sincronización eficiente en energía en redes de sensores...
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Tesis doctoral
Sincronización Eficiente en Energíaen Redes de Sensores Inalámbricos
Autor
ING. PABLO ARIEL BRIFF
Directores de tesis
Dr. Ing. Fabian Luis Vargas - PUCRS
Dr. Ing. Ariel Lutenberg - FIUBA
Jurado de tesis
Dra. Ing. Cecilia Galarza - FIUBA
Dr. Ing. Jorge Finochietto - UNC
Dr. Ing. Jorge Castiñeira Moreira - UNMdP
Ing. Carlos Belaustegui Goitia - FIUBA
Lugar de trabajo
LSE, Departamento de Electrónica, FIUBA
FACULTAD DE INGENIERÍA
UNIVERSIDAD DE BUENOS AIRES
23 de Octubre de 2015, Buenos Aires, Argentina
2
No es el conocimiento, sino el acto de aprendizaje,
ni la posesión del mismo, sino el trayecto recorrido hasta obtenerlo,
lo que proporciona la mayor satisfacción.
Carl Friedrich Gauss
i
ii
Agradecimientos
Esta tesis es el fruto de varios años de trabajo durante los cuales he recibido la
ayuda y colaboración de varias personas, a las cuales quisiera agradecer a continua-
ción.
Quisiera empezar por mis directores de tesis y equipo de trabajo. Estoy profun-
damente agradecido a mi director de tesis, el Dr. Fabian Vargas. Desde el primer día
recibí su apoyo y la libertad que se requiere para llevar adelante una investigación.
El Dr. Vargas posee una visión admirable para encarar problemas y proponer solu-
ciones acertadas, al tiempo que es capaz de crear un entorno de trabajo productivo
y alineado a los objetivos de la investigación. Además, el Dr. Vargas siempre deposi-
tó su con�anza en mis soluciones propuestas, realizando críticas constructivas para
encaminarme hacia el objetivo en tiempo y forma.
En segundo lugar, quisiera agradecerle a mi co-director de tesis, el Dr. Ariel
Lutenberg, por haber sido quien me ayudó a dar el puntapié inicial en este trabajo.
El Dr. Lutenberg tiene una habilidad natural para formar y coordinar grupos de
trabajo, sin mencionar que siempre estuvo disponible para contestar mis consultas
técnicas y administrativas, así como también ha sido muy puntilloso a la hora de
revisar las soluciones propuestas a las problemáticas estudiadas a lo largo de la
investigación.
A continuación, quisiera agradecer a tres personas que han sido un complemento
fundamental a lo largo de las diferentes etapas de la elaboración del trabajo.
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Desde el primer día, el Dr. Leonardo Rey Vega supo aconsejarme y corregir los
errores en mis desarrollos. Sin su ayuda, mis propuestas no habrían tenido la rigu-
rosidad matemática que merecen, y sus acertadas críticas constructivas han forjado
las bases matemáticas de la investigación. Creo que el Dr. Rey Vega es un profesor
e investigador admirable y me siento muy afortunado de haber recibido su guía.
Además, he recibido la invaluable asistencia del Dr. Mohammad Patwary de la
Universidad de Sta�ordshire, Reino Unido, a quien conocí en el año 2013. Desde
entonces, el Dr. Patwary se integró a nuestro grupo de trabajo de manera muy
natural, dedicando una enorme cantidad de horas de su tiempo para enseñarme a
ser amable con el lector a la hora de escribir un artículo.
Quiero agradecer también al Dr. Rolando Carrasco de la Universidad de New-
castle, Reino Unido, a quien conocí en el año 2014. El Dr. Carrasco muy amablemente
dedicó su tiempo a leer el primer borrador de la tesis y con su amplia experiencia
realizó críticas constructivas acerca de la presentación �nal del trabajo.
También agradezco al esfuerzo y la dedicación de la Comisión de Seguimiento,
integrada por el Dr. Jorge Finochietto y el Ing. Carlos Belaustegui Goitia, quienes
se encargaron de mantener los estándares de calidad esperados en una tesis doctoral,
así como también a Verónica Marchat de SECID, FIUBA, por el valioso soporte
administrativo brindado desde el inicio de la investigación.
Adicionalmente, quisiera expresar mi gratitud a la Dra. Cecilia Galarza, al Dr.
Jorge Castiñeira Moreira, al Dr. Jorge Finochietto y al Ing. Carlos Belaustegui Goitia
por haber aceptado ser parte del elenco del jurado de la tesis, dedicando horas de su
tiempo y esfuerzo en revisar este trabajo.
También quisiera destacar a la Dra. Graciela González y al Dr. Aníbal Zanini,
ambos de FIUBA, cuyos cursos reforzaron las bases matemáticas de esta investiga-
ción.
Quiero agradecer a mis amigos Cristian Di Pietrantonio, Martín Penalba, Andrés
Brumovsky, Gustavo Bongiovanni, Guido Jajamovich, Pablo Gómez, Andrés Lawler,
Matías Capeletto, Ariel Lutenberg, Leandro Vacirca, Emanuel González, Nicolás Ro-
mero, Roy Bierregaard, Hernán Kavaliauskas, Esteban Canepa y Mariano Sternheim
por siempre brindarme su afecto (y paciencia).
Desde ya conté desde el inicio con el apoyo de mi madre Zulma, mi tío Héctor,
mi abuela Zulema y mi hermana Romina, quienes siempre están conmigo incondi-
cionalmente en todos mis emprendimientos.
Por último, pero no por eso menos importante, nada de esto habría ocurrido sin
el apoyo, la ayuda y la paciencia de mi esposa, Jesica. Simplemente gracias por estar
conmigo en todas.
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Sincronización E�ciente en Energía en Redes de Sensores
Inalámbricos
Resumen
Las Redes de Sensores Inalámbricos han atraído gran atención en el mundo aca-
démico e industrial en los últimos 10 años debido a su uso en diversas aplicaciones de
sensado, y control, ya sea en el ámbito doméstico, industrial o militar. Una red de sen-
sores inalámbricos, más comúnmente denominada por su nombre en inglés Wireless
Sensor Network (WSN), presenta desafíos complejos que deben ser inevitablemente
abordados para lograr su adecuado funcionamiento. Entre ellos se encuentran el ma-
nejo de la energía, la sincronización de los nodos, la �abilidad, la prevención de fallas,
y las técnicas de procesamiento de la información. Esta tesis aborda estos problemas
desde un punto de vista analítico, analizando los diferentes escenarios mediante he-
rramientas matemáticas y proponiendo soluciones de relación de compromiso para
que el diseñador de una WSN pueda tomar las decisiones adecuadas para la cumplir
con los requisitos su aplicación.
Además se realizan contribuciones en la temática de sincronización de WSN y
su relación con el consumo de la energía de los nodos, siendo éste último un pro-
blema fundamental a la hora del diseño de una WSN. Se analizan casos donde el
canal inalámbrico sufre desvanecimiento de gran escala, de pequeña escala, con o sin
correlación, y con diversas tipos de perturbaciones de datos de origen. Usando la co-
ta de Cramer-Rao, se encuentran relaciones de compromiso óptimas que relacionan
el error de estimación de relojes de los nodos con la energía empleada para lograr
la sincronización en los distintos escenarios de análisis, generalizando las soluciones
mediante un problema de optimización de Lagrange.
Adicionalmente, se proponen técnicas de control de energía mediante herramien-
tas de estimación paramétrica de manera de prevenir una falla en la red a través
de la recon�guración dinámica de la misma cuando se estima que los nodos están
alcanzando el �n de su vida útil.
Por último, se propone un algoritmo de sincronización aplicado a una red dividi-
da en clusters que engloba los conceptos antedichos, en donde se resuelve el proble-
ma energético modelando la WSN como un sistema dinámico discreto y aplicando
técnicas de control óptimo. Se demuestra mediante simulaciones que el algoritmo
propuesto logra sincronizar los nodos de la WSN a la vez que logra controlar sus
energías, garantizándose así la sustentabilidad de la aplicación.
vi
Energy-e�cient Synchronization in Wireless Sensor
Networks
Abstract
Wireless Sensor Networks (WSN's) have attracted great attention in the aca-
demic and industrial world in the last 10 years because of its versatility and high
potential for use in various applications in sensing and control, either in the domes-
tic, industrial or military. WSN's present challenging problems that must inevitably
be addressed to achieve the proper functioning of the same. These include power
management, synchronization of the nodes, and data processing techniques. This
thesis addresses these problems from an analytical point of view, analyzing di�erent
application scenarios, and employing mathematical tools to propose tradeo�s which
can be exploited by the network designer to take adequate measures in order to
comply with the application requirements.
This thesis makes contributions on the �eld of WSN synchronization and its re-
lationship with the energy consumption of the nodes, being the latter a fundamental
problem in the design of a WSN. Cases where the wireless fading channel su�ers
large-scale, small scale, with or without correlation, and various types of disturban-
ces of the source data are analyzed. Using the Cramer-Rao lower bound, optimal
tradeo�s between the estimation accuracy and the energy employed in the synchro-
nization process are proposed for di�erent application scenarios. In addition to this,
a generalization of the solutions is made readily available by solving a Lagrange
optimization problem.
Moreover, power control techniques are studied by means of parametric estima-
tion tools to achieve reliable networks which can prevent a fault by dynamically
recon�guring the network upon detecting that the nodes are reaching the end of
their useful life.
Finally, a synchronization algorithm applied to a network divided into clusters
that includes the aforementioned concepts is proposed, in which the WSN is mode-
lled as a discrete dynamic system to which optimal control techniques are applied.
Simulations show that the proposed algorithm achieves synchronization of the WSN
nodes while controlling their energy, thus ensuring the sustainability of the applica-
tion.
Índice general
1 Prefacio 1
1.1 Objetivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Organización de la Tesis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.3 Estrategia de Revisión Literaria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.4 Terminología . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.5 Contribuciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.6 Publicaciones Generadas por esta Tesis . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2 Introducción 7
2.1 Modelo de Reloj de Nodo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.2 El Problema de Sincronización de WSN . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.2.1 Modelo de Red . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.2.2 Error de Estimación de Reloj . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.2.3 Demanda Energética . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
3 Principales Algoritmos Existentes para Sincronización de WSN 15
3.1 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3.2 Protocolo RBS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3.2.1 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3.2.2 Descripción del Enfoque de RBS . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.2.3 Conclusión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3.3 Protocolo TPSN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.3.1 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.3.2 Descripción del Enfoque de TPSN . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.3.3 Conclusión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.4 Protocolo PBS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.4.1 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.4.2 Descripción del Enfoque de PBS . . . . . . . . . . . . . . . . 22
vii
viii
3.4.3 Conclusión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.5 Tabla comparativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
4 Modelo Simpli�cado de Sincronización E�ciente en Energía 27
4.1 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
4.2 Error de Estimación del O�set en Función de la Potencia de Transmisión 28
4.2.1 Modelo de Sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
4.2.2 Planteo del Problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
4.2.3 Optimización de Consumo Energético . . . . . . . . . . . . . 30
4.2.4 Función de Distribución Gaussiana del O�set . . . . . . . . . 30
4.2.5 Relación de Compromiso Energía vs. Error de Estimación de
Clock con Desvanecimiento de Gran Escala . . . . . . . . . . 31
4.2.6 Relación de Compromiso Energía vs. Error de Estimación de
Clock con Desvanecimiento de Pequeña Escala . . . . . . . . 33
4.3 Resultados de las Simulaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
4.4 Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
5 Modelo Extendido de Sincronización E�ciente en Energía 37
5.1 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
5.2 Modelo de Sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
5.2.1 Múltiples Dominios de Broadcast . . . . . . . . . . . . . . . . 39
5.2.2 Problema a Resolver: Optimización de Energía . . . . . . . . 40
5.2.3 Funciones de Distribución de Probabilidad del O�set . . . . . 41
5.3 Error de Estimación de O�set con Mensajes Unidireccionales en Fun-
ción de la Potencia de Transmisión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
5.3.1 Motivación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
5.3.2 Desvanecimiento de Gran Escala por Pérdidas de Propagación
y Sombreado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
5.3.3 Desvanecimiento de Pequeña Escala por Multi-camino . . . . 44
5.4 Error de Estimación de O�set con Mensajes Bidireccionales en Fun-
ción de la Potencia de Transmisión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
5.4.1 Motivación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
5.4.2 Modelo de Sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
5.4.3 Planteo del Problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
5.4.4 Efectos de Desvanecimiento de Gran Escala . . . . . . . . . . 47
5.4.5 Efectos de Desvanecimiento de Pequeña Escala . . . . . . . . 47
5.5 Error de Estimación de O�set con Mensajes n-direccionales en Fun-
ción de la Potencia de Transmisión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
ix
5.5.1 Efectos de Desvanecimiento de Gran Escala . . . . . . . . . . 48
5.5.2 Efectos de Desvanecimiento de Pequeña Escala . . . . . . . . 48
5.6 Ejemplo de Aplicación al Algoritmo RBS . . . . . . . . . . . . . . . . 49
5.7 Resultados de las Simulaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
5.8 Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
6 Sincronización de Nodos en Movimiento 57
6.1 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
6.2 Sincronización de Nodos en Movimiento con Desvanecimiento de Gran
Escala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
6.2.1 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
6.2.2 Estimación de O�set con Mensajes Unidireccionales y Nodos
en Movimiento con Desvanecimiento de Gran Escala . . . . . 58
6.2.3 Resultados de las Simulaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
6.3 Sincronización de Nodos en Movimiento con Desvanecimiento de Pe-
queña Escala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
6.3.1 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
6.3.2 Modelo de Sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
6.3.3 Error de Estimación del O�set en Función de la Potencia de
Transmisión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
6.3.4 Resultados de las Simulaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
6.3.5 Aplicación a Diseño de WSN . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
6.4 Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
7 Generalización de las Relaciones de Compromiso en Sincronización
de Nodos 71
7.1 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
7.2 Modelo de Sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
7.3 Optimización de Energía vs. Error de Estimación a Nivel de Red . . 73
7.4 Ejemplo de Aplicación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
7.5 Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
8 Prevención de Fallas en una WSN 81
8.1 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
8.2 Modelo de Sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
8.2.1 Consideraciones Generales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
8.2.2 Estimación de la Probabilidad de Outage . . . . . . . . . . . 83
8.3 Tiempo de Vida vs. Potencia de Transmisión de un Nodo . . . . . . 84
x
8.3.1 Modelo de Sistema de Control . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
8.3.2 Energía y Tiempo de Vida de un Nodo . . . . . . . . . . . . . 85
8.3.3 Disponibilidad de Red vs. Error de Estimación . . . . . . . . 87
8.4 Resultados de las Simulaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
8.5 Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
9 Algoritmo Propuesto para Sincronización E�ciente en Energía en
WSN 91
9.1 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
9.2 Modelo de Sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
9.2.1 Consideraciones Generales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
9.2.2 Modelo de Canal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
9.3 Algoritmo Propuesto para Sincronización de WSN E�ciente y Estable
en Energía basado en Codi�cación de Red . . . . . . . . . . . . . . . 95
9.3.1 Descubrimiento y Formación de Red . . . . . . . . . . . . . . 95
9.3.2 Estimación de O�set de Reloj a Nivel de Red . . . . . . . . . 96
9.3.3 Estimación del O�set de Reloj usando Codi�cación de Red . 99
9.3.4 Control Óptimo de Energía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
9.4 Resultados de las Simulaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
9.5 Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
10 Conclusiones Generales 119
A Resumen de Herramientas Matemáticas 123
A.1 Ruido AWGN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
A.2 Modelo de Grafo de una WSN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
A.3 Modelo de Canal Inalámbrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
A.3.1 Modelo de Canal Inalámbrico Simpli�cado . . . . . . . . . . . 124
A.3.2 Canal Inalámbrico con Desvanecimiento de Gran Escala . . . 125
A.3.3 Canal Inalámbrico con Desvanecimiento de Pequeña Escala . 125
A.4 Estimación Paramétrica y Cotas Óptimas . . . . . . . . . . . . . . . 126
A.5 Teorema de la Probabilidad Total . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
A.6 Problema del Valor Inicial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
A.7 Sistemas Dinámicos y Control Óptimo . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
A.8 Funciones Matemáticas Accesorias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
A.8.1 Función Delta de Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
A.8.2 Funciones de Bessel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
A.8.3 Norma de Frobenius . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
xi
A.8.4 Función de Heaviside . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
A.8.5 Función Q Complementaria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
B Demostraciones Matemáticas 137
B.1 Demostración del Lema (1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
B.2 Demostración de Pr (tlt < tmin) en (8.17) . . . . . . . . . . . . . . . . 137
xii
Índice de �guras
2.1 Grafo de conexión de WSN. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.2 Topología de red estrella. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.3 Topología de red malla. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.4 Topología de red árbol. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
3.1 Intercambio de mensajes entre par de nodos. . . . . . . . . . . . . . . 21
4.1 Número de mensajes transmitidos y energía consumida vs. potencia
de transmisión para desvanecimiento de gran escala, para diferentes
errores de estimación del o�set. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
4.2 Número de mensajes transmitidos y energía consumida vs. potencia de
transmisión para desvanecimiento de pequeña escala, para diferentes
errores de estimación del o�set. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
5.1 Topología de red con múltiples dominios de broadcast que requiere
comunicación multi-hop. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
5.2 Número de mensajes transmitidos y energía de sincronización consu-
mida vs. potencia de transmisión para desvanecimiento de gran escala,
y para diferentes errores de estimación del o�set usando mensajes bi-
direccionales, con retardos Gaussianos. . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
5.3 Número de mensajes transmitidos y energía de sincronización consu-
mida vs. potencia de transmisión para desvanecimiento de gran escala,
y para diferentes errores de estimación del o�set usando mensajes bi-
direccionales, con retardos exponenciales. . . . . . . . . . . . . . . . 51
5.4 Número de mensajes transmitidos y energía de sincronización consu-
mida vs. potencia de transmisión para desvanecimiento de pequeña
escala, y para diferentes errores de estimación del o�set usando men-
sajes bidireccionales, con retardos Gaussianos. . . . . . . . . . . . . . 52
xiii
xiv
5.5 Número de mensajes transmitidos y energía de sincronización consu-
mida vs. potencia de transmisión para desvanecimiento de pequeña
escala, y para diferentes errores de estimación del o�set usando men-
sajes bidireccionales, con retardos exponenciales. . . . . . . . . . . . 53
5.6 Mínima energía de sincronización vs. número de saltos para desvane-
cimiento de gran escala, y para diferentes errores de estimación del
o�set, con retardos Gaussianos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
5.7 Mínima energía de sincronización vs. número de saltos para desvane-
cimiento de pequeña escala, y para diferentes errores de estimación
del o�set, con retardos Gaussianos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
6.1 Número de mensajes transmitidos y energía de sincronización consu-
mida vs. potencia de transmisión para desvanecimiento de gran escala
a distancia constante, y para diferentes errores de estimación del o�set. 60
6.2 Número de mensajes transmitidos vs. potencia de transmisión y dis-
tancia entre nodos para desvanecimiento de gran escala, y para dife-
rentes errores de estimación del o�set. . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
6.3 Nodo u2 estimando el o�set del reloj del nodo u1 usando mensajes
unidireccionales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
6.4 Número de mensajes transmitidos vs. potencia de transmisión y velo-
cidad relativa entre nodos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
6.5 Energía de sincronización total vs. potencia de transmisión. . . . . . 68
6.6 Comparación de la energía total de sincronización entre [39] y la cota
inferior propuesta en la Sección 6.3, vs. potencia de transmisión. . . 68
7.1 Conexión de nodos vecinos en una red WSN genérica. . . . . . . . . 72
7.2 Error de sincronización óptimo entre el nodo u1 y sus nodos vecinos. 78
7.3 Curvas de nivel de energía de sincronización para el par u1-u3. . . . . 78
8.1 Topología estrella de una red WSN con nodo coordinadores ub y uc,
y cabeza de cluster u1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
8.2 Problema de estimación modelado como un sistema de control. . . . 84
8.3 Tiempo de vida de un sensor vs. probabilidad de outage, para dife-
rentes tasas de mensajes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
8.4 Setpoint de la probabilidad de outage vs. tasa de mensajes, para di-
ferentes valores de la disponibilidad de red. . . . . . . . . . . . . . . 89
8.5 Error de estimación vs. disponibilidad de red, para diferentes tasas de
mensajes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
xv
9.1 Sección de WSN compuesta por diez nodos. . . . . . . . . . . . . . . 94
9.2 Process de descubrimiento de red para el nodo u3. . . . . . . . . . . 96
9.3 WSN clusterizada luego de completarse el proceso de formación de red. 98
9.4 El nodo u1 envía un mensaje de broadcast con su reloj a todos los
nodos en el cluster. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
9.5 Topología de mariposa para codi�cación de red [71]. . . . . . . . . . 102
9.6 El nodo u2 retransmite el o�set del reloj del nodo u1 a los nodos en
su cluster. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
9.7 El nodo u3 retransmite el o�set del reloj del nodo u1 a los nodos en
su cluster. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
9.8 El nodo u4 retransmite el o�set del reloj del nodo u1 a los nodos en
su cluster. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
9.9 El nodo u5 retransmite el o�set del reloj del nodo u1 a los nodos en
su cluster. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
9.10 El nodo u2 envía un mensaje de broadcast con la medición de su reloj
a todos los nodos en su cluster, pero el nodo u4 no recibe el mensaje. 104
9.11 Estimaciones producidas por u1 relativas a los o�sets de los nodos
u2 ∼ u5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
9.12 Estimaciones producidas por u1 relativas a las probabilidades de ou-
tage entre él mismo y los nodos u2 ∼ u5. . . . . . . . . . . . . . . . . 114
9.13 Comandos óptimos emitidos por el nodo u1 para los nodos u2 ∼ u5. . 115
9.14 Desviación de energía respecto del setpoint (normalizadas) para el
nodo u2 cuando es controlado por el nodo u1, superpuesta al promedio
de desviaciones de energía para los nodos u2 ∼ u5. . . . . . . . . . . 115
9.15 Desviación de energía respecto del setpoint (normalizada) para el nodo
u2 cuando es controlado por el nodo u1. . . . . . . . . . . . . . . . . 116
9.16 Desviación de energía respecto del setpoint (normalizada) para el nodo
u3 cuando es controlado por el nodo u1. . . . . . . . . . . . . . . . . 116
9.17 Desviación de energía respecto del setpoint (normalizada) para el nodo
u4 cuando es controlado por el nodo u1. . . . . . . . . . . . . . . . . 117
9.18 Desviación de energía respecto del setpoint (normalizada) para el nodo
u5 cuando es controlado por el nodo u1. . . . . . . . . . . . . . . . . 117
A.1 Funciones de Bessel de primera especie. . . . . . . . . . . . . . . . . 134
xvi
Listado de Acrónimos
ACK Acknowledgement
AWGN Additive White Gaussian Noise
CRLB Cramer-Rao Lower Bound
FDP Función de Densidad de Probabilidad
FTSP Flooding Time Synchronization Protocol
i.i.d. Independientes e Idénticamente Distribuidas
ID Número de Identi�cación
IoT Internet of Things
ISI Inter-Symbol Interference
KKT Karush-Kuhn-Tucker
LQR Linear Quadratic Regulator
MAC Medium Access Control
MVUE Minimum Variance Unbiased Estimator
NTP Network Time Protocol
OSI Open System Interconnection
PAN Personal Area Network
PBS Pairwise Broadcast Synchronization
RBS Reference Broadcast Synchronization
ROS Receiver-Only Synchronization
xvii
xviii
RSSI Received Signal Strength Indicator
RTSP Recursive Time Synchronization Protocol
SINR Signal-to-Interference-plus-Noise Ratio
SNR Signal-to-Noise Ratio
TDMA Time Division Multiple Access
TFI Teorema de la Función Implícita
TPSN Timing-sync Protocol for Sensor Networks
WSN Wireless Sensor Network
Listado de Símbolos
α Disponibilidad de la red
Xe Media de Xe
C Matriz de correlación de X e Y
X Conjunto de m elementos de Xi
Y Conjunto de m elementos de Yi
P kRTSij Idem P kij→ji
δ Retardo de sincronización total
δmin Mínimo retardo de sincronización
εi dεi/dt
ei dei/dt
ε Error de estimación de o�set de reloj
ε′ij dεij/dS
εi(t) Error incurrido por el nodo ui al interpretar el tiempo t con su reloj interno
ci(t)
εij Error de estimación incurrido por el nodo uj cuando estima el o�set de ui
εq Error de estimación de o�set objetivo del cluster Cq
εijopt Error de estimación óptimo para el enlace entre los nodos ui y uj
γ Exponente de pérdidas de camino
γ0 Mínima relación señal a ruido aceptable por el receptor
γs Relación señal a ruido en el nodo receptor
xix
xx
γ0j Sensibilidad del receptor del nodo uj
θij Estimación del o�set de reloj entre los nodos ui y uj
θij(tk)|uj Estimación del o�set de reloj relativo entre los nodos ui y uj producida
en el nodo ul en el instante tk
Pout Estimación de Pout
S Estimación de S
Si|uj Estimación de la potencia del nodo ui producida por el nodo uj
λ Multiplicador de Lagrange
λe Parámetro de la distribución exponencial de Xe
λs Longitud de onda de ri(t)
d·e Función techo
b·c Función piso
R Conjunto de números reales
Ad Matriz que multiplica a los estados de un sistema dinámico discreto lineali-
zado
Bd Matriz que multiplica a los comandos de un sistema dinámico discreto linea-
lizado
Kd Matriz óptima para control LQR discreto
P Matriz solución de la ecuación de Riccati discreta estacionaria
Q1 Matriz de peso de la función de costo Jd que multiplica los estados x
Q2 Matriz de peso de la función de costo Jd que multiplica los comandos uv
uv Comando de control óptimo incluyendo perturbaciones que minimiza Jd
xi Posición espacial del nodo ui
x Vector compuesto por desviaciones de energía respecto del objetivo para los
nodos en el cluster Cq
x(k)[i] i-ésimo elemento del vector x en el instante tk
xxi
V = {1, 2, . . . , N} Conjunto formado por {1, 2, . . . , N}
Φi Inclinación o skew del reloj del nodo ui
φi(t) Fase de ri(t)
ψdB Variable aleatoria de desvanecimiento del canal inalámbrico
ρ ρ = 1: FDP de o�set Gaussiana, ρ = 2: FDP de o�set exponencial
ρC Índice de correlación de X e Y
σ2N Potencia de ruido AWGN �ltrado
σ2Φ
Varianza de la estimación del skew de reloj
σ2θ
Varianza de la estimación del o�set de reloj
σψdB Desviación estándar de ψdB
σ2V Varianza de las perturbaciones del parámetro a estimar
θ Desbalance u o�set de reloj
θi Desbalance u o�set del reloj del nodo ui
θij O�set de reloj entre los nodos ui y uj
θij(tk)|ul O�set de reloj relativo entre los nodos ui y uj observado en el nodo ul en
el instante tk
M Variable aleatoria binomial correlacionada que representa el número de men-
sajes recibidos exitosamente por el receptor
m Valor medio del número de mensajes recibidos correctamente por el receptor
ri(t) Envolvente compleja recibida por ui a través de un canal inalámbrico
zi(t) Señal temporal recibida a través de un canal inalámbrico
ζij Coe�ciente de correlación entre i-ésimo elemento de X y j-ésimo elemento
de Y
C1 Espacio de funciones cuyas primeras derivadas son continuas.
ci(t) Reloj del nodo ui en el instante de tiempo t
Cn Conjunto de n clusters en una red
xxii
d Distancia entre un par de nodos
d0 Distancia de referencia
dij Distancia entre los nodos ui y uj
Dijmax Máximo radio de cobertura del nodo ui cuando se comunica con el nodo uj
E′cij dEcij/dS
E[·] Operador esperanza
E0 Energía inicial de un nodo de la red
Ec Energía consumida en el proceso de sincronización
Ec(t) Energía consumida en el proceso de sincronización en el instante t
ei Idem ei(·)
ei(·) Desviación de energía del nodo ui respecto de ESP i
Ei(t) Energía total del nodo ui de la red en el instante t
E0i Energía inicial del nodo ui
Eci(t) Energía consumida por el nodo ui en el proceso de sincronización en el instante
t
Ecij Energía consumida en la sincronización entre los nodos ui y uj
EHi(t) Energía capturada por el nodo ui en el instante t
EH(t) Energía capturada por un nodo de la red en el instante t
Esync Presupuesto de energía de sincronización
ET (t) Energía total de un nodo de la red en el instante t
ESP i Objetivo o setpoint de energía para el nodo ui
fXY FDP conjunta de X e Y
fXe Función de Densidad de Probabilidad de Xe
g(t) Ganancia compleja del canal inalámbrico
gx(t) Parte real de g(t)
xxiii
gy(t) Parte imaginaria de g(t)
H(·) Función de Heaviside
h(t) Respuesta impulsiva de la planta en un sistema de control
I(·) Función de Información de Fisher
Iq Corriente de mantenimiento de un nodo
J0(·) Función de Bessel de primera especie y orden cero
Jd Función de costo de algoritmo de control LQR para un sistema dinámico
discreto linealizado
k0 Tiempo de convergencia del algoritmo de sincronización
m Número de mensajes de sincronización enviados por el nodo transmisor
mmin Mínimo número de mensajes de transmisión
N Número de nodos en una WSN
n Número de saltos en una WSN
Nc Máximo número de nodos por cluster de la red
Nc Número de nodos en la red clusterizada
Nq Tamaño del cluster Cq
P ′outij dPoutij/dS
P (M = k) Probabilidad de recibir exitosamente exactamente k mensajes
P kij→ji Probabilidad de éxito de mensaje de ida y vuelta entre nodos ui y uj en el
instante tk
Pout Probabilidad de outage
P koutj→iProbabilidad de outage en enlace uj-ui en el instante tk
Q(·) Función Q complementaria
R Tasa de transmisión de mensajes
R(τ) Función de autocorrelación de las componentes de ri(t) para un intervalo de
tiempo τ
xxiv
Ri(k) Tasa variable de transmisión de mensajes para el nodo ui
ri(t) Módulo de ri(t)
S Potencia de transmisión
Savg Potencia de transmisión promedio
Sij Potencia de transmisión del nodo ui cuando se comunica con el nodo uj
skj→i Evento de recepción exitosa en ui de mensaje enviado por uj en el instante
tk
Sopt Potencia de transmisión óptima
SRx Sensibilidad de la antena del nodo receptor
TM Duración de tiempo de cada mensaje transmitido
Ts Intervalo de tiempo entre transmisión de mensajes
Tw Duración de tiempo de ventana de observación
tlt Tiempo de vida restante de un nodo
Tsync Tiempo total de sincronización
tui(tk) Medición de tiempo del nodo ui en el instante tk
tui(tk)|uj Medición de tiempo del nodo ui observado desde el nodo uj en el instante
tk
U{i}_ID Número de identi�cación del nodo ui
ui i-ésimo nodo en la red
v Velocidad relativa entre un par de nodos
Vdd Tensión de alimentación de un nodo
vij Velocidades relativas entre los nodos ui y uj
Xe Variable aleatoria exponencial que perturba al o�set de reloj
Xi Parte real de ri(t)
Yi Parte compleja de ri(t)
xxv
zi(t) Señal temporal enviada a través de un canal inalámbrico
Nq∗ij Número de observaciones del o�set del nodo ui recibidas exitosamente por el
nodo uj
exp(x) ex
sgn(·) Función signo
var[·] Operador varianza
xxvi
Capítulo 1
Prefacio
1.1 Objetivo
El objetivo de esta tesis es investigar en detalle las redes de sensores inalámbricos,
haciendo especial énfasis en el estudio de la sincronización de los nodos, el consumo
energético de los mismos y la prevención de fallas de la red.
Es de interés investigar en detalle las relaciones de compromiso involucradas en
el proceso de sincronización y balance energético de los nodos en una red genérica,
así como también los efectos sobre el canal inalámbrico ante diversas situaciones de
ruido, desvanecimiento y correlación del mismo debido al movimiento relativo de los
nodos.
De esta forma, el objeto de esta tesis es obtener relaciones de compromiso entre
error de sincronización, consumo energético y �abilidad para una red genérica con
una cantidad de nodos y topología arbitraria.
Dado que la sincronización de los nodos constituye una funcionalidad básica de
la red, es necesario realizar especial hincapié en la comparación entre algoritmos
existentes, midiendo la complejidad algorítmica de los mismos y relacionándola con
el consumo energético empleado en alcanzar los objetivos de sincronización.
Finalmente, una vez determinadas las relaciones de compromiso óptimas que in-
tervienen en la problemática de sincronización e�ciente en energía de las redes de
sensores inlámbricos, el objetivo de esta tesis es proponer un algoritmo de sincroni-
zación que englobe las contribuciones aquí encontradas en un único mecanismo que
alcance la sincronización de los nodos al tiempo que se controla el consumo de la
energía de los mismos alrededor de un valor deseado, priorizando de esta forma la
prevención de fallas en los nodos por sobre el error de sincronización.
1
2
1.2 Organización de la Tesis
La tesis está organizada como se detalla a continuación: en el Capítulo 2 se realiza
una introducción a las redes de sensores inalámbricos y se explican los desafíos exis-
tentes en las mismas, haciendo hincapié en la importancia de lograr sincronización
y e�ciencia energética, resumiendo de forma breve los algoritmos de sincronización
más conocidos actualmente en la literatura. El Capítulo 3 resume los principales
algoritmos de sincronización relativos a la temática de WSN, explicando las ventajas
y desventajas de cada uno de ellos. El Capítulo 4 propone un modelo simpli�cado
que relaciona el error de sincronización con la energía de los nodos, detallando los
conceptos básicos del problema existente. El Capítulo 5 expande los conceptos an-
tedichos a diferentes situaciones de perturbaciones y al caso de redes de múltiples
saltos. En el Capítulo 6 se investigan las relaciones de compromiso existente entre
error de sincronización y e�ciencia energética para nodos en movimiento bajo efectos
de desvanecimiento de gran escala con usos de canal descorrelacionados, así como
también dichas relaciones de compromiso para nodos en movimiento bajo efectos de
desvanecimiento de pequeña escala y con correlación de canal. El Capítulo 7 extien-
de las relaciones de compromiso a una red genérica, generalizando las relaciones de
compromiso y proponiendo una solución práctica al problema de la regulación de
las potencias de transmisión de los nodos. En el Capítulo 8 se explora el concepto
de prevención de fallas de una red clusterizada. Y en el Capítulo 9 se propone un
algoritmo de sincronización e�ciente en energía, el cual controla la energía a través
de un regulador lineal cuadrático, un tipo de controlador óptimo, modelando la red
como un sistema dinámico. Finalmente, en el Capítulo 10 se realizan las discusiones
�nales y se exponen las conclusiones de este trabajo.
El cuerpo principal de esta tesis contiene mayormente las contribuciones al es-
tado del arte que se realizaron durante el desarrollo del doctorado. Las teorías y
herramientas matemáticas que son conocidas en el campo de estudio se resumen
brevemente en el Apéndice A, mientras que las demostraciones matemáticas que
requieren un desarrollo detallado para arribar a los resultados se presentan en el
Apéndice B.
1.3 Estrategia de Revisión Literaria
En esta tesis se adopta la estrategia de incluir un capítulo introductorio con el
estado del arte de los algoritmos más conocidos en la temática de sincronización de
WSN, y luego se realiza una revisión literaria relativa a cada tópico investigado al
inicio de cada capítulo de la tesis. De esta forma se garantiza que el lector tenga
3
presente el contexto en el cual se realizan los análisis y las contribuciones de cada
capítulo, lo cual permite una mejor apreciación de las contribuciones de esta tesis.
