SISTEMAS ELECTRÓNICOS Grados en Ingeniería de Sistemas de

Comunicaciones, Sistemas Audiovisuales, Telemática y Tecnologías de Telecomunicación

SOLUCIONES de Ejercicios Propuestos Tema 7: “PLLs ”

EJERCICIO 1 En el esquema de la figura se representa el diagrama de bloques de un PLL,

Datos:

- Función de transferencia del filtro, F(s) =1

- Frecuencia de oscilación libre del VCO, ffr = 1kHz

- Ganancia del VCO, Ko = 4π·103 (rad/s)/V

- Ganancia del detector de fase (célula de Gilbert), Kd = 1/(4π) V/rad

- Ganancia del amplificador, AV = 1

Se pide:

1. Calcule el margen de frecuencias, fi, de la señal de entrada, vi, para el que el PLL

permanece enganchado.

2. Obtenga la tensión de salida del amplificador, ve, para los siguientes valores de

frecuencia de vi, fi1 =900Hz y fi2 = 1.2kHz. Obtenga los desfases (φε1 y φε2) entre vi y

vo en los dos casos anteriores.

3. Represente la evolución temporal de ve, si la señal de entrada, vi, es una señal

sinusoidal cuya frecuencia evoluciona como se representa en la siguiente gráfica:

4. Obtenga la función de transferencia, ve/∆ωi (jω), cuando el PLL está enganchado y

represéntela gráficamente, en módulo y fase.

5. Represente la evolución temporal de la tensión ve, si la entrada está modulada en

frecuencia de la siguiente forma: vi(t)= sen {2π·[103 +·200·sen(2π·160·t)]·t}

Detector

de faseFiltro Amplificador

Oscilador

controlado

por tensión

(VCO)

vdvf

ve

Señal de

entrada: Vi(t)

Señal de salida

VCO: Vo(t)

fi (kHz)

t (ms)0.9

1.2

0 20ms 40ms 60ms

SOLUCIÓN:

1. Calcule el margen de frecuencias, f i, de la señal de entrada, v i, para el que el

PLL permanece enganchado. Como el detector de fase es una célula de Gilbert:

Hzfs

radKAKKv LovdLmáxdd 25010·

2···

2223 =∆±⇒

±=±=∆±⇒±=±⇒

−= ππωπφπφ ε

Como la frecuencia central del VCO (oscilación libre) es 1KHz, el rango de frecuencias de vi para el que el PLL permanece enganchado es:

HzHzkHzfff

kHzHzkHzfff

LfriLmín

LfriLmáx

7502501

25.12501

=−=∆−=

=+=∆+=

2. Obtenga la tensión de salida del amplificador, v e, para los siguientes valores

de frecuencia de v i, f i1 =900Hz y f i2 = 1.2kHz. Obtenga los desfases ( φφφφεεεε1 y φφφφεεεε2) entre v i y

vo en los dos casos anteriores. Las dos frecuencias están dentro del margen de enganche del PLL (apartado 1), por lo tanto:

=−=⇒=

−=−=⇒=⇒

−=⇒

+==

mVkk

vkHzf

mVvHzf

Kv

vKei

ei

o

frie

eofro

oi

10010·4

1·22.1·22.1

5010·4

1000·2900·2900

·322

311

πππ

πππ

ωωωωωω

El desfase para entre vi y vb para cada uno de los casos anteriores será:

+=⇒+=+=+=

+=⇒+=+=+=

⇒+=⇒

==

−=

º16283.29.02

41

º5494.03.02

41

2)·(·

2

22

2

11

1

εε

εε

εε

φππ

πφ

φππ

πφ

πφπφ

radv

radv

K

v

vAsFvv

Kv

e

e

d

e

dVde

dd

3. Represente la evolución temporal de v e, si la señal de entrada, v i, es una señal

sinusoidal cuya frecuencia evoluciona como se repre senta en la siguiente gráfica:

fi (kHz)

t (ms)0.9

1.2

0 20ms 40ms 60ms

ve (mV)

t (ms)

