sinyal digital dan operasi matematika
TRANSCRIPT
1
Sinyal Digital dan Operasi Matematika
2
Time Domain sinyal diskrit
X[n]=xa(t)|t=nT=xa(nT), n=……., -2, -1, 0, 1, 2, 3, ……
T= perioda Sampling, frekuensi sampling Fs=1/T
X[n] dapat real, atau kompleks
X[n]=xr[n]+jxi[n]signal kompleks
3
Sinyal Digital Dasar
1- Unit impulse or unit sample
1][ n0][ n
If n=0
If n=0 n=0
][n
2- Unit step
u[n]=1 if n>=0
u[n]=0 if n<0n=0
n
n
u[n]
1
1
4
3- Ramp signal
r[n]=nu[n]
r[n]
n=0n
4- Exponential sequencenAnx ][
A and α dapat berupa bil.real:
X[n]=0.2(1.2)n X[n]=20(0.9)n
5
A dan α dapat berupa bil.kompleks :
)( jwe jeAA )(][ wnjneeAnx
)sin()cos(][ wneAjwneAnx nn
Real Imaginer
Bagian real dan kompleks dari sebuah eksponensial kompleks adalah sekuensial real sinusoidal dengan growing
amplitude ( >0), decaying amplitude ( <0), constant amplitude ( =0)
6
Real Imaginer
<0
>0
=0
7
Hubungan antara Cosinus, Sinus, and Fungsi Eksponensial
x1[n]= A exp(jwn) = A cos(wn) + jA sin(wn)
x2[n]= A exp(-jwn) = A cos(wn) - jA sin(wn)
cos(wn)= 0.5A(exp(jwn)+exp(-jwn))
sin(wn)= 0.5A(exp(jwn)-exp(-jwn))
f
Amplitude
f1f
f1-f1
Amplitude
Spektrum gelombang sinus real
Spektrum dari gelombang sinus kompleks
8
Klasifikasi Sinyal1- Finite length or infinite length sequences
X[n]
N1<=n<=N2 maka sequence dikatakan
finite length
Jika N1= - atau N2= maka
Sequence dikatakan infinite length
9
2- Even and Odd sequences (Simetris)
n
Even sequence
x[n]=x[-n]
x[n]=-x[-n]
Odd sequence
10
3- Periodic and aperiodic sequences
n
Periodic
x[n]=x[n+kN], N=20
Sequence dikatakan aperiodic jika gambar tidak periodic
Periodic Sequence
11
4- Bounded and UnboundedSequence is dikatakan bounded jika the magnitud dari seitap
sampel kurang atau sama dengan sebuah bil. positive tertentu.
Bnx ][5- Absolutely summable
Sequence dikatakan absolutely summable jika:
n
nx ][
6- Energy of a sequence
Energy of a sequence x[n] dirumuskan :
n
nxE2
][
12
Operasi dasar pada sequencesXx1[n]
x2[n]
y[n]=x1[n].x2[n]
Perkalian, Windowing
+x1[n]
x2[n]
y[n]=x1[n]+x2[n]
Penjumlahan
Ax1[n] y[n]=A*x1[n]
Pensaklaan
Dx1[n]
y[n]=x[n-1]
Unit delay
D-1x1[n]y[n]=x[n+1]
Unit advance
13
D D Dx[n] x[n-1] x[n-2] x[n-3]
+
a1 a2 a3 a4
y[n]
D D Dx[n] x[n-1] x[n-2] x[n-3]
+
a1 a2 a3 a4
y[n]
Contoh
y[n]= a1x[n] + a2x[n-1] + a3x[n-2] + a4x[n-3]
D
D
D
x[n]
x[n-1]
x[n-2]
y[n-1]
+b0
b1
b2
a1
y[n]
Da2
y[n-2]
D
D
D
x[n]
x[n-1]
x[n-2]
y[n-1]
+b0
b1
b2
a1
y[n]
Da2
y[n-2]
Contoh
y[n]= b0x[n]+b1x[n-1]+b2x[n-2]+a1y[n-1] + a2y[n-2]
14
Sistem waktu diskritFungsi dari sebuah sistem waktu diskrit (discrete time system) adalah
untuk memproses sebuah input sequence yang diberikan untuk menghasilkan sebuah output sequence.