1.4 Terminología
Debido a que existe un consenso internacional acerca de términos puntuales rela-
tivos al área de las redes de sensores inalámbricos, a lo largo de la tesis se mantendrán
ciertos términos en idioma inglés de manera de asociar fácilmente su signi�cado con
la literatura existente. Son ejemplos de estas terminologías o�set de reloj, WSN,
probabilidad de outage, entre otras. Por otra parte, mantener ciertos términos en
inglés ayuda a enlazar más fácilmente los conceptos y resultados aquí presentados
con aquellos explicados en los principales libros y artículos de la temática.
1.5 Contribuciones
Las contribuciones e innovaciones introducidas en esta tesis son:
• El planteo de un modelo genérico que relaciona el error de sincronización con
la energía de los nodos.
• La obtención de las relaciones de compromiso óptimas entre el error de sincro-
nización con la energía de los nodos para los casos de perturbaciones Gaussiana
y exponencial en los datos de fuente, así como también su aplicación a una red
de múltiples saltos.
• La obtención de las relaciones de compromiso óptimas relacionando el error de
sincronización con la energía de los nodos, para el caso de nodos en movimiento
bajo efectos de desvanecimiento de gran escala en canales descorrelacionados.
• La obtención de las relaciones de compromiso óptimas relacionando el error de
sincronización con la energía de los nodos, para el caso de nodos en movimiento
bajo efectos de desvanecimiento de pequeña escala en canales correlacionados.
• La obtención de las relaciones de compromiso óptimas relacionando el error de
sincronización con la energía de los nodos, para el caso de nodos en movimiento
bajo efectos de desvanecimiento de pequeña escala en canales correlacionados.
• La generalización de las relaciones de compromiso para una red genérica sin
particularizar la topología.
• Un algoritmo para alcanzar prevención de fallas en una red clusterizada.
4
• Un algoritmo de sincronización que engloba los conceptos anteriores y logra
sincronizar los nodos de una red clusterizada a la vez que controla sus consumos
de energía de forma óptima.
1.6 Publicaciones Generadas por esta Tesis
A lo largo del desarrollo de esta tesis, se produjeron las siguientes publicaciones
en revistas indexadas con referato internacional y conferencias internacionales:
Publicaciones en Revistas
• A Generalized Trade-o� Model for Energy-E�cient WSN Synchronization, P.
Bri�, A. Lutenberg, F. Vargas, L. Rey Vega, M. Patwary, IET Electronics
Letters, Vol. 51, Núm. 3, págs. 291�292, Febrero 2015.
• A Primer on Energy-E�cient Synchronization of WSN Nodes over Correlated
Rayleigh Fading Channels, P. Bri�, A. Lutenberg, F. Vargas, L. Rey Vega, M.
Patwary, IEEE Wireless Communication Letters, Vol. 3, Núm. 1, págs. 38-41,
Noviembre 2013.
• On Energy-E�cient Time Synchronization for Wireless Sensors under Large-
Scale and Small-Scale Fading E�ects, P. Bri�, A. Lutenberg, F. Vargas, L. Rey
Vega, Wireless Sensor Network, Vol. 5, págs. 181-193, Octubre 2013.
• On the Trade-o� between Power Consumption and Time Synchronization Qua-
lity for Moving Targets under Large-Scale Fading E�ects in Wireless Sensor
Networks, P. Bri�, A. Lutenberg, F. Vargas, L. Rey Vega, Communications
and Network, Vol. 5, págs. 498-503, Septiembre 2013.
• Energy-E�cient WSN Synchronization Scheme with Concatenated Network
Coding and LQR Control Theory, P. Bri�, A. Lutenberg, F. Vargas, L. Rey
Vega, M. Patwary, R. Carrasco, enviada a IEEE Trans. on Communications,
Septiembre 2015.
Publicaciones en Conferencias
• A Novel Control Strategy for Fail-Safe Cyclic Data Exchange in Wireless Sen-
sor Networks, P. Bri�, A. Lutenberg, F. Vargas, L. Rey Vega, M. Patwary,
Full Paper, IEEE Latin-American Test Workshop, Porto Alegre, Brazil, Pro-
ceedings of the IEEE Latin-American Test Workshop, págs 1-5, 2014.
5
• On the Trade-o� between Power Consumption and Time Synchronization Qua-
lity for Moving Targets under Large-Scale Fading E�ects in Wireless Sensor
Networks, P. Bri�, A. Lutenberg, F. Vargas, L. Rey Vega, Full Paper, In-
ternational Conference on Wireless Communications, Networking and Mobile
Computing, WiCOM, Beijing, China, 2013.
• On the Trade-o� of Power Consumption and Time Synchronization Quality
in Wireless Sensor Networks, P. Bri�, A. Lutenberg, F. Vargas, L. Rey Vega,
Poster Session, IEEE Sensors Conference, Taipei, Taiwan, Proceeding of the
IEEE Sensors Conference, págs 1-4, 2012.
6
Capítulo 2
Introducción
Con el advenimiento de las tecnologías inalámbricas en la última década, el con-
cepto de red de sensores inalámbricos, en inglés WSN, ha ganado terreno frente a
las redes cableadas en el campo de sensado y detección [64]. Las WSN suelen estar
compuestas por sensores o nodos de bajo costo alimentados a batería o que capturan
energía para su alimentación, es decir sensores autoalimentados. Por esta razón, la
gestión de la energía se convierte en una cuestión primordial a la hora de garantizar
la vida útil de los sensores.
Las WSN juegan un papel preponderante en la industria, así como también en
la vida cotidiana debido a su interacción con el mundo físico a gran escala. Se las
utiliza para recopilar, procesar y entregar información vital en tiempo real en siste-
mas dinámicos distribuidos. Esto puede incluir aplicaciones de monitoreo del medio
ambiente, salud, control de trá�co y control de la seguridad, las cuales se consideran
como los elementos clave en el desarrollo de las ciudades inteligentes. Para hacer
frente a las condiciones hostiles y al difícil acceso al medio que suelen experimentar
estas aplicaciones, los sensores inalámbricos trabajan en estrecha colaboración con
sus pares a �n de utilizar con e�cacia sus limitados recursos. La totalidad de la red
también debería ser capaz de llevar a cabo la autogestión y adaptarse a los cambios
ambientales y operacionales de manera dinámica a �n de maximizar el rendimiento
de la red. La e�ciencia en el consumo de energía debe ser una de las principales
prioridades de una WSN, ya que en la mayoría de las aplicaciones los nodos son
alimentados por baterías, siendo la recarga o sustitución de la misma impráctica en
la mayoría de los casos. Maximizar la e�ciencia energética no sólo prolonga el fun-
cionamiento de los nodos de sensores, sino que también bene�cia al medio ambiente
[72]. Además, con la reciente introducción de la Internet de las Cosas, del inglés
Internet of Things (IoT) [53], la densidad de los nodos crecerá notablemente y por
dicho motivo el problema de sincronización presentará aún más desafíos desde el
7
8 CAPÍTULO 2. INTRODUCCIÓN
punto de vista energético para lograr un error de sincronización determinado.
La gestión e�ciente de la energía se puede lograr por medio de la implementación
de per�les de bajo consumo energético, los cuales ponen los sensores a dormir cuando
las actividades de transmisión inalámbrica o de cómputo no son necesarias, es decir
solamente activándolas cuando sea necesario. El concepto subyacente en la gestión
de la energía está en coordinar cuándo un dispositivo debe entrar o salir del modo de
suspensión o stand-by. Para alcanzar este objetivo es necesario sincronizar los nodos,
es decir, implantar un mecanismo para que todos los dispositivos sigan un único reloj
de referencia. Por este motivo, la sincronización de los relojes de los nodos se convierte
en un elemento clave de la WSN ya que proporciona un mecanismo para lograr
implementar per�les de baja potencia en cada sensor y al mismo tiempo permitir la
transmisión de datos con el mínimo de colisión de paquetes y retransmisiones.
Sincronizar una WSN completa es un problema complejo, ya que engloba un
conjunto de desafíos que deben ser resueltos antes de lograr el objetivo de la sin-
cronización global. Por este motivo, el problema de sincronización está considerado
uno de los cinco problemas más difíciles abiertos en el campo de las WSN [41].
Varios autores (por ej. [58] y [23]) exponen el problema del balance entre error de
sincronización y gasto energético como un problema abierto conocido.
Es primordial, sin embargo, cuestionarse dónde subyace la complejidad de sin-
cronizar una WSN completa. La razón por la cual el problema es complejo tiene
sus bases en que en el caso más general no existe una señal de reloj común para
toda la red, por lo que el principal objetivo en este campo es el de proporcionar un
mecanismo por el cual todos los sensores puedan corregir sus nociones del tiempo
para llegar a un consenso sobre el signi�cado de tiempo entre todos los sensores en
la red.
El primer paso para abordar el problema de sincronización es caracterizar el reloj
de un sensor, como se detalla a continuación.
2.1 Modelo de Reloj de Nodo
El reloj, o clock de un nodo ui se puede modelar de acuerdo a la siguiente ley
lineal:
ci(t) = Φi t+ θi i = 1, 2, . . . , N (2.1)
donde N es la cantidad de nodos en la WSN, Φi es la inclinación o skew, y θi es
el desfasaje u o�set [54] [57]. En el caso más general, Φi y θi pueden ser funciones de
tiempo, aunque en la bibliografía generalmente se los considera constantes durante
CAPÍTULO 2. INTRODUCCIÓN 9
el período de sincronización. La variabilidad de estos parámetros con el tiempo se
debe fundamentalmente a envejecimiento del sensor, así como también condiciones
climáticas y mecánicas.
En general, salvo en excepciones que serán detalladas oportunamente, cuando
se habla de sincronización se referiere exclusivamente a estimar los clocks de los
nodos, y no sus skews. Esto se debe a que se supone que Φi ≈ 1, siendo su variación
pequeña durante el tiempo de sincronización, por lo que en general se supone que el
parámetro θi es dominante en el problema de estimación de reloj.
Sincronizar una WSN conlleva inicialmente dos desafíos: en primer lugar, pro-
porcionar un mecanismo que permita a los relojes de los sensores obtener la misma
idea de un tiempo de referencia dado; y en segundo lugar, mantener la sincronización
de la WSN a medida que transcurre el tiempo.
Aún cuando se alcance la sincronización en la WSN, surgen varios interrogantes.
Para empezar, suponga por un momento que una WSN con N nodos se ha sin-
cronizado y la sincronización se mantiene estable en función del tiempo. Es válido
preguntarse qué le sucede a la sincronización si se agrega (es decir, se acopla un nue-
vo nodo a la red) o se quita un nodo a la red (por ejemplo, porque éste ha dejado de
funcionar). De esta manera, es importante investigar estas situaciones y su impacto
en el rendimiento de la solución.
Otro aspecto importante en una WSN es la topología de la red. Las topologías
pueden ser de malla (mesh), estrella (star), árbol (tree), o una combinación de ellos.
El caso más general es la topología de malla, donde no hay jerarquías prede�nidas
y todos los dispositivos pueden comunicarse entre sí. Sin embargo, las topologías
de estrella y árbol presentan un mejor rendimiento que la topología de malla en
cuanto al enrutamiento de paquetes. El precio a pagar por este bene�cio es que
las topologías estrella y árbol requieren un dispositivo coordinador de Red de Área
Personal, del inglés Personal Area Network (PAN), que actúan como enrutadores
para los dispositivos �nales, lo cual impone la restricción de que todos los nodos
�nales deben estar bajo el dominio de broadcast de al menos un coordinador de
manera de poder recibir los mensajes. Esto representa una desventaja desde el punto
de vista de la con�abilidad y la gestión energética de los nodos ya que gran parte
de la funcionalidad de la red puede verse interrumpida por la falla de dichos nodos
coordinadores. Lo antedicho conlleva a plantearse el problema de recon�guración
dinámica de la red, lo cual será investigado en el curso de esta tesis junto con la
prevención de falla de una WSN.
A continuación se introduce el problema de sincronización desde un punto de
vista formal, lo cual dará las herramientas para entender el estado del arte y las
10 CAPÍTULO 2. INTRODUCCIÓN
contribuciones de esta tesis.
2.2 El Problema de Sincronización de WSN
2.2.1 Modelo de Red
Considere una WSN conN nodos y un nodo de referencia que transmite el tiempo
de referencia, o lo que para la red es el tiempo absoluto t. En el caso más general, el
nodo de referencia del área de cobertura no incluirá todos los nodos de la red, como
se muestra en la Figura 2.1.
Figura 2.1: Grafo de conexión de WSN. No todos los nodos se encuentran en el áreade broadcast del nodo de referencia.
Una WSN puede representarse como un grafo bidireccional con matriz de conec-
tividad Ac de acuerdo con la siguiente expresión:
Ac =
1 a12 . . . a1N
a21 1 . . . a2N
......
. . ....
aN1 aN2 . . . 1
. (2.2)
La conexión entre los nodos está representada por el coe�ciente aij , el cual debe
cumplir las siguientes condiciones:
aij =
1, si el nodo i está conectado al nodo j y i 6= j
0, si el nodo i no está conectado al nodo j y i 6= j
1, si i = j
(2.3)
CAPÍTULO 2. INTRODUCCIÓN 11
con i, j = 1, 2, . . . , N .
En el caso más general, los coe�cientes aij son variables aleatorias que mode-
lan a la ganancia del canal inalámbrico como un proceso estocástico. Más aún, los
coe�cientes aij pueden ser una función de la distancia entre nodos, tomando valores
reales en lugar de valores binarios. De la matrix Ac se puede obtener información
de esfuerzos de sincronización, lo cual será la base de varias contribuciones de esta
tesis.
2.2.2 Error de Estimación de Reloj
Sea εi(t) el error en el que incurre el nodo ui al interpretar el tiempo de referencia
t con su reloj interno ci(t). La expresión de εi(t) está dada por:
εi(t) = t− ci(t)
= t− (Φi(t) t+ θi). (2.4)
Considere ahora que el nodo ui se desea sincronizar al tiempo de referencia t.
Para tal �n, el nodo ui deberá estimar el valor del reloj de referencia a partir de una
medición del mismo. Si se asume que Φi ≈ 1, entonces se puede reescribir (2.4) como
εi(t) ≈ −θi (2.5)
con lo que el problema de sincronización se reduce a un problema de estimación
del o�set del nodo ui respecto de un reloj de referencia. El error con el que se estime
dicho parámetro determinará el error de estimación de reloj.
El error de cada nodo en la red se transmitirá en el caso más general a sus
vecinos dado que las observaciones de los nodos generalmente son compartidas en
forma colaborativa, ya sea para acelerar el proceso de sincronización o bien porque la
conectividad de la red así lo impone. Dicho esto, el objetivo �nal de la sincronización
de red es estimar el o�set de reloj y minimizar el error de estimación del mismo
conforme avanza el proceso de sincronización. En otras palabras, es deseable que
lımt→+∞
E[εi(t)] = −θi (2.6)
lımt→+∞
var[εi(t)] = 0. (2.7)
La propuesta de esta tesis es transformar el problema de sincronización en un
problema de estimación donde las variables a estimar sean el o�set y el skew de
12 CAPÍTULO 2. INTRODUCCIÓN
los nodos de una red usando herramientas de estadística, estimación y procesamiento
de señales. En esencia, en un problema de estimación el objetivo es encontrar el valor
de uno o más parámetros en principio desconocidos, a partir de un conjunto de datos
o mediciones disponibles. Varios ejemplos de problemas de estimación aplicados a la
ingeniería electrónica se presentan en [33].
2.2.3 Demanda Energética
Es un tema clave en la investigación priorizar el consumo de energía empleado
en el proceso de sincronización y garantizar la prevención de fallas de la red. Siendo
la energía un bien escaso en las WSN, es necesario determinar una métrica con�able
para estimar las demandas energéticas de un algoritmo de sincronización. La métrica
que comúnmente se suele utilizar en la bibliografía es el cálculo de la complejidad
algorítmica, el cual es una medida de la cantidad de mensajes que se requieren
para alcanzar la sincronización. Asimismo, el número de mensajes es una métrica
de la energía empleada en el proceso de sincronización. Sin embargo, como se verá
más adelante, el número de mensajes no es el único factor determinante en el gasto
energético, ya que la probabilidad de error en la comunicación, introducida por el
canal inalámbrico, juega un papel preponderante en el número de mensajes recibidos
exitosamente por un nodo, así como también el retardo de tiempo con el cual se
recibe cada mensaje.
De manera de comenzar el análisis, la propuesta es estudiar redes con N nodos
con�gurados en tres diferentes topologías: malla, árbol y estrella, como se muestra
en las Figuras 2.2 a 2.4. En la topología malla, se requiere un algoritmo que utilice
un enlace punto-a-punto para cada par de nodos a �n de lograr la sincronización.
De esta manera, calculando la combinatoria binomial de N mensajes tomados de a
pares [4, p. 29] se llega a que se requieren(N2
)= N(N − 1)/2 mensajes por cada
ronda de sincronización. Por este motivo, la complejidad algorítmica de la demanda
de energía de la red (totalmente) mallada es O(N2).
En el caso de topología de árbol, antes de poder comunicarse los nodos deben
formar una jerarquía de varios niveles (es decir, un conjunto de nodos en la misma
profundidad); con el �n de analizar esta complejidad, se puede hacer una analogía
con el orden del algoritmo Mergesort 1 [70, p. 198], en el que cada nivel tiene asociada
una complejidad de N , y hay un total de logN , es decir la complejidad algorítmica es
de O(N logN). Una vez que la red está formada, la complejidad de la sincronización
se encuentra de la siguiente manera: si cada nodo jerárquico es el objeto primario
de K0 < N nodos, hay logK0N niveles; en consecuencia, para el nivel l, con l =
1Mergesort funciona en árboles binarios solamente.
CAPÍTULO 2. INTRODUCCIÓN 13
0 . . . logK0N − 1, hay K l
0 nodos para sincronizar, dividida en diferentes dominios de
l nodos jerárquicos. Si cada uno de los nodos del nivel l deben compartir información
con sus vecinos, hay(K0
2
)= K0(K0−1)/2 mensajes para cada uno de los nodos en el
nivel l. Esto reduce la complejidad algorítmica a O(K20 ) < O(N2), habiendo pagado
el precio de la formación de la jerarquía de la red con complejidad de O(N logK0N)
por ronda de sincronización.
La topología estrella implica que un único nodo actúe como gateway, siendo
Figura 2.2: Topología de red estrella.
Figura 2.3: Topología de red malla.
Figura 2.4: Topología de red árbol.
14 CAPÍTULO 2. INTRODUCCIÓN
necesario que todos los nodos de la red o el clusters permanezcan en su dominio de
broadcast, este enfoque podría ser bene�cioso para las redes pequeñas en las que unos
pocos mensajes de broadcast podrían ser su�ciente para proporcionar una referencia
temporal a los N nodos de la red, lo que lleva a una complejidad algorítmica de
O(1) por ronda de sincronización, es decir independiente del número de nodos en la
red; sin embargo, este enfoque no es adecuado para aplicaciones con requisitos de
grandes áreas de cobertura, ni tampoco es bene�cioso desde el punto de vista de la
con�abilidad de la red, ya que si el nodo gateway fallase habría una interrupción
temporaria o permanente de las comunicaciones en la red. A pesar de ello, tanto
las demandas de energía y complejidad computacional dependen fuertemente del
número de mensajes necesarias para lograr la sincronización.
En suma, la sincronización de una WSN debe siempre minimizar la energía em-
pleada por los sensores para alcanzar el error de estimación impuesta por la aplica-
ción.
Capítulo 3
Principales Algoritmos Existentespara Sincronización de WSN
3.1 Introducción
En este capítulo, se resumen los principales trabajos de investigación sobre sin-
cronización de WSN considerados por la literatura como los trabajos base de esta
rama.
Los protocolos aquí mencionados di�eren notablemente en la forma en la que uti-
lizan la información y gestionan la comunicación de los nodos de manera de lograr la
sincronización de la WSN. Entre las diferencias más notorias, se encuentra la com-
plejidad algorítmica de cada protocolo, la cual es una medida del esfuerzo energético
que deben hacer los nodos para alcanzar los niveles de sincronización deseados.
Como se observará, ninguno de estos trabajos presentados en este capítulo rea-
liza consideraciones de e�ciencia energética y/o prevención de fallas al momento de
lograr la sincronización entre los nodos de la WSN. Por este motivo, en los capítulos
subsiguientes de esta tesis se estudiará en detalle el impacto del consumo energético
de los nodos al ejercerse la sincronización en una WSN, con el objetivo de alcan-
zar la sincronización entre ellos no sólo dentro de los estándares de sincronización
impuestos por la aplicación, sino también contemplando el impacto energético que
experimentan los mismos producto del algoritmo de sincronización.
3.2 Protocolo RBS
3.2.1 Introducción
Reference Broadcast Synchronization (RBS) [25] es un protocolo conocido para la
sincronización de WSN por medio de un mensaje de referencia. En lugar de emplear el
tradicional mecanismo transmisor-receptor [28] en el cual un nodo envía un mensaje y
15
16 CAPÍTULO 3. PRINCIPALES ALGORITMOS DE SINCRONIZACIÓN
otro nodo lo recibe como parte de un diálogo entre ambos, RBS se basa en el concepto
de sincronización receptor-receptor, donde dos nodos reciben una señal común de
referencia e intercambian sus observaciones con el �n de obtener una referencia común
entre ellos. RBS explota la cualidad de los dominios de broadcast de una red, en el
cual los mensajes llegan a los nodos receptores aproximadamente al mismo tiempo.
Aunque no sea su diseño principal, RBS se puede adaptar para trabajar en redes
multi-hop .
La propiedad fundamental de RBS es que sincroniza un conjunto de receptores
con otro. Los nodos envían periódicamente mensajes a sus vecinos a nivel de capa
física usando la propiedad de broadcast de una red. Los destinatarios usan la hora de
llegada del mensaje como punto de referencia para comparar sus relojes. El mensaje
no contiene marca explícita, ni es importante exactamente cuando se envía, sino la
diferencia en la recepción de un mensaje dado y su comparación relativa entre los
receptores. RBS opera con las diferencias en las observaciones de los nodos receptores
tomados de a pares.
RBS intenta mitigar las aleatoriedades características de las comunicaciones inalám-
bricas y los tiempos de procesamiento de la señal. Estos tiempos pueden descompo-
nerse en los siguientes componentes [25]:
• Tiempo de envío: el tiempo que le toma al transmisor conformar el mensaje.
• Tiempo de Acceso: retardo en el que incurre el transmisor cuando espera ob-
tener acceso al canal de transmisión.
• Tiempo de propagación: el tiempo necesario para que el mensaje transite desde
el transmisor a los receptores una vez que ha sido emitido por el transmisor.
• Tiempo de Recepción: procesamiento requerido para que la interfaz de red
del receptor reciba el mensaje del canal y noti�que la llegada del mismo a la
capa de aplicación del nodo receptor. Generalmente los tiempos de envío y de
propagación son determinísticos, mientras que todos los demás tiempos son
aleatorios [25].
Los mensajes de difusión o broadcast siempre se usan como referencia con respec-
to a un tiempo relativo. Una característica interesante de las transmisiones en RBS
es que no es realmente importante cuándo estos mensajes son enviados, ni tampoco
es relevante la información que ellos llevan, ya que sólo se utilizan como una referen-
cia relativa de los receptores para que intercambien sus observaciones. Dicho esto,
RBS elimina las incertidumbres introducidas por el tiempo de envío y el tiempo de
CAPÍTULO 3. PRINCIPALES ALGORITMOS DE SINCRONIZACIÓN 17
acceso en el transmisor, ya que los receptores no poseen conocimiento del tiempo
que le ha tomado al transmisor construir el mensaje de referencia, o el tiempo que le
ha demandado al transceptor acceder al canal de comunicación. Además, el tiempo
de propagación puede suponer que es cero para distancias de dominio de broadcast
en la mayoría de los casos. De esta forma, la incertidumbre más signi�cativa es el
tiempo de recepción del mensaje en el receptor.
3.2.2 Descripción del Enfoque de RBS
3.2.2.1 Estimación de O�set
En el proceso de estimación de o�set, cada sensor registra el tiempo de llegada de
cada mensaje de referencia enviado. Para cada mensaje en el instante de tiempo tk,
cada sensor ui calculará, con respecto a cada vecino uj , las diferencias de tiempo de
recepción de a pares θij(k) , tj,k− ti,k. Este proceso continúa hasta que se envían mmensajes consecutivos, por lo que cada sensor produce la siguiente estimación [25]:
θij =1
m
m∑k=1
(tj,k − ti,k) ∀i, j ∈ V (3.1)
con V = {1, 2, . . . , N}. Nótese que la estimación producida por (3.1) tiene com-
plejidad O(N2).
Es importante señalar que la precisión de los cálculos dependen del tipo de nodo
hardware y/o software: diferentes equipos de hardware (por ejemplo, procesadores)
puede afectar a la precisión de los resultados (es decir, la diferencia relativa en los
tiempos de recepción de a pares). Por lo tanto, una WSN heterogénea que contenga
nodos de diversas características de hardware y/o que ejecuten diversas bibliotecas de
software estará sujeta a mayor varianza en la estimación que una WSN homogénea,
si no se toman precauciones al respecto.
3.2.2.2 Estimación de Skew
El skew en los relojes de los sensores existe debido a dos factores principales:
primero, las diferencias en las precisiones de los cristales debidas a las tolerancias en la
frecuencia de oscilación natural de cada uno de los cristales; y segundo, las variaciones
en la frecuencia de oscilación debido a factores externos como la temperatura, la
vibración, la tensión de alimentación y envejecimiento.
En RBS la estimación del skew se realiza utilizando una regresión lineal encon-
trada a partir de resolver un problema de cuadrados mínimos, lo cual permite al
sensor estimar el skew de un nodo vecino.
18 CAPÍTULO 3. PRINCIPALES ALGORITMOS DE SINCRONIZACIÓN
En suma, un nodo ui puede reconstruir la lectura de un nodo uj a su propio
tiempo a través de la estimación del o�set y el skew, asumiendo el modelo de reloj
lineal descripto por (2.1).
3.2.2.3 Sincronización Post-Facto
Siendo la energía un bien preciado en las WSN, RBS implementa un concepto de-
nominado post-facto sincronización, en el cual los nodos normalmente se encuentran
en un estado de bajo consumo de energía, y no se sincronizan los relojes hasta que
ocurren un evento de interés para la aplicación de la red. Sólo después de ese evento
se sincronizan los relojes de los nodos. Esto evita que se desperdicie tiempo y energía
para lograr una sincronización innecesaria. Sin embargo, RBS no especi�ca con qué
frecuencia la sincronización post-facto es bene�ciosa, ya que la re-sincronización y la
reconstrucción de los eventos del pasado puede ser un proceso que requiere mucha
energía. De esta forma, RBS no resuelve adecuadamente el problema del consumo
energético, lo cual se enfatizará y resolverá a lo largo de esta tesis.
3.2.2.4 Sincronización Multi-hop
RBS permite lograr la sincronización en redes de múltiples saltos o del inglés
multi-hop por medio de la designación de un nodo como nodo intermediario o gate-
way común a dos diferentes dominios de broadcast. Este nodo es el responsable de
convertir los diferentes eventos que se producen en diferentes dominios de broadcast.
Sin embargo, RBS no propone un esquema e�ciente en energía para el nodo gateway,
el cual se verá indefectiblemente más afectado desde un punto de vista energético
que el resto de sus pares en la red.
3.2.3 Conclusión
La propiedad fundamental de RBS es que sincroniza un conjunto de nodos re-
ceptores de a pares, usando la propiedad de broadcast de los canales inalámbricos y
reduciendo las mayores fuentes de retardos no determinísticos por dicho motivo.
La estimación de skew de RBS también permite la extrapolación de los o�sets
pasados, habilitando la sincronización post-facto y ahorrando energía en aplicaciones
en las cuales la sincronización es poco frecuente o impredecible.
El promedio de error de sincronización reportado por los autores de RBS es ocho
veces mejor que aquel encontrado en una red con poco trá�co que ejecuta el algoritmo
Network Time Protocol (NTP) [25].
CAPÍTULO 3. PRINCIPALES ALGORITMOS DE SINCRONIZACIÓN 19
El esquema de múltiple salto de RBS permite uni�car las escalas de tiempo
coordinadas localmente en una escala global de red, a través de distintos dominios
de broadcast.
La precisión de RBS decae lentamente, siendo el error promedio de sincronización
en una red de n saltos proporcional a√n [25].
La mayor desventaja de RBS es que su esquema require una gran cantidad de
intercambio de datos ya que cada nodo necesita compartir la información de tiempo
del paquete de referencia recibido con todos los demás nodos en el dominio de broad-
cast. Por este motivo, RBS no es escalable a redes de gran escala con alta densidad
de nodos, como se describe en [30].
3.3 Protocolo TPSN
3.3.1 Introducción
El protocolo Timing-sync Protocol for Sensor Networks (TPSN) [28] es un algo-
ritmo que intenta lograr la sincronización de los nodos a nivel de red.
El algoritmo funciona en dos etapas: en la primera etapa, se establece una es-
tructura jerárquica en la red, y en la segunda etapa se realiza la sincronización de a
pares a lo largo de los bordes de esta estructura para establecer una escala de tiempo
global a lo largo de la red. Según los autores del artículo original, TPSN proporciona
dos veces mejor rendimiento en comparación con RBS desde el punto de vista del
error de sincronización [28].
TPSN es un enfoque de sincronización transmisor-receptor. A los paquetes se les
realiza una estampa de tiempo en el momento de su envío, es decir, en la capa de
control de acceso al medio, es decir Medium Access Control (MAC). El algoritmo
establece primero la estructura jerárquica y luego tiene como objetivo proporcionar
una escala de tiempo global única en toda la red. Además de esto, TPSN también
se puede combinar con el enfoque de sincronización post-facto.
TPSN está motivado por protocolo NTP, el cual se utiliza para sincronizar
computadoras conectadas a la Internet [47], y por tal motivo los autores lo describen
como una extensión �exible de NTP para redes de sensores [28].
3.3.2 Descripción del Enfoque de TPSN
3.3.2.1 Concepto Básico
El primer paso del algoritmo es crear una topología jerárquica en la red. A cada
nodo se le asigna un nivel en esta estructura jerárquica. Los autores de TPSN [28]
aseguran que un nodo que pertenece al nivel i puede comunicarse con al menos un
20 CAPÍTULO 3. PRINCIPALES ALGORITMOS DE SINCRONIZACIÓN
nodo que pertenece al nivel i− 1. Sólo a un nodo se le asigna a nivel 0, al cual se lo
denomina nodo raíz. A esta etapa del algoritmo se la llama fase de descubrimiento
de nivel. Una vez que la estructura jerárquica se ha establecido, el nodo raíz inicia
la segunda etapa del algoritmo, denominada fase de sincronización. En esta fase, un
nodo que pertenece a nivel de i se sincroniza a un nodo que pertenece a nivel de
i − 1. Eventualmente cada nodo se sincroniza con el nodo raíz, alcanzándose así la
sincronización de tiempo de toda la red.
3.3.2.2 Fase de Descubrimiento de Nivel
Al nodo raíz se le asigna el nivel 0 y se inicia la fase de difusión de un paquete
de descubrimiento de nivel, el cual contiene la identidad y el nivel del transmisor.
Los vecinos inmediatos del nodo raíz reciben este paquete y se asignan un nivel
superior al que han recibido es decir, nivel 1. Después de establecer su propio nivel,
éstos emiten un nuevo paquete de descubrimiento de nivel que contiene su propio
nivel. Este proceso continúa y con el transcurso del tiempo cada nodo de la red
consigue tener un nivel asignado. A este mecanismo usado por TPSN para formar la
estructura jerárquica se lo denomina mecanismo de inundación, o en inglés �ooding.
3.3.2.3 Fase de Sincronización
En esta etapa, la sincronización se realiza de a pares a lo largo de los bordes de
la estructura jerárquica establecida en la fase anterior. La sincronización transmisor-
receptor funciona de la siguiente manera: un nodo transmisor inicia la comunicación
y espera el mensaje de con�rmación del receptor, o mensaje de Acknowledgement
(ACK), intercambiando los dos nodos sus respectivos relojes; con la recepción del
ACK, el nodo transmisor estima el retardo de propagación y la diferencia de reloj con
respecto al nodo receptor, sincronizando así su reloj con el del receptor. En TPSN,
este proceso se lleva a cabo como se explica a continuación: el nodo raíz (nivel 0)
emite un paquete de sincronización de tiempo. Para recibir el paquete, los nodos
pertenecientes al nivel 1 esperan un tiempo aleatorio de manera de ganar acceso al
medio, antes de que se inicie el intercambio de mensajes de ida y vuelta con el nodo
raíz. Al recibir un ACK, estos nodos ajustan su reloj al del nodo raíz. Al mismo
tiempo, los nodos pertenecientes al nivel 2 escuchan este intercambio de mensajes.
Esto se basa en el hecho de que todos los nodos de nivel 2 están conectados con al
menos uno de los nodos de nivel 1. Al escuchar este mensaje, los nodos de nivel 2
esperan un tiempo aleatorio, después del cual se inicia el intercambio de mensajes con
nodos en el nivel 1. Cada nodo envía un mensaje de ACK al �nalizar la sincronización,
de manera de asegurar que se formen varios niveles de sincronización en la red. De
CAPÍTULO 3. PRINCIPALES ALGORITMOS DE SINCRONIZACIÓN 21
Figura 3.1: Intercambio de mensajes entre par de nodos [28]. Los tiempos T2 y T3se miden en el reloj del nodo B, mientras que T1 y T4 se miden en el reloj del nodoA.
esta forma, el proceso se repite en toda la red, y conforme transcurre el tiempo cada
nodo de la WSN se sincroniza con el nodo raíz.
3.3.2.4 Estimación de O�set de Reloj
TPSN estima que el o�set de reloj entre dos pares por medio de la siguiente
ecuación [28]:
θ =(T2− T1)− (T3− T4)
2(3.2)
donde T1 es el instante de tiempo de emisión del mensaje de tiempo desde el
nodo A, T2 es el instante de tiempo de recepción de dicho mensaje en el nodo B, T3
es el instante de tiempo de emisión de la respuesta del nodo B hacia al nodo A, y
T4 es el instante de tiempo de recepción en el nodo A de la respuesta del nodo B,
como se muestra en la Figura 3.1.
TPSN no realiza estimación de skew ya que asume que el reloj de cada sensor
no varía mucho entre intervalos corrección de o�set. Este enfoque está ampliamente
aceptado en la literatura y por este motivo son pocos los algoritmos que corrigen el
skew.
3.3.3 Conclusión
TPSN es un protocolo transmisor-receptor que sincroniza un receptor con su
nodo padre en la jerarquía de la red que opera sobre la base de una jerarquía de red,
siendo necesaria una etapa de formación de red antes de alcanzar la sincronización.
Los autores de TPSN a�rman que el mismo tiene un rendimiento dos veces supe-
rior al de RBS, aunque tanto la complejidad de la formación de la jerarquía durante
la etapa inicial como el caso de falla de un nodo no han sido contemplados durante
el análisis del rendimiento.
22 CAPÍTULO 3. PRINCIPALES ALGORITMOS DE SINCRONIZACIÓN
3.4 Protocolo PBS
3.4.1 Introducción
El protocolo Pairwise Broadcast Synchronization (PBS) [50] introduce el concep-
to de sincronización de sólo receptor, es decir Receiver-Only Synchronization (ROS),
en el que un nodo receptor B puede sincronizar con un nodo P solamente escuchando
un intercambio de mensajes entre dos pares de nodos P y A.
En esencia, se trata de una técnica muy e�ciente en energía ya que todos los
nodos receptores no necesitan intercambiar mensajes sino sólo escucharlos, lo que
reduce la cantidad de energía que se invierte en la transmisión.
