sistema de ecuaciones
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trabajo dado por el profesor william.TRANSCRIPT
Colegio Centro América “En todo amar y servir”
Matemáticas
Tema: Sistemas de ecuaciones.
Nombre: Zair Enrique Molina Cárcamo.
Grado: Noveno grado.
Sección: “C”
Correo electrónico: [email protected]
¿Qué son los sistemas de ecuaciones?
Es un conjunto de dos o más ecuaciones con varias incógnitas que
conforman un problema matemático que consiste en encontrar los
valores de las incógnitas que satisfacen dichas ecuaciones.
Conjunto solución:
El conjunto solución de un sistema de ecuaciones en un grupo de
valores de las incógnitas que satisfacen todas las ecuaciones del
sistema.
Método de Igualación.
Pasos:
Resolver el sistema {
Despejamos una cualquiera de las dos incógnitas; por ejemplo x, en ambas ecuaciones.
Despejando x en (1) 7x=13-4y .*. x=
Despejamos x en (2) 5x=19+2y .*. x=
Ahora se igualan entre si los dos valores de x que hemos obtenido.
=
Y ya tenemos una sola ecuación con una incógnita; hemos eliminado la x. Resolviendo esta
ecuación:
5(13-4y)=7(19+2y)
65-20y=133+14y
-20y-14y=133-65
-34y=68
Y= -2
Sustituyendo este valor de y en cualquier de las ecuaciones dadas, por ejemplo en (1), se tiene:
7x+4(-2)=13
7x-8=13
7x=21
X= 3
R.{
Verificación:
Sustituyendo x=3, y= -2 en las dos ecuaciones dadas, ambas se convierten en
identidad.
Método de sustitución:
Pasos:
Resolver sistema {
Despejamos una de las incógnitas, por ejemplo x, en una de las ecuaciones. Vamos a
despejar en la ecuación (1). Tendremos:
2x=-24-5y .*. x =
Este valor de x se sustituye en la ecuación (2):
6(
)-3y=19
Y ya tenemos una ecuación con una incógnita; hemos eliminado la x.
Resolvemos esta ecuación, simplificando 8y2, queda:
4(-24-5y)-3y=19
-96-20y-3y=19
-20y-3y=19+96
-23y=115
Y= -5
Sustituyendo Y= -5 en cualquiera de las ecuaciones dadas, por ejemplo en (1) se tiene:
2x+5(-5)= -24
2x-25=-24
2x=1
X =
R.{
Verificación:
Haciendo x=
, y= -5 en las dos ecuaciones dadas, ambas se convierten en identidad.
Método de reducción:
Resolver sistema{
En este método se hacen iguales los coeficientes de las incógnitas. Vamos a igualar los
coeficientes de y en ambas ecuaciones, porque es lo más sencillo. El m.c.m de los
coeficientes de y, 6 y 3, es 6. Multiplicamos la segunda ecuación por dos porque 2x3=6,
y tendremos:
5x+6y=20
8x-6y=-46
Como los coeficientes de y que hemos igualado tienen signos distintos, se suman estas
ecuaciones porque con ello se elimina la y:
5x+6y=20
8x-6y=-46
_____________
13x =-26
X=
=-2
Sustituyendo x=-2 en cualquiera de las ecuaciones dadas, por ejemplo en (1) se tiene:
5(-2)+6y=20
-10+6y=20
6y=30
Y=5
R.{
Verificación:
Haciendo x=-2 o y=5 en las dos ecuaciones dadas, ambas se convierten en identidad.
Método por determinantes:
1) El valor de x en una fracción cuyo denominador es el determinante
formados con los coeficientes de x y y (determinantes del sistema) y
cuyo numerador es el determínate que se obtiene sustituyendo el
determinante del sistema la columna de los coeficientes de x por la
columna de los términos independientes de las ecuaciones dadas.
2) El valor de y es una fracción cuyo denominador es el determinante del
sistema y cuyo numerador es el determinante que se obtiene
sustituyendo en el determinante del sistema la columna de los
coeficientes de y por la columna de los términos independientes de las
ecuaciones dadas.
Ejemplos propuestos por el profesor:
Por el método de igualación:
{
2x+3y=8
2x+3y=8 2x-6=8
=
2x=8+6
x=
=
5x-8y=51 x=7
5x=51+8y R: (-2,7)
=
=
10(
)=10(
)
40-15y=102+16y
-15y+16y=102-40
=
Y=-2
Por el método de sustitución:
{
4x+y=-29 5x-15=-45
4x=
=
x=
x=-6
5x+3y=-45 comprobación:
5(-29-y/4)+3y=-45 4x+y=-29
+3y=-45 4(-6)+ (-5)=-29
4(
)+4(3y)=4(-45) -24-5=-29
-145-5y+12y=-180 -29=-29
5y+12y=-180+145
=
Y=-5
5x+3y=-45
5x+3(-5)=-45
Método de reducción =
7x+4y= 65 Comprobación
5x-8y=3 7x+4y=65
7x+4y=65 (2) 7(7)+4(4)=65
5x-8y=3 49+16=65
14x+8y=130 65=65 5x-8y=3 19x = 133 19 19 X= 133 19
X=7
5x-8y=3 5(7)-8y=3 35-8y=3 -8y=3-35 -8y=-32 -8 -8
Y = 4
Eliminación por Determinantes
-3x+8y= 13
8x-5y=-12
13 8 -2 -5
x=_________ =-65+16 = -49 =1 15 -64 -49
-3 8 8 -5 -3 13 8 -2
y=_________ =6-104 = -98 =2 15 -64 -49
-3 8 8 -5 R = x = 1 Y = 2 Verificación 8x – 5y = -2 8(1) – 5(2) = -2 8 – 10 = -2 -2 = -2
Ejercicio hecho por determinantes
-9x + 8y = -6 -3x – 5y = 21 -6 8 21 -5 ____________ = 30 – 168 = -138 = -2 -9 8 45 + 24 69 -3 -5 -9 -6 -3 21 ____________ = -189 – 18 = -207 = -3 -9 8 45 + 24 69 -3 -5 R = x = -2 Y =-3 Verificación -3x – 5y = 2 -3(-2) – 5(-3) =21 6 +15= 21 21 = 21