Discrete time systemInput sequence Output sequence
X[n] y[n]
Contoh: M (point moving average system)
1
0
][1
][M
k
knxM
ny
Sistem digunakan untuk memperbaiki noise
15
X[n]=s[n] + d[n]
Sinyal Noise%moving average filterR=50;d=rand(1,R)-0.5;m=0:1:R-1;s=2*m.*(0.9.^m);x=s+d;subplot(2,1,1);plot(m,d,'r',m,s,'b',m,x,'g')xlabel('Time index n');ylabel('Amplitude');M=3;b=ones(M,1)/M;y=filter(b,1,x);subplot(2,1,2);plot(m,y,'b')xlabel('Time indexn');ylabel('Amplitude');
d=noise, s=sinyal, M=3, averaging window ada 3 samples
16
Biru=sinyal
Hijau=sinyal+noise
Merah=noise
Sinyal Hasil Filter
17
Linearitas
Homogen
18
Additivitas
19
Shift Invariance
LTI (linear time invariant) memenuhi 2 syarat yaitu sifat linearitas dan time invariance. Sistem akan mudah dianalisis dan di desain. Kebanyakan dari algoritma pemrosesn sinyal tergantung kepada dua sifat ini.
20
KausalitasDalam sistem kausal sinyal output tergantung hanya pada input saat ini
dan input sebelumnya dan tidak pada input yang akan datang.
Y[n]=2y[n-1]+x[n+2]Sistem tidak kausal
StabilitasSebuah system yang stabil menghasilkan output tertentu
atau terbatas (bounded) terhadap input terbatas (bounded) Ini berarti bahwa jika x[n] bounded, mis. |x[n]|<Bx, maka untuk sistem menjadi Bounded Input Bounded Output
(BIBO) stabil, maka |y[n]|<By.
BxBxMM
knxM
knxM
nyM
k
M
k
)(1
][1
][1
][1
0
1
0
Contoh :Untuk M point average filter kita dapat memperlihatkan bahwa sistem adalah BIBO yang stabil,
21
InvertabilitasJika sebuah system dengan input x[n] memberikan sebuah
output y[n], maka systemini dikatakan invertabel jika kita dapat mendefinisikan input tanpa ada ambigu saat kita tahu
output..
Y[n]=(x[n])2System adalah non-invertabel
karena jika kita tahu y[n], ada ada 2 harga unutk x[n] yang dapat
memberikan output ini. Yaitu +x[n], dan –x[n]Pasifitas
Sebuah discrete time system dikatakan pasif, jika untuk setiap energy tertentu input sequence x[n], output sequence y[n] mempunyai energi yang
sama atau malah lebih kecil.
nn
nxny22
][][
Y[n]=a x[n] adalah pasif jika |a|<1, dan lossless jika |a|=1.
22
Komutatif
Ketika dua sinyal atau lebih disusun secara kaskade, hubungan yang terjadi pada sistem tidak mempengaruhi
karakteristik sistem.
23
System dengan banyak inputs dan/atau outputs akan menjadi linear jika disusun dari sistem yang linear dan
penambahan sinyal
24
SuperposisiSinyal diperlihatkan sebagai superposisi
(sum) dari bentuk gel.sederhana
(penjumlahan)
Dipisah-pisahkan
25
DecompositionsPerlu diingat bahwa tujuan dari metode ini adalah untuk
menggantikan problem yang rumit menjadi beberapa cara yang mudah.
Ada dua cara untuk men- decompose sinyal dalam signal processing
Impulse decomposition
Fourier decomposition
26
Menampilkan sebuah sequence melalui sebuah unit sample
Jika x[n]=[1, 3, 0.05, -2.5], maka dapat di tampilkan :
X[n]=1 [n+1]+ 3 [n] +0.05 [n-1] -2.5 [n-2]
indek waktu nol Sample
dan
x[n]= [0 0 0 0.5 0 0 1.5 -1 0 1 0 0.75 0 0 0]
Dapat ditulis sebagai,
x[n]=0.5δ[n+2]+1.5δ[n-1]-δ[n-2]+δ[n-4]+0.75δ[n-6]
27
Asumsi bahwa sistem adalah linear dan mempunyai sebuah impulse response h[n], dan dengan
menggunakan theorema superposisi kita dapat menulis outputnya :
y[n]=0.5h[n+2]+1.5h[n-1]-h[n-2]+h[n-4]+0.75h[n-6]
Dimana h[n] disebut impulse response
h[n]δ[n] y[n]=h[n]
Impulse response dari sebuah system
Adalah output dari sistem ketika input sebuah impulse .
