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Sistemas integrables y teoría de operadoreslineales

Dolores Barrios Rolanía

Universidad Politécnica de Madrid

Introducción

Sistemas integrables −→ Redes de Toda

xn(t) , n = 1, 2, . . . :

posición de la partícula n-ésima en el instante de tiempo t .

mxn(t) = V ′(xn+1 − xn)− V ′(xn − xn−1) , n = 1, 2, . . .m : masa de cada partícula.V (x) : potencial de interacción entre partículas.

Caso particular: V (x) =mρ2

τ2

(e−x/ρ +

xρ− 1)

, partículas

alineadas.

m = ρ = τ = 1 =⇒ xn = e−(xn−xn−1) − e−(xn+1−xn)

Introducción

αn = −xn , λn = e−(xn+1−xn)/2 (x0 ≡ −∞ , λ1 ≡ 0)

=⇒

αn(t) = λ2

n+1(t)− λ2n(t)

λn+1(t) =λn+1(t)

2(αn+1(t)− αn(t))

(1)

(1) se expresa matricialmente como

J(t) = J(t)K (t)− K (t)J(t) ,

donde

J(t) =

α1(t) λ2(t)

λ2(t) α2(t). . .

. . . . . .

, K (t) =12

0 −λ2(t)

λ2(t) 0. . .

. . . . . .

.

Introducción

Definición

Dadas las matrices (u operadores) A , B, se llama conmutadorde A y B a

[A, B] = AB − BA .

Definición

Se llama ecuación de Lax a la ecuación

J(t) = [J(t), K (t)]

Resolver la ecuación de Lax es hallar un par de Lax , esto es,hallar operadores J(t) , K (t) que sean solución de la ecuación.

Obtener soluciones de una red de Toda es resolver una ecuaciónde Lax bajo ciertas restricciones (características de losoperadores J(t) , K (t)).

Introducción

Herramientas fundamentales:

Teoría de operadores −→ matrices tridiagonales −→ polinomiosortogonales (pseudo-ortogonales).

Tipos de redes de Toda:

redes finitas

redes semiinfinitas

redes doblemente infinitas

redes periódicas

redes asintóticamente periódicas

Introducción

Tipos de problemas:

generación de soluciones (reales o complejas) a partir de unaconocida

problema de Cauchy

datos iniciales{αn(0) , λn(0)}

problema directo−→ datos espectralesJ(0) , σ(J(0)) , µ0(λ)

↓ (PVI) evolución ↓ datos espectrales

solución{αn(t) , λn(t)}

problema inverso←− datos espectralesJ(t) , σ(J(t)) , µt(λ)

Conceptos básicos

Definición

(X , 〈·, ·〉) espacio de Hilbert⇔ X espacio vectorial, dim X infinita,〈·, ·〉 producto escalar, d métrica inducida, (X , d) completo.

Definición

(X , 〈·, ·〉) Hilbert se dice separable si existe S ⊂ X , S numerable,X = S. Los espacios de Hilbert separables tienen propiedadesrelevantes.

Ejemplo

`2 := {(x1, x2, . . .) :∑|xn|2 < +∞}

{ei = (0, . . . , 0,

(lugar i)︷︸︸︷1 , 0, . . .) : i ∈ N} base de `2.

`2 separable, {(x1, . . . , xm, 0, 0 . . .)} denso en `2.

Conceptos básicos

Propiedad 1

H espacio de Hilbert, f , g ∈ H =⇒ |〈f , g〉| ≤ ‖f‖ · ‖g‖

Demostración:1 〈f , g〉 = 0 =⇒ evidente.

2 〈f , g〉 6= 0; α :=〈f , g〉|〈f , g〉|

=⇒ ‖αf + λg‖2 = ‖g‖2λ2 + 2|〈f , g〉|λ + ‖f‖2 ≥ 0, ∀λ ∈ R

=⇒ ∆ = |〈f , g〉|2 − ‖f‖2‖g‖2 ≤ 0 �

Conceptos básicos

Propiedad 2

Para f , g ∈ H , f , g 6= 0, se tiene

|〈f , g〉| = ‖f‖‖g‖ ⇐⇒ g = βf , β ∈ C .

Demostración:

⇒) En la demostración anterior ∆ = 0 =⇒ αf + λg = 0 en la raíz

doble λ de ‖g‖2λ2 + 2|〈f , g〉|λ + ‖f‖2 =⇒ g = −α

λf

⇐) g = βf =⇒ ‖g‖ = |β|‖f‖ , |〈f , g〉| = |〈f , βf 〉| = |β|‖f‖2 �

Conceptos básicos

Propiedad 3 (desigualdad triangular )

‖f + g‖ ≤ ‖f‖+ ‖g‖ , ∀f , g ∈ H

Demostración: ‖f + g‖2 = 〈f + g, f + g〉 = ‖f‖2 + ‖g‖2 + 2Re〈f , g〉

(pdad. 1)

≤ ‖f‖2 + ‖g‖2 + 2‖f‖‖g‖ = (‖f‖+ ‖g‖)2

�

Propiedad 4

‖f + g‖ = ‖f‖+ ‖g‖ =⇒ ∃β ∈ C tal que g = βf

Demostración: Si ‖f +g‖ = ‖f‖+‖g‖, por la demostración anteriorRe〈f , g〉 = |〈f , g〉| = 2‖f‖‖g‖ y basta aplicar la propiedad 2. �

Sistemas ortonormales completos

En lo que sigue (H, 〈·, ·〉) es espacio de Hilbert.

DefiniciónUn sistema ortogonal M de H se dice completo si no existe otrosistema ortogonal M tal que M M.

dim H = n < +∞,

M sistema ortogonal

⇒ M sistema libre de vectores⇓

Card(M) ≤ n

En dimensión infinita la situación es diferente.


TeoremaH separable, M sistema ortogonal en H =⇒ M numerable ofinito.

Demostración:

M sistema ortogonal =⇒{

x‖x‖

: x ∈ M}

sistema ortonormal

(podemos suponer que los x ∈ M son unitarios).

Existe {f1, f2, . . .} denso en H.Dados e, e′ ∈ M =⇒ ∃fk , fk ′ : ‖e − fk‖ , ‖e′ − fk ′‖ <

√2

2

‖e − e′‖2 = ‖e‖2 + ‖e′‖2 = 2

=⇒√

2 = ‖e − e′‖ < ‖e − fk‖+ ‖e′ − fk‖ <

√2

2+ ‖e′ − fk‖

=⇒ ‖e′ − fk‖ >

√2

2=⇒ fk 6= fk ′ �


Teorema

H separable =⇒ Existe M sucesión ortonormal completa.

Demostración:

Existe N = {f1, f2, . . .} denso en H

Se eliminan de N los elementos que sean combinación linealde otros elementos de N.

Se ortonormaliza N (proceso de Gram-Schmidt).

=⇒ Se obtiene M sucesión ortonormal ¿Es completa?


