sistema de control de presion
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8/16/2019 Sistema de Control de Presion
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PRIMER PARCIAL DE FUNDAMENTOS DE CONTROL
SISTEMA DE CONTROL DE PRESIÓN
JUAN MANUEL GARCÍA FRAGOZO
Ingeniería de Control
CARLOS EDUARDO AGUIRRE EDELIngeniería de Petróleos
JUAN DAVID OCHOA
Ingeniería Química
PRESENTADO A: LINA MARIA GOMEZ
UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA SEDE MEDELLÍN
FACULTAD DE MINAS
ESCUELA DE MECATRÓNICA
NOVIEMBRE DE 2012
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1.
DESCRIPCIÓN DEL PROCESO
El proceso se compone de un tanque contenedor de aire, donde los flujos de aire de
entrada y salida presentan una presión, temperatura y densidad ( ) y ( ) respectivamente y cuya descarga se hace a presión atmosférica. Este tanque es de
forma cilíndrica y posee una capacidad de 60 litros.
El objetivo del proceso es el de observar la dinámica de la presión en la planta, la cual se
constituye como una variable de estado. El flujo de aire de entrada y de salida presenta
un comportamiento, debido a las válvulas que permiten su paso a través del tanque. Estas
válvulas son de ⁄ tipo aguja normalmente abierta, con actuador neumático y vástagodeslizable, en donde una es usada como actuador para efectos de control y la otra con
fines didácticos para realizar la perturbación al sistema [2].
El sistema de control contiene un indicador de presión con rango de medida de 0-30 psig,
a través del cual el operador del proceso puede corroborar el estado del mismo [2]. Comoel tanque opera en el rango de 3-15 psig, se emplea un transductor de presión a corriente
(3-15 psig a 4-20 mA) para llevar la medición de la señal de salida al controlador (PLC),
donde se realiza el cálculo de la acción de control, luego esta señal es enviada al proceso y
como el elemento final de control es un actuador neumático, la señal es nuevamente
convertida a presión por medio del transductor de corriente a presión (4-20 mA a 3-15
psig) [2]. Ver figura 1.
Figura1. Sistema de control de presión.
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2.
MODELO FENOMENOLÓGICO
EL modelo fenomenológico del proceso se obtiene partiendo de un balance de masa
aplicado al tanque, no se considera el balance de energía ya que los cambios de presión
que se manejan en el tanque, no ocasionan grandes cambios de temperatura del aire [2].
Por lo tanto se hacen varias suposiciones dadas las condiciones físicas del proceso:
SUPOSICIONES
Temperatura constante,
Comportamiento del aire como gas ideal.
Balance de masa:
̇ ̇
Asumiendo el comportamiento de gas ideal:
Mediante un balance de energía mecánica (ecuación de Bernuolli), se encuentra una
relación en términos del coeficiente de apertura de la válvula (Cv), una función del
desplazamiento del vástago ( ), las presiones de entrada y de salida, además la densidaddel fluido a la entrada de la válvula [1].
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La función depende del desplazamiento total del vástago, que a su vez es dependientede la presión aplicada al diafragma de la válvula [1].
Sabiendo que la fracción de desplazamiento total del vástago en la válvula considera elspan propio del protocolo neumático (3 – 15 psi), se tiene que [1]:
Finalmente se obtiene el modelo completo, al reemplazar (8) en (5), (9) en (6) y (5) y (6)
en (4).
El coeficiente de dimensionamiento de la válvula se obtiene a partir de la siguienterelación: ⁄ donde ⁄ , y la caída depresión a través de la válvula debe ser el 50% de la caída de presión en todo el sistema,
∆ .Escogiendo un factor de sobre diseño igual a 2, se tiene que: = 2* [1].
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TABLA DE PARÁMETROS
Símbolo Valor Unidades Descripción 2.62 g/L Densidad de flujo de entrada
2.6 g/L Densidad de flujo de salida
1.2051 L*Psi/mol*K Constante universal de los gases 298.15 K Temperatura de los flujos de aire 6 L Volumen total del tanque 29 g/mol Peso molecular del aire 0.2425 [L/s] *[Psi-1/2] Coeficiente de apertura de la válvula 1.1 adimensional Coeficiente empírico 12.3740 Psi Presión atmosférica en MedellínTabla 1. Parámetros del modelo.