28
Secara umum :
k
knkxnx ][][][
Respons dari sebuah system LTI terhadap input sebelumnya menjadi :
k
knhkxny ][][][
k
khknxny ][][][
Operasi ini disebut convolusi
y[n]=x[n]*h[n]
29
Convolusi
Convolusi adalah sebuah cara matematika dari penggabungan dua buah sinyal menjadi bentuk sinyal yang lain.
Teknik ini merupakan teknik yang cukup penting in Digital Signal Processing.
Penggunaan strategi dari decomposisi impulse, systems di deskripsikan dengan sinyal yang disebut impulse response. Convolusi adalah sangat penting karena berhubungan dengan 3 sinyal : input signal, output signal, dan impulse response
30
Sinyal output dari sebuah system linear adalah sama dengan sinyal input diconvolvusi dengan impulse response system.Convolusi disimbolkan dengan bintang (*)
31
Convolusi adalah komutatif
x1[n]*x2[n]=x2[n]*x1[n]
dan assosiatif
(x1[n]*x2[n])*x3[n]=x1[n]*(x2[n]*x3[n])
dan distributif,
x1[n]*(x2[n]+x3[n])=x1[n]*x2[n]+x1[n]*x3[n]
k
knhkxny ][][][
Perhitungan dari convolusi dari dua sequences
32
0.5
x[n]
n
0 1 2
n
h[n]
0 1 2
3
21
k-2- 1 0
3
21
h[-k]
1
1.5
y[n]
n
0.5
x[k]
k
0 1 2
k-1 0 1
3
21
h[1-k]
2
2.5
1.5
y[n]
n
k
khkxy ]0[][]0[
k
khkxy ]1[][]1[
33
1.5
y[n]
n
0.5
x[k]
k
0 1 2
k 0 1 2
3
21
h[2-k]
3
2.5
3
1.5
y[k]
n
2.5
3
1.50.5
Hasil Akhir
0 1 2 3 4
N=3+3-1=5
Panjang data sekuens output adalah jumlah data kedua input dikurangi 1
k
khkxy ]2[][]2[
34
Contoh :
h[n]=an u[n], x[n]=u[n], 0<a<1
k
knxkhny ][][][
k
k knukuany ][][][
Perkalian u[k] dan u[n-k] adalah 1 hanya untk n>=0 dan Nol untuk n<0, maka kita dapat menulis persamaan terakhir
menjadi
n
k
nk
a
aany
0
1
1
1][
Output didefenisikan hanya untuk n>0
][1
1][
1
nua
any
n
=1 utk K>=0, dan k<=n
i.e 0<=k<=n
35
%konvoluasi dua sequencesa=[1 1 1 1 1 1 1 1 1 1];b=[1 1 1 1 1 1 1 1 1 1];c=conv(a,b);subplot(3,1,1);stem(a);subplot(3,1,2);stem(b);subplot(3,1,3);stem(c)
Menggunakan MATLAB
36
Hubungan kaskade dari 2 systems LTI
h1[n] h2[n]x[n] y[n]
h2[n] h1[n]x[n] y[n]
h1[n]*h2[n]y[n]x[n]
Hubungan dalam kaskade sistem LTI tidak berpengaruh kepada impulse
response keseluruhan karena sifat komutatif
dari konvolusi
37
Hubngan parallel dua system LTI
h1[n]
h1[n]
x[n]
y[n]+
h1[n]+h2[n]y[n]x[n]
Output dari dua sistem adalah penjumlahan yang menghasilkan
sistem output
38
Bounded Input Bounded Output, BIBO LTI systems
Kita tahu bahwa system BIBO adalah sistem memberikan sebuah output bounded ketika inputnya juga bounded.
Sebuah system LTI adalah BIBO jika impulse responsenya bounded, mis
Skhk
][
Untuk membuktikan, ambil nilai absolut untuk output system :
k
knxkhny ][][][
Nilai absolut total adalah lebih kecil dari nilai ablsolut :
k
knxkhny [][][
39
Asumsikan bahawa input sequence adalah bounded, |x[n]|<=M, maka dapat ditulis:
Mkhnyk
][][
k
khMny ][][
SMny .][
Sehingga, karena S bounded, maka |y[n]| juga bounded
Sehingga , system LTI dikatakan BIBO jika impulse response-nya juga bounded.
40
Systems Causal LTI
Impulse response h[n] dari sebuah system LTI harus nol untuk semua n negatif untuk membuat system LTI causal.