El único elemento ortogonal a M es 0:

Sea h ortogonal a M =⇒ h ortogonal a N.

Dado ε > 0 existe fk ∈ N tal que ‖h − fk‖ < ε.

‖h‖2 = 〈h, h〉 = 〈h − fk , h〉 ≤ ‖h − fk‖‖h‖ < ε‖h‖

=⇒ ‖h‖ < ε , ∀ε > 0 =⇒ h = 0 . �

TeoremaM1 , M2 sistemas ortonormales completos =⇒ tienen igualcardinal.

Demostración:Ver Theory of Linear Operators in Hilbert Space,N.I. Akhiezer, I.M. Glazman, Dover Pub., New York (1993).


ConsecuenciaH Hilbert separable, M sistema ortonormal completo =⇒ Msucesión.

Definición

Se llama “base ortonormal” de un Hilbert H a cualquier sistemaortonormal completo. Se llama “dimensión de H”, dim(H), alcardinal de cualquiera de sus sistemas ortonormales completos.

Consecuencia

H Hilbert separable =⇒ dim(H) = Card(N).


Expresión de h ∈ H en términos de una base ortonormal {en : n ∈ N}:

n ∈ N , fn = h −n∑

i=1

〈h, ei〉ei

⇒ h =n∑

i=1

〈h, ei〉ei + fn , fn ortogonal a e1, . . . , en .

En efecto, para j = 1, . . . , n,

〈h, ej〉 =n∑

i=1

〈h, ei〉〈ei , ej〉+ 〈fn, ej〉 = 〈h, ej〉+ 〈fn, ej〉 ⇒ 〈fn, ej〉 = 0

Además, 0 ≤ ‖fn‖2 = 〈fn, fn〉 = ‖h‖2 − ‖n∑

i=1

〈h, ei〉ei‖2

⇒ ‖n∑

i=1

〈h, ei〉ei‖ ≤ ‖h‖ ⇒ Existe∞∑

i=1

〈h, ei〉ei = limn→∞

n∑i=1

〈h, ei〉ei


Por otra parte,

h = limn→∞

n∑i=1

〈h, ei〉ei + limn→∞

fn , fn ⊥ e1, . . . , en

⇒ limn→∞

fn ⊥ ei para todo i ∈ N

{ei : i ∈ N} sistema ortonormal completo

⇒ lim

n→∞fn = 0 , h =

∞∑i=1

〈h, ei〉ei

Funcionales y operadores

Definición

Un funcional en H es toda aplicación T : D −→ C , siendo D ⊆ Hel dominio de T .

Definición

Un operador en H es toda aplicación T : D −→ H , siendo D ⊆ Hel dominio de T . Se define el rango de T como el conjunto

R(T ) = {g : g = Tf , f ∈ D}

Definición

f1 , f2 funcionales (operadores) en H con dominios D1 y D2,respectivamente, tales que D1 ⊆ D2 y f2x = f1x para todox ∈ D1 =⇒ se dice que f2 es una extensión de f1 (o f1 restricciónde f2).

Operadores lineales acotados

DefiniciónUn operador T : D −→ H se llama lineal si

1 D variedad lineal en H2 T (αu + βv) = αTu + βTv , ∀α , β ∈ C , ∀u, v ∈ D

DefiniciónUn operador T : D −→ H se llama acotado si

supx∈D,‖x‖≤1

‖Tx‖ < +∞ .

Si T es acotado se define la norma de T como

‖T‖ := supx∈D,‖x‖≤1

‖Tx‖


Proposición

supx∈D,‖x‖≤1

‖Tx‖ = supx∈D,‖x‖=1

‖Tx‖

Demostración:1 {‖Tx‖ : ‖x‖ = 1} ⊆ {‖Tx‖ : ‖x‖ ≤ 1}

=⇒ sup‖x‖=1

‖Tx‖ ≤ sup‖x‖≤1

‖Tx‖

2 ∀x 6= 0 tal que ‖x‖ ≤ 1⇒∥∥∥∥ x‖x‖

∥∥∥∥ = 1 ,

‖Tx‖ ≤ ‖Tx‖‖x‖

=

∥∥∥∥Tx‖x‖

∥∥∥∥⇒ sup‖x‖≤1

‖Tx‖ ≤ sup‖y‖=1

‖Ty‖ �


Proposición

supx∈D,x 6=0

‖Tx‖‖x‖

= supx∈D,‖x‖=1

‖Tx‖

Demostración:

Se deduce de {‖Tx‖ : ‖x‖ = 1} =

{‖Tx‖‖x‖

: x 6= 0}

�

Conclusiones

1 ‖T‖ = supx∈D,x 6=0

‖Tx‖‖x‖

= supx∈D,‖x‖≤1

‖Tx‖ = supx∈D,‖x‖=1

‖Tx‖

2 ∀x ∈ D : ‖Tx‖ ≤ ‖T‖ · ‖x‖


Proposición

Todo operador lineal acotado es continuo.

Demostración:‖Tx − Tx0‖ = ‖T (x − x0)‖ ≤ ‖T‖ · ‖x − x0‖ , x , x0 ∈ D �

Proposición

T : DT −→ H , x0 ∈ DT , T continuo en x0 =⇒ T acotado.

Demostración:Sea ε > 0⇒ ∃δ > 0 : ‖Ty − Tx0‖ ≤ ε para ‖y − x0‖ ≤ δ.

Sea x ∈ DT , ‖x‖ = 1⇒ Tx =1δ

(T (x0 + δx)− Tx0)

⇒ ‖Tx‖ =1δ‖T (x0 + δx)− Tx0‖ ≤

ε

δ< +∞ �


Proposición

S, T operadores lineales acotados =⇒ S ◦ T también, con‖S ◦ T‖ ≤ ‖S‖ · ‖T‖

Demostración: (inmediato)

Definición (forma bilineal asociada)

Dado A : H −→ H lineal acotado s define su forma bilinealasociada como

BA : H × H −→ C(u, v) −→ 〈u, Av〉

Se define ‖BA‖ := sup‖u‖,‖v‖≤1

|BA(u, v)|


Proposición

Dado A : H −→ H lineal acotado, existe un único operador linealacotado A∗ : H −→ H tal que

1 ‖A‖ = ‖A∗‖2 〈u, Av〉 = 〈A∗u, v〉 , ∀u, v ,∈ H

Demostración: Se propone como ejercicio.Referencias: Theory of Linear Operators in Hilbert Space, N.I.Akhiezer, I.M. Glazman, Dover Pub., New York, 1993 , o bienPerturbation Theory for Linear Operators, T. Kato, Spriger-Verlag,Berlin, 1995.

DefiniciónEn las condiciones anteriores, se dice que A∗ es el operadoradjunto de A.


