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Cédric Lhoussaine univ Lille 1 / LIFL / bioComputing
Simulation stochastique et modélisation par pi-calcul
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Plan
Simulation stochastique
- stochasticité dans la cellule- un modèle de stochastique dynamique- quelques algorithmes de simulations stochastique
Pi-calcul
- modélisation/programmation par réactions vs. par objets- de la "biologie" au pi-calcul- le pi-calcul stochastique (le quart d'heure formel)
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Stochasticité dans la cellule
Question épistémologiqueLes processus cellulaires sont-ils stochastiques ou déterministes ?
Question scientifiqueHypothèse : il existe des évènements biologiques de nature stochastiquQuestion: est-ce que ces évènements ont une fonction biologique ?
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modèle stochastique
Processus Markoviens EDO
temps continue temps continue
espace d'états discret(population moléculaire)
espace d'états continue(concentration moléculaire)
Quel modèle ?
modèle déterministe
Stochasticité dans la cellule
Dynamique "moyenne"ou "de la population"
Dynamique "exacte"ou "de l'individu"
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Stochasticité dans la cellule
Un modèle simple d'expression génétique
Régulation du promoteur:
Transcription:
Traduction:
Dégradation:
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Stochasticité dans la cellule
diminution de taille du système => augmentation bruit stochastiqu
simulation stochastique modèle déterministe
grand volume cellulaire petit volume cellulaire
(même concentration)
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molécule diffuse entre le noyau et le cytoplasme
équilibre: centrations identiques dans les deux milieux
volume cytoplasme = 100 x volume noyau
10 molécules dans le noyau, 1000 dans le cytoplasme
Relation bruit stochastique / taille du système
les variations de population moléculaires sontplus sensibles dans le noyau que dans le cytoplasme
+0.1 dans le cytoplasme / +10 dans le noyau !
Finite number effect
Stochasticité dans la cellule
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Transcription lente + traduction rapide
=> augmentation bruit stochastique
Stochasticité dans la cellule
Translational bursting
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Cinétique des promoteurs lente
Stochasticité dans la cellule
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Dynamique stochastique
Hypothèses:
un volume V contenant une solution moléculaire uniforme de N espèces chimiques
k réactions chimiques R1,...,Rk
une solution moléculaire à l'instant initial t 0
Question: quels seront les niveaux de population moléculaichaque espèce à n'importe quel instant futur t ?
[Exact Stochastic Simulation of Coupled Chemical Reactions, D.T. Gillespie 19
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Dynamique stochastique
Hypothèse fondamentale de la formulation stochastique de la cinétique chimique
Étant donnée une solution bien mélangée de molécules, pour toute réaction chimiques R, il existe une constante c telle que
c.dt = probabilité moyenne qu'une combinaison donnée de réactants de R va réagir selon R dans l'intervalle de temps infinitésimal dt.
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Dynamique stochastique
Probabilité que les molécules 1 et 2 entrent en collision dans
l'intervalle de temps dt ?
Molécule 1
Molécule 2
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Dynamique stochastique
Molécule 1
x
y
z
fixe
mobile
Vitesse relative
Molécule 2
Probabilité que les molécules 1 et 2 entrent en collision dans
l'intervalle de temps dt ?
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Molécule 1
Molécule 2
Dynamique stochastique
Probabilité que les molécules 1 et 2 entrent en collision dans
l'intervalle de temps dt ?
si les molécules sont uniformément distribuée et qu'il y a équilibre thermique
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Dynamique stochastique
Probabilité de collision moyenne entre deux molécules 1/2 données dans le volume
loi de distribution des vitesses de Maxwell
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Dynamique stochastique
Probabilité de collision moyenne entre deux molécules 1/2 quelconques dans le volume
= #molécules 1 et = #molécules 2, alorssi
Probabilité de collision moyenne entre deux molécules 1/2 données dans le volume
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Dynamique stochastique
Probabilité de collision moyenne entre deux molécules 1/2 quelconques dans le volume
= #molécules 1 et, type 1 de molécules = type 2 de molécules alorssi
Probabilité de collision moyenne entre deux molécules 1/2 données dans le volume
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Dynamique stochastique
Probabilité de collision moyenne entre deux molécules 1/2 données dans le volume
loi de distribution des vitesses de Maxwell
c.dt = probabilité moyenne qu'une combinaison donnée de réactants de R va réagir selon R dans l'intervalle de temps infinitésimal dt.
{c
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Modèle stochastique: les Chaînes de Markov à Temps Continue (CTMC)
Espace d'états
Un processus stochastique à temps continue est une famille de variables aléatoires
: probabilité d'être dans l'état à l'instant
Une Chaînes de Markov à Temps Continue (CTMC) est un processusstochastique qui satisfait la propriété de Markov, i.e.
Dynamique stochastique
(Question: Quels seront les niveaux de population moléculaire de chaque espèce à n'importe quel instant futur t ?)
