sistem persamaan linier (simple)
TRANSCRIPT
-
8/18/2019 Sistem Persamaan Linier (simple)
1/19
SISTIM PERSAMAAN LINIER
BENTUK UMUM
PERMASALAHAN
CARI X1 Xn SEDEMIKIAN RUPA SEHINGGA PERSAMAAN DIATAS
TERPENUHI SECARA SIMULTAN ?
BENTUK TERBATAS n = 3
nnnn j jn2n21n1
inni j ji22i11i
nn j j21
nn j j21
xxxx
xxxx
xxxx
xxxx
baaaa
baaaa
baaaa
baaaa
2222221
1111211
3333231
2232221
1131211
baaa
baaa
baaa
321
321
321
xxx
xxx
xxx
aij , bi = KONSTANTA
X j = VAR.YG DICARIi = BARIS
j = KOLOM
10/2/2008 Kuliah Sarjana Teknik Sipil FTUB
-
8/18/2019 Sistem Persamaan Linier (simple)
2/19
METODE CRAMERDESKRIPSI : CARA ANALITIS DIMANA X1 Xn AKAN DIHITUNGDENGAN DETERMINANNYA.
PENYELESAIAN : UNTUK n = 3,
METODE ELEMINASI GAUSSDESKRIPSI : CARA SEMI NUMERIK DIMANA X1 Xn AKANDIHITUNG MELALUI PROSEDUR BERIKUT :
A
Ax1
333231
232221
131211
33323
23222
13121
1
aaa
aaa
aaa
aab
aab
aab U/ X2
GANTI KOLOM 2
PEMBILANG DGN RUAS
KANAN.
U/ X3 GANTI KOLOM 3
PEMBILANG DGN RUAS
KANAN.
10/2/2008 Kuliah Sarjana Teknik Sipil FTUB
-
8/18/2019 Sistem Persamaan Linier (simple)
3/19
PENYELESAIAN : UNTUK n = 3,
BILA a 11 0 FAKTOR PENGALI m1 = a 21 / a 11
BILA a 11 = 0 PERMUTASIKAN / PERTUKARKAN LEBIH DULU
BARIS YG MENGANDUNG a 11 0.
TRANSFORMASI ELEMENTER BARIS 2 DIKURANGKAN DGN
[ BARIS 1 DIKALIKAN DGN m1 ] :
ANALOOG UNTUK ELIMINASI a 31 DAN a 32 !!!
HASIL TRIANGGULASI ATAS :
22322
1213231222
'''
)()()(0
baa
bbaaaa
32
13121
xx
mxmxm
SISTIM PERSAMAAN
LINIER ( SEGIEMPAT )TRANSFORMASI ELEMENTER
SISTIM TRIANGGULASI
ATAS ( SEGITIGA ATAS )
333
22322
1131211
""
'''
ba
baa
baaa
3
32
321
x
xx
xxx
DEFINISIKAN FAKTOR PENGALI U/ MENGELIMINASIKAN
ELEMEN-ELEMEN KOLOM DIBAWAH DIAGONAL
10/2/2008 Kuliah Sarjana Teknik Sipil FTUB
-
8/18/2019 Sistem Persamaan Linier (simple)
4/19
HASIL PENYELESAIAN AKHIR :
KELEMAHAN :
TRANSFORMASI ELEMENTER MENGANDUNG BANYAK OPERASI
ARITMATIKA BILA n >>> MAKA OPERASI ARITMATIKA >>>
SEHINGGA KESALAHAN >>> !!!
