) nk(1) = nk(1)+1; elseif u < pk(1)+pk(2) nk(2) = nk(2)+1; elseif u < pk(1)+pk(2)+pk(3) nk(3) = nk(3)+1; elseif u < pk(1)+pk(2)+pk(3)+pk(4) nk(4) = nk(4)+1; elseif u < pk(1)+pk(2)+pk(3)+pk(4)+pk(5) nk(5) = nk(5)+1; else nk(6) = nk(6)+1; end % if end % for npk(1) = data*pk(1); % npk0 npk(2) = data*pk(2); % npk1 npk(3) = data*pk(3); % npk2 npk(4) = data*pk(4); % npk3 npk(5) = data*pk(5); % npk4 npk(6) = data*pk(6); % npk>4 npktotal = npk(1)+npk(2)+npk(3)+npk(4)+npk(5)+npk(6); %perhitungan nilai-nilai chi-square sebelum dilakukan grouping chi(1) = (nk(1)-npk(1))^2/npk(1); chi(2) = (nk(2)-npk(2))^2/npk(2); chi(3) = (nk(3)-npk(3))^2/npk(3); chi(4) = (nk(4)-npk(4))^2/npk(4); chi(5) = (nk(5)-npk(5))^2/npk(5); chi(6) = (nk(6)-npk(6))^2/npk(6); chitotal = chi(1)+chi(2)+chi(3)+chi(4)+chi(5)+chi(6); % nkgabungan untuk rule A nkgabA(1) = nk(1); nkgabA(2) = nk(2); nkgabA(3) = nk(3); nkgabA(4) = nk(4); nkgabA(5) = nk(5)+nk(6);

% Rule A for i = 1 : 6 temp = 0.8*npk(i); if npk(i) < 1 && temp < 5 indeks = i; % perlu digabung mulai indeks - 1 break end end % for npkgab = 0; for i = indeks-1 : 6 npkgab = npkgab + npk(i); end for i = 1 : indeks - 1 if i == indeks - 1 npkA(i) = npkgab; else npkA(i) = npk(i); end end %menghitung nilai-nilai chi-square dengan rule A chiA(1) = (nkgabA(1)-npkA(1))^2/npkA(1); chiA(2) = (nkgabA(2)-npkA(2))^2/npkA(2); chiA(3) = (nkgabA(3)-npkA(3))^2/npkA(3); chiA(4) = (nkgabA(4)-npkA(4))^2/npkA(4); chiA(5) = (nkgabA(5)-npkA(5))^2/npkA(5); chiAtotal = chi(1)+chi(2)+chi(3)+chi(4)+chi(5); % Rule B for i = 1 : 6 if npk(i) < 5 indeks = i; % perlu digabung mulai indeks - 1 break end end % for npkgab = 0;

for i = indeks-1 : 6 npkgab = npkgab + npk(i); end for i = 1 : indeks-1 if i == indeks - 1 npkB(i) = npkgab; else npkB(i) = npk(i); end end %nk gabungan untuk rule B nkgabB(1) = nkgabA(1); nkgabB(2) = nkgabA(2); nkgabB(3) = nkgabA(3); nkgabB(4) = nkgabA(4)+nkgabA(5); %perhitungan nilai-nilai chi-square dengan rule B chiB(1) = (nkgabB(1)-npkB(1))^2/npkB(1); chiB(2) = (nkgabB(2)-npkB(2))^2/npkB(2); chiB(3) = (nkgabB(3)-npkB(3))^2/npkB(3); chiB(4) = (nkgabB(4)-npkB(4))^2/npkB(4); chiBtotal = chi(1)+chi(2)+chi(3)+chi(4); %perhitungan parameter-parameter PIG Moment simulasi xbar = (0*nk(1)+1*nk(2)+2*nk(3)+3*nk(4)+4*nk(5))/data; s2 = ((0-xbar)^2*nk(1)+(1-xbar)^2*nk(2)+(2-xbar)^2*nk(3)+(3-xbar)^2*nk(4)+(4-xbar)^2*nk(5))/(data-1); g_sim = xbar; h_sim = (s2/xbar)-1; %perhitungan expected premi Q(1)=1; for t=1:7 for k=0:6 mu = g_sim/sqrt(2*h_sim*(t+1/(2*h_sim))); beta = 1/(2*(t+1/(2*h_sim))); Q(k+2) = (2*(k+1)-1)/(mu/beta)+1/Q(k+1); premi(t,k+1)= 100*mu*Q(k+1)/g_sim; end end format short nk format short 'e' pk