Definición

Se dice que A : H −→ H es autoadjunto si A∗ = A

Definición

Se dice que el operador lineal acotado A : H −→ H es normal siA∗A = AA∗

Proposición

A, B : H −→ H operadores lineales acotados =⇒ (AB)∗ = B∗A∗

Demostración:〈(AB)∗u, v〉 = 〈u, ABv〉 = 〈A∗u, Bv〉 = 〈B∗A∗u, v〉 , u, v ∈ H �

Representación matricial de operadores acotados

H separable, A : H −→ H lineal y acotado,

{ek}∞k=1 base ortonormal =⇒ ck := Aek =∞∑

i=1

aikei , k = 1, 2, . . .

=⇒ las coordenadas de ck son la columna k -ésima de la matriz a11 a12 a13 · · ·a21 a22 a23 · · ·

......

.... . .

(k)

ek ←→ (0, . . . , 1, 0 . . .), Aek ←→ (a1k , a2k , . . .)

Definición

Se dice que la matriz es una representación matricial del operadorA. También se designa por A.


Si A es acotado y f =∞∑

i=1

fiei , fn =n∑

i=1

fiei −→ f

=⇒ Af = limn

Afn = limn

n∑i=1

fiAei =∞∑

i=1

fiAei =∞∑

i=1

fi

a1i

a2i...

Observaciones

1 La representación matricial depende de la base ortonormalelegida.

2 Si el dominio de A es H =⇒ Aek ∈ H , k = 1, 2, . . .

=⇒ ‖Aek‖2 =∞∑

i=1

|aik |2 <∞ (columnas en H).


Proposición

Sea A : H −→ H acotado. Si (aij)∞i,j=1 es representación matricial

de A, entonces (aji)∞i,j=1 es representación matricial de A∗.

A =

a11 a12 a13 · · ·a21 a22 a23 · · ·

......

.... . .

=⇒ A∗ =

a11 a21 a31 · · ·a12 a22 a23 · · ·

......

.... . .

Demostración:〈A∗ek , ej〉 = 〈ek , Aej〉 = 〈Aej , ek 〉 = akj , siendo 〈Aek , ej〉 = ajk �

Convergencia de operadores

1 Se dice que {An} converge débilmente a A, y se denota porAn

∗−→ A, si 〈Anx , y〉 −→ 〈Ax , y〉 , ∀x , y ∈ H .

2 Se dice que {An} converge fuertemente a A, y se denota por

An(s)−→ A, si Anx −→ Ax , ∀x ∈ H .

3 Se dice que {An} converge uniformemente a A, y se denota

por An(u)−→ A, si ‖An − A‖ −→ 0 .

Proposición

An(u)−→ A =⇒ An

(s)−→ A =⇒ An∗−→ A

Demostración:

‖(An − A)x‖ ≤ ‖An − A‖ · ‖x‖|〈Anx , y〉 − 〈Ax , y〉| = |〈Anx − Ax , y〉| ≤‖Anx − Ax‖‖y‖ , x , y ∈ H �

Proyecciones

Teorema

Sea G subespacio de H y f ∈ H. Existe un único g ∈ G tal que

‖g − f‖ = infg′∈G‖g′ − f‖

Demostración:

Unicidad: Supóngase g, g ∈ G tales que

δ := ‖g − f‖ = ‖g − f‖ = infg′∈G‖g′ − f‖

⇒ δ ≤∥∥∥∥f − g + g

2

∥∥∥∥ =‖(f − g) + (f − g)‖

2≤ ‖f − g‖+ ‖f − g‖

2= δ

⇒ ‖(f−g)+(f−g)‖ = ‖f−g‖+‖f−g‖ (pdad. anterior)=⇒ f−g = λ(f−g)

Proyecciones

=⇒ (1− λ)f = g − λg ∈ G

i) λ = 1⇒ g = g = f

ii) λ 6= 1⇒ f =g − λg1− λ

∈ G⇒ δ = infg′∈G‖g′− f‖ = 0⇒ g = g = f

Existencia:

δ := infg′∈G‖g′ − f‖ =⇒ ∃{gn} ⊂ G , ‖gn − f‖ −→ δ

δ ≤∥∥∥∥f − gm + gn

2

∥∥∥∥ ≤ 12

(‖f − gn‖+ ‖f − gm‖) −→ δ

=⇒ δ = limm,n

∥∥∥∥f − gm + gn

2

∥∥∥∥

Proyecciones

‖a + b‖2 + ‖a− b‖2 = 2‖a‖2 + 2‖b‖2

a = f − gm , b = f − gn

}

=⇒ ‖gn−gm‖2 = 2‖f −gn‖2 + 2‖f −gm‖2−4‖f − gm + gn

2‖2 −→ 0

=⇒ {gn} Cauchy en G (cerrado) =⇒ ∃g ∈ G , gn −→ g

‖g−f‖ ≤ ‖g−gn‖+‖gn−f‖ −→ δ =⇒ ‖g−f‖ = δ = infg′∈G‖g′−f‖ �

Definición

Dado G subespacio de H y f ∈ H se define la distancia de f a Gcomo

d(f , G) = infg′∈G‖g′ − f‖

Proyecciones

Observación

Dado G subespacio de H, para cada f ∈ G existe un único g ∈ Gtal que

d(f , G) = ‖f − g‖

Proposición

Sean G subespacio, f ∈ H , g ∈ G tales que d(f , G) = ‖f − g‖.Entonces f − g es perpendicular a G.

Demostración: En caso contrario,∃g0 ∈ G , σ := 〈g − f , g0〉 6= 0 (g0 6= 0)

Sea g∗ := g − σ

‖g0‖2g0 ∈ G

=⇒ ‖g∗ − f‖2 = ‖g − f‖2 − |σ|2

‖g0‖2< ‖g − f‖2 , contradicción. �

Proyecciones

Consecuencia

Dado G subespacio y f ∈ H, existen g ∈ G , h ∈ H (únicos) talesque

f = g + h , h perpendicular a G.

Unicidad: Si f = g + h = g + h con h, h ⊥ G⇒ h − h = g − g ⊥ G⇒ ‖h−h‖2 = 〈h−h, h−h〉 = 〈h−h, g−g〉 = 0⇒ h = h (⇒ g = g).�

Definición

En las condiciones anteriores, se dice que g es la proyección de fsobre G.

Proposición

Dado el subespacio G se tiene que F := {f ∈ H : f ⊥ G} estambién subespacio.

Demostración: F es cerrado y variedad lineal. �

Proyecciones

Definición

El subespacio F := {f : f ⊥ G} se llama complementoortogonal de G. Se escribe

H = G ⊕ F ( o bien F = H G)

y se dice que H es suma directa de G y F.

Definición

Se dice que M es suma directa de G1, . . . , Gm si todo f ∈ M sepuede escribir de manera única como

f =m∑

i=1

gi , gi ∈ Gi (i = 1, 2, . . . , m)

Observación

Esta definición generaliza la anterior.

Proyecciones

Definición

Dado G subespacio de H se define el operador proyección de Hsobre G como

PG : H −→ Gh 7−→ g proyección de h sobre G.