METODE ITERASI GAUSS-SEIDEL
DESKRIPSI : CARA NUMERIK PENUH DIMANA X1 Xn AKANDIHITUNG MELALUI PROSEDUR BERIKUT :
11
13121
22
232
33
33
'
''
"
"
a
aab
a
ab
a
b 321
323
xx xx
xx
SISTIM PERSAMAAN
LINIER
BENTUK RUMUS
ITERASI
ITERASI S / D : X(k) X(k-1) DGN
KETELITIAN TERTENTU
PENYELESAIAN PDKT AWAL
X j(0) , j = 1,2,3 … . . n
10/2/2008 Kuliah Sarjana Teknik Sipil FTUB
-
8/18/2019 Sistem Persamaan Linier (simple)
5/19
RUMUS ITERASI : U/ n = 3,
ASUMSI : a 11 0 , a 22 0 , a 33 0 DAN k = ITERASI
PROSES ITERASI :
ITERASI 1 DIAMBIL P.P.A X1(0), X2
(0) DAN X3(0) :
N1,2,..., j
(k)
2
(k)
1
(k)
3
1)-(k
3
(k)
1
(k)
2
1)-(k
3
1)-(k
2
(k)
1
xxx
xxx
x-x-1
x
3231333
23212
22
13121
11
1
1
aaba
aaba
aab
a
xxx
xxx
x-x-1
x
(1)
2
(1)
1
(1)
3
(0)3
(1)1
(1)2
(0)3
(0)2
(1)1
3231333
23212
22
13121
11
1
1
aab
a
aaba
aab
a
10/2/2008 Kuliah Sarjana Teknik Sipil FTUB
-
8/18/2019 Sistem Persamaan Linier (simple)
6/19
ITERASI 2 DIAMBIL X1(1), X2
(1) DAN X3(1) :
DAN SETERUSNYA S / D DIPEROLEH X(k) X(k-1) DAN ITERASI
DIHENTIKAN ATAS DASAR KRITERIA :
RUMUS UMUM ITERASI : U/ ( n X n ),
xxx
xxx
x-x-1
x
(2)
2
(2)
1
(2)
3
(1)
3
(2)
1
(2)
2
(1)
3
(1)
2
(2)
1
32313
33
23212
22
13121
11
1
1
aaba
aaba
aaba
ketelitian x-xm 1)-(k(k)(k)
N1,2,3,...,kn1,2,3,..., ji ,
(k)
j
n
1i j i i
i j1)(k
j
1-i
1 j i i
i j
i i
i1)(k
i
xxx
a
a
a
a
a
b
10/2/2008 Kuliah Sarjana Teknik Sipil FTUB
-
8/18/2019 Sistem Persamaan Linier (simple)
7/19
KELEMAHAN :
SANGAT PEKA THD VARIASI ANTAR ELEMEN YG KECIL
SANGAT LAMBAT KONVERGEN BILA DETERMINAN 0
PERLU DIKEMBANGKAN KRITERIA KONVERGENSI !!!
KRITERIA KONVERGENSI
BENTUK MATRIKSBENTUK UMUM ( DIMENSI n X n ) :
n
i j1, j
i ji i aa
n
j
n
j
2
1
nnnjnn
ini jii
n j
n j
x
x
x
x
b
b
b
b
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa
2
1
21
21
222221
111211
BX A
ataux i ji j ba
ELEMEN DIAGONAL HARUS
DOMINAN !!!
BENTUK SINGKAT :
10/2/2008 Kuliah Sarjana Teknik Sipil FTUB
-
8/18/2019 Sistem Persamaan Linier (simple)
8/19
BENTUK AUGMENTASI : U/ n x n,
BENTUK U/ n = 3 :
PENYELESAIAN DG METODE INVERSI / CRAMER / KOFAKTOR :
[A]-1 = INVERS MATRIKS A, adj [A] = ADJOINT MATRIKS A,
ij = KOFAKTOR DAN M ij = MINOR.