2.1
LINEALIZACIÓN
El modelo fenomenológico que describe la dinámica de la presión en el tanque es un
modelo altamente no lineal, puesto que presenta funciones exponenciales y funciones de
potenciación que a su vez están en función de la variable de estado y las variables de
entrada. Para llevar a cabo el diseño y sintonía del controlador para este proceso es
necesario aproximar el modelo no lineal a un modelo lineal entorno a un punto de
operación o también llamado estado estacionario. Ver tabla 2.
TABLA DE VARIABLES Y PUNTO DE OPERACIÓN
VARIABLES PUNTO DEOPERACIÓN
UNIDADES
DESCRIPCIÓN
P 17.9837 Psi - absoluta Presión en el tanque 3 Psi- manométrica Presión en la válvula de control 22.6960 Psi - absoluta Presión en flujo de entrada 4 Psi- manométrica Presión en la válvula de perturbaciónTabla 2. Punto de operación.
Para llevar a cabo la linealización se identifica la variable de estado y las variables de
entrada en el proceso.
Variable de estado: “P” siendo esta la salida del proceso “y(t) = P(t)”
Variables de entrada: , y
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Este grupo de variables de entrada se encuentra la acción de control y las perturbaciones.
o Acción de control: o Perturbación de entrada:
o Perturbación de salida: Definiendo así:
La variable de estado y el vector de entradas La linealización se desarrolla por expansión en series de Taylor alrededor del punto de
operación o de estado estacionario del modelo no lineal.
( )
[
]
Obteniendo así, el modelo linealizado en variables de desviación:
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Donde,
Es necesario realizar una comparación entre el modelo linealizado y el modelo no lineal
para validar que tan aproximado es el modelo linealizado alrededor del punto operación
establecido.
Figura 2. Comparación de los modelos.
En la figura 2, se ve como el modelo linealizado se aproxima al modelo no lineal, siendo
aceptable su cercanía en el comportamiento dinámico. Se realizaron variaciones en los
valores del nominales de operación de las entradas del proceso en el orden del 10% parala y y del 5% para . Las funciones de transferencia obtenidas luego de aplicar transformada de Laplace y el
principio de superposición son las siguientes:
0 50 100 150 200 250 300 350 40017.8
17.9
18
18.1
18.2
18.3
18.4
18.5
18.6
18.7
Tiempo [segundos]
R e s p u e s t a
COMPARACION DE LOS MODELOS LINEALIZADO Y NO LINEAL
Modelo no lineal
Modelo linealizado
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Es importante resaltar la relación que existe entre las variables aun cuandose ha considerado a como una variable de perturbación en la entrada del proceso.Considerando a como la acción de control, es decir la variable que podemosmanipular se establece cierta relación directa con la presión que lleva el flujo de entrada
. Si al enviar una acción de control cambiamos directamente la presión deentrada se infiere que es una variable manipulable a lazo abierto y manipulada a lazocerrado. De manera que, basados en el modelo analítico la función de transferencia a
analizar sería la de la ecuación (16), puesto que, se tiene analíticamente la facilidad de
controlar la variable manipulable real del proceso.
2.2
ANALISIS A LAZO ABIERTO – MODELO FENOMENOLÓGICO
La forma canónica de la función de transferencia que representa la planta es:
Con τ = 9.6922 seg y K=
⁄ Teniendo un tiempo de establecimiento
de = 48.4610 seg.La planta es estable dado que presenta un polo con parte real negativa, {Re} < 0,S = -0.1032.
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RESULTADOS DE SIMULACIÓN
Figura 3. Respuesta al escalón de la planta.
En la figura 3, se aprecia la respuesta al escalón de la función de transferencia que
representa a la planta, relacionando la salida con la entrada manipulable . Estarelación es inversa, dado que, ante un aumento o decremento en la presión de control la
presión en el tanque disminuye o aumenta respectivamente. La sensibilidad expresada
para esta relación de variables es de . Esta planta presenta la dinámica de unsistema de primer orden.