100

-50

msKv

PLL 11 ==τ

20τPLL

4. Obtenga la función de transferencia, v e/∆∆∆∆ωωωωi (jωωωω), cuando el PLL está

enganchado y represéntela gráficamente, en módulo y fase. Para obtener la función de transferencia, el equivalente del PLL en estado de enganche, es:

Al ser un sistema con realimentación negativa se tiene:

ovd

vd

i

e

ovd

vd

i

e

kAsFks

AsFks

v

skAsFk

AsFk

A

As

v

·)·(·

)·(·)(

1··)·(·1

)·(·

·1)(

+=

∆⇒

+=

+=

ωβφ

Para F(s) = 1 y con kv=(kd·ko·Av), nos queda:

103

10·

10·4

1·

1)(

3

3 +=

+=

∆ sks

k

ks

v

v

v

oi

e

πω

Por lo tanto, la representación de la respuesta en frecuencia (asintótica) del PLL queda como sigue:

kd F(s) Av

ko

vdvf ve

φφφφi

φφφφo

1/sωωωωo

+-

A

ββββ

φφφφεεεε

|ve/∆ω∆ω∆ω∆ωi(j ωωωω)|

1/Ko = 1/(4ππππ·103)

Kv = 103 ωωωω(rad/s)

0º

ωωωω(rad/s)

∠∠∠∠ve/∆∆∆∆ ωωωωi(j ωωωω)

-90º

-45º

KvKv /10 10Kv

5. Represente la evolución temporal de la tensión v e, si la entrada está modulada

en frecuencia de la siguiente forma:

6. v i(t)= sen {2 ππππ·[103 +·200·sen(2ππππ·160·t)]·t}

( ) ( )

>=<=

→+=⇒)750(800

)25.1(2.1·160·2·200·210·2 3

HzfHzf

kHzfkHzftsent

iLmínimín

iLmáximáxi πππω

PLL en estado de enganche:

−=

−

=⇒

∆∠+∆

∆=

=≅=

4·160·2·7.70

4·160·2·2002·

2

1·

10·4

1)(

·160·2··)(

3

1010160·2 33

ππππππ

ωπω

ω ωπω

tsenmVtsentv

vtsen

vtv

e

i

ei

i

ee

ωi (rad/s)

2π·103 2π·200

6.3t(ms)

t(ms)

0

ve (mV)

0

70.7

-70.7

T/8 =0.7875ms

EJERCICIO 2 En la figura se representa el diagrama de bloques de un PLL de orden 2, con la representación gráfica de la función de transferencia de cada uno de los bloques.

Se pide:

1. Obtenga la función de transferencia del PLL (vo/∆ωi (s)) y determine el valor del coeficiente de amortiguamiento (ξ) y de la frecuencia natural (ωn).

2. Represente gráficamente la respuesta en frecuencia del PLL (vo∆/ωi (jω)), en módulo y fase.

3. Represente gráficamente, en función del tiempo, la variación de la frecuencia angular, ωi, de la señal de entrada del PLL y la variación de vo, si la señal de entrada del PLL es vi(t)= 5.sen {2π·[100k +·10k·sen(2π·100·t)]·t} No olvide acotar los valores significativos en todos los ejes e incluir todos los cálculos para la determinación de dichos valores.

De

Detector de fase Filtro Amplificador

VCO

Devd vf vo

Vi(t)=Ai·sen(ωωωωit+φφφφi)

Vosc(t)=Ao·sen(ωωωωot+φφφφo)

SOLUCIÓN: 1. Obtenga la función de transferencia del PLL (v o/ωωωωi (s)) y determine el valor

del coeficiente de amortiguamiento ( ξξξξ) y de la frecuencia natural ( ωωωωn). Para obtener la función de transferencia, el equivalente del PLL en estado de enganche, es:

Al ser un sistema con realimentación negativa se tiene:

ovd

vd

i

o

ovd

vd

i

o

kAsFks

AsFks

v

skAsFk

AsFk

A

As

v

·)·(·

)·(·)(

1··)·(·1

)·(·

·1)(

+=⇒

+=

+=

ωβφ

Donde, de las funciones de transferencia del diagrama de bloques del PLL dado en el enunciado, se obtiene:

