sistem persamaan linier - padepokan daring - la family...
TRANSCRIPT
![Page 1: Sistem Persamaan Linier - Padepokan daring - la Family ...luk.staff.ugm.ac.id/numerik/SistemPersamaanLinier.pdfMicrosoft PowerPoint - Sistem Persamaan Linier.pptx Author Fujitsu Created](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022012914/5b1e4f627f8b9a8a3a8b5ecc/html5/thumbnails/1.jpg)
Sistem Persamaan LinierDjoko Luknanto
Jurusan Teknik Sipil dan LingkunganFT UGM
![Page 2: Sistem Persamaan Linier - Padepokan daring - la Family ...luk.staff.ugm.ac.id/numerik/SistemPersamaanLinier.pdfMicrosoft PowerPoint - Sistem Persamaan Linier.pptx Author Fujitsu Created](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022012914/5b1e4f627f8b9a8a3a8b5ecc/html5/thumbnails/2.jpg)
23/10/2013 Djoko Luknanto ([email protected]) 2
Kuda-kuda dalam bentuk matriks
4
3
3 4
1 3
2 4
3
1 0 0 0 0 00 1 1 0 0 0
tan0 0 2 0 0 0csc0 0 0 1 1 0sec0 0 0 1 1 000 0 0 0 cos 1
A
A
B
H PV PV P Pp Pp Pp
P4
P3
HA
VA
C
BA
1 2
3
VB
![Page 3: Sistem Persamaan Linier - Padepokan daring - la Family ...luk.staff.ugm.ac.id/numerik/SistemPersamaanLinier.pdfMicrosoft PowerPoint - Sistem Persamaan Linier.pptx Author Fujitsu Created](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022012914/5b1e4f627f8b9a8a3a8b5ecc/html5/thumbnails/3.jpg)
Penyelesaian dalam bentuk matriks
[A]23/10/2013 Djoko Luknanto ([email protected]) 3
4
3
3 4
1 3
2 4
3
1 0 0 0 0 00 1 1 0 0 0
tan0 0 2 0 0 0csc0 0 0 1 1 0sec0 0 0 1 1 000 0 0 0 cos 1
A
A
B
H PV PV P Pp Pp Pp
{x}={B}
![Page 4: Sistem Persamaan Linier - Padepokan daring - la Family ...luk.staff.ugm.ac.id/numerik/SistemPersamaanLinier.pdfMicrosoft PowerPoint - Sistem Persamaan Linier.pptx Author Fujitsu Created](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022012914/5b1e4f627f8b9a8a3a8b5ecc/html5/thumbnails/4.jpg)
Eliminasi Gauss
23/10/2013 Djoko Luknanto ([email protected]) 4
Baris 1
3/43/4
2/42/4
1/41/4
motivasi
pengurang
hasil
![Page 5: Sistem Persamaan Linier - Padepokan daring - la Family ...luk.staff.ugm.ac.id/numerik/SistemPersamaanLinier.pdfMicrosoft PowerPoint - Sistem Persamaan Linier.pptx Author Fujitsu Created](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022012914/5b1e4f627f8b9a8a3a8b5ecc/html5/thumbnails/5.jpg)
Penyelesaian Sistem Persamaan Linier
23/10/2013 Djoko Luknanto ([email protected]) 5
[A] {x}={B}{x}= ?[A]-1{x}= {B}
Hindari!
