sistemas de aeronaves - controlador pid

Sntese

Parte I Princpios de Funcionamento de Sistemas de Aeronaves Parte II Modelao e Anlise de Sistemas de Aeronaves

Parte III Projeto de Controlador PID

Joo Cardoso, 30259 Nuno Rafael Valente, 30298

Prof. K. Bousson Janeiro 2015

MINI-PROJETO SISTEMAS DE AERONAVES

Joo Cardoso, 30259 Nuno Rafael Valente, 30298 1

Parte I

PRINCPIOS DE FUNCIONAMENTO DE SISTEMAS DE AERONAVES SISTEMAS DE ANTIGELO E DEGELO


Parte I

Introduo ................................................................................................................... 3

Formao de gelo ......................................................................................................................................... 3

Efeitos ........................................................................................................................................................... 4

Papel do sistema nas aeronaves ................................................................................. 6

Princpios de funcionamento ...................................................................................... 7

Sistemas anti gelo ......................................................................................................................................... 7

Sistemas de degelo ....................................................................................................................................... 8

Vantagens e limitaes ............................................................................................. 11

Vantagens/desvantagens .......................................................................................................................... 11

Limitaes .................................................................................................................................................. 12

Impacto ambiental ..................................................................................................................................... 12

Concluses ................................................................................................................. 13


Introduo

Formao de gelo

A formao de gelo em aeronaves um fenmeno que ocorre quando o ar contm gotculas de gua extremamente fria devido s baixas temperaturas. Em altitudes elevadas as temperaturas so extremamente baixas. Em combinao com a humidade que se faz sentir em algumas zonas (quando o avio atravessa uma nuvem, por exemplo), ocorre a formao de gelo que afeta asas, tubo de Pitot, etc. A acreo do gelo ocorre em reas da estrutura exterior da aeronave perto dos pontos de estagnao do escoamento como o caso do bordo de ataque das asas.

As condies da formao de gelo so caracterizadas quantitativamente pelo tamanho mdio das gotculas, teor de gua em estado lquido e temperatura do ar. Qualitativamente, os pilotos descrevem as condies de formao de gelo em termos do seu efeito sobre as aeronaves e est naturalmente dependente das capacidades da aeronave. Os Regulamentos Federais da Aviao, prescritos pela Administrao Federal de Aviao, tambm contm a definio das condies de formao de gelo para as quais apenas algumas aeronaves esto certificadas para voar.


Efeitos

Apesar dos esforos da indstria aeronutica, a formao de gelo nas aeronaves civis continua a ser uma das maiores causas de acidentes aeronuticos devido a condies atmosfricas adversas.

O mtodo de contabilizar o perigo do congelamento transportado pelo ar varia dependendo da natureza da aeronave e dos seus requisitos operacionais.

Existem vrias formas de definir a quantidade de gelo formado em aeronaves mas as mais usuais, particularmente na aviao civil, so baseadas no grau de acumulao e descrito da seguinte forma:

Se ocorrer formao de cristais de gelo no bordo de ataque da asa, a aeronave entrar em stall a ngulos de ataque mais baixos e velocidades mais elevadas do que em condies de ausncia de gelo nas asas.

A formao de gelo nas asas tende a ser assimtrica o que provoca um diferencial das caractersticas do escoamento entre as duas asas o que representa naturalmente uma perturbao ao normal funcionamento da aeronave.

Intensidade Acumulao de gelo

Vestgio O gelo torna-se perceptvel. A taxa de acumulao ligeiramente maior que a taxa de sublimao. No representa perigo.

Leve A taxa de acumulao pode criar problemas se estas condies de voo excederem uma hora. O uso ocasional do dos equipamentos de anti gelo/degelo previnem/removem a acumulao.

Moderado A taxa de acumulao tal que at curtas exposies a estas condies tornam-se potencialmente perigosas. O uso de equipamentos de anti gelo/degelo ou at mesmo uma diverso da rota so necessrios.

Severo O rcio de acumulao tal que os equipamentos de anti gelo/degelo falham na reduo ou controlo do perigo. Uma diverso imediata necessria.


