sistem persamaan linear dua variable
TRANSCRIPT
SISTEM PERSAMAAN LINEAR DUA DAN TIGA VARIABEL
Pangestika S. S. (4101412004)Batul Fatin H.Heni Kholiqowati
Standar Kompetensi:• Memahami sistem persamaan linier dua variabel dan tiga
variabel serta menggunakannya dalam pemecahan masalahKompetensi Dasar:• 2.1. Menyelesaikan sistem persamaan linier dua dan tiga
variabel• 2.2. Mengidentifikasi langkah-langkah penyelesaian sistem
persamaan linier dua dan tiga variabel.• 2.3. Membuat model matematika dari masalah yang berkaitan
dengan sistem persamaan linier dua dan tiga variabel• 2.4. Menyelesaikan model matematika dari masalah yang
berkaitan dengan sistem persamaan linier dua dan tiga variabel dan penafsirannya
SISTEM PERSAMAAN LINEAR DUA DAN TIGA VARIABEL
Indikator :• Menyebutkan perbedaan PLDV dan SPLDV• Mengenal SPLDV dalam berbagai bentuk dan
variabel• Menentukan akar SPLDV dengan substitusi dan
eliminasi• Membuat model matematika dari masalah sehari-
hari yang berkaitan dengan SPLDV dan SPLTV• Menyelesaikan model matematika dari masalah
yang berkaitan dengan sistem persamaan linier dua dan tiga variabel dan penafsirannya
SISTEM PERSAMAAN
LINEAR
• Persamaan linear satu variabel adalah kalimat terbuka yang menyatakan hubungan sama dengan dan hanya memiliki satu variabel berpangkat satu. Bentuk umum persamaan linear satu variabel adalah
ax + b = c, dengan a,b,c R dan a 0• Persamaan linear dua variabel adalah persamaan
yang mengandung dua variabel dengan pangkat masing-masing variabel sama dengan satu. Bentuk umum persamaan linear dua variabel adalah
ax + by = c, dengan a,b,c R dan a 0, b 0
SISTEM PERSAMAAN LINEAR
Persamaan Linier Dua Variabel
(PLDV)
A. Persamaan Linier Dua Variabel (PLDV)
1. Pengertian PLDVPerhatikan persamaan 2x+3y=5.Persamaan ini memiliki 2 variabel yaitu x dan y dan variabel tersebut berpangkat satu. Persamaan seperti 2x+3y=5 ini termasuk persamaan linier dua variabel.Contoh lain Persamaan linier dua variabel adalah:• x+2y = 0• 3a+2b = 7• y = 3x+5• + = 4
Perhatikan persamaan 2x + y = 6. Bagaimana cara menyelesaikan?
Persamaan ini dapat diselesaikan dengan cara mensubstitusi satu nilai pada x seperti berikut ini.
Untuk x=1 maka 2x + y = 6
2(1) + y = 6
2 + y = 6
2 + y-2 = 6-2
y = 4
Jika x diganti 1 dan y diganti 4 maka 2x + y = 6
2(1)+ 4 = 6
6 = 6 (benar)
Jadi x = 1 dan y = 4 merupakan penyelesaian dari 2x + y = 6
2. Penyelesaian PLDV
Untuk x = -1 maka 2x + y = 6 2(-1) + y = 6 - 2 + y = 6 -2 + y + 2 = 6 + 2 y = 8
Jika x diganti 1 dan y diganti 4 maka 2x + y = 6 2(-1) + 8 = 6 -2 + 8 = 66 = 6 (benar)
Jadi x=-1 dan y=8 merupakan penyelesaian dari2x + y = 6
Kesimpulan• Banyaknya penyelesaian PLDV adalah tidak
berhingga• Pada PLDV jika penyelesaiannya dipilih bilangan
bulat bentuk grafiknya adalah berupa titik-titik• Pada PLDV jika penyelesaiannya dipilih bilangan
real bentuk grafiknya adalah berupa garis lurus
Sistem Persamaan Linear Dua Variabel
1. Bentuk UmumPasangan dua persamaan linear dua veriabel (atau lebih) yang ekuivalen dengan bentuk umum : a, b, c, d, p, qR
a, c = koefisien dari xb, d = koefisien dari yp, q = konstantax, y = variabel
dengan penyelesaian, simultan atau serentak terpenuhi oleh pasangan terurut (x0, y0) dinamakan sistem persamaan linear dua variabel (SPLDV)
B. Sistem Persamaan Linear Dua Variabel
Ada beberapa cara menyelesaikan sistem persamaan linear dua variabel, antara lain :a. Metode GrafikAdalah metode penyelesaian SPLDV yang dilakukan dengan cara menggambar grafik dari kedua persamaan tersebut yang kemudian menentukan titik potongnya.Langkah-langkahnya sebagai berikut :
– Gambarlah grafik garis lurus pada bidang koordinat.– Tentukan titik potong kedua garis tersebut. Koordinat titik
potong tersebut merupakan pasangan penyelesaian dari system persamaan yang dimaksud.