![Page 6: Sistem Persamaan Linier - Padepokan daring - la Family ...luk.staff.ugm.ac.id/numerik/SistemPersamaanLinier.pdfMicrosoft PowerPoint - Sistem Persamaan Linier.pptx Author Fujitsu Created](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022012914/5b1e4f627f8b9a8a3a8b5ecc/html5/thumbnails/6.jpg)
Penyelesaian Sistem Persamaan Linier
Dengan eliminasi Gauss
23/10/2013 Djoko Luknanto (http://luk.staff.ugm.ac.id/) 6
11 12 13 1 1
21 22 23 2 2
31 32 33 3 3
a a a x ba a a x ba a a x b
11 12 13 1 1
22 23 2 2
33 3 3
00 0
a a a x bc c x d
c x d
12 13 1 1
23 2 2
3 3
10 10 0 1
d d x fd x f
x f
1 2
![Page 7: Sistem Persamaan Linier - Padepokan daring - la Family ...luk.staff.ugm.ac.id/numerik/SistemPersamaanLinier.pdfMicrosoft PowerPoint - Sistem Persamaan Linier.pptx Author Fujitsu Created](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022012914/5b1e4f627f8b9a8a3a8b5ecc/html5/thumbnails/7.jpg)
Penyelesaian Sistem Persamaan Linier
1. Dengan menggunakan matriks invers
23/10/2013 Djoko Luknanto (http://luk.staff.ugm.ac.id/) 7
11 12 13 1 1 1 1
21 22 23 2 2 2 2
31 32 33 3 3 3 3
atau ataua a a x b c da a a x b c da a a x b c d
1 11
2 2
3 3
[ ]x bx A bx b
1 11
2 2
3 3
[ ]x cx A cx c
1 11
2 2
3 3
[ ]x dx A dx d
![Page 8: Sistem Persamaan Linier - Padepokan daring - la Family ...luk.staff.ugm.ac.id/numerik/SistemPersamaanLinier.pdfMicrosoft PowerPoint - Sistem Persamaan Linier.pptx Author Fujitsu Created](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022012914/5b1e4f627f8b9a8a3a8b5ecc/html5/thumbnails/8.jpg)
Cara mencari matrik invers Matriks invers sebaiknya dihindari; cara yang
lebih efisien akan dijelaskan kemudian.
23/10/2013 Djoko Luknanto (http://luk.staff.ugm.ac.id/) 8
11 12 13 1
21 22 23 2
31 32 33 3
[ ][ ] { }
1 0 00 1 00 0 1
IA B
a a a ba a a ba a a b
1
1 11 12 13
2 21 22 23
3 31 32 33
[ ] [ ]{ }
1 0 00 1 00 0 1
I Ax
c d d dc d d dc d d d
1. Bentuk [A]{B}[I]2. Ubah menjadi
[I]{C}[A]-1
dengan cara• Eliminasi Gauss:
ubah [A][I]maka:1) {B}{C}2) [I][A]-1
![Page 9: Sistem Persamaan Linier - Padepokan daring - la Family ...luk.staff.ugm.ac.id/numerik/SistemPersamaanLinier.pdfMicrosoft PowerPoint - Sistem Persamaan Linier.pptx Author Fujitsu Created](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022012914/5b1e4f627f8b9a8a3a8b5ecc/html5/thumbnails/9.jpg)
Penyelesaian Sistem Persamaan Linier
2. Dekomposisi [A] = [L][T]
23/10/2013 Djoko Luknanto (http://luk.staff.ugm.ac.id/) 9
[ ]{ } { }A x B[ ][ ]{ } { }L T x B
[ ]{ } { }L y B[ ]{ } { }T x y
[ ][ ]L T
{ }y{ }x
![Page 10: Sistem Persamaan Linier - Padepokan daring - la Family ...luk.staff.ugm.ac.id/numerik/SistemPersamaanLinier.pdfMicrosoft PowerPoint - Sistem Persamaan Linier.pptx Author Fujitsu Created](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022012914/5b1e4f627f8b9a8a3a8b5ecc/html5/thumbnails/10.jpg)
Penyelesaian Sistem Persamaan Linier
2. Dekomposisi [A] = [L][T]
23/10/2013 Djoko Luknanto (http://luk.staff.ugm.ac.id/) 10
11 12 13 1 1 1 1
21 22 23 2 2 2 2