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CTMC: représentation "interactive"
Dynamique stochastique
Une CTMC peut être représentée par la distribution de son état initial des taux de transitions
le taux de transition d'un état à un autre est la valeur qui indique "la croissance de la probabilité de transition entre ces états avec le temps"
CTMC avec unique état initial est un triplet où
: probabilité qu'il y ait un transition de à dans l'intervalle de temps
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Dynamique stochastique
CTMC et systèmes (bio)chimiques
n espèces chimiques
k réactions chimiques
Solution initiale
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Dynamique stochastique
CTMC et systèmes (bio)chimiques
1 réaction chimique
Espace d'états de la CTMC:
Rappel: = probabilité moyenne qu'une combinaison donnée de
réactants de R va réagir selon R dans l'intervalle de temps infinitésimal d
= probabilité moyenne qu'une combinaison quelconque de
réactants de R va réagir selon R dans l'intervalle de temps infinitésimal d
CTMC induite: où est le plus petit ensemble satisfaisant:
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Dynamique stochastique
CTMC et systèmes (bio)chimiques
: probabilité d'être dans l'état à l'instant ?
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Dynamique stochastique
CTMC et systèmes (bio)chimiques
: probabilité d'être dans l'état à l'instant ?
Généralisation à k réactions:
Chemical Master Equation
Résolution symbolique trop difficile en général...=> simulation!
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: Probabilité, qu'étant dans l'état à l'instant t, la prochaine réaction sera et aura lieu dans l'intervalle de temps infinitésimal
Dynamique stochastique
Pour définir un simulateur il faut pouvoir répondre à deux questions:1- quand aura lieu la prochaine réaction ?2- quelle sera la prochaine réaction ?
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Pour définir un simulateur il faut pouvoir répondre à deux questions:1- quand aura lieu la prochaine réaction ?2- quelle sera la prochaine réaction ?
Dynamique stochastique
activité de la réaction
{ {
Probabilité que dans l'état aucune réaction n'ait lieu dans l'intervalle de temps
Probabilité que dans l'état la réaction ait lieu dans l'intervalle de temps infinitésimal
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Pour définir un simulateur il faut pouvoir répondre à deux questions:1- quand aura lieu la prochaine réaction ?2- quelle sera la prochaine réaction ?
Dynamique stochastique
activité globale (ou taux de sortie de l'état )
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Pour définir un simulateur il faut pouvoir répondre à deux questions:1- quand aura lieu la prochaine réaction ?2- quelle sera la prochaine réaction ?
Dynamique stochastique
{ {
densité de probabilité que dans l'état la prochaine réaction n'ait lieu dans l'intervalle de temps
densité de probabilité que dans l'état la prochaine réaction soit
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Dynamique stochastique
Soient deux nombres aléatoires tirés uniformément dans l'intervalle unitaire.
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Simulation stochastique
Étape 0:- Fixer les constantes stochastiques de chacune des réactions- Fixer la population initiale- initialiser le temps
Étape 1:- calculer l'activité de chaque réaction pour l'état courant - calculer l'activité globale
Étape 2:- générer les nombres aléatoires - calculer et i tel que
Étape 3:- incrémenter le temps : - appliquer la réaction :- goto 1
Algorithme de Gillespie "direct method"
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Simulation stochastique
Algorithme de Gillespie "first reaction method"
réactions
temps
dernière occurrence deréaction: début de la course
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Simulation stochastique
Algorithme de Gillespie "first reaction method"
réactions
temps
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Simulation stochastique
Algorithme de Gillespie "first reaction method"
réactions
temps
gagnant !
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Simulation stochastique
Algorithme de Gillespie "first reaction method"
réactions
temps
incrémentation du temps
mise-à-jour des activités
et nouvelle course...
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Simulation stochastique
Inconvients de ces algorithmes
chaque étape recquiert 3 calculs linéaires dans le nombre de réactions:
1- mise-à-jour de toutes les activités
2- génération de tous les intervalles de temps
3- trouver le plus petit intervalle
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Optimisations
Idées principales:
1- mise-à-jour de toutes les activités => calculer une activité seulement si nécessaire: graphe de dépendance
2- génération de tous les intervalles de temps => réutiliser les intervalles calculés et ne tirer un nouvel intervalle que pour la réaction qui vient d'être appliquée
3- trouver le plus petit intervalle => utiliser des files de priorité indexées
Simulation stochastique
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réactions
temps
gagnant !
Simulation stochastique
Graphe de dépendance
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réactions
temps
Simulation stochastique
Graphe de dépendance
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réactions
temps
Simulation stochastique
Graphe de dépendance
Algorithme logarithmique
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Cédric Lhoussaine univ Lille 1 / LIFL / bioComputing
Simulation stochastique et modélisation par pi-calcul
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Programmation et modélisation
Beaucoup de "langages" de modélisation
- dessins- réactions biochimiques- EDOs- CTMC- diagrammes de Khon- Réseaux de Petri-
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Les modèles biologiques devraient être...
Programmation et modélisation
- modulaires- extensibles- vérifiables- "expressifs"- ... prédictifs
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Les modèles biologiques devraient être...
Programmation et modélisation
- modulaires- extensibles- vérifiables- "expressifs"- ... prédictifs
Caractéristiques de langages de programmation!