Proposición

PG es lineal con ‖PG‖ = 1.

Demostración:

Linealidad: Consecuencia de propiedades anteriores.Norma:

PGh = g =⇒ ∃f ⊥ g , h = g + f‖PGh‖2 = ‖h‖2 − ‖f‖2 ≤ ‖h‖2 =⇒ ‖PG‖ ≤ 1‖PGh‖ = ‖h‖ para h ∈ G, por lo que ‖PG‖ = 1 �

Proyecciones

Propiedades de PG

1 P2G = PG (evidente).

2 P∗G = PG (fácil, usando el producto escalar).

ObservaciónLas dos propiedades anteriores caracterizan las proyecciones,como se ve seguidamente.

Teorema

Sea P : H −→ H lineal y acotado tal que1 P2 = P2 P∗ = P

Entonces existe G subespacio de H tal que P = PG.

Proyecciones

Demostración:

‖P‖ ≤ 1:

‖Px‖2 = 〈Px , Px〉 = 〈x , P∗Px〉 = 〈x , Px〉 ≤ ‖x‖‖Px‖

=⇒ ‖Px‖ ≤ ‖x‖ , ∀x ∈ H

G := {g ∈ H : Pg = g} es subespacio de H:1 G variedad lineal (evidente).2 G cerrado:

{gn} ⊆ G , gn −→ g(P acotado)

=⇒ Pgn = gn −→ Pg =⇒ Pg = g , g ∈ G

P : H −→ G:

h ∈ H =⇒ Ph = P2h = P(Ph) =⇒ Ph ∈ G

Proyecciones

∀h ∈ H se tiene h = g + f con g ∈ G y f ⊥ G:

h = Ph + (h − Ph) , Ph ∈ G. Además:

∀g ∈ G : 〈h − Ph, g〉 = 〈h − Ph, Pg〉 = 〈P(h − Ph), g〉 = 0

=⇒ h − Ph ⊥ G

Unicidad de la representación anterior:

h = g + f , g ∈ G , f ⊥ G =⇒ Ph = g + Pf

∀h ∈ H : 〈Pf , h〉 = 〈f , Ph〉 = 0 (Ph ∈ G, f ⊥ G)

=⇒ Pf = 0 , Ph = g

Comparando h = g + f con h = Ph + (h − Ph) se deduce launicidad. �

Operadores unitarios

Definición

U : H −→ H (lineal o no) se llama unitario si1 Su dominio y rango coinciden con H: D(U) = R(U) = H.2 〈Uf , Ug〉 = 〈f , g〉 ,∀f , g ∈ H.

Proposición

U : H −→ H unitario y lineal =⇒ invertible (∃U−1).

Demostración: Basta probar que es inyectivo.

f , g ∈ H , Uf = Ug =⇒ 0 = ‖Uf − Ug‖2 = 〈U(f − g), U(f − g)〉

= ‖f − g‖2 =⇒ f = g �


Proposición

U : H −→ H unitario y lineal =⇒ U−1 unitario.

Demostración:U : H −→ H inyectivo,D(U) = R(U) = H =⇒ D(U−1) = R(U−1) = Hf ′, g′ ∈ H , f = U−1f ′, g = U−1g′

=⇒ 〈f ′, g′〉 = 〈Uf , Ug〉 = 〈f , g〉 = 〈U−1f ′, U−1g′〉 �

Definición

(H1, 〈·, ·〉1) , (H2, 〈·, ·〉2) espacios de Hilbert. Se dice queU : H1 −→ H2 es una isometría si

1 D(H) = H1 , R(U) = H2

2 〈Uf , Ug〉2 = 〈f , g〉1 ∀f , g ∈ H1

Consecuencia

Todo operador unitario es una isometría (conserva las distancias).


Teorema

U : H −→ H lineal , D(U) = R(U) = H. Entonces

U unitario ⇐⇒ U∗ = U−1

Demostración:

⇒) f , g ∈ H , g′ = U−1g

=⇒ 〈Uf , g〉 = 〈Uf , Ug′〉 = 〈f , g′〉 = 〈f , U−1g〉

⇐) f , g ∈ H , f ′ = Uf , g′ = Ug

=⇒ 〈f , g〉 = 〈U−1f ′, U−1g′〉 = 〈U∗f ′, U−1g′〉

= 〈f ′, UU−1g′〉 = 〈f ′, g′〉 = 〈Uf , Ug〉 �

Operadores cerrados

Definición

Sea T : DT ⊂ H −→ H lineal. Se dice que es cerrado si

xn → x , Txn → y ⇒ x ∈ DT , y = Tx

Observaciones

i)

T cerrado y acotado ⇒ DT cerrado (pues xn → x ⇒ x ∈ DT )

ii) Como consecuencia, no todo operador acotado es cerrado.

Ejemplo: T : DT −→ H , DT no cerrado , Tx = x

⇒ T acotado , ‖T‖ = 1 , T no cerrado.

Operadores cerrados

Teorema

Sea T : DT −→ H lineal acotado. Entonces, T es cerrado⇔ DT

es cerrado.

Demostración:

⇒) {xn} ⊂ DT , xn → x ⇒ {Txn} de Cauchy:

‖Txn − Txm‖ ≤ ‖T‖ · ‖xn − xm‖ → 0

⇒ ∃y ∈ H : Txn → yT cerrado

}⇒ x ∈ DT (y = Tx)

⇐) DT cerrado. Sea xn → x , Txn → y

⇒ x ∈ DT , ‖Txn − Tx‖ ≤ ‖T‖ · ‖xn − x‖ → 0

Por unicidad del límite, y = Tx �

Operador adjunto

Definición

Sea T : DT −→ H lineal. Se llama operador adjunto de T , y sedenota por T ∗, al operador

T ∗ : DT∗ −→ H

tal que1 DT∗ = {x ∈ H : ∃y ∈ H único t.q. 〈Tz, x〉 = 〈z, y〉 ∀z ∈ DT}2 T ∗x = y tal que 〈Tz, x〉 = 〈z, y〉 , ∀z ∈ DT

Observación

Se entiende que T ∗ sólo se puede definir cuando DT∗ 6= ∅

Operador adjunto

Lema

DT∗ 6= ∅ ⇔ D⊥T = {0}

Demostración:⇒) Supongamos ∃x ∈ DT∗

⇒ ∃y ∈ H , único, tal que 〈Tz, x〉 = 〈z, y〉 , ∀z ∈ DT (2)

Si fuese D⊥T 6= {0} ⇒ ∃h 6= 0 : 〈z, h〉 = 0 , ∀z ∈ DT

⇒ 〈Tz, x〉 = 〈z, y〉 = 〈z, y + h〉 , ∀z ∈ DT

⇒ y no es el único verficando (2), no podría ser x ∈ DT∗

⇐) Veamos que 0 ∈ DT∗

∃y = 0 tal que 〈Tz, 0〉 = 〈z, y〉(= 0) , ∀z ∈ DT

y = 0 único en estas condiciones:

Sea y tal que 〈Tz, 0〉 = 〈z, y〉 , ∀z ∈ DT ⇒ 〈z, y〉 = 0 , ∀z ∈ DT

⇒ y ∈ D⊥T = {0} , y = 0 �

Operador adjunto

Observación

La definición de operador adjunto extiende la dada anteriormentepara T : H −→ H acotado:

DT = H ⇒ D⊥T = {0} , ∃T ∗

T : H −→ H acotado⇒ Se probó la existencia del adjuntoacotado⇒ ∀x ∈ H , ∃yx (único) tal que

〈Tz, x〉 = 〈z, yx〉 , ∀z ∈ H ⇒ DT∗ = H

En el caso acotado también se definió T ∗x = yx

Operador adjunto

Proposición

Sean T : DT −→ H , S : DS −→ H, ambos lineales, con S ⊂ T .Entonces

S∗ ⊃ T ∗

Demostración:

S ⊂ T ⇔ DS ⊂ DT , Sx = Tx , ∀x ∈ DS

Sea x ∈ DT∗ ⇒ ∃yx(= T ∗x) tal que 〈Tz, x〉 = 〈z, yx〉 , ∀z ∈ DT

⇒ ∃yx(= T ∗x) tal que 〈Sz, x〉 = 〈z, yx〉 , ∀z ∈ DS

⇒ x ∈ DS∗ , S∗x = T ∗x

Es decir,

DT∗ ⊂ DS∗ , S∗x = T ∗x , ∀x ∈ DT∗

�

Operador adjunto

Proposición

T ∗ : DT∗ −→ H lineal.

Demostración: Sean x , y ∈ DT∗ , α , β ∈ C⇒ 〈Tz, αx +βy〉 = α〈Tz, x〉+β〈Tz, y〉 = 〈z, αT ∗x +βT ∗y〉 , z ∈ DT

⇒{

1) αx + βy ∈ DT∗

2) T ∗(αx + βy) = αT ∗x + βT ∗y

�

Proposición

T ∗ : DT∗ −→ H cerrado.

Demostración: {xn} ⊂ DT∗ , xn → x , T ∗xn → y

⇒ ∀n , ∃yn(= T ∗xn) tal que 〈Tz, xn〉 = 〈z, yn〉 , z ∈ DT

Tomando límites, 〈Tz, x〉 = 〈z, y〉 , z ∈ DT ⇒ x ∈ DT∗ , y = T ∗xUnicidad: 〈z, y〉 = 〈z, y〉 , ∀z ∈ DT ⇒ y − y ⊥ DT ⇒ y − y = 0 �

Operador adjunto

Proposición

Sea T : DT −→ H invertible, D⊥T = D⊥

T−1 = {0}. Entonces T ∗ es

invertible, siendo (T ∗)−1 =(T−1

)∗Demostración: D⊥

T = D⊥T−1 = {0} ⇒ existen T ∗ ,

(T−1

)∗x ∈ DT , y ∈ D(T−1)

∗

⇒ 〈x , y〉 = 〈T−1Tx , y〉 = 〈Tx ,(

T−1)∗

y〉 ⇒ y = T ∗(

T−1)∗

y

x ∈ DT−1 , y ∈ DT∗

⇒ 〈x , y〉 = 〈TT−1x , y〉 = 〈T−1x , T ∗y〉 ⇒ y =(

T−1)∗

T ∗y

De ambas cosas,T ∗ (T−1

)∗=(T−1

)∗T ∗ = I ⇒

(T−1

)∗= (T ∗)−1 �

Operador adjunto

Lema

Sea V variedad lineal. Entonces V = H ⇔ V⊥ = {0}

Demostración:

⇒)Sea x ∈ V⊥ ⇒ 〈x , y〉 = 0 , ∀y ∈ V

Como x ∈ H = V ⇒ ∃{xn} ⊂ V , xn → x

}y=xn⇒

〈x , xn〉 = 0→ 〈x , x〉 = ‖x‖2 ⇒ x = 0

⇐) V variedad lineal⇒ V subespacio (variedad lineal y cerrado).En efecto:x , y ∈ V , α, β ∈ C⇒ ∃{xn} , {yn} ⊂ V , xn → x , yn → y⇒ {αxn + βyn} ⊂ V , αxn + βyn → αx + βy ⇒ αx + βy ∈ V

Por tanto, H = V ⊕ V⊥

= V ⊕ {0} = V �

Operadores simétricos

Consecuencia

Se puede definir el operador adjunto T ∗ para operadores condominio denso.

Definición

T : DT −→ H se llama simétrico si1 DT = H2 ∀x , y ∈ DT , 〈Tx , y〉 = 〈x , Ty〉

Observaciones

1 T simétrico lema anterior⇒ D⊥T = {0} ⇒ ∃T ∗

2 T : DT −→ H simétrico⇒ 〈Tx , x〉 ∈ R , ∀x ∈ DT

Definición

Sea T : DT −→ H simétrico. Se dice que T es positivo si〈Tx , x〉 ≥ 0 , ∀x ∈ DT


Proposición

T simétrico ⇒ T ⊂ T ∗

Demostración: Sea x ∈ DTT simétrico⇒ 〈Tz, x〉 = 〈z, Tx〉 , ∀z ∈ DT

⇒ x ∈ DT∗ , T ∗x = Tx �

Consecuencia

T simétrico acotado⇒ T se puede extender a un operadorautoadjunto acotado T , ‖T‖ = ‖T‖. En efecto:

Sea x ∈ H = DT ⇒ se define

T x = limn

Txn , {xn} ⊂ DT , xn → x

⇒ T : H = DeT −→ H , T ⊃ T (T extensión de T )

T autoadjunto: T ⊂ T ∗ , DeT = H ⇒ T = T ∗


T acotado:

‖T x‖ = ‖ limn

Txn‖ = limn‖Txn‖ ≤ ‖T‖ · ‖x‖ ,

(siendo {xn} ⊂ DT , xn → x)

⇒ ‖T‖ ≤ ‖T‖

Además,

‖T‖ = supx∈DT ,x 6=0

‖Tx‖‖x‖

= supx∈DT ,x 6=0

‖T x‖‖x‖

≤ supx∈D

eT ,x 6=0

‖T x‖‖x‖

= ‖T‖

�


Proposición

Sean A : DA −→ H lineal, B : DB −→ H lineal simétrico tales queDA = H y A ⊂ B. Entonces B ⊂ A∗

(i.e., toda extensión simétrica de un operador lineal es restricciónde su adjunto).Demostración:

A ⊂ B(resultado anterior)

=⇒ A∗ ⊃ B∗

B simétrico⇒ B∗ ⊃ B

⇒ A∗ ⊃ B

�

Definición

Sea A : DA −→ H simétrico. Se dice que A es simétrico maximalsi no tiene extensiones simétricas diferentes de A∗.