3.4.2 Descripción del Enfoque de PBS
3.4.2.1 Concepto Básico
La idea principal de PBS es que todos los nodos de sensores en la red escuchen
el intercambio de mensajes entre dos nodos P y A para estimar el o�set y el skew
con respecto a uno de estos nodos.
PBS supone que todos los nodos receptores están dentro del mismo dominio de
broadcast que ambos nodos P y A. Otra de las principales hipótesis es que los nodos
P y A no están limitados en energía y se comunican entre sí sin interrupciones.
También se supone que las mediciones están contaminadas por ruido blanco aditivo
Gaussiano, del inglés Additive White Gaussian Noise (AWGN), procesado por un
�ltro pasabajos (ver Apéndice A.1).
3.4.2.2 Estimación de O�set y Skew
Las estimaciones de o�set y skew producidas por un nodo B con respecto a un
nodo de referencia P son [50]:
[θ
Φ
]=
1
m∑m
i=1D2i − [
∑mi=1Di]2
×
[ ∑mi=1D
2i
∑mi=1 x[i]−
∑mi=1Di
∑mi=1[Di · x[i]]∑m
i=1D2im∑m
i=1Di · x[i]−∑m
i=1Di∑m
i=1 x[i]
] (3.3)
donde m representa en número de mensajes intercambiados por P y A, y
CAPÍTULO 3. PRINCIPALES ALGORITMOS DE SINCRONIZACIÓN 23
Di , T(A)1,i − T
(A)1,1 (3.4)
x[i] , T(P )2,i − T
(B)2,i − µ (3.5)
µ , d(AP ) − d(AB) (3.6)
donde d(AP ) y d(AB) son retardos determinísticos que modelan los tiempos de
propagación y de procesamiento de datos.
Nótese que los autores no hacen referencia a la probabilidad de falla en la comu-
nicación, asumiendo que todos los mensajes que envían los nodos transmisores son
perfectamente recibidos por los receptores.
La cota de Cramer-Rao (ver Apéndice A.4) tiene la siguiente forma [50]:
σ2θ≥
σ2∑N
i=1D2i
N∑N
i=1D2i − [
∑Ni=1Di]2
,
σ2Φ≥ σ2N
N∑N
i=1D2i − [
∑Ni=1Di]2
. (3.7)
3.4.3 Conclusión
PBS es un algoritmo e�ciente en energía ya que los nodos receptores no necesitan
realizar las transmisiones sino solamente escuchar los mensajes transmitidos por dos
nodos de referencia. Sin embargo, es importante recalcar que los nodos receptores
deben tener el hardware receptor activado, lo cual en algunos casos puede implicar un
gran consumo de energía, cercana a la energía necesaria para transmitir los mensajes.
3.5 Tabla comparativa
El Cuadro 3.1 muestra la comparación entre los protocolos de sincronización
RBS, TPSN y PBS.
Desde el punto de vista energético, PBS presenta mejor rendimiento que los de-
más protocolos, aunque a expensas de una estimación aislada para cada nodo. Debido
a que la complejidad algorítmica es una medida directa del consumo energético de
cada protocolo, el protocolo TPSN presenta un compromiso razonable entre interac-
ción de nodos en el proceso de estimación de reloj, y consumo energético para tal �n.
Sin embargo, es esperable que RBS sea la elección más ajustada para aplicaciones
24 CAPÍTULO 3. PRINCIPALES ALGORITMOS DE SINCRONIZACIÓN
que requieran buena respuesta dinámica ante cambios en la estructura de la red así
como también un nivel de interacción entre nodos apreciable.
Otra propiedad notable que se observa en la comparación del Cuadro 3.1 es que
de los tres algoritmos hasta aquí presentados, TPSN presenta la mejor relación de
compromiso entre �abilidad y colaboración en la estimación del reloj, a expensas de
un proceso de formación de jerarquía en tiempo real.
En de�nitiva, la elección del algoritmo de sincronización queda determinada por
diversos factores tales como la energía disponible para el proceso de sincronización
(presupuesto de energía), la topología de la red, las restricciones de retardo de la
aplicación, la �abilidad y la disponibilidad objetivo de la red. Estos factores serán
investigados en su conjunto en los siguientes capítulos de esta tesis, con el objetivo
de encontrar soluciones óptimas para casos generales de las aplicaciones de WSN.
CAPÍTULO 3. PRINCIPALES ALGORITMOS DE SINCRONIZACIÓN 25
Cuadro 3.1: Comparación entre RBS,TPSN y PBS
Propiedades RBS TPSN PBSTopología Malla Árbol Inde�nidaSoportaMultihop
Sí Si No especi�cado
MétricasEnergéticas
O(N2) O(N logN) O(1)
Interacción Alta Media Ninguna
O�set Estimación esta-dística usando va-lor medio de ob-servaciones entrepares
Estimacióntransmisor-receptor padre-hijo y correcciónde reloj en nodohijo
Estimación decuadrados míni-mos a partir deescuchar mensa-jes del nodo dereferencia
Skew Estimador poruna regresiónlineal entre parde nodos
No se estima Estimación decuadrados míni-mos a partir deescuchar mensa-jes del nodo dereferencia
Fortalezas Cancela las alea-toridades en lasobservacionesoperando con lasdiferencias de lasmismas
Escala a un grannúmero de nodosformando un ár-bol jerárquico
Los nodos no in-tercambian men-sajes, minimizanla energía de sin-cronización
Debilidades El algoritmo de-pende exclusiva-mente del nodo dereferencia. Se de-be agregar redun-dancia de nodoscomo mitigación.
La jerarquía sedebe formar ini-cialmente y cuan-do haya un cam-bio en la cantidadde nodos
Los nodos no secomunican entresí, por lo que nopueden estimar elreloj de los demásnodos.
26
Capítulo 4
Modelo Simpli�cado deSincronización E�ciente enEnergía
4.1 Introducción
Como se mencionó en los Capítulos 2 y 3, la sincronización es una funcionalidad
fundamental para garantizar la vida útil de los nodos que constituyen la WSN.
También se discutió que en el caso más general, no hay un mensaje común a todos
los nodos que contenga la información de tiempo de la red, por lo que los nodos
deben valerse de estimaciones de un reloj de referencia, las que producen ya sea en
aislamiento o en colaboración con otros nodos de la red.
Dado que el reloj de un nodo se puede modelar con una ecuación lineal dada por
(2.1), el mayor esfuerzo de sincronización consiste en estimar e�cientemente el o�set
de los relojes de los nodos de una red, y no tanto así el skew ya que se lo considera
aproximadamente constante para los períodos de sincronización.
Visto que la sincronización de tiempo implica un intercambio de mensajes y ope-
raciones de transmisión/recepción, ésta se convierte en una tarea que consume la
energía de los sensores que la llevan a cabo. Además, el canal de comunicación pue-
de sufrir perturbaciones, causando que los mensajes transmitidos no lleguen a sus
destinos, el cual constituye un desperdicio de energía para toda la red. En consecuen-
cia, la sincronización de tiempo implica un gasto de energía inevitable; sin embargo,
cuando se la logra, podría permitir importantes ahorros adicionales en el consumo
de energía a través de una adecuada administración de la energía de la red.
Tal como se aprecia en (3.1) y (3.3), la varianza de la estimación del o�set
disminuye conforme se incrementa el número de mensajes intercambiados. Es decir,
el error de la estimación mejora con el número de mensajes. Sin embargo el gasto
27
28 CAPÍTULO 4. MODELO SIMPLIFICADO
energético en el que incurren los nodos aumenta al incrementarse la cantidad de
mensajes intercambiados. Es esta relación de compromiso fundamental la que se
investigará a fondo en esta tesis para distintos escenarios de una red WSN.
De esta forma, el objetivo de este capítulo es encontrar un límite inferior universal
en la relación de compromiso �energía - error de sincronización�.
Este capítulo está organizado de la siguiente manera: la Sección 4.2 describe el
problema de estimación del o�set de reloj en función de la potencia de transmisión,
detallando el modelo de sistema, las relaciones de compromiso existentes, y propo-
niendo una solución óptima para dicha relación de compromiso. Adicionalmente se
investigan el desvanecimiento de pequeña y de gran escala, presentándose soluciones
óptimas para cada uno de los casos. La Sección 4.3 muestra los resultados de las
simulaciones, y �nalmente la Sección 4.4 plantea las conclusiones de este capítulo.
Parte de los contenidos de este capítulo fueron publicados en [15].
4.2 Error de Estimación del O�set en Función de la Po-tencia de Transmisión
4.2.1 Modelo de Sistema
En un nodo de una WSN, la potencia de transmisión y el error de sincronización
de reloj operan en diferentes capas del modelo, en inglés Open System Intercon-
nection (OSI) [26, p. 8]. Sin embargo, con la introducción del concepto de diseño
transversal a las capas, del inglés cross-layer design [64], todas las capas de imple-
mentación deben estar alineadas con el �n de lograr una solución óptima de energía.
Aún más, antes de la estimación, la recepción del mensaje en la capa física se produce
con una determinada probabilidad de falla en función de la potencia de transmisión
S, dada por la probabilidad de interrupción, o más comúnmente llamada probabili-
dad de outage del canal Pout, de�nida como la probabilidad que la potencia de la
señal recibida esté por debajo de un mínimo umbral aceptable por el receptor para
permitir la correcta recepción del mensaje [29, p. 45]. La probabilidad de outage
también se puede de�nir como la probabilidad de que la ganancia del canal esté por
debajo de un umbral de�nido por una capacidad umbral del canal [19, p. 20]. La
ganancia de un canal inalámbrico será discutida en más detalle en el Capítulo 6.
Considere que el o�set del reloj de cada nodo, denotado por θ, se estima con una
estimador insesgado θ y sea σ2θla varianza del estimador del o�set. El problema des-
crito en esta sección se centra en el hecho de que el nodo emisor A envía m mensajes
mientras que el nodo receptor B recibe en promedio m = m(1−Pout) mensajes. Por
este motivo, es deseable minimizar la probabilidad de outage de manera de recibir
CAPÍTULO 4. MODELO SIMPLIFICADO 29
la mayor cantidad posible de mensajes; sin embargo, a �n de reducir Pout, se debe
incrementar la potencia de transmisión S, por lo que se debe llegar a una situación
de compromiso entre la probabilidad de falla que se puede tolerar y la inversión
energética para alcanzar la misma.
Teniendo en cuenta que el error de la estimación depende del número de paquetes
recibidos con éxito m, es de interés encontrar la relación entre la varianza en la
estimación del o�set σ2θy la potencia de transmisión S. Por lo tanto, es necesario
tener en cuenta la dependencia del error de estimación con la cantidad de mensajes
recibidos, es decir, σ2θ(m), y el número de mensajes recibidos en función de la potencia
de transmisión, es decir, m(S).
Por último, en este capítulo se considera que los usos del canal inalámbrico son
independientes, es decir, el hecho de enviar un mensaje exitoso o fallido no condiciona
el éxito o la falla del próximo mensaje a enviar. Los efectos de la correlación del canal
en las relaciones de compromiso de la sincronización de WSN se investigan en detalle
en el Capítulo 6.
4.2.2 Planteo del Problema
La esperanza del número de paquetes recibidos con éxito m se relaciona con la
potencia de transmisión S como se muestra a continuación:
m = m (1− Pout(S)) (4.1)
lo cual es la esperanza de una variable binomial con probabilidad de éxito (1 −Pout(S)) y m ensayos descorrelacionados.
El principal desafío es encontrar la potencia de transmisión S que satisfaga la
siguiente condición:
mın(S) tal que σ2θ(m) < ε (4.2)
La ecuación (4.2) implica encontrar la mínima potencia de transmisión S que
garantiza la cantidad necesaria de los mensajes recibidos m de manera que el error
de estimación de o�set σ2θsea inferior a un nivel deseado ε, el cual queda determi-
nado por los requisitos de error de sincronización de la aplicación. Para estimadores
Cramer-Rao e�cientes (ver Apéndice A.4), se cumple la siguiente desigualdad [33, p.
34]:
σ2θ
=1
I(θ, m)< ε (4.3)
30 CAPÍTULO 4. MODELO SIMPLIFICADO
donde I(·) es la Información de Fisher (ver Apéndice A.4) del parámetro a estimar
θ en función del número de muestras recibidas m. Por lo tanto, el problema puede
plantearse como sigue:
Encontrar: mın(S) tal que I(θ, m) >1
ε. (4.4)
La ecuación (4.4) puede interpretarse como una expresión de diseño cross-layer
en redes de sensores inalámbricos, ya que relaciona una magnitud física (S) con un
parámetro de capa de aplicación (ε).
4.2.3 Optimización de Consumo Energético
La ecuación (4.4) implica encontrar la mínima potencia de transmisión S para
lograr el error de estimación deseado ε del o�set θ, recibiendo con éxito m mensajes
luego de transmitir m mensajes; sin embargo, esta ecuación no contempla la energía
requerida para alcanzar la solución óptima. Para tener en cuenta la optimización de
la energía, tanto la potencia de transmisión S (expresada en Watt) como el número
de mensajes transmitidos m deben ser minimizados conjuntamente. Por lo tanto, la
función Ec(S,m) dada por
Ec(S,m) = S mTM (4.5)
representa una medida de la energía empleada en el proceso de sincronización,
donde TM es la duración de cada mensaje de sincronización. El objetivo es entonces
minimizar Ec(S,m) tanto para el escenario de desvanecimiento de gran escala como
para el escenario de desvanecimiento de pequeña escala.
4.2.4 Función de Distribución Gaussiana del O�set
Como se muestra en (4.4), la Información de Fisher requiere la existencia de una
función de verosimilitud [33, p .29]. Teniendo en cuenta el caso de funciones de verosi-
militud con distribución Gaussiana, para m observaciones Gaussianas Independientes
e Idénticamente Distribuidas (i.i.d.) de θ, la función de distribución de probabilidad
conjunta se expresa como [33, p. 7]:
f(θ, m) =1
(2πσ2V )m/2
exp
[−
m∑i=1
(θi − θ)2
2σ2V
](4.6)
donde σ2V es la varianza de las perturbaciones que alteran las mediciones alrededor
del valor real del parámetro a estimar θ.
Operando con (A.13), (4.4) y (4.6), se obtiene:
CAPÍTULO 4. MODELO SIMPLIFICADO 31
I(θ, m) =m
σ2V
>1
ε. (4.7)
4.2.5 Relación de Compromiso Energía vs. Error de Estimación deClock con Desvanecimiento de Gran Escala
Los efectos de desvanecimiento de gran escala son aquellos que experimenta una
señal al viajar largas distancias y encontrarse con obstáculos en el camino que separa
el transmisor del receptor, siendo la distancia de propagación un factor determinante
en este escenario, como se describe en el Apéndice A.3.2.
Operando con (4.1), (4.4), (4.7) y (A.8), se observa que para una error de esti-
mación deseado ε, la potencia de transmisión S debe cumplir
Q
(SRx − (S + 10 logK − 10γ log(d/d0))
σψdB
)>σ2V
mε(4.8)
donde Q(·) es la función Q complementaria que calcula la probabilidad que una
distribución normal estándar sea mayor que el argumento dado [29, p. 182] (ver
Apéndice A.8.5), mientras que SRx es la sensibilidad de la antena del receptor a
la cual se produce el outage del canal, K modela el producto de las ganancias de
las antenas del transmisor y receptor, d es la distancia entre transmisor y receptor,
d0 es una distancia de referencia, γ es el exponente de pérdidas de camino y ψdBes una variable aleatoria que modela el desvanecimiento del canal inalámbrico (ver
Apéndice, Sección A.3.2).
La ecuación (4.8) muestra que para ε decreciente, ya sea la potencia S o el número
de mensajes enviados m deben incrementarse consecuentemente.
Estando Q(z) acotada por el intervalo (0, 1), la condición expresada por (4.8)
puede cumplirse si y sólo si σ2Vmε ∈ (0, 1). El rango de esta expresión está dominado
por m para un dado ε. Debido a que la función Q crece con S creciente, la potencia
de transmisión óptima Sopt se encuentra en el límite de la igualdad de (4.8). Entonces
es conveniente escribir esta ecuación en una función como sigue:
B(Sopt,m)cε = Q
(K1 − SoptσψdB
)−σ2V
mε= 0 (4.9)
con K1 = SRx − 10 logK + 10γ log(d/d0).
De (4.9), el número de mensajes transmitidos m se determina como:
dmmine =σ2V
εQ(K1−SoptσψdB
) . (4.10)
32 CAPÍTULO 4. MODELO SIMPLIFICADO
Reemplazando (4.10) en (4.5), el problema de minimización se plantea como1:
Minimizar Ec(Sopt,m(Sopt))
Sujeto a Sopt > 0 (4.11)
lo cual conlleva a plantear
dEc(Sopt,m(Sopt))
dSopt= 0. (4.12)
Es importante considerar que la optimización planteada en (4.12) es en principio
sin restricciones. Si la función Ec(Sopt,m(Sopt)) es convexa, entonces la minimización
arrojará un único resultado el cual será el óptimo para el problema planteado. Demos-
trar que Ec(Sopt,m(Sopt)) es convexa [11, p. 67] es en general un problema complejo,
aunque analizando los extremos se aprecia que lımSopt→0Ec = lımSopt→+∞Ec = +∞.
Entonces es necesario demostrar que existe un único valor que satisface (4.12) en la
región factible [11, p. 127], es decir aquel conjunto de valores que puede tomar la
variable que optimiza la función objetivo al tiempo que satisface todas las restriccio-
nes de la optimización, si es que las hubiera. En el caso de la optimización de Ec, la
región factible de la potencia de transmisión es Sopt ≥ 0. De esta manera, se arriba
al siguiente problema de optimización:
d
dSopt
100,1Soptσ2V
εQ(K1−SoptσψdB
) = 0. (4.13)
Operando matemáticamente, (4.13) deriva en la siguiente condición que optimiza
tanto la potencia de transmisión como el número de mensajes transmitidos:
Q
(K1 − SoptσψdB
)−
exp
[−1
2
(K1−SoptσψdB
)2]
0,23√
2πσψdB= 0 (4.14)
lo cual puede ser resuelto grá�camente para encontrar el valor óptimo Sopt, con la
condición de que Sopt ≥ K1. Las ecuaciones (4.10) y (4.14) representan una solución
e�ciente en energía dado el error de estimación objetivo ε bajo efectos de desvaneci-
miento de gran escala. En la Sección 4.3 se mostrarán algunos ejemplos de aplicación
de este resultado.
1Se realizaron cambios de escala para representar Sopt en dBm en la función Ec(S,m), ya queen la de�nición se expresa Sopt en Watt.
CAPÍTULO 4. MODELO SIMPLIFICADO 33
4.2.6 Relación de Compromiso Energía vs. Error de Estimación deClock con Desvanecimiento de Pequeña Escala
Los efectos de desvanecimiento de pequeña escala son experimentados por señales
que viajan cortas distancias, típicamente en ambientes interiores, y donde el nodo
receptor recibe varias versiones de la misma señal, producto de los múltiples caminos
resultantes de las re�exiones de la señal original en la geometría del entorno, como
se describe en el Apéndice A.3.2. La señal recibida es entonces una señal estocástica
cuya distribución de amplitud depende en gran medida de las características y la
geometría del medio ambiente.
Usando el límite de igualdad en (4.7) de manera de situarnos en el peor caso
desde el punto de vista de la varianza del estimador (ver (4.3)), e involucrando (A.9)
con (4.1), la relación entre la potencia de transmisión S, el número de mensajes
transmitidosm y el error de la estimación ε para efectos de pequeña escala se describe
mediante la siguiente expresión:
C(Sopt,m)cε = e−γ0σ2N/Sopt −
σ2V
mε= 0. (4.15)
De (4.15), m está determinado por
m =σ2V e
γ0σ2N/Sopt
ε. (4.16)
Reemplazando (4.16) en (4.5), el problema de minimización se transforma en
d
dSopt
(Soptσ
2V e
γ0σ2N/Sopt
ε
)= 0 (4.17)
lo cual tiene como solución
Sopt = γ0σ2N . (4.18)
Consecuentemente, usando (4.16), la expresión del mínimo número de mensajes
transmitidos m es
dmmine =eσ2
V
ε(4.19)
donde e = exp(1).
La ecuación (4.19) muestra una dependencia inversamente proporcional dem con
ε, lo cual re�eja la relación de compromiso existente entre el error de estimación y
el número de mensajes transmitidos, y su relación con el consumo de energía como
se determina en (4.5).
34 CAPÍTULO 4. MODELO SIMPLIFICADO
4.3 Resultados de las Simulaciones
De manera de ilustrar las ideas expuestas por este trabajo, se realizaron simula-
ciones para casos de referencia típicos como se detalla en [29, p. 50]. La Figura 4.1
muestra la dependencia del número de mensajes transmitidosm con la energía reque-
rida Ec(S,m) y la potencia de transmisión S bajo la in�uencia del desvanecimiento
de gran escala, para diferentes valores del error de la estimación ε. La contraparte
de desvanecimiento de pequeña escala se muestra en la Figura 4.2. Los resultados
muestran que es necesario ajustar �namente S para obtener un mínimo de m a �n
de minimizar la energía total de sincronización.
Figura 4.1: Número de mensajes transmitidos m (línea sólida) y la energía reque-rida Ec(S,m) (línea discontinua) en función de la potencia de transmisión S paradesvanecimiento de gran escala, para diferentes errores de estimación del o�set ε.Parámetros de la simulación: σ2
V = 1, SRx = −80dBm, K = 7,0146 · 10−4, d/d0 =10, σψdB = 1dB, γ = 3,71.
CAPÍTULO 4. MODELO SIMPLIFICADO 35
Figura 4.2: Número de mensajes transmitidos m (línea sólida) y energía consumidaEc(S,m) (línea discontinua) en función de la potencia de transmisión S para des-vanecimiento de pequeña escala, para diferentes errores de estimación del o�set ε.Parámetros de la simulación: σ2
V = 1, γ0 = 7dB and σ2N = −87dBm.
4.4 Conclusiones
La sincronización de tiempo de una WSN se alcanza mediante el intercambio de
mensajes entre un nodo transmisor y un nodo receptor, combinado con técnicas de
estimación paramétricas que permitan la optimización del uso de los recursos de la
red. La cantidad mínima de energía necesaria para lograr un error de estimación
deseado, representada por el producto de la potencia de transmisión y el número de
mensajes enviados por el transmisor, se puede determinar mediante la introducción
del concepto de probabilidad de outage del canal inalámbrico tanto para el caso de
desvanecimiento de gran escala como para el caso de desvanecimiento de pequeña
escala. Una vez establecida una relación entre el error de estimación y la energía
empleada en el proceso de sincronización, se plantea un problema de minimización de
la energía empleada en el proceso de estimación. La resolución de dicha optimización
arroja un punto de trabajo óptimo para la relación de compromiso entre la energía
empleada y el error de sincronización, conformándose así una cota inferior óptima
para el caso de estimadores insesgados del o�set de reloj.
36 CAPÍTULO 4. MODELO SIMPLIFICADO
Los resultados generales obtenidos en este capítulo se han obtenido para el caso
particular de perturbaciones Gaussianas en las observaciones de un estimador in-
sesgado y Cramer-Rao e�ciente. Para otros estimadores que no cumplan con estas
condiciones, el error de estimación debe ser utilizado en lugar de la función de infor-
mación de Fisher con el �n de calcular los límites teóricos para ese caso particular,
los cuales estarán por encima de la cota inferior encontrada en este capítulo. Este
último escenario no es abordado por este trabajo.
Las cotas óptimas introducidas en este capítulo representan una base para el
problema de sincronización e�ciente en energía en WSN, lo cual signi�ca una con-
tribución al estado del arte en el área. En los próximos capítulos se extenderán los
resultados aquí presentados a diversos escenarios de manera de cubrir la amplia gama
de situaciones que se presentan en una red WSN.
Capítulo 5
Modelo Extendido deSincronización E�ciente enEnergía
5.1 Introducción
En el Capítulo 4 se formuló formalmente el problema de sincronización en WSN
y se presentó un modelo que introdujo las cotas óptimas que dominan la relación de
compromiso entre el error de sincronización y la energía empleada para tal �n. Sin
embargo, es necesario ahondar aún más en detalle en diversos problemas y situaciones
prácticas en lo que respecta a la sincronización de una WSN real.
En artículos recientes, como por ej. [1] y [27], se trata la problemática de la
e�ciencia energética desde una perspectiva de protocolo de comunicación, aunque sin
detallar los fenómenos existentes en un canal inalámbrico. Por ejemplo, [1] propone
un nuevo algoritmo, el protocolo Recursive Time Synchronization Protocol (RTSP),
el cual trata de minimizar el número de mensajes transmitidos en una WSN, aunque
sin incluir en el análisis las potencias de transmisión/recepción de cada sensor en el
problema de minimización.
Este capítulo está organizado de la siguiente manera: la Sección 5.2 presenta
un modelo sistema general extendiendo el modelo presentado en el Capítulo 4, la
Sección 5.3 muestra la aplicación de dicho modelo al caso de estimación de o�set
usando mensajes unidireccionales entre transmisor y receptor, la Sección 5.4 extien-
de los resultados encontrados en la Sección 5.3 al caso de mensajes bidireccionales
(es decir, de ida y vuelta) para la estimación del o�set, y en la Sección 5.5 se ge-
neraliza el problema para el caso de mensajes n saltos; la Sección 5.6 muestra un
ejemplo de aplicación de los resultados obtenidos para el caso de mensaje de ida
y vuelta aplicados al protocolo RBS; luego la Sección 5.7 ilustra los resultados de
37
38 CAPÍTULO 5. MODELO EXTENDIDO
las simulaciones de las contribuciones de este capítulo; y �nalmente la Sección 5.8
expone las conclusiones de este capítulo.
Parte de los contenidos de este capítulo fueron publicados en [17].
5.2 Modelo de Sistema
En esta sección se extienden los conceptos descriptos en la Sección 4.2.1 con-
templando perturbaciones Gaussianas y exponenciales del valor real del o�set de los
relojes de los nodos, así como también el caso de múltiples saltos en las comunica-
ciones.
Siguiendo el mismo razonamiento y las mismas hipótesis planteadas en la Sección
4.2.1, el retardo medio por mensaje, denotado por δ, queda de�nido por la tasa de
mensajes recibidos con éxito como se muestra a continuación:
δ = TMm
E[M(m,Pout)]=
TM1− Pout
(5.1)
donde TM es la duración del mensaje, y E[M(m,Pout)] es la esperanza del nú-
mero de mensajes exitosamente recibidos al enviar m mensajes por un canal con
probabilidad de outage Pout y sin correlación. Fundamentalmente, E[M(m,Pout)] =
m (1−Pout). Por lo tanto, reducir la probabilidad de outage también reduce el tiempo
de sincronización. Es decir, en aplicaciones en las cuales el tiempo de sincronización
es crítico, se puede ajustar el rendimiento mediante la regulación de la potencia de
transmisión. Sin embargo, esto debe equilibrarse con el presupuesto energético de la
aplicación, con el �n de reducir Pout, la potencia de transmisión S se debe aumentar.
Teniendo en cuenta que el error de la estimación depende del número de mensajes
recibidos con éxito m, es interesante encontrar la relación σ2θ
= f(S). Por lo tanto,
es necesario tener en cuenta la dependencia del error de estimación del o�set con la
cantidad de mensajes recibidos, es decir, σ2θ(m), y el número de mensajes recibidos
como función de la potencia de transmisión, es decir, m(S).
A continuación se analizan los casos de perturbaciones con distribuciones Gaus-
sianas y exponenciales, las cuales contaminan el valor real del o�set θ a estimar.
Como se explica en [31, 49], siguiendo la notación de Kendall se puede utilizar una
cola M/M/1 [65, p. 14] para representar el retardo acumulado en la conexión de
referencia de punto a punto, donde los retardos aleatorios se modelan de forma
independiente como variables aleatorias exponenciales. Los retardos aleatorios ex-
ponenciales tienen sus orígenes en el tiempo de acceso al medio y los tiempos de
procesamiento de los nodos. La razón por la cual se adopta una Función de Densi-
dad de Probabilidad (FDP) Gaussiana es debido al Teorema del Límite Central [5,
CAPÍTULO 5. MODELO EXTENDIDO 39
p. 290], que a�rma que la FDP de la media aritmética de un gran número de va-
riables aleatorias i.i.d. es aproximadamente Gaussiana. Este modelo será adecuado
si los retardos se asumen como la suma de varios procesos aleatorios independientes
[49]. Además de esto, cuando los nodos están estimando las magnitudes por medio
de la técnica estampa de tiempo a nivel de capa MAC, el ruido de estimación es
Gaussiano ya que las incertidumbres en los tiempos de envío, acceso y transmisión
se cancelan [28, 62].
En este capítulo, se aborda el problema de sincronización desde la perspecti-
va local de un nodo que se sincroniza con un nodo vecino, independientemente del
tamaño de la red y la topología. Sin embargo, se considera que las posiciones espa-
ciales de los nodos permanecen aproximadamente constantes durante el proceso de
sincronización. El análisis aquí presentado constituye un límite inferior universal en
la relación de compromiso �energía - error de sincronización�.
Adicionalmente, se considera que el canal inalámbrico es sin memoria e inva-
riante en el tiempo, lo que signi�ca que cada uso del canal será independiente y no
correlacionado con los demás usos, es decir, que los usos se someterán a efectos de
desvanecimiento i.i.d. [29]. En otras palabras, dos mensajes subsiguientes enviados
a través del canal inalámbrico presentarán perturbaciones independientes y no co-
rrelacionadas. Aunque esta situación no siempre está presente en la práctica, este
supuesto simpli�ca el problema matemático, mientras que al mismo tiempo permite
profundizar en el problema general. Esta condición puede ser aplicable a los canales
de desvanecimiento rápido así como a sensores en movimiento, donde la distancia de
desplazamiento ∆d de un sensor es mucho menor que la distancia d que separa un
par de sensores. En un escenario típico donde los sensores inalámbricos transmiten
a una frecuencia de 2,4 GHz, con una longitud de onda de λ = 12, 5 cm, bastará con
que ∆d ≈ λ y d ≥ 1,25 m para que la hipótesis se cumpla.
5.2.1 Múltiples Dominios de Broadcast
La Figura 5.1 muestra una situación en donde los nodos desplegados en una
red que contiene diferentes dominios de broadcast necesitan comunicarse entre sí a
través de un nodo intermedio. Inicialmente se investigará el escenario de intercambio
de mensajes unidireccionales, donde el nodo u1 envía mensajes al nodo u2, y este
último estima el o�set del reloj del nodo u1 sin intercambio de mensajes. Después
de presentar una solución a este problema, se investiga el escenario de intercambio
de mensajes bidireccionales, donde el nodo u2 responderá mensajes al nodo u1, y
ambos estimarán sus o�sets. Por último, se amplían los resultados al caso en el que
el nodo u1 tiene que comunicarse con el nodo u3 a través del nodo u2, teniendo
40 CAPÍTULO 5. MODELO EXTENDIDO
así un intercambio de mensajes de 4 caminos (nodo u1 - nodo u2, nodo u2 - nodo
u3, y los mensajes de retorno hasta llegar al nodo u1), una situación que puede ser
generalizada a n saltos si hay n/2 dominios de difusión y todos los sensores necesitan
comunicarse entre sí en la red. Por lo tanto, mediante el intercambio de mensajes de
n saltos se aborda el problema de las comunicaciones de múltiples saltos (multi-hop)
en una WSN multi-dominio.
Figura 5.1: Topología de red con múltiples dominios de broadcast que requiere co-municación multi-hop.
5.2.2 Problema a Resolver: Optimización de Energía
Retomando la expresión (4.4), es deseable extender el problema para que se con-
sidere también la variación del retardo en función de la probabilidad de outage.
Además, para lograr una solución más abarcativa de la optimización de la energía,
tanto la energía del transmisor como del receptor deben ser minimizadas; la primera
depende de la potencia de transmisión S y el número de mensajes transmitidos m,
mientras que la segunda se determina por el tiempo total que el circuito receptor está
encendido. A priori, el tiempo durante el cual el receptor está encendido podría de�-
nirse como m δ = mTM . Sin embargo, este tiempo es igual al tiempo de transmisión
total, mientras que el nodo receptor debe estar encendido durante más tiempo con
el �n de recibir todos los mensajes, ya que no se puede saber de antemano cuándo
llegará el mensaje. Luego, se espera que el receptor evalúe las propiedades del canal
y aumente su tiempo de recepción en un factor lineal con 1/(1−Pout). De esta forma,
es necesario que el nodo receptor estime Pout a partir de las observaciones disponi-
bles. Por lo tanto, el total de tiempo de recepción es m δ/(1− Pout) = mδ > mTM .
Dicho esto, la función total de energía para un par de nodos (i, j), donde el nodo uiestá transmitiendo mensajes al nodo uj , se puede expresar de la siguiente manera:
CAPÍTULO 5. MODELO EXTENDIDO 41
Ecij = Eci + Ecj
= S mTM + η S mδ
= S mδ (TMδ
+ η)
= S mδ (1 + η − Pout) (5.2)
donde TM/δ = 1− Pout según (5.1) y η , SRx/S representa la relación entre la
potencia de recepción y la potencia de transmisión, que normalmente cae en el rango
de 0, 5 v 0,8 para transceptores comerciales [68]. Aunque la energía en (5.2) depende
(1 + η − Pout) ∈ (η, 1 + η), este término tiene una variación suave con S por lo que
no contribuye fuertemente a la variación global como lo hacen el resto del incógnitas
S, m y δ, lo que puede presentar una variación ilimitada como se mostrará en la
sección 5.5. Por lo tanto, es su�ciente para minimizar el producto de S, m y δ para
encontrar el punto de trabajo de energía mínimo. Luego, sea:
Ec(S,m, δ) = S mδ (5.3)
una medida de la energía empleada en el proceso de sincronización. Así, el objeti-
vo es reducir al mínimo la función Ec(S,m, δ) tanto para efectos de desvanecimiento
de pequeña escala como de gran escala. Esta será la principal motivación a lo largo
del resto de este capítulo.
5.2.3 Funciones de Distribución de Probabilidad del O�set
5.2.3.1 Función de Distribución de Probabilidad Gaussiana
Los resultados obtenidos en la Sección 4.2.4 para el caso de FDP Gaussiana del
o�set se extenderán al caso de comunicación unidireccional, bidireccional y multi-
hop en las Secciones 5.3, 5.4 y 5.5. A continuación se investiga el caso de FDP
exponenciales del o�set, para luego ser generalizado en las secciones antedichas tal
como se hará para el caso Gaussiano.
5.2.3.2 Función de Distribución de Probabilidad Exponencial
Considere el caso en el que el o�set θ se estima a partir de m observaciones afec-
tadas por retardos aleatorios exponenciales. Sea el estimador del o�set con mensajes
unidireccionales dado por:
θ = θ +Xe − Xe (5.4)
42 CAPÍTULO 5. MODELO EXTENDIDO
donde Xe es el retardo del canal con FDP exponencial, y Xe = E[Xe] es la esperanza
de X, de manera que θ es un estimador insesgado. La FDP de X se puede expresar
como [4, p. 56]:
fXe(x) = λe exp (−λe x) , x ≥ 0 (5.5)
donde Xe = 1/λe y σ2V = 1/λ2
e son la esperanza y la varianza del retardo X,
respectivamente. La FDP conjunta después de mmensajes i.i.d. recibidos se convierte
en:
f(θ, m) = λm exp [−m λe (θ − θ + Xe)] , θ − θ + Xe ≥ 0. (5.6)
Aplicando (A.13), la información de Fisher para retardos exponenciales queda de�-
nida por:
I(θ, m) = m2 λ2e =
m2
σ2V
. (5.7)
Para simpli�car la notación, se simboliza el caso de retardos Gaussianos con el
parámetro ρ = 1 y retardos exponenciales con ρ = 2.