- Ganancia del detector de fase:

==rad

V

rad

Vkd 2

30.6

π

- Función de transferencia del filtro:

1

1

1

1

1)(

ωω

ωss

sF+

=+

=

- Ganancia del amplificador: 121.0

2.1 ==V

VAv

- Frecuencia de oscilación libre del VCO:

=s

radkfr 100·2πω

- Ganancia del VCO:

=−−=

V

sradkkko

/10·8

1100·296·2 3πππ

Sustituyendo en la función de transferencia, con kv=kd·ko·Av, se tiene:

v

v

oi

o

kss

k

ks

v

·

··

1)(

112

1

ωωω

ω ++=

Identificando con el denominador genérico de un sistema de 2º orden: 22 ··2 nnss ωωζ ++ , nos queda:

2

1046.0

10·6

10·5·

2

1·

2

1

5510·6·10·5·

5

31

531

<≅==

≅==

v

vn

k

s

kradk

ωζ

ωω

2. Represente gráficamente la respuesta en frecuenc ia del PLL (v o/ωωωωi (jωωωω)), en

módulo y fase.

kd F(s) Av

ko

vdvf vo

φφφφi

φφφφo

1/sωωωωo

+

-

A

ββββ

A partir de la función de transferencia obtenida en apartado anterior, la representación de la respuesta en frecuencia del PLL queda como sigue:

3. Represente gráficamente, en función del tiempo, la variación de la frecuencia angular, ωωωωi, de la señal de entrada del PLL y la variación de vo, si la señal de entrada del PLL es v i(t)= 5.sen {2 ππππ·[100k +·10k·sen(2 ππππ·100·t)]·t} No olvide acotar los valores significativos en todo s los ejes e incluir todos los cálculos para la determinación de dichos valore s.

vo será una señal sinusoidal de 100Hz y:

º0

5.210·4

1·10·2·

100·2

3

100·2

=∠+∠=∠

===

Hzi

oio

Hzi

oio

vv

Vkv

v

π

π

ωω

ππ

ωω

Y de valor medio:

( ) 01 =−= frimedo

omed kv ωω

|vo/ωωωω i(j ωωωω)|

1/ko = 1/ 4ππππ�103

ωωωωn = 55k ωωωω (rad/s)

0º

ωωωω (rad/s)

∠∠∠∠vo/ ωωωω i(j ωωωω)

-180º

-90º

ωωωωn = 55k

ωωωωn /10 10ωωωωn

Real

ωi (rad/s)

2π·100k2π·10k

10t(ms)

t(ms)

0

vo (V)

100

2.5

-2.5

EJERCICIO 3

SOLUCION

EJERCICIO 4 En el esquema de la figura se representa el diagrama de bloques de un PLL,

Datos: Función de transferencia del filtro F(s) =1. Frecuencia de oscilación libre del VCO ffr = 200kHz. Ganancia del VCO Ko = 2π·105 (rad/s)/V. Ganancia del detector de fase (célula de Gilbert) Kd = 2/π V/rad. Ganancia del amplificador AV = 1.

Se pide:

6. Calcule el margen de frecuencias, fi, de la señal de entrada, Vi, para el que el PLL permanece enganchado.

7. Obtenga la tensión de salida del amplificador, Ve, para los siguientes valores de frecuencia de Vi, fi1 = 150kHz y fi2 = 250kHz.

8. Represente la evolución temporal de la tensión Ve si la frecuencia de la señal de entrada, fi, evoluciona como se representa en la siguiente gráfica. Justifique su respuesta usando la constante de tiempo del PLL.

Detector

de faseFiltro Amplificador

Oscilador

controlado

por tensión

(VCO)

vdvf

ve

Señal de

entrada: Vi(t)

Señal de salida

VCO: Vo(t)

SOLUCION

EJERCICIO 6

SOLUCION

EJERCICIO 7

SOLUCION

EJERCICIO 8

SOLUCION