sistem digital · sensor aktuator. pemrograman matlab digunakan untuk membantu dalam pemecahan...
TRANSCRIPT
-
Bab 7 Sistem Digital Hal. 165
SISTEM DIGITAL
Abstrak
Pada bab ini akan dijelaskan tentang dasar sistem digital dan
logika Boolean serta penerapannya dalam penggabungan
sensor aktuator. Pemrograman MATLAB digunakan untuk
membantu dalam pemecahan masalah.
7.1. Teori Himpunan
Pada bab ini akan dijelaskan tentang teori himpunan dan dijelaskan
tentang notasi dasar pada teori himpunan. Umumnya himpunan
dinotasikan dengan huruf besar, seperti 𝑈, 𝑉, sedangkan anggota-
anggota dari himpuanan tersebut dinotasikan dengan huruf kecil, seperti
𝑢, 𝑣, sehingga dapat dituliskan bahwa 𝑢 ∈ 𝑈 dan 𝑣 ∈ 𝑉, yang bermakna
bahwa 𝑢 adalah anggota dari himpunan 𝑈 dan 𝑣 adalah anggota dari
himpunan 𝑉 , sedangkan 𝑣 ∉ 𝑈 memiliki arti bahwa 𝑣 bukan anggota
himpunan dari 𝑈. Lambang " = " merupakan lambang identity logical,
sehingga jika dituliskan bahwa 𝑢 = 𝑣 , maka anggota 𝑢 dan 𝑣 adalah
suatu objek yang sama. Contoh 𝑢 =1
2 dan 𝑣 =
2
4, maka dapat dituliskan
bahwa 𝑢 = 𝑣 , jika 𝑢 dan 𝑣 adalah objek yang berbeda, maka dapat
dituliskan 𝑢 ≠ 𝑣. Jika 𝑈 adalah sub himpunan dari 𝑉, maka dapat
dituliskan bahwa 𝑈 ⊂ 𝑉, sedangkan untuk notasi 𝑈 ⊆ 𝑉 bermakna
bahwa 𝑈 adalah sub himpunan dari V atau 𝑈 sama dengan 𝑉. Untuk
menuliskan bahwa anggota-anggota 𝑢1,𝑢2,𝑢3 adalah elemen dari
himpunan 𝑈, maka dapat dituliskan 𝑈 = 𝑢1,𝑢2,𝑢3 , dan jika ternyata
anggota 𝑢𝑖 adalah anggota-anggota dari himpunan bilangan bulat, maka
dapat dituliskan 𝑈 = 𝑢𝑖 𝑢𝑖 𝑎𝑑𝑎𝑙𝑎ℎ 𝑏𝑖𝑙. 𝑏𝑢𝑙𝑎𝑡 .
Putra VGVTextboxDr. Valentinus Galih Vidia Putra, M.Sc.
-
Bab 7 Sistem Digital Hal. 166
Himpunan Union “∪ " diartikan sebagai kata “atau”, sebagai
contoh 𝐴 ∪ 𝐵, maka dapat diartikan bahwa 𝐴 ∪ 𝐵 = 𝑥 𝑥 ∈ 𝐴 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑥 ∈
𝐵, yang dibahasakan yaitu 𝑥, dimana 𝑥 adalah anggota himpunan 𝐴 atau
𝑥 anggota himpunan 𝐵. Dapat dijelaskan dengan Gambar-1 sebagai
berikut
Gambar-1 𝑨 ∪ 𝑩 = 𝒙 𝒙 ∈ 𝑨 𝒂𝒕𝒂𝒖 𝒙 ∈ 𝑩
Irisan/ intersection dari himpunan dapat diartikan sebagai “dan”
sebagai contoh 𝐴 ∩ 𝐵, maka dapat diartikan bahwa 𝐴 ∩ 𝐵 = 𝑥 𝑥 ∈ 𝐴 𝑑𝑎𝑛 𝑥 ∈ 𝐵 , yang dibahasakan yaitu 𝑥, dimana 𝑥 adalah
anggota himpunan 𝐴 dan 𝑥 anggota himpunan 𝐵. Dapat dijelaskan
dengan Gambar-2, sedangkan 𝐴 ∩ 𝐴 = ∅ menyatakan bahwa 𝐴 dan 𝐴
adalah disjoint (tidak selibat). Himpunan kosong ∅ adalahh himpunan
yang tidak memiliki elemen (Gambar-3).
