sinal unidimensional 1 x=10 f(x) |f(u)|. espectro centrado em u = 0 espectro centrado em u = 60
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Sinal unidimensional 1
X=10
f(x) |F(u)|
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espectro centrado em u = 0 espectro centrado em u = 60
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Sinal unidimensional 2
f(x) |F(u)|
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espectro centrado em u = 0 espectro centrado em u = 60
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Sinal unidimensional 2
f(x) |F(u)|
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espectro centrado em u = 0 espectro centrado em u = 60
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original Fourier
Fourier com shiftFourier com log(1+|F(u)|)
200000
47
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Filtro ideal
F
H
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Filtro ideal ].[1 HF
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F
H
Filtro de Butterworth
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Filtro de Butterworth].[1 HF
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Filtro passa-altas ideal
F
H
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Filtro passa-altas ideal ].[1 HF
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Filtro passa-altas Butterworth
F
H
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Filtro passa-altas Butterworth ].[1 HF
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Convolução espacial
0 200 400 m
f(m)
0 200 400 m
0 200 400 m
h(-m)
h(m)
0 200 400
m
h(x-m)
x
0 200 400 x
f(x)*h(x)
800600
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Convolução levando-se em conta a periodicidade da DFT
0 200 400 m
h(m)
0 200 400 m
h(-m)
0 200 400 m
h(x-m)
0 200 400 m
f(m)
m
x
100 400
f(x)*h(x)
x0
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Convoluçao com as funções estendidas: T = 800 (400+400)
0 200 400 600 800m
f(m)
0 200 400 600 800m
h(m)
0 200 400 600 800m
h(-m)
0 200 400 600 800m
h(x-m)
x
x
f(x)*h(x)
500 800
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Etapas da implementação da filtragem por DFT
• Estender o período MxN de f considerando o período PxQ do filtro h Novo período RxS
MxN:f PxQ :h
1)- QN S e 1-PM (R • Calcular a TF de f estendida
• Gerar a função H do filtro de tamanho RxS
• Multiplicar ponto a ponto a transformada de f estendida pelo filtro G = F.H
• Obter a parte real da transformada inversa discreta de Fourier
• Recortar o canto superior esquerdo de g de dimensão MxN g = crop(g)
(G)g 1
(h) H
)(f F RxS
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Exemplo: filtragem sem extensão (padding)
f F
H
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].[1 HF
.
.
.
.
.
.
……
sem padding
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Exemplo: filtragem com extensão (padding)
f F
H
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.
.
.
.
.
.
…
Com padding
].[1 HF
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Filtragem gaussiana
original imagem com ruído
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imagem com ruído espectro de Fourier
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Máscara h de convolução gaussiana 15x15 (sigma = 3)
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imagem com ruído f
Filtragem no domínio espacial
imagem filtrada: f*h
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espectro de Fourier H da máscara de convolução
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H estendido e com origem no centro
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H estendido e com origem não transladada
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imagem com ruído f
Filtragem no domínio da frequência
).(1 HFg
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g = f*h
Comparação dos resultados
).(1 HFg
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imagem de diferença entre as filtragens
13-
-13
3.41x10- valor mínimo
1.13x10 valor máximo
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H = Espectro máscara de Sobel
1 0 -1
2 0 -2
1 0 -1
h = Sobel
Filtro passa-altas
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H = Sobel
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imagem f )( fF
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g = f * h ).(1 HFg
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Contornos após limiarização (10% do maior valor na imagem)
por convolução por TF
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Original f
Exemplo: Filtro passa-baixas ideal
Filtros definidos diretamente no domínio da frequência
)( fF
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H ideal
Imagem filtrada
F
).(1 HFg
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H ideal F
Imagem filtrada
).(1 HFg
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H ideal F
Imagem filtrada
).(1 HFg
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H = Butterworth
Imagem filtrada).(1 HFg
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Filtragem gaussiana passa-baixas
1 máximoseu valor do 0.607 atinge filtro o D D Quando
),(
0
2/),( 20
2
DvuDevuH
0.3M D com H 0
M
M
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original f ).(1 HFg
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0.05M D com H 0
20
2 2/),(),( DvuDevuH
M
M
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original f ).(1 HFg
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0.02M D com H 0
M
M
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original f ).(1 HFg
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Filtragem passa-altas
• Definida também por:
baixas-passa H ; altas-passa H
v)(u,H - 1 v)u,(H
pbpa
pbpa
Passa-altas ideal (ideal) 1 pbH
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f
H ideal
).(1 HFg
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Filtro passa-altas gaussiano
)(gaussiano 1 pbH
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f).(1 HFg
H gaussiano
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Filtragem com ênfase nas altas frequências
• restitui parte da componente DC perdida na filtragem passa-altas e reforça as componentes de alta frequência do filtro Hpa.
),(),( vubHavuH paEAF
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Exemplo:
Original Equalização
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Original Butterworth
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Butterworth Equalização
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0.5 + 2*Hpa Equalização