5.3 Error de Estimación de O�set con Mensajes Unidi-reccionales en Función de la Potencia de Transmisión
5.3.1 Motivación
La estimación de o�set de reloj por medio de mensajes unidireccionales representa
una situación e�ciente en energía para cada nodo receptor, ya que no requiere poner
en práctica un mecanismo de intercambio de mensajes, mientras que puede minimizar
la operación de su radiotransmisor un vez recibido el número requerido de mensajes.
El protocolo Flooding Time Synchronization Protocol (FTSP) [45], hace uso de esta
técnica, donde cada nodo produce una estimación del o�set del transmisor a través
de una regresión lineal.
5.3.2 Desvanecimiento de Gran Escala por Pérdidas de Propaga-ción y Sombreado
La contraparte de (4.8) para retardos Gaussianos (ρ = 1) y exponenciales (ρ = 2)
está dada por:[mQ
(SRx − [S + 10 logK − 10γ log(d/d0)]
σψdB
)]ρ>σ2V
ε(5.8)
CAPÍTULO 5. MODELO EXTENDIDO 43
la cual lleva a reescribir (4.9) como
B(Sopt,m)cε =
[mQ
(K1 − SoptσψdB
)]ρ−σ2V
ε= 0 (5.9)
con K1 = SRx − 10 logK + 10γ log(d/d0). De (5.9), el número de mensajes transmi-
tidos m está determinado por
dmmine =1
Q(K1−SoptσψdB
) (σ2V
ε
)1/ρ
. (5.10)
Consecuentemente, el retardo δ adopta la siguiente forma bajo efectos de desvaneci-
miento de gran escala:
δmin =TM
Q(K1−SoptσψdB
) (5.11)
Reemplazando (5.10) y (5.11) en (5.3), y expresando Sopt en dBm, el problema de
minimización se puede escribir como:
dEcdSopt
=d(100,1Soptmmin δmin)
dSopt= 0
⇒ d
dSopt
TM 100,1Sopt
Q2(K1−SoptσψdB
) (σ2V
ε
)1/ρ = 0. (5.12)
De�niendo u = (K1 − Sopt)/σψdB , se reescribe (5.12) como:
2Q′(u)
σψdB Q(u)+ 0,23 = 0. (5.13)
Considerando Q′(u) = −(2π)−1/2 exp(−u2
2
), y reemplazando Sopt = K1 − σψdB u,
(5.12) tiene la siguiente solución para la optimización conjunta de la potencia de
transmisión y recepción:
Q
(K1 − SoptσψdB
)−
2 exp[−1
2
(K1−SoptσψdB
)2]
0,23√
2πσψdB= 0 (5.14)
la cual puede ser resuelta grá�camente para encontrar el valor óptimo Sopt, con
Sopt ≥ K1. Las ecuaciones (5.10) y (5.14) son una solución e�ciente en energía para
el error de estimación objetivo ε bajo efectos de desvanecimiento de gran escala.
44 CAPÍTULO 5. MODELO EXTENDIDO
5.3.3 Desvanecimiento de Pequeña Escala por Multi-camino
La ecuación (4.15) puede extenderse para contemplar retardos Gaussianos(ρ = 1)
y exponenciales(ρ = 2) según:
C(Sopt,m)cε =
[m exp
(−γ0σ
2N
Sopt
)]ρ−σ2V
ε= 0. (5.15)
El número de mensajes transmitidos m se determina según:
m =
(σ2V
ε
)1/ρ
exp(γ0σ
2N
Sopt
). (5.16)
El retardo δ bajo efectos de desvanecimiento de pequeña escala se puede describir
como:
δmin = TM exp(γ0σ
2N
Sopt
). (5.17)
Reemplazando (5.16) y (5.17) en (5.3), el problema de minimización se expresa como:
d
dSopt=d(Soptmmin δmin)
dSopt= 0
⇒ d
dSopt
[(σ2V
ε
)1/ρ
TM Sopt exp(
2γ0σ2N
Sopt
)]= 0
(5.18)
donde Sopt está expresado en Watt. La ecuación (5.18) tiene como solución
Sopt = 2γ0σ2N . (5.19)
En consecuencia, según (5.16), la expresión de la cantidad mínima de mensajes trans-
mitidos m es
dmmine = e1/2
(σ2V
ε
)1/ρ
(5.20)
La ecuación (5.20) muestra una dependencia inversamente proporcional dem con
el error de la estimación ε, lo cual exhibe la relación de compromiso existente entre
los mismos.
CAPÍTULO 5. MODELO EXTENDIDO 45
5.4 Error de Estimación de O�set con Mensajes Bidirec-cionales en Función de la Potencia de Transmisión
5.4.1 Motivación
Hasta ahora, se investigó el problema del mensaje de estimación con mensa-
jes unidireccionales. En esta sección, se extienden los resultados a la técnica más
utilizada para estimar el o�set (y también el skew) del reloj en el problema de la sin-
cronización de tiempo en WSN, es decir, el mecanismo de intercambio de mensajes
bidireccionales (ver [49, 22] para más detalle acerca de sincronización de WSN con
mensajes bidireccionales).
5.4.2 Modelo de Sistema
Considere la situación en la que dos nodos ui y uj producen estimaciones locales
de sus respectivos o�sets de reloj basados en el número de observaciones (mensa-
jes) intercambiado entre ellos, como es el caso de TPSN o RBS. Aunque estos dos
protocolos de sincronización di�eren en naturaleza, ambos explotan el intercambio
bidireccional de mensajes con el �n de lograr la sincronización. En un escenario de
mensaje bidireccional, cada nodo ui calculará una muestra válida si y sólo si a) tiene
éxito en entregar un mensaje al nodo uj y, b) recibe la respuesta asociada a este
mensaje; esto signi�ca que tanto los mensajes transmitidos como respondidos deben
ser entregados con éxito al destino. Para ser más especí�cos, considere que el nodo uienvía un mensaje mk
ij al nodo uj en el instante tk. El nodo ui va a esperar el mensaje
de respuesta mkji del nodo uj asociado al instante de tiempo tk para el cálculo de la
k-ésima muestra de estimación. Esta propiedad de la naturaleza del mecanismo de
intercambio de mensajes bidireccionales que hace que dos mensajes independientes
se encadenen para producir una muestra de estimación válida será más explotado en
las siguientes secciones.
Realizando las hipótesis más comúnmente adoptadas en la literatura, se considera
que todos los nodos de la red son constructivamente idénticos, lo que signi�ca que
todos los nodos tienen la misma Signal-to-Noise Ratio (SNR) mínima aceptable por
el receptor γ0, y además transmiten señales a través de un canal simétrico en un
entorno con la misma potencia de ruido de pequeña y gran escala, denotadas por σ2N
y σ2ψdB
, respectivamente. Además de esto, considere que las señales transmitidas en
un enlance ascendente o descendente estarán sometidas al mismo proceso estocástico
desde el punto de vista del ruido, es decir con la misma media, varianza y distribución.
En resumen, se asume que:
46 CAPÍTULO 5. MODELO EXTENDIDO
σ2Ni = σ2
Nj
γ0i = γ0j
σψdBi = σ2ψdBj
∀i, j = 1, 2, . . . , N. (5.21)
5.4.3 Planteo del Problema
Recordando la sección 5.2.2, es deseable encontrar contraparte para el intercam-
bio de mensajes bidireccionales. Puesto que cada nodo individual ui procesará la
k-ésima muestra de estimación basado en el mensaje que envía al nodo uj y su res-
puesta asociada, se puede expresar la probabilidad de que el nodo ui reciba una
muestra válida de su nodo vecino uj en el instante tk como:
P kij→ji = P (ski→j ∩ skj→i) (5.22)
donde ski→j indica que el nodo uj recibió exitosamente el mensaje enviado por el
nodo ui en el instante tk.
Dado que los mensajes enviados por los nodos son independientes de los mensajes
del otro, y cada uso del canal es también una variable aleatoria i.i.d., (5.22) se puede
reescribir como:
P kij→ji = P (ski→j)P (skj→i)
= (1− P kouti→j) (1− P koutj→i
). (5.23)
Debido a que se asumieron nodos idénticos inmersos en un canal simétrico inva-
riante en el tiempo, se reescribe (5.23) de la siguiente manera:
P kij→ji , PkRTSij = [1− Pout(S)]2 ∀k (5.24)
donde P kRTSij es la probabilidad de éxito de ida y vuelta para el mensaje enviado
en el instante tk entre los nodos ui y uj , y Pout(S) es la probabilidad de outage
tradicional de�nida en la Sección 5.3. La ecuación (5.24) indica que, para un nodo
dado, la probabilidad de recibir una muestra de estimación de ida y vuelta válida
depende del cuadrado de la probabilidad de outage del canal inalámbrico. Por otra
parte, resultados encontrados en las Secciones 5.3.2 y 5.3.3 deben recalcularse con
este nuevo factor de éxito del canal. La contraparte de (4.1) bajo un escenario de
CAPÍTULO 5. MODELO EXTENDIDO 47
mensajes bidireccional se convierte en:
m = mPRTS = m [1− Pout(S)]2 (5.25)
donde PRTS = P kRTSij para cada par (i, j) y para todo k.
5.4.4 Efectos de Desvanecimiento de Gran Escala
Combinando (A.8) con (5.24), la probabilidad de éxito de ida y vuelta PRTS es
igual a Q(z(S))2. Por lo tanto, esto lleva el problema efectos de desvanecimiento
gran escala a la siguiente solución:
Q
(K1 − SoptσψdB
)−
4 exp[−1
2
(K1−SoptσψdB
)2]
0,23√
2πσψdB= 0 (5.26)
con Sopt ≥ K1. Para la potencia de transmisión mínima encontrada en (5.26), el
número mínimo de mensajes transmitidos viene dada por:
dmmine =1
Q2(K1−SoptσψdB
) (σ2V
ε
)1/ρ
(5.27)
Sin embargo, se espera que el retardo en este escenario sea el doble que el retardo
encontrado para el caso de mensajes unidireccionales:
δmin =2TM
Q2(K1−SoptσψdB
) (5.28)
5.4.5 Efectos de Desvanecimiento de Pequeña Escala
Con la introducción de PRTS , (5.18) tendrá su exponente incrementado en un
factor de 4, lo cual se puede considerar como un aumento en la potencia de ruido
σ2N . Por lo tanto, la obtención de la tupla (Sopt,mmin, δmin) es sencillo:
Sopt = 4γ0σ2N
dmmine = e1/4
(σ2V
ε
)1/ρ
δmin = 2 e1/4 TM (5.29)
Esto demuestra que el impacto de los efectos de desvanecimiento de pequeña esca-
la para el escenario de mensajes de ida y vuelta se puede linealizar al número de
excursiones circulares necesarias para la obtención de un único mensaje válido. Es
48 CAPÍTULO 5. MODELO EXTENDIDO
interesante observar que el número mínimo de mensajes mmin se mantiene sin cam-
bios con respecto al escenario unidireccional para la igualdad de ε, mientras que la
variable de ajuste sigue siendo la potencia de transmisión S.
5.5 Error de Estimación de O�set con Mensajesn-direccionales en Función de la Potencia de Trans-misión
Se puede generalizar el problema investigado en las secciones anteriores para
ambos escenarios de desvanecimiento. Sea una muestra de estimación compuesta de
n mensajes intercambiada entre nodos ui y uj por un canal estacionario simétrico.
Un valor de n = 1 representa mensajes unidireccionales, n = 2 corresponde a los
mensajes bidireccionales, y así sucesivamente. Una situación en la que un único
nodo produce una sola muestra de estimación basada en n mensajes representará un
mecanismo de intercambio de mensajes n-direccionales. Entonces se pueden realizar
las siguientes generalizaciones para cada situación de desvanecimiento del canal.
5.5.1 Efectos de Desvanecimiento de Gran Escala
Q
(K1 − SoptσψdB
)=
2n exp[−1
2
(K1−SoptσψdB
)2]
0,23√
2πσψdB
dmmine =1
Qn(K1−SoptσψdB
) (σ2V
ε
)1/ρ
δmin =TM
Qn(K1−SoptσψdB
) (5.30)
5.5.2 Efectos de Desvanecimiento de Pequeña Escala
Sopt = 2nγ0σ2N
dmmine = e1/(2n)
(σ2V
ε
)1/ρ
δmin = n e1/(2n) TM (5.31)
La ecuación (5.30) muestra que para aumentar n, tanto mmin como δmin crecen
ilimitadamente ya que |Q| → 0 a medida que n→ +∞ debido a que |Q| < 1. Por lo
CAPÍTULO 5. MODELO EXTENDIDO 49
tanto, Sopt tiene que aumentar a �n de mantener Q → 1−, por lo que mmin y δminno experimentan un crecimiento abrupto conforme se incrementa n. Para efectos de
pequeña escala, como se muestra en (5.31), Sopt aumenta linealmente con n para
lograr el error de estimación objetivo ε; asimismo, el retardo medio de mensaje δminaumenta sin límites con n, lo que representa una desventaja ya sea desde el punto
de vista energético como de aplicación. Finalmente, el número mínimo de mensajes
mmin depende principalmente en forma inversamente proporcional a ε.
5.6 Ejemplo de Aplicación al Algoritmo RBS
En esta sección, se utilizará el protocolo RBS descripto en la Sección 3.2 co-
mo ejemplo para aplicar los límites teóricos antes mencionados. En RBS, un par
de nodos receptores se sincronizan mediante la estimación de o�sets relativos a ca-
da uno después de recibir una señal de referencia común que se supone que llega
simultáneamente a todos los nodos dentro del mismo dominio de broadcast. Este
enfoque, llamado sincronización de receptor-receptor, elimina la parte principal no
determinística del retardo de recepción debido a la característica de broadcast del
canal inalámbrico. Por lo tanto, cada par de nodos vecinos (ui, uj) intercambiará sus
observaciones del mensaje de referencia y estimará el o�set relativo a su vecino θijcon el siguiente estimador:
θij =1
m
m∑k=1
(Tj,k − Ti,k). (5.32)
Considerando que Tj,k = Tk+θij+xk y Ti,k = Tk+yk, donde xk y yk representan
ruido AWGN con igual media µz y varianza θ2V /2, mientras que Tk es el tiempo
absoluto correspondiente a la muestra producida en el instante tk, se puede reescribir
(5.32) como sigue:
θij =1
m
m∑k=1
(θij + zk) (5.33)
donde zk , xk − yk es una variable aleatoria con distribución Gaussiana N(0, σ2V ).
Lema 1 De (5.33), RBS estima el o�set entre los nodos ui y uj a través de la mediamuestral, que es un estimador insesgado de varianza mínima, del inglés MinimumVariance Unbiased Estimator (MVUE) [33, p. 20] de θij, alcanzando la cota deCramer-Rao. Entonces, los límites inferiores generales que se muestran en la sec-ción 5.2.2 son perfectamente aplicables al protocolo de RBS.
La demostración del Lema 1 se encuentra en el Apéndice B.1.
50 CAPÍTULO 5. MODELO EXTENDIDO
5.7 Resultados de las Simulaciones
Esta sección expone los resultados de las simulaciones para los parámetros típicos
de una WSN como se indica en [29, p. 27-60] para el mecanismo de intercambio de
mensajes más comúnmente utilizado, es decir, intercambio bidireccional (n = 2).
La Figura 5.2 y la Figura 5.3 muestran la dependencia de la cantidad de mensajes
transmitidos m y la energía requerida Ec(S,m, δ) con la potencia de transmisión
S bajo la in�uencia de desvanecimiento de gran escala, para retardos Gaussianos y
exponenciales, respectivamente, y para diferentes valores del error de estimación ε. La
contraparte de pequeña escala o desvanecimiento de Rayleigh se muestra en la Figura
5.4 y la Figura 5.5, para retardos Gaussianos y exponenciales, respectivamente. Los
resultados muestran que es necesario ajustar �namente S para obtener un mínimo
m a �n de minimizar la energía total de sincronización.
Figura 5.2: Número de mensajes transmitidos m y energía de sincronización reque-rida Ec(S,m, δ) en función de la potencia de transmisión S para desvanecimientode gran escala, y para diferentes errores ε de la estimación del o�set usando mensa-jes bidireccionales, con retardos Gaussianos. Parámetros de la simulación: σ2
V = 1,SRx = −80dBm, K = 7,0146 · 10−4, d/d0 = 10, σψdB = 1dB, γ = 3,71, TM = 1s,ρ = 1 [29, p. 27-60].
CAPÍTULO 5. MODELO EXTENDIDO 51
Figura 5.3: Número de mensajes transmitidosm y energía de sincronización requeridaEc(S,m, δ) en función de la potencia de transmisión S para desvanecimiento degran escala, y para diferentes errores ε de la estimación del o�set usando mensajesbidireccionales, con retardos exponenciales. Parámetros de la simulación: σ2
V = 1,SRx = −80dBm, K = 7,0146 · 10−4, d/d0 = 10, σψdB = 1dB, γ = 3,71, TM = 1s,ρ = 2 [29, p. 27-60].
A medida que el número de saltos n aumenta, los mínimos de energía se mueven
hacia valores más altos de S para ambos escenarios desvanecimiento; esto signi�ca
que las redes de sensores multi-hop densas (n grande) requerirán más energía de
sincronización. Ejemplos de este tipo de redes se pueden encontrar en [55], aplicada
a la agricultura y la vigilancia geográ�ca. Figura 5.6 muestra los mínimos de energía
para el desvanecimiento de gran escala y ruido Gaussiano, donde se puede observar
que el crecimiento de Ec(S,m, δ) es bastante suave debido al hecho de que Sopttiende a maximizar la función-Q para mantener el valor de mmin y δmin tan pequeño
como sea posible. La contraparte de desvanecimiento a pequeña escala y ruido de
Gaussiano se muestra en Figura 5.7, donde la situación de mejor esfuerzo exhibe un
crecimiento lineal de la función de energía con el número de saltos; para valores de
la potencia de transmisión menores que Sopt, se prevé un crecimiento exponencial de
Ec(S,m, δ) al aumentar n, según lo dictado por (5.31).
52 CAPÍTULO 5. MODELO EXTENDIDO
Figura 5.4: Número de mensajes transmitidosm y energía de sincronización requeridaEc(S,m, δ) en función de la potencia de transmisión S para desvanecimiento depequeña escala, y para diferentes errores ε de la estimación del o�set usando mensajesbidireccionales, con retardos Gaussianos. Parámetros de la simulación: σ2
V = 1, γ0 =7dB, σ2
N = −87dBm, TM = 1s, ρ = 1 [29, p. 27-60].
5.8 Conclusiones
La cantidad mínima de energía total requerida para lograr una error de estima-
ción deseado está completamente caracterizada por el producto de la potencia de
transmisión S, número de mensajes m y el promedio de retardo mensaje δ.
En esta sección se han analizado en detalle el problema de sincronización de
WSN en los escenarios de intercambio de mensajes unidireccionales y bidireccionales,
habiéndose encontrado cotas inferiores óptimas para cada caso. Adicionalmente, se
ha demostrado que el algoritmo de sincronización RBS alcanza los límites teóricos
para el caso de intercambio de mensajes unidireccionales.
Finalmente, se extendieron los resultados al caso de mensajes de n-direccionales,
lo cual sirve como base para la generalización del problema de sincronización e�ciente
en energía en redes de sensores inalámbricos multi-hop con alta densidad de nodos,
tal como es el caso de la Internet de las Cosas.
En los siguiente capítulos, se hará foco en el análisis de una WSN genérica con el
CAPÍTULO 5. MODELO EXTENDIDO 53
Figura 5.5: Número de mensajes transmitidosm y energía de sincronización requeridaEc(S,m, δ) en función de la potencia de transmisión S para desvanecimiento depequeña escala, y para diferentes errores ε de la estimación del o�set usando mensajesbidireccionales, con retardos exponenciales. Parámetros de la simulación: σ2
V = 1,γ0 = 7dB, σ2
N = −87dBm, TM = 1s, ρ = 2 [29, p. 27-60].
objetivo de encontrar la relación de compromiso entre energía y error de sincroniza-
ción para una red genérica, con nodos que se encuentran en movimiento y los efectos
asociados al respecto, e incluso incorporando en el análisis el caso de sensores con
capacidad de captura de energía.
54 CAPÍTULO 5. MODELO EXTENDIDO
Figura 5.6: Mínima energía de sincronización Ec(S,m, δ) en función del númerode saltos n para desvanecimiento de gran escala, y para diferentes errores ε de laestimación del o�set, con retardos Gaussianos. Parámetros de la simulación: σ2
V = 1,γ0 = 7dB, σ2
N = −87dBm, TM = 1s, ρ = 1 [29, p. 27-60].
CAPÍTULO 5. MODELO EXTENDIDO 55
Figura 5.7: Mínima energía de sincronización Ec(S,m, δ) en función del número desaltos n para desvanecimiento de pequeña escala, y para diferentes errores ε de laestimación del o�set, con retardos Gaussianos. Parámetros de la simulación: σ2
V = 1,γ0 = 7dB, σ2
N = −87dBm, TM = 1s, ρ = 1 [29, p. 27-60].
56
Capítulo 6
Sincronización de Nodos enMovimiento
6.1 Introducción
En este capítulo se investigará el efecto del movimiento relativo de los nodos en las
relaciones de compromiso entre la energía de sincronización y el error de estimación
del o�set de reloj. El estudio de dichas relaciones de compromiso con nodos en
movimiento revelará el efecto del desvacenimiento del canal de comunicación en las
cotas óptimas estudiadas en los Capítulos 4 y 5.
Parte de los contenidos de este capítulo fueron publicados en [16] y [13].
6.2 Sincronización de Nodos en Movimiento con Desva-necimiento de Gran Escala
6.2.1 Introducción
En los capítulos anteriores se introdujeron las relaciones de compromiso existen-
tes entre el error de sincronización y la energía empleada en el proceso de sincro-
nización, aunque sin contemplar en el análisis el movimiento de los nodos. En esta
sección se presenta la dependencia de las relaciones de compromiso con la velocidad
y más precisamente con la distancia entre nodos, para el caso de desvanecimiento a
gran escala, una situación que está presente en un entorno realista donde los nodos
cambian su distancia relativa dentro de una red.
La situación de movimiento de nodos afectados por el desvanecimiento de gran
escala se presenta típicamente en aplicaciones vehiculares y en redes ad-hoc [29,
p. 550], especialmente en el caso de redes en entornos exteriores en las cuales la
atenuación por propagación toma un papel dominante.
57
58 CAPÍTULO 6. SINCRONIZACIÓN DE NODOS EN MOVIMIENTO
De manera de completar el estudio de nodos en movimiento, se investiga en la
Sección 6.3 el caso de nodos móviles afectados por desvanecimiento de pequeña escala
y con canal Rayleigh con correlación.
A continuación se expande el problema de sincronización de nodos con mensa-
jes unidireccionales, partiendo de la base del modelo de sistema introducido en el
Capítulo 5, para el caso de perturbaciones Gaussianas del o�set.
6.2.2 Estimación de O�set con Mensajes Unidireccionales y Nodosen Movimiento con Desvanecimiento de Gran Escala
La motivación es nuevamente minimizar la energía consumida Ec(S,m, δ), dada
por (5.3), a lo largo del proceso de sincronización mientras se obtiene el error de
estimación ε deseado. La innovación en este capítulo es investigar la dependencia de
dicho problema de optimización con la variación de la distancia entre nodos d.
Recordando la expresión (5.9) que relaciona la atenuación de gran escala con el
error de sincronización ε y la mínima potencia de transmisión Sopt, se puede reescribir
la misma en función de la distancia d entre nodos como sigue:
B(Sopt,m, d)cε = Q
(K1(d)− Sopt
σψdB
)−σ2V
mε= 0 (6.1)
con
K1(d) , SRx − 10 logK + 10γ log(d/d0). (6.2)
Para nodos que se mueven a una velocidad relativa v, la distancia d entre ellos
en el instante de tiempo t queda determinada por:
d = d(t) = d0 + v t (6.3)
donde d0 es la distancia inicial entre los nodos que intercambian mensajes. La
ecuación (6.3) es una expresión escalar debido al hecho de que se investigan los fun-
damentos del problema de balance de energía con dos nodos que se comunican entre
sí; para el caso general de N nodos, la expresión se convierte en una ecuación vec-
torial (lo cual estará fuera del alcance de esta tesis). Además, v puede ser positivo o
negativo; en el caso de velocidad relativa negativa (nodos acercándose), se conside-
rará que la distancia instantánea de los nodos d cumple d(t) > dmin para todo t con
el �n de permanecer en el escenario de efectos de desvanecimiento de gran escala. La
distancia mínima de dmin para los efectos de gran escala es típicamente 10 m para
aplicaciones de interiores y 100 m para aplicaciones de exteriores [29, p. 24].
CAPÍTULO 6. SINCRONIZACIÓN DE NODOS EN MOVIMIENTO 59
6.2.2.1 Minimización de Energía para Nodos en Movimiento para Per-turbaciones Gaussianas del O�set
Recordando (5.10), el número de mensajes transmitidos m en función de la dis-
tancia entre nodos d para el caso de perturbaciones Gaussianas del o�set se determina
como
dmmine =σ2V
εQ(K1(d)−Sopt
σψdB
) . (6.4)
De (5.11), el mínimo retardo δmin adopta la siguiente expresión para el caso de
desvanecimiento de gran escala:
δmin =TM
Q(K1(d)−Sopt
σψdB
) . (6.5)
Reemplazando (6.4) y (6.5) en (5.3), y expresando Sopt en dBm, el problema de
minimización toma la forma:
d
dSopt
TM 100,1Soptσ2V
εQ2(K1(d)−Sopt
σψdB
) = 0. (6.6)
La solución de (6.6) es la que se mostró en (5.14), a la que se le agrega la dependencia
con la distancia d:
Q
(K1(d)− Sopt
σψdB
)−
2 exp[−1
2
(K1(d)−Sopt
σψdB
)2]
0,23√
2πσψdB= 0 (6.7)
la cual puede ser resuelta por medio de simulaciones por computadora.
6.2.3 Resultados de las Simulaciones
La Figura 6.1 muestra la dependencia de la cantidad de mensajes transmitidos m
y la energía requerida Ec(S,m, δ) con potencia de transmisión S bajo la in�uencia de
desvanecimiento de gran escala para diferentes valores del error de estimación ε, para
una distancia �ja d entre los nodos transmisor y receptor. La Figura 6.2 muestra la
dependencia de m con S y d bajo desvanecimiento de gran escala. Se puede observar
que para S �ja, a medida que crece d, m tiene que aumentarse consecuentemente.
Debido a que bajo los efectos del desvanecimiento de gran escala el factor domi-
nante en la atenuación de la señal es la distancia entre pares d, la velocidad relativa
de los nodos no se muestra en los grá�cos de energía. Sin embargo, siempre es po-
sible de�nir una ventana de tiempo �jo, por ejemplo, ∆t = 1s, reemplazar d por
60 CAPÍTULO 6. SINCRONIZACIÓN DE NODOS EN MOVIMIENTO
su de�nición en (6.3), y analizar la variación de los mínimos de la energía según lo
dictado por (6.7). Por lo tanto, si bien existe una relación única entre d y v, es más
preciso analizar las variaciones de los mínimos de la energía con d en este escenario.
Figura 6.1: Número de mensajes transmitidosm y energía de sincronización requeridaEc(S,m, δ) en función de la potencia de transmisión S para desvanecimiento de granescala a distancia d constante, y para diferentes errores ε de estimación del o�set.Parámetros de la simulación: σ2
V = 1, SRx = −80dBm, K = 7,0146 · 10−4, d/d0 =10, σψdB = 1dB, γ = 3,71, TM = 1s.
6.3 Sincronización de Nodos en Movimiento con Desva-necimiento de Pequeña Escala
6.3.1 Introducción
En la Sección 6.2 se investigó la dependencia de las relaciones de compromiso
entre energía de sincronización y error de estimación de o�set para el caso de nodos
desplazándose y comunicándose por medio de canales con desvanecimiento de gran
escala. Los resultados mostraron que la distancia juega un papel preponderante en
las relaciones de compromiso, aunque la velocidad no entra en juego en las cotas
óptimas salvo por su relación con la distancia y el tiempo de desplazamiento.
CAPÍTULO 6. SINCRONIZACIÓN DE NODOS EN MOVIMIENTO 61
Figura 6.2: Número de mensajes transmitidos m en función de la potencia de trans-misión S y la distancia entre nodos d para desvanecimiento de gran escala, y paradiferentes errores ε de estimación del o�set. Parámetros de la simulación: σ2
V = 1,SRx = −80dBm, K = 7,0146 · 10−4, σψdB = 1dB, γ = 3,71, TM = 1s.
En este capítulo se investigará un caso análogo al anterior pero para canales con
desvanecimiento de pequeña escala. Los resultados que se mostrarán diferirán sus-
tancialmente respecto del caso de desvanecimiento de gran escala, fundamentalmente
por el rol que juega la velocidad relativa de los nodos en este escenario.
Varios autores abordaron el problema del gasto energético asociado a la sincro-
nización de una WSN bajo efectos de desvanecimiento de pequeña escala, aunque no
con el detalle matemático presentado en este capítulo. Por ejemplo, en [39] los au-
tores minimizan la probabilidad de outage en función de la potencia de transmisión
para el problema de sincronización, lo que no necesariamente implica optimización
de la energía; por otra parte, los autores no consideran la velocidad relativa de los
nodos en su modelo. El trabajo publicado en [24] investiga la relación de compro-
miso entre el consumo de energía y el error de sincronización desde una perspectiva
local de un nodo de�nido por el tiempo que un nodo permanece en estado standby,
sin contemplar la energía consumida en la interacción con otros nodos. En [48], se
de�ne la e�ciencia energética como una función del tamaño de la carga útil o payload
62 CAPÍTULO 6. SINCRONIZACIÓN DE NODOS EN MOVIMIENTO
para usos de canales Rayleigh no correlacionados. Varios artículos presentados en
[3] exhiben el requisito de la minimización de la energía en una WSN sin tener en
cuenta el modelo de canal inalámbrico en los análisis. Es por esto que este capítulo se
presenta un modelo matemático innovador para obtener un equilibrio entre el error
de sincronización objetivo y la energía necesaria para tal �n, para el escenario de
nodos en movimiento afectados por desvanecimiento de pequeña escala Rayleigh con
correlación de canal.
6.3.2 Modelo de Sistema
6.3.2.1 Generalidades
Sean dos nodos u1 y u2 en la misma WSN, como se muestra en Figura 6.3,
los cuales requieren sincronizarse entre sí estimando sus respectivos relojes a través
de mensajes inalámbricos unidireccionales intercambiados a través de un canal con
desvanecimiento Rayleigh correlacionado con ganancia g(t), en el instante de tiempo
t.
En esta situación, el nodo u1 envía m mensajes al nodo u2, el cual estima el
o�set del reloj de u1 a partir de la información de reloj contenida en los mensajes
recibidos exitosamente.
����u1
m- g(t) -
m����u2
Figura 6.3: Nodo u2 estimando el o�set del reloj del nodo u1 usando mensajes uni-direccionales.
A continuación se propone un modelo matemático para el problema de sincroni-
zación desde la perspectiva de un par de nodos vecinos que intercambian mensajes
con el �n de sincronizarse mutuamente. Por dicho motivo, el enfoque en este capí-
tulo es independiente del tamaño y topología de la red. Para justi�car la robustez
del modelo propuesto, también se consideran perturbaciones de ruido AWGN para
derivar la relación señal a ruido en el receptor. La potencia de fuentes interferentes
se supone pequeña e incluida dentro la potencia de ruido σ2N .
6.3.2.2 Correlación de los Usos del Canal
De manera de investigar la correlación de los usos del canal, se considerarán
en el análisis canales inalámbricos con desvanecimiento plano y lento [60, 61] (ver
Apéndice A.3.3), es decir canales en los cuales la correlación del canal permanece
constante a lo largo de un número determinado de usos del canal. La ganancia del
CAPÍTULO 6. SINCRONIZACIÓN DE NODOS EN MOVIMIENTO 63
canal en desvanecimiento de Rayleigh se modela como un proceso aleatorio Gaussiano
complejo y circular [36], de�nido por:
g(t) = gx(t) + j gy(t) (6.8)
donde gx(t) y gy(t) son procesos Gaussianos de media cero y correlacionados. Sea
zi(t) = A0 ej(ωt+ϕi) una señal con frecuencia angular ω y fase ϕi que se transmite
a través del canal mencionado anteriormente el cual está afectado por efectos de
desvanecimiento de pequeña escala, y sea zi(t) la señal recibida de�nida por
zi(t) = Re{g(t) zi(t)} = Re{ |ri(t)| ej(ωt+ϕi+φi(t))} (6.9)
donde i = 1, . . . ,m es el índice de la señal, y la envolvente compleja recibida ri(t)
está descripta por
ri(t) = Xi(t) + j Yi(t) = ri ej φi(t) = A0 gx(t) + j A0 gy(t) (6.10)
con ri , |ri(t)| y φi(t) , arg(ri(t)). De�niendo la potencia de transmisión S , A20/2,
las propiedades de correlación de cada componente de ri(t) para ganancia de canal
normalizada son [36]:
R(τ) , RXX(τ) = RY Y (τ) = S J0
(2π
v
λrτ
)(6.11)
donde J0(·) es la función de Bessel de primera especie de orden cero (ver Apéndice
A.8.2), v es la velocidad relativa entre nodos, y λr es la longitud de onda de la señal
transmitida.
6.3.3 Error de Estimación del O�set en Función de la Potencia deTransmisión
6.3.3.1 Optimización de Energía
La premisa en esta sección es continuar con el problema de optimización de la
energía consumida en el proceso de sincronización, es decir,
Encontrar Sopt tal quedEc(S,m, δ)
dS
∣∣∣∣S=Sopt
= 0 (6.12)
sujeto a lograr una error de estimación objetivo ε. A continuación se plantea el
modelo matemático de la correlación del canal y su impacto en la señal recibida
a nivel físico, la cual determinará la correcta recepción o no del mensaje enviado
desde el transmisor hacia el receptor, y consecuentemente la e�ciencia energética de
64 CAPÍTULO 6. SINCRONIZACIÓN DE NODOS EN MOVIMIENTO
la solución combinada con el error de estimación en función de los mensajes recibidos
correctamente.
6.3.3.2 FDP Conjunta de las Componentes de la Envolvente Recibida
Al transmitir un número de mensajem, los conjuntosX = {Xi}mi=1,Y = {Yi}mi=1
descriptos en (6.10) exhiben la siguiente FDP conjunta [33, p.7]:
fXY (x,y) =exp
(−1
2 [x,y]T ·C−1 · [x,y])
(2π)m|C|1/2(6.13)
donde x = [x1 x2 . . . xm]T , y = [y1 y2 . . . ym]T , y [x,y] = [x1 x2 . . . xm y1 y2 . . . ym]T
son vectores columna. La matriz de covarianza C está de�nida por
C =
(Ca 0
0 Ca
)(6.14)
siendo la matriz de autocorrelación de tanto X como Y , denotada por Ca, de�nida
como sigue:
Ca =
ζ11 ζ12 . . . ζ1m
ζ12 ζ11 . . . ζ2m
......
. . ....
ζm1 ζm2 . . . ζmm
(6.15)
donde ζij = R (Ts (i− j)), R(·) está dada por (6.11) y 1/Ts es la tasa de mensajes.
El nivel de correlación, denotado por ρC , se de�ne como [39]:
ρC =‖C − diag(C)‖F
‖C‖F(6.16)
donde ‖C‖F es la norma de Frobenius (ver Apéndice A.8.3) y diag(C) es una
matriz que contiene solamente la diagonal principal de C. Luego, ρC varía de 0 (usos
de canal descorrelacionados) a 1 (usos de canal altamente correlacionados).