Figura 4. Respuesta al escalón de la planta para la .
0 10 20 30 40 50 60-0.45
-0.4
-0.35
-0.3
-0.25
-0.2
-0.15
-0.1
-0.05
0Step Response
Time (seconds)
A m p l i t u d e
0 10 20 30 40 50 600
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7Step Response
Time (s econds)
A m p l i t u d e
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En la figura 4, se relaciona la salida con la variable de perturbación mediante larespuesta a un escalón. Su respuesta además de ser la de un sistema de primer orden
también demuestra la relación directa existente entre estas variables del proceso, donde
un cambio en la presión del flujo de entrada provoca un cambio en el mismo sentido a la
presión en el interior del tanque, es decir, un aumento en la
resulta en un aumento en
la presión de salida , en el orden de por unidad de cambio en la magnitud deentrada.
Figura 5. Respuesta al escalón de la planta para
.
En la figura 5, se observa la relación de la salida con la variable de perturbación .Esta representa los cambios en la presión del flujo de salida de la planta y su influencia enla presión en el interior del tanque, siendo esta la salida del proceso. Esta presenta una
relación directa siendo evidente que ante un cambio ya sea en aumento o en decremento
de la presión del flujo de salida, la presión en el interior del tanque se comporta de igual
manera alterando así las condiciones nominales en el proceso. Esta relación presenta la
misma sensibilidad que la demostrada por la salida con la variable con lamagnitud por el hecho de que ambas son la fuente de energía para las válvulasque son usadas para efectos de control y para la perturbación de salida.
0 10 20 30 40 50 600
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
0.4
0.45Step Response
Time (seconds)
A m p l i t u d e
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3.
IDENTIFICACIÓN EXPERIMENTAL DE LA PLANTA
Para aproximar un modelo experimental que explique el comportamiento de la planta, se
lleva a cabo un proceso de identificación a través del método de curva de reacción. Este
método exige fijar primero un punto de operación sobre el cual se hará la prueba al
escalón con la entrada manipulable del proceso. Para efectos de comparar el modelo
fenomenológico y el modelo experimental se establece el mismo punto de operación para
ambos, esto es:
[ ]
Este punto de operación resulta del modelo fenomenológico, donde al fijar una presión en
el flujo de entrada , en el flujo de salida y la de control se obtiene ladel tanque .Ahora bien, para el modelo experimental se fijan las mismas presiones, teniendo en
cuenta que la de control esta implícita en la de entrada . Es claro que para ellazo abierto no hay acceso directo a la presión de control, pero de cierta manera entre
esta presión y la presión de entrada existe una relación, puesto que, por medio de una se
manipula la otra. Para este trabajo se definió que la válvula de control iniciaría totalmente
abierta, permitiendo adaptar el modelo fenomenológico a las condiciones del
experimento a lazo abierto.
El punto de operación para el modelo experimental resultante de la prueba a lazo abierto
es:
La diferencia entre estos dos puntos de operación (19) y (20) radica en varias razones:
1. Dado que el modelo fenomenológico es una aproximación al comportamiento real
del proceso existe una incertidumbre paramétrica.2. Los valores tomados del experimento a lazo abierto presentan una incertidumbre
ligada a la medición del transductor presión/corriente el cual se encuentra des
calibrado.
3. Los valores de presión del flujo de entrada y de presión del flujo de salida
presentaban variaciones, puesto que, el compresor que alimenta a la planta es
compartido entre varios laboratorios incluido el de operaciones unitarias. Esta
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razón justifica la poca estabilidad en los valores del punto de operación y la poca
precisión de los escalones realizados para observar el comportamiento de la
planta.
Con el punto de operación obtenido (20), se obtuvo la siguiente respuesta al escalón:
Figura 6. Respuesta al escalón de la planta-experimental.
Obteniendo la función de transferencia en su forma canónica:
Esta función relaciona la salida con la entrada manipulable . Anteriormente sehabía dicho que no era posible obtener esta relación en la prueba experimental a lazo
abierto, pero en vista de que las válvulas neumáticas que son empleadas para efectos de
control y de perturbación de salida son las mismas, se tiene que, la variable de entrada de
perturbación y la variable de entrada presentan la misma sensibilidad y portanto la misma función de transferencia, con la diferencia de que una presenta gananciapositiva y la otra negativa.
