CONTROL INTELIGENTESistemas fuzzy tipo Mamdani

Contenido Inferencia fuzzy (una sola regla) La base de reglas Reglas con varias entradas Aproximacion formal: El soplete de gas Inferencia según Mamdani Inferencia según Mamdani: algoritmo Ejemplo: Modelo del nivel de un tanque

2

Inferencia fuzzy (una sola regla)

ALGORITMO

3

Paso 1

Construir la relacion de la implicacion:

basada en la implicacion (Lukasiewicz)

basada en la conjuncion: (el producto)

, *R A Bx y x y

, min 1,1R A Bx y x y

4

Paso 2

Definir el operador composicion correspondiente:

Para el caso de la implicacion basada en la conjuncion

' ',

max min , ,B A RX YX

y x x y

' 'sup , ,B A Rx

y T x x y

5

Paso 3

Calcular el conjunto fuzzy correspondiente

'B

' 'B A R

Regla de inferencia composicional (Zadeh, 1973)

6

Inferencia fuzzy (una sola regla)

Ejemplo

7

Implicacion basada en la conjuncion

, min ,R A Bx y x y

8

Inferencia basada en la conjuncion

' ',

max min , ,B A RX YX

y x x y

9

La base de reglas

10

La base de reglas La base de reglas es un conjunto de reglas

en paralelo:

11 1

i

R :

R

IF THEN

IF THEN

IF THEN

:

:

i i

K KK

x A y B

x A y B

xR A y B

11

Agregacion de varias reglas La combinacion de las reglas fuzzy en una

relacion unica se denomina agregacion

Dos posibilidades basada en la implicacion clasica basada en la conjuncion clasica

11 1 IF THEN

IF THEN

R :

: K K K

x A y B

x A BR y

12

Agregacion de varias reglas Agregacion para reglas basadas en la

implicacion clasica

Ejemplo: Min

Agregacion para reglas basadas en la conjuncion clasica

Ejemplo: Max 1

K

ii

R R

1

K

ii

R R

13

Inferencia local e inferencia global Inferencia global

Inferencia local

1 1

' ' 'K K

i ii i

B A R A R B

1

' 'K

ii

B A R A R

Agregacion para reglas basadas en la conjuncion clasica

14

Propiedades de la base de reglas Continuidad

Reglas con premisas “adjacentes” tienen consecuentes “adjacentes”

ConsistenciaSe refiere a la consistencia del conocimiento

representado por la base de reglas

CompletitudTodas las situaciones del espacio de entrada (a un

nivel semantico) tienen una salida definida15

Reglas con varias entradas

16

Reglas con varias entradas En el caso de Multiples Entradas

La entrada esta definida sobre un dominio multidimensional

Conjuntos fuzzy sobre un dominio multi-dimensional

17

Conjuntos fuzzy multi-dimensionales

Dos representaciones

Varias proposiciones antecedentes con conjuntos fuzzy de una sola variable

Una sola proposicion antecedente con conjuntos fuzzy multivariable

1IF is , , px A x x

1 1 1IF is AND AND is p P px A x x A x

18

Reglas con varias entradas Construccion del antecedente con varios

terminos linguisticos

○ Young AND Healthy

○ Young OR Healthy

○ VERY Young AND (NOT Healthy)

19

Particion del espacio de entrada

Particion del espacio antecedente con operadores AND unicamente

El antecedente de la regla es la combinacion (interseccion) de p (o menos) conjuntos fuzzy

20

Particion del espacio de entrada

El efecto de otros operadores

El antecedente de la regla es la combinacion (interseccion o union) de p (o menos) conjuntos fuzzy

21

Una sola proposicion antecedente El antecedente de la regla es un conjunto fuzzy

multivariable

Limites entre las regiones de la particion con forma arbitraria

22

Aproximacion formalEjemplo: El soplete de gas

23

Ejemplo: soplete de gas Se considera el caso de un soplete de gas:

Entrada del sistema: Flujo de oxigeno Salida del sistema: Temperatura de la llama

Problema: encontrar un sistema fuzzy que modele al sistema

24

Ejemplo: soplete de gas Terminos linguisticos:

Flujo de oxigeno: Low, OK, High

Temperatura de la llama: Low, High

25

Ejemplo: soplete de gas Funciones de pertenencia del antecedente

26

Ejemplo: soplete de gas Funciones de pertenencia del consecuente

27

Ejemplo: soplete de gas Base de reglas

R1

R2

R3

IF O2 flow rate is LOW THEN heating power is LOW

IF O2 flow rate is OK THEN heating power is HIGH

IF O2 flow rate is HIGH THEN heating power is LOW

28

Calculo de la relacion de la regla 1

29

(Implicacion = min)

IF O2 flow rate is Low THEN heating power is Low

1.00.60.00.0

1.0 1.0 0.6 0 0

antecedente

consecuente

, min ,R A Bx y x y

Calculo de la relacion de la regla 2

(Implicacion = min)

IF O2 flow rate is OK THEN heating power is High

0.00.41.00.4

0 0 0.3 0.9 1

antecedente

consecuente

, min ,R A Bx y x y

30

Calculo de la relacion de la regla 3

(Implicacion = min)

IF O2 flow rate is High THEN heating power is Low

0.00.00.11.0

1.0 1.0 0.6 0 0

antecedente

consecuente

, min ,R A Bx y x y

31

Agregacion de las reglas Calculo de la relacion de la base de reglas

(Agregacion = max)