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Programmation et modélisation
Paradigme
modèle = programmeexécution = simulation
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Deux approches de modélisation
Modélisation par réactions/règles
Pour chaque interaction définir les participants (réactants) et le résultat (produits)
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Deux approches de modélisation
Modélisation par réactions/règles
Pour chaque interaction définir les participants (réactants) et le résultat (produits)
Exercice: donner une (ou plusieurs règles) exprimant la polymérisation (parexemple l'élongagion de l'ARNm)
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Deux approches de modélisation
Modélisation par réactions/règles
Pour chaque interaction définir les participants (réactants) et le résultat (produits)
Polymérisation => infinité de réactions...
Biocham[Chabrier, Fages et al. 2003]
![Page 48: Simulation stochastique et modélisation par pi-calcul · PDF fileRelation bruit stochastique / taille du système ... - Réseaux de Petri - Les modèles biologiques devraient être](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042707/5a75603e7f8b9a9c548c788d/html5/thumbnails/48.jpg)
Deux approches de modélisation
Modélisation par réactions/règles
Pour chaque interaction définir les participants (réactants) et le résultat (produits)
Polymérisation => infinité de réactions... Le langage de réactions n'est pasTuring-complet...[Cardelli, Zavattero 2008]
Biocham[Chabrier, Fages et al. 2003]
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Deux approches de modélisation
Modélisation par réactions/règles
Pour chaque interaction définir les participants (réactants) et le résultat (produits)
Utiliser des abstractions (motifs) de molécules pour accroître l'expressivité du langage de modélisation
Biochemical language of rule schemas[Kuttler, Lhoussaine, Nebut 2009]
Kappa Calculus[Danos, Laneve 2003]
Biochemical forms[Cardelli 2008]
Prolog[Colmerauer, Warren ~1970]
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Deux approches de modélisation
Modélisation "objet centrée"
Pour chaque "objet" biologique, définir ses capacités d'interaction (interface) et l'état résultant de chaque interaction
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Deux approches de modélisation
Modélisation "objet centrée"
Les capacités d'interaction sont décrites dans chaque object pris indépendamment des autres
modélisation compositionnelle
acteur biologique = processus
système biologique = collection de processus qui interagissent
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Deux approches de modélisation
Un langage formel pour la modélisation "objet centrée": le pi-calcul
Nombreux avantages:- modèle de référence pour la concurrence- théorie bien développée avec de nombreuses "variantes"- nombreuses notions d'équivalences- outils d'analyse statique- sémantique stochastique- ...
[Milner, Parrow, Walker, ~1992][Regev, Shapiro 2002][Priami, Regev, Shapiro, Silverman 2001][Priami 1995]...
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De la biologie au pi-calcul
Modélisation "objet centrée"
Les capacités d'interaction sont décrite dans chaque object pris indépendamment des autres
modélisation compositionnelle
Acteur biologique = "automate"
Système biologique = collection de automates synchronisés
Free
Dimer
bind
unbind
Rep
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De la biologie au pi-calcul
Rep Rep Rep
objetsréactions
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De la biologie au pi-calcul
Rep Rep Rep
objetsréactions
Réactions
État initial
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De la biologie au pi-calcul
Rep Rep Rep
objetsréactions
Réactions
État initial
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De la biologie au pi-calcul
Rep Rep Rep
objetsréactions
Réactions
État initial
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De la biologie au pi-calcul
Na+ Cl- Cl-
Synchronisation de processus basée sur l'égalité de noms de transition
Ok pour les homodimers mais pas ... pour les hétérodimers!
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De la biologie au pi-calcul
Na+ Cl- Cl-
Synchronisation de processus basée sur l'égalité de noms de transition
Ok pour les homodimers mais pas ... pour les hétérodimers!
Exercice: pourquoi ?
![Page 60: Simulation stochastique et modélisation par pi-calcul · PDF fileRelation bruit stochastique / taille du système ... - Réseaux de Petri - Les modèles biologiques devraient être](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042707/5a75603e7f8b9a9c548c788d/html5/thumbnails/60.jpg)
De la biologie au pi-calcul
Na+ Cl- Cl-
Synchronisation de processus basée sur l'égalité de noms de transition
Ok pour les homodimers mais pas ... pour les hétérodimers!
Exercice: pourquoi ?
??
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De la biologie au pi-calcul
Na+ Cl- Cl-
=> interactions asymetriques par actionscomplémentaires d'émission(!) / réception(?)
![Page 62: Simulation stochastique et modélisation par pi-calcul · PDF fileRelation bruit stochastique / taille du système ... - Réseaux de Petri - Les modèles biologiques devraient être](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042707/5a75603e7f8b9a9c548c788d/html5/thumbnails/62.jpg)
De la biologie au pi-calcul
Cl-Na+
Automatepi-calcul
![Page 63: Simulation stochastique et modélisation par pi-calcul · PDF fileRelation bruit stochastique / taille du système ... - Réseaux de Petri - Les modèles biologiques devraient être](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042707/5a75603e7f8b9a9c548c788d/html5/thumbnails/63.jpg)
De la biologie au pi-calcul
Cl-Na+
Automatepi-calcul
Canal de communication
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De la biologie au pi-calcul
Cl-Na+
Automatepi-calcul
![Page 65: Simulation stochastique et modélisation par pi-calcul · PDF fileRelation bruit stochastique / taille du système ... - Réseaux de Petri - Les modèles biologiques devraient être](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042707/5a75603e7f8b9a9c548c788d/html5/thumbnails/65.jpg)
De la biologie au pi-calcul
RepRep
Et les homodimers ?...
