simulation des procédés

1

OPTIMISATION OPTIMISATION et et

SIMULATIONSIMULATIONdesdes

PROCESSUSPROCESSUS

OPTIMISATION OPTIMISATION et et

SIMULATIONSIMULATIONdesdes

PROCESSUSPROCESSUS

Belkacem OULD BOUAMAMAProfesseur : Ecole Polytechnique de Lille (poltech-lille.fr)

Recherche : Laboratoire d'Automatique, Génie Informatique et Signal (LAGIS - UMR CNRS 8021)

Coordonnées :[email protected]

Tel: (33) (0) 3 28 76 73 97 , mobile : (33) (0) 6 60 12 30 20

2

PRESENTATION PRESENTATION DuDu

COURSCOURS

PRESENTATION PRESENTATION DuDu

COURSCOURS

Chap.1/3 Copyright© : Prof. B. Ould Bouamama ,

Polytech’LilleChap1 : METHODES STATISTIQUES D’IDENTIFICATION

Chapitre 1: INTRODUCTION Définitions & but de la simulation et de l'optimisation de processus Importance et rôle de l'optimisation dans la protection de

l'environnementEtapes de résolution d'un problème d'optimisation d'un processus



Chap Chap 22

Chap Chap 22

TRAITEMENT DE DONNEES EXPERIMENTALES D'UN PROCESSUS Méthodes statistiques de modélisation : Définitions & but Modèles de régression Principe des méthodes des moindres carrés (MMC) Régression linéaire multiple Adéquation des modèles et signification des coefficients Vérification des hypothèses de régression Méthodes de corrélation Exemple d'application Estimation récursive MMC avec facteur de pondération Méthode des MC avec fenêtre glissante Exemple d'application



Chap3: OPTIMISATION DES PROCESSUS TECHNOLOGIQUES Problématique de l'optimisation des processus technologiques Méthodes analytiques d'optimisation Programmation linéaire

APPLICTION : TD de 4h : utilisation du logiciel Matlab pour la simulation d'un

problème d'optimisation d'un processus chimique en vue de minimiser le taux de pollution

6

CHAP1CHAP1CHAP1CHAP1

INTRODUCTION



Chap1 : Chap1 : IntroductionIntroduction

Chap1 : Chap1 : IntroductionIntroduction

Définitions & but de la simulation et de l'optimisation de processus

Importance et rôle de l'optimisation dans la protection de l'environnement

Etapes de résolution d'un problème d'optimisation d'un processus



Importance & objectifs des modèles Importance & objectifs des modèles statistiquesstatistiques

Importance & objectifs des modèles Importance & objectifs des modèles statistiquesstatistiques

Caractère stochastique de la majorité des phénomènes; " L'intelligence des statistiques sera un jour une

compétence aussi indispensable à l'exercice de la citoyenneté que la lecture ou

l'écriture". (H.G.Wells).

ObjectifsFournir des lois, de nature "statistique", là où il n'est pas

possible d'en fournir qui soient de nature certaine ou déterministe.

ApplicationsSondage, prévision, contrôle des processus indust. Lois empiriques



ModélisatioModélisation ?n ?

ModélisatioModélisation ?n ?

Définitions Modélisation ? : Ensemble des procédures permettant d’obtenir un modèle Modéliser un système = capable de prédire le comportement du système Subjectivisme de la modélisation : modèle = intersection du système et du

modélisateur Modèle jamais "exact"?

Importance Outil d'aide à la décision., Support de la simulation, Représente 50 % d’un projet de commande Perspectives grâce à l'informatisation

Un modèle pourquoi faire ? Concevoir, Comprendre, Prévoir, Commander (décider).



Un modèle comment Un modèle comment faire ?faire ?

Un modèle comment Un modèle comment faire ?faire ?

1. MODELE DE CONNAISSANCE Obtenu sur la base des lois physiques, économiques etc.. Difficultés de décrire fidèlement les phénomènes complexes; Hypothèses simplificatrices; Dilemme- précision-simplicité Un modèle simple est faux, un modèle compliqué est inutilisable. Les paramètres ont un sens physique donc modèle commode pour l'analyse.