31 32 33 3 3 3 3
atau ataua a a x b c da a a x b c da a a x b c d
11 12 13 1 1
21 22 23 2 2
31 32 33 3 3
{ } { }
[ ]
1 0 01 0 0
1 0 0
L T
A
T T T x bL T T x bL L T x b
![Page 11: Sistem Persamaan Linier - Padepokan daring - la Family ...luk.staff.ugm.ac.id/numerik/SistemPersamaanLinier.pdfMicrosoft PowerPoint - Sistem Persamaan Linier.pptx Author Fujitsu Created](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022012914/5b1e4f627f8b9a8a3a8b5ecc/html5/thumbnails/11.jpg)
Dekomposisi [A] = [L][T]
23/10/2013 Djoko Luknanto (http://luk.staff.ugm.ac.id/) 11
11 12 13 1 1
21 22 23 2 2
31 32 33 3 3
{ }
{ } { }
1 0 01 0 0
1 0 0Y
L T
T T T x bL T T x bL L T x b
11 12 13 1 1
21 22 23 2 2
31 32 33 3 3
{ } { }
[ ]
1 0 01 0 0
1 0 0
L T
A
T T T x bL T T x bL L T x b
![Page 12: Sistem Persamaan Linier - Padepokan daring - la Family ...luk.staff.ugm.ac.id/numerik/SistemPersamaanLinier.pdfMicrosoft PowerPoint - Sistem Persamaan Linier.pptx Author Fujitsu Created](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022012914/5b1e4f627f8b9a8a3a8b5ecc/html5/thumbnails/12.jpg)
1 1
21 2 2
31 32 3 3
{ }
{ }
1 0 01 0
1Y
L
Y bL Y bL L Y b
Dekomposisi [A] = [L][T]
23/10/2013 Djoko Luknanto (http://luk.staff.ugm.ac.id/) 12
1 2 3 1 1 11 0 0Y Y Y b Y b
21 1 2 3 2 2 2 21 11 0L Y Y Y b Y b L Y
31 1 32 2 3 3 3 3 31 1 32 21L Y L Y Y b Y b L Y L Y
![Page 13: Sistem Persamaan Linier - Padepokan daring - la Family ...luk.staff.ugm.ac.id/numerik/SistemPersamaanLinier.pdfMicrosoft PowerPoint - Sistem Persamaan Linier.pptx Author Fujitsu Created](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022012914/5b1e4f627f8b9a8a3a8b5ecc/html5/thumbnails/13.jpg)
11 12 13 1 1
22 23 2 2
33 3 3
00 0
T T T x YT T x Y
T x Y
Dekomposisi [A] = [L][T]
23/10/2013 Djoko Luknanto (http://luk.staff.ugm.ac.id/) 13
31 2 33 3 3 3
33
0 0 Yx x T x Y xT
2 23 31 22 2 23 3 2 2
22
0 Y T xx T x T x Y xT
1 12 2 13 311 1 12 2 13 3 1 1
11
Y T x T xT x T x T x Y xT
![Page 14: Sistem Persamaan Linier - Padepokan daring - la Family ...luk.staff.ugm.ac.id/numerik/SistemPersamaanLinier.pdfMicrosoft PowerPoint - Sistem Persamaan Linier.pptx Author Fujitsu Created](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022012914/5b1e4f627f8b9a8a3a8b5ecc/html5/thumbnails/14.jpg)
Matriks Tridiagonal
Dalam dunia ketekniksipilan banyak dijumpai matriks tridiagonal terutama dalam penyelesaian numerik persamaan diferensial.
Matriks tridiagonal A = [aij] jikaaij = 0 untuk |i - j| > 1
Bentuk matriksnya dapat dilihat dalam tayangan berikut
23/10/2013 Djoko Luknanto (http://luk.staff.ugm.ac.id/) 14
![Page 15: Sistem Persamaan Linier - Padepokan daring - la Family ...luk.staff.ugm.ac.id/numerik/SistemPersamaanLinier.pdfMicrosoft PowerPoint - Sistem Persamaan Linier.pptx Author Fujitsu Created](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022012914/5b1e4f627f8b9a8a3a8b5ecc/html5/thumbnails/15.jpg)
Matriks Tridiagonal
Matriks yang anggotanya hanya terdapat pada diagonal, bawah dan atas diagonal.