Alm disso, a formao de gelo noutras reas crticas como o tubo de Pitot, afeta o indicador de altitude e o velocmetro e, consequentemente, a anlise de dados e tomadas de deciso por parte do piloto.

Nas empenagens horizontais a acumulao de gelo tambm significativa e os seus efeitos so bastante constrangedores. Uma vez que a cauda tem a funo de equilibrar o avio, a acumulao de gelo nessa estrutura cria uma fora descendente na traseira do avio, anulando o efeito elevador.

O gelo pode representar perigo no s quando se forma nas aeronaves mas tambm nas pistas onde a aeronave descola e aterra, semelhana do que acontece com os carros nas estradas.

Para evitar ou minimizar os perigos que o congelamento representa, foram desenvolvidos sistemas que previnem esse mesmo congelamento ou removem camadas de gelo que se tenham formado sobre as superfcies das aeronaves.


Papel do sistema nas aeronaves

Existem diferentes sistemas de remover o gelo ou prevenir a formao do mesmo, nomeadamente, sistemas eltricos, pneumticos e sistemas de ar quente.

Para evitar que gelo se forme na asa, as aeronaves so dotadas de um sistema chamado anti- ice (antigelo) ou de-ice (degelo). A principal diferena entre os dois sistemas que o anti-ice no deixa que o gelo se forme na asa atravs de aquecimento, como ser explicado mais adiante. O sistema de-ice permite a formao do gelo at certo ponto, quebrando-o em seguida. Isto impede perturbaes no escoamento em torno das asas que possam alterar o ngulo de ataque crtico e velocidade crtica a partir dos quais ocorresse perda de sustentao.

Tambm existem sistemas eltricos que aquecem determinadas partes incorporadas na fuselagem do avio, impedindo que congelem. Um exemplo o aquecimento dos tubos de Pitot, este aquecimento de grande importncia, uma vez que a formao de cristais de gelo nesta sonda pode provocar anomalias na obteno de dados relativos velocidade e altitude. Por exemplo, no voo Air France 447 a origem do acidente fui atribuda inconsistncia das velocidades fornecidas aos pilotos devido ao congelamento destas sondas que viria a provocar decises incorretas dos pilotos responsveis.

Resumidamente, os sistemas descritos assumem a funo de prevenir e/ou remover a acreo de gelo sobre as superfcies externas das aeronaves contribuindo para o funcionamento regular dos componentes sobre os quais atuam.


Princpios de funcionamento

Tal como foi descrito, existem diferentes sistemas para minimizar ou at mesmo solucionar o problema do congelamento das aeronaves, que tm diferentes formas de operar.

Sistemas anti gelo

Os sistemas anti gelo podem recorrer a:

Ar quente que pode ser sangrado continuamente ou apenas perante a presena de condies de congelamento. O ar quente projetado para o interior de superfcies sujeitas acreo de gelo tal como o bordo de ataque das asas;

Aquecimento eltrico de elementos da estrutura suscetveis a congelamento de formo a atingirem uma determinada temperatura contnua na sua superfcie exterior;

O sistema de ar quente recorre ao ar sangrado dos motores. Uma parte do ar comprimido pelo motor (que extremamente quente) desviado atravs de uma vlvula e passa, posteriormente, por dentro de tubos localizados atrs dos slats (ou apenas no interior do bordo de ataque da asa no caso de avies que no possuem slats). Esses dutos possuem uns furos calibrados que deixam o ar quente escapar, aquecendo o alumnio por dentro evitando assim que o gelo se forme no bordo de ataque da asa.

Existe ainda uma outra forma de prevenir a formao de gelo, que se designa de sistema passivo. Este mtodo recorre aplicao de superfcies hidrofbicas caracterizadas por um elevado nvel de resistncia gua e efeito repelente natural que impedem a formao de gelo. Este sistema tambm inclui as caractersticas da superfcie e formato das asas ou empenagem.


O aquecimento eltrico recorre a resistncias incorporadas na fuselagem que geram calor quando a corrente aplicada.