2. MODELE DE REPRESENTATION Système "boite noire"; Expérience active (système dérangé) ou passive (aléatoire); Etape qualitative (connaissances a priori) et quantitative; Paramètres du modèle n'ont aucun sens physique; Modèle de conduite (modèle E/S) utile pour la commande; Complément du modèle de représentation.



Classification des Classification des modèlesmodèles

Classification des Classification des modèlesmodèles

selon le caractère des régimes de fonctionnement statique et dynamique

selon la description mathématique linéaire, non linéaire

selon les propriétés dynamiques à paramètres localisés, à paramètres distribués

selon l’évolution des paramètres : stochastique , déterministe

selon le nombre de variables : monovariable (SISO) , multivariable (MIMO)


Polytech’LilleChap1 : METHODES STATISTIQUES D’IDENTIFICATION Étapes de Étapes de

modélisationmodélisationÉtapes de Étapes de

modélisationmodélisation

PROCESSUS PHYSIQUE

Acquisition de données

SIMULATION, MONITORING, CONTROL...

Amélioration du modèle

NON

Etablissement du schéma de principe

Représentation par bloc

Mise en équation

Modèle adéquat ?

Calcul erreur de modélisation

OUI

PROCESSUS PHYSIQUEPROCESSUS PHYSIQUE

Acquisition de données

SIMULATION, MONITORING, CONTROL...

Amélioration du modèle

NON

Etablissement du schéma de principe

Représentation par bloc

Mise en équation

Modèle adéquat ?

Modèle adéquat ?

Calcul erreur de modélisation

OUI

13

Chapitre 3Chapitre 3Chapitre 3Chapitre 3

OPTIMISATION


Polytech’LilleChap3 : OPTIMISATION

INTRODUCTION

OPTIMISATION : Obtention d'un meilleur résultat sous

quelques conditions.

Critère d'optimalité : Fonction économique ou de but.

Représentation quantitative du but d'optimisation. Importance du modèle mathématique.

Formes de la f-n de but (Algébrique, diff-elles..)

CONTRAINTES (Restrictions) : Limitations des ressources

disponibles.

EXEMPLES : Maximum de profit avec ressources limitées etc..



CONDITIONS CONDITIONS D'OPTIMISATIOND'OPTIMISATION

CONDITIONS CONDITIONS D'OPTIMISATIOND'OPTIMISATION

Optimisation d'une seule grandeur : Impossible de maximiser le profit avec minimum de ressources .Degré de liberté suffisant du système a optimiser Ressources suffisantes pour satisfaire le but d'optimisation.

EVALUATION QUANTITATIVE DE LA QUALITE D'OPTIMISATION Formulation mathématique du critère;Comparer les effets des différentes actions de commande.



METHODES METHODES D'OPTIMISATION D'OPTIMISATION

METHODES METHODES D'OPTIMISATION D'OPTIMISATION

METHODES ANALYTIQUES Utilisent les méthodes classiques de l'analyse mathématique

(Extremum d'une f-n) Utilisées dans le cas d'un critère d'optimalité d'expression

simple; Emploi limité : Difficultés avec apparition de contraintes et

plusieurs variables. METHODES DU CALCUL VARIATIONNEL

Critère est sous forme de fonctionnelle ou dont la solution est une fonction inconnue;

Utilisées pour l'optimisation statique des systèmes à paramètres distribués ou dans la programmation dynamique;

Permettent de résoudre le problème optimale en intégrant le système d'équations différentielles;

Résolution en présence de contraintes type égalité ou inégalité.