2. Penyelesaian Sistem Persamaan Linear Dua Variabel
Perhatikan sistem persamaan dua variable berikut :
– Solusi dari sistem ini adalah himpunan pasangan terurut yang merupakan solusi dari kedua persamaan.
– Grafik garis menunjukkan himpunan penyelesaian dari masing-masing persamaan dalam sistem. Oleh karena itu, perpotongan kedua garis adalah gambar dari penyelesaian sistem.
– Solusi dari sistem adalah 2,3
Grafik mungkin sejajar atau mungkin berimpit.
Sistem Kemiringan Grafik Penyelesaian
Konsisten (mempunyai penyelesaian) dan bebas
Berbeda Garis berpotongan di satu titik
Satu
Inkonsistent dan bebas atau berlawanan
Sama Garis sejajar Tidak ada
Konsisten dan bergantungan Sama Garis berimpit Tak terhingga
Hubungan yang mungkin diantara sebuah sistem, kemiringan dari masing masing grafik, dan penyelesaian persamaan ditunjukkan pada table berikut.
Dengan a,b,c,d,p,q, R dan a,b,c,d ≠0
1022
1935
yx
yx
Adalah metode penyelesaian SPLDV dengan cara menghilangkan salah satu variabel. Langkah-langkahnya sebagai berikut :• Menyamakan koefisien salah satu variabel dengan cara
mengalikan dengan bilangan selain nol.• Menjumlahkan atau mengurangkan ruas-ruas yang
bersesuaian dari kedua persamaan linear yang baru tersebut.
Contoh:Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan :
dengan cara eliminasi !
b. Metode Eliminasi
Jawab:
Eliminir y
4x = 8
x = 2
Eliminir x
-4y = -12
y = 3
Jadi HP = {(2,3)}
1022
1935
yx
yx
2
2
x
x
3066
38610
yx
yx
1022
1935
yx
yx
5
2
x
x
501010
38610
yx
yx
9
1224
yx
yx
c. Metode Substitusi
Adalah metode penyelesaian SPLDV dengan cara menggantikan satu variabel dengan variabel dari persamaan yang lainSubstitusi artinya mengganti. Langkah-langkahnya sebagai berikut :• Nyatakan salah satu variabel yang memuat variabel yang lain
dari salah satu persamaan.• Substitusikan hasil dari langkah 1) ke persamaan yang lain.Contoh:Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan : dengan cara substitusi !
Jawab: 4x-2y = 12 …………… (1)
x + y = 9 x = 9 – y ….. (2)
(2) substitusi ke (1)
4(9-y) – 2y = 12 36 – 4y – 2y = 12 -6y = 12 - 36 -6y = -24 y = 4 ………………… (3)
(3) substitusi ke (2)
x = 9 – 4x = 5
Jadi HP = {(5,4)}
102
53
yx
yx
d. Cara Gabungan (Eliminasi dan Substitusi)
Adalah metode penyelesaian SPLDV dengan cara menggabungkan metode eliminasi dan metode substitusi. Metode eliminasi digunakan untuk mendapatkan variabel pertama, dan hasilnya disubstitusikan ke persamaan untuk mendapatkan variabel keduaContoh:Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan : dengan cara gabungan antara eliminasi dan substitusi !
Jawab:Eliminir y3x – y = 52x + y = 10 +
5x = 15 x = 3x = 3 substitusi ke 3x – y = 5
3(3) – y = 5 9 – y = 5 -y = 5 - 9 -y = -4 y = 4
Jadi HP = {(3,4)}
e. Cara Determinan
Determinan adalah suatu bilangan yang berkaitan dengan matriks bujur sangkar (persegi).