Asumsikan : x1[n]=x2[n], n≤n0 maka dapat ditulis response dari system untuk dua inputs sbb:
k k k
knxkhknxkhknxkhny0
1
]0[1][]0[1][]0[1][]0[1
k k k
knxkhknxkhknxkhny0
1
]0[2][]0[2][]0[2][]0[2
Kedua bentuk ini identik karena k>0 dan [n0-k] akan
menjadi <n0. Maka x1[n]=x2[n] memenuhi
Untuk k<0 maka [n0-k] akan menjadi >no dan x1[n] tidak identik
trhadap x2[n]. Maka untuk membuat y1[n]=y2[n] maka h[k] harus nol
untuk nilai k negatif
41
Contoh :
Hitung jika system h[n]=anu[n] adalah a)BIBO b)causal
Dari defenisi u[n] dimana nol untuk n<0, maka system adalah causal.
][][][ kukhnhk
0
][k
kanh
aanh
k
k
1
1][
0
Sehingga , jika |a|<1 maka |h[n]| adakan bounded dan sistem adalah BIBO
42
Systems LTI menurut panjangnya
Finite impulse response, FIR. Dalam kasus in ouput di hitung
berdasarkan jumlah konvolusi
Infinite impulse response, IIR.
Dalam kasus ini konvolusi tidak dapat
digunakan kecuali kalau input sequence dibatasi panjangnya
(finite lenght).
43
Systems LTI berdasarkan bagaimana cara menghitung output
Nonrecursive recursive
Output adalah fungsi dari input saat ini dan input
sebelumnya
Output saat ini adalah fungsi input saat ini, input sebelumnya dan output
sebelumnya.
2
1
][][][N
Nk
knxkhny
N
k
M
k
kk knxd
pkny
d
dny
1 0 00
][][][
44
Latihan Menggambar system impulse response menggunakan
MATAB
Y = FILTER(B,A,X) filters the data in vector X with the filter described by vectors A and B to create the filtered data Y. The filter is a "Direct Form II Transposed" implementation of the standard difference equation:
a(1)*y(n) = b(1)*x(n) + b(2)*x(n-1) + ... + b(nb+1)*x(n-nb) - a(2)*y(n-1) - ... - a(na+1)*y(n-na) If a(1) is not equal to 1, FILTER normalizes the filter coefficients by a(1).
function FILTER Dari HELP :
45
y[n]=-0.7y[n-1]+0.45y[n-2]+0.6y[n-3]+ 0.8x[n]-0.44x[n-1]+0.36x[n-2]+0.02x[n-3]
1 -Menggunakan function filter untuk menggambar system impulse response
Impulse response output dari system y[n] ketika input x[n] adalah sebuah impulse.
%Perhitungan impulse response menggunakan function fiterL=41; % panjang dari output sequenceb=[0.8 -0.44 0.36 0.02];a=[1 0.7 -0.45 -0.6];x=[1 zeros(1,L-1)];y=filter(b, a, x);n=0:1:L-1;stem(n,y);xlabel('time index n');ylabel('Amplitude');
46
2 -Menggunakan function filter untuk menggambar step response dari system
y[n]=-0.7y[n-1]+0.45y[n-2]+0.6y[n-3]+ 0.8x[n]-0.44x[n-1]+0.36x[n-2]+0.02x[n-3]
%Perhitungan dari step response menggunakan functionfiter L=41; % panjang dari output sequenceb=[0.8 -0.44 0.36 0.02];a=[1 0.7 -0.45 -0.6];x=[ones(1,L)];y=filter(b, a, x);n=0:1:L-1;stem(n,y);xlabel('time index n');ylabel('Amplitude');
47
a) x[n]=2δ[n-3]-3δ[n+2] b) x[n]=3sin(0.2πn)u[n] c) x[n]=u[n-2]
2. Jika sequence g[n] adalah sequence genap and h[n] adalah ganjil, yang mana dari sequences dibawah ini yang ganjil dan mana yang genap
a) x1[n]=g[n].g[n] b) x2[n]=g[n].h[n]
Asumsikan setiap sequences untuk g[n] and h[n]
TUGAS
1. Gambar fungsi berikut menggunakan MATLAB
3. Tulis y[n] sebagai fungsi dari x[n] untuk gambar disamping ini :
48
a) x[n]=3sin(0.05πn) b)x[n]=3sin(0.05πn)+3sin(0.12πn) c) x[n]=5cos(0.6πn)
a) y[n]=Ax2[n] b) y[n]=Ax[n]+B c) y[n]=Ae-πn
4. Tentukan periode untuk setiap sequence dibawah ini dan perlihatkan apakah periodik atau tidak
5. Perlihatkan bahwa untuk setiap sequence dibawah ini linear, stabil, kausal atau tidak