METHODES METHODES D'OPTIMISATIOND'OPTIMISATION


PROGRAMMATION DYNAMIQUE Résolution des problèmes d'optimisation de processus

discontinus; Critère d'optimalité est le résultat de la somme de plusieurs

critères de chaque stade; La méthode se présente sous forme d'un algorithme pour la

détermination d'une stratégie de commande optimale de tous les stades du processus en tenant compte de toutes les contraintes;

PRINCIPE DU MAXIMUM Utilisés pour les problèmes décrits par des systèmes

d'équations différentielles; La solution optimale est la résolution des équations

différentielles décrivant le processus et celui des contraintes pour des conditions aux limites représentant le domaine de l'intervalle d'intégration.





PROGRAMMATION NON LINEAIRE Pour la résolution de problèmes ayant une fonction but non

linéaire; Contraintes peuvent aussi être non linéaires sous forme

égalité ou inégalité; Utilisées en pratique lorsque le problème ne peut être

résolu par d'autres méthodes; Plusieurs algorithmes numériques existent pour la

résolution de ce type de problème; Méthode indirecte : L'action de la recherche de l'optimum

(direction et module) dépend des informations précédentes recueillies sur le calcul du critère



DÉFINITIONMéthode de recherche de l'extremum du critère d'optimalité dans

les problèmes dont les équations sont linéaires.

FORMULATION MATHEMATIQUE Fonction économique : Elle associe linéairement les quantités de

facteurs utilisés et les profits unitaires correspondants

Contraintes : La manière dont les facteurs peuvent être combinés pour utiliser les ressources et générer un résultat au travers de F

facteur. iémei du (Coût) Marge:facteur; iémei du Quantités::

...2211

ii

nn

CXAvec

XCXCXCF

0...,,: plus en 21

...2211ou

...2211

nXXX

BnXnaXaXa

BnXnaXaXa ai : Nombre d'heures de travail nécessaires pour fabriquer une unité du produit i;B : Total des heures disponibles pour la fabrication des n produits.

PROGRAMMATION LINEAIRE PROGRAMMATION LINEAIRE (PL)(PL)

PROGRAMMATION LINEAIRE PROGRAMMATION LINEAIRE (PL)(PL)



Problématique de Problématique de la PLla PL

Problématique de Problématique de la PLla PL

But :Optimiser les résultats économiques tout en tenant compte

strictement des contraintes

.)(et

.)(.

:quetel

... Déterminer 21

BXa

MinMaxXCF

XXXX

ii

ii

n



Niveaux d'appréhension de Niveaux d'appréhension de la PLla PL

Niveaux d'appréhension de Niveaux d'appréhension de la PLla PL

FONCTION ÉCONOMIQUE

FORME DES CONTRAINTES

NIVEAU DES RESSOURCES

La f-n économique peut-elle être modifiée pour une meilleure utilisation des ressources : modifier les prix, les marges…

Le desserrement des contraintes par un accroissement des ressources permet-il d'améliorer la f-n économique d'un montant supérieur aux ressources engagés ? …

Peut-on améliorer la solution du probléme en modifiant la structure des contraintes Modification de technologie ou de produits fabriqués?.



RESOLUTION D’UN RESOLUTION D’UN PROBLEME PLPROBLEME PL

RESOLUTION D’UN RESOLUTION D’UN PROBLEME PLPROBLEME PL

1. METHODE GRAPHIQUELorsque le nombre de variables est limité (< à 2), il est possible de

résoudre un problème d'optimisation linéaire graphiquement

EXEMPLE Une société fabrique 2 produits P1 et P2. Il faut leur faire subir des

opérations dans 3 ateliers différents où ils doivent être progressivement montés.

Soit A1, A2 et A3 les 3 ateliers : Estampage, reprise et Assemblage.Les profits unitaires réalisés sur les produits P1 et P2 sont

respectivement 15 F et 12,5 F.



