sistemas de control en tiempo discreto introducción: tipos de señales

Sistemas de Control en Tiempo Discreto

Introducción: Tipos de Señales


Introducción: Sistema de Control Discreto


Introducción: Operaciones Básicas

Multiplexión y DemultiplexiónMuestreo y RetenciónConversión A/D (Cuantización y Codificación)Conversión D/A (Decodificación)


Introducción: Operaciones Básicas


Introducción: Circuito de Retención

Es un dispositivo para la reconstrucción de señales continuas, a partir de una secuencia de valores discretos (señal de tiempo discreto).Otros tipos: de primer orden, interpolación poligonal, etc.


Introducción: Teorema del Muestreo (Nyquist-Shannon)

El Teorema de Nyquist-Shannon, establece que la frecuencia mínima de muestreo necesaria para evitar el “aliasing” debe ser:

fm>2.BW

BW: ancho de banda de la señal a muestrear(BW=fmax-fmin)

Para señales con fmin = 0, se puede expresar como,

fm>2.fmax


Introducción: Teorema del Muestreo (Nyquist-Shannon)

Aliasing: Las muestras D son un “Alias” de las muestras B


Introducción: Proceso de Muestreo Periódico



0

*

kP PkTtkTttftPtftf

Aproximación de Tope Plano:

TktPkTpara

PkTtkTparakTf

tf P10

*

Así,

Laplace:

0

*

kP PkTtkTtkTff

sFekTfs

e

s

e

s

ekTftfL P

k

kTsPs

ok

sPkTkTs

P*

0

* 1



Aproximación por series:

!3!21

32 PsPsPse Ps

,.1 LuegoPseentoncesTPSi Ps

0

*

0

*

kP

k

kTsP kTtkTfPtfekTfPsF

Se observa que el ancho de pulso “P” está actuando como un atenuador de la señal.Para evitar este inconveniente, se coloca un dispositivo de retención que mantenga el valor de la señal muestreada, quedando las expresiones finales:

0

*

0

*

k

kTs

k

ekTfsF

kTtkTftf



Ejemplo: Se tiene un proceso de muestreo periódico como se indica:

¿Cuánto vale el período fundamental (cantidad de muestras hasta que se repite la secuencia) de la señal de tiempo discreto , si la señal de tiempo continuo tiene una frecuencia de 3 Hz ?


Representación de los Sistemas Discretos:Ecuaciones de Diferencias Finitas

Un sistema de tiempo discreto SISO tiene como representación la ecuación de diferencias general:

donde es la entrada en el instante y es la salida en el instanteEjemplo:

Se debe leer como que “el próximo valor de la salida es igual a su valor actual menos el doble del valor de la entrada presente”

La “Ecuación de Diferencias Finitas” para el mundo discreto, es el equivalente a las ecuaciones diferenciales ordinarias del mundo continuo.

mkmkkknknkkk ububububxaxaxax 221102211

iu i jx j

kkk uxx 21


Transformada Z: Definición General

Dada una secuencia discreta, para y haciendo en la expresión de la transformada de Laplace de una señal muestreada, se define a la transformada Z como:

En detalle:

kTx ,3,2,1k Tsez

0k

kk zkTxxZzX

00

*

k

kez

k

kTs zkTxzXekTxsXTs


Transformada Z: Ejemplos

Considérese la función escalón unitario:

Entonces,

Pero se sabe por convergencia de series que la serie, converge a: si

con lo que, convergerá como:

si

)(ttf

0000

* 1k

kez

k

kTs

k

kTsk

k

kTs zzFeeekTfsFTs

321 xxx

x11

1x

3211 zzzzF

11

11

z

z

zzF 11 z


Transformada Z: Ejemplos

Considérese ahora la función:

Luego,

La convergencia de la serie es: para

con lo que,

atetf

TsaTsa

k

Tsak

k

kTsakT eeeeesF 2

00

* 1

1 Tsae

aT

aT

ezeZzF

11

1

TsaT ee

sF 1

1*

aTez

zzF


Transformada Z: Nomenclatura y convenciones

Función continua:

Función continua muestreada:

Secuencia:

Transformada de Laplace de una función continua muestreada:

Transformada Z de una función continua muestreada (secuencia):

Formalmente el asterisco * desaparece en la notación de la transformada Z ya que la transformada está definida sobre funciones discretas; sin embargo se puede escribir:

entendiéndose que primero se muestrea y luego se aplica la transformada.

tf

tf *

sF *

zF

tfZzF

,2,1,0kparafokTf k


Transformada Z: Propiedades

Traslación Real: RETARDO

Sea entonces,

Haciendo resulta,

ya que para , queda finalmente:

nTtf

00 k

nkn

k

k zTnkfzzTnkfnTtfZzF

nkm

0m

mn zmTfznTtfZ

0mTf 0m

zFznTtfZ n



Traslación Real: ADELANTO. Sea entonces,

Haciendo resulta

Representando a las condiciones iniciales, queda finalmente:

EJEMPLO:

nTtf

00 k

nkn

k

k zTnkfzzTnkfnTtfZzF

nkm

nm

mn zmTfznTtfZ

1

0

n

m

mzmTf

1

0

n

m

mn zmTfzFznTtfZ

212

0333 zffzfzzFzTtfZ



CONVOLUCIÓN REAL

Se recuerda que en tiempo continuo, la convolución real es:

EJERCICIO: Demostrar la convolución real en tiempo discreto.

zFzFTknfkTfZk

210

21

sFsFdtffLt

21

0

21


Transformada Z: Ejemplo

Hallar la transformada dadas, la ecuación de diferencias

y las condiciones iniciales,

SOLUCIÓN:Se tiene que, y

luego,

de donde:

Obsérvese que se ha obtenido una función racional en Z, equivalente a la función racional en el plano S que se obtiene para una ecuación diferencial en tiempo continuo.

zX

023 12 kkk xxx

1

0

1

0

x

x

zzXzxZ k 2

2 zzXxZ k 1

0232 zXzzXzzXz

232

zz

zzX

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