![Page 66: Simulation stochastique et modélisation par pi-calcul · PDF fileRelation bruit stochastique / taille du système ... - Réseaux de Petri - Les modèles biologiques devraient être](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042707/5a75603e7f8b9a9c548c788d/html5/thumbnails/66.jpg)
De la biologie au pi-calcul
Rep Rep
Transitions à "choix multiples"
![Page 67: Simulation stochastique et modélisation par pi-calcul · PDF fileRelation bruit stochastique / taille du système ... - Réseaux de Petri - Les modèles biologiques devraient être](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042707/5a75603e7f8b9a9c548c788d/html5/thumbnails/67.jpg)
De la biologie au pi-calcul
Automatepi-calcul
Rep Rep
![Page 68: Simulation stochastique et modélisation par pi-calcul · PDF fileRelation bruit stochastique / taille du système ... - Réseaux de Petri - Les modèles biologiques devraient être](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042707/5a75603e7f8b9a9c548c788d/html5/thumbnails/68.jpg)
De la biologie au pi-calcul
Automatepi-calcul
Rep Rep
Opérateur de choix
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De la biologie au pi-calcul
Gene RNAp
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De la biologie au pi-calcul
Gene RNAp
![Page 71: Simulation stochastique et modélisation par pi-calcul · PDF fileRelation bruit stochastique / taille du système ... - Réseaux de Petri - Les modèles biologiques devraient être](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042707/5a75603e7f8b9a9c548c788d/html5/thumbnails/71.jpg)
De la biologie au pi-calcul
Gene RNAp
lance un nouveau processusen parallèle des autres
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De la biologie au pi-calcul
Gene RNAp
Automatepi-calcul
![Page 73: Simulation stochastique et modélisation par pi-calcul · PDF fileRelation bruit stochastique / taille du système ... - Réseaux de Petri - Les modèles biologiques devraient être](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042707/5a75603e7f8b9a9c548c788d/html5/thumbnails/73.jpg)
De la biologie au pi-calcul
Gene RNAp
Automatepi-calcul
opérateur de compositionparallèle
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De la biologie au pi-calcul
Gene RNAp
Automatepi-calcul
Définitions de processus État initial
![Page 75: Simulation stochastique et modélisation par pi-calcul · PDF fileRelation bruit stochastique / taille du système ... - Réseaux de Petri - Les modèles biologiques devraient être](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042707/5a75603e7f8b9a9c548c788d/html5/thumbnails/75.jpg)
De la biologie au pi-calcul
Gene RNAp
Automatepi-calcul
Définitions de processus Transitions
![Page 76: Simulation stochastique et modélisation par pi-calcul · PDF fileRelation bruit stochastique / taille du système ... - Réseaux de Petri - Les modèles biologiques devraient être](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042707/5a75603e7f8b9a9c548c788d/html5/thumbnails/76.jpg)
De la biologie au pi-calcul
Gene RNAp
Automatepi-calcul
Définitions de processus Transitions
![Page 77: Simulation stochastique et modélisation par pi-calcul · PDF fileRelation bruit stochastique / taille du système ... - Réseaux de Petri - Les modèles biologiques devraient être](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042707/5a75603e7f8b9a9c548c788d/html5/thumbnails/77.jpg)
De la biologie au pi-calcul
Gene RNAp
Automatepi-calcul
Définitions de processus Transitions
![Page 78: Simulation stochastique et modélisation par pi-calcul · PDF fileRelation bruit stochastique / taille du système ... - Réseaux de Petri - Les modèles biologiques devraient être](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042707/5a75603e7f8b9a9c548c788d/html5/thumbnails/78.jpg)
De la biologie au pi-calcul
Rep
Certaines molécules peuvent se dégrader
![Page 79: Simulation stochastique et modélisation par pi-calcul · PDF fileRelation bruit stochastique / taille du système ... - Réseaux de Petri - Les modèles biologiques devraient être](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042707/5a75603e7f8b9a9c548c788d/html5/thumbnails/79.jpg)
De la biologie au pi-calcul
Rep
Certaines molécules peuvent se dégrader
![Page 80: Simulation stochastique et modélisation par pi-calcul · PDF fileRelation bruit stochastique / taille du système ... - Réseaux de Petri - Les modèles biologiques devraient être](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042707/5a75603e7f8b9a9c548c788d/html5/thumbnails/80.jpg)
De la biologie au pi-calcul
Rep
Certaines molécules peuvent se dégrader
état de terminaison
action "interne"
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De la biologie au pi-calcul
Rep
Automatepi-calcul
état de terminaison
![Page 82: Simulation stochastique et modélisation par pi-calcul · PDF fileRelation bruit stochastique / taille du système ... - Réseaux de Petri - Les modèles biologiques devraient être](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042707/5a75603e7f8b9a9c548c788d/html5/thumbnails/82.jpg)
De la biologie au pi-calcul
Na+ Cl-
Complexation...
Na+ Cl-
Na+ Cl-
Complexation...
Na+ Cl-
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De la biologie au pi-calcul
Na+ Cl-
Complexation...
Na+ Cl-
Na+ Cl-
Complexation...