Operadores autoadjuntos

Definición

A : DA −→ H se llama autoadjunto si A = A∗.

Proposición

A autoadjunto⇒ A simétrico.

Demostración: A autoadjunto⇒ DA = DA∗ , DA = H (pues A∗ estádefinido).Además, ∀x , z ∈ DA : 〈Az, x〉 = 〈z, A∗x〉 = 〈z, Ax〉 �

Proposición

A autoadjunto⇒ A simétrico maximal (i.e., A no tiene extensionessimétricas propias).

Demostración:

A ⊂ B , B simétrico(resultado anterior)⇒ B ⊂ A∗

Además, A = A∗ ⊂ B

}⇒ B = A �


Teorema

Sea A : DA −→ H simétrico tal que R(A) = H (R(A): rango de A).Entonces A es autoadjunto.

Demostración: A simétrico⇒ A ⊂ A∗; Veamos que DA = DA∗

x ∈ DA∗ ⇒ ∃y ∈ H : 〈Az, x〉 = 〈z, y〉 , ∀z ∈ DA

R(A)=H=⇒ ∃x1 ∈ DA (y = Ax1) : 〈Az, x〉 = 〈z, Ax1〉 , ∀z ∈ DA

A simétrico=⇒ ∃x1 ∈ DA : 〈Az, x〉 = 〈Az, x1〉 , ∀z ∈ DA

R(A)=H=⇒ ∃x1 ∈ DA : 〈t , x〉 = 〈t , x1〉 , ∀t ∈ H

D⊥A ={0}=⇒ ∃x1 ∈ DA : x = x1 ⇒ x ∈ DA

�


Teorema

Sea A : DA −→ H acotado, autoadjunto e invertible, con inversoA−1 : DA−1 −→ H. Entonces A−1 es autoadjunto.

Demostración:

Si fuese DA−1 denso en H(resultado anterior)

=⇒(A−1

)∗= (A∗)−1

Como, además, es A∗ = A, se tendría(A−1

)∗= A−1

⇒ basta probar DA−1 = H

En efecto, en caso contrario, DA−1 = R(A) 6= H

⇒ (R(A))⊥ 6= {0} ⇒ ∃h ∈ H , h 6= 0 : 〈Ax , h〉 = 0, ∀x ∈ DA

〈Ax ,h〉=〈x ,Ah〉=⇒ ∃h ∈ H , h 6= 0 : Ah ∈ D⊥

A (= {0}) ,

pero esto contradice la existencia de A−1, pues tendría queser Ah = 0 con h 6= 0. �

Representación matricial de operadores simétricos

Definición

Sea B : DB −→ H lineal. Se define el operador mínima extensióncerrada de B, y se denota por B : DB −→ H, como sigue:

DB = {x ∈ H : ∃{xn} ⊂ DB , xn → x , {Bxn} convergente }Para x ∈ DB se define Bx := lim

n→∞Bxn, siendo

xn → x , {xn} ⊂ DB , {Bxn} convergente.

Propiedad

Para cualquier operador lineal B su mínima extensión cerrada esun operador cerrado.

Demostración: (ejercicio).En lo que sigue ahora: A : DA −→ H simétrico y cerrado,{ei : i ∈ N} base ortonormal, {ei} ⊂ DA , L{e1, e2, . . .} variedadlineal de las combinaciones finitas de {ei : i ∈ N} .


Se define la matriz infinita(aij)∞

i,j=1 dada por aij = 〈Aej , ei〉

Sea DB = L{e1, e2, . . .}. Se define B : DB −→ H por:

Bei = Aei , i ∈ N , B

(n∑

i=1

xiei

)=

n∑i=1

xiBei

⇒ B ⊂ A

Por tanto, B ⊂ A. En efecto:

x ∈ DB ⇒ ∃{xn} ⊂ DB ⊂ DA , xn → x , Axn → y

A cerrado

⇒ x ∈ DA , y = Ax = Bx

Se dice que(aij)∞

i,j=1 es una representación matricial del

operador B.


Interpretación :

Sobre elementos de la base ortonormal: a11 a12 a13 · · ·a21 a22 a23 · · ·

......

.... . .

ei =

a1i

a2i...

,

ei = (0, · · · , 0,(i)1 , 0, · · · )T expresado en coordenadas

⇒ La columna i-ésima de (aij)∞i,j=1 es Aei ,

Aei =∞∑

k=1

〈Aei , ek 〉ek =∞∑

k=1

akiek


Sobre elementos de L{e1, e2, . . .}:

x ∈ L{e1, e2, . . .} , x =n∑

i=1

xiei

⇒ Bx = Ax =n∑

i=1

xiAei dado por

a11 a12 a13 · · ·a21 a22 a23 · · ·a31 a32 a33 · · ·

......

.... . .

x1...

xn

0...

=

n∑i=1

a1ixi

n∑i=1

a2ixi

...


Sobre DB:

{xn} ⊂ L{e1, e2, . . .} , xn =

m(n)∑i=1

x (n)i ei → x , Axn → y(= Bx)

⇒ y = Ax = limn→∞

Axn = limn→∞

m(n)∑i=1

a1ix(n)i

m(n)∑i=1

a2ix(n)i

...

Definición

Si B = A se dice que(aij)∞

i,j=1 es representación matricial de Arespecto de la base ortonormal {ei}.


Observaciones1 La matriz

(aij)∞

i,j=1 depende de la base ortonormal {ei}. Portanto, la representación matricial no es única.

2 El operador B depende de la base ortonormal {ei}. Podríatenerse dos operadores B1 , B2 asociados, respectivamente,a bases {e(1)

i } , {e(2)i } distintas, tales que B1 A , B2 = A.

3 Si A : H −→ H es acotado, entonces DA = DB , A = B y Atiene representación matricial (respecto a cualquier base). Enefecto: {xn} ⊂ DB , xn → x ⇒ Axn → Ax y, por tanto, x ∈ DB

Teorema

A : DA −→ H simétrico y cerrado⇒ existe {ei} base ortonormalrespecto de la cual A tiene representación matricial.

Demostración: Se propone como ejercicio.Referencias: Theory of Linear Operators in Hilbert Space, N.I.Akhiezer, I.M. Glazman, Dover Pub., New York (1993).


Teorema

Sea A : DA −→ H cerrado y simétrico. Supóngase que A tienerepresentación matricial

(aij)∞

i,j=1 respecto de la base ortonormal{ei}. Sea T : DT −→ H definido por

Tx =∞∑

i=1

ziei , zi =∞∑

k=1

aikxk

para DT =

x =∞∑

k=1

xkek :∞∑

i=1

∣∣∣∣∣∞∑

k=1

aikxk

∣∣∣∣∣2

<∞

.

Entonces T = A∗.

Definición

El operador T se llama maximal asociado a la matriz(aij)∞

i,j=1


Observación

a11 a12 a13 · · ·a21 a22 a23 · · ·a31 a32 a33 · · ·

......