Méthode graphique de Méthode graphique de la PLla PL


Capacités d'usinage (en nbre de pièces)

Les pourcentages (% du temps d'occupation disponible) des capacités totales utilisées pour chaque fabrication unitaire sont :

(Calculés : pour estampage : 100/25000 = 0.004 % de la capacité totale pour chaque unité)

Estampage Reprise Assemblage P1 Assemblage P2

Produit P1 25 000 33 333 22 500 -

Produit P2 35 000 16 667 - 15 000

Estampage Reprise Assemblage P1 Assemblage P2

Produit P1 0,004 0,003 0,0044 0

Produit P2 0,00286 0,006 0 0,00667

Capacité unitaire tot. utilisé [%]

100 100 100 100





Question : Quantité de produits P1 et P2 à produire de telle sorte que :

Le profit soit maximal; Tout en respecter les limitations de capacité de production

1. Formulation mathématique Soit X1 et X2 les quantités des produits P1 et P2 à produire

Fonction de profit : Contraintes (Limitation des capacités de production) :

.5,1215 21 MaxXXF

0,,

P2 Asemblage : 10000667,00

P1 Asemblage : 10000044,0

reprise : 1000060,0003,0

Estampage : 10000286,0004,0

321

21

21

21

21

XXX

XX

XX

XX

XX



2. RESOLUTION GEOMETRIQUE2. RESOLUTION GEOMETRIQUE2. RESOLUTION GEOMETRIQUE2. RESOLUTION GEOMETRIQUE

On trace sur le plan OX1 et OX2 trace les droites :

10000667,00)....4(

10000044,0)...3(

1000060,0003,0)....2(

10000286,0004,0)....1(

21

21

21

21

XX

XX

XX

XX

x1 0 0 0

X 1

X 2

0 5 1 0 1 5 2 0 2 5 3 0

35

30

20

25

15

10

5

E stam page

A ssem blage P 1

R epr ise

M

N

P

QR

F O P T IM A L

d

(1 )

(2 )

(3 )

(4 )A ssem blage P 2

(S a tu ra tio n )

(N o n sa tu ra tio n )

(S a tu ra tio n )


Les valeurs des var. X1 et X2 au dessous des droites (1), (2) et (4),

et à gauche de (3);

X1 et X2 ne peuvent être < 0 car ce serait un non-sens du point de vue économique ;

Toute solution doit se trouver dans la zone

ombrée



Méthodologie : On déplace parallèlement à elle même la droite F jusqu'au point extrême P, où la droite F cesse d'avoir un point commun avec le domaine du polyèdre OMNPQR, formé par le plan associé aux contraintes en ce point

x1 0 0 0

X 1

X 2

0 5 1 0 1 5 2 0 2 5 3 0

35

30

20

25

15

10

5

E stam page

A ssem blage P 1

R epr ise

M

N

P

QR

F O P T IM A L

d

(1 )

(2 )

(3 )

(4 )A ssem blage P 2

(S a tu ra tio n )


(S a tu ra tio n )


Point optimal P X1opt=20363X2opt=6485Fmax=159271 FF



ANALYSE DES RESULTATS En ce point P les capacités limites ne sont pas toutes atteintes :

En produisant 20363 produits de P1 et 6485 de P2, le profit sera optimal, les capacités d'estampage et de reprise seront saturées tandis que celles d'assemblage ne le seront pas.

Propositions : Diminuer la capacité d'assemblage de P2 (si c'est possible) ce qui

diminuera le prix de revient donc augmenter le profit. Augmenter le profit en variant le profit unitaire correspondant à chacune

des fabrication (ceci se traduit par une plus grande inclinaison de F sur la figure).

saturationNon 25,43648500667,0

saturationNon 60,89203630044,0

Saturation10064850060,020363003,0

Saturation100648500286,020363004,0



LIMITES DE LA SOLUTION GRAPHIQUE Si nombre de variables > 3 problème de représentation Si par ex. n=15 et m (nombre de contraintes) =10, la

méthode graphique conduit à plus de 3 millions de points d'intersection.



ALGORITHME DU ALGORITHME DU SIMPLEXESIMPLEXE

ALGORITHME DU ALGORITHME DU SIMPLEXESIMPLEXE

Méthode dite simpliciale ou méthode du simplexe, élaborée par George Dantzig (USA). Utilise la procédure employée par le graphe :

On évalue les performances de chaque sommet du polyèdre délimité par les contraintes en n dimensions : La sol. opt. est acquise lorsque aucune modification ne permet d'améliorer la valeur de la fonction économique.