6.3.3.3 Potencia Instantánea Recibida
Haciendo referencia a (6.10), el valor absoluto de la envolvente recibida ri sigue
una distribución Rayleigh y la fase φi(t), o simplemente φi de ahora en adelante, está
distribuida uniformemente en el rango [0, 2π], es decir xi = ri cosφi y yi = ri sinφi,
con ri ≥ 0 y φi ∈ [0, 2π]. Entonces, la FDP conjunta de la envolvente compleja
CAPÍTULO 6. SINCRONIZACIÓN DE NODOS EN MOVIMIENTO 65
recibida está dada por
frφ(r,φ) = |JXY (r,φ)| fXY (x(r,φ),y(r,φ))
= fXY (x(r,φ),y(r,φ))m∏i=1
ri (6.17)
con r = [r1 . . . rm]ᵀ, φ = [φ1 . . . φm]ᵀ, donde |JXY (r,φ)| es el Jacobiano [2, p. 297]
de la transformación x(r,φ), y(r,φ). La FDP conjunta de r, denotada por fr(r),
se obtiene como se muestra a continuación:
fr(r) =
∫ 2π
0. . .
∫ 2π
0frφ(r,φ)dφ1 . . . dφm (6.18)
Sea M una variable aleatoria binomial que representa el número de mensajes re-
cibidos exitosamente al transmitirsem mensajes a través de un canal con correlación.
Además, sea E[M |m] = m la esperanza de M al enviarse m mensajes. Considere
la probabilidad de recibir k mensajes exitosos cuando se transmiten m mensajes,
denotada por P (M = k), para k = 0, 1, . . . ,m. La expresión de P (M = k) se obtie-
ne a partir de la probabilidad conjunta de las envolventes ri con respecto al límite
β =√
2σ2Nγ0, donde σ2
N es la potencia de ruido AWGN en el receptor y γ0 es el
umbral mínimo aceptable para la SNR.
Sea U = {r1, r2, . . . , rm} un conjunto de envolventes recibidas, entonces se de�ne
L = {V nl } al conjunto que contiene los subconjuntos de orden k de distintas com-
binaciones de U , con q =(mk
), n = 1, 2, . . . , q, y l = 1, 2, . . . , k. Cada subconjunto
V nl contiene k número de elementos, denotados por vnl . El complemento relativo de
V nl con respecto a U , denotado por V n
l , contiene (m − k) número de elementos,
denotados por wnl . En consecuencia, la expresión de P (M = k) es:
P (M = k) =
q∑n=1
Pr(V nl > β, V n
l < β)
(6.19)
donde V nl > β = vn1 > β, . . . , vnk > β indica k mensajes recibidos exitosamente,
V nl < β = wn1 < β, . . . , wnm−k < β se re�ere a (m− k) mensajes que no pudieron ser
recibidos, y Pr es la densidad de probabilidad acumulada de r, obtenida por medio
de integración de�nida de (6.18). La expresión de E[M |m] está dada por
m = E[M |m] =
m∑k=1
k P (M = k) = m (1− Pout(S)) (6.20)
donde el último término de la derecha en (6.20) es la esperanza de la distribución
binomial. Es decir, el valor medio de la probabilidad de outage Pout(S) queda deter-
66 CAPÍTULO 6. SINCRONIZACIÓN DE NODOS EN MOVIMIENTO
minada por
Pout(S) = 1− m
m. (6.21)
6.3.3.4 FDP Gaussiana del O�set de Reloj
Recordando la función de energía de�nida en (5.3) para el retardo medio dado
por (5.1), el problema de minimización de energía para perturbaciones Gaussianas
del o�set se escribe como:
Minimizar Ec(S,m, δ) tal quem
σ2V
=1
ε. (6.22)
Considerando (6.20) para el cálculo de la probabilidad de outage, el problema de
minimización descripto en (6.12) se transforma en
σ2V Tmε
d
dS
{S
[1− Pout(S)]2
} ∣∣∣∣S=Sopt
= 0 (6.23)
cuya solución determina la potencia de transmisión óptima Sopt para alcanzar
la relación de compromiso entre energía de sincronización y error de estimación del
o�set en una WSN.
A diferencia de los capítulos anteriores, en los cuales la probabilidad de outage era
calculada a partir de un modelo simpli�cado de usos de canales descorrelacionados,
en este capítulo se debe calcular Pout combinando (6.20) con (6.21), lo cual si bien
complica las operaciones matemáticas en tiempo real, presenta un grado de realismo
mucho más acertado en aplicaciones en los cuales los nodos están en movimiento
y se comunican a través de canales que experimentan desvanecimiento de pequeña
escala.
6.3.4 Resultados de las Simulaciones
En esta sección se describen los resultados de las características de red dadas
por la potencia de transmisión, el mínimo número de mensajes transmitidos y la
velocidad relativa entre los nodos.
La Figura 6.4 muestra la región de las características de red óptima en energía,
lo cual permite al diseñador de la red idear una WSN e�ciente en energía. El número
mínimo de mensajes transmitidos m es inversamente proporcional a la potencia de
transmisión S para S grande. Para valores pequeños de S y nodos que se mueven
lentamente m aumenta debido al efecto de la alta correlación del canal, lo cual está
en línea con los resultados presentados en [39]. A medida que la velocidad relativa
entre nodos aumenta, la correlación del canal disminuye y el problema se aproxima
CAPÍTULO 6. SINCRONIZACIÓN DE NODOS EN MOVIMIENTO 67
al caso del canal descorrelacionado investigado en el Capítulo 4. Debido a que la
función de Bessel J0 no tiende a cero cuando su argumento tiende a in�nito, el
problema nunca será igual al de un canal descorrelacionado ya que siempre habrá
una correlación residual debido al efecto de la velocidad relativa entre nodos, lo
cual se evidencia como una pequeña oscilación al variar la velocidad entre nodos
a potencia de transmisión constante. Sin embargo esto no es un impedimento para
aproximar el problema al caso descorrelacionado en aplicaciones prácticas.
La Figura 6.5 ilustra la relación de compromiso entre la energía de sincronización
y el número de mensajes transmitidos por nodos que se mueven a velocidad relativa
constante, para diferentes valores del error de sincronización ε. Para S �jo, la energía
de sincronización crece a medida que ε se incrementa. La Figura 6.6 compara el
límite inferior propuesto en este capítulo, obtenido a partir de la potencia óptima
que resuelve (6.23), con los resultados obtenidos en [39]. Se puede apreciar que la
energía total de a pares empleada en [39] está por encima de la cota inferior óptima
presentada en esta sección.
NúmerodeMensajesTransmitidos(m)
Potencia de Transmisión (S) [W]Velocidad entre Nodos (V) [m/s]
Núm. de Mensajes vs. Potencia de Transm. y Velocidad entre Nodos
Figura 6.4: Número de mensajes transmitidos vs. potencia de transmisión y velocidadrelativa entre nodos. Parámetros de la simulación: f = 2,4GHz, Tm = 3ms, Ts =80Tm, σ2
N = 7mW, σV = 1, γ0 = 5 dB, ε = 0,01.
6.3.5 Aplicación a Diseño de WSN
Considere una aplicación de seguimiento de nodos móviles los cuales están res-
tringidos en la energía que pueden consumir como se detalla en [56]. A cada nodo
68 CAPÍTULO 6. SINCRONIZACIÓN DE NODOS EN MOVIMIENTO
Figura 6.5: Energía de sincronización total Ec(S,m, δ) en función de la potencia detransmisión S. Parámetros de la simulación: f = 2,4GHz, v = 1m/s, Tm = 3ms,Ts = 80Tm, σ2
N = 7mW, σ2V = 1, γ0 = 5dB.
Figura 6.6: Comparación de la energía total de sincronización Ec(S,m, δ) entre [39]y la cota inferior aquí propuesta, en función de S. Parámetros de la simulación:f = 2,4GHz, v = 1m/s, Tm = 3ms, ρC = 0,4, σ2
N = 0,13mW, σ2V = 1, γ0 = 5dB,
ε = 0,05.
CAPÍTULO 6. SINCRONIZACIÓN DE NODOS EN MOVIMIENTO 69
se le asigna un presupuesto de energía, denotado por Esync, con el �n de sincroni-
zarse con sus pares. La Figura 6.5 muestra la familia de curvas que satisfacen una
determinado presupuesto de energía de sincronización, para diferentes valores de ε.
En este ejemplo, se tiene Esync = 37 mJ, ε = 10−2 y v = 1 m/s, entonces
para Ec(S,m, δ) = Esync, la Figura 6.5 muestra que se obtiene la solución energética
óptima cuando Sopt = 45 mW, conm = 150, siendo este último obtenido a partir de la
Figura 6.4. El tiempo de sincronización total, denotado por Tsync, se puede obtener
como Tsync , Ec(S,m, δ)/S; por lo tanto, Tsync = 37mJ/45mW ≈ 0, 82 mboxs.
Además, se consideran las limitaciones de tiempo dadas por el máximo tiempo de
sincronización aceptable, denotado por Tmax. Suponiendo que la aplicación impone
Esync = 37 mJ y Tmax = 0, 5 s, la Figura 6.5 muestra que se puede �jar Ec(S,m, δ) de
manera de satisfacer Tsync ≤ Tmax dentro de los límites impuestos por el presupuesto
de energía cediendo un 10% del error de sincronización, es decir, ε = 1, 1 × 10−2,
consecuentemente obteniendo S = 75 mW y m = 137.
6.4 Conclusiones
En este capítulo se ha mostrado el impacto en las relaciones de compromiso de
energía de sincronización y error de estimación de o�set que producen la distancia
entre nodos en el caso de nodos comunicándose en un canal con desvanecimiento de
gran escala descorrelacionado, y la contraparte de la velocidad relativa entre nodos
para el caso de un canal con desvanecimiento de pequeña escala con correlación.
Para el caso de usos de canal descorrelacionados con desvanecimiento de gran
escala, los resultados muestran que la distancia incrementa signi�cativamente la can-
tidad de mensajes requeridos para la misma potencia de transmisión de manera de
lograr el error de estimación objetivo. El efecto de la distancia entre nodos es domi-
nante en el caso de desvanecimiento de gran escala ya que la atenuación por pérdidas
de camino impactan negativamente en la probabilidad de éxito en la recepción de
los mensajes, razón por la cual es necesario transmitir más mensajes para lograr la
misma error de sincronización que en el caso en el que los nodos no están afectados
por los efectos de propagación. Es decir, en este escenario la distancia que separa los
nodos juega un papel preponderante en las relaciones de compromiso óptimas entre
energía y error de sincronización.
Para el caso de usos de canal correlacionados con desvanecimiento de pequeña
escala, la correlación del canal juega un papel importante para bajas velocidades
relativas entre nodos, ya que el nivel de correlación para estos casos es elevado,
disminuyendo el mismo a medida que la velocidad relativa entre los mismos se in-
70 CAPÍTULO 6. SINCRONIZACIÓN DE NODOS EN MOVIMIENTO
crementa, aproximándose el problema es este último escenario al caso de canales sin
correlación a los �nes prácticos.
El modelo propuesto proporciona una herramienta útil para que el diseñador de
una WSN pueda elegir la estrategia de sincronización que mejor se adapte a una
aplicación con limitaciones de energía con nodos en movimiento, comunicándose ya
sea mediante usos de un canal con desvanecimiento de gran escala descorrelacionado
o bien de pequeña escala correlacionado. Utilizando el modelo aquí presentado, se
puede obtener una solución óptima en energía mediante la regulación �na la potencia
de transmisión, el número de mensajes transmitidos y el error de sincronización limi-
tado por un presupuesto de energía de sincronización prede�nido. Para aplicaciones
en las cuales el tiempo de sincronización es crítico y se cuenta además con restriccio-
nes de energía, el número de mensajes transmitidos juega un papel predominante en
el tiempo de sincronización total, razón por la cual el error de sincronización deberá
ser elegido estratégicamente entre un conjunto de soluciones arrojadas por el modelo
propuesto.
Capítulo 7
Generalización de las Relacionesde Compromiso en Sincronizaciónde Nodos
7.1 Introducción
Como se explicó en los capítulos anteriores, la sincronización del tiempo se ha
convertido en una característica importante en el campo de las WSN para satisfacer
las demandas a nivel de aplicación tales como la fusión de datos, la gestión de la
energía y los mecanismos de prevención de colisiones que pueden experimentar los
nodos al competir por el acceso al medio inalámbrico. Las redes que contienen un
gran número de nodos se enfrentan a nuevos retos para cumplir con el requisito
de error de estimación objetivo ya que los sensores funcionan con un presupuesto
de energía limitado para �nes de sincronización. La necesidad de sincronización de
tiempo de alta e�ciencia energética ha sido un foco de investigación intenso tal
como se evidencia en la literatura existente en los últimos años. Un estudio reciente
publicado en [20] detalla los desafíos que se presentan en las WSN sin mantenmiento
y la inevitable necesidad de algoritmos de enrutamiento y procesamiento de datos
energéticamente e�cientes, aunque sin mencionar la existencia de una solución de
e�ciencia energética que se extienda a toda la red en lo que respecta al error de
estimación. Los autores de [7] resaltan la relación de compromiso subyacente entre la
energía consumida y la latencia de los datos, y proponen una técnica de recolección de
energía para mitigar las limitaciones de la aplicación. Los autores de [37] actualizaron
el protocolo PulseSync incluyendo consideraciones de e�ciencia energética, latencia
del mensaje y error de estimación en el proceso de sincronización. Sin embargo, tanto
las soluciones propuestas por [7] como [37] no han considerado optimalidad en las
relaciones de compromiso planteadas para las diversos requisitos de las aplicaciones,
71
72 CAPÍTULO 7. GENERALIZACIÓN
por lo que el problema en la literatura actual no está resuelto en forma óptima ni
genérica.
En este capítulo se presenta un modelo generalizado que proporciona soluciones
óptimas que pueden ser fácilmente adaptadas a diversas aplicaciones y con�gura-
ciones de red para lograr la sincronización e�ciente en energía entre los nodos que
componen una WSN, lo cual es una contribución al estado del arte.
Parte de los contenidos de este capítulo fueron publicados en [14].
7.2 Modelo de Sistema
Considere la WSN que se muestra en la Figura 7.1 la cual consiste en N nodos
desplegados al azar dentro de un área determinada. Suponga que todos los nodos de
la WSN bajo consideración son idénticos en sus propiedades y afectados por igual
nivel de potencia de ruido, lo cual es una hipótesis ampliamente adoptada en la
literatura [58, p. 37].
ui
uj
u1
u2
u3
d ij
Dijmax
Figura 7.1: Conexión de nodos vecinos en una red WSN genérica. El nodo ui estáconectado con el nodo uj ya que dij < Dijmax .
Sean ui y uj dos nodos ubicados en las posiciones espaciales {xi, xj} ∈ R3,
respectivamente, separados por una distancia Euclideana dij , ‖xi−xj‖2. SeaDijmax
el máximo radio de cobertura del nodo ui cuando se comunica con el nodo uj . Más
aún, sea Sij la potencia de transmisión emitida por el nodo ui cuando establece
comunicación con el nodo uj , y sea γ0j la sensibilidad del receptor del nodo uj . El
valor de Dijmax queda determinado por Sij y γ0j , así como también la condición del
canal de comunicación entre los nodos ui y uj . De esta forma, se dice que el nodo uiestá conectado con el nodo uj si Di ≥ dij .
Si dos nodos ui y uj están conectados, de ahora en adelante serán denominados
vecinos. El concepto de nodos vecinos será abordado en mayor detalle en el Capítulo
9, pero por el momento considere que dos nodos vecinos siempre se comunicarán
entre sí.
En este capítulo se adopta el modelo de grafo de una WSN como se de�ne en el
Apéndice A.2. Considere la situación en la cual el nodo uj estima el o�set del reloj
CAPÍTULO 7. GENERALIZACIÓN 73
del nodo ui, denotado por θij , mediante un intercambio de mensajes unidireccionales,
como es el caso del protocolo FTSP [45]. En un determinado instante de tiempo t,
el nodo ui transmite un mensaje modulado en la señal qij(t) a través de un canal
de desvanecimiento plano con ganancia compleja gij(t) como se de�nió en la Sección
6.3.2, y el nodo uj recibe yij(t) = gij(t) qij(t) + w(t), donde w(t) es un proceso
AWGN con potencia de ruido σ2N . La señal qij es recibida por el nodo uj con una
probabilidad de éxito dada por la probabilidad de outage del canal inalámbrico. Más
precisamente, el nodo ui envía mij número de mensajes al nodo uj , el cual recibe
exitosamente Mij número de mensajes, donde Mij ≤ mij .
La esperanza deMij , denotada por mij , está dada por mij = mij
(1− Poutij
)tal
como se muestra en (6.20), donde Poutij denota la probabilidad de outage del enlace
inalámbrico entre los nodos ui y uj .
En general, la probabilidad de outage es una función de la potencia de transmisión
Sij , la ganancia del canal gij , la sensibilidad del receptor γ0j , la potencia de ruido
σ2Nj en el receptor, el peso de la interconexión entre nodos aij (ver Apéndice A.2) y
la velocidad relativa entre sensores vij . Tal como se ha mencionado en los capítulos
anteriores, para estimadores Cramer-Rao e�cientes del parámetro θij , el error de
estimación incurrido por el nodo uj cuando estima el o�set de ui, denotado por εij ,
está dado por εij = σ2V /mij tal como se aprecia al considerar igualdad en (4.7),
donde σ2V es la varianza de la perturbación alrededor del valor real del o�set θij . De
esta manera, el error total de estimación en el nodo ui cuando estima localmente los
o�sets de sus nodos vecinos, denotado por εi, queda descripto por
εi ,∑j
εij =∑j
σ2V
mij
(1− Poutij
) ∀j ∈ V, j 6= i (7.1)
donde V = {1, 2, . . . , N} (ver Apéndice A.2). De esta manera, el parámetro εi deter-
mina el máximo error de sincronización con el que contribuye el nodo ui al procesar
un mensaje.
7.3 Optimización de Energía vs. Error de Estimación aNivel de Red
Recordando (6.22), la energía de a pares del nodo ui, de�nida como la función
de energía local media del nodo ui cuando se sincroniza con el nodo uj , está dictada
por Ecij = Sijmij δij , donde δij = Tm/(1− Poutij
)representa el tiempo medio
de entrega de cada mensaje, y Tm es la duración de cada mensaje. En general, el
nodo ui se sincronizará con (N − 1) nodos en la red, consumiendo una energía de
74 CAPÍTULO 7. GENERALIZACIÓN
sincronización total, denotada por Eci , igual a
Eci ,∑j
Ecij ∀j ∈ V, j 6= i. (7.2)
Siendo la energía un recurso escaso en las WSN, el objetivo es minimizar la
función de costo Eci usando técnicas de optimización convexa, como se detalla en
[11]. Adicionalmente, es necesario garantizar que la sincronización a nivel de red se
alcanza dentro de un margen de error tolerable, denotado por εmax. Entonces, se
puede plantear el siguiente problema:
Minimizar Eci tal que∑i
εi ≤ εmax ∀i ∈ V (7.3)
El objetivo es entonces encontrar los pares óptimos {Sij , εij} ∀i, j ∈ V, que resuelvenel problema de optimización convexa descripto por (7.3).
Una Solución Óptima y Rígida. De manera de simpli�car el problema de
optimización con restricciones de desigualdad, se puede encontrar una solución ópti-
ma para el problema (7.3) para el caso de restricciones de igualdad usando el método
de los multiplicadores de Lagrange, planteando
∇Eci = λ∇
(∑i
εi
)tal que
∑i
εi = εmax ∀i ∈ V (7.4)
donde λ ∈ R es el multiplicador de Lagrange, y ∇(·) se calcula con respecto a
todas las variables que componen la función de energía y para los (N − 1) vecinos
del nodo ui. A los parámetros aij , γ0j , σ2Ni y vij se los asume constantes y conocidos
por el diseñador de la red. Entonces, se cumple que
εij , εij(Sij) (7.5)
Poutij , Poutij (Sij) (7.6)
P ′outij ,dPoutijdSij
(7.7)
E′cij ,dEcijdSij
. (7.8)
De esta manera, (7.4) implica la minimización de cada componente de Eci , lo cual
utilizando la regla de la cadena para la derivada [2, p. 194] conduce a
E′cij = λ ε′ij (7.9)
CAPÍTULO 7. GENERALIZACIÓN 75
E′cij =σ2V TM
εij(1− Poutij
)2(
1−ε′ijSij
εij+
2SijP′outij
1− Poutij
). (7.10)
La ecuación (7.9) implica que aquellos términos en (7.10) que no contienen ε′ij deben
desaparecer, entonces
2SijP′outij = 1− Poutij . (7.11)
Sea Sijopt la potencia de transmisión óptima que resuelve (7.11). Entonces, de (7.9)
y (7.10) se desprende que el error de pares óptimo para el enlace que une los nodos
ui y uj , denotado por εijopt , está dada por
εijopt =
√√√√− Sijopt
λ(
1− Poutij (Sijopt))2σ2V TM
. (7.12)
El valor de λ en (7.12) se obtiene reemplazando cada error de estimación óptima de
a pares εijopt en la restricción de sumatoria mostrada en (7.4) y resolviendo para λ,
es decir
λ = − 1
ε2max
∑i
∑j,j 6=i
√√√√ Sijopt(1− Poutij (Sijopt)
)2σ2V TM
2
. (7.13)
Nótese en (7.13) que λ < 0 para valores no-negativos de Sijopt , lo cual permite en-
contrar soluciones en el dominio de los reales para (7.12).
Una Solución Subóptima y Flexible. En la práctica, es posible que los
sensores de una WSN no puedan sintonizar �namente la potencia de transmisión
de sus transceptores al valor exacto de Sijopt debido a limitaciones constructivas de
los mismos. Por este motivo, es útil encontrar y caracterizar soluciones �exibles que
sean adecuadas a diferentes escenarios realísticos. Más precisamente, las restricciones
de desigualdad mostradas en (7.3) se pueden alcanzar a una energía constante y
prede�nida Ecij , lo cual implica que ∇Eci = 0 a lo largo del conjunto de soluciones
{Sij , εij(Sij)} para todo i, j ∈ V, o lo que es lo mismo
E′cij =∂Ecij∂Sij
+∂Ecij∂εij
ε′ij = 0. (7.14)
Luego de simples operaciones matemáticas, (7.14) conlleva a
ε′ij =1
Sij+
2P ′outij1− Poutij
εij , εij(Sijopt) = ξij εijopt (7.15)
donde Sijopt es una potencia de transmisión de referencia que determina la condición
76 CAPÍTULO 7. GENERALIZACIÓN
inicial del error de estimación, dada por εijopt ξij . Al problema descripto por (7.15) se
lo conoce como el Problema del Valor Inicial para sistemas no lineales, en el campo
de los sistemas dinámicos (ver Apéndice A.6).
La existencia y unicidad de la solución de (7.14) se puede probar a través del
Teorema Fundamental de Existencia y Unicidad para sistemas no-lineales [52, p. 71].
Usando separación de variables, la solución de (7.15) es
εij(Sij) = εijopt ξijSijSijopt
[1− Poutij (Sijopt)1− Poutij (Sij)
]2
(7.16)
donde ξij es un grado de libertad del error de estimación de a pares e�ciente en
energía, la cual está en el rango ξ ∈ (0, 1].
De manera de asegurar el cumplimiento de la restricción (7.3), se debe limitar
εij(Sij) a εijopt . Nótese que ξij = 1 corresponde a la solución óptima encontrada
a partir del método de Lagrange encontrado anteriormente en (7.12), mientras que
decrementar ξij permite variar la potencia de transmisión Sij y el error de estimación
εij en un rango cuya amplitud está dada por ξij , para energía de sincronización
constante.
La restricción de desigualdad impuesta por (7.3) puede también resolverse por
el método de optimización de Karush-Kuhn-Tucker (KKT) [11, p. 243] en el cual se
convierte a la desigualdad en una serie de restricciones de igualdad y desigualdad, y
se resuelve el sistema resultante en forma iterativa, encontrando potenciales solucio-
nes factibles hasta encontrar la solución óptima. En esta tesis no se investigará dicho
método dado que su aplicación a sistemas en tiempo real con restricción de ener-
gía, tal como lo es una red WSN, suele ser impráctica por motivos de complejidad
algorítmica y tiempos de convergencia hacia la solución [44, p. 99].
7.4 Ejemplo de Aplicación
Considere la WSN mostrada en la Figura 7.1 con N = 5 nodos designados ui, con
i ∈ V = {1, 2, ..., N}, dispuestos aleatoriamente en una esfera de radio r = 6m. Las
tolerancias en las posiciones espaciales de los nodos se modelan con una distribución
normal de media cero y desvío estándar σd = 0,03m.
Se asume que los nodos se comunican en un canal inalámbrico que experimenta
pérdidas de camino combinadas con efectos de desvanecimiento Rayleigh descorre-
lacionado. Usando el modelo de canal simpli�cado (ver Apéndice A.3.1), la potencia
recibida por el nodo uj cuando el nodo ui actúa como transmisor, denotada por SijR ,
es igual a SijR = K aijSij , donde K es una constante adimensional, siendo entonces
CAPÍTULO 7. GENERALIZACIÓN 77
la probabilidad de outage del canal [29, p. 169]
Poutij (Sij) = 1− exp(−γ0j
γSij
)≈ 1− exp
(−
γ0jσ2N
K aijSij
)(7.17)
donde la magnitud adimensional γ0j representa la SNR mínima aceptable por el
receptor. La potencia de transmisión Sij y la potencia de ruido σ2N en (7.17) están
expresadas en Watt. La potencia de fuentes interferentes se asume incluida en el
parámetro σ2N .
Reemplazando (7.17) en (7.11) se obtiene
Sijopt = 2σ2Nγ0j/(K aij). (7.18)
De esta manera, cada valor εijopt se obtiene reemplazando el valor de Sijopt dado por
(7.18 ) en (7.12) y (7.13).
La Figura 7.2 muestra los resultados de las simulaciones utilizando el método de
Monte Carlo para los errores de estimación de a pares para el nodo u1 cuando se
sincroniza con los nodos u2 a u5. Las áreas sombreadas en esta �gura muestran la
región en la cual cada error de estimación de a pares puede ser variada libremente,
mediante el parámetro ξij , sin comprometer la restricción de error de estimación a
nivel de red, a lo largo de una región limitada superiormente por εijopt . Asimismo,
nótese que el error de estimación de a pares alcanza un mínimo para el valor de
potencia Sijopt . Para potencias de transmisión Sij constantes, la energía de sincro-
nización requerida puede reducirse aún más a expensas del error de estimación εij .
La distancia de a pares de entre nodos juega un papel preponderante en la determi-
nación de los mínimos de error de estimación y potencia de transmisión óptima: al
aumentar la distancia entre pares, la optimización sugiere que la potencia de trans-
misión se incremente, de manera de poder compensar las pérdidas por atenuación de
camino introducidas por la distancia, al tiempo que asigna un error de estimación de
a pares mayor de manera de no penalizar doblemente el esfuerzo energético realizado
por los nodos lejanos al entablar la comunicación.
La Figura 7.3 ilustra la energía de sincronización de a pares en función de la
potencia de transmisión y el error de estimación. Para favorecer la claridad de la
explicación, y sin pérdida de generalidad, sólo se muestra la energía para el par u1-
u3. Es importante notar que, para un dado ξij , la energía de sincronización permanece
constante a través de las soluciones de (7.16), lo cual puede interpretarse como curvas
de nivel de la energía de sincronización.
78 CAPÍTULO 7. GENERALIZACIÓN
Error
Error
Figura 7.2: Error de sincronización óptimo entre el nodo u1 y sus nodos vecinos.
Figura 7.3: Curvas de nivel de energía de sincronización para el par u1-u3.
7.5 Conclusiones
El modelo generalizado que presentado en este capítulo contempla los paráme-
tros principales que dominan la sincronización e�ciente en energía en una WSN. Las
soluciones propuestas, apoyadas por resultados de simulaciones, muestran cómo re-
gular �namente tanto la potencia de transmisión entre pares de nodos como el error
de estimación local para cada nodo de la red, con el �n de satisfacer el requisito de
CAPÍTULO 7. GENERALIZACIÓN 79
error de estimación global a nivel de red de una manera e�ciente en energía. Es im-
portante destacar que el modelo de sistema utilizado se basa en una WSN genérica,
sin particularizar el tamaño o topología de la red, lo cual hace que sea una herra-
mienta poderosa para el diseño de algoritmos de sincronización de WSN e�cientes
en energía.
Los resultados muestran que es posible utilizar una potencia de transmisión de a
pares determinada rígidamente por el requisito de error de sincronización, a partir de
una curva óptima de error de sincronización vs. potencia de transmisión. De manera
de contemplar el caso práctico en el cual los transmisores solamente puedan regular
sus potencias de transmisión de a pasos discretos, es posible relegar cierto error de
sincronización hasta un límite impuesto por un valor máximo de la misma tal que no
se comprometa el error de sincronización global de la red, de acuerdo por las curvas
arrojadas por el modelo aquí presentado.
La importancia de este método yace en el hecho que una red puede ser geomé-
tricamente diseñada a partir de los requisitos de energía vs. error de sincronización,
o bien se puede presentar el caso inverso en el cual la geometría de la disposición de
los nodos de una red viene dada por la aplicación y se puede utilizar este modelo de
sistema para resolver el problema de sincronización de forma óptima para toda la
red.
80
Capítulo 8
Prevención de Fallas en una WSN
8.1 Introducción
En los capítulos anteriores el foco principal fue la búsqueda y obtención de cotas
óptimas para el problema de sincronización e�ciente en energía, para diversos escena-
rios de desvanecimiento de canal, topología de red y requerimientos de la aplicación.
En este capítulo se investiga un tema que está íntimamente relacionado con la con-
�abilidad de una red, donde se evidencia la importancia de la correcta gestión de los
recursos energéticos de los nodos que componen la WSN de manera de prevenir la
ocurrencia de fallas.
Como ya se ha discutido en los capítulos anteriores, la energía es un recurso
importante en una WSN. La mayoría de las aplicaciones de WSN cuentan con un
presupuesto de energía limitada, lo que repercute en las métricas de �abilidad, como
puede ser por ejemplo el máximo error de sincronización realizable. Por esa razón, la
energía debe ser administrada cuidadosamente por el diseñador de la red de sensores
a lo largo de toda su vida útil. Sin embargo, el hecho que los nodos de una red
tengan un probabilidad de falla no nula pone en peligro tanto la �abilidad como
la disponibilidad de la red, por lo que debe proveerse un mecanismo que asegure
una disponibilidad de la red objetivo, al tiempo que cumpla con los estándares que
demanda de la aplicación.
Varios artículos como por ejemplo [10, 63, 46, 32] han abordado la cuestión de la
con�abilidad de una red WSN pero ninguno de ellos ha tenido en cuenta el equilibrio
existente entre la disponibilidad de la red, la tasa de transmisión de mensajes y el
consumo de energía. Como ya se ha explicado en los capítulos anteriores, en una
WSN la potencia de transmisión determina la probabilidad de outage del canal de
comunicación para un determinado conjunto de condiciones de ruido y velocidad
relativa entre nodos.
81
82 CAPÍTULO 8. PREVENCIÓN DE FALLAS
En este capítulo se presenta un modelo matemático que permite al diseñador de
red asegurar la �abilidad y la disponibilidad de red objetivo a través de la introduc-
ción de una relación de compromiso entre la tasa de transmisión de mensajes y la
estimación de la probabilidad de outage, para nodos comunicándose a tasa de men-
sajes constante a través de un canal inalámbrico con desvanecimiento de pequeña
escala.
Parte de los contenidos de este capítulo fueron publicados en [18].
8.2 Modelo de Sistema
8.2.1 Consideraciones Generales
Considérese una WSN con topología en estrella en la que N nodos intercambian
información cíclicamente con el nodo cabeza de clúster, denotado por u1, a tasa de
transmisión de mensajes constante, denominada R, como se muestra en la Figura
8.1. Cada nodo de la red tiene la misma energía inicial E0 y es constructivamente
igual a los nodos sensores restantes.
Se asume también que los nodos dentro de un mismo cluster implementan un
esquema de Acceso Múltiple por División de Tiempo, en inglés Time Division Multi-
ple Access (TDMA) [29, p. 8], que permite el acceso al medio sin competencia entre
nodos, y evitando de esta forma la colisión de mensajes. Para implementar TDMA,
es necesario primero tener un esquema de sincronización que permita de�nir el con-
cepto de tiempo entre los nodos, como se explica en [21]. La cabeza de cluster u1
sirve de nodo intermediario o gateway en los nodos de los clusters 1 y 2.
ub u1
uau2
u3
u4
u5
uc
u8
u6
u10
u9
u7
cluster 1 cluster 2
Figura 8.1: Topología estrella de una red WSN con nodo coordinadores ub y uc, ycabeza de cluster u1.
Sea ub un nodo coordinador responsable de controlar el error del enlace de co-municación entre los nodos dentro de un único dominio de broadcast; siendo esencial
CAPÍTULO 8. PREVENCIÓN DE FALLAS 83
para el correcto funcionamiento del sistema propuesto, se espera que los nodos coor-dinadores estén alimentados en forma continua y conectados a la red eléctrica, conmantenimiento regular o con la energía su�ciente para realizar sus actividades desupervisión sin estar limitado energéticamente para cumplir sus tareas. Adicional-mente se supone que estos nodos cuentan con redundancia, es decir, si los mismosfallan, existe otro nodo que puede retomar su funcionalidad de forma transparentea la aplicación.
El número esperado de mensajes recibidos con éxito por el nodo coordinador ub,denotado por m, dependerá de la probabilidad de outage Pout del canal. Como yase describió en capítulos anteriores, la probabilidad de outage es una función de lapotencia de transmisión S. En la mayoría de las aplicaciones, Pout está limitada alrango 10−5 ∼ 10−1, con un valor típico de Pout = 0,01, es decir Pout � 1 [29, p. 46].
La asignación de potencia máxima permisible por transmisión de mensaje de cadasensor está determinada por sus parámetros de construcción, así como probabilidadde outage objetivo a la cual se espera que trabaje la red. El número total de respuestascompletadas con éxito por cada sensor está limitada por la tasa de transmisión demensajes R y la ventana de observación Tw del nodo coordinador. Para justi�carla robustez del modelo propuesto, también se consideran perturbaciones de ruidoAWGN al obtener la SNR recibida instantánea, asumiendo que las característicasde ruido de canal permanecen constantes durante ventana de observación del nodocoordinador, y es igual para todos los nodos dentro del mismo cluster; la potenciade fuentes interferentes se supone pequeña e incluida dentro de la potencia de ruidoσ2N .En este capítulo, se propone un esquema en el que un nodo coordinador produce
un estimación Pout de la probabilidad de outage para usos de canal afectados pordesvanecimiento de pequeña escala no correlacionados, al tiempo que el mismo regulala potencia de transmisión de cada nodo del cluster con el �n de garantizar en formasimultánea la probabilidad de outage objetivo para cada sensor y la disponibilidadglobal de red, denotada por α, dentro de límites preestablecidos.
La estrategia de control propuesta anticipa una falla en los nodos cabeza decluster y recon�gura la red anticipándose a la falla, planteando una relación decompromiso entre la tasa de transmisión de mensajes R y el correspondiente errorde estimación ε del parámetro de interés de la aplicación, por ej. el o�set de relojentre nodos, dados Pout y α.