.... . .

x1

x2

x3...

=

∞∑i=1

a1ixi

∞∑i=1

a2ixi

...

(3)

Sea x =∑∞

k=1 xkek ∈ DT ⇒ por la definición de DT ,

∞∑i=1

( ∞∑k=1

aikxk

)ei ∈ H.

Ello significa, tanto que las series∑∞

k=1 aikxk , k ∈ N , sonconvergentes, como que el lado derecho de (3) está en H. Esdecir, T es el operador que se define de manera natural mediantela matriz.


Demostración de teorema: Se quiere probar T = A∗

⊃)

Sea x ∈ DA∗ , x =∞∑i=1

xiei , A∗x =∞∑i=1

ziei

⇒ zi = 〈A∗x , ei〉 = 〈x , Aei〉 =∞∑

k=1

xk 〈ek , Aei〉 =∞∑

k=1

xk aik

⇒ basta probar x ∈ DT (pues, entonces, A∗x = Tx)

Pero A∗x =∞∑i=1

ziei ∈ H ⇒∞∑i=1

|zi |2 = ‖A∗x‖2 <∞

⇒∞∑i=1

∣∣∣∣∣∞∑

k=1

xk aik

∣∣∣∣∣2

<∞⇒ x ∈ DT


⊂) Sea x =∞∑

i=1

xiei ∈ DT . Según la definición de T , se tiene

Tei =∞∑

k=1

akiek ⇒ 〈Tei , ej〉 = aji

Como, además, T ⊃ A∗ ⊃ A y {ei} ⊂ DA ⇒ 〈Tei , ej〉 =

〈Aei , ej〉 = 〈ei , Aej〉 = 〈ei , Tej〉 = 〈Tej , ei〉 = aij ⇒ aji = aij ,

〈Aej , x〉 =∞∑

i=1

xi〈Aej , ei〉 =∞∑

i=1

xiaij =∞∑

i=1

xiaij

=∞∑

i=1

xi〈Tei , ej〉 = 〈Tx , ej〉 = 〈ej , Tx〉

Por tanto,


〈Ah, x〉 = 〈h, Tx〉 para todo h ∈ L{e1, e2, . . .} (4)

Pero A tiene representación matricial

⇒ B = A⇒ para todo g ∈ DA ,

∃{xn} ⊂ L{e1, e2, . . .} , xn → g , Axn → Ag

Esto junto con (4) implica

〈Ah, x〉 = 〈h, Tx〉 para todo h ∈ DA

⇒ x ∈ DA∗ , Tx = A∗x

�

Espectro de un operador lineal

T : DT −→ H lineal, DT = H , I operador identidad.

Definición

λ ∈ C se llama punto regular para T si existe (T − λI)−1

operador acotado con dominio D(T−λI)−1 = H .

Definición

Se llama conjunto resolvente de T , y se denota por ρ(T ), alconjunto de los puntos regulares de T .

Definición

Se llama espectro de T , y se denota por σ(T ), al conjunto de lospuntos no regulares de T . Es decir, σ(T ) = C \ ρ(T ).

Espectro de un operador lineal

Observaciones

D(T−λI)−1 = R(T − λI) cuando T − λI es inyectivo.

Si λ ∈ σ(T ) se tiene alguna de las siguientes posibilidades:1 T − λI no es inyectivo⇒ no existe (T − λI)−1

2 T − λI es inyectivo,(T − λI)−1 : D(T−λI)−1 −→ H , D(T−λI)−1 6= H(En este caso (T − λI)−1 puede o no ser acotado).

3 T − λI es inyectivo, (T − λI)−1 : H −→ H no acotado.

Atendiendo al motivo por el cual λ ∈ σ(T ), existen, ademásde la anterior, otras clasificaciones del espectro de unoperador.

Existe confusión entre los nombres dados a distintas partesdel espectro.

Se expone aquí la más utilizada:

Clasificación del espectro

T : DT −→ H lineal, DT = H , λ ∈ C

Definiciónλ ∈ C se llama autovalor de T si T − λI no es inyectivo, esto es,si existe x ∈ DT , x 6= 0 , tal que Tx = λx.

Definición

El conjunto de los autovalores de T se denota por σp(T ) y sellama espectro puntual de T .


Definición

Se define el espectro residual de T , y se denota por σres(T ),como el conjunto de puntos para los cuales T − λI es inyectivo,siendo

(T − λI)−1 : R(T − λI) −→ H

acotado, pero R(T − λI) 6= H.

Observación

Para λ ∈ σres(T ) el operador (T − λI)−1 nunca se puede extenderde forma continua a todo H.

Definición

Se define el espectro continuo de T , y se denota por σc(T ),como σ(T ) \ (σp(T ) ∪ σres(T )) .


Observaciones

{σp(T ), σres(T ), σc(T )} es una partición de σ(T ).

Si λ ∈ σc(T ), entonces T − λI es inyectivo. Puede ocurrir:

1 (T − λI)−1 : R(T − λI) −→ H no acotado.

Esta parte del espectro continuo es vacía en algunos casos.

2 (T − λI)−1 : R(T − λI) −→ H acotado, pero R(T − λI) = H.

Bajo ciertas condiciones (T − λI)−1 se puede extender porcontinuidad a todo H (se requiere convergencia de{(T − λI)−1xn}):

(T − λI)−1x := limn

(T − λI)−1xn , xn → x , {xn} ⊂ R(T − λI)

En cierto sentido, estos son los puntos del espectro máspróximos a ρ(T )

Espectro de operadores simétricos

Lema

Sea T : DT −→ H simétrico. Entonces

‖(T − λI)x‖2 = ‖(T − (Reλ)I)x‖2 + (Imλ)2‖x‖2

para x ∈ DT y λ ∈ C (siendo λ = Reλ + iImλ).

Demostración:T simétrico⇒ 〈(T − (Reλ)I)x , x〉 = 〈x , (T − (Reλ)I)x〉 , ∀x ∈ DT

⇒ ‖(T−λI)x‖2 = 〈(T−(Reλ)I−i(Imλ)I)x , (T−(Reλ)I−i(Imλ)I)x〉

= ‖(T − (Reλ)I)x‖2 + (Imλ)2‖x‖2

−i(Imλ)〈x , (T − (Reλ)I)x〉 − i(Imλ)〈(T − (Reλ)I)x , x〉

= ‖(T − (Reλ)I)x‖2 + (Imλ)2‖x‖2 , x ∈ DT , λ ∈ C

�

Espectro de operadores simétricos

Proposición

Sea T : DT −→ H simétrico. Entonces σp(T ) ⊂ R.