EXEMPLEUne entreprise peut fabriquer sur une seule machine fonctionnant

45h/semaine 3 produits P1,P2,P3.Les profits nets sont respectivement : 4F, 12F et 3F. Rendement de la machine (Nbre d'article/h) : 50 P1/h, 25 P2/h, 75

P3/h. Possibilités de ventes : 100 P1, 500 P2, 1500 P3.

Question : Répartir la capacité de production entre les 3 produits pour

maximiser le profit



FORMULATION MATHEMATIQUE X1, X2 et X3 : Quantité des produits à P1, P2 et P3

F : La fonction économique

Variables d'écart (V.E.) : X4, X5 , X6 et X7 Elles permettent de transformer les inégalités en égalités afin de prendre en compte la

saturation d'une contrainte (V.E. = 0) ou la non saturation (V.E. > 0). V.E. = La différence entre les valeurs des 1er et 2-éme membres des 3 inéquations

675026345752550

15000

5000

1000X0

:sContrainte

.3124

321321

3

2

1

321

XXXXXX

X

X

MaxXXXF



MISE EN EQUATION AVEC LES V.E

FORME MATRICIELLE

6750263

1500

500

1000X

7321

63

52

41

XXXX

XX

XX

X

(7) (6) (5) (4) (3) (2) (1)

6750

1500

500

1000

1000263

0100100

0010010

0001001

7

6

5

4

3

2

1

X

X

X

X

X

X

X

.base hors Variables:,,

;BASE de Variables:,,,

321

7654

XXX

XXXX



INITIALISATION Solution évidente mais sans intérêt :

Sens : Profit nul (Valable lors de a fermeture annuelle pour congé payé)

Cette solution donne le sommet 0 du polyèdre.

Passons de ce sommet initial à un sommet voisin, en augmentant la valeur de F, si possible.

6750,1500,500,1000:

0

7654

321

XXXXAlors

XXX



FORMULES DE CHANGEMENT DE COORDONNEES

X i

j

S o lu tion

j

A6A5A4A3A2A1 A 7A 0In dice

V .E . C i(C oû t base )

X j

C C oeffic ien ts de F

F = 0

4 12 3 0 0 0 0 0 0 0 1000 500 1500 6750

C oû ts m arg in au x 4 12 3 0 0 0 0 j

Colonne j=2, ligne i=5



COUTS MARGINAUX j : Coefficients de la fonction économique

Sortie d'un vecteur Ai de la base et entree d'un vecteur Aj dand la base : Xij ➽ "PIVOT". (Intersection ligne i et colonne j)

CRITERES DE DANTZIG Pour déterminer la colonne Aj qui doit ENTRER dans la base, on

sélectionne celle qui compte le coût marginal le PLUS GRAND. (Pour améliorer la solution initial, il est judicieux de faire d'abord entrer dans

cette solution la variable qui apporte la marge la plus grande.)

.3,12,43124 321321 XXXF

colonneémejgrand 2)2(122



Pour déterminer la colonne Ai qui doit SORTIR de la base, on choisit celle d'indice i telle que

La colonne i=5 va sortir de la base car x5 /x52 est le plus petit. Alors : La colonne i=5 va sortir de la base (i=5); La colonne j=2 va entrer dans la base (déjà choisi celle qui compte le coût marginal

le plus grand j=2); L'élément X52 est le pivot de la transformation (ici X52 =1)

X2 va entrer dans la base; Nouvelle base (4), (2),(6),(7).

positifsceux parmi PETIT PLUS leSoit ij

i

X

X

6

3750,

0

1500,

1

500,

0

1000)7,6,5,4(

2;

3750

1500

500

1000

,

6

0

1

0

212=max iXi

XXXj iiijj

Voir tableau : i=ligne n°5, j=2 colonne



ETAPE 1 : i = 5, j = 2TABLEAU N° 1 : Nouvelle base (4,2,6,7)

