SISTEMA BINARIO

SISTEMAS NUMÉRICOSLos sistemas numéricos mas antiguos son:•Babilónico•Romano•Hindú•Árabe

1.El sistema numérico babilónico tenía base 60 y en la actualidad de éste sólo quedan en uso los grados, horas, minutos y segundos.

2.El romano, por su parte, era el más atrasado de todos. De ese sistema actualmente sólo se utilizan sus números (I, V, X, L, C, D y M) para señalar las horas en las esferas de algunos relojes, indicar los capítulos en los libros y, en otros casos para hacer referencia a un determinado año.

3.El sistema numérico hindú y árabe sí han llegado hasta nuestros días; es lo que conocemos como sistema numérico decimal (de base 10), siendo el de uso más extendido en todo el mundo. Tal como indica su prefijo (deci), este sistema utiliza 10 dígitos, del 0 al 9.

Con el surgimiento de los ordenadores o computadoras personales (PCs), los ingenieros informáticos se vieron en la necesidad de adoptar un sistema numérico que le permitiera a la máquina funcionar de forma fiable. Debido a que el sistema numérico decimal resultaba complejo para crear un código apropiado, adoptaron el uso del sistema numérico binario (de base 2), que emplea sólo dos dígitos: “0” y

“1”.

Con el sistema binario los ingenieros crearon un lenguaje de bajo nivel o “código máquina”, que permite a los ordenadores entender y ejecutar las órdenes sin mayores complicaciones, pues el circuito electrónico de la máquina sólo tiene que distinguir entre dos dígitos para realizar las operaciones matemáticas y no entre diez, como hubiera sucedido de haberse adoptado el sistema numérico decimal para el funcionamiento de

los ordenadores o computadoras.

BASE DE UN SISTEMA NUMÉRICO

La base de un sistema numérico radica en la cantidad de dígitos diferentes que son necesarios para representar las cifras. Por ejemplo, a continuación se puede apreciar la cantidad de dígitos diferentes que emplea un sistema numérico en particular, de acuerdo con su correspondiente base numérica:Base numérica Dígitos

empleadosCantidad total de

dígitos

Binaria (2) 0 y 1 2

Octal (8) 0,1,2,3,4,5,6 y 7 8

Decimal (10) 0,1,2,3,4,5,6,7,8, y 9

10

Hexadecimal (16) 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E y F.

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DESCOMPOSICIÓN DE UN NÚMERO EN FACTORES

EJEMPLO : Este número está formado por la centena 200, la decena 30 y la unidad 5, tal como se representa a continuación:235= 200 + 30 + 5

Para descomponer este número será necesario relacionar cada dígito con el factor de 10 de la base numérica y con los exponentes de las potencias que corresponden al lugar específico que ocupa cada uno en la cifra, es decir, 100 para la unidad, 101 para la decena, 102 para la centena y así sucesivamente, tal como se puede ver a continuación:

Descomposición de la centena: 200 = 2 . 102

Descomposición de la decena: 30 = 3 . 101

Descomposición de la unidad: 5 = 5 . 100

Por tanto, matemáticamente la descomposición del número 235 podemos representarla de la siguiente forma:

Por acuerdo internacional, no es necesario identificar la

base de los números pertenecientes al sistema decimal

como se ha hecho en este ejemplo, porque se

sobreentiende que es 10. Sin embargo, cualquier otro

sistema numérico es necesario identificarlo escribiendo al

final de la cifra el número correspondiente a su base con el

fin de evitar confusiones.

23510 (base)  =  (2 . 102) + (3 . 101) + (5 . 100)  =  (200) + (30) + (5)

CONVERSIÓN DE BINARIO A DECIMAL

1 1 1 1 0 1 0 0 1 0 1 —

Número binario

10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 —

Posición – peso

1×210 + 1×29 + 1×28 + 1×27 + 0×26 + 1×25 + 0×24 + 0×23

+ 1×22 + 0×21 + 1×20

= 1024 + 512 + 256 + 128 + 0 + 32 + 0 +

4 + 1 = 1957

CONVERSIÓN DE UN SISTEMA NUMÉRICO BINARIO

Matemáticamente, existe la posibilidad de convertir un número de un sistema numérico a otro.

  Descomposición en factores de un número base 2 (binario) y su conversión a un número equivalente en el sistema numérico decimal.

Veamos ahora cómo llevamos el número binario 101111012 a su equivalente en el sistema numérico decimal. Para descomponerlo en factores será necesario utilizar el 2, correspondiente a su base numérica  y elevarlo a la potencia que le corresponde a cada dígito, de acuerdo con el lugar que ocupa dentro de la serie numérica. Como exponentes utilizaremos el “0”, “1”, “2”, "3" y así sucesivamente, hasta llegar al "7", completando así la cantidad total de exponentes que tenemos que utilizar con ese número binario. La descomposición en factores la comenzamos a hacer de izquierda a derecha empezando por el mayor exponente, como podrás ver a continuación en el siguiente EJEMPLO:

101111012  =  (1 . 27) + (0 . 26) + (1 . 25) + (1 . 24) + (1 . 23) + (1 . 22) + (0 . 21) + (1 . 20)

                              =  (128) + (0) + (32) + (16) + (8) + (4) + (0) + (1)

                              =  18910

EJEMPLO

En el resultado obtenido podemos ver que el número binario 101111012 se corresponde con el número entero 189 en el sistema numérico decimal.

CONVERSION DE DECIMAL A BINARIO

1957 / 2 = 978 Resto: 1978 / 2 = 489 Resto: 0489 / 2 = 244 Resto: 1244 / 2 = 122 Resto: 0122 / 2 = 61 Resto: 061 / 2 = 30 Resto: 130 / 2 = 15 Resto: 015 / 2 = 7 Resto: 17 / 2 = 3 Resto: 13 / 2 = 1 Resto: 1

= 1 1 1 0 1 0 0 1 0 1

Conversión de un número entero del sistema numérico decimal al sistema de binario.

Seguidamente realizaremos la operación inversa, es decir, convertir un número perteneciente al sistema numérico decimal (base 10) a un número binario (base 2). Utilizamos primero el mismo número 189 como dividendo y el 2, correspondiente a la base numérica binaria del número que queremos hallar, como divisor. A continuación el resultado o cociente obtenido de esa división (94 en este caso), lo dividimos de nuevo por 2 y así, continuaremos haciendo sucesivamente con cada cociente que obtengamos, hasta que ya sea imposible continuar dividiendo. Veamos el ejemplo:

1957 / 2 = 978 Resto: 1978 / 2 = 489 Resto: 0489 / 2 = 244 Resto: 1244 / 2 = 122 Resto: 0122 / 2 = 61 Resto: 061 / 2 = 30 Resto: 130 / 2 = 15 Resto: 015 / 2 = 7 Resto: 17 / 2 = 3 Resto: 13 / 2 = 1 Resto: 1

= 1 1 1 0 1 0 0 1 0 1

EJERCICIOS DE CONVERSIONBINARIO A DECIMAL:

1101101101 =100010111 =1110011010 =1001001001 =010000001 =1001111111 =1010101000 =1110000011=

EJERCICIOS DE CONVERSIONDECIMAL A BINARIO :

23456 =34563 =4321 =4466 =5678 =9823 =9878 =