format bank npk npktotal disp('-----------------------------------------') disp('nilai-nilai chi-square sebelum grouping :') disp('-----------------------------------------') chi chitotal format short nkgabA format bank npkA npkA_total = sum(npkA) disp('-------------------------------------------------------') disp('nilai-nilai chi-square setelah grouping dengan rule A :') disp('-------------------------------------------------------') chiA chiAtotal format short nkgabB format bank npkB npkB_total = sum(npkB) disp('-------------------------------------------------------') disp('nilai-nilai chi-square setelah grouping dengan rule B :') disp('-------------------------------------------------------') chiB chiBtotal format long xbar s2 g_sim h_sim format short t = [1 2 3 4 5 6 7]'; temppremi = [t premi]; temp = [];

for i = 1 : 7 temp = [temp; sprintf('%1.0f %5.4f %10.4f %10.4f %10.4f %10.4f %10.4f %10.4f', temppremi(i,:))]; end label1 = ' k ' ; label2 = 't 0 1 2 3 4 5 6'; label3 = '0 100.00'; tempstring = num2str(temp); Expected_Premi = strvcat(label1, label2, label3, tempstring) load ws [T0,T1,T2,T3,T4,Tbsr4,P]=MPT_PIG_Moment_BELGIA(databelgia);

4. Listing program untuk simulasi model Poisson-Inverse Gaussian dengan penaksir maximum likelihood clear all; clc; global nk g_sim htopi data pk g = 0.101081; h = 0.062981; data = 106974; nk(1) = 0; %nk0 nk(2) = 0; %nk1 nk(3) = 0; %nk2 nk(4) = 0; %nk3 nk(5) = 0; %nk4 nk(6) = 0; %nk>4 pk(1) = exp((g/h)*(1-(1+2*h)^0.5)); %pk(0) pk(2) = g*pk(1)*((1+2*h)^-0.5); %pk(1) pk(3) = (h*(2-1)*(2*2-3)*pk(2)+(g^2)*pk(1))/((1+2*h)*2*(2-1)); %pk(2) pk(4) = (h*(3-1)*(2*3-3)*pk(3)+(g^2)*pk(2))/((1+2*h)*3*(3-1)); %pk(3) pk(5) = (h*(4-1)*(2*4-3)*pk(4)+(g^2)*pk(3))/((1+2*h)*4*(4-1)); %pk(4) pk(6) = 1-(pk(1)+pk(2)+pk(3)+pk(4)+pk(5)); %pk.4 pktotal = pk(1)+pk(2)+pk(3)+pk(4)+pk(5)+pk(6); %iterasi untuk menghasilkan data yang mirip dengan data Lemaire for j=1:data

u=rand(1,1); if u < pk(1) nk(1) = nk(1)+1; elseif u < pk(1)+pk(2) nk(2) = nk(2)+1; elseif u < pk(1)+pk(2)+pk(3) nk(3) = nk(3)+1; elseif u < pk(1)+pk(2)+pk(3)+pk(4) nk(4) = nk(4)+1; elseif u < pk(1)+pk(2)+pk(3)+pk(4)+pk(5) nk(5) = nk(5)+1; else nk(6) = nk(6)+1; end % if end % for npk(1) = data*pk(1); % npk0 npk(2) = data*pk(2); % npk1 npk(3) = data*pk(3); % npk2 npk(4) = data*pk(4); % npk3 npk(5) = data*pk(5); % npk4 npk(6) = data*pk(6); % npk>4 npktotal = npk(1)+npk(2)+npk(3)+npk(4)+npk(5)+npk(6); %perhitungan nilai-nilai chi-square sebelum dilakukan grouping chi(1) = (nk(1)-npk(1))^2/npk(1); chi(2) = (nk(2)-npk(2))^2/npk(2); chi(3) = (nk(3)-npk(3))^2/npk(3); chi(4) = (nk(4)-npk(4))^2/npk(4); chi(5) = (nk(5)-npk(5))^2/npk(5); chi(6) = (nk(6)-npk(6))^2/npk(6); chitotal = chi(1)+chi(2)+chi(3)+chi(4)+chi(5)+chi(6); % nkgabungan untuk rule A nkgabA(1) = nk(1); nkgabA(2) = nk(2); nkgabA(3) = nk(3); nkgabA(4) = nk(4); nkgabA(5) = nk(5)+nk(6); % Rule A for i = 1 : 6 temp = 0.8*npk(i);

