simultaneous linear equations -...

Simultaneous Linear Equations

2012/12/23 1

Topic: Gauss-Seidel Method

Gauss-Seidel Method

Adalah metode ITERASI

Prosedur dasar:

- Menyelesaikan tiap persamaan linier secara aljabar untuk xi - Menyelesaikan tiap persamaan linier secara aljabar untuk xi

- Membuat nilai asumsi solusi

- Selesaikan untuk tiap xi dan ulangi

- Gunakan perkiraan kesalahan relatif tiap akhir iterasi untuk

mengecek apakah error sudah mencapai angka toleransi.

Gauss-Seidel Method

Kenapa?

Untuk mengatasi round-off error (kesalahan pembulatan).

Metode eliminasi seperti Gaussian Elimination and LU Decomposition(*)

rawan terhadap kesalahan pembulatan.

Gauss-Seidel Method

AlgorithmSistem persamaan linier

11313212111 ... bxaxaxaxa nn =++++

2323222121 ... bxaxaxaxa n2n =++++ 2323222121 ... bxaxaxaxa n2n =++++

nnnnnnn bxaxaxaxa =++++ ...332211

. .

. .

. . Kita mengubah sistem persamaan [A]{X}={B}untuk menyelesaikan x1 dengan persamaan pertama, menyelesaikan x2 dengan persamaan kedua, dan seterusnya.

Gauss-Seidel Method

AlgorithmGeneral Form of each equation

1

11 xacn

j

jj∑=

−1

,11

=−− ∑−

n

j

jjnn xac

11

11

1a

xjj

∑≠=

=

22

21

22

2a

xac

x

j

n

jj

j∑≠=

−

=

1,1

11

1

−−

−≠=

− =nn

njj

na

x

nn

n

njj

jnjn

na

xac

x

∑≠=

−

=1

33

23213133

22

32312122

11

31321211

a

xaxabx

a

xaxabx

a

xaxabx

−−=

−−=

−−=

Menjadi:

Untuk sistem persamaan 3x3

33a

Now we can start the solution process by choosing guesses for the x’s. A simple way to obtain initial guesses is to assume that they are zero. These zeros can be substituted into x1equation to calculate a new

x1=b1/a11.

New x1 is substituted to calculate x2 and x3. The procedure is repeated until the convergence criterion is satisfied:

Batas akhir iterasi

kandiperkenanbaru

lama

i

baru

i

ia x

xxεε p100×

−=

baru

ii x

=

=

t

a

ε

εapproximation error, sering digunakan, seringkali disebut sebagai galat absolut.

True error, kurang berarti. � digunakan Relative error, dalam

prosentase

Gauss-Seidel Method: Example 1

Diketahui sistem persamaan

=

2.279

2.177

8.106

112144

1864

1525

3

2

1

a

a

a

2.279112144 3a

Initial Guess: asumsi nilai awal,

=

5

2

1

3

2

1

a

a

a


Tulis ulang untuk aplikasi

Gauss-Seidel

8.1061525 a

25

58.106 32

1

aaa

−−=

=

2.279

2.177

8.106

112144

1864

1525

3

2

1

a

a

a

8

642.177 31

2

aaa

−−=

1

121442.279 21

3

aaa

−−=


Masukkan nilai perkiraan awal untuk selesaikan ai

=

2

11

a

a6720.3

25

)5()2(58.106a1 =

−−=

( ) ( )56720.3642.177 −−

=

5

2

3

2

a

a ( ) ( )8510.7

8

56720.3642.177a 2 −=

−−=

( ) ( )36.155

1

8510.7126720.31442.279a 3 −=

−−−=

Initial Guess


Finding the absolute relative approximate error

100x

xxnew

i

old

i

new

i

ia ×−

=ε At the end of the first iteration

−=

8510.7

6720.31

a

a

%76.72100x6720.3

0000.16720.31

=−

=ε a

%47.125100x8510.7

0000.28510.72

=−

−−=ε a

%22.103100x36.155

0000.536.1553

=−

−−=ε a

The maximum absolute relative

approximate error is 125.47%

−

−=

36.155

8510.7

3

2

a

a


Iteration #2Using

−

−=

36.155

8510.7

6720.3

2

1

a

a

a

( )056.12

25

36.1558510.758.1061 =

−−−=a

the values of ai are found:

− 36.1553a25

( )882.54

8

36.155056.12642.1772 −=

−−=a

( ) ( )34.798

1

882.5412056.121442.2793 −=

−−−=a

from iteration #1


Hitung “the absolute relative approximate error”

%542.69100x056.12

6720.3056.121

=−

=∈a

Akhir iterasi kedua

−=

882.54

056.12

2

1

a

a

( )%695.85100x

882.54

8510.7882.542

=−

−−−=∈a

( )%54.80100x

34.798

36.15534.7983

=−

−−−=∈a

−

−=

34.798

882.54

3

2

a

a

Galat absolut terbesar 85.695%


Tersukan iterasi, kita dapatkan nilai berikut.