Sistemas de degelo

Os sistemas de degelo podem utilizar:

Borrachas pneumticas, em que uma estrutura em borracha sinttica reforada instalada na superfcie suscetvel a congelamento e infla periodicamente em condies de acreo de gelo, quebrando qualquer camada de gelo que se tenha formado sobre essa zona.

Aquecimento eltrico, que tambm pode ser usado em modo degelo, ligando periodicamente durante a exposio a condies de congelamento e apresenta um princpio de funcionamento igual ao que foi descrito no caso do sistema antigelo.

Sistemas electro expulsivo, que utiliza correntes induzidas por condutores integrados numa superfcie flexvel (ex.: borracha) para criar um moimento relativo que provoque rutura da camada de gelo.

Ilustrao do sistema de ar quente: o ar quente provm dos motores e transportado ao longo do circuito marcado a vermelho at ao interior do bordo de ataque.


Os sistemas pneumticos so usados sobretudo no bordo de ataque das asas que, por corresponderem a uma zona de estagnao, so suscetveis acumulao de gelo. O princpio de funcionamento dos sistemas pneumticos bastante simples de perceber. Tal como descrito anteriormente estes sistemas permitem a formao do gelo quebrando-o em seguida, atravs da expanso de uma borracha localizada, ento, no bordo de ataque. Por trs desta borracha passam micro tubos de ar, que fazem a borracha inflar e desinflar alternadamente, e esse movimento suficiente para quebrar qualquer camada de gelo que se tenha formado no bordo de ataque da asa. Este sistema foi criado e desenvolvido inicialmente pela Goodrich Corporation.

O sistema electro expulsivo funciona de forma semelhante ao mecanismo pneumtico com a diferena de que o movimento da material flexvel provocada por correntes induzidas. Este sistema foi criado pela United States Rubber Company em 1943 e o material utilizado era, naturalmente, borracha.

Um quarto sistema semelhante, desenvolvido pela NASA, deteta gelo sobre a superfcie atravs de uma alterao na frequncia de ressonncia. Uma vez que o mdulo de controlo eletrnico determina que ocorreu formao de gelo, um grande pico de corrente descarregado para os transdutores para gerar um choque mecnico afiado, provocando fissuras na camada de gelo e fazendo com que ele seja destacada pelo vento.

Em cima: Borracha que constitui o sistema de degelo ainda desativada.

Em baixo: Borracha inflada aps o sistema ter sido ativado.


Para alm dos mtodos descritos, existe um outro com efeitos anti gelo e degelo: fludos qumicos. Os fluidos de degelo, podem tambm ser denominados de fludos Newtonianos devido ao comportamento viscoso similar ao da gua, so constitudos base de glicol aquecido e facilitam a remoo do gelo da superfcie do avio devido as suas propriedade de degelo muito boas. O fludo anti gelo, por sua vez, no aquecido e constitudo por fluidos base de glicol propileno. So considerados fluidos no-newtonianos. A sua aplicao tem por objetivo retardar a formao de gelo.

A aplicao destes fludos normalmente aplicada em terra, podendo at aplicar-se os dois produto, primeiro o fluido de degelo para remover vestgios de gelo e em seguida o fluido anti gelo para evitar que o gelo de forme no s enquanto est aterrado, mas tambm no voo seguinte. Isto usualmente denominado de procedimento a dois passos.

O metanol tem sido, durante anos, o fluido aplicado para remover geadas e camadas de gelo leves das asas e empenagens das aeronaves.

Aplicao de fluidos de degelo numa aeronave na pista de um aeroporto.

Detalhe do sistema de degelo / anti gelo atravs de fluidos.


Vantagens e limitaes

Vantagens/desvantagens

As vantagens da utilizao de sistemas de degelo e anti gelo so bvias e muito variadas. A principal vantagem que habilita as aeronaves dotadas destes equipamentos a voarem em condies de congelamento no mximo moderados o que possibilita viagens mais longas e sem a necessidade de alterar a rota.

No entanto, podem ser referidas vantagens dos sistemas anti gelo relativamente aos sistemas de degelo e vice-versa.