No se obtuvo la función de transferencia que relaciona salida con la entrada porquedadas las condiciones inestables de la fuente de aire (compresor) no se logró un respuesta
aceptable en las pruebas realizadas.
0 5 10 15 20 25 30 35 400
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
Tiempo [segundos]
d e l t a P r e s i o n [ P s i ]
Salida en lazo abierto - Curva de reaccion
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Figura 7. Respuesta al escalón de la planta- experimental Pe
En la figura 7, se aprecia como la ganancia varia para cambios en la misma entrada K1 =8.5 (para la curva azul) y K2 = 5.3 (para la curva roja). Además se observa como varia el
tiempo de establecimiento para ambos casos y por consiguiente la constante de tiempo
‘’τ’’.
Finalmente, la función de transferencia empleada para el diseño del controlador es la vista
en la ecuación (21), la cual presenta las siguientes características:
Una constante de tiempo τ = 11.4 seg y K= ⁄ Teniendo un tiempo deestablecimiento de
= 57 seg. La planta es estable dado que presenta un polo con parte
real negativa, {Re} < 0, S = - 0.0877.
Figura 8. Comparación de las respuestas de ambos modelos
0 5 10 15 20 25 30 35 4020
25
30
35
40
45
50
55
Tiempo [segundos]
P r e s i o n
d e l t a n q u e
[ p o r c
e n t a j e
d e l s p a n ]
delta U= -3
delta U= 2
0 10 20 30 40 50 60-0.7
-0.6
-0.5
-0.4
-0.3
-0.2
-0.1
0
Salida en lazo abierto - Curva de reaccion
Tiempo [s egundos] (sec onds)
d e l t a
P r e s i o n
[ P s i ]
Salida experimental
salida fenomenologica
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4.
DISEÑO DEL CONTROLADOR POR UBICACIÓN DE POLOS
El diseño del controlador PI se basó en la asignación de polos. Este método se basa en
conseguir un comportamiento deseado del proceso según las especificaciones en tiempo
de establecimiento y sobre nivel porcentual.
Para este proceso se decidió tener un tiempo de establecimiento de 30 segundos y un
sobre nivel porcentual menor al 1%.
En vista de que hay dos modelos uno experimental y uno fenomenológico, con constante
de tiempo y ganancias distintas, es necesario sintonizar un controlador PI para cada
modelo y analizar sus desempeños.
Función de transferencia del controlador PI:
Donde con : constante proporcional Con : tiempo integralLa ecuación característica de lazo cerrado del sistema se denomina ecuación diophantine.
Esta ecuación contiene la dinámica impuesta en la planta a través del controlador en lazo
cerrado.
Donde:: Denominador de la función de transferencia del controlador PI.: Numerador de la función de transferencia del controlador PI.: Denominador de la función de transferencia de la planta.: Numerador de la función de transferencia de la planta.Y la ecuación que representa el polinomio que contiene la dinámica deseada es :
El cual se obtiene con las especificaciones mencionadas anteriormente:
y √
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Obteniendo (frecuencia de amortiguamiento) y (frecuencia natural del sistema) estos parámetros son representativos en los sistemas de
segundo orden para caracterizar su dinámica, la cual será impuesta en la planta por mediodel lazo de control.
Estableciendo la igualdad entre y resulta la siguienteecuación que se plantea para el diseño del controlador para los modelos fenomenológico
y experimental.
Resolviendo la ecuación (27), para cada caso obtenemos los siguientes parámetros delcontrolador PI:
TABLA DE PARÁMETROS DE SINTONÍA
CONTROLADOR PI
MODELO FENOMENOLÓGICO MODELO EXPERIMENTAL = -3.7124 = -3.4000 = 6.2757 = 6.8691Tabla 3. Parámetros de sintonía del controlador PI.
Funciones de transferencia de los controladores:
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RESULTADOS DE SIMULACIÓN
En las siguientes figuras se observa la respuesta del sistema para cada modelo y el
desempeño de cada controlador diseñado, tanto para seguir referencias como para
rechazar perturbaciones.