if npk(i) < 1 && temp < 5 indeks = i; % perlu digabung mulai indeks - 1 break end end % for npkgab = 0; for i = indeks-1 : 6 npkgab = npkgab + npk(i); end for i = 1 : indeks - 1 if i == indeks - 1 npkA(i) = npkgab; else npkA(i) = npk(i); end end %menghitung nilai-nilai chi-square dengan rule A chiA(1) = (nkgabA(1)-npkA(1))^2/npkA(1); chiA(2) = (nkgabA(2)-npkA(2))^2/npkA(2); chiA(3) = (nkgabA(3)-npkA(3))^2/npkA(3); chiA(4) = (nkgabA(4)-npkA(4))^2/npkA(4); chiA(5) = (nkgabA(5)-npkA(5))^2/npkA(5); chiAtotal = chi(1)+chi(2)+chi(3)+chi(4)+chi(5); % Rule B for i = 1 : 6 if npk(i) < 5 indeks = i; % perlu digabung mulai indeks - 1 break end end % for npkgab = 0; for i = indeks-1 : 6 npkgab = npkgab + npk(i); end for i = 1 : indeks-1 if i == indeks - 1

npkB(i) = npkgab; else npkB(i) = npk(i); end end %nk gabungan untuk rule B nkgabB(1) = nkgabA(1); nkgabB(2) = nkgabA(2); nkgabB(3) = nkgabA(3); nkgabB(4) = nkgabA(4)+nkgabA(5); %perhitungan nilai-nilai chi-square dengan rule B chiB(1) = (nkgabB(1)-npkB(1))^2/npkB(1); chiB(2) = (nkgabB(2)-npkB(2))^2/npkB(2); chiB(3) = (nkgabB(3)-npkB(3))^2/npkB(3); chiB(4) = (nkgabB(4)-npkB(4))^2/npkB(4); chiBtotal = chi(1)+chi(2)+chi(3)+chi(4); %perhitungan parameter-parameter PIG MLE hasil simulasi xbar = (0*nk(1)+1*nk(2)+2*nk(3)+3*nk(4)+4*nk(5))/data; g_sim = xbar; htopi = fzero(@maxlike,0) %perhitungan expected premi Q(1)=1; for t=1:7 for k=0:6 mu = g_sim/sqrt(2*htopi*(t+1/(2*htopi))); beta = 1/(2*(t+1/(2*htopi))); Q(k+2) = (2*(k+1)-1)/(mu/beta)+1/Q(k+1); premi(t,k+1) = 100*mu*Q(k+1)/g_sim; end end format short nk format short 'e' pk format bank npk npktotal disp('-----------------------------------------') disp('nilai-nilai chi-square sebelum grouping :')

disp('-----------------------------------------') chi chitotal format short nkgabA format bank npkA npkA_total = sum(npkA) disp('-------------------------------------------------------') disp('nilai-nilai chi-square setelah grouping dengan rule A :') disp('-------------------------------------------------------') chiA chiAtotal format short nkgabB format bank npkB npkB_total = sum(npkB) disp('-------------------------------------------------------') disp('nilai-nilai chi-square setelah grouping dengan rule B :') disp('-------------------------------------------------------') chiB chiBtotal format long g_sim htopi format short t = [1 2 3 4 5 6 7]'; temppremi = [t premi]; temp = []; for i = 1 : 7 temp = [temp; sprintf('%1.0f %5.4f %10.4f %10.4f %10.4f %10.4f %10.4f %10.4f', temppremi(i,:))]; end label1 = ' k ' ; label2 = 't 0 1 2 3 4 5 6';

label3 = '0 100.00'; tempstring = num2str(temp); Expected_Premi = strvcat(label1, label2, label3, tempstring) load ws [T0,T1,T2,T3,T4,Tbsr4,P]=MPT_PIG_MLE_BELGIA(databelgia);

