Coordenadas Rectangulares

En es un sistema de referencia respecto a un eje (recta), dos ejes perpendiculares (plano), o tres ejes perpendiculares entre si (en el

espacio)

Sistema de coordenadas lineal

Un punto cualquiera de una recta puede asociarse y representarse

con un número real, positivo si está situado a la derecha de un Punto O, y negativo si esta a la izquierda. Dicho punto se llama centro de

coordenadas O (letra O) y se asocia al valor 0 (cero).

Este sistema de coordenadas es un espacio vectorial de dimensión uno, y se le pueden aplicar todas las operaciones correspondientes a

espacios vectoriales; en ocasiones también se llama recta real.

Sistema de coordenadas plano

Con un sistema de referencia conformado por dos rectas

perpendiculares que se cortan en el origen, cada punto del plano puede nombrarse mediante dos números: (x, y) las coordenadas del punto,

llamadas abscisa y ordenada, las distancias ortogonales a los ejes cartesianos.

La ecuación del eje x es y = 0, y la del eje y es x = 0, rectas que

se cortan en el origen O, cuyas coordenadas son, obviamente, (0, 0).

Los ejes dividen el espacio en cuatro cuadrantes en los que los

signos de las coordenadas alternan de positivo a negativo (por ejemplo, las dos coordenadas del punto A serán positivas, mientras que las del

punto B serán ambas negativas).

Las coordenadas de un punto cualquiera vendrán dadas por las

proyecciones del segmento entre el origen y el punto sobre cada uno de los ejes.

Sistema de coordenadas espacial

Si tenemos un sistema de referencia formado por tres rectas perpendiculares entre sí (X, Y, Z), que se cortan en el origen (0, 0, 0),

cada punto del espacio puede nombrarse mediante tres números: (x, y, z) denominados coordenadas del punto, que son las distancias

ortogonales a los tres planos principales: los que contienen las parejas de ejes YZ, XZ e YX, respectivamente.

Los planos de referencia XY (z = 0); XZ (y = 0); e YZ (x = 0) dividen el espacio en ocho cuadrantes en los que como en el caso del plano los

signos de las coordenadas pueden ser positivos o negativos.

Las leyes del electromagnetismo son independientes del sistema

de coordenadas, para la resolución de problemas prácticos se requiere

qué las expresiones derivadas de esta leyes se expresen en un sistema

de coordenadas apropiado para la geometría del problema

Coordenadas Rectangulares

Un punto P(x,y,z) en coordenadas Cartesianas( Rectangulares) es

la intersección de tres planos especificando por x= , y= , z= ,

como se ilustra en la figura 1

Figura 1

Los tres vectores mutuamente perpendiculares, , y en

dirección de las tres coordenadas, se denominan vectores base. En el

caso de un sistema de mano derecha (Ver Figura 2) tenemos las

siguientes propiedades cíclicas.

x =

x =

x =

Las siguientes relaciones se deducen directamente

. = x = x = 0

. = x = x = 1

Figura 2

El vector de posición del punto P ( , , ) es el vector trazado desde

el origen O hasta P y sus componentes en las direcciones , ,

son, y sus magnitudes respectivamente , ,

= + +

Podemos escribir un vector A en coordenadas cartesianas con

componentes , , y

Vector en coordenadas

Cartesianas

A = + +

Longitud diferencial vectorial dl = + +

Diferencial de Volumen dv =

Producto escalar de A y B A.B= + +

Producto vectorial de A y B

A X B =

Coordenadas Cilíndricas

En coordenadas Cilíndricas, un punto P(ri, Φ1, z1), es la

intersección de una superficie cilíndrica circular r= r1, un plano con el

eje z como arista y que forma un ángulo Φ = Φ1, con el plano xy, y un

paralelo al plano xy en z =z1. Tenemos que:

(u1, u2, u3) = (r, Φ, z)

Como se ilustra en la figura 3, r es la distancia radial medida desde el

eje z y el ángulo Φ se mide a partir del eje x positivo. El vector es

tangente a la superficie cilíndrica. Las direcciones y cambian de

acuerdo con las posiciones del plano P. La siguiente relación de la mano

derecha se aplica a , ,

x =

x =

x =

Figura 3.a

Figura 3.b

Dos de los tres coordenadas r y z (u1, u3) son longitudinales,

pero Φ (u2) es un ángulo, por lo que se requiere de un coeficiente de

multiplicación (un coeficiente métrico) r para convertir un cambio

diferencial de ángulo en un cambio diferenciar de longitud como se

ilustra en la figura 4

Los coeficientes métricos para y son unitarios. Si denotamos

los coeficientes métricos en tres direcciones , , con h1, h2, h3,

respectivamente tenemos que para las coordenadas cilíndricas h1= 1,

h2= r, h3= 1, esto se indica en la tabla. Los coeficientes métricos en

coordenadas cartesianas en los tres direcciones de coordenadas

unitarias (h1 = h2= h3 = 1), ya que las tres coordenadas (x, y, z) son

longitudinales.