Numa perspetiva mais geral, podemos identificar como vantagem dos sistemas anti gelo o facto de estes terem na maioria dos casos uma ao contnua ao longo do voo dispensando desta forma a interveno do piloto. Tambm impede que o gelo alguma vez se venha a formar, isto se as condies de congelamento no ultrapassarem os limites para os quais a aeronave est habilitada a voar, oferecendo uma maior garantia de segurana. Por outro lado, esta ao contnua tambm representa uma desvantagem, uma vez que para sistemas de anti gelo e sistemas de degelo com princpios semelhantes (ex.: aquecimento eltrico) o modo de degelo permite uma maior poupana de energia uma vez que o sistema apenas ativado na presena de condies de congelamento.

Relativamente ao sistema de anti gelo atravs do ar quente sangrado dos motores, destaca-se a vantagem de este sistema ter uma fonte de energia praticamente gratuita uma vez que aproveita o ar quente que ser sempre emitido pelos motores, necessitando apenas de energia para alimentar o sistema de controlo.

A aplicao de fludos apresenta tambm algumas desvantagens. Uma delas prende-se com o facto do processo de aplicao requerer algum tempo o que pode eventualmente provocar atrasos no voo. Outras desvantagens relacionam-se com a eficincia e o impacto ambiental provocado, que ser analisado de seguida.


Limitaes

Tal como foi indicado na descrio das condies de congelamento, a eficincia dos sistemas est dependente da severidade dessas condies. Em condies severas, os sistemas so insuficientes para impedir uma acreo de gelo que coloque a segurana do voo em causa, e a nica alternativa mesmo a alterao da rota.

No caso dos fludos qumicos, a eficincia avaliada pelo holdover time (HOT) que corresponde ao perodo de tempo que uma aeronave pode esperar aps o degelo at antes de descolar. Se a aeronave no cumprir a descolagem antes deste perodo terminar deve-se cumprir o procedimento outra vez. Isto constitui naturalmente uma limitao deste mtodo.

Impacto ambiental

Um aspeto muito positivo dos sistemas anti gelo e degelo o facto de a maioria no apresentar ameaas para o ambiente, uma vez que utilizam essencialmente eletricidade e ar para provocar aquecimento das superfcies ou movimentos mecnicos como o caso das borrachas pneumticas.

No entanto, os fludos utilizados para degelo ou para conferir propriedades anti gelo s aeronaves, como o glicol propileno, podem contaminar fontes de gua potvel ou afetar a vida em meios aquticos. Para combater este problema, alguns aeroportos j iniciaram processos para recolher e tratar os escoamentos superficiais resultantes da aplicao destes produtos antes que estes atinjam aquferos.


Concluses

Considerando todos os aspetos apresentados h vrias concluses que podem ser registadas.

Primeiramente, conclumos que este sistema semelhana da maioria de outros sistemas em diversas reas, no infalvel. O piloto deve evitar condies severas onde os sistemas de anti gelo e degelo podem ser insuficientes. Em ltima anlise, a deciso do piloto ser sempre o parmetro mais decisivo em qualquer situao e importante relembrar que os sistemas apenas servem para o auxiliar.

Verificamos tambm que este sistema pode assumir diversas formas e que pode mesmo assumir modos de funcionamento distintos. Relativamente aos modos de funcionamento, entendemos que o sistema anti gelo mais seguro uma vez que ao impedir que o gelo alguma vez se venha a formar evita qualquer perturbao mnima que este possa eventualmente provocar. No entanto, os sistemas de degelo em geral podem representar uma alternativa mais econmica uma vez que o seu funcionamento intermitente.

positivo verificar que este tipo de sistema (excluindo o caso particular dos produtos qumicos) praticamente no tem impacto sobre o ambiente, tendo como fontes principais eletricidade e ar.