3333231
2232221
1131211
3
2
1
333231
232221
131211
baaa
baaa
baaa
b
b
b
aaa
aaa
aaa
3
2
1
x
x
x
ij ji
ij ji M Aadj A Aadj A
B A X
)1(1
1
ji j ba
10/2/2008 Kuliah Sarjana Teknik Sipil FTUB
-
8/18/2019 Sistem Persamaan Linier (simple)
9/19
METODE CROUT ( DEKOMPOSISI MATRIKS )
DESKRIPSI : CARA SEMI NUMERIK DIMANA X1 Xn AKAN DIHITUNGMELALUI PROSEDUR BERIKUT ,
PENYELESAIAN : U/ 3 x 3,
[ aij : bi ] = [ Lij ][ Tij : ci ]
HITUNG KOEFISIEN
Lij , Tij , Ci
PENYELESAIAN
X j
TEKNIK INSPEKSI ( HASIL KESAMAAN
RUAS KIRI DAN KANAN )
TEKNIK SUBSTITUSI TERBALIK
PADA [ Tij : CI ]
3
223
11312
333231
2221
11
c100
cT10
cTT1
LLL
0LL
00L
3333231
2232221
1131211
baaa
baaa
baaa
10/2/2008 Kuliah Sarjana Teknik Sipil FTUB
-
8/18/2019 Sistem Persamaan Linier (simple)
10/19
HASIL PERHITUNGAN KOEFISIEN :
PENYELESAIANNYA :
X3 = C3 X2 = C2 – T23 X3 X1 =C1 – T13 X3 – T12 X2RUMUS UMUM DAN PENYELESAIAN :
33
2321313
22
1212
11
1
233213313312313231
22
13212312212221
11
13
11
1211
L
)cL-cLc
L
cLc
L
c
TL-TLL TLL L
L
TLT TLL L
L
T L
T L
321
333231
232221
131211
()(
)(
bbb
aaa
aaa
aaa
)1(,...,3,2,1
1
1
n j n2,3,4,...,i
1-i
1kkiki
i ii
n
1 jr
r jr j jn2,3,4,..., j, ji
1-i
1k
kjikij
ii
i j
nn n1,2,3,..., j, jikj
1 j-
1k
ikiji j
,cLLc
xTc x,TLL
T
cx,TLL
b
a
a
10/2/2008 Kuliah Sarjana Teknik Sipil FTUB
-
8/18/2019 Sistem Persamaan Linier (simple)
11/19
METODE CHOLESKI ( MATRIKS SIMETRIS )
DESKRIPSI : CARA SEMI NUMERIK DIMANA X1 Xn AKAN DIHITUNGMELALUI PROSEDUR BERIKUT :
PENYELESAIAN : U/ 3 x 3,
[ aij : bi ] = [ U ji ][ Uij : ci ]
HITUNG KOEFISIENUij , Ci
PENYELESAIAN
X j
TEKNIK INSPEKSI ( HASIL KESAMAAN
RUAS KIRI DAN KANAN )
TEKNIK SUBSTITUSI TERBALIK
PADA [ Uij : CI ]
333
22322
1131211
332313
2212
11
cU00
cUU0
cUUU
UUU
0UU
00U
3333231
2232221
1131211
baaa
baaa
baaa
10/2/2008 Kuliah Sarjana Teknik Sipil FTUB
-
8/18/2019 Sistem Persamaan Linier (simple)
12/19
HASIL PERHITUNGAN KOEFISIEN :
PENYELESAIAN :
RUMUS UMUM ( n x n ) :
33
2321313
2
23
2
1333
12
13
22
121
222
1312
2311
12
11
1
2
122211
U
)Uc-Ucc UUU
UU
U
Uc
c U
UU
U UU
U
c UU U
323
13
22312
12211
(
)()(
ba
a
baa
baa
i i
1-i
1kkkii
i n2,3,4,..., j
i i
1-i
1kkjkii j
i j
n2,3,4,...,i
i
1k
2
kii ii i
U
cU
c,
U
UU
U
,UU
ba
a
1
11
31321211
22
32322
33
33
UxU-xU-c x
UxUc x
Ucx
10/2/2008 Kuliah Sarjana Teknik Sipil FTUB
-
8/18/2019 Sistem Persamaan Linier (simple)
13/19
X1
X2
( 0,0 )
1
2
1
PENYELESAIANNYA :
CONTOH SOAL :
INTEPRETASI GEOMETRIK M ITERASI SPL 2 X 2 :
1)-(n1,2,3,...,i
i i
n
1ikkiki
i
nn
nn
,U
xUcx
U
cx
2 X1 + X2 = 2
X1 – 2 X2 = 2
TITIK POTONG PENYELESAIAN
YANG DICARI !!!
ARAH PERGERAKAN ITERASI MENUJU
TITIK POTONG DUA KURVA KONVERGEN !!!