8.2.2 Estimación de la Probabilidad de Outage
Como se muestra en el Apéndice A.9, para usos de canal descorrelacionados conefectos de desvanecimiento de pequeña escala la probabilidad de outage es
Pout = 1− exp
(−γ0σ
2N
S
)(8.1)
donde γ0 es la sensibilidad del receptor y σ2N es la potencia de ruido en el canal, la
cual se supone conocida. Debido a que el objetivo es trabajar alrededor de pequeñosvalores de la probabilidad de outage, es decir γ0σ
2N/S � 1, se puede hacer la siguiente
84 CAPÍTULO 8. PREVENCIÓN DE FALLAS
aproximación:
Pout ≈γ0σ
2N
S. (8.2)
El nodo coordinador observa el número de mensajes recibidos exitosamente, denotadopor M , a lo largo de una ventana de observación Tw, desconociendo el número demensajes transmitidos originalmente por el nodo transmisor, denotado por m. Unaestimación de m, denotada por m, se puede realizar, con conocimiento previo de latasa de mensajes R, como se muestra a continuación:
m = TwR. (8.3)
Usando (8.3) y reemplazando m por su estimación m, se puede obtener unaestimación de Pout, denotada por Pout, como se muestra a continuación:
Pout = 1− M
m= 1− M
TwR. (8.4)
Usando (4.1), la esperanza de M en un canal descorrelacionado es:
m , E[M]
= m (1− Pout). (8.5)
8.3 Tiempo de Vida vs. Potencia de Transmisión de unNodo
8.3.1 Modelo de Sistema de Control
La interacción entre el nodo coordinador ub y cada uno de los nodos restantesui, i = 1, 2, . . ., en el mismo dominio de broadcast que ub puede modelarse como unsistema de control en el cual la respuesta impulsiva de la planta, denotada por h(t),modela el comportamiento de cada nodo ui y los efectos del canal de comunicacióndel enlace inalámbrico, mientras que los bloque controlador y realimentación residenen el nodo coordinador del cluster (nodos ub y uc en la Figura 8.1).
La Figura 8.2 muestra la probabilidad de outage objetivo o setpoint Pout, laestimación de la probabilidad de outage Pout y la señal de error ∆Pout.
C h(t)∆S
F
Pout ∆Pout M−
Pout
nodo coordinador
nodo ui + canal
Figura 8.2: Problema de estimación modelado como un sistema de control.
CAPÍTULO 8. PREVENCIÓN DE FALLAS 85
La función de transferencia del controlador, denotada por C, se de�ne como
C ,∆S
∆Pout. (8.6)
El controlador C puede implementar una banda de tolerancia, o en inglés dead-band,de manera de solamente reaccionar a desviaciones de |∆Pout| > δ/2, donde δ > 0 esel error máximo tolerable en estimación de la probabilidad de outage. La función dede transferencia del realimentador, denotada por F , está dada por
F ,Pout
M. (8.7)
De (8.2), el nodo coordinador ub puede estimar la potencia de transmisión de cadanodo ui en el cluster 1 como sigue:
S =γ0σ
2N
Pout. (8.8)
Usando (8.8), la función de transferencia del controlador C puede ser reescrita como
C = − 2S2
γ0σ2N
. (8.9)
El lazo de control mostrado en la Figura 8.2 se usa para controlar el valor de laestimación de la probabilidad de outage Pout igual al valor objetivo de la probabilidadde outage Pout. Además, esta estrategia de control puede ser utilizada para equilibrarla potencia de transmisión de los nodos, contemplando la atenuación por pérdidasde camino si es que es relevante, balanceando así el gasto energético de los nodos enla WSN, e igualando consecuentemente sus tiempos de vida medio.
El algoritmo de control de probabilidad de outage debe contemplar que la esti-mación a priori de la potencia de transmisión estará sujeto a un tiempo transitorioinicial durante la misma será inexacta debido a la falta de muestras representativas.De esta forma, el algoritmo de control debe contemplar la condición inicial de manerade no incurrir en problemas de inicio del programa.
8.3.2 Energía y Tiempo de Vida de un Nodo
Para cada nodo ui, la energía total en un instante de tiempo t dado, denotadapor ET (t), está dada por
ET (t) = E0 + EH(t)− Ec(t) (8.10)
donde E0 es la energía inicial del nodo, EH(t) es la energía capturada (en casoque el nodo tenga mecanismos de captura de energía) y Ec(t) es la energía consumidaen función del tiempo. Por razones de simplicidad, y sin pérdida de generalidad, seanaliza el caso en el que no hay mecanismo de captura de energía en los nodos,es decir EH(t) = 0, aunque el modelo aquí presentado se puede aplicar también al
86 CAPÍTULO 8. PREVENCIÓN DE FALLAS
caso en el cual la WSN tenga nodos con capacidad de captura de energía. La energíaconsumida Ec(t) es una función lineal de la potencia de transmisión media, denotadapor Savg, así como también del producto de la tensión de operación, denotada porVdd, y la corriente de polarización, denotada por Iq. Es decir,
Ec(t) = Savgt+ VddIqt (8.11)
donde Savg está dada porSavg = TmR S (8.12)
siendo Tm < 1/R la duración del mensaje. Entonces, usando (8.11) y (8.12), (8.10)se puede reescribir como
ET (t) = E0 + EH(t)− (TmR S + VddIq)t. (8.13)
El tiempo de vida de un nodo, denotado por tlt, se de�ne como el tiempo que letoma al mismo alcanzar un valor mínimo de energía, denotado por Emin, debajo delcual el correcto funcionamiento del nodo ya no puede garantizarse. La expresión detlt se obtiene para ET (tlt) = Emin, o lo que es lo mismo
tlt =E0 + EH − EminTmR S + VddIq
. (8.14)
Regularmente, el nodo coordinador emite un comando de ajuste de potenciade transmisión para los demás nodos de manera de cumplir con la probabilidadde outage objetivo al tiempo que asegura que las energías de los nodos no caiganpor debajo de su valor mínimo aceptable. Es decir, la responsabilidad del nodocoordinador es resolver tomar las siguientes decisiones para cada nodo en su cluster:
S(k) = S(k − 1) + ∆S(k), si |∆Pout(k)| > δ/2 (8.15)
Recon�gurar la red, si tlt(k) = tmin o si timeout = 1 (8.16)
donde k es el índice del instante tiempo tk en el cual se realiza la evaluación delalgoritmo de control, S(k) es la potencia estimada en el instante tk del nodo siendocontrolado, tlt es el tiempo de vida remanente de la cabeza de cluster, y tmin esel umbral de decisión de tiempo de vida mínimo para recon�gurar la red, es decircambiar el rol de cabeza de cluster de u1 a ua como se muestra en la Figura 8.1. A lavariable timeout en (8.16) se asigna el valor 1 cuando el nodo en cuestión no emitemensajes luego de una ventana de tiempo determinada por la aplicación, indicandoque el mismo puede haber fallado inesperadamente.
El umbral tmin debe cumplir tmin > trt, donde trt denota el tiempo de recon�-guración de la red. Es decir, el nodo que está por fallar debe sobrevivir hasta que lared pueda recon�gurarse para evitar la interrupción en el �ujo de datos en la misma.En una implementación real, la comparación tlt(k) = tmin puede realizarse con unahistéresis de manera de resolver la igualdad con una cierta banda de tolerancia, esdecir |tlt(k)− tmin| < ξ, para algún pequeño valor de ξ > 0.
La ecuación (8.15) se alcanza a través de un lazo de control como se muestra enla Figura 8.2. El mecanismo para implementar (8.16) se detalla en la Sección 8.3.3.
CAPÍTULO 8. PREVENCIÓN DE FALLAS 87
8.3.3 Disponibilidad de Red vs. Error de Estimación
De manera de evitar la interrupción del �ujo de datos en la red, el tiempo devida restante del nodo cabeza de cluster debe ser mayor que el tiempo de recon�-guración de la red trt, permitiendo así que tanto la recon�guración de la red comoel �ujo de datos ininterrumpido sea factible. La probabilidad de falla, determinadapor Pr (tlt < tmin), se puede calcular como
Pr (tlt < tmin) = 1− α (8.17)
donde α < 1 especi�ca la disponibilidad de red objetivo. La derivación de Pr (tlt < tmin)se muestra en el Apéndice B.2.
La forma expresión compacta de la probabilidad de falla viene dada por
Pr (tlt < tmin) = 1−bB(R)c∑k=0
(bmck
)(1− Pout)k (Pout)
bmc−k (8.18)
con
A(R) ,1
RTm
(E0 + EH − Emin
tmin− VddIq
)B(R) , RTw
(1−
γ0σ2N
A(R)
)(8.19)
como se muestra en el Apéndice B.2. Debido a que el objetivo �nal de la WSN esmonitorear y controlar un conjunto de parámetros de�nidos por la aplicación (por ej.,la temperatura en un ambiente, el o�set del reloj en un esquema de sincronización,etc.), el error de la estimación de cada parámetro relevante depende del númeropromedio de mensajes recibidos exitosamente m. Como ya se ha discutido en elCapítulo 4, la mínima varianza de la estimación, denotada por σ2
θ(m), cuando seestima el parámetro θ con un estimador insesgado Cramer-Rao e�ciente está dadapor:
σ2θ(m) ,
σ2V
m< ε (8.20)
donde σ2V es la varianza de la perturbación que altera el valor medido de θ, y el
término de la derecha en (8.20) es el error de estimación objetivo ε. Operando con(8.4), (8.5) y reemplazando m por su estimación m, se puede reescribir (8.20) como
(1− Pout)R >σ2V
ε Tw. (8.21)
De (8.18) y (8.21) se observa que la tasa de transmisión de mensajes R y la pro-babilidad de outage del canal Pout pueden regularse cuidadosamente de manera dealcanzar la disponibilidad de red objetivo α y el error de estimación ε. Llevando(8.21) a un límite de igualdad, (8.18) se puede expresar como
bB(R)c∑k=0
(b(RTw)c
k
)(σ2V
ε Tw R
)k (1−
σ2V
ε Tw R
)b(RTw)c−k= α. (8.22)
88 CAPÍTULO 8. PREVENCIÓN DE FALLAS
La solución de (8.22), denotada por Rs, se puede encontrar usando métodos nu-méricos. En un nodo inmerso en una aplicación real, esto puede signi�car incluiruna tabla de búsqueda, del inglés lookup table, para determinar cuál es la soluciónpráctica más cercana, de manera de evitar grandes esfuerzos en cómputo en tiemporeal.
Usando (8.21) y la solución de (8.22), el setpoint de la probabilidad de outagePout se obtiene a partir de
Pout <
(1−
σ2V
εRs Tw
)H
(1−
σ2V
εRs Tw
)(8.23)
donde H(·) es la función de Heaviside, de�nida en el Apéndice A.8.4.
8.4 Resultados de las Simulaciones
En esta sección, se considera que los sensores están alimentados a batería conuna energía inicial de E0 = 15kJ, un valor típico de las baterías AA, con una tensiónde operación de Vdd = 3V y corriente de polarización Iq = 10µA [68]. La duraciónde cada mensaje es de Tm = 3ms, la potencia de ruido del canal es σ2
N = 7mW, lavarianza de las mediciones del parámetro a estimar es σ2
V = 1, y la sensibilidad delreceptor es γ0 = 5dB. Todos estos parámetros se mantienen constantes a lo largo delas simulaciones desarrolladas en esta sección.
La Figura 8.3 muestra la dependencia del tiempo de vida tlt de un nodo conla probabilidad de outage Pout, para diferentes tasas de transmisión R. El valor detlt está expresado en días, durante los cuales los nodos están transmitiendo datoscíclicamente a una tasa de mensaje R con potencia de transmisión S ajustada por elnodo coordinador de manera de lograr el objetivo de probabilidad de outage Pout. Amedida que Pout crece (es decir, la potencia de transmisión S decrece para potenciade ruido constante σ2
N ), el tiempo de vida de los nodos crece debido a un decrementoen la energía consumida. Aún más, incrementar R hace que se incremente el consumode energía promedio, reduciéndose el tiempo de vida del sensor. Es importante aclararque el hecho que Pout decrezca con R no contradice a (8.21) ya que la desigualdadallí establecida no signi�ca una dependencia entre las dos magnitudes sino una cotaque debe cumplirse para lograr el error de estimación ε.
La Figura 8.4 ilustra la relación entre el valor objetivo o setpoint de la probabili-dad de outage Pout y la tasa de mensajesR para diferentes valores de la disponibilidadα. Para un dado α, a medida que R crece se recibe más mensajes por período deobservación, pero también la energía consumida crece más rápido por la mayor tasade mensajes, razón por la cual se debe trabajar a una menor probabilidad de outagePout para producir una estimación más veloz del tiempo de vida restante de los nodosde la red. Esto también implica que el número de mensajes recibidos exitosamenteM crece y consecuentemente se mejora el error de la estimación ε. Sin embargo,disminuir Pout e incrementar R simultáneamente causa un doble incremento en laenergía consumida, razón por la cual las familias de curvas para diferentes valoresde α trabajan a una mayor Pout para α decreciente. Es claro entonces que existe una
CAPÍTULO 8. PREVENCIÓN DE FALLAS 89
relación de compromiso entre el error de estimación ε y la disponibilidad de la redα, como se muestra en la Figura 8.5 para diferentes valores de R.
0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10
10
20
30
40
50
60
Outage probability (Pout)
Sensorlifetime[days]
R = 2
R = 3
R = 4
R = 5
Figura 8.3: Tiempo de vida tlt de un sensor en función de la probabilidad de outagePout, para diferentes tasas de mensajes R.
10 20 30 40 50 60 70 800
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
0.12
0.14
0.16
0.18
0.2
Message Transmission Rate (R) [msg/sec]
OutageProbability(Pout)
α = 0.95
α = 0.99
α = 0.995
α = 0.999
Figura 8.4: Setpoint de la probabilidad de outage Pout en función de la tasa demensajes R, para diferentes valores de la disponibilidad de red α, y ε = 10−2.
90 CAPÍTULO 8. PREVENCIÓN DE FALLAS
0.9 0.91 0.92 0.93 0.94 0.95 0.96 0.97 0.98 0.990.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
0.4
R = 2
R
R
R
Error
Figura 8.5: Error de estimación ε en función de la disponibilidad de red α, paradiferentes tasas de mensajes R.
8.5 Conclusiones
En este capítulo se presentó una estrategia de control de prevención de fallasnovedosa para aplicaciones con WSN. Los resultados presentados constituyen unaherramienta útil a la hora de diseñar aplicaciones restringidas en energía, error deestimación y disponibilidad de red.
En el modelo propuesto, el nodo coordinador estima el número de mensajes trans-mitidos para cada nodo dentro de un cluster, y controla la probabilidad de outagede los enlances entre cada nodo y el coordinador, controlando en forma indirecta suspotencias de transmisión y eventualmente sus energías remanentes.
La disponibilidad de red deseada u objetivo se alcanza mediante estimación ycontrol del tiempo de vida de los nodos claves de cabeza de cluster de la red, demanera de mantener sus energías por encima de un nivel mínimo aceptable por laaplicación, al tiempo que se cumplen los requerimientos de error de estimación de lamisma. En el caso en el que el tiempo de vida estimado de un nodo cabeza de clusteralcance su umbral mínimo de energía, la red se recon�gura de manera de garantizarla continuidad del �ujo de datos.
Capítulo 9
Algoritmo Propuesto paraSincronización E�ciente enEnergía en WSN
9.1 Introducción
Como se ha explicado en capítulos anteriores, las WSN han sido objeto de unaintensa investigación en los últimos años. El hecho de que estén intrínsecamente dise-ñadas para operar con bajo consumo de energía, baja capacidad de procesamiento enlos nodos, plantea un desafío al procesar y estimar datos en tiempo real y con el errordeseado. Por otra parte, debido a que las aplicaciones son cada vez más complejas,el alto número de nodos totales desplegados en una WSN agregan complejidad a laelaboración de una estrategia de e�ciencia energética para asegurar la sustenabilidadde la WSN en su conjunto, y particularmente maximizar el tiempo de vida de cadanodo, al tiempo que se mantiene su rendimiento a valores aceptables.
Un aspecto clave de una WSN que le permite alcanzar su objetivo de tiempode vida es la sincronización de tiempo, lo que permite la fusión de datos, esquemasde multiplexación en el tiempo de la radio-operación de cada nodo y asimismo laoptimización del uso de la energía a través de la implementación de esquemas debajo consumo. Una red que no logra controlar su gasto energético en su conjuntoestá destinada a salir de operación prematuramente, siendo la gestión energética unaprioridad clave en el proceso de diseño de una WSN. Aún así, la sincronización detiempo conduce a un gasto de energía inevitable que retribuye al diseñador de redcon un poderoso mecanismo para el control de la energía una vez que el procesode sincronización alcanza un grado aceptable de error. Normalmente el proceso desincronización se divide en dos etapas: en primer lugar, una etapa de descubrimientode red, es decir, una fase en la que los nodos conocen sus vecinos y construyenuna representación de sus vecinos en la red, lo que conduce a una subdivisión de lared denominada agrupación o clustering, lo cual permite gestionar la red completamediante la reducción del tamaño del problema a unos pocos número de nodos encada cluster; y en segundo lugar, una vez �nalizada la fase de descubrimiento de red,
91
92 CAPÍTULO 9. ALGORITMO PROPUESTO
se ejecuta una etapa de formación de la red con el �n de organizar los nodos de laWSN en grupos, algunos de los cuales se superponen entre sí para garantizar que laconectividad de red sea transparente e ininterrumpida
El proceso de sincronización involucra el intercambio de un número de mensajesentre cada par de nodos en un cluster determinado hasta que el error de la sincro-nización se controla a un nivel deseado para cada uno de los clusters en la WSN,y, eventualmente, para toda la red. La energía empleada para la sincronización de-pende de las características de desvanecimiento del canal inalámbrico, la disposicióngeográ�ca de los clusters, y en consecuencia el grado de redundancia necesaria paragarantizar que los mensajes sean recibidos con éxito por todos los nodos a lo largo delproceso de sincronización. Es en esta etapa que el uso de mensajes de temporizacióncodi�cados con la técnica de codi�cación de red o network coding para compensar elefecto de la probabilidad de outage del canal es una opción atractiva para mejorarel proceso de estimación de clock. Además, la WSN puede ser pensada como unsistema dinámico cuya respuesta temporal de la energía total depende principalmen-te de la energía empleada en el proceso de intercambio de mensajes, la cual puedeser controlada mediante la aplicación de una estrategia de control adecuada a talpropósito.
Desde que aparecieron los primeros protocolos de sincronización de WSN talescomo RBS, TPSN y PBS, se destinó mucho esfuerzo de investigación a desarrollaralgoritmos de sincronización de WSN e�cientes en energía en un intento de proveerde mecanismos que no sólo alcancen el error de sincronización requerida por la apli-cación sino que también sean soluciones que contemplen al consumo energético enel algoritmo de sincronización mismo. Como se ha probado en los Capítulos 4 a 7,existen límites óptimos en energía para el problema de sincronización de WSN, enlos cuales la energía empleada en el proceso de sincronización se debe balancear conel error de sincronización lograda, para diferentes condiciones de topología de red yestado del canal inalámbrico.
Trabajos recientes como por ej. [69] discuten la necesidad de estrategias de sin-cronización e�cientes en energía que consideren el gasto energético y el retardo en elproceso de sincronización para una red multi-hop clusterizada. En [66], los autores seenfocan en la recolección de gran cantidad de datos en forma e�ciente en energía pro-veyendo un algoritmo de clustering que minimiza el número de clusters en la WSN,aunque no se enfocan en la estabilidad energética de la solución. Los autores de [38]usaron el concepto de estabilidad de Lyapunov [34, p. 111] aplicada a la estimaciónde información del estado del canal inalámbrico en forma e�ciente en energía, endetrimento del retardo de red. Aún más, el trabajo realizado en [40] investiga es-trategias de sincronización de WSN e�ciente en energía para redes heterogéneas, yel impacto que tiene la diversidad de los nodos en el error de estimación de clock,aunque el trabajo no hace referencia a la estabilidad energética de las soluciones.Por otra parte, los autores de [59] resumen los diferentes enfoques de sincronizaciónmencionando la existencia de la relación de compromiso entre error de sincronizacióny prevención de fallas, aunque no mencionan enfoques de sincronización e�cientes enenergía.
En resumen, la sincronización de WSN e�ciente en energía debe investigarse
CAPÍTULO 9. ALGORITMO PROPUESTO 93
en conjunto al problema de estabilidad energética de forma de garantizar el correctocomportamiento de la red desde un punto de vista energético, y es ésta la contribuciónde este capítulo al estado del arte, presentándose un algoritmo de sincronización queengloba los conceptos principales presentados hasta este momento en la tesis.
La organización de este capítulo es la siguiente: en la Sección 9.2 se de�ne unmodelo de sistema que será usado a lo largo del capítulo; en la Sección 9.3 se introduceun concepto innovador en sincronización e�ciente en energía y estable para WSN; losresultados de las simulaciones de la solución propuesta se ilustran en la Sección 9.4;y �nalmente se realizan las discusiones �nales y conclusiones del algoritmo propuestoen la Sección 9.5.
9.2 Modelo de Sistema
9.2.1 Consideraciones Generales
En este capítulo se adopta el modelo de grafo de una WSN como se de�ne en elApéndice A.2, y el cual ya fue introducido en la Sección 7.2. Desde este punto en ade-lante, se consideran las siguientes hipótesis ampliamente adoptadas en la literatura[58, p. 37]:
• Todos los nodos son constructivamente idénticos, es decir, la sensibilidad delreceptor de cada nodo, denotada por γ0, se supone conocida e igual para todoslos nodos.
• Todos los nodos están afectados por la misma potencia de ruido AWGN, de-notada por σ2
N .
• La potencia de fuentes interferentes se asume incluida en σ2N .
La red se divide en clusters, siendo un cluster un conjunto de nodos agrupados enla misma vecindad a efectos de comunicaciones, por ejemplo, intercambio de datos,sincronización de tiempo, reenvío de datos, codi�cación de datos y detección coope-rativa. Los clusters han de formarse dinámicamente por los nodos que componen lared. El tamaño del clúster, denotado por Nq, será un parámetro de diseño elegido porel diseñador de la red con el �n de lograr los estándares de desempeño requeridos.La Figura 9.1 muestra una sección de WSN compuesta por diez nodos dispuestosaleatoriamente en un espacio de R3.
Una cuidadosa selección de los clusters permite a la WSN superar a topologíasque no utilicen clusters desde una perspectiva de e�ciencia energética, debido alhecho de que el procedimiento de sincronización se divide en subconjuntos más pe-queños de nodos que alcanzan su error de sincronización objetivo, reduciendo así lacomplejidad algorítmica del proceso de sincronización. Recordando el Cuadro 3.1, elhecho de reducir el número de nodos involucrados en el proceso de sincronizacióngeneralmente está asociado con una reducción en el consumo energético debido almenor intercambio de mensajes que debe ejercitar cada nodo, para el misma errorde sincronización alcanzado.
94 CAPÍTULO 9. ALGORITMO PROPUESTO
u3
u2u1
u8
u9
u4
u10
u6
u7
u5
... ...
Figura 9.1: Sección de WSN compuesta por diez nodos.
El proceso de clusterización implica una fase de descubrimiento de red, seguidode una fase de formación de red, como se detalla en la Sección 9.3.1.
9.2.2 Modelo de Canal
9.2.2.1 Potencia de Transmisión y SNR
Usando el modelo de canal simpli�cado (ver Apéndice A.3.1), se dice que lacomunicación entre los nodos ui y uj es exitosa, es decir el receptor puede procesar elmensaje transmitido correctamente, cuando la SNR1 en el receptor γs ≈ Sij/(aijσ2
N )satisface γs > γ0, siendo γ0 la mínima SNR aceptable por el receptor [29].
En este capítulo se hace foco en los efectos de desvanecimiento de pequeña escalaRayleigh con usos del canal descorrelacionado, aunque también se contemplan laspérdidas por propagación debido a la disposición geométrica de los nodos en elespacio.
9.2.2.2 Estimación de la Potencia de Transmisión a partir de la Estima-ción de la Probabilidad de Outage
Durante el proceso de sincronización los nodos intercambian mensajes a unatasa de datos R constante, permitiendo a cada nodo receptor contar el número demensajes recibidos exitosamente, denotado por Mij , a lo largo de una ventana deobservación Tw, desconociendo el número de mensajes originalmente emitidos porel transmisor. Recordando aquello discutido en la Sección 8.2.2, (8.3) provee unaestimación de mij , denotada por mij , a partir del producto de R y Tw. Asimismo,una estimación de la probabilidad de outage del enlace entre los nodos ui y uj seha presentado en (8.4). Combinando estos dos resultados, y contemplando usos decanales independientes Rayleigh, el nodo uj puede producir la siguiente estimaciónde la potencia de transmisión utilizada por el nodo ui cuando le envía mensajes alprimero:
1Más precisamente, la Signal-to-Interference-plus-Noise Ratio (SINR).
CAPÍTULO 9. ALGORITMO PROPUESTO 95
Si|uj =γ0σ
2N
Poutij. (9.1)
donde se ha utilizado el hecho que se trabaja a bajos valores de la probabilidadde outage, es decir γ0σ
2N/Sij � 1,
La ecuación (9.1) representa una medida de la cantidad de energía empleada porel nodo transmisor ui en un esfuerzo por entablar una comunicación exitosa con elnodo uj .
9.3 Algoritmo Propuesto para Sincronización de WSNE�ciente y Estable en Energía basado en Codi�caciónde Red
9.3.1 Descubrimiento y Formación de Red
9.3.1.1 Fase de Descubrimiento de Red
El objetivo de la fase de descubrimiento de red es permitir que cada nodo en lared descubra sus vecinos físicos, es decir aquellos nodos que están dentro de su rangode comunicación, al tiempo que descubre sus potenciales vecinos lógicos, es decirnodos con los que se va a mantener una comunicación sostenida en el tiempo, por ej.con propósito de sincronización o intercambio de datos. En esta etapa, el objetivoes que cada nodo ui registre la distancia que los separa de cada uno de sus vecinosfísicos uj , denotada por dij , así como también su velocidad relativa, denotada porvij , y el o los clusters a los cuales los vecinos físicos de ui pertenecen, denotados porel conjunto de clusters {Cn}, con n = {1, 2, ..., Nc}, con Nc el número de nodos enla red clusterizada.
El proceso comienza con el nodo ui enviando su Número de Identi�cación (ID),denotado por U{i}_ID, así como también los ID de clusters a los cuales pertenece,si es que hay alguno, denotado por U{i}_CL. El proceso se repite para todos losnodos ui en la red, con i ∈ V = {1, 2, . . . , N} donde N es el número de nodos en laWSN. Los vecinos físicos del nodo ui registran estos datos y responden a ui con susdatos respectivos. Intercambiando sucesivamente mensajes con sus vecinos, el nodoui puede estimar las distancias con respecto a sus pares dij así como también lasvelocidades relativas vij usando la indicación de Received Signal Strength Indicator(RSSI) [8]. El Algoritmo 1 resume la fase de descubrimiento de red para cada nodoen formato de pseudocódigo.
La Figura 9.2 muestra el proceso de descubrimiento de red en el cual el nodo u3
difunde su información a sus vecinos físicos en el instante de tiempo tk, los cualesresponden con sus datos en el instante de tiempo tk+1 , tk + Ts, para un intervalode transmisión dado Ts.
96 CAPÍTULO 9. ALGORITMO PROPUESTO
u2u1
u5
u4
u3
U3_ID, {U3_CL}
U3_ID, {U3_CL}
U3_ID, {U3_CL}
U3_ID, {U3_CL}
U5_ID, {U5_CL}
U4_ID, {U4_CL}
U1_ID, {U1_CL}
U2_ID, {U2_CL}
tk+1
tktk
tk
tk
tk+1
tk+1
tk+1
Figura 9.2: Process de descubrimiento de red para el nodo u3.
9.3.1.2 Fase de Formación de Red
La fase de formación de red [58, p. 109] es responsable de subdividir la WSN enclusters, así como también con�gurarlos con los nodos correspondientes. La premisaes subdividir la WSN en clusters conteniendo como máximo Nc nodos, de manera dereducir el tiempo de sincronización y la energía empleada en el proceso, comparadocon la versión no clusterizada de la WSN.
El Algoritmo 2 muestra el pseudocódigo del programa que se debe ejecutar porcada nodo durante la fase de formación de red.
Una vez �nalizada la fase de descubrimiento de red, cada nodo de la WSN con-tiene una lista de sus vecinos físicos. El proceso continúa de la siguiente manera:el nodo ui consulta a sus vecinos a qué clusters pertenecen, y se une al clúster quecontiene el menor número de nodos, con el objetivo de igualar el número de nodosen cada cluster. Si los vecinos físicos del nodo ui no pertenecen a ningún cluster,entonces ui se asigna a sí mismo un único cluster ID, al cual con el tiempo se uniránotros vecinos físicos de ui. El proceso de formación de red continúa así su ciclo paratodos los nodos de la WSN.
Luego de ejecutar el algoritmo de formación de red en cada nodo de la WSN, lared estará típicamente subdividida en Nc = dN/Nqe clusters, pudiendo llegar hastaun máximo de Nc =
(NNq
)clusters. La Figura 9.3 muestra una WSN clusterizada con
N = 12, Nq = 5 y Nc = d12/5e = 3 a modo de ejempli�cación.
9.3.2 Estimación de O�set de Reloj a Nivel de Red
9.3.2.1 Elección del Error de Estimación
El error de estimación en un cluster de nodos está restringido por el error deestimación total a nivel de red, denotado por εmax, el cual está impuesto por laaplicación. Debido a que la red está dividida en como máximo Nc clusters luego de�nalizada la etapa de formación de red, cada cluster puede ser asignado una error deestimación de o�set objetivo, denotado por εq, de�nido por εq , εmax/Nc. Entonces,
CAPÍTULO 9. ALGORITMO PROPUESTO 97
Algoritmo 1 Algoritmo de descubrimiento de red para el nodo u3.1: . Difundir tramas de descubrimiento con ID de nodo e ID de cluster2: discoveryFrame.Broadcast(nodeID, clusterID)3: . Cargar discoveryT imer para expirar el tiempo de fase de descubrimiento4: discoveryT imer ← Timeout_Discovery_Phase5: . Inicializar arreglo de vecino físicos como pneighbors6: pneighbors← new char[Nq − 1]7: while discoveryT imer no expirado do8: . Cargar el reloj de timeout esperando nuevas respuestas9: timeout← Timeout_New_Response10: . Esperar respuestas de otros nodos11: WaitForNewResponses(timeout)12: if Nueva respuesta detectada then13: . Almacenar response en variable newNeighbor14: newNeighbor ← response15: if newNeighbor no está en pneighbors then16: Agregar newNeighbor a pneighbors17: end if18: end if19: end while
Algoritmo 2 Algoritmo de formación de red para el nodo ui.
1: Ordenar pneighbors en forma ascendente por número de clusters2: for i = 0 a pneighbors[Nq − 1] do3: Enlazar lógicamente pneighbor[i]4: if Núm. de clusters de pneighbor[i] es cero then5: . Asignar un nuevo cluster ID único6: ui.ClusterID ← newID7: end if8: end for9: if pneighbors.Length > Nq then10: for j = Nq to pneighbors.Length do11: Agregar pneighbors[j] a pclusters12: for i = 0 to Nq − 1 do13: pn← pneighbors[i]14: for k = 0 to pclusters.Length do15: if pn no está en pclusters[k] then16: Unirse a pclusters[k]17: end if18: end for19: end for20: end for21: end if
98 CAPÍTULO 9. ALGORITMO PROPUESTO
u3
u2u1
u8
u9
u4
C1C2
C3
u12
u6
u7
u5
Figura 9.3: WSN clusterizada luego de completarse el proceso de formación de red.
para un cluster Cq dado, donde q = 1, 2, . . . , Nc, conteniendo Nq nodos, el error deestimación tomada de a pares de los nodos contenidos en Cq deben cumplir∑
i
∑j
εij = εq ∀i, j ∈ {1, 2, . . . , Nq}. (9.2)
Como se ha explicado en el Capítulo 7, para estimadores del o�set de a pares θijque sea Cramer-Rao e�cientes, el error de estimación incurrido por el nodo uj cuandoestima el o�set del reloj del nodo ui, denotado por εij , está dado por εij = σ2
V /mij ,donde σ2
V es la varianza del ruido que afecta la medición del parámetro real θij . Espor esto que el error de estimación total local al nodo ui cuando estima el reloj desus vecinos, denotado por εi, es
εi ,∑j
εij =∑j
σ2V
mij
(1− Poutij
) ∀j ∈ V, j 6= i. (9.3)
Se puede establecer un problema de optimización desde la perspectiva local deun nodo sujeto a la restricción del error de estimación global a nivel de red, conel objetivo de minimizar la desviación de energía del nodo ui respecto de un valorprede�nido, denotada por ei(t, Sij), en el instante de tiempo t cuando opera conuna potencia de transmisión Sij . La restricción también se aplica a los clusters demanera que la suma de todos los errores de los clusters εq debe ser menor o igual ala restricción global de error a nivel de red. De esta forma se puede de�nir ei(t, Sij)como
ei(t, Sij) , ESP i − Ei(t, Sij) (9.4)
CAPÍTULO 9. ALGORITMO PROPUESTO 99
donde ESP i es el setpoint u objetivo de energía para el nodo ui y Ei(t, Sij)representa la energía remanente del nodo ui en el instante de tiempo t cuando ésteopera con potencia de transmisión Sij . Por simplicidad de notación, y sin pérdidade generalidad, se omitirán los argumentos de tiempo y potencia para la energía decada nodo y su desviación del setpoint.
La potencia de transmisión óptima Sij emitida por el nodo ui cuando se sin-croniza con el nodo nodo receptor uj es la solución de la optimización de Lagrangeinvolucrando el error de estimación total por cluster εq y el error de estimación totalεi introducida por el nodo ui cuando se sincroniza con sus vecinos dentro del cluster,como se vio en la Sección 7.3:
∂ei∂Sij
= −λ∑i
∂εi∂Sij
(9.5a)
tal que∑i
εi = εq ∀i, j ∈ {1, 2, . . . , Nq}. (9.5b)
donde λ es el multiplicador de Lagrange que resulta del problema de optimización.La potencia de transmisión óptima emitida por el nodo ui al comunicarse con elnodo uj está dada por la solución de la siguiente ecuación diferencial que relacionala potencia de transmisión Sij con la probabilidad de outage Poutij entre un par denodos (ui, uj), tal como se vio en la Sección 4.2.6:
2Sij∂Poutij∂Sij
= 1− Poutij . (9.6)
Sea Sijopt la potencia de transmisión óptima que resuelve (9.6). Recordando(7.12), el error de estimación óptimo para el enlace entre los nodos ui y uj , denotadopor εijopt , está dada por
εijopt =
√√√√− Sijopt
λ(
1− Poutij (Sijopt))2σ2V TM
(9.7)
donde TM es la duración de cada mensaje, mientras que el valor de λ en (9.7)está dado por (7.13).
El Algoritmo 3 presenta el pseudocódigo de la rutina de elección del error de apares ejecutándose en cada nodo dentro de un mismo cluster. Nótese que Poutij hasido reemplazado por su estimación Poutij .
9.3.3 Estimación del O�set de Reloj usando Codi�cación de Red
Considere el escenario mostrado en la Figura 9.4 en el cual el nodo u1 envía unmensaje de broadcast con la medición de su reloj a todos sus vecinos en su clusteren el instante de tiempo tk. Bajo estas circunstancias, se dice que el nodo u1 actúacomo referencia de reloj para el cluster en en intervalo de tiempo [tk, tk+1).
En condiciones ideales y libres de ruido del canal de comunicación, así comotambién mediciones del reloj sin ruido, un único mensaje de broadcast bastaría para
100 CAPÍTULO 9. ALGORITMO PROPUESTO
Algoritmo 3 Elección de εijopt para el par de nodos (ui, uj).