Parte II


MODELAO E ANLISE DE SISTEMAS DE AERONAVES ESTABILIZADOR HORIZONTAL

Parte II


Parte II

Introduo ................................................................................................................. 16

Estabilizador horizontal ............................................................................................. 17

Estabilidade Dinmica Longitudinal de uma Aeronave ............................................ 18

Funo de transferncia ........................................................................................... 19


Introduo

Para descrever as equaes dinmicas de um avio necessrio conhecer os parmetros de maior importncia, como as caractersticas geomtricas, informaes sobre as condies de voo, massa e peso da aeronave, momentos de inrcia e os coeficientes de estabilidade.

Geralmente para determinar os coeficientes de estabilidade aerodinmicos de uma aeronave so realizados trabalhos experimentais por meio de pequenos prottipos que possuem caractersticas proporcionais s de um avio real.

Para esta parte do projeto vamo-nos centrar nos movimentos longitudinais, ou seja, no sistema do estabilizador horizontal e iremos, para alm de descrever este sistema, estabelecer a sua funo de transferncia bem como analisar a estabilidade da dinmica do mesmo. Para tal foi escolhido como modelo de aeronave um Cessna 182.


Estabilizador horizontal

Na maioria dos avies, existem trs eixos de movimentao:

Eixo Longitudinal - Linha imaginria que cruza o avio desde a cauda ao nariz; Eixo Lateral ou Transversal- Linha imaginria que cruza o avio de uma

extremidade outra da asa; Eixo Central - Linha imaginria que atravessa o avio verticalmente de cima para

baixo;

O leme de profundidade (designado em ingls por elevator), uma estrutura mvel fixada na empenagem horizontal que controla o movimento do avio para cima ou para baixo, ou seja, responsvel pelo movimento do avio sobre seu eixo lateral, aumentando ou diminuindo o ngulo de ataque da aeronave. O controlo deste estabilizador efetuado empurrando (movimento de descida do avio) ou puxando (movimento de subida do avio) a manche. O aumento no ngulo de ataque causa aumento na sustentao produzida pelo perfil da asa, bem como reduo da velocidade de voo. Uma reduo do ngulo de ataque provoca aumento da velocidade.

Localizao do estabilizador horizontal na aeronave Estabilizador horizontal em pormenor


Estabilidade Dinmica Longitudinal de uma Aeronave

A estabilidade longitudinal atua sobre o eixo lateral no movimento de arfagem. Para que uma aeronave seja estvel longitudinalmente necessrio existir uma tendncia de retornar ao seu ponto de atitude de arfagem aps sofrer algum distrbio. Por exemplo, se um fenmeno atmosfrico como uma rajada de vento aumentar o ngulo de ataque as foras produzidas tendem a diminuir o ngulo de ataque para que a aeronave volte ao seu estado de equilbrio. Grande parte da estabilidade longitudinal atribuda localizao do centro de gravidade em relao ao centro de sustentao.

As equaes de movimento longitudinal para pequenas perturbaes podem ser descritas em funo do ngulo de arfagem . Utilizando as derivadas de estabilidade dimensionais para o movimento longitudinal, as equaes para o movimento perturbado longitudinal podem ser escritas da seguinte forma:

Aplicando a transformada de Laplace:

As variveis de sada, u(s), (s) e (s) so as transformadas de Laplace para u(t), (t) e (t) e a varivel e(s) a transformada de Laplace para e(t). Dividindo as equaes por e(s) obtm-se um sistema de trs equaes para as trs variveis de sada. Assim tem-se u(s)/e(s), (s)/e(s) e (s)/e(s) que so as funes de transferncia em malha aberta para a aeronave. Elas podem ser obtidas resolvendo o seguinte sistema:


A primeira matriz do sistema, a segunda representa a matriz de funes de transferncia e a terceira matriz, por sua vez, contm as potncias de controlo. Daqui resultam as funes de transferncia para a velocidade horizontal, ngulo de ataque e o ngulo de arfagem em relao ao elevador:

Nos prximos passos vamo-nos focar no ngulo de arfagem e na sua funo de transferncia em funo de e.

