sistemas de ecuaciones nacho

ASIGNATURA: MATEMÁTICAS III

UNIDAD: I

SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES CON DOS INCÓGNITAS

PROFESOR: IGNACIO MENESES GALICIA

12 DE SEPTIEMBRE DE 2009

BACHILLERATOSISTEMAS DE ECUACIONES

INTRODUCCIONSISTEMA DE ECUACIONES

Un sistema de ecuaciones lineales se compone de dos o más ecuaciones lineales. .

Un sistema se caracteriza por su dimensión. La dimensión de un sistema se determina según el número de ecuaciones y de variables involucradas en el sistema.

Un sistema de dos ecuaciones en dos variables se dice que es de dimensión 2x2. Un sistema de dos ecuaciones en tres variables se dice que es de dimensión 2x3. Un sistema de tres ecuaciones en tres variables se dice que es uno 3x3.


Un sistema de ecuaciones es compatible cuando tiene solución.

Un sistema de ecuaciones es compatible determinado cuando tiene solución única.

Es compatible indeterminado cuando tiene infinitas soluciones.

Un sistema de ecuaciones es incompatible cuando no tiene solución.

Un sistema de ecuaciones es homogéneo cuando todos sus términos independientes son cero.

BACHILLERATO

SOLUCIONES DE UN SISTEMA DE SOLUCIONES DE UN SISTEMA DE ECUACIONESECUACIONES

SISTEMAS DE ECUACIONES

METODOS DE SOLUCIÓN DE SISTEMA DE ECUACIONES

Para resolver un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas Para resolver un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas existen existen CINCO CINCO métodos: métodos:

1. Método de sustitución1. Método de sustitución. Consiste en despejar en una de las . Consiste en despejar en una de las ecuaciones una incógnita. Posteriormente se sustituye su valor ecuaciones una incógnita. Posteriormente se sustituye su valor en la otra y se calcula. Finalmente se vuelve a la ecuación en la otra y se calcula. Finalmente se vuelve a la ecuación despajada para hallar el valor de la incógnita que queda. despajada para hallar el valor de la incógnita que queda. 2.Método de igualación.2.Método de igualación. Se despeja la misma variable en las Se despeja la misma variable en las dos ecuaciones. Se igualan sus valores y se obtiene el valor de dos ecuaciones. Se igualan sus valores y se obtiene el valor de una variable, luego se sustituye en una de las ecuaciones una variable, luego se sustituye en una de las ecuaciones despejadas y se halla el valor de la otra.despejadas y se halla el valor de la otra.3.Método de reducción.3.Método de reducción. Consiste en multiplicar una o las dos Consiste en multiplicar una o las dos ecuaciones por números convenientes de tal forma que al ecuaciones por números convenientes de tal forma que al "sumar" luego las ecuaciones se vaya una de las variables. Así "sumar" luego las ecuaciones se vaya una de las variables. Así se puede obtener el valor de la otra. Una vez obtenido, se puede obtener el valor de la otra. Una vez obtenido, volvemos a una de las ecuaciones originales y en ella volvemos a una de las ecuaciones originales y en ella calculamos la variable que nos quedacalculamos la variable que nos queda..

4.Método grafico 4.Método grafico 5.-Método de determinantes5.-Método de determinantes


1) Resolución por sustitución1) Resolución por sustituciónDespejamos una de las variables en una de las ecuaciones (en este caso elegimos “y” en la primera ecuación) reemplazadola en la otra, operamos para despejar la única variable existente ahora::


Reemplazamos el valor de “x” obtenido, en alguna de las ecuaciones (elegimos arbitrariamente la primera):

Hallamos la solución: x=4, y = 2


2) Resolución por igualación

Tenemos que resolver el sistema esto significa, encontrar el punto de intersección entre las rectas dadas, de las cuales se conoce su ecuación. Despejamos una de las dos variables en las dos ecuaciones, con lo cual tenemos un sistema equivalente (en este caso elegimos y):

Recordamos que al tener dos ecuaciones, si los primeros miembros son Recordamos que al tener dos ecuaciones, si los primeros miembros son iguales los segundos también lo son, por lo tanto:iguales los segundos también lo son, por lo tanto:


Sustituyendo el valor de “x” obtenido, en alguna de las ecuaciones (elegimos la segunda):

Ahora sí, podemos asegurar que: x = 4 e y = 2


3) 3) ReducciónReducciónMultiplicamos la 1ª ec. por el coeficiente de la 2ª. ec. de la misma incógnita (2) y la 2ª por el coeficiente de la 1ª. (3), de esta forma el coeficiente de “y” en las dos ecuaciones es el mismo y por lo tanto el sistema se reduce a una sola incógnita.

Sumando 13 x = 2 x = 2/13


Sustituyendo el valor encontrado de Sustituyendo el valor encontrado de x:x:

2x + 3y = 1

2(2/13) + 3y = 1

4/13 + 3y = 13/13

3y = 9/13

y = 3/13

Solución:

x=2/13 y=3/13


• 4.-Método Gráfico

• Puede ocurrir uno de los siguientes casos:

– Si las rectas se cortan en un punto, el sistema tiene solución única. Decimos que es compatible determinado.

– Si las dos rectas coinciden, esto es, son la misma, el sistema tiene infinitas soluciones. Es un sistema compatible indeterminado.

– Si las rectas no se cortan, es decir, son paralelas, el sistema es incompatible, no tiene solución.


METODO GRAFICO DE SISTEMA DE ECUACIONES

BACHILLERATO

ACOMPATIBLE DETERMINADO

B COMPATIBLE INDETERMINADO

C INCOMPATIBLE

SISTEMAS DE ECUACIONES

5) Resolución por determinanteSabemos que un determinante se representa como:

Este se calcula de la siguiente manera: D = a·d – b·cSea el sistema: a1x + b1y = c1 a2x + b2 y = c2

Los valores de “x” y “y” están dados por:

dc

ba

22

11

22

11

ba

ba

bc

bc

x

22

11

22

11

ba

ba

ca

ca

y


414

56

620

54110

52

34

518

322

22

11

22

11

ba

ba

bc

bc

x 214

28

14

4472

14

182

224

22

11

22

11

ba

ba

ca

ca

y

El punto de intersección de las rectas dadas es {(4, 2)}

Resolvamos el sistema::


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