Gambar-2 𝑨 ∩ 𝑩 = 𝒙 𝒙 ∈ 𝑨 𝒅𝒂𝒏 𝒙 ∈ 𝑩
Dapat diperlihatkan pada Gambar-3 suatu himpunan kosong.
Dinotasikan 𝐴 ∩ ∅ = ∅, sedangkan 𝐴 ∪ ∅ = 𝐴
-
Bab 7 Sistem Digital Hal. 167
Gambar-3 Himpunan Kosong
Perbedaan dari dua buah himpunan dapat dinotasikan sebagai 𝐴 − 𝐵
yang dapat dirumuskan sebagai 𝐴 − 𝐵 = 𝐴⋂𝐵 dan dapat diperlihatkan
pada Gambar-4 di bawah
Gambar-4 Perbedaan dari Dua Himpunan
Munkres, J.R. (1999) dan Hilgert dan Karl, (2010) menyatakan
bahwa relasi ekivalensi , 𝐸 ⊆ 𝐸 ′ , merupakan bentuk relasi kelas
ekivalensi, yaitu dijelaskan sebagai berikut: jika diberikan suatu
subhimpunan dari himpunan 𝐴, yaitu 𝐸 dan 𝐸′, maka jika relas i
ekivalensi pada 𝐸 ditentukan dengan sebuah elemen titik 𝑥 dan relasi
ekivalensi pada 𝐸′ ditentukan dengan sebuah elemen titik 𝑥′ dan
andaikan 𝐸 ∩ 𝐸′ ≠ ∅, dan sebuah titik 𝑦 adalah titik pada irisan 𝐸 ∩ 𝐸′,
maka 𝐸 ⊆ 𝐸′ ( Gambar-5)
-
Bab 7 Sistem Digital Hal. 168
Gambar-5 Relasi Ekivalensi
Dari definisi jika 𝑦 ∼ 𝑥, notasi ∼ menunjukkan kelas ekivalensi,
dan 𝑦 ∼ 𝑥′ dengan menggunakan sifat simetri, maka dapat dituliskan
bahwa 𝑥 ∼ 𝑦 dan 𝑥′ ∼ 𝑦, sehingga 𝑥 ∼ 𝑥′ dan jika sebuah titik lain
𝑤 ∈ 𝐸, maka dapat dituliskan bahwa 𝑤 ∼ 𝑥 dan 𝑤 ∼ 𝑥′, sehingga dapat
disimpulkan bahwa 𝐸 ⊂ 𝐸′, dari sifat kesimetrian maka dapat
disimpukan juga bahwa 𝐸′ ⊂ 𝐸, atau dapat dituliskan bahwa 𝐸 = 𝐸′,
sehingga dapat dituliskan bahwa 𝐸′ ⊆ 𝐸 dan sebaliknya.