23/10/2013 Djoko Luknanto (http://luk.staff.ugm.ac.id/) 15
1 1
2 2 2
3 3 2
1 1 1
0 0 00
00 0
0n n n
n n
a cb a c
b a c
b a cb a
![Page 16: Sistem Persamaan Linier - Padepokan daring - la Family ...luk.staff.ugm.ac.id/numerik/SistemPersamaanLinier.pdfMicrosoft PowerPoint - Sistem Persamaan Linier.pptx Author Fujitsu Created](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022012914/5b1e4f627f8b9a8a3a8b5ecc/html5/thumbnails/16.jpg)
Matriks Tridiagonal
A = LU
23/10/2013 Djoko Luknanto (http://luk.staff.ugm.ac.id/) 16
1 1
2 2 2
3 3
1
0 10 0 1
01
0 0 0 1n
n n
bb
b
![Page 17: Sistem Persamaan Linier - Padepokan daring - la Family ...luk.staff.ugm.ac.id/numerik/SistemPersamaanLinier.pdfMicrosoft PowerPoint - Sistem Persamaan Linier.pptx Author Fujitsu Created](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022012914/5b1e4f627f8b9a8a3a8b5ecc/html5/thumbnails/17.jpg)
Matriks TridiagonalDengan mengalikan LU = A diperoleh: a1 = 1 dan c1 = 11 ai = i + bii-1 untuk i = 2, 3, …, n ii = ci untuk i = 2, 3, …, n-1dari persamaan di atas diperoleh langkah hitungan berikut ini: 1 = a1 dan 1 = c1/1 i = ai – bii-1 i = ci/i untuk i = 2, 3, …, n n = an – bnn-1Koefisien dan disimpan untuk hitungan-hitungan lanjutan …
23/10/2013 Djoko Luknanto (http://luk.staff.ugm.ac.id/) 17
![Page 18: Sistem Persamaan Linier - Padepokan daring - la Family ...luk.staff.ugm.ac.id/numerik/SistemPersamaanLinier.pdfMicrosoft PowerPoint - Sistem Persamaan Linier.pptx Author Fujitsu Created](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022012914/5b1e4f627f8b9a8a3a8b5ecc/html5/thumbnails/18.jpg)
Matriks Tridiagonal
Nilai x dihitung dari [A]{x} = {f} yang diubah menjadi
[LU]{x} = {f}dengan [U]{x} = {z} dan [L]{z} = {f} sehingga {z} dihitung terlebih dahulu baru kemudian {x}:
23/10/2013 Djoko Luknanto (http://luk.staff.ugm.ac.id/) 18
1 11
1
2,3,...,i i ii
i
f f b zz z i n
1 1, 2,...,1n n i i i ix z x z x i n n
![Page 19: Sistem Persamaan Linier - Padepokan daring - la Family ...luk.staff.ugm.ac.id/numerik/SistemPersamaanLinier.pdfMicrosoft PowerPoint - Sistem Persamaan Linier.pptx Author Fujitsu Created](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022012914/5b1e4f627f8b9a8a3a8b5ecc/html5/thumbnails/19.jpg)
Matriks Pita
Metoda penyelesaian untuk matriks tridiagonal ini dikenal dengan nama Algoritma Thomas.
Untuk matriks pita yaitu matriks yang anggota bernilai tidak nol berada di sekitar diagonal, maka teknik yang sama dapat dilakukan dan secara umum disebut metoda sapuan ganda.
23/10/2013 Djoko Luknanto (http://luk.staff.ugm.ac.id/) 19