Na+ Cl-
![Page 84: Simulation stochastique et modélisation par pi-calcul · PDF fileRelation bruit stochastique / taille du système ... - Réseaux de Petri - Les modèles biologiques devraient être](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042707/5a75603e7f8b9a9c548c788d/html5/thumbnails/84.jpg)
De la biologie au pi-calcul
Na+ Cl-
Na+ Cl-
Na+ Cl-
Qui est complexé avec qui ??...
Na+ Cl-
![Page 85: Simulation stochastique et modélisation par pi-calcul · PDF fileRelation bruit stochastique / taille du système ... - Réseaux de Petri - Les modèles biologiques devraient être](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042707/5a75603e7f8b9a9c548c788d/html5/thumbnails/85.jpg)
De la biologie au pi-calcul
Na+ Cl-
Na+ Cl-
Na+ Cl-
Qui est complexé avec qui ??...
Na+ Cl-
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De la biologie au pi-calcul
Na+ Cl-Cl-
Automatepi-calcul
Na+
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De la biologie au pi-calcul
Na+ Cl-Cl-
paramètre decommunication
(objet)
création de canal (privé)
paramètre formelde définition
Automatepi-calcul
Na+
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De la biologie au pi-calcul
Na+ Cl-Cl-
Automatepi-calcul
Na+
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π-calcul stochastique(hardcore)
Cedric Lhoussaine
Universite de Lille 1
10 juin 2010
C. Lhoussaine (U. Lille 1) π-calcul stochastique 10 juin 2010 1 / 22
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Outline
1 Syntaxe et Semantique operationnelle
2 Semantique stochastique
3 Simulation stochastique
4 Exemples...
C. Lhoussaine (U. Lille 1) π-calcul stochastique 10 juin 2010 2 / 22
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Syntaxe et Semantique operationnelle
Syntaxe du π-calcul
Un ensemble d’identificateur de processus : A,B, . . .Un ensemble de canaux de communication : a, b, . . . , x , y , . . .
Declaration de processus
A(x1, . . . , xn) = P
Processus
P,Q ::= A(a1, . . . , an) ”appel” de processus| 0 processus termine| a?(x1, . . . , xn).P reception de message| a!(b1, . . . , bn).P emission de message| P | Q composition parallele| P + Q choix| (νa)P restriction/creation de canal
C. Lhoussaine (U. Lille 1) π-calcul stochastique 10 juin 2010 3 / 22
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Syntaxe et Semantique operationnelle
Syntaxe du π-calcul
Un ensemble d’identificateur de processus : A,B, . . .Un ensemble de canaux de communication : a, b, . . . , x , y , . . .
Declaration de processus
A(x1, . . . , xn) = P
Processus
P,Q ::= A(a1, . . . , an) ”appel” de processus| 0 processus termine| a?(x1, . . . , xn).P reception de message| a!(b1, . . . , bn).P emission de message| P | Q composition parallele| P + Q choix| (νa)P restriction/creation de canal
C. Lhoussaine (U. Lille 1) π-calcul stochastique 10 juin 2010 3 / 22
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Syntaxe et Semantique operationnelle
Syntaxe du π-calcul
Un ensemble d’identificateur de processus : A,B, . . .Un ensemble de canaux de communication : a, b, . . . , x , y , . . .
Declaration de processus
A(x1, . . . , xn) = P
Processus
P,Q ::= A(a1, . . . , an) ”appel” de processus| 0 processus termine| a?(x1, . . . , xn).P reception de message| a!(b1, . . . , bn).P emission de message| P | Q composition parallele| P + Q choix| (νa)P restriction/creation de canal
C. Lhoussaine (U. Lille 1) π-calcul stochastique 10 juin 2010 3 / 22
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Syntaxe et Semantique operationnelle
Semantique operationnelle
Deux types de sematique operationnelle
Pα−→ Q : systeme de transitions etiquetees
etiquette α = capacite d’interaction avec l’environnement
facilite la definition et les preuves d’equivalences de bisimulation
difficile a apprehender
P → Q : relation de reduction sur les processus
utilise l’equivalence structurelle(CHemical Abstract Machine [Berry, Boudol ’92])
relation de reduction intuitive
C. Lhoussaine (U. Lille 1) π-calcul stochastique 10 juin 2010 4 / 22
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Syntaxe et Semantique operationnelle
Semantique operationnelle
Deux types de sematique operationnelle
Pα−→ Q : systeme de transitions etiquetees
etiquette α = capacite d’interaction avec l’environnement
facilite la definition et les preuves d’equivalences de bisimulation
difficile a apprehender
P → Q : relation de reduction sur les processus
utilise l’equivalence structurelle(CHemical Abstract Machine [Berry, Boudol ’92])
relation de reduction intuitive
C. Lhoussaine (U. Lille 1) π-calcul stochastique 10 juin 2010 4 / 22
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Syntaxe et Semantique operationnelle
Equivalence structurelle
Differentes lois satisfaites par les operateurs du langage
P | Q ≡ Q | P(P | Q) | R ≡ P | (Q | R)
P | 0 ≡ P(P + Q) + R ≡ P + (Q + R)
P + Q ≡ Q + P(νa)P | Q ≡ (νa)(P | Q) si a 6∈ fn(Q)(νa)(νb)P ≡ (νb)(νa)P
(νa)0 ≡ 0P =α Q ⇒ P ≡ Q
C. Lhoussaine (U. Lille 1) π-calcul stochastique 10 juin 2010 5 / 22
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Syntaxe et Semantique operationnelle
Relation de reduction
Appel de processus
Si A(x1, . . . , xn) = P alors A(a1, . . . , an)→ P[a1/x1, . . . , an/xn]
Exemple
Avec la declaration Cldimer(x) = x!().Clfree, on a
Cldimer(unbind)→ unbind!().Clfree
C. Lhoussaine (U. Lille 1) π-calcul stochastique 10 juin 2010 6 / 22
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Syntaxe et Semantique operationnelle
Relation de reduction
Appel de processus
Si A(x1, . . . , xn) = P alors A(a1, . . . , an)→ P[a1/x1, . . . , an/xn]
Exemple
Avec la declaration Cldimer(x) = x!().Clfree, on a
Cldimer(unbind)→ unbind!().Clfree
C. Lhoussaine (U. Lille 1) π-calcul stochastique 10 juin 2010 6 / 22
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Syntaxe et Semantique operationnelle
Relation de reduction
Communication(a!(b1, . . . , bn).P + . . .