7.2. Himpunan Terbuka
Jika terdapat suatu ruang Euclidean dimensi-n, sebagai berikut
𝐸𝑛 = 𝑦1, 𝑦2 , …𝑦𝑛 𝑦𝑖 ∈ ℝ
Dengan 𝐸1 adalah garis nyata ( real line) dan 𝐸2 adalah ruang Euclidean
(ruang koordinat nyata yang terdefinisi pada himpunan nyata ℝ)
dimensi-2 dan 𝐸3 adalah ruang Euclidean dimensi-3. Suatu norm atau
besar dari 𝑦 = 𝑦1, 𝑦2 , … 𝑦𝑛 𝑦𝑖 ∈ ℝ di 𝐸𝑛 adalah
𝑦 = 𝑦12 + 𝑦2
2 + ⋯ + 𝑦𝑛2
Jarak antara dua buah titik 𝑦 = 𝑦1, 𝑦2 , … 𝑦𝑛 𝑦𝑖 ∈ ℝ dan 𝑧 = 𝑧1,𝑧2, … 𝑧𝑛 𝑧𝑖 ∈ ℝ di 𝐸𝑛 adalah
𝑟 = 𝑦 − 𝑧 = 𝑦1 − 𝑧1 2 + ⋯ + 𝑦𝑛 − 𝑧𝑛
2
Dengan sifat 𝑛𝑜𝑟𝑚 adalah 𝑟 ≥ 0
𝑦 + 𝑧 ≤ 𝑦 + 𝑧 dengan 𝑦,𝑧 ∈ 𝐸𝑛
-
Bab 7 Sistem Digital Hal. 169
𝑦 − 𝑧 ≤ 𝑦 − 𝑤 + 𝑧 − 𝑤 dengan 𝑦,𝑧, 𝑤 ∈ 𝐸𝑛
Himpunan terbuka / open set didefinisikan sebagai kumpulan
anggota tanpa daerah batasnya, sebagai contoh adalah suatu daerah
padat tanpa daerah batasnya, dan jika daerah batasnya dimasukkan,
maka akan didapatkan himpunan tertutup (closed set). Contoh jika
𝑥 ∈ 𝐸𝑛 (𝐸𝑛 terbuka dan terdapat ∅ terbuka), bola terbuka dengan pusat
𝑎 dan jejari 𝑟, adalah sub himpunan dari bola terbuka 𝐵 𝑎,𝑟 =
𝑥 ∈ 𝐸𝑛 𝑥 − 𝑎 < 𝑟 memenuhi syarat sebagai suatu himpunan
terbuka jika 𝑥 ∈ 𝐵 𝑎, 𝑟 dan juga 𝑠 = 𝑟 − 𝑥 − 𝑎 dengan 𝐵 𝑎, 𝑠 ⊂
𝐵 𝑎, 𝑟 .
7.3. Operasi Himpunan
Jika terdapat tiga buah himpunan, yaitu 𝐴, 𝐵,𝐶 dan terdapat suatu
operasi himpunan sebagai berikut 𝐴 ∪ (𝐵 ∩ 𝐶) serta (𝐴 ∪ 𝐵) ∩ 𝐶, maka
dapat diperlihatkan pada Gambar-6 hasil operasi himpunan tersebut
Gambar-6 Operasi Himpunan
Jika sebuah objek 𝑎 adalah sebuah anggota/ elemen dari himpunan
𝐴 = 𝑎 , 𝑏, 𝑐 dan 𝑅 = 𝑎 , 𝑆 = 𝑏 , 𝑇 = 𝑐 adalah sub himpunan dari
himpunan 𝐴, jika 𝐴 adalah himpunan dari semua sub himpunan
℘ 𝐴 = 𝑎, 𝑏, 𝑐 , maka pernyataan di atas dapat dituliskan.
𝑎 ∈ 𝐴, {𝑎} ⊂ 𝐴 atau 𝑅 ⊂ 𝐴, 𝑎 ∈ ℘(𝐴)
-
Bab 7 Sistem Digital Hal. 170
7.4. Aljabar Boolean
Matematikawan yang menghubungan antara matematika dengan suatu
bilangan biner adalah George Boole. Perkembangan dari logika aljabar
disebut sebagai aljabar boolean. Pada aljabar boolean terdapat suatu
variabel yang bernilai 1 atau 0 dapat pula disebut benar atau
salah.terdapat beberapa gerbang logika yaitu seperti AND, OR, NOT
dsb, dengan simbol input dan output seperti pada Gambar-7 di bawah.