X i

j

S o lu tion

j



X j


C oû ts m arg in au xj

X 2 en tre d a n s la b a se

4 12 3 0 0 0 0 0 500 0 1000 0 1500 3750

4 0 3 0 -12 0 0 F = 6000



Comment calculer les nouvelles valeurs du tableau ? On se base sur le tableau initial tel présenté plus haut

Nouvelle valeur de la fonction economique F‘

F (ancienne valeur de la f-n économique) = 0; j (coût marginal maximal) = 12

Alors : F' = 0+(500/1).12 = 6000

jij

i

X

XFF .

125005 255 XXjXXi iji



Valeur de l'élément de la ligne K dans la colonne A0

iKsiX

XX

iKsiX

XXXX

ij

ii

ij

iKJKK

.

).(37501

500.66750.

);(15001

500.01500.

);(500.

);(10001

500.01000.

52

57277

52

56266

52

55

52

54244

iKX

XXXX

iKX

XXXX

iKX

XX

iKX

XXXX



Valeur de l'element de la ligne K dans la colonne Al

iKsiX

XX

iKsiX

XXXX

ij

ilil

ij

ilKJKlKl

.

);(61

1..60.

7,5

.

.

);(31

0.03.

.

.

);(01

0.

);(11

0.01.

:)0=X=car inchangés(Eléments1l1Colonne

52

55727575

.75

52

51727171

52

5151

52

51424141

51

iKX

XXXX

XElémentLigneColonne

iKX

XXXX

iKX

XX

iKX

XXXX

X il



Nouvelles valeurs des coûts marginaux j

jKsi

jKsiX

X

j

ij

iKjKK

0

.

).(01

0.120.

);(01

0.120.

);(121

1.120.

);(01

0.120.

);(31

0.123.

);(0

);(41

0.124.

:Alors

.valeurncienne

.)7...3,2,1(;5;12max2

52

57277

52

56266

52

55255

52

54244

52

53233

2

52

51211

2

jKX

X

jKX

X

jKX

X

jKX

X

jKX

X

jK

jKX

X

A

colonneNKij

K

j



l'optimum est atteint lorsque tous les couts marginaux J sont négatifs ou nuls. Car dans ce cas son passage à la base provoquerait une diminution du critère d'optimalité.

ETAPE 2 : i = 4, j = 1 Sur la base du tableau de l'étape 1 on a :

Les coefficients sont calculés comme précédemment et on obtient :

24:41:

43

3750,

0

1500,

1

500,

1

1000:0

14max

jindiceayantColonneiindiceayantLigneXPIVOT

ipetitplusleijX

iX

jj



TABLEAU N° 2 : Nouvelle base (1,2,6,7)

Xi

j

Solution

j

A6A5A4A3A2A1 A 7A 0Indice

V.E. Ci(Coût base)

Xj

C Coefficients de F

Coûts marginauxj

4 12 3 0 0 0 0 1000 500 0 0 0 1500 750

0 0 3 -4 -12 0 0

F = 10000

X1entrebase



ETAPE 3 : i = 7 , j = 3 Sur la base du tableau de l'étape 2 on a :

.2:

;72

7500

X

X

3;=j3=max.

73

ij

i

XPIVOT

iestpetitplusle

j



NOUVEAU TABLEAUNouvelle base (1,2,6,3)

Xi

j

Solution

j

A6A5A4A3A2A1 A 7A 0Indice

V.E. Ci(Coût base)

Xj

C Coefficients de F

Coûts marginauxj

4 12 3 0 0 0 0 1000 500 375 0 0 1125 0

X3 entredans base

0 0 0 1/2 -3 0 - 3/2

> 0 L'optimum n'est pas atteind

F = 11125



DERNIERE ETAPE : i = 6, j = 4Sur la base du tableau de l'étape 3 on a :

Les valeurs des éléments X’Kl , X’K ’K et F’ sont calculées sur la base du tableau ci-dessus tel présenté, d'une façon analogue

.23:

;623

11250

X

X ;4=j21=max.