)|(a?(x1, . . . , xn).Q + . . .
)→ P | Q[b1/x1, . . . , bn/xn]
C. Lhoussaine (U. Lille 1) π-calcul stochastique 10 juin 2010 7 / 22
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Syntaxe et Semantique operationnelle
Relation de reduction
Regles structurelles
Si P → Q alors P | R → Q | R et (νa)P → (νa)Q
Si P ≡ P ′ → Q ′ ≡ Q alors P → Q.
C. Lhoussaine (U. Lille 1) π-calcul stochastique 10 juin 2010 8 / 22
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Syntaxe et Semantique operationnelle
Relation de reduction
P | Q ≡ Q | P (P | Q) | R ≡ P | (Q | R)P | 0 ≡ P (P + Q) + R ≡ P + (Q + R)
P + Q ≡ Q + P (νa)P | Q ≡ (νa)(P | Q) si a 6∈ fn(Q)(νa)(νb)P ≡ (νb)(νa)P (νa)0 ≡ 0
a!(b1, . . . , bn).P + . . . | a?(x1, . . . , xn).Q + . . .→ P | Q[b1/x1, . . . , bn/xn]
A(x1, . . . , xn) = P
A(a1, . . . , an)→ P[a1/x1, . . . , an/xn]
P → Q
P | R → Q | RP → Q
(νa)P → (νa)QP ≡ P ′ → Q ′ ≡ Q
P → Q
Exercice
Clfree | Cldimer | Nafree → ?
C. Lhoussaine (U. Lille 1) π-calcul stochastique 10 juin 2010 9 / 22
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Syntaxe et Semantique operationnelle
Relation de reduction
P | Q ≡ Q | P (P | Q) | R ≡ P | (Q | R)P | 0 ≡ P (P + Q) + R ≡ P + (Q + R)
P + Q ≡ Q + P (νa)P | Q ≡ (νa)(P | Q) si a 6∈ fn(Q)(νa)(νb)P ≡ (νb)(νa)P (νa)0 ≡ 0
a!(b1, . . . , bn).P + . . . | a?(x1, . . . , xn).Q + . . .→ P | Q[b1/x1, . . . , bn/xn]
A(x1, . . . , xn) = P
A(a1, . . . , an)→ P[a1/x1, . . . , an/xn]
P → Q
P | R → Q | RP → Q
(νa)P → (νa)QP ≡ P ′ → Q ′ ≡ Q
P → Q
Exercice
Clfree | Cldimer | Nafree → ?
C. Lhoussaine (U. Lille 1) π-calcul stochastique 10 juin 2010 9 / 22
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Syntaxe et Semantique operationnelle
Rappel
Clfree = (νunbind)(bind!(unbind).Cldimer(unbind))
Cldimer(x) = x!().Clfree
Nafree = bind?(x).Nadimer(x)
Nadimer(x) = x?().Nafree
Clfree | Cldimer | Nafree → ?
C. Lhoussaine (U. Lille 1) π-calcul stochastique 10 juin 2010 10 / 22
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Semantique stochastique
1 Syntaxe et Semantique operationnelle
2 Semantique stochastique
3 Simulation stochastique
4 Exemples...
C. Lhoussaine (U. Lille 1) π-calcul stochastique 10 juin 2010 11 / 22
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Semantique stochastique
Semantique Stochastique
La semantique stochastique du π-calcul est plus difficile a definir !
Idee
faire coıncider la relation de reduction → avec les transitions d’une CTMC.
definir une relation de reduction qui soit etiquetee par des tauxstochastiques : P
r−→ Q
associer des constantes stochastiques aux canaux de communication.
C. Lhoussaine (U. Lille 1) π-calcul stochastique 10 juin 2010 12 / 22
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Semantique stochastique
Semantique Stochastique
La semantique stochastique du π-calcul est plus difficile a definir !
Idee
faire coıncider la relation de reduction → avec les transitions d’une CTMC.
definir une relation de reduction qui soit etiquetee par des tauxstochastiques : P
r−→ Q
associer des constantes stochastiques aux canaux de communication.