Funo de transferncia

No caso de sistemas lineares determinsticos, aplicando a transformada de Laplace s equaes, com condies iniciais nulas:

sX(s) = AX(s) + BU(s) obtm-se a soluo para o estado

X(s) = (sI A) 1BU(s) e logo para a sada


Esta frmula corresponde a uma matriz de transferncia:

G (s) = C sI A !!B + D

ou a um conjunto de funes de transferncia para os diversos pares entrada/sada

=

Os polos do sistema so:

as singularidades da matriz de transferncia ou

os valores prprios da matriz da dinmica A

razes da equao caracterstica

Para determinar a funo de transferncia longitudinal relativa ao ngulo de arfagem do Cessna 182 utilizada a equao obtida anteriormente:

O ngulo de deflexo e representa a entrada do sistema, uma vez que a deflexo do profundor que ir provocar a correo da posio. O ngulo de arfagem corresponde sada do sistema pois a manipulao da deflexo do profundor corrige este ngulo.

Recorrendo s tabelas que se seguem s derivadas de estabilidade, possvel calcular os valores estimados dos coeficientes dos polinmios do numerador e do denominador da funo de transferncia.


Substituindo na equao os coeficientes pelas respetivas expresses e substituindo tambm as derivadas longitudinais pelos respetivos valores, a funo de transferncia para (s)/e(s) resulta em:


As caractersticas de estabilidade dinmica longitudinal da aeronave so determinadas pelas razes dos polinmios e so obtidas igualando o denominador a zero. A equao caracterstica, geralmente, constituda por um par de polos complexos conjugados.

! + 8.9432! + 28.2021! + 1.4859 + 0.8133 = 0

Analisando os polos desta funo de transferncia verificamos que todos eles apresentam parte real negativa o que, por definio, nos permite concluir que o sistema estvel.


PROJETO DE CONTROLADOR PID NO SISTEMA CONSIDERADO

Parte III


Parte III

Introduo terica ............................................................................................ 25

Projeto do PID .................................................................................................... 28


Introduo terica

Num sistema sujeito a perturbaes, por vezes as performances especificadas no podem ser satisfeitas por um sistema de malha aberta.

Para resolver este entrave, a soluo passa pela colocao de dispositivos de controlo, como reguladores e compensadores. O controlador proporcional integral derivativo, ou PID, o algoritmo de realimentao mais comum de ser encontrado em plantas industriais devido sua simplicidade. O seu objetivo principal manipular a varivel controlada por meio de trs aes de controlo: a ao proporcional, integral e derivativa, fazendo assim com que o sinal de erro seja minimizado pela ao proporcional, anulado pela ao integral e obtido com uma velocidade antecipada pela ao derivativa, combinando, deste modo, as vantagens de cada uma das aes de controlo.

O sinal de controlo que sai do regulador PID definido por:


A partir desta equao, e pela transformada de Laplace, calcula-se a funo de transferncia do PID:

No entanto, verifica-se que como tem um grau relativo negativo, esta funo aplica-se apenas a um PID ideal/terico. Isto porque, na eventualidade de tal condio ser possvel, teria os seguintes inconvenientes:

A componente de derivao no teria sinais de controlo no caso de o erro ser constante;

A componente de derivao seria muito sensvel s perturbaes e rudos. De facto, contrariamente componente de integrao, esta no tem capacidade para atenuar o sinal de erro no caso de se tratarem de frequncias altas.

Na situao real/prtica, teremos que ter em conta uma constante de tempo suficientemente pequena na componente de derivao, tal que:

com 10-5

< < 10-3

Kp,Ki,Kd so os ganhos do PID, chamados respectivamente: ganho proporcional, ganho integral, e ganho derivativo.

Ser sob este pressuposto que iremos proceder ao projeto do PID.


Em aplicaes prticas alguns cuidados devem ser tomados na utilizao destes controladores, de forma que se obtenha o desempenho desejado. Devem ser levados em considerao os efeitos da saturao do sinal atuante, da limitao do ganho derivativo em altas frequncias e da escolha do sinal de referncia.

A maior parte dos controladores PID so ajustados em campo, utilizando diferentes mtodos de ajuste, como o mtodo de Cohen e Coon, Astrom e Hagglund, e Ziegler-Nichols - que iremos utilizar a seguir este o mtodo emprico in loco mais simples e tradicional. Por meio destas regras de ajuste possvel melhorar os efeitos nos parmetros dos controladores, desde que o modelo matemtico do processo seja conhecido.