Pada analisa gerbang logika umum digunakan software MATLAb untuk
menganalisa suatu gerbang logika pada rangkaian listrik seperti pada
Gambar-7 di bawah
Gambar-7 Gerbang Logika
Dapat diperlihatkan hubungan rumusan matematik pada Gambar-8 di
bawah untuk logika OR dan AND
Gambar-8 Logika OR dan logika AND
Dapat diperlihatkan aturan aljabar Boolean pada Tabel-1 di bawah
-
Bab 7 Sistem Digital Hal. 171
Tabel-1 Aljabar Boolean
Terdapat sebuah aturan lain selain yang diperlihatkan pada Tabel-1 di
atas, yaitu sebagai berikut
𝑋 + 𝑋 . 𝑌 = 𝑋 + 𝑌 . 𝑋 + 𝑋 = 𝑋 + 𝑌
Pada Gambar-9 dapat diperlihatkan symbol beberapa gerbang logika
selain AND, OR dan NOT
-
Bab 7 Sistem Digital Hal. 172
Gambar-9 Gerbang Logika pada Rangkaian IC
Dapat diperlihatkan suatu gerbang logika menggunakan MATLAB
menggunakan menu seperti pada Gambar-10 di bawah
Gambar-10 Menu Gerbang Logika
Contoh penggunaan simulink dengan menggunakan MATLAB pada
gerbang logika dapat diperlihatkan pada Gambar-11 di bawah
-
Bab 7 Sistem Digital Hal. 173
Gambar-11 Gerbang Logika pada Rangkaian IC dengan MATLAB
Dapat diperlihatkan gabungan untuk gerbang logika seperti pada
Gambar-12 di bawah
Gambar-12 Gabungan Gerbang Logika
-
Bab 7 Sistem Digital Hal. 174
pada gerbang logika XOR atau disebut sebagai exclusive OR yang
memiliki simbol dan tabel kebenaran (truth table) seperti pada
Gambar-13 di bawah
Gambar-13 Gerbang XOR
Dapat diperlihatkan rangkaian elektronik AND, OR, NOT, NAND dan
NOR
Gambar-14 Rangkaian Elektronika IC
7.5. Latihan Soal-Jawab
-
Bab 7 Sistem Digital Hal. 175
1. Buktikan bahwa 𝐴. 𝐵 + 𝐴∗. 𝐵 + 𝐴. 𝐵∗ + 𝐴∗. 𝐵∗ =
𝐴. 𝐵 .0
Jawab
𝐴. 𝐵 + 𝐴∗. 𝐵 + 𝐴. 𝐵∗ + 𝐴∗.𝐵∗ = 𝐴. (𝐵 + 𝐵∗ + 𝐴∗. (𝐵 + 𝐵∗
= 𝐴 + 𝐴∗ . 𝐵 + 𝐵∗ = 1.1 = 𝐴 + 1 . 𝐵 + 1
= 𝐴. 𝐵 + 1 = 𝐴. 𝐵 .1 = 𝐴. 𝐵 .0
2. Buktikan bahwa 𝐴. 𝐵 + 𝐶 . 𝐴. 𝐵 + 𝐷 = 𝐴. 𝐵 . 𝐶. 𝐷
Jawab
𝐴.𝐵 + 𝐶 . 𝐴.𝐵 + 𝐷 = 𝐴.𝐵 + 𝐶 + 𝐴.𝐵 + 𝐷
= 𝐴. 𝐵 . 𝐶. 𝐷
3. Buatlah lebih sederhana suatu fungsi 𝑓(𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷) yang
diberikan oleh rumusan berikut di bawah!