C. Lhoussaine (U. Lille 1) π-calcul stochastique 10 juin 2010 12 / 22
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Semantique stochastique
Semantique Stochastique
Intuition
Collecter les taux ri des differentes interactions (locales) dans l’etat Pdu systeme qui menent a un meme etat Q,
en deduire le taux de transition global Pr=
∑i ri−−−−−→ Q
Exemple
a!.0 | a!.0 | a?.0→ a!.0Soit taux(a) = r , il y a deux reductions locales :
soit a!.0 | a!.0 | a?.0r−→ 0 | a!.0 | 0 ≡ a!.0
soit a!.0 | a!.0 | a?.0r−→ a!.0 | 0 | 0 ≡ a!.0
d’ou, globalement, a!.0 | a!.0 | a?.02×r−−→ Q
acta(P) = 2× r : activite de a dans P = ] d’interactions possibles sura dans P.
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Semantique stochastique
Semantique Stochastique
Intuition
Collecter les taux ri des differentes interactions (locales) dans l’etat Pdu systeme qui menent a un meme etat Q,
en deduire le taux de transition global Pr=
∑i ri−−−−−→ Q
Exemple
a!.0 | a!.0 | a?.0→ a!.0Soit taux(a) = r , il y a deux reductions locales :
soit a!.0 | a!.0 | a?.0r−→ 0 | a!.0 | 0 ≡ a!.0
soit a!.0 | a!.0 | a?.0r−→ a!.0 | 0 | 0 ≡ a!.0
d’ou, globalement, a!.0 | a!.0 | a?.02×r−−→ Q
acta(P) = 2× r : activite de a dans P = ] d’interactions possibles sura dans P.
C. Lhoussaine (U. Lille 1) π-calcul stochastique 10 juin 2010 13 / 22
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Semantique stochastique
Semantique Stochastique
Intuition
Collecter les taux ri des differentes interactions (locales) dans l’etat Pdu systeme qui menent a un meme etat Q,
en deduire le taux de transition global Pr=
∑i ri−−−−−→ Q
Exemple
a!.0 | a!.0 | a?.0→ a!.0Soit taux(a) = r , il y a deux reductions locales :
soit a!.0 | a!.0 | a?.0r−→ 0 | a!.0 | 0 ≡ a!.0
soit a!.0 | a!.0 | a?.0r−→ a!.0 | 0 | 0 ≡ a!.0
d’ou, globalement, a!.0 | a!.0 | a?.02×r−−→ Q
acta(P) = 2× r : activite de a dans P = ] d’interactions possibles sura dans P.
C. Lhoussaine (U. Lille 1) π-calcul stochastique 10 juin 2010 13 / 22
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Semantique stochastique
Semantique Stochastique
Intuition
Collecter les taux ri des differentes interactions (locales) dans l’etat Pdu systeme qui menent a un meme etat Q,
en deduire le taux de transition global Pr=
∑i ri−−−−−→ Q
Exemple
a!.0 | a!.0 | a?.0→ a!.0Soit taux(a) = r , il y a deux reductions locales :
soit a!.0 | a!.0 | a?.0r−→ 0 | a!.0 | 0 ≡ a!.0
soit a!.0 | a!.0 | a?.0r−→ a!.0 | 0 | 0 ≡ a!.0
d’ou, globalement, a!.0 | a!.0 | a?.02×r−−→ Q
acta(P) = 2× r : activite de a dans P = ] d’interactions possibles sura dans P.
C. Lhoussaine (U. Lille 1) π-calcul stochastique 10 juin 2010 13 / 22
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Semantique stochastique
Semantique stochastique
Techniquement...
Deux relations de reduction :
reduction locale Pr−→ Q ou ` localise dans P le redex a l’origine de la
reduction,
reduction globale Pr−→ Q ou r =
∑P
s−→Qs
CTMC sous-jacente
(Π/≡,r−→,P)
C. Lhoussaine (U. Lille 1) π-calcul stochastique 10 juin 2010 14 / 22
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Semantique stochastique
Semantique stochastique
Techniquement...
Deux relations de reduction :
reduction locale Pr−→ Q ou ` localise dans P le redex a l’origine de la
reduction,
reduction globale Pr−→ Q ou r =
∑P
s−→Qs
Exemple
soit a!.0 | a!.0 | a?.0r−−→
1,30 | a!.0 | 0 ≡ a!.0
soit a!.0 | a!.0 | a?.0r−−→
2,3a!.0 | 0 | 0 ≡ a!.0
d’ou, globalement, a!.0 | a!.0 | a?.02×r−−→ Q
CTMC sous-jacente
(Π/≡,r−→,P)
C. Lhoussaine (U. Lille 1) π-calcul stochastique 10 juin 2010 14 / 22
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Semantique stochastique
Semantique stochastique
Techniquement...