Untuk menyelesaikan dengan cara determinan dari bentuk persamaan :
ax + by = c
px + qy = r
diubah dalam susunan bilangan sebagai berikut dan diberi notasi : D, Dx, Dy.
Dengan :
D = = aq – bp
Dx = = cq – br
Dy = = ar – cp
Kemudian x dan y dapat ditentukan dengan :
x = dan y =
qp
ba
qr
bc
rp
ca
D
Dx
D
Dy
Contoh:Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan :
dengan cara determinan !
Jawab:D = = 2.1 – 3.3 = 2 – 9 = -7
Dx = = 1.1 – 3.5 = 1 – 15 = -14
Dy = = 2.5 – 1.3 = 10 – 3 = 7
x = = = 2
y = = = -1
Jadi HP = {(2, -1)}
53
132
yx
yx
13
32
15
31
53
12
D
Dx
7
14
D
Dy
7
7
Contoh :
Dua tahun yang lalu umur ayah 6 kali umur Adi, 18 tahun kemudian umur ayah menjadi 2 kali umur Adi. Tentukan persamaan linear dari permasalahan tersebut!Penyelesaian :•Permasalahan tersebut dapat dibuat dalam model matematika sebagai berikut :
sekarang 2 tahun yg lalu 18 th kemudian
Umur ayah x x - 2 x + 18
Umur adi y y - 2 y + 18
Perbandingan x – 2 = 6 (y – 2) x + 18 = 2 (y + 18)
Penyelesaian model matematika dari masalah yang berkaitan dengan sistem persamaan linier
Perbedaan PLDV dan
SPLDV
• Sebuah PLDV mempunyai penyelesaian yang tidak berhingga banyaknya, sedangkan SPLDV pada umumnya hanya mempunyai satu pasangan nilai sebagai penyelesaiannya.
• PLDV adalah sebuah persamaan yang mandiri, artinya penyelesaian satu PLDV tidak terkait dengan PLDV yang lain. Sedangkan SPLDV terdiri dari dua PLDV yang saling terkait dalam arti penyelesaian dari PLDV harus sekaligus memenuhi kedua PLDV pembentuknya.
Perbedaan PLDV dan SPLDV
Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel
ax + by + cz = pdx + ey + fz = qgx + hy + iz = r
C. Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel
1. Bentuk Umuma, b, c, d, e, f, g, h, I, p, q,
r Ra, d, g = koefisien dari xb, e, h = koefisien dari yc, f, i = koefisien dari zp, q, r = konstantax, y, z = variabel
122
112
1
zyx
zyx
zyx
2. Penyelesaian Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel
Ada beberapa cara menyelesaikan sistem persamaan linear tiga variabel, antara lain :a. Cara Gabungan (Eliminasi dan Substitusi)
Contoh:Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem
persamaan : dengan cara gabungan antara
eliminasi dan substitusi !
Dari (4) dan (5) eliminir y
5x = 10
x = 2
x = 2 substitusi ke (5)
x – y = -1
2 – y = -1
-y = -1 – 2
y = 3
x = 2, y = 3 substitusi ke (1)
x + y – z = 1
2 + 3– z = 1
-z = 1 – 5
z = 4
Jadi HP = {(2, 3, 4)}
1- y - x
12 2y 3x
2
1
x
x
222
1223
yx
yx
Jawab :
Dari (1) dan (2) eliminir z x + y – z = 12x + y +z = 11 _
3x + 2y = 12 ….. (4)
Dari (2) dan (3) eliminir z2x + y +z = 11x + 2y +z = 12 _
x - y = -1 ….. (5)
122
112
1
zyx
zyx
zyx
)3.....(
)2.....(
)1.....(
b. Cara Determinan
Sistem persamaan : diubah menjadi bentuk susunan bilangan sebagai berikut dan diberi notasi : D, Dx, Dy, dan Dz.