1

, max ,iR R

i Kx y x y

Low-Low

OK-High

High-Low32

Calculo de conjunto de salida Conjunto fuzzy de salida usando la

composicion max-min

Caso 1

Caso 2

' ',max min , , B A Rx yx

y x x y

33

Ejercicio Analizar el problema resuelto en matlab:

Soplete.m

34

Inferencia según MamdaniSustentacion teorica

35

Operadores de Mamdani

En la inferencia según Mamdani se definen los siguientes operadores:

Union: max Interseccion: min La relacion que define la regla: μR(.) = min(.) El operador composicion: max-min

Agregacion: max local

36

Inferencia según Mamdani Sea A’ el conjunto de entrada

Entonces, la expresion que calcula el conjunto fuzzy de salida B’ es:

' ',max min , ,B A Rx yx

y x x y

37

Inferencia según Mamdani Sea el conjunto de entrada. Entonces,

de la aproximacion formal 'A

' ',max mi , m nn i ,B Ax yx

A Bx xy y

' ',ma , ,x minB Ax y Rx

x yy x

38

Inferencia según Mamdani min(c,min(a,b)) = min(min(a,b),c)

',' max mi mi ,n , nAxBx y A Bx x yy

',

' minmim x n ,a ,A By

Bxx

A xxy y

39

Inferencia según Mamdani min(min(a,b),c) = min(min(c,a),b)

, '' minmim x n ,a ,A A Bx yBx

yx xy

' ',minmax min , ,B Ax yx

A By xx y

40

Inferencia según Mamdani El maximo en x del minimo en x,y es igual

al minimo en x,y del maximo en x,

, '' max mi ,min n , B

xx Ay AB x xy y

,'' minmim x n ,a ,A A B

x yB

xyx xy

41

Inferencia según Mamdani El maximo en x del minimo en x,y es igual

al minimo en x,y del maximo en x,

, '' max mi ,min n , B

xx Ay AB x xy y

,'' minmim x n ,a ,A A B

x yB

xyx xy

depende solo del antecedente de la regla

42

Inferencia según Mamdani Es posible simplificar el procedimiento.

',

min ,iB B

x yy x y

, '' max mi ,min n , B

xx Ay AB x xy y

depende solo del antecedente de la regla

43

Inferencia según Mamdani El “grado de cumplimiento” del antecedente de

la regla i-esima se define como como:

El conjunto de salida fuzzy es entonces

',

min ,B Bx y

y x y

'max min ,A Ax

x x

44

Inferencia fuzzy según Mamdani

ALGORITMO

45

Metodo de inferencia de Mamdani

1. Definir la funcion de pertenencia del conjunto fuzzy de entrada A’

2. Calcular el grado de cumplimiento entre la entrada y la funcion de pertenencia del antecedente

3. Recortar el conjunto fuzzy del consecuente de la regla usando el grado de cumplimiento

46

Representacion grafica

A

X

w

A’ B

Y

x is A’

B’

Y

A’

Xy is B’

If x es A then y es B

47

Inferencia de la base de reglas

1. Calcular el conjunto de salida para cada regla

2. Calcular el conjunto de salida por la agregacion la base de reglas completa

',

min ,i iB i B

x yy x y

1

' 'K

ii

B B

48

Inferencia con antecedente multiple

IF x is A AND y is B THEN z is C

grado de cumplimiento

El conjunto de salida fuzzy es entonces

', ,

min , ,B Cx y z

z x y z

' ',

max min , , ,A B A Bx y

x y x y

49

Representacion grafica

A B T-norm

X Y

w

A’ B’ C2

Z

C’

ZX Y

A’ B’

x is A’ y is B’ z is C’

IF x is A AND y is B THEN z is C

50

EjemploModelo del nivel de un tanque

51

Ejemplo: modelado del nivel de liquido

52

Ejemplo: modelado del nivel de liquido

Recorte de la funcion de pertenencia del consecuente de la primera regla

53

Ejemplo: modelado del nivel de liquido

Recorte de la funcion de pertenencia del consecuente de la segunda regla

54

Ejemplo: modelado del nivel de liquido

Agregacion de las dos reglas

55

Ejercicio Analizar el problema resuelto con ayuda

del Tool-box Fuzzy de matlab.

Tanque.fis

56

Fuentes

J.-S. Roger Jang, Slides for Fuzzy Sets, Ch. 2 of Neuro-Fuzzy and Soft Computing. CS Dept., Tsing Hua Univ., Taiwan.

Humberto Martínez Barberá, Control Difuso. Universidad de Murcia. 2000

Robert Babuska. Fuzzy and neural control. DISC Course Lecture Notes (October 2001)

Robert Babuska. Course Fuzzy and Neural Control, 2001/2002.

57

Fuentes

R. Babuska, H.B. Verbruggen, H. Hellendoorn, Promising Fuzzy Modeling and Control Methodologies for Industrial Applications, 1999

René Jager, Fuzzy Logic in Control. PHD thesis, 1995.

Javier Echauz, Sistemas y Controles Inteligentes, Universidad de Puerto Rico, 2000

L.X. Wang, “Adaptive Fuzzy Systems and Control: Design and Stability Analysis”, Prentice-Hall, 1.994

58

Fuentes

Kwang-Hyung Lee, Textbook CS670 Fuzzy Theory, http://if.kaist.ac.kr/lecture/cs670/textbook/, septiembre 2001

J. Galindo Gómez, Conjuntos y Sistemas Difusos (Lógica Difusa y Aplicaciones). Departamento de Lenguajes y Ciencias de la Computación, Universidad de Málaga, 2002?

Vojislav Kecman, Fuzzy logic basics. Slides accompanying the MIT Press book: Learning and Soft Computing. 2001

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