Iteration a1 a2 a3

1

2

3

3.672

12.056

47.182

72.767

67.542

74.448

-7.8510

-54.882

-255.51

125.47

85.695

78.521

-155.36

-798.34

-3448.9

103.22

80.540

76.852

%1a∈ %

2a∈ %3a∈

3

4

5

6

47.182

193.33

800.53

3322.6

74.448

75.595

75.850

75.907

-255.51

-1093.4

-4577.2

-19049

78.521

76.632

76.112

75.971

-3448.9

-14440

-60072

-249580

76.852

76.116

75.962

75.931

! Lho, kok? – Error nya nggak berkurang?

Gauss-Seidel Method: Pitfall

Salahnya dimana?

Contoh tadi mengilustrasikan kemungkinan kesalahan pada Gauss-

Siedel method: tidak semua sistem persamaan akan konvergen.

Is there a fix?Is there a fix?

One class of system of equations always converges: One with a diagonally

dominant coefficient matrix.

Diagonally dominant: [A] in [A] [X] = [C] is diagonally dominant if:

∑≠=

≥n

jj

ijaa

i1

ii ∑≠=

⟩n

ijj

ijii aa1

Untuk semua ‘i’ ; DAN Untuk minimal

sebuah ‘i’

Gauss-Seidel Method: Pitfall

Diagonally dominant: Koefisien pada diagonal harus sama atau lebih besar dari jumlah semua koefisien pada baris itu, dan minimal satu baris harus

memiliki diagonal yang lebih besar dari jumlah koefisien pada baris itu.

Manakah matriks yang diagonally dominant?

[ ]

=

116123

14345

3481.52

A

=

1293496

55323

5634124

]B[

Manakah matriks yang diagonally dominant?


Sistem persamaan linier

1 5x -3x 12x 321 =+

28 3x 5x x 321 =++

76 13x 7x 3x 321 =++

Matriks Koefisien nya adalah

[ ]

−

= 351

5312

A76 13x 7x 3x 321 =++

=

1

0

1

3

2

1

x

x

x

Dengan asumsi nilai awal

1373

Akan konvergen kah?


[ ]

−

=

1373

351

5312

A

Cek apakah matriks nya diagonally dominant

43155 232122 =+=+≥== aaa

10731313 =+=+≥== aaa

8531212 131211 =−+=+≥== aaa

137310731313 323133 =+=+≥== aaa

Benar. Seharusnya konvergen dengan Gauss-Siedel Method


=

−

76

28

1

1373

351

5312

3

2

1

a

a

a

Tulis ulang

531 xx +−

Asumsi nilai awal

=

1

0

1

3

2

1

x

x

x

12

531 32

1

xxx

+−=

5

328 31

2

xxx

−−=

13

7376 21

3

xxx

−−=

( ) ( )50000.0

12

150311 =

+−=x

( ) ( )9000.4

5

135.0282 =

−−=x

( ) ( )0923.3

13

9000.4750000.03763 =

−−=x


The absolute relative approximate error

%662.6710050000.0

0000.150000.01a =×

−=∈

09000.4 −%00.100100

9000.4

09000.42a =×

−=∈

%662.671000923.3

0000.10923.33a =×

−=∈

Galat absolut terbesar di akhir iterasi pertama adalah 100%


Setelah iterasi #1

Masukkan nilai x pada persamaan Setelah iterasi #2

=

0923.3

9000.4

5000.0

3

2

1

x

x

x

=

8118.3

7153.3

14679.0

3

2

1

x

x

x( ) ( )14679.0

12

0923.359000.4311 =

+−=x

( ) ( )7153.3

5

0923.3314679.0282 =

−−=x

( ) ( )8118.3

13

900.4714679.03763 =

−−=x

Masukkan nilai x pada persamaan Setelah iterasi #2


Galat absolut dari Iterasi #2

%62.24010014679.0

50000.014679.01

=×−

=∈a

%887.311007153.3

9000.47153.32

=×−

=∈a %887.311007153.32

=×=∈a

%876.181008118.3

0923.38118.33

=×−

=∈a

Galat absolut maksimum 240.62%

Lebih besar dari iterasi #1. Is this a problem?