D = Dx = Dy = Dz=
x = y = z =
ihg
fed
cba
irg
fqd
cpa
D
Dx
D
Dy
D
Dz
ihr
feq
cbp
rhg
qed
pba
1) Determinan cara sarrus- - -
D = = aei + bfg + cdh – gec – hfa - idb
+ + +
2) Determinan cara cramer
D = = a - b + c
= a(ei-fh) – b(di-fg) + c(dh-eg)
= aie – afh – bdi + bfg + cdh – ceg
Contoh:
Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan :
dengan cara determinan !
hg
ed
ba
hg
ed
ihg
fed
cba
ih
feig
fd
ihg
fed
cba
03
932
52
zyx
zyx
zyx
Jawab:
- - -
D =
+ + +
= -4 + (-3) + 3 – (-2) – 18 - (-1) = -4 – 3 + 3 + 2 – 18 + 1 = -19
- - -
Dx =
+ + +
= (-10) + 0 + 27 – 0 – 45 - (-9) = -10 + 0 + 27 – 0 – 45 + 9 = -19
131
321
112
31
21
12
130
329
115
30
29
15
- - -
Dy = = 18 + 15 + 0 – 9 – 0 - 5 = 19
+ + +
- - -
Dz =
+ + +
= 0 + (-9) + 15 – (-10) – 54 - 0 = 0 - 9 + 15 +10 – 54 - 0 = -38
x = = = 1y = = = -1 z = = = 2 Jadi HP ={(1, -1, 2)}
101
391
152
01
91
52
031
921
512
31
21
12
D
Dx
19
19
D
Dy
19
19
D
Dz
19
38
Sistem Persamaan Dua Variabel,
Satu Linear Dan Satu Kuadrat
y = ax + b
y = px2 + qx + r
D. Sistem Persamaan Dua Variabel, Satu Linear Dan Satu Kuadrat
Bentuk umum:
dengan a, b, p, q, r R
Secara umum, langkah-langkah penyelesaian atau himpunan penyelesaian dari sistem persamaan di atas sebagai berikut :
1. Substitusikan bagian linear y = ax + b ke bagian kuadrat y = px2 + qx + r, diperoleh:
ax + b = px2 + qx + rpx2 + qx – ax + r – b = 0px2 + (q – a)x + (r – b = 0 (merupakan persamaan dalam x)
2. Nilai-nilai x pada langkah 1 (jika ada) disubstitusikan ke persamaan y = ax + b.
Contoh: Selesaikan sistem persamaan :
Jawab:
Dari x – y = 2 x = y + 2
x = y + 2 substitusikan ke
(y + 2)2 + y2 = 20
y2 + 4y + 4 + y2 = 20
2y2 + 4y + 4 – 20 = 0
2y2 + 4y – 16 = 0
y2 + 2y – 8 = 0
(y + 4)(y – 2) = 0
y + 4 = 0 atau y - 2 = 0
y = -4 atau y = 2
Untuk y = -4 x = -4 + 2 = -2
y = 2 x = 2 + 2 = 4
Jadi HP = {(-2, -4),(4,2)}
2
2022
yx
yx
222 yx
LATIHAN SOAL !
Latihan Soal1. Gunakan metode grafik untuk mencari penyelesaikan SPLDV berikut :
x-y = 1 dan 3x-y = 6
x + 2y = 8 dan 2x – y = 6
2. Tentukan penyelesaian sistem persamaan linier berikut
a. Dengan substitusi
2x + y = 5 . . . . . . . ( i )
x + 3y = 10 . . . . . . . ( ii )
b. Dengan eliminasi
2x + y = 0 . . . . . . . ( i )
x + 3y = 15 . . . . . . . ( ii )
3. Harga 2 buah mangga dan 3 buah jeruk adalah Rp. 6000, kemudian apabila membeli 5 buah mangga dan 4 buah jeruk adalah Rp11.500,- Berapa jumlah uang yang harus dibayar apabila kita akan membeli 4 buah mangga dan 5 buah jeruk ?
5. Adik berusia 13 tahun lebih muda dari kakak. Sembilan tahun kemudian, umur kakak dua kali lipat dari usia adik. Berapa jumlah umur adik dan kakak saat ini?
6. Tiga tahun yang lalu jumlah umur ayah dan ibu adalah 58 tahun. Lima tahun yang akan datang, umur ayah ditambah dua kali umur ibu adalah 110 tahun. Tentukan umur ayah dan ibu saat ini !
7. Dengan metode subsitusi tentukan himpunan penyelesaian persamaan berikut !
2x + y- z = 3 ....(1)
x + y + z = 1 ....(2)
x - 2y -3z = 4 ....(3)