Nesta sequncia, iremos ento mostrar, nos passos seguintes, o procedimento para projetar e dimensionar um PID para controlo longitudinal do estabilizador horizontal (profundor) no Cessna 182 considerado da parte II do Mini-Projeto, recorrendo ao mtodo de Ziegler-Nichols.


Projeto do PID

Como vimos, a funo de transferncia para (s)/e(s), no sistema considerado, :

Iremos ento comear por calcular os ganhos do PID com recurso aos mtodos de Zieger e Nichols, considerando critrios de desempenho como a soma dos valores absolutos dos erros ao longo do tempo:

Este mtodo consiste em determinar o ganho crtico, Kcr e a frequncia (angular) crtica cr do sistema realimentado (sem o PID). O ganho crtico Kcr o valor mximo do ganho a partir do qual o sistema de malha fechada sem PID comea a ser instvel quando multiplicar a sua funo de transferncia de malha aberta para este valor do ganho.

A relao entre o ganho critico e a frequncia crtica definida por:

Visto que o ganho crtico dever ser positivo, reescrevendo a relao anterior teremos de verificar que:


Considerando um nmero complexo zk ,w definido por:

pela igualdade pretendida e pela relao entre o ganho crtico e a frequncia crtica, verificamos que:

Para isto acontecer, ter que se ter:

Considerando os seguintes igualdades,

podemos ento reescrever de forma equivalente o anterior conjunto de equaes:


Para obter a frequncia crtica, cr , resolveremos a seguinte equao com recurso mquina calculadora:

Pelo que, primeiro, teremos que definir as funes de transferncia:

Ramo direto:

Ramo de realimentao:

Pelo que a funo de transferncia em malha aberta :

Ficando:


Definida a funo transferncia (), introduziremos, na mquina, a seguinte equao:

!!,!"#$(!!!")!!!",!"##!!!"!!,!"#$

(!!!")!!!,!"#$(!!!")

!!!",!"!#(!!!")!!!,!"#$!!!"!!,!"##

. !!!!"!!

=0

Que, resolvendo, devolve os seguintes valores:

cr = 4,42528 ou cr = 0 ou cr = -4,42528

Pelo que iremos considerar que cr = 4,42528 (rad/s)

De seguida, procederemos ao clculo do ganho crtico, Kcr , pela expresso:

Kcr =

= 1

5,0297 . 4,42528! 10,3466. 4,42528 0,5920

. 4,42528 ! + 8,9432 . 4,42528 ! + 28,2021 . 4,42528 ! + 1,4859. 4,42528 + 0,8133 .1

. 4,42528 + 1

Obtendo Kcr = 33,017942

Por fim, iremos calcular os parmetros do sistema assim como os ganhos do controlador PID associados, com recurso s equaes de Ti , Td e tabela seguinte:

Kp Ti Td Tp

P 0,5Kcr 0 Tcr

PI 0,45Kcr 0,8Tcr 0 1,4Tcr

PID 0,6Kcr 0,5Tcr 0,125Tcr 0,85Tcr


Perodo crtico: Tcr = 2 / 4,42528 = 1,41984 segundos

Tempo de integrao: Ti = 0,5 x 1,41984 = 0,70992 segundos

Tempo de derivao: Td = 0,125 x 1,41984 = 0,17748 segundos

Ganho proporcional: Kp = 0.6 x 33,017942 = 19,8108

Ganho integral: Ki = 19,8108 / 0,70992 = 27,9057

Ganho derivativo: Kd = 0,17748 x 19,8108 = 3,51602

Consideramos importante referir que, aps anlise dos resultados obtidos, estes nos parecem desfasados dos valores habituais neste tipo de controlador. Sabemos, nomeadamente, que quanto maior a constante Kp, maior ser o ganho do erro e mais instvel ser o sistema, o que levanta preocupaes relativamente sustentabilidade do controlador projetado.

sistemas de aeronaves - controlador pid

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