5. Listing program untuk simulasi model Good-risk/Bad-risk dengan penaksir momen clear all; clc; global a1topi lambda1 lambda2 a2topi data a1_taksiran a2_taksiran lambda1_taksiran lambda2_taksiran a1topi = 0.9112; lambda1 = 0.0762; lambda2 = 0.3567; a2topi =(1-a1topi); data = 106974; nk(1) = 0; %inisialisasi awal untuk jumlah pemegang polis yang mengajukan 0 klaim atau nk0 nk(2) = 0; nk(3) = 0; nk(4) = 0; nk(5) = 0; nk(6) = 0; %inisialisasi awal untuk jumlah pemegang polis yang mengajukan >4 klaim atau nk>4 pk(1) = a1topi*(lambda1^0*exp(-lambda1)/factorial(0))+a2topi*(lambda2^0*exp(-lambda2)/factorial(0)); %peluang mengajukan 0 klaim/pk0 pk(2) = a1topi*(lambda1^1*exp(-lambda1)/factorial(1))+a2topi*(lambda2^1*exp(-lambda2)/factorial(1)); pk(3) = a1topi*(lambda1^2*exp(-lambda1)/factorial(2))+a2topi*(lambda2^2*exp(-lambda2)/factorial(2)); pk(4) = a1topi*(lambda1^3*exp(-lambda1)/factorial(3))+a2topi*(lambda2^3*exp(-lambda2)/factorial(3)); pk(5) = a1topi*(lambda1^4*exp(-lambda1)/factorial(4))+a2topi*(lambda2^4*exp(-lambda2)/factorial(4)); pk(6) = 1-(pk(1)+pk(2)+pk(3)+pk(4)+pk(5));%peluang mengajukan >4 klaim atau pk >4

pktotal = (pk(1)+pk(2)+pk(3)+pk(4)+pk(5)+pk(6)); %iterasi untuk mengenerate bilangan acak untuk mendapatkan data yang mirip data Lemaire (1995) for j=1:data u=rand(1,1); if u < pk(1) nk(1)=nk(1)+1; elseif u < pk(1)+pk(2) nk(2)=nk(2)+1; elseif u < pk(1)+pk(2)+pk(3) nk(3)=nk(3)+1; elseif u < pk(1)+pk(2)+pk(3)+pk(4) nk(4)=nk(4)+1; elseif u < pk(1)+pk(2)+pk(3)+pk(4)+pk(5) nk(5)=nk(5)+1; else nk(6)=nk(6)+1; end % if end % for npk(1) = data*pk(1); %npk0 npk(2) = data*pk(2); %npk1 npk(3) = data*pk(3); %npk2 npk(4) = data*pk(4); %npk3 npk(5) = data*pk(5); %npk4 npk(6) = data*pk(6); %npk>4 npktotal = npk(1)+npk(2)+npk(3)+npk(4)+npk(5)+npk(6); %menghitung nilai-nilai chi-square sebelum digabung chi(1) = (nk(1)-npk(1))^2/npk(1); chi(2) = (nk(2)-npk(2))^2/npk(2); chi(3) = (nk(3)-npk(3))^2/npk(3); chi(4) = (nk(4)-npk(4))^2/npk(4); chi(5) = (nk(5)-npk(5))^2/npk(5); chi(6) = (nk(6)-npk(6))^2/npk(6); chitotal = (chi(1)+chi(2)+chi(3)+chi(4)+chi(5)+chi(6)); % nkgabungan untuk rule A nkgabA(1) = nk(1); nkgabA(2) = nk(2); nkgabA(3) = nk(3); nkgabA(4) = nk(4); nkgabA(5) = nk(5)+nk(6);

% Rule A for i = 1 : 6 temp = 0.8*npk(i); if npk(i) < 1 && temp < 5 indeks = i; % perlu digabung mulai indeks - 1 break end end % for npkgab = 0; for i = indeks-1 : 6 npkgab = npkgab + npk(i); end for i = 1 : indeks - 1 if i == indeks - 1 npkA(i) = npkgab; else npkA(i) = npk(i); end end %menghitung nilai-nilai chi-square dengan rule A chiA(1) = (nkgabA(1)-npkA(1))^2/npkA(1); chiA(2) = (nkgabA(2)-npkA(2))^2/npkA(2); chiA(3) = (nkgabA(3)-npkA(3))^2/npkA(3); chiA(4) = (nkgabA(4)-npkA(4))^2/npkA(4); chiA(5) = (nkgabA(5)-npkA(5))^2/npkA(5); chiAtotal = chi(1)+chi(2)+chi(3)+chi(4)+chi(5);