10/2/2008 Kuliah Sarjana Teknik Sipil FTUB
-
8/18/2019 Sistem Persamaan Linier (simple)
14/19
INVERSI MATRIKS
BENTUK MATRIKS U/ SPL DGN 3 PERSAMAAN :
DALAM BNTK SINGKAT DAN BNTK AUGMENTASI :
PENYELESAIAN :
BILA [ A ] NON SINGULAR ( A 0 ), MAKA :
ATURAN CRAMER ( METODE KOFAKTOR )
A = DETERMINAN [ A ], [ C ]T
= ADJOINT [ A ].
3
2
1
3
2
1
333231
232221
131211
x
x
x
b
b
b
aaa
aaa
aaa
b A A BX
InversMatriks
11
111
X
X
A B A
I A A B A A A
TC
A A
11
10/2/2008 Kuliah Sarjana Teknik Sipil FTUB
-
8/18/2019 Sistem Persamaan Linier (simple)
15/19
METODE ELIMINASI GAUSS-JORDAN :
AMBIL :
HASIL PERKALIAN DLM BNTK MATRIKS :
C 11 , C 12 , . . . , C 33 DAPAT DIHITUNG, NAMUN PERHITUNGAN
MENJADI BANYAK !!!
I AC C A
ccc
ccc
ccc
C A
333231
232221
131211
1
100
010
001
333231
232221
131211
333231
232221
131211
ccc
ccc
ccc
aaa
aaa
aaa
1
0
0
1
00
000
000
000
33
13
12
11
3331
31
21
11
c
c
c
c
aa
a
a
a
10/2/2008 Kuliah Sarjana Teknik Sipil FTUB
-
8/18/2019 Sistem Persamaan Linier (simple)
16/19
PENYEDERHANAAN DLM BTK AUGMENTASI :
METODE REDUKSI
AMBIL SPL DG 3 PERSAMAAN DLM BTK MATRIKS :
PROSEDUR REDUKSI :
[ R i ] = MATRIKS PEREDUKSI, DIAMBIL SDRS HASIL PERKALIAN
AKHIR [ R I ] [ A ] = [ I ], DENGAN i = DIMENSI MATRIKS.
333231
232221
131211
333231
232221
131211
100
010
001
100
010
001
ccc
ccc
ccc
aaa
aaa
aaa
C I I A
B A
b
b
b
aaa
aaa
aaa
X
x
x
x
3
2
1
3
2
1
333231
232221
131211
1,2,3i,X ii B R A R
10/2/2008 Kuliah Sarjana Teknik Sipil FTUB
-
8/18/2019 Sistem Persamaan Linier (simple)
17/19
REDUKSI KOLOM 1 DR [ A ] [ R 1 ] DIAMBIL BERIKUT :
HASIL PERKALIAN :
DALAM BENTUK SINGKAT :
B R A R
a
a
aa
a
R 11
11
31
11
21
11
1 X
10
01
001
3
2
1
1
3
2
1
'
33
'
32
'
23
'
22
'
13
'
12
x
x
x
0
0
1
b
b
b
R
aa
aa
aa
B R A 11 X
10/2/2008 Kuliah Sarjana Teknik Sipil FTUB
-
8/18/2019 Sistem Persamaan Linier (simple)
18/19
REDUKSI KOLOM 2 DR [ A ] [ R 2
] DIAMBIL BERIKUT :
HASIL PERKALIAN :
DALAM BENTUK SINGKAT :
B R R A R
a
a
a
a
a
R X 1212
'
22
'
32
'
22
'
22
'
12
2
10
01
0
01
3
2
1
12
3
2
1
"
33
"
23
"
13
x
x
x
00
10
01
b
b
b
R R
a
a
a
B R R A 122 X
10/2/2008 Kuliah Sarjana Teknik Sipil FTUB
-
8/18/2019 Sistem Persamaan Linier (simple)
19/19
REDUKSI KOLOM 3 DR [ A ] [ R 3
] DIAMBIL BERIKUT :
HASIL PERKALIAN :
DENGAN DEMIKIAN :
BENTUK UMUM U/ MATRIKS n x n :
B R R R A R
a
aa
a
a
R 12323
"
33
"
33
"
23
"
33
"
13
3 X
100
10
01
3
2
1
123
3
2
1
x
x
x
100
010
001
b
b
b
R R R
-1
123 R R R A
-1
12n1nn R R R R A
10/2/2008 Kuliah Sarjana Teknik Sipil FTUB