Ulangi iterasi, didapatkanK

1aε 2aε 3aεIteration a1 a2 a3

1

2

3

0.50000

0.14679

0.74275

67.662

240.62

80.23

4.900

3.7153

3.1644

100.00

31.887

17.409

3.0923

3.8118

3.9708

67.662

18.876

4.00423

4

5

6

0.74275

0.94675

0.99177

0.99919

80.23

21.547

4.5394

0.74260

3.1644

3.0281

3.0034

3.0001

17.409

4.5012

0.82240

0.11000

3.9708

3.9971

4.0001

4.0001

4.0042

0.65798

0.07499

0.00000

=

4

3

1

3

2

1

x

x

x

=

0001.4

0001.3

99919.0

3

2

1

x

x

xHasil akhir Mendekati solusi sejati

Latihan

Sistem persamaan linier

76 13x 7x 3x 321 =++

=++ 28 3x 5x x 321 =++

1 5x - 3x 12x 32 1 =+With an initial guess of

=

1

0

1

3

2

1

x

x

x

Gauss-Seidel Method

The Gauss-Seidel Method can still be used

The coefficient matrix is not

diagonally dominant[ ]

−

=

5312

351

1373

A

But this is the same set of equations

used in example #2, which did

converge.

[ ]

−

=

1373

351

5312

A

If a system of linear equations is not diagonally dominant, check to see if

rearranging the equations can form a diagonally dominant matrix.

Gauss-Seidel Method

Not every system of equations can be rearranged to have a

diagonally dominant coefficient matrix.

Observe the set of equations

3321 =++ xxx 3321 =++ xxx

9432 321 =++ xxx

97 321 =++ xxx

Which equation(s) prevents this set of equation from having a

diagonally dominant coefficient matrix?

Gauss-Seidel Method

Summary

-Advantages of the Gauss-Seidel Method

-Algorithm for the Gauss-Seidel Method

-Pitfalls of the Gauss-Seidel Method

Gauss-Seidel Method

Questions?Questions?

Metode Penyelesaian

�Metode grafik

�Eliminasi Gauss

�Metode Gauss – Jourdan

�Metode Gauss – Seidel

�LU decomposition

LU Decomposition

A=LU

Ax=b ⇒LUx=b

Define Ux=y

Ly=b Solve y by forward substitution

Ux=y Solve x by backward substitution

LU Decomposition by Gaussian elimination

)2()2()2(

)1(

1

)1(

13

)1(

12

)1(

11

00001

00001n

aaa

aaaa

m

L

L

L

There are infinitely many different ways to decompose A.Most popular one: U=Gaussian eliminated matrix

L=Multipliers used for elimination

=

−−−−−−

)(

)(

1

)(

11

)3(

3

)3(

33

)2(

2

)2(

23

)2(

22

4,3,2,1,

3,12,11,1

2,31,3

1,2

0000

000

00

0

1

1

0

001

0001

n

nn

n

nn

n

nn

n

n

nnnn

nnn

a

aa

aa

aaa

mmmm

mmm

mm

m

AMOMMM

L

L

L

ML

MOOMM

L

L

Compact storage: The diagonal entries of L matrix are all 1’s, they don’t need to be stored. LU is stored in a single matrix.

NEXT: Solusi persamaan Non Linier

� Persamaan matematis yang sulit diselesaikan dengan “tangan” � analitis, sehingga diperlukan penyelesaian pendekatan � numerik

� Metode Numerik: Teknik menyelesaikan masalah matematika dengan pengoperasian hitungan, matematika dengan pengoperasian hitungan, umumnya mencakup sejumlah besar kalkulasi aritmetika yang sangat banyak dan menjenuhkan

� Diselesaikan dengan algoritma (serangkaian perintah untuk menyelesaikan masalah), sehingga diperlukan bantuan komputer untuk melaksanakannya

Sumber Galat / Error

� Kesalahan pemodelan

contoh: penggunaan hukum Newton

asumsi benda adalah partikel

� Kesalahan bawaan� Kesalahan bawaan

contoh: kekeliruan dlm menyalin data

salah membaca skala

� Ketidaktepatan data

� Kesalahan pemotongan / penyederhanaan persamaan(truncation error)

� Kesalahan pembulatan (round-off error)

Solusi Persamaan Non Linear

1)Metode Akolade (bracketing method)

/ Closed method

• Metode Bagi dua (Bisection Method)

• Metode Regula Falsi (False Position

Method)

• Metode Grafik

Keuntungan: selalu konvergen

Kerugian: relatif lambat konvergen

Solusi Persamaan Non Linear

2) Metode Terbuka

Contoh: • Iterasi Titik-Tetap (Fix Point Iteration)

• Metode Newton-Raphson• Metode Newton-Raphson

• Metode Secant

Keuntungan: cepat konvergen

Kerugian: tidak selalu konvergen

simultaneous linear equations -...

Documents