SISTEMA EN LAZO CERRADO- MODELO EN SIMULINK
Figura 9. Sistema a lazo cerrado – modelo fenomenológico.
Figura 10. Respuesta del sistema ante cambios en la referencia y perturbaciones.
0 50 100 150 200 250 300 35016.8
17
17.2
17.4
17.6
17.8
18
Tiempo [segundos]
R e s p u e s t a c o n t r o l a d a
Salida del sistema controlada - modelo fenomenologico
salida
referencia
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Figura 11. Acción de control.
En la figura 10, se detalla el modelo no lineal de la planta bajo un lazo de control con la
finalidad de controlar la presión en el tanque. Además se puede observar que el
controlador esta trabajando sobre el modelo no lineal, siendo más preciso en cuanto a los
resultados en el desempeño que son vistos en las figuras 12 y 13.
En la figura 10, se observa el comportamiento del sistema de control cuando se hace un
cambio de referencia en 1 psi con un tiempo de establecimiento menor al provisto, dado
que, el establecimiento se da cuando ya se obtenido una respuesta sobre un margen del
2% de su valor de estado estacionario. Para este caso se logra un tiempo de
establecimiento inferior a 30 segundos que fue la especificación de diseño y un sobre
nivel porcentual menor al 1%.
Este controlador solo admite cambios de referencia inferiores al del punto de operación y
en pasos no mayores a 2 psi. Además se observa como rechaza satisfactoriamente las
perturbaciones de salida, en este caso fue de un 10% del valor nominal de la presión del
flujo de salida. Es importante resaltar que la acción de control no satura el actuador que
va de 3 a 15 psi en los cambios de referencia y rechazo a la perturbación, ver figura 10.
En las figuras siguientes se observan las mismas respuestas y comportamientos analizados
anteriormente, pero para el lazo de control con el modelo experimental y el controlador
PI diseñado para este caso. Es necesario resaltar que este controlador solo esta viendo
como planta un modelo ya linealizado, el cual puede no recoger todas las dinámicas
0 50 100 150 200 250 300 3503
3.5
4
4.5
5
5.5
6
6.5
7
7.5
Tiempo [segundos]
a c c i o n d e c o n t r o l
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naturales del modelo no lineal. En términos generales el lazo de control presenta
resultados similares al obtenido con el modelo fenomenológico.
SISTEMA EN LAZO CERRADO- MODELO EN SIMULINK
Figura 12. Sistema a lazo cerrado – modelo experimental.
Figura 13. Respuesta del sistema ante cambios en la referencia y perturbaciones.
0 50 100 150 200 250 300 35020
20.2
20.4
20.6
20.8
21
21.2
Tiempo [segundos]
R e s p u e s t a c o n t r o l a d a
Salida del sistema controlada
salida
referencia
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Figura 14. Acción de control.
CONCLUSIONES
Los parámetros y el desempeño de los controladores PI diseñados, difieren muy
poco a razón de las diferencias de los modelos encontrados por el camino
fenomenológico y experimental.
Aunque los controladores tienen muy poco campo de acción para hacer cambios
de referencia, esto es resuelto cambiando el punto de operación y consignando
estos valores en las líneas de código realizada para este trabajo ( modelado_
sistema_de_presión.m) el cual arrojará las constantes Kp y Ti.
Existe muchas incertidumbres en ambos modelos, donde las paramétricas del
modelo fenomenológico pueden ser resueltas por la realimentación, esto mismo
no es solucionable para el experimental, puesto que, no hubo mucha fiabilidad en
las curvas de reacción, tomadas del experimento a lazo abierto.
REFERENCIAS
1. Luisa Paulina Gutiérrez González. (s.f.). Modelo de la válvula de flujo. (inf. téc).
Universidad Nacional de Colombia, sede Medellín.
2. Natalia Velásquez Obando, Diego Alejandro Muñoz Durango. (2004). Manual de
Operaciones para el control de los procesos existentes en el laboratorio de
Operaciones unitarias. (PAE). Universidad Nacional de Colombia, sede Medellín.
0 50 100 150 200 250 300 3503
3.5
4
4.5
5
5.5
6
6.5
7
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