La expresión general para una longitud diferencial vectorial en

coordenadas cilíndricas es la suma vectorial de los cambios

diferenciales en longitud en las tres direcciones de coordenadas

Figura 4

Longitud diferencial vectorial en coordenadas cilíndricas

=

Diferencia de volumen en coordenadas cilíndricas

Un volumen es el producto de los cambios diferenciales en

longitud en las tres Direcciones de coordenadas.

= r .

Vector A en coordenadas cilíndricas

Las coordenadas cilíndricas son importantes con corrientes o con

largas líneas de carga y en lugares donde existen contornos cilíndricos

o circulares.

A =

Los vectores expresados en coordenadas cilíndricas pueden

transformarse y expresarse en coordenadas cartesianas, y viceversa.

Supongamos que queremos expresar A = , en

coordenadas cartesianas; es decir queremos escribir A como

A = + + y determinar , , . En primer

lugar, observamos que la componente de z de A, no cambia con la

transformación de coordenadas cilíndricas a cartesianas. Para encontrar

, igualamos los productos punto de ambas expresiones de A con ,

Así,

= A ∙

= + (1)

El término que contiene desaparece por que = 0.

Remitiéndonos a la figura 5 donde se muestran las posiciones relativas

de los vectores base , , en el plano xy

Figura 5

= (2)

Y que

= = - (3)

Al sustituir la ecuación 2,3 en 1, obtenemos

= -

En forma similar, para hallar A, tomamos los puntos de ambas

expresiones de A con

= A ∙

= +

A partir de la figura tenemos que

= = (4)

Y = (5)

De 4, 5 obtenemos

=

Transformación de las componentes de un vector de coordenadas

cilíndricas a coordenadas cartesianas

x= r

y= r

z = z

Coordenadas Esféricas

Un punto p ( , , ) en coordenadas esféricas se especifica

como la intersección de las tres superficies siguiente: una esférica en el

origen con radio R = ; Un cono circular recto con vértice en el origen,

su eje coincidente con el eje +z y con un ángulo θ = y un semiplano

con el eje z como arista y que forma un ángulo Φ = , con el plan zx.

Tenemos

( , , ) = (R, θ, Φ)

Las tres superficies se ilustran en la figura 6. Observe que el

vector base en P es radial desde el origen y bastante diferente de ,

en coordenadas cilíndricas, ya que este último es perpendicular al eje z.

El vector base está en el plano Φ = y es tangencial a la

superficie esférica, mientras que el vector base es el mismo que en

las coordenadas cilíndricas. Los vectores base se ilustra en la figura 4.

En un sistema de la mano derecha tenemos

x =

x =

x =

Las coordenadas esféricas son importantes en problemas que

comprenden fuentes puntuales y regiones con contornos esféricos.

Cuando un observador está muy lejos de una región fuente puede

considerarse aproximadamente como un punto. Por lo tanto, podría

elegirse como origen de un sistema de coordenadas esféricas para que

se pueda efectuar aproximaciones apropiadas que simplifiquen el

problema. Es por esto que se usan coordenadas esféricas para resolver

problemas de antenas en el campo lejano.

Vector en coordenadas esféricas

A =

Longitud diferenciar vectorial en coordenadas esféricas

=

Figura 6

En coordenadas esféricas R es una longitud. Las otras dos

coordenadas θ y Φ son ángulos, en la figura 7 se muestra un elemento

volumen diferencial típico, vemos que se requieren los coeficientes

métricos = R y = R para convertir , respectivamente,

longitudes diferenciales (R) y (R ) la expresión general es:

=

Diferencia en volumen en coordenadas esféricas

Un volumen diferenciar es el producto de los cambios diferenciales

en longitud en las tres direcciones de coordenadas

=

Figura 7

En la tabla 1, se presenta los vectores base, los coeficientes

métricos y las expresiones para un volumen diferenciar en los tres

sistemas básicos de coordenadas ortogonales.

Transformación de un punto en coordenadas esféricas a

coordenadas cartesianas.

En la figura 8 se muestra la interrelación de las variables

espaciales (x,y,z), (r,Φ,z) y (R,θ,Φ) que especifican la situación de un

punto P

x= R

y= R

z = R

Figura 8

Tabla 1: Sistema Básico de Coordenadas Ortogonales

Coordenadas Cartesianas (x,y,z)

Coordenadas Cilíndricas (r, Φ, z)

Coordenadas Esféricas (R, θ,Φ)

Vector

base

Coeficiente métrico

Diferencial

de volumen

=

= r

.

=