64

ij

i

XXPIVOT

iestpetitplusle

ij

j



X i

j

S o lu tion

j



X j


C oû ts m arg in au xj

< 0 L 'o p tim u m e s t a tte in d

F = 115000 0 0 0 -4 -1 /3 -4 /3

4 12 3 0 0 0 0 250 500 1500 750 0 0 0

FXXXF

XXX

OPTIMALESOLUTION

11500.3.12.4

1500,500,250

:

321

321



Commentaires :Saturation de ventes pour les produits P3 et P2 Non-saturation pour le produit P1. La machine est occupé pleinement puisque 3X1+6X2+2X3=

6750h/semaine



Programme sous MATLABProgramme sous MATLABProgramme sous MATLABProgramme sous MATLAB

% Introduction de données :Home

r=-[4 12 3]; % on met le signe (-) car on maximise et non minimiseA=[1 0 0;0 1 0;0 0 1;3 6 2];B=[1000;500;1500;6750];

% Recherche de la solution optimale x=[x1opt x2opt x3opt]

[xopt,FVAL]=LINPROG(r,A,B)

%valeur maximale de la fonction fopt=4*xopt(1)+12*xopt(2)+3*xopt(3)

50

METHODE DE LAGRANGEMETHODE DE LAGRANGEMETHODE DE LAGRANGEMETHODE DE LAGRANGE



ProblématiqProblématiqueue

ProblématiqProblématiqueue

Soit une fonction g(x1, x2, …xn) à trouver un extremumLes variables x1, x2, …xn ne sont pas indépendantes : elles sont

reliées par m relations

Introduisons j(j=1,…m) de nouvelles variables dites Multiplicateurs de Lagrange et formons :

0,...,

.

.

0,...,

0,...,

21

212

211

nm

n

n

xxx

xxx

xxx

0),...(...),...(),...(),...(,...,,... 1122111111 nmmnnnmn xxxxxxxxgxx

CONTRAINTES m<n



Conditions Conditions d’extremumd’extremumConditions Conditions

d’extremumd’extremumConditions d’extremum :

Equations de contraintes

0),...,(

.

.

0),...,(

0),...,(

21

2

21

1

21

n

n

n

n

x

xxx

x

xxx

x

xxx

0,...,

.

.

0,...,

0,...,

21

212

211

nm

n

n

xxx

xxx

xxx



Problème global d’optimisation

Ce système à (n+m) équations permet de déterminer les variables technologiques optimales et les valeurs des m multiplicateurs de Lagrange pour lesquelles la fonction de but est optimale et les contraintes respectées

0,...,

.

.

0,...,

0),...,(

.

.

0),...,(

21

211

21

1

21

nm

n

n

n

n

xxx

xxx

x

xxx

x

xxx

n équations

m équations



Exemple Exemple d’applicationd’application

Exemple Exemple d’applicationd’application

EXEMPLEDéterminer les dimensions d’un réservoir cylindrique de volume V

donnée, qui possède une surface S minimale.R

h

)2(0V),(V :Contrainte

)1(),(2 :minimiserà Fonction2

12

2

hRhRhR

hRgRhRS



SolutioSolutionn

SolutioSolutionn

Formulation mathématique

Développement : méthode de Lagrange

)2(0V),(V :Contrainte

)1(),(2 :minimiserà Fonction2

12

2

hRhRhR

hRgRhRS

)5(02),(

)4(0222),(

optimales Conditions

)3(V2h)(R,

Lagrange deFonction

2

22

RRh

hR

RHhRR

hR

hRRhR

)9(V

22.(2) dans(7)et )8(

)8(4

)5(R

)7(2

R (6),interetd' Pas0,R

Solution

3

2

21

h

3

3

2.2h

2

V

VR

(8)et (7) dans )9(

Résolution du système d’équations

simulation des procédés

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