% Rule B for i = 1 : 6 if npk(i) < 5 indeks = i; % perlu digabung mulai indeks - 1 break end end % for npkgab = 0; for i = indeks-1 : 6 npkgab = npkgab + npk(i); end

for i = 1 : indeks-1 if i == indeks - 1 npkB(i) = npkgab; else npkB(i) = npk(i); end end %nk gabungan untuk rule B nkgabB(1) = nkgabA(1); nkgabB(2) = nkgabA(2); nkgabB(3) = nkgabA(3); nkgabB(4) = nkgabA(4)+nkgabA(5); %perhitungan nilai-nilai chi-square dengan rule B chiB(1) = (nkgabB(1)-npkB(1))^2/npkB(1); chiB(2) = (nkgabB(2)-npkB(2))^2/npkB(2); chiB(3) = (nkgabB(3)-npkB(3))^2/npkB(3); chiB(4) = (nkgabB(4)-npkB(4))^2/npkB(4); chiBtotal = chi(1)+chi(2)+chi(3)+chi(4);

%perhitungan parameter-parameter model GRBR dari data simulasi a = (0*nk(1)+1*nk(2)+2*nk(3)+3*nk(4)+4*nk(5))/data; alpa2 = (0^2*nk(1)+1^2*nk(2)+2^2*nk(3)+3^2*nk(4)+4^2*nk(5))/data; alpa3 = (0^3*nk(1)+1^3*nk(2)+2^3*nk(3)+3^3*nk(4)+4^3*nk(5))/data; b = alpa2-a; c = alpa3-3*alpa2+2*a; S = (c-a*b)/(b-a^2); P = (a*c-b^2)/(b-a^2); lambda1_taksiran = (S-sqrt(S^2-4*P))/2; lambda2_taksiran = (S+sqrt(S^2-4*P))/2; a1_taksiran = (a-lambda2_taksiran)/(lambda1_taksiran-lambda2_taksiran); a2_taksiran = 1-a1_taksiran; % perhitungan expected premium for t=1:7 for k=0:6 posterior(t,k+1) = 1/(1+((1-a1_taksiran)/a1_taksiran)*(lambda2_taksiran/lambda1_taksiran)^k*exp(-t*(lambda2_taksiran-lambda1_taksiran))); premi(t,k+1)=100*(posterior(t,k+1)*lambda1_taksiran+(1-posterior(t,k+1))*lambda2_taksiran)/(a1_taksiran*lambda1_taksiran+a2_taksiran*lambda2_taksiran); end end

format short nk format short 'e' pk format bank npk disp('-----------------------------------------') disp('nilai-nilai chi-square sebelum grouping :') disp('-----------------------------------------') chi chitotal format short nkgabA format bank npkA disp('-------------------------------------------------------') disp('nilai-nilai chi-square setelah grouping dengan rule A :') disp('-------------------------------------------------------') chiA chiAtotal format short nkgabB format bank npkB disp('-------------------------------------------------------') disp('nilai-nilai chi-square setelah grouping dengan rule B :') disp('-------------------------------------------------------') chiB chiBtotal format short t = [1 2 3 4 5 6 7]'; temppremi = [t premi]; temp = []; for i = 1 : 7

temp = [temp; sprintf('%1.0f %5.4f %10.4f %10.4f %10.4f %10.4f %10.4f %10.4f', temppremi(i,:))]; end label1 = ' k ' ; label2 = 't 0 1 2 3 4 5 6'; label3 = '0 100.00'; tempstring = num2str(temp); Premi = strvcat(label1, label2, label3, tempstring) load ws; [T0,T1,T2,T3,T4,Tbsr4,P]=MPT_GRBR_Moment_BELGIA(databelgia);

simulasi sistem bonus malus (studi kasus · pdf fileabstrak simulasi sistem bonus malus (studi...

Documents