Jawab
𝐴∗. 𝐵∗. 𝐷 + 𝐴∗. 𝐵. 𝐷 + 𝐵. 𝐶. 𝐷 + 𝐴. 𝐶. 𝐷
= 𝐴∗ .𝐷 𝐵∗ + 𝐵 + 𝐵. 𝐶 .𝐷 + 𝐴. 𝐶 . 𝐷
= 𝐴∗ .𝐷 + 𝐵. 𝐶. 𝐷 + 𝐴. 𝐶. 𝐷 = 𝐴∗ + 𝐴. 𝐶 .𝐷 + 𝐵. 𝐶. 𝐷
= 𝐴∗ + 𝐶 .𝐷 + 𝐵. 𝐶. 𝐷 = 𝐴∗ .𝐷 + 𝐶. 𝐷 + 𝐵.𝐶 . 𝐷
= 𝐴∗ .𝐷 + 1 + 𝐵 .𝐶. 𝐷 = 𝐴∗. 𝐷 + 𝐶 . 𝐷 = 𝐴∗ + 𝐶 .𝐷
4. Jabarkanlah bentuk lain dari suatu fungsi berikut !
𝑓 𝑋, 𝑌, 𝑍 = 𝑋. 𝑌 + 𝑋. 𝑍 + 𝑌. 𝑍
Jawab
-
Bab 7 Sistem Digital Hal. 176
𝑓 𝑋,𝑌, 𝑍 = 𝑋. 𝑌 + 𝑋. 𝑍 + 𝑌. 𝑍 = 𝐴 + 𝐵 + 𝐶 = 𝐴 + 𝐷 = 𝐴 . 𝐷
= 𝐴 . 𝐵 + 𝐶 = 𝐴 . 𝐵 . 𝐶 = 𝑋. 𝑌 . 𝑋. 𝑍 . (𝑌.𝑍 )
= 𝑋 + 𝑌 . ( 𝑋 + 𝑍 . 𝑌 + 𝑍
5. Tunjukkan dengan menggunakan teori himpunan tentang aturan
De Morgan serta hukum distributif !
Jawab
Aturan De Morgan dapat dibuktikan sebagai berikut
𝐵 + 𝐶 = 𝐵 . 𝐶
Maka dengan menggunakan teori himpunan didapatkan bahwa 𝐵 + 𝐶 =
𝐵 . 𝐶 , yaitu
𝐴 − 𝐵⋃𝐶 = (𝐴 − 𝐵)⋂(𝐴 − 𝐶)
Hukum distributif dapat dibuktikan sebagai berikut
𝐴. 𝐵 + 𝐶 = 𝐴. 𝐵 + 𝐴. 𝐶
Dapat diperlihatkan pada gambar di bawah
𝐴⋂ 𝐵⋃𝐶 = 𝐴⋂𝐵 ⋃ 𝐴⋂𝐶
Hasil yang sama didapatkan untuk
𝐴⋃ 𝐵⋂𝐶 = 𝐴⋃𝐵 ⋂ 𝐴⋃𝐶
6. Tunjukkan dengan tabel kebenaran bahwa bentuk rangkaian
seperti pada gambar di bawah adalah gerbang logika XOR dan
tunjukkan rumus rangkaian tersebut !
-
Bab 7 Sistem Digital Hal. 177
Dapat dituliskan dengan tabel kebenaran sebagai berikut
X Y Z
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 0
Hasil dari tabel kebenaran menunjukkan bahwa rangkaian adalah XOR
dengan rumusan 𝑍 = 𝑋⨁𝑌 = 𝑋 + 𝑌 . 𝑋. 𝑌 = 𝑋. 𝑌 + 𝑌. 𝑋
Dapat dijabarkan sebagai berikut rumus logika X-OR
𝑍 = 𝑋⨁𝑌 = 𝑋. 𝑌 + 𝑌.𝑋 = 𝑋. 𝑌 + 𝑌. 𝑋 + 𝑋. 𝑋 + 𝑌. 𝑌
= 𝑋 𝑌 + 𝑋 + 𝑌 𝑌 + 𝑋 = 𝑋 + 𝑌 . 𝑌 + 𝑋
= 𝑋 + 𝑌 . 𝑋. 𝑌
Referensi
[1] Halliday, D., Resnick, R., Walker, Fundamenthal of Physics-
Extended, 5th, John Wiley & Sons, New York 1997.
[2] Mary L. Boas, Mathematical Methods in The Physical Sciences,
John Wiley and Sons Inc, Canada, 1983.
[3] Putra, V.G.V,, Endah dan Ngadiono, Pengantar Listrik Magnet dan
Terapannya, Penerbit CV. Mulia Jaya, Yogyakarta, 2016.
-
Bab 7 Sistem Digital Hal. 178
[4] Putra, V.G.V, Pengantar Eksperimen Fisika, Penerbit CV Mulia
Jaya, Yogyakarta, 2015.
[5] Suarga, Fisika Komputasi Solusi Problema Fisika dengan Matlab,
Penerbit Andi, Yogyakarta, 2005.