1: . De�nir la potencia de transmisión óptima2: Sijopt ← (1− Poutij (n · Tw)) · Tw/(2 · (Poutij (n · Tw))− Poutij ((n− 1) · Tw))))3: . Resolver el multiplicador de Lagrange λ4: λ← 05: for i = 0 to Nq − 1 do6: for j = 0 to Nq − 1 do7: if i 6= j then
8: aux←√Sijopt/((1− Poutij )2 · σ2
V · TM )
9: λ← λ+ aux10: end if11: end for12: end for13: λ← −λ/ε2q
14: εijopt =
√−Sijopt
/(λ(
1− Poutij (Sijopt))2σ2V TM
)
u4u5
u2
u3
tu1
tu1
tu1
tu1
u1 t=tk
Figura 9.4: El nodo u1 envía un mensaje de broadcast con su reloj a todos los nodosen el cluster.
que los nodos del cluster puedan estimar el o�set del reloj del nodo u1. Sin embargo,en una aplicación real las señales recibidas están contaminadas con ruido electro-magnético, los canales de comunicación experimentan efectos de desvanecimiento,apantallamiento, bloqueo y atenuación, eventualmente llevando a las señales reci-bidas a niveles indetectables para el receptor, e incluso las mediciones de origencontienen incertidumbres inherentes al proceso de adquisición de datos empleadopor los nodos comerciales. Por esto mismo, es realista asumir que ciertos mensajesse perderán eventualmente y algunos nodos receptores no van a poder capturar losdatos enviados originalmente por el nodo transmisor. Por esta razón, se debe intro-ducir algún tipo de redundancia de datos de manera de recuperar la información apartir de un camino de comunicación alternativo. Es decir, combinar o codi�car lainformación de tiempo de los nodos puede ayudar a reducir la energía empleada enel proceso de sincronización por el hecho de minimizar el número de retransmisionesy el tiempo de sincronización total.
CAPÍTULO 9. ALGORITMO PROPUESTO 101
El concepto de combinar información a nivel de red para obtener un bene�cioglobal se denomina codi�cación de red o en inglés network coding [71, p. 411]. Uncaso particular de estrategia de codi�cación de red es lo que se denomina codi�caciónlineal de red, en la cual la redundancia que se agrega es una combinación lineal delos datos a nivel de red [43, p. 56],[42]. La ventaja de los códigos lineales subyace enla simplicidad a la hora de realizar la decodi�cación, y por dicho motivo se ajustanbien a las aplicaciones de WSN en las cuales se debe minimizar el procesamientode datos. El concepto de los códigos lineales de red se muestra en la Figura 9.5, enla cual el nodo fuente s envía los datos b1 y b2 a los nodos repetidores 1 y 2, loscuales luego combinan los datos originales a través de los nodos intermediarios 3 y 4,permitiendo así que los nodos de destino d1 y d2 reciban los datos originales b1 y b2,respectivamente, más un mensaje redundante conteniendo una combinación lineal delos datos originales, es decir b1 + b2. La suma de los datos originales le permite a losnodos de destino recuperar los datos originales en caso de pérdida de datos, por ej. siel dato b1 se perdiera o se corrompiera en el nodo receptor d1, entonces éste podríaobtener el dato b2 de su nodo vecino d2 y así recuperar la información original b1por medio de una substracción simple entre el dato redundante (b1 + b2) y el datob2, es decir b1 = (b1 + b2)− b2, sin necesidad de que ocurra una retransmisión desdeel nodo origen s. La ventaja de este método subyace en el hecho de que combinar lainformación b1 + b2 es más e�ciente en energía y en tiempo que tener retransmitirlos mensajes b1 y b2. Entonces, la estrategia de codi�cación de red incrementa lacapacidad del canal ya que permite transmitir información aún cuando la condicióndel canal de comunicación es pobre, gracias a los mensajes redundantes introducidospor el esquema de codi�cación.
La Figura 9.6 muestra al nodo u2 enviando un mensaje de broadcast con suobservación del o�set del nodo u1, es decir θ12 , tu1 − tu2 en el instante tk+δ, para0 < δ � 1. La justi�cación de por qué δ no es un número entero es que todas lasretransmisiones deben ocurrir antes de la próxima ronda de mensaje broadcast dereferencia , es decir antes de tk+1. Las Figuras 9.7 a 9.9 ilustran a los nodos u3,u4 y u5 enviando mensajes de broadcast de sus respectivas observaciones del o�setdel nodo u1 a sus vecinos (lógicos) en el cluster. El ciclo de transmisión continúacon el nodo u2 actuando como referencia de reloj y enviando su medición de tiempotu2 al resto de los nodos en el cluster, seguido por estos últimos retransmitiendosus observaciones del reloj de referencia, agregando así redundancia al proceso deestimación de reloj. Se continúa el ciclo para todos los nodos en el cluster en formacircular. A medida que se avanza en el proceso de sincronización, los nodos comienzana tener el mismo concepto de tiempo, permitiendo así que se implemente un esquemaTDMA de manera de evitar colisiones en las transmisiones.
No obstante, el potencial de la aplicación de la técnica de codi�cación de reden el campo de las WSN no está limitado únicamente a la sincronización de lasmismas sino al favorecimiento del aumento de la capacidad efectiva de la técnica decomunicación para un rango más amplio de aplicaciones.
En resumen, la aplicación de la técnica de codi�cación de red a la sincroniza-ción de WSN tiene dos propósitos fundamentales: recuperar información perdida yecualizar los errores de estimación entre los nodos, como se detalla a continuación.
102 CAPÍTULO 9. ALGORITMO PROPUESTO
d1 d2
b1 b2
b1 b2
b2
b1+b2
b1+b2b1+b2
b1
s
21
3
4
Figura 9.5: Topología de mariposa para codi�cación de red [71].
Recuperación de Información Perdida La redundancia introducida por losmensajes retransmitidos mostrados en las Figuras 9.6 a 9.9 sirven de mecanismo derecuperación de información en caso de pérdida de mensajes. La Figura 9.10 ilustraun escenario en el cual el nodo u4 no puede recibir un mensaje de broadcast quecontiene el reloj del nodo u2.
Figura 9.6: El nodo u2 retransmite el o�set del reloj del nodo u1 a los nodos en sucluster.
Empleando adecuadamente la información redundante provista por los mensajesde codi�cación de red, el nodo u4 puede producir una estimación del o�set de u2,
CAPÍTULO 9. ALGORITMO PROPUESTO 103
Figura 9.7: El nodo u3 retransmite el o�set del reloj del nodo u1 a los nodos en sucluster.
Figura 9.8: El nodo u4 retransmite el o�set del reloj del nodo u1 a los nodos en sucluster.
Figura 9.9: El nodo u5 retransmite el o�set del reloj del nodo u1 a los nodos en sucluster.
denotada θ24(tk)|u4 , a partir de la información de tiempo obtenida a partir del nodou1 como
θ24(tk)|u4 = tu1(tk)|u4 − θ12(tk)|u4 − tu4(tk) (9.8)
donde tk es el instante de sincronización, tui(tk) es la medición de tiempo del nodoui en el instante de tiempo tk, y θil(tk)|uj es la medición del o�set de reloj relativoentre los nodos ui y ul observado desde el nodo uj . En general, la estimación del o�setdel reloj del nodo ui producida por el nodo uj , con i, j ∈ Vq = {1, 2, . . . , Nq}, puede
104 CAPÍTULO 9. ALGORITMO PROPUESTO
u4
u1
u5u3
tu2
tu2
tu2
tu2
u2t=tk+1
Figura 9.10: El nodo u2 envía un mensaje de broadcast con la medición de su reloja todos los nodos en su cluster, pero el nodo u4 no recibe el mensaje.
ser re�nada promediando la estimación obtenida en el instante de tiempo tk con lainformación ganada a partir de las observaciones de los demás nodos del cluster enel instante tk+1, i.e.
θij(tk+1)|uj =1
Nqθij(tk)|uj +
1
Nq
Nq∑l=1l 6=i
(tul(tk+1)|uj−
θli(tk+1)|uj − tuj (tk+1))∀l ∈ Vq. (9.9)
La ecuación (9.9) exhibe la ventaja de usar codi�cación de red en el proceso desincronización, ya que permite a cualquier nodo en el cluster recuperar la informaciónperdida en un instante de tiempo dado reutilizando las observaciones de sus vecinosde los relojes de los nodos del cluster. Sin embargo, debido a la restricción energéticaexistente en una WSN del mundo real, no es posible retransmitir todas las obser-vaciones de todos los nodos en un cluster para todo instante de tiempo, así comotampoco es realista suponer que todos los mensajes serán recibidos perfectamente.Por este motivo, (9.9) debe ser reescrita de manera de contemplar el escenario en elque un nodo no retransmite su observación del nodo de referencia, y asimismo incor-porar un factor dependiente de la probabilidad de error en la recepción de mensajes,es decir
θij(tk+1)|uj =1
Nq∗ij
θij(tk)|uj +
1
Nq∗ij
Nq∑l=1l 6=i,j
φil|uj(tul(tk+1)|uj − θli(tk+1)|uj − tuj (tk+1)
)(9.10)
donde
φil|uj , µl(tk+1)|ujµil(tk+1)|ujνil(tk+1) (9.11)
y
CAPÍTULO 9. ALGORITMO PROPUESTO 105
Nq∗ij , 1 +
Nq∑l=1l 6=i
φil|uj (9.12)
µl(tk+1)|uj =
{1, si uj recibe tul a través de ul en tk+1
0, en cualquier otro caso;(9.13)
µil(tk+1)|uj =
{1, si uj recibe θil a través de ul en tk+1
0, en cualquier otro caso;(9.14)
νil(tk+1) =
{1, si ul retransmite θil en tk+1
0, en cualquier otro caso.(9.15)
Los valores de µl(tk+1)|uj y µil(tk+1)|uj son determinados estadísticamente pormedio de la probabilidad de outage de los enlaces de comunicación respectivos, comose muestra a continuación:
P(µl(tk+1)|uj = 1
)= 1− Poutlj (9.16)
P(µil(tk+1)|uj = 1
)= P
(µil(tk+1)|uj = 1
∣∣∣µl(tk+1)|ui = 1)P (µl(tk+1)|ui = 1) +
P(µil(tk+1)|uj = 1
∣∣∣µl(tk+1)|ui = 0)P (µl(tk+1)|ui = 0) (9.17)
donde en (9.17) se emplea el Teorema de la Probabilidad Total (ver ApéndiceA.5) para expresar la probabilidad que el nodo ui reciba exitosamente o�set delnodo ul, condicionado a que el nodo uj reciba exitosamente la observación del o�set
de ul por el nodo ui. Nótese que P(µil(tk+1)|uj = 1
∣∣∣µl(tk+1)|ui = 0)
= 0 porquesimboliza la probabilidad de que el nodo uj reciba la observación del o�set del nodoul relativa al nodo ui, condicionada a que el nodo ui no reciba la medición de relojdel nodo ul. Es decir, si el nodo ui no recibe la medición de reloj de ul entonces nopodrá retransmitir su estimación del o�set de este último en ese instante de tiempo,y entonces uj no recibirá la medición de o�set de ul mediante ui. Habiendo dichoesto, se puede reescribir (9.17) como:
P(µil(tk+1)|uj = 1
)= P
(µil(tk+1)|uj = 1
∣∣∣µl(tk+1)|ui = 1)P (µl(tk+1)|ui = 1)
(9.18)Para usos del canal descorrelacionados, (9.18) se reduce a
P(µil(tk+1)|uj = 1
)= (1− Poutil)(1− Poutlj ) (9.19)
siendo entonces,
P(µl(tk+1)|uj = 0
)= Poutlj (9.20)
y
106 CAPÍTULO 9. ALGORITMO PROPUESTO
P(µil(tk+1)|uj = 0
)= PoutilPoutlj . (9.21)
La variable controlada νil(tk+1) regula la retransmisión de las observaciones delos o�set de reloj en base a una relación de compromiso que se debe establecer entreel nivel de redundancia de datos y el gasto energético de los nodos en el cluster.
Nótese de (9.10) que si todos los relojes en Vq están sincronizados, entonces porde�nición de medición relativa se cumple que
θlj(tk+1)|uj − θli(tk+1)|uj ≈ θij(tk)|uj ∀k > k0 > 0 (9.22)
donde k0 es una medida en segundos del tiempo de convergencia del algoritmode sincronización. Entonces se puede decir que
θij(tk+1) ≈ θij(tk)|uj ∀k > k0 (9.23)
lo cual implica que las estimaciones de reloj dejan de evolucionar debido al hechoque el cluster Cq ha alcanzado el objetivo de sincronización. Como consecuencia, losnodos dejan de transmitir mensajes de sincronización y sus consumos energéticosdebido al proceso de sincronización detienen su tasa de cambio.
Ecualización del Error de Estimación Los mensajes de codi�cación de redpueden ser explotados para igualar las tolerancias de las mediciones y observacionesde los vecinos obtenidas a través del canal inalámbrico. Idealmente en un canal decomunicación libre de errores, la suma de lazo cerrado de las observaciones de loso�sets tomados de a pares deben cumplir
Nq∑j=1
θj,j(tk+1)|ui = 0 (9.24)
con j , (j+ 1) mod Nq. En una aplicación real, el ruido de medición, las pertur-baciones y las tolerancias en la construcción de los nodos conllevan a
Nq∑j=1j 6=i
θj,j(tk+1)|ui = ξ(tk+1)|ui 6= 0 (9.25)
es decir, el error total en el instante tk+1 en el nodo ui, denotado por ξ(tk+1)|ui ,es distinto de cero. La ecuación (9.25) puede ser usada para ecualizar este error entretodas las estimaciones tomadas de a pares del nodo ui en el instante de tiempo tk,es decir
θ∗ij(tk+1)|uj = θij(tk+1)|uj +ξ(tk+1)|ui
Nq(9.26)
donde θ∗ij(tk+1)|uj simboliza a la medición ecualizada del o�set del nodo ui en elinstante de tiempo tk+1 observado desde el nodo uj .
El Algoritmo 4 muestra el pseudocódigo del programa de codi�cación de redejecutándose en el nodo uj en el instante tk+1.
CAPÍTULO 9. ALGORITMO PROPUESTO 107
Algoritmo 4 Sincronización con codi�cación de red ejecutándose en uj en tk+1.
1: . Almacenar número de nodos en cluster Cq2: Nq ← numberNodesCq3: for i = 1 to Nq do4: . Actualizar estimación de o�set de ui5: aux← 06: N∗q ← 17: for l = 1 to Nq do8: if ((l 6= i) and (tul(tk+1) recibido) and9: (θil(tk+1) recibido)) then10: aux← aux+ tul(tk+1)− θuli(tk+1)− tuj (tk+1)11: N∗q ← N∗q + 112: end if13: end for14: θij(tk+1)← (θij(tk) + aux)/N∗q15: . Estimar los errores de estimación de lazo cerrado16: ξ ← 017: h← 018: for j = 1 to Nq do19: j ← (j + 1) mod Nq
20: ξ ← ξ + θj,j(tk+1)21: end for22: . Actualizar los relojes ecualizados23: for i = 1 to Nq do24: θij(tk+1)← θij(tk+1) + ξ/Nq
25: end for26: end for
108 CAPÍTULO 9. ALGORITMO PROPUESTO
9.3.4 Control Óptimo de Energía
9.3.4.1 Energía de un Nodo
Recordando (8.10), la energía total de un nodo ui en el instante de tiempo t,denotada por Ei(t), está dada por:
Ei(t) = E0i + EHi(t)− Eci(t) (9.27)
donde E0i es la energía inicial del nodo, EHi(t) es la energía capturada y Eci(t) esla energía consumida en función del tiempo.
Recordando la de�nición de la desviación de la energía respecto de su setpointdada por (9.4), y la expresión (9.5a) se puede a�rmar que
∂ei∂Sij
∂Sij∂t
= −λNq∑i=1
∂εi∂Sij
∂Sij∂t
. (9.28)
donde se ha usado el hecho de que la potencia de a pares Sij es una función deltiempo en el caso más genérico.
Usando notación de Newton para la diferenciación en tiempo, es decir x , ∂x/∂t,(9.28) se transforma en
ei = −λNq∑i=1
εi (9.29)
lo cual sugiere que si εi → 0 para todo i ∈ Vq, entonces cada ei → 0, aunquela recíproca no es necesariamente válida. Entonces, controlando a cero cada tasa decambio en el error de estimación εi, o lo que es lo mismo cuando εi alcanza su valorobjetivo, se estabiliza la energía de cada nodo ui ya que su tasa de cambio se controlacero.
9.3.4.2 Sincronización como Sistema Dinámico
El error de estimación incurrido por los nodos cuando estiman los o�sets de susvecinos en el cluster puede ser reducido mediante intercambio de mensajes sucesivos,produciéndose así mejores estimaciones en función de los mensajes correctamenterecibidos, tal como se mostró en (4.2). Es por esto que la tasa de cambio del error deestimación tomada de a pares mejora a medida que se incrementa la energía utilizadaen el proceso de sincronización, en forma de número de mensajes enviados y potenciade transmisión empleada. Sin embargo, la mejora en el error de estimación se debebalancear con la energía empleada en cada nodo. Como se mostró en la Sección 7.3,la conectividad de los nodos aij juega un papel preponderante en la optimalidad delas soluciones, por lo que se puede reducir (9.29) solamente a las conexiones de losnodos tomadas de a pares. Al hacer esto, (9.29) puede ser reescrita como
ei = −λNq∑j=1j 6=i
aij εij (9.30)
CAPÍTULO 9. ALGORITMO PROPUESTO 109
donde se ha usado εi =∑Nq
j=1 aij εij , con j 6= i.El siguiente paso es expresar εij en términos de la energía de los nodos ui y uj .
Reescribiendo (9.3) en términos de las energías de los nodos, queda
εij =σ2V
Eci Ecj=
σ2V
(ESP i − ei) (ESP j − ej)(9.31)
donde se ha usado (9.4) para expresar Eci , Ecj en términos de ei, ej . La ecuación(9.31) muestra que el error de estimación mejora a medida que ei, ej crecen enmagnitud. Diferenciando (9.31) con respecto al tiempo resulta
εij =eiσ
2V
(ESP i − ei)2 (ESP j − ej)+
ejσ2V
(ESP i − ei) (ESP j − ej)2. (9.32)
Reemplazando (9.32) en (9.30), se obtiene la siguiente ecuación diferencial:
ei = −λNq∑j=1j 6=i
aij
(eiσ
2V
(ESP i − ei)2 (ESP j − ej)+
ejσ2V
(ESP i − ei) (ESP j − ej)2
)(9.33)
o simplemente,
ei = fi(ei, ej , ei, ej) (9.34)
donde fi(ei, ej , ei, ej) es la función no lineal del lado derecho del igual en (9.33),para todo j ∈ V, j 6= i.
Es importante notar que debido a que las operaciones de los transceptores serealizan a instantes discretos de tiempo, la evolución temporal de la energía de losnodos está descripta por un sistema dinámico discreto. Entonces, expandiendo (9.33)a todos los i, j ∈ Vq, de�niendo
x ,
e1...eNq
(9.35)
y muestrando el sistema continuo resultante con una frecuencia de muestreo iguala 1/(TsNq), es posible expresar la desviación de energía de los nodos como un sistemadinámico discreto a lazo cerrado en el instante de tiempo tk como (ver Apéndice A.7)
x(k + 1) = Ad · x(k) + Bd · uv(k) (9.36)
110 CAPÍTULO 9. ALGORITMO PROPUESTO
donde Ad y Bd son matrices que dependen del punto de operación de energía,mientras que u(k) es el comando de control enviado por el nodo de referencia dereloj con el objetivo de controlar la energía de sus nodos vecinos. El sistema (9.36)representa la linealización de la forma vectorial de (9.34) alrededor del punto deoperación (x0,y0), el cual depende del punto de trabajo de error de estimaciónóptimo como se muestra en el Apéndice A.7. De�niendo la función de costo [6, p.412]
Jd =∞∑k=0
(xT (k) ·Q1 · x(k) + uTv (k) ·Q2 · uv(k)
)(9.37)
con matrices de peso Q1 y Q2, el comando de control óptimo, denotado por uv,que incluye las perturbaciones del sistema y que minimiza (9.37) (ver Apéndice A.7)viene dado por la siguiente ley de control óptima
uv(k) = −Kd · x(k) (9.38)
con
Kd =(Q2 + BT
d ·Pd ·Bd
)−1 ·BTd ·Pd ·Ad (9.39)
donde P se calcula a partir de la ecuación de Riccati de tiempo discreto y estadoestacionario
Pd = ATd ·Pd ·Ad + Q1 − (AT
d ·Pd ·Bd) ·(BT
d ·Pd ·Bd + Q2)−1 · (BTd ·Pd ·Ad) (9.40)
como se muestra en el Apéndice A.7. Cuando el nodo uj actúa de reloj de re-ferencia en el instante tk, cada nodo ui, i 6= j, recibe el vector de comando uv(k)y almacena su variable de comando a partir del i-ésimo elemento de uv, es decirνji(k) = uv(k)[i], de manera de poder determinar si debe retransmitir la medicióndel o�set del nodo uj en el siguiente instante de tiempo en el cual el nodo uj actuaránuevamente como referencia de reloj, es decir en el instante tk+Nq .
Una consecuencia importante de la señal de comando uv(k) es que efectivamentemodi�ca la tasa de transmisión de mensajes R en función del tiempo, afectando asíla estimación de la potencia de transmisión promedio Si cuya expresión está dadapor (8.12), y consecuentemente impactando en la estimación de la energía consumidaEci . La expresión de la variación de tasa de transmisión de mensajes para el nodoui se puede encontrar consultando la desviación de energía en los Nq instantes detiempo previos y proponiendo la función
Ri(k) =1
Ts
1 +k−1∑
p=k−Nq
0,5 (1 + sgn(x(p)[i]))
(9.41)
donde sgn(·) denota la función signo y x(k)[i] denota el i-ésimo elemento del vec-tor x en el instante tk, de manera que el argumento de la suma en (9.41) incremente
CAPÍTULO 9. ALGORITMO PROPUESTO 111
el valor de Ri(k) sólo cuando el comando de control x(p)[i] > 0, en otras palabrascuando ui retransmita su medición del o�set del nodo uj . También es importan-te destacar que los mensajes sólo se retransmiten cuando se recibe exitosamente elcomando de retransmisión de mensaje, de manera que el algoritmo de sincroniza-ción es tolerante a las fallas del nodo de referencia ya que una falla en el mismo nodesencadena una cantidad de retransmisiones descontroladas.
El Algoritmo 5 sintetiza el �ujo del programa de control de energía ejecutándoseen el nodo uj cuando éste es la referencia de reloj y produce una ley de control u enel instante de tiempo tk de manera de controlar la energía de los nodos en el clusterCq alrededor del valor objetivo requerido por la aplicación.
El Algoritmo 6 muestra el pseudocódigo del programa ejecutándose en un nodoul en el instante de tiempo tk, el cual no está actuando como nodo de referencia, ysimplemente espera el comando de retransmitir o no su estimación de o�set de relojdel nodo ui en el instante de tiempo tk+Nq .
9.4 Resultados de las Simulaciones
De manera de ilustrar el potencial del esquema de sincronización propuesto,considere una WSN clusterizada donde el cluster C1 contiene Nq = 5 nodos simbo-lizados u1 a u5 desplegados en un posiciones espaciales l1 = (0, 0, 0), l1 = (2, 6, 0),l1 = (0, 5, 5), l1 = (0, 3, 6), l1 = (0, 5, 4), respectivamente. El objetivo del nodo u1 esestimar el o�set de los relojes de sus vecinos lógicos en el cluster. Suponga ademásque los o�sets relativos a u1 reales son: θ12 , t1− t2 = −0,1s, θ13 , t1− t3 = −0,2s,θ14 , t1 − t4 = −0,3s, y θ15 , t1 − t5 = −0,4s.
La Figura 9.11 muestra las estimaciones producidas por el nodo u1 en relacióna los o�sets de sus vecinos lógicos en el cluster C1. La oscilación (ripple) en laestimación se debe al ruido de medición inherente en la construcción de los nodos,el cual se ha simulado como ruido AWGN. Se puede observar que el nodo u1 sesincroniza exitosamente con sus vecinos mientras que logra controlar las energías delos mismos dentro de límites aceptables para la aplicación.
La Figura 9.12 ilustra las estimaciones producidas por el nodo u1 relativas a lasprobabilidades de outage de sus vecinos lógicos, las cuales son usadas para generarlos comandos de control, tal como se visualiza en la Figura 9.13, de manera demantener sus energías alrededor del setpoint u objetivo. Es posible apreciar que lasleyes de control producidas por u1 son tales que las energías de los demás nodospueden controlarse aún cuando las estimaciones de las probabilidades de outage nohan convergido completamente al valor �nal.
La Figuras 9.15 a 9.18 ilustran las desviaciones de energía de los nodos u2 a u5
siendo controladas en la vecindad del origen, lo cual signi�ca que la energía de losmismos se mantiene alrededor de su setpoint.
Es claro que implementar un esquema de sincronización sin tener en cuenta laenergía de los nodos en el algoritmo no es factible ya que la energía de los mismosse agotaría por efectos del mismo algoritmo de sincronización. Nótese en las Figuras9.15 a 9.18 que cuando las desviaciones de las energías de los nodos cruzan el ejeordenada normalizada ei = (ESP i − 0)/ESP i = 1, el nodo ya no puede funcionar
112 CAPÍTULO 9. ALGORITMO PROPUESTO
Algoritmo 5 Algoritmo de control de energía ejecutándose en uj en tk.
1: if uj es referencia de reloj then2: . Inicializar variables3: x(0)← 04: y(0)← 05: for i = 1 to Nq do6: if (i 6= j) then7: . Estimar cada Si|uj mediante Poutij8: Si|uj ← γ0σ
2N/Poutij
9: . Calcular Ri(k)10: aux = 011: for p = k −Nq to k − 1 do12: aux← aux+ 0,5 (1 + sgn(x(p)[i]))13: end for14: Ri(k)← (1 + aux)/Ts15: . Estimar Si16: Si ← TmRi(k)Si|uj17: . Estimar cada Ei|uj18: Ei|uj ← E0i + EHi(t)− (Si|uj t+ VddIqt)19: . Crear vector de estado x20: xi ← ESP i − Ei|uj21: end if22: end for23: . Crear vector de estado x en tk24: x(k)← [x1, x2, . . . , xNq ]
T
25: . Obtener punto de operación (x0,y0)26: x0(k)← x(k) o x0(k) dado por búsqueda de grilla27: y0 ← (x0(k)− x0(k − 1))/(NqTs)28: . Calcular matriz A
29: A← −(∂g∂y |x0
)−1· ∂g∂x |x0
30: . Calcular matriz de tiempo discreto Ad
31: Ad = eANqTs
32: . Calcular perturbación v33: v(k)← A · x0 + y0
34: . Calcular matriz de tiempo discreto Bd (notar que Bv = I)
35: Bd =∫ NqTs
0 eAtdt36: . Encontrar P usando la ecuación de Riccati de tiempo discreto37: P = AT
d ·P ·Ad + Q1 − (ATd ·P ·Bd)·
38: (BTd ·P ·Bd + Q2)−1 · (BT
d ·P ·Ad)39: . Calcular Kx
40: Kx ←(Q2 + BT
d ·P ·Bd
)−1 ·BTd ·P ·Ad
41: . Calcular ley de control uv
42: uv(k)← −Kx · x(k)43: . Calcular ley de control u44: u(k)← (BT ·B)−1 ·BT · (Bd
T · uv(k)− v(k))45: . Nodo uj no es referencia de reloj46: Transmitir mensaje de broadcast con ley de control u(k)47: end if
CAPÍTULO 9. ALGORITMO PROPUESTO 113
Algoritmo 6 Algoritmo de control para nodo no-referencia de reloj ul en tk.1: . Recibir comando de control emitido por nodo referencia de reloj uj2: if (νil(k) > 0) then3: νil(k)← uv(k)[i]4: Retransmitir medición de ui en tk+Nq
5: else6: No retransmitir medición de ui en tk+Nq
7: end if
debido a que se ha agotado por completo su energía. En otras palabras, un procesode sincronización su�cientemente prolongado en el tiempo no es sustentable desdeun punto de vista energético. La diferencia observada entre la energía controlada yla energía sin controlar representa la energía que cada nodo salvaguarda durante elproceso de sincronización, por efecto de la reducción de redundancia de codi�caciónde red, consecuentemente planteando una relación de compromiso entre error deestimación y tiempo de vida de los nodos, traduciéndose esto último en con�abilidadde la red.
Es válido destacar en las Figuras 9.15 a 9.18 el esfuerzo inicial de energía que elnodo debe ejercitar de manera de conducir la estimación de o�set de reloj a límitesaceptables, luego del cual el consumo energético se mantiene constante por acciónde la estrategia de control. El sesgo observado entre el valor de convergencia �nal delas desviaciones de energía y el origen se debe al hecho de que se ha utilizado unalinealización (aproximación) de las funciones de energía no lineales. Sin embargo,este sesgo puede ser estimado y compensado en los casos en los que la aplicación asílo requiera.
La Figura 9.14 muestra la desviación de energía del nodo u2 superpuesta al valorpromedio de las desviaciones de energías de los nodos u2 to u5. Se observa que elcomportamiento de la energía de los nodos en el cluster C1 es prácticamente idénticoa aquel del nodo u2, siendo las pequeñas diferencias atribuibles a la característica nodeterminística del canal de comunicación inalámbrico.
9.5 Conclusiones
La sincronización es un requerimiento clave para alcanzar la e�ciencia energéticaen una WSN, al tiempo que permite que se implementen otras funcionalidades talescomo la fusión de datos, localización y control de acceso al medio. Generalmente sesubdivide a la WSN en clusters de forma de lograr un mejor control de energía y unamás rápida convergencia del algoritmo de sincronización, a expensas de una mayorcomplejidad en las etapas de descubrimiento y formación de red.
Tanto la geometría de la red y el tipo de desvanecimiento del canal inalámbricoafectan al punto de trabajo energético óptimo de cada nodo en la WSN. Aún más, laprobabilidad de outage no nula del canal conlleva a la pérdida de mensajes, causandoasí un impacto negativo en el rendimiento energético de los nodos y en la convergenciadel algoritmo de sincronización. De manera de mitigar este inconveniente, en este
114 CAPÍTULO 9. ALGORITMO PROPUESTO
0 0.05 0.1 0.15 0.20 45
0 4
0 35
0 3
0 25
0 2
0 15
0 1
0 05
0
u2
�i1
Figura 9.11: Estimaciones producidas por u1 relativas a los o�sets de los nodosu2 ∼ u5. Parámetros de la simulación: Tm = 1ms, Ts = 10ms, σ2
N = 100mW,σV = 0,03, γ0 = −3 dB, ε = 0,1.
0 0.5 10
0.005
0.01
0.015
a) Outage Probability of u2
Nodeu2Pout
t [s]
0 0.5 10
0.005
0.01
0.015
b) Outage Probability of u3
Nodeu3Pout
t [s]
0 0.5 10
0.005
0.01
0.015
c) Outage Probability of u4
Nodeu4Pout
t [s]
0 0.5 10
0.005
0.01
0.015
d) Outage Probability of u5
Nodeu5Pout
t [s]
Figura 9.12: Estimaciones producidas por u1 relativas a las probabilidades de outageentre él mismo y los nodos u2 ∼ u5. Parámetros de la simulación: Tm = 1ms,Ts = 10ms, σ2
N = 100mW, σV = 0,03, γ0 = −3 dB, ε = 0,1.
capítulo se ha propuesto un esquema en el cual los nodos pueden reconstruir lainformación perdida a través de información redundante agregada con la técnica decodi�cación de red.
CAPÍTULO 9. ALGORITMO PROPUESTO 115
0 2 4 60.5
0
0.5
1
1.5
a) Command to u2
Controlcommand
t [s]
0 2 4 60.5
0
0.5
1
1.5
b) Command to u3
Controlcommand
t [s]
0 2 4 60.5
0
0.5
1
1.5
c) Command to u4
Controlcommand
t [s]
0 2 4 60.5
0
0.5
1
1.5
d) Command to u5
Controlcommand
t [s]
Figura 9.13: Comandos óptimos emitidos por el nodo u1 para los nodos u2 ∼ u5.Parámetros de la simulación: Tm = 1ms, Ts = 10ms, σ2
N = 100mW, σV = 0,03,γ0 = −3 dB, ε = 0,1.
0 0.2 0.4 0.6 0.8 12
1
0
1
2
3
4
Energydeviationx[J]
t [s]
Energy deviation
uncontrolled u4
uncontrolled average
LQR u4
LQR average
Figura 9.14: Desviación de energía respecto del setpoint (normalizadas) para el nodou2 cuando es controlado por el nodo u1, superpuesta al promedio de desviaciones deenergía para los nodos u2 ∼ u5. Parámetros de la simulación: Tm = 1ms, Ts = 10ms,σ2N = 100mW, σV = 0,03, γ0 = −3 dB, ε = 0,1.
De manera de lograr estabilidad en la energía de los nodos al momento de ejer-cer la sincronización, se ha presentado en este capítulo un mecanismo innovador quepermite alcanzar la sincronización de los diferentes clusters que constituyen la red, al
116 CAPÍTULO 9. ALGORITMO PROPUESTO
0 0.2 0.4 0.6 0.8 12
1
0
1
2
3
4
Energydeviationx[J]
t [s]
Energy deviation of u2
LQR
uncontrolled
Figura 9.15: Desviación de energía respecto del setpoint (normalizada) para el nodou2 cuando es controlado por el nodo u1. Parámetros de la simulación: Tm = 1ms,Ts = 10ms, σ2
N = 100mW, σV = 0,03, γ0 = −3 dB, ε = 0,1.
0 0.2 0.4 0.6 0.8 12
1
0
1
2
3
4
Energydeviationx[J]
t [s]
Energy deviation of u3
LQR
uncontrolled
Figura 9.16: Desviación de energía respecto del setpoint (normalizada) para el nodou3 cuando es controlado por el nodo u1. Parámetros de la simulación: Tm = 1ms,Ts = 10ms, σ2
N = 100mW, σV = 0,03, γ0 = −3 dB, ε = 0,1.
tiempo que se controla en forma óptima la energía de los nodos de cada cluster alre-dedor del valor objetivo prede�nido por la aplicación. En otras palabras, el esquemapropuesto actúa como una protección bidireccional que balancea la redundancia dela información y la energía de los nodos de manera de obtener una solución estable
CAPÍTULO 9. ALGORITMO PROPUESTO 117
0 0.2 0.4 0.6 0.8 12
1
0
1
2
3
4
Energydeviationx[J]
t [s]
Energy deviation of u4
LQR
uncontrolled
Figura 9.17: Desviación de energía respecto del setpoint (normalizada) para el nodou4 cuando es controlado por el nodo u1. Parámetros de la simulación: Tm = 1ms,Ts = 10ms, σ2
N = 100mW, σV = 0,03, γ0 = −3 dB, ε = 0,1.
0 0.2 0.4 0.6 0.8 12
1
0
1
2
3
4
Energydeviationx[J]
t [s]
Energy deviation of u5
LQR
uncontrolled
Figura 9.18: Desviación de energía respecto del setpoint (normalizada) para el nodou5 cuando es controlado por el nodo u1. Parámetros de la simulación: Tm = 1ms,Ts = 10ms, σ2
N = 100mW, σV = 0,03, γ0 = −3 dB, ε = 0,1.
en energía en primer lugar.