Deux relations de reduction :
reduction locale Pr−→ Q ou ` localise dans P le redex a l’origine de la
reduction,
reduction globale Pr−→ Q ou r =
∑P
s−→Qs
CTMC sous-jacente
(Π/≡,r−→,P)
C. Lhoussaine (U. Lille 1) π-calcul stochastique 10 juin 2010 14 / 22
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Simulation stochastique
1 Syntaxe et Semantique operationnelle
2 Semantique stochastique
3 Simulation stochastique
4 Exemples...
C. Lhoussaine (U. Lille 1) π-calcul stochastique 10 juin 2010 15 / 22
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Simulation stochastique
Simulation Stochastique
Exemple
taux(a) = r , taux(b) = r ′
P = a!.0 | a!.0 | a?.0 | b!.0 | b?.0
2r−→ a!.0 | b!.0 | b?.0 = P1
r ′−→ a!.0 | a!.0 | a?.0 = P2
L’algorithme de simulation doit determiner la duree τ associee a lareduction et l’etat suivant P1 ou P2.
τ ∼ Exp(2r + r ′)
Pr(P → P1) = 2r2r+r ′ et Pr(P → P2) = r ′
2r+r ′
C. Lhoussaine (U. Lille 1) π-calcul stochastique 10 juin 2010 16 / 22
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Simulation stochastique
Simulation Stochastique
Exemple
taux(a) = r , taux(b) = r ′
P = a!.0 | a!.0 | a?.0 | b!.0 | b?.0
2r−→ a!.0 | b!.0 | b?.0 = P1
r ′−→ a!.0 | a!.0 | a?.0 = P2
L’algorithme de simulation doit determiner la duree τ associee a lareduction et l’etat suivant P1 ou P2.
τ ∼ Exp(2r + r ′)
Pr(P → P1) = 2r2r+r ′ et Pr(P → P2) = r ′
2r+r ′
C. Lhoussaine (U. Lille 1) π-calcul stochastique 10 juin 2010 16 / 22
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Simulation stochastique
Simulation Stochastique
Algorithme
Initialisation : P un processus, un ensemble D de declarations de processuset t = 0.
1 calculer pour chaque canal x son activite actP(x) et l’activite globaleact(P) =
∑x actP(x)
2 generer aleatoirement les nombres r1, r2 ∈]0; 1] et calculer
τ = 1act(P) log( 1
r1) et choisir un canal x avec probabilite actP(x)
act(P)
3 incrementer le temps : t := t + τet choisir, de maniere equiprobable, un des redex sur x et le reduiregoto 1
C. Lhoussaine (U. Lille 1) π-calcul stochastique 10 juin 2010 17 / 22
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Simulation stochastique
Simulation Stochastique
Calculer les activites
actx(P) = taux(a)× Inx(P)× Outx(P)
Faux!
InP(x) : nombre de receptions sur x dans P
OutP(x) : nombre d’emissions sur x dans P
P = a!.0 | a!.0 | a?.0 | a?.0
acta(P) = 4, ca va...
P = a!.0 | a?.0 | (a?.0 + a!.0)
acta(P) = 4, ca va pas...
C. Lhoussaine (U. Lille 1) π-calcul stochastique 10 juin 2010 18 / 22
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Simulation stochastique
Simulation Stochastique
Calculer les activites
actx(P) = taux(a)× Inx(P)× Outx(P)
Faux!
InP(x) : nombre de receptions sur x dans P
OutP(x) : nombre d’emissions sur x dans P
P = a!.0 | a!.0 | a?.0 | a?.0
acta(P) = 4, ca va...
P = a!.0 | a?.0 | (a?.0 + a!.0)
acta(P) = 4, ca va pas...
C. Lhoussaine (U. Lille 1) π-calcul stochastique 10 juin 2010 18 / 22
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Simulation stochastique
Simulation Stochastique
Calculer les activites
actx(P) = taux(a)× Inx(P)× Outx(P) Faux!
InP(x) : nombre de receptions sur x dans P
OutP(x) : nombre d’emissions sur x dans P
P = a!.0 | a!.0 | a?.0 | a?.0
acta(P) = 4, ca va...
P = a!.0 | a?.0 | (a?.0 + a!.0)
acta(P) = 4, ca va pas...
C. Lhoussaine (U. Lille 1) π-calcul stochastique 10 juin 2010 18 / 22
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Simulation stochastique
Calculer les activites
actx(P) = Inx(P)× Outx(P)−Mixx(P)
InP(x) : nombre de receptions sur x dans P
OutP(x) : nombre d’emissions sur x dans P
Mixx(P) : nombre de paires input/output dans chaque somme de P.
P = a!.0 | a?.0 | (a?.0 + a!.0)
Mixa(P) = 1⇒ acta(P) = 3, ca va !
C. Lhoussaine (U. Lille 1) π-calcul stochastique 10 juin 2010 19 / 22
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Simulation stochastique
Calculer les activites
actx(P) = Inx(P)× Outx(P)−Mixx(P)
InP(x) : nombre de receptions sur x dans P
OutP(x) : nombre d’emissions sur x dans P
Mixx(P) : nombre de paires input/output dans chaque somme de P.
P = a!.0 | a?.0 | (a?.0 + a!.0)
Mixa(P) = 1⇒ acta(P) = 3, ca va !
C. Lhoussaine (U. Lille 1) π-calcul stochastique 10 juin 2010 19 / 22
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Exemples...
1 Syntaxe et Semantique operationnelle
2 Semantique stochastique
3 Simulation stochastique
4 Exemples...
C. Lhoussaine (U. Lille 1) π-calcul stochastique 10 juin 2010 20 / 22