118
Capítulo 10
Conclusiones Generales
En esta tesis se ha investigado en detalle técnicas de sincronización e�cientes enenergía y de prevención de ocurrencia de fallas para redes de sensores inalámbricos,o simplemente WSN. La fundamental importancia de la sincronización de una WSNsubyace fundamentalmente en la posibilidad de implementar esquemas de control deenergía mediante técnicas de control de la radio operación de los nodos que componenla red. La energía de un nodo constituye uno de las restricciones más importantesen el diseño de una WSN real, ya que los mismos suelen estar alimentados poruna batería, cuya energía es limitada y no renovable, o en caso contrario estánautoalimentados de forma limitada debido a la baja e�ciencia en la captura de energíay la baja disponibilidad de energía emitida por fuentes externas como ser la energíasolar, los campos electromagnéticos, las fuentes térmicas o las vibraciones mecánicas.Adicionalmente, la sincronización de los nodos es generalmente un requerimiento dela aplicación de manera de permitir la correcta interpretación cronológica de losdatos así como también la fusión de datos de manera de reducir el trá�co de la red.
A lo largo de esta tesis se han investigado distintos escenarios de sincronización denodos en una WSN, comenzando por el caso de un par de nodos aislados del resto dela red, sincronizándose entre sí, lo cual ha servido de base para investigar los fenóme-nos fundamentales del problema de sincronización e�ciente en energía. Para ese casose ha demostrado la existencia de una relación de compromiso que vincula el error desincronización con el consumo energético empleado en el proceso de sincronización.Se ha demostrado consecuentemente cómo regulando la potencia del transmisor sepuede lograr un valor óptimo para la relación de compromiso mencionada anterior-mente, con previo conocimiento de las condiciones del canal inalámbrico.
Luego, se investigaron los diversos casos de desvanecimiento de pequeña y granescala sin correlación de canal, para redes de múltiples saltos, donde se ha demos-trado que el retardo de sincronización juega también un papel preponderante en ladeterminación del valor óptimo de la potencia de los transmisores. El caso de múl-tiples saltos empeora la relación de compromiso debido a la mayor probabilidad deerror existente en redes con varios nodos intermediarios.
Otra contribución de esta tesis ha sido el estudio detallado de la sincronización delos nodos cuando existe un movimiento relativo entre ellos. Para el caso de atenuaciónde gran escala, el factor dominante en la sincronización de nodos en movimiento
119
120 CAPÍTULO 10. CONCLUSIONES GENERALES
es la distancia entre pares, debido a la atenuación del canal de comunicación porpérdidas de camino. Sin embargo cuando los nodos se comunican en un canal condesvanecimiento de pequeña escala Rayleigh entra en juego la correlación del canalresultado de la velocidad relativa entre nodos, la cual se evidencia como una oscilaciónsostenida en las relaciones de compromiso óptimas. El problema tiende a los �nesprácticos al caso de canal descorrelacionado cuando la velocidad entre nodos esrelativamente grande por efecto de la función de correlación del canal.
Debido a la versatilidad que ofrecen las WSN, se ha propuesto en esta tesis unageneralización al problema de sincronización e�ciente en energía independientementede la topología y tamaño de la red, mostrándose las cotas óptimas que cumplen conun requisito de error de sincronización a nivel de red cuando se quiere optimizar laenergía consumida en el proceso de sincronización. Nuevamente la variable de ajustees la potencia de transmisión de los nodos, ofreciéndose un modelo que exhibe enforma inmediata los resultados tanto para el caso teórico como para el caso práctico.Esto último constituye una herramienta muy poderosa a la hora de diseñar una WSNreal, en la cual los nodos solamente pueden regular un número �nito de posiblesvalores de la potencia de transmisión.
Como en toda red sin mantenimiento, es importante investigar el comportamien-to de la misma cuando existe una probabilidad de falla de los dispositivos que lacomponen. En el caso de los nodos de una WSN, es fundamental predecir y prevenirla falla de los mismos, tomando acciones consecuentemente de manera que la red nosufra mayores interrupciones en el �ujo de datos. En esta tesis se ha propuesto unalgoritmo innovador que estima el tiempo de vida de los nodos de una red mediantela recepción pasiva de mensajes intercambiados entre un par de nodos, anticipándosey previniendo una falla inminente de los nodos mediante la recon�guración de lasconexiones de los nodos en la red. El modelo aquí propuesto dispone resultados quepermiten al diseñador de la red elegir criteriosamente los valores de disponibilidadde red, error de sincronización y tasa de transmisión de datos de manera de cumplirlos requisitos de la aplicación.
Finalmente, se han engloblado los conceptos presentados a lo largo de la tesis enun único algoritmo de sincronización innovador el cual, mediante técnicas combina-das de codi�cación de red y control óptimo, logra sincronizar una WSN clusterizadaal tiempo que controla la energía de los nodos de manera de garantizar una soluciónestable en energía. Para tal �n se ha modelado la interacción de los nodos durante elproceso de sincronización como un sistema dinámico, al cual se lo controla a partirde la estimación de la energía remanente de cada nodo usando información del esta-do del canal de comunicaciones. Adicionalmente, dicho algoritmo de sincronizaciónpropuesto previene la falla de los nodos mediante un control de energía óptimo, altiempo que contribuye a la robustez de la WSN al no requerir una jerarquía de reddeterminada para su correcto funcionamiento.
Perspectiva
A lo largo del curso de esta tesis se han resuelto varios problemas que hasta el mo-mento se los consideraba como problemas abiertos en la literatura. Más allá de esto,
CAPÍTULO 10. CONCLUSIONES GENERALES 121
existen varios problemas que merecen ser investigados en el futuro cercano. Uno deestos problemas es la sincronización e�ciente en energía de redes heterogéneas, es de-cir, redes compuestas por nodos con diferentes características constructivas, tiemposde vida, potencias de transmisión, capacidad de procesamiento, etc. Estos problemasse verán con mayor frecuencias en las aplicaciones de la IoT, ya que potencialmen-te cualquier dispositivo podrá ser un nodo de una WSN, siendo la sincronizaciónprimordial para garantizar el correcto funcionamiento de la red.
Otro aspecto innovador introducido por esta tesis es el de modelar el comporta-miento de una WSN como un sistema dinámico, un enfoque que hasta el presenteno está difundido en la literatura de esta temática. Dicho esto, es varios problemasde ruteo, recon�guración asignación de recursos, etc, pueden ser investigados desdeel punto de vista de un sistema dinámico en el cual los parámetros de interés evolu-cionan con el tiempo, pudiéndose plantear una estrategia óptima para alcanzar lasmétricas de rendimiento deseadas a partir de técnicas de control moderno.
Finalmente, el concepto de radio cognitiva, o del inglés cognitive radio, utilizadopara de�nir a receptores que sensan el estado del canal inalámbrico de manera detomar decisiones en los algoritmos que ejecutan, presenta un potencial muy ampliocuando se lo combina con las técnicas de estimación paramétrica, sistemas dinámi-cos y control óptimo investigados por esta tesis, siendo un terreno particularmenteinteresante para explorar el de redes ad-hoc para aplicaciones de IoT.
122
Apéndice A
Resumen de HerramientasMatemáticas
A.1 Ruido AWGN
Considere el proceso de ruido blanco Gaussiano aditivo estacionario, denotadon(t), de media cero y densidad espectral de potencia, denotada Sn(f), constante eigual a N0/2 para toda frecuencia f , es decir
E[n(t)] = 0
Sn(f) =N0
2. (A.1)
Dado que n(t) es ruido AWGN, su función de autocorrelación, denotada porRN (τ), está dada por [9, p. 744]
RN (τ) =
∫ +∞
−∞Sn(f)exp(j2πfτ)df =
N0
2δ(τ) (A.2)
donde δ(·) es la función delta de Dirac [9, p. 13] (ver Apéndice A.8.1).Sea s(t) una señal originalmente enviada por el nodo transmisor a través de
un canal afectado por una realización de ruido AWGN en el instante de tiempo t,denotada por n(t). La señal recibida a la entrada del nodo receptor, denotada porr(t), tiene la forma:
r(t) = s(t) + n(t) (A.3)
La mayoría de los receptores comerciales de los nodos utilizan detectores de co-rrelación [9, p. 133] para determinar el símbolo que fue enviado desde el transmisor,observando el símbolo recibido durante una duración de tiempo TM dada por la du-ración del mensaje. Los detectores por correlación utilizan un conjunto de funcionesprototipo, denominada ψ(t) para un dado detector, la cual es utilizada como puntode referencia para la determinación del símbolo originalmente enviado a partir de laseñal recibida afectada por ruido.
123
124 APÉNDICE A. RESUMEN DE HERRAMIENTAS MATEMÁTICAS
De esta forma, la señal recibida r(t) es procesada por un �ltro pasabajos ideal defrecuencia de corte igual a 1/(2TM ) Hz [9, p. 33] de manera que la potencia de ruidoa la entrada del receptor, la cual coincide con la varianza σ2
N , queda determinadapor
σ2N = E[n2(t)] =
∫ TM
0
∫ TM
0RN (t− s)ψ(t)ψ(s)dtds =
N0
2(A.4)
donde se ha considerado la potencia a ambos lados del eje f = 0 y se usado elhecho que las funciones prototipo ψ(t) son ortonormales, es decir∫ TM
0
∫ TM
0ψ2(t)dt = 1. (A.5)
A.2 Modelo de Grafo de una WSN
Una WSN puede ser representada por un grafo dirigido G = (V, E) con vérticesV = {1, 2, ..., N}, un conjunto de aristas E ⊂ V × V y una matriz de adyacenciaA ∈ RN×N compuesta por los elementos A = {aij}, donde los coe�cientes aijrepresentan el peso de la conexión entre los nodos ui y uj , con {i, j} ∈ V, es deciruna extensión de lo de�nido en la Sección 2.2.1.
De manera de contemplar la atenuación por propagación de las señales transmi-tidas, se de�ne el coe�ciente aij de la siguiente manera:
aij =
1 i = j
(d0/dij)n dij ≤ Dijmax
0 en cualquier otro caso.
(A.6)
donde Dijmax es el máximo radio de cobertura del nodo ui cuando se comunicacon el nodo uj . El parámetro d0(< dij) es una distancia de referencia, mientras quen denota el exponente de pérdidas de camino, el cual varía en el rango n = 2 ∼ 6[29, p. 41].
A.3 Modelo de Canal Inalámbrico
A.3.1 Modelo de Canal Inalámbrico Simpli�cado
En general, en canales inalámbricos la relación entre las potencias de transmisiónSR/S y recepción está dada por [29, p. 46]:
SRS
(dB) = 10 logK − 10γ logd
d0− ψdB (A.7)
donde K es una constante que modela la ganancia de la antena, d0 es una distan-cia de referencia, γ es el exponente de pérdida de camino (pathloss), d es la distanciaentre el transmisor y el receptor, y ψdB = 10 logψ, siendo ψ una variable aleatoria
APÉNDICE A. RESUMEN DE HERRAMIENTAS MATEMÁTICAS 125
que modela ya sea los efectos de la atenuación a gran escala (apantallamiento o sha-dowing), o los efectos de la atenuación de pequeña escala de multicamino (multipathfading). Una comunicación es exitosa, es decir el receptor puede procesar el mensajeemitido por el transmisor, cuando la relación señal a ruido SNR, denotada por γs,satisface γs > γ0, siendo γ0 la mínima SNR que admite el receptor.
A.3.2 Canal Inalámbrico con Desvanecimiento de Gran Escala
El desvanecimiento de gran escala representa la atenuación o la pérdida de caminopromedio en la potencia de una señal transmitida a lo largo de grandes distancias,un fenómeno atribuido a contornos de terrenos prominentes entre el transmisor yel receptor, como pueden ser por e.j. carteles publicitarios, grupo de edi�cios, etc.[60]; aún más, para aplicaciones de ambientes interiores este fenómeno también estápresente para distancias menores a 10 metros [29, p. 27-60]. Bajo los efectos depérdidas de camino y sombreado (shadowing), la probabilidad de outage Pout sede�ne como la probabilidad de que la potencia recibida por el receptor caiga pordebajo de un mínimo umbral aceptable SRx expresado en dBm como se muestra acontinuación [29, p. 27-60]:
z(S) =SRx − [S + 10 logK − 10γ log(d/d0)]
σψdBPout(S) = 1−Q(z(S)) (A.8)
donde la función Q(·) es la función Q complementaria de�nida en la Sección A.8.5, yla potencia de transmisión S está en dBm. Los parámetros K, d, d0, γ, de�nidos en(A.7) se suponen conocidos. En este escenario, la variable aleatoria ψdB asume unadistribución Gaussiana con media cero y varianza σψdB , también asumida conocida.
A.3.3 Canal Inalámbrico con Desvanecimiento de Pequeña Escala
Se entiende por efectos de desvanecimiento de pequeña escala a los cambios dra-máticos en la amplitud de la señal como resultado de pequeños cambios en la separa-ción espacial entre transmisor y receptor [60], una situación que se presenta cuandoel transmisor y el receptor están rodeados de un gran número de objetos dispersores.
Bajo efectos de desvanecimiento de pequeña escala Rayleigh, no hay componentede línea de vista de la señal, y la envolvente de la señal recibida se describe por unaFDP Rayleigh. La probabilidad de outage en desvanecimiento Rayleigh para unamínima SNR aceptable γ0 y SNR de transmisión promedio γs se expresa como [29,p. 27-60]:
Pout(S) = 1− e−γ0/γs ≈ 1− e−γ0σ2N/S (A.9)
donde γ0 y γs ≈ S/σ2N son adimensionales, mientras que tanto la potencia de trans-
misión S como la potencia de ruido σ2N están expresados en Watt.
En un canal inalámbrico, el desvanecimiento de pequeña escala se mani�esta através de las siguientes diferentes mecánicas: dispersión de tiempo (desvanecimiento
126 APÉNDICE A. RESUMEN DE HERRAMIENTAS MATEMÁTICAS
plano y desvanecimiento selectivo en frecuencia)y varianza de tiempo (desvaneci-miento rápido y desvanecimiento lento). A continuación se agrega una breve des-cripción de los tipos de desvanecimiento de pequeña escala según lo explicado en[60].
Para explicar el fenómeno de dispersión de tiempo, se de�ne el ancho de bandade coherencia f0 del canal como el ancho de banda durante el cual la respuestapermanece constante. Este parámetro está relacionado con el dispersión de retardoστ el cual simboliza el tiempo que tarda cada componente de frecuencia de una señaltransmitida en llegar al receptor, siendo στ = 0 en un canal ideal (es decir, no haydispersión de tiempo en la señal recibida). La relación entre f0 y στ , aunque noexiste exactamente, se suele aproximar por f0 ≈ 1/(5στ ). El desvanecimiento planose experimenta cuando στ < TM , donde TM es la duración de tiempo del mensajetransmitido. Si στ < TM entonces se tiene el caso de desvanecimiento selectivo enfrecuencia, lo cual conlleva a interferencia entre símbolos o más comúnmente conocidodel inglés Inter-Symbol Interference (ISI).
Por otra parte, para estudiar el fenómeno de varianza de tiempo se de�ne el tiem-po de coherencia del canal, denotado por T0, como el tiempo durante la respuesta delcanal permanece constante, y de esta forma se obtiene una medida de la correlacióndel mismo. Intuitivamente, si se envían dos símbolos espaciados en el tiempo un valormenor o igual a T0, la señal recibida al enviar un símbolo estará correlacionada con laseñal recibida debida al símbolo anterior. Asimismo, si T0 < TM entonces se tendráuna respuesta cambiante del canal mientras se está enviando un mismo símbolo, locual distorsiona la señal recibida, causado problemas de SNR y de sincronización enel oscilador del receptor. Al caso T0 < TM se lo denomina desvanecimiento rápidoya que el canal está cambiando antes que se pueda recibir el símbolo o mensaje encuestión. Por el contrario, cuando se tiene el caso contrario, es decir T0 > TM sedice que el canal experimenta desvanecimiento lento, el cual es el caso deseado en lapráctica. Finalmente, en el fenómeno de varianza en el tiempo se de�ne la frecuenciade dispersión de Doppler como fd ≈ 1/T0, la cual explica el comportamiento de larespuesta en frecuencia del canal para un grupo de señales espaciadas ±f0 respectode la frecuencia central de la portadora de la señal. En general es deseable que ladispersión de Doppler sea lo más parecida posible a una función delta de Dirac, locual indica que al transmitir un tono sinusoidal puro, no hay dispersión en frecuen-cia y consecuentemente el espectro de la señal recibido es el de un tono, es decir lafunción delta de Dirac centrada en la frecuencia de la portadora.
A.4 Estimación Paramétrica y Cotas Óptimas
Considere la esperanza y la varianza de un estimador insesgado del o�set comose muestra a continuación:
E[θ] = θ (A.10)
σ2θ
= E[(θ − E[θ])2] = E[(θ − θ)2] = σ2θ(m) (A.11)
La cota inferior de Cramer-Rao [33, p. 22], en inglés Cramer-Rao Lower Bound(CRLB), sirve como medida del mejor rendimiento que un estimador insesgado puede
APÉNDICE A. RESUMEN DE HERRAMIENTAS MATEMÁTICAS 127
alcanzar. El error de estimación se relaciona con la Información de Fisher I(θ) comosigue [33, p. 34]:
σ2θ≥ 1
I(θ)(A.12)
con
I(θ, m) , −E[∂2
∂θ2ln f(θ, m)
](A.13)
donde f(θ, m) es la función de verosimilitud del parámetro θ para m mensajesrecibidos exitosamente.
Cuando un estimador insesgado alcanza la CRLB, se dice que éste es Cramer-Raoe�ciente [33, p. 30].
A.5 Teorema de la Probabilidad Total
Sean Bi, i = 1, 2, . . ., un conjunto �nito de eventos mutualmente excluyentes.Sea A otro evento, entonces la probabilidad marginal de A está dada por [4, p. 35]
P (A) =∑i
P (A ∩Bi) =∑i
P (A|Bi)P (Bi). (A.14)
A.6 Problema del Valor Inicial
Sea un sistema no lineal de�nido por
x = f(t)
x(0) = x0 (A.15)
donde x , dx/dt. Bajo la hipótesis de que f(t) es integrable, la solución de (A.15)está dada por [52, p. 66]
x(t) = x0 +
∫ t
0f(s)ds. (A.16)
Si f(t) en el sistema (A.15) es una función lineal del tipo Ax entonces la solución(A.16) toma la forma
x(t) = eAtx0 (A.17)
la cual es válida tanto para el caso escalar como para el caso vectorial de x, dondeA es una matriz no nula.
128 APÉNDICE A. RESUMEN DE HERRAMIENTAS MATEMÁTICAS
A.7 Sistemas Dinámicos y Control Óptimo
Sea x0 , [e10 . . . eNq0 ]T el punto de operación de las desviaciones de las ener-gías de los nodos de una WSN alrededor del cual se desea operar cada cluster Cq.Idealmente, |εij − εijopt | se debería minimizar para todo i, j ∈ Vq de manera quelos errores de estimación tomadas de a pares yazcan tan próximo como sea posiblea sus valores objetivos. Expandiendo el sistema para todos los pares de nodos, essimple notar que el sistema de ecuaciones formado por todas las incógnitas ei, ej andrestricciones εijopt es incompatible, es decir no se puede encontrar una solución enel caso general porque se tienen NM ,
(Nq2
)ecuaciones y sólo Nq incógnitas. Sin
embargo, siempre es posible encontrar una solución que minimice la desviación totalde los errores de las estimaciones. Formando un vector de dimensión NM × 1 quecontenga todas las diferencias en los errores de estimación tomadas de a pares vector,es decir Υij , {εij} y Υijopt , {εijopt}, ∀i, j ∈ Vq , se puede formular el siguienteproblema de optimización
Encontrar x0 que minimice ‖Υij −Υijopt‖2 (A.18)
lo cual puede ser resuelto por medio de una búsqueda de grilla [35]. En la Sec-ción 7.3 se mostró que es posible modi�car el punto de trabajo dependiendo de la�exibilidad que se quiera obtener en tiempo de implementación, y por este motivox0 no necesariamente debe cumplir (A.18). De acuerdo (9.31), x0 puede ser elegidalibremente siempre y cuando no se comprometa el rendimiento del error de estima-ción a nivel de red en la WSN. Si la implementación, sin embargo, no permite quese realice una búsqueda de grilla, una solución práctica a la elección de x0 es tomarx0 = x(k).
Recordando (9.35), se de�ne
y , x (A.19)
f(x,y) ,
f1(e1, ej , e1, ej)
...fi(ei, ej , ei, ej)
...fNq(eNq , ej , eNq , ej)
(A.20)
Expandiendo para todo j ∈ V, j 6= i, se puede escribir el sistema no linealy = f(x,y) como una ecuación diferencial vectorial implícita como se muestra acontinuación:
g(x,y) = y − f(x,y) = 0. (A.21)
Dado x0, es inmediato obtener el punto de operación y0 a partir de (A.19) usandola derivada discreta de la forma
APÉNDICE A. RESUMEN DE HERRAMIENTAS MATEMÁTICAS 129
y0(k) =x0(k)− x0(k − 1)
NqTs. (A.22)
Usando el Teorema de la Función Implícita (TFI) [2, p. 238], si las derivadasparciales de los elementos g(x,y) en (A.21), dadas por la matriz Jacobiana del campovectorial g(x,y), existen y son continuas en su dominio, entonces se puede a�rmarque existe un único campo vectorial h(x) tal que y = h(x), y consecuentemente(A.21) tiene una única solución.
Nótese que fi(ei, ej , ei, ej), ∀i ∈ V, es singular solamente cuando Eci = 0, esdecir cuando el nodo ui no consume energía con propósitos de sincronización, unasituación que está fuera del rango de operación del algoritmo de sincronización. Luegofi(ei, ej , ei, ej) es clase C1 en su dominio tal como lo requiere el TFI.
Dado que el sistema resultante (A.21) es no lineal, es conveniente linealizarloalrededor del punto de operación (x0,y0) como se muestra a continuación [2, p. 264]
∂g
∂x
∣∣(x0,y0) · (x− x0) +
∂g
∂y
∣∣(x0,y0) · (y − y0) = 0 (A.23)
con ∂g∂x , {
∂gi∂xi} y ∂g
∂y , {∂gi∂yi}, ∀i ∈ {1, 2, . . . , Nq}.
Recordando (9.31), debido a que las desviaciones de la energía se deben manteneralrededor del origen, es decir ei ≈ 0 para todo i ∈ Vq, se cumple ei � ESP i . Másaún, se puede decir que (ESP i − ei)/ESP i ≈ 1. Con estas dos aproximaciones, ydenotando yi0 , y0[i], yj0 , y0[j], ESP , ESP i para todo i ∈ Vq, resulta
∂gi∂xj≈
{0, si j = i
− λE4SP
(yi0 + yj0)∑Nq
j=1 aij , en caso contrario. (A.24)
y
∂gi∂yj≈
{1, si j = iλ
E2SP
∑Nqj=1 aij , en caso contrario. (A.25)
De�niendo
A , −(∂g
∂y
∣∣(x0,y0)
)−1
· ∂g
∂x
∣∣(x0,y0) (A.26)
v , A · x0 + y0 (A.27)
el sistema (A.23) se puede reescribir en la forma lineal estándar
x = A · x + v (A.28)
donde x es el estado del sistema dinámico, y v es una perturbación conocida.De manera de controlar el sistema (A.28), se puede introducir una señal de con-
trol, denotada por u, la cual de�ne el per�l de radio operación de cada nodo en elcluster. De esta forma, se propone una estrategia de control llevada a cabo por cada
130 APÉNDICE A. RESUMEN DE HERRAMIENTAS MATEMÁTICAS
nodo ui, el cual emite una señal de control u cada Nq Ts segundos, es decir con unaresolución de tiempo dada por la frecuencia de broadcast de la medición de relojdel nodo ui. El sistema dinámico de lazo cerrado resultante desde la perspectiva delnodo ui está dado por
x = A · x + B · u + v (A.29)
donde B es la matriz de identidad de dimensión Nq × Nq, mientras que u estádado por
u ,
ν1i...
νNq i
(A.30)
con νji > 0 si el nodo uj debe enviar su medición del o�set del reloj del nodoui en la siguiente ronda de sincronización en el instante tk+Nq , o νji < 0 en casocontrario, donde j ∈ {1, 2, . . . , Nq}, j 6= i.
La perturbación v generalmente se incluye en la variable de control u usando elcambio de variable
Bv · uv , B · u + v (A.31)
lo cual conduce a
x = A · x + Bv · uv. (A.32)
La ley de control original u se recupera usando la pseudoinversa de B a partirde
u = (BT ·B)−1 ·BT · (BvT · uv − v). (A.33)
Considere ahora la energía de la WSN desde una perspectiva de sistema dinámico;se analizará primero el enfoque de sistema dinámico de tiempo continuo, y luego semuestreará el sistema de tiempo continuo para arribar a uno de tiempo discreto.
Enfoque de Sistema de Tiempo Continuo Considere el siguiente sistema deecuaciones diferenciales no lineales
x = h(x) (A.34)
donde x,h(x) ∈ Rn, n ∈ N es la dimensión del sistema, mientras que x = dxdt .
Sea el origen x0 = 0 un punto crítico de (A.34), es decir un punto en el cual lastrayectorias del sistema detienen su tasa de cambio temporal, o lo que es lo mismox = h(0) = 0 [52, p. 102].
Se dice que el sistema descripto por (A.34) es estable en el sentido de Lyapunov[34, p. 114] si existe un campo escalar V (x) que cumple con las siguientes condiciones:
• V (0) = 0,
APÉNDICE A. RESUMEN DE HERRAMIENTAS MATEMÁTICAS 131
• V (x) > 0 ∀x 6= 0,
• V (x) ≤ 0 ∀x 6= 0.
Si V (x) es estrictamente negativa para x no nulo, es decir V (x) < 0 ∀x 6= 0,entonces se dice que el sistema (A.34) asintóticamente estable, lo que signi�ca quetodas las trayectorias que comienzan alrededor del origen convergerán al mismo amedida que t→ +∞. Sea la función de Lyapunov
V (x) , xT · x (A.35)
entonces,
V (x) = 2 xT · x. (A.36)
Particularmente, si f(x) en (A.34) es una función lineal de x, entonces (A.34) sepuede expresar como
x = A · x. (A.37)
El sistema lineal (A.37) es de especial interés ya que si A es regular, es decirdet A 6= 0, entonces x → 0 ⇐⇒ x → 0, o lo que es lo mismo a medida que lastrayectorias estabilizan sus tasas de cambio, también convergen al origen, lo cual esun efecto deseado cuando se trata de controlar las trayectorias alrededor de un valorobjetivo o setpoint.
El objetivo �nal de esta técnica es producir una ley de control que alcance lasincronización a nivel de red al tiempo que se controla el vector de desviaciones deenergía x a cero, o lo que es lo mismo que cada nodo en la WSN alcance su setpointde energía mientras se asegura que el sistema a lazo cerrado es estable. Dicho objetivopuede lograrse eligiendo una ley de control de la forma
uv = −Kx · x (A.38)
donde Kx es una matriz que ubica los polos de lazo cerrado del sistema dinámico.A (A.38) se la denomina control por realimentación de vector de estados completoya que usa el vector de estado medido completo x. Combinando (A.32) con (A.38)se obtiene
x = (A−Bv ·Kx) · x. (A.39)
Reemplazando (A.39) en (A.36) da
V (x) = 2 xT · (A−Bv ·Kx) · x. (A.40)
De esta manera, la matriz Kx se debe elegir tal que V (x) en (A.40) sea de�nidanegativa, es decir que la matriz A − Bv · Kx sea Hurwitz [34, p. 135], o lo quees lo mismo, que todos sus autovalores tengan parte real negativa. Dicho problemageneralmente conlleva a encontrar in�nitas soluciones de Kx, y por este motivo sepuede plantear un problema de optimización de la forma de control Linear Quadratic
132 APÉNDICE A. RESUMEN DE HERRAMIENTAS MATEMÁTICAS
Regulator (LQR) [6, p. 408]. La ventaja del controlador LQR subyace en la habilidadde minimizar tanto los estados x como los comandos u por medio del uso de matricesde peso para cada uno de ellos. Es claro que minimizar x implica una convergenciamás cercana a los objetivos de energía; el bene�cio de minimizar u sólo se hace visiblecuando la magnitud de las señales de comando tienen sentido para la aplicación.En este caso, el algoritmo de sincronización podría codi�car en ‖u‖2 el número derondas de sincronización consecutivas que un receptor debería tener su transceptorencendido o apagado, y de esta forma la optimización de ‖u‖2 tendría un impactodirecto en el rendimiento energético de la red.
De�niendo la función de costo
J =
∫ ∞0
(xT ·Q1 · x + uTv ·Q2 · uv) dt (A.41)
se penaliza tanto el estado x como la señal de comando uv mediante las matricesde peso Q1 y Q2. La matriz Q1 se puede elegir igual a la matriz de identidad dedimensión Nq × Nq de manera de darle igual peso a todas las desviaciones de lasenergías de los nodos. Se elige la matriz Q2 como una matriz diagonal de dimensiónNq ×Nq basado en la estimación de la energía remanente del nodo ui producida porel nodo uj , denotada por Ei|uj , la cual se obtiene a partir de las estimaciones depotencia transmitida Si|uj combinando (9.1), (9.27) y (8.12). Es decir,
Q1 = I
Q2 = diag{q(2)i } (A.42)
con q(2)i , 1/Ei|uj , ∀i ∈ Vq. La matriz óptima LQR Kx en (A.38) viene dada
por [51, p. 795]
Kx = Q2−1 ·B ·P (A.43)
donde la matriz P está dada por la ecuación implícita de Riccati de matrizreducida
A ·P + P ·A−P ·Bv ·Q2−1 ·Bv ·P + Q1 = 0. (A.44)
Nótese que Q2−1 = diag{1/q(2)
i } = diag{Ei|uj}, ∀i ∈ Vq.
Cambiando a Tiempo Discreto De muestrear el sistema de tiempo continuo(A.32) con una frecuencia de muestreo igual a 1/(NqTs) resulta el siguiente sitemade tiempo discreto:
x(k + 1) = Ad · x(k) + Bd · uv(k) (A.45)
donde las matrices Ad y Bd se obtienen como [6, p. 302]
Ad = eANqTs (A.46)
APÉNDICE A. RESUMEN DE HERRAMIENTAS MATEMÁTICAS 133
Bd =
∫ NqTs
0eAtdt ·Bv. (A.47)
En la versión de tiempo discreto del problema de optimización LQR, la función decosto (A.41) se debe muestrear con la misma frecuencia con que se ha muestreado elsistema de tiempo continuo. La función de costo discreta que el control LQR discretominimiza está dada por:
Jd =∞∑k=0
(xT (k) ·Q1 · x(k) + uTv (k) ·Q2 · uv(k)
). (A.48)
La ecuación de Riccati de tiempo discreto estacionario se obtiene muestreando(A.44), lo cual produce la siguiente ecuación implícita de la incógnita P [6, p. 420]:
Pd = ATd ·Pd ·Ad + Q1 − (AT
d ·Pd ·Bd) ·(BT
d ·Pd ·Bd + Q2)−1 · (BTd ·P ·Ad). (A.49)
Luego, la ley de control discreta está dada por
u = (BdT ·Bd)−1 ·Bd
T · (BvT · uv − v) (A.50)
mientras que la matriz de ganancia óptima viene dada por [6, p. 417]
Kd =(Q2 + BT
d ·Pd ·Bd
)−1 ·BTd ·Pd ·Ad. (A.51)
A.8 Funciones Matemáticas Accesorias
A.8.1 Función Delta de Dirac
La función delta de Dirac, denotada δ(t), está de�nida por las siguientes propie-dades [9, p. 13] ∫ +∞
−∞δ(t)dt = 1 (A.52)
δ(t) = 0 ∀t 6= 0 (A.53)
lımt→0
δ(t) = +∞ (A.54)
∫ +∞
−∞x(t)δ(t− t0)dt = x(t0) (A.55)
134 APÉNDICE A. RESUMEN DE HERRAMIENTAS MATEMÁTICAS
A.8.2 Funciones de Bessel
La Figura A.1 muestra las funciones de Bessel de primera especie y de órdenescero, primero y segundo [67, 60]. La función de Bessel de primera especie y orden cero,J0(x) tiene su valor máximo en x = 0 y luego decae en forma oscilatoria aunque noconverge a medida que se incrementa el valor de x. Sin embargo, de�niendo ψ = 16,3se puede a�rmar que
lımx→+∞
|J0(x)| < |J0(ψ)| = 0,2 ∀x > ψ (A.56)
con lo cual J0(0) > 5|J0(ψ)| puede utilizarse como una aproximación del caso dealta correlación en x=0 y baja correlación para valores de x > ψ. De esta manera sepueden cuantizar los casos de alta y baja correlación de canal solamente analizandoel argumento de la función J0(x).
Figura A.1: Funciones de Bessel de primera especie.
A.8.3 Norma de Frobenius
La norma de Frobenius [11, p. 634] de una matriz C se de�ne como
‖C‖F ,
√√√√ 2m∑i=1
2m∑j=1
cij (A.57)
siendo cij el elemento (i, j) de C.
A.8.4 Función de Heaviside
La función de Heaviside H(x) se de�ne como [12, p. 61-65]
APÉNDICE A. RESUMEN DE HERRAMIENTAS MATEMÁTICAS 135
H(x) =
0 x < 0
0,5 x = 0
1 x > 0
(A.58)
A.8.5 Función Q Complementaria
La función Q complementaria está de�nida por
Q(x) =1√2π
∫ ∞x
exp(−u
2
2
)du (A.59)
la cual de�ne la probabilidad que una distribución normal estándar sea mayorque el parámetro x.
136
Apéndice B
Demostraciones Matemáticas
B.1 Demostración del Lema (1)
Esta demostración está en el contexto del Lema 1 de�nido en la Sección 5.6.Un estimador insesgado del parámetro θij que alcance la cota de CRLB utilizando
datos disponibles en el vector x se puede encontrar si y sólo si [33, p. 20]:
∂ ln p(x; θij)
∂θij= I(θij)[g(x)− θij ] (B.1)
para algunas funciones I(θij) y g(x). Aún así, si I(θij) y g(x) existen, la CRLB esigual a 1/I(θij) y g(θij) es el estimador insesgado de mínima varianza (MVUE) deθij . De�niendo de x , {xk = θij + zk}, y usando la función de verosimilitud de�nidaen (4.6), (B.1) toma la siguiente expresión:
∂ ln p(x; θij)
∂θij=
m
σ2V
((1
m
m∑k=1
xk
)− θij
). (B.2)
La ecuación (B.2) muestra que la cota CRLB está dada por I(θij) = m/σ2V
mientras que g(x) = 1m
∑mk=1 xk = 1
m
∑mk=1(θij + zk) es el estimador MVUE de θij .
De este modo, mediante la introducción de (5.33), el estimador MVUE de θij es lamedia muestral. Por lo tanto, el Lema 1 queda demostrado �
B.2 Demostración de Pr (tlt < tmin) en (8.17)
La expresión de Pr (tlt < tmin) en (8.17) se obtiene de�niendo
Pr (tlt < tmin) = Pr
(E0 + EH − EminTmR S + VddIq
< tmin
)= Pr
(A(R) < S
)(B.3)
con
A(R) ,1
RTm
(E0 + EH − Emin
tmin− VddIq
). (B.4)
137
138 APÉNDICE B. DEMOSTRACIONES MATEMÁTICAS
Usando (8.4) y (8.8), (B.3) se reescribe como
Pr (tlt < tmin) = Pr
(M > RTw
(1−
γ0σ2N
A(R)
))= 1− Pr
(M ≤ bB(R)c
)(B.5)
donde b·c es la función piso (es decir, toma el entero inferior más próximo a suargumento), y
B(R) , RTw
(1−
γ0σ2N
A(R)
). (B.6)
Dado que Pr (tlt < tmin) en (B.5) está de�nida a partir de una distribución bino-mial obtenida como la probabilidad de recibir más de bB(R)c mensajes exitosos, suexpresión está dada por
Pr (tlt < tmin) = 1−bB(R)c∑k=0
(bmck
)(1− Pout)k (Pout)
bmc−k (B.7)
concluyéndose así la demostración de (8.17) �
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