Demostración:

Sea λ ∈ σp(T ) , Tx = λx , x ∈ DT , x 6= 0

Entonces, por el lema anterior,

0 = (T − (Reλ)I)x , Imλ = 0⇒ λ = Reλ ∈ R

�

Consecuencia

T autoadjunto⇒ T simétrico⇒ σp(T ) ⊂ R

Espectro de operadores autoadjuntos

Teorema

Sea T : DT −→ H autoadjunto. Se tiene:

λ ∈ σp(T )⇔ R(T − λI) 6= H

Demostración:⇒) T autoadjunto, λ ∈ σp(T )

⇒ λ ∈ R , Tx = λx para algún x ∈ DT , x 6= 0

⇒ 0 = 〈(T − λI)x , y〉 = 〈x , (T − λI)y〉 , ∀y ∈ DT

⇒ x ∈ R(T − λI)⊥. Veamos que x /∈ R(T − λI) .

En caso contrario, existiría

{xn} ⊂ R(T − λI) , xn = (T − λI)yn → x

⇒ ∀n ∈ N , 0 = 〈(T − λI)x , yn〉 = 〈x , (T − λI)yn〉 = 〈x , xn〉

⇒ 0 = 〈x , xn〉 → ‖x‖2 ⇒ x = 0 , en contra de lo supuesto.


(De otro modo: R(T − λI)⊥ 6= {0} ⇒ R(T − λI) 6= H por un lemaanterior).

⇐) R(T − λI) 6= H(lema anterior)

=⇒ R(T − λI)⊥ 6= {0}

⇒ ∃x 6= 0 , x ∈ H : 〈x , (T − λI)y〉 = 0 , ∀y ∈ DT

⇒ x ∈ D(T−λI)∗ , (T − λI)∗x = 0

Pero (T − λI)∗ = T − λI (T autoadjunto)

⇒ Tx = λx , x 6= 0 , λ ∈ σp(T )

Además σp(T ) ⊂ R . Por tanto, λ = λ ∈ σp(T ) �

Consecuencia

T autoadjunto⇒ σres(T ) = ∅ ⇒ σ(T ) = σp(T ) ∪ σc(T )


Definición

Dado T : DT −→ H lineal, se llama variedad lineal propiaasociada a λ a

Ker (T − λI) := {x ∈ DT : Tx = λx}

(Se comprueba sin dificultad que es una variedad lineal.)

Proposición

Sean T autoadjunto, λ ∈ σp(T ). Entonces

Ker (T − λI) = R(T − λI)⊥


Demostración:

⊂)x ∈ Ker (T − λI)⇒ Tx = λx

T autoadjunto , λ ∈ σp(T )⇒ λ ∈ R

⇒ 〈x , (T − λI)y〉 = 〈(T − λI)x , y〉 = 0 , ∀y ∈ DT

⇒ x ∈ R(T − λI)⊥

⊃) Sea x ∈ R(T − λI)⊥. Entonces, para todo y ∈ DT = DT∗

〈x , (T − λI)y〉 = 〈(T − λI)x , y〉 = 0

DT denso en H

⇒ 〈(T − λI)x , y〉 = 0 , ∀y ∈ H

⇒ (T − λI)x = 0 , x ∈ Ker (T − λI)

�


Lema

Sea T : DT −→ H cerrado. Entonces(T − λI)−1 : R(T − λI) −→ H es cerrado

Demostración: Sea {xn} ⊂ D(T−λI)−1 = R(T − λI) tal que xn → xy {(T − λI)−1xn} convergente.Sean yn := (T − λI)−1xn , y := limn yn. Entonces,

{yn} ⊂ DT , yn → y , {(T − λI)yn} convergente, T − λI cerrado

Por tanto,

y ∈ DT , (T − λI)yn = xn → (T − λI)y .

Por unicidad del límite, x = (T − λI)y . Es decir,

x ∈ R(T − λI) = D(T−λI)−1 , (T − λI)−1xn → (T − λI)−1x .

�


Teorema

Sea T autoadjunto. Entonces σ(T ) ⊂ R.

Demostración:

λ ∈ σp(T )(resultado anterior)

=⇒ λ ∈ Rλ ∈ σ(T ) \ σp(T )⇒ (T − λI)−1 inyectivo . Por otra parte, Tautoadjunto

(resultado anterior)=⇒ ‖(T − λI)x‖2 = ‖(T − (Reλ)I)x‖2 + (Imλ)2‖x‖2

Tomando y = (T − λI)x :

‖y‖ ≥ |Imλ|‖(T − λI)−1y‖ , ∀y ∈ R(T − λI)

Si fuese Imλ 6= 0,

‖(T − λI)−1y‖ ≤ 1|Imλ|

‖y‖ , ∀y ∈ R(T − λI)


⇒ (T − λI)−1 : R(T − λI) −→ H acotado.

Además, T cerrado (por ser autoadjunto). Por el lemaanterior, (T − λI)−1 cerrado.

De ambas cosas, por un resultado anterior, D(T−λI)−1 = R(T − λI)cerrado.

⇒ R(T − λI) = R(T − λI)

Se tiene λ /∈ σp(T )(resultado anterior)

=⇒ R(T − λI) = H

⇒ (T − λI)−1 : H −→ H acotado, en contra de lo supuesto(λ ∈ σ(T )). Por tanto, Imλ = 0 , λ ∈ R . �

Lema

Sea T : DT −→ H cerrado con DT = H. Entonces T es acotado.

Demostración: Ejercicio. (Referencia: Kato, pág. 166, Th. 5.20).


Teorema

Sea T : DT −→ H autoadjunto. Entonces

λ ∈ C \ σ(T )⇔ R(T − λI) = H .

Demostración:

⇒) λ ∈ C \ σ(T )⇒ (T − λI)−1 : H −→ H acotado.

⇒ D(T−λI)−1 = R(T − λI) = H

⇐)

Si λ ∈ C \ R σ(T )⊂R=⇒ λ /∈ σ(T )

Si λ ∈ R y R(T − λI) = H

⇒ R(T − λI) = H(resultado anterior)

=⇒ λ /∈ σp(T )

⇒ ∃(T − λI)−1 : H −→ HT cerrado (autoadjunto y T ∗ cerrado)⇒ (T − λI)−1 cerrado

}Lema=⇒ (T − λI)−1 acotado �


Teorema

Sea T : DT −→ H autoadjunto. Entonces σ(T ) es cerrado.

Demostración: Se probará que C \ σ(T ) es abierto. Seaλ0 ∈ C \ σ(T )

⇒ (T − λ0I)−1 : H −→ H acotado⇒ ∃M = ‖(T − λ0I)−1‖ tal que

‖x‖ = ‖(T − λ0I)−1(T − λ0I)x‖ ≤ M‖(T − λ0I)x‖ , ∀x ∈ DT (5)

Sea λ ∈ C , |λ− λ0| < 1/2M

(5)=⇒ ‖(T − λI)x‖ = ‖(T − λ0I)x + (λ0 − λ)x‖

≥ ‖(T − λ0I)x‖ − |λ0 − λ|‖x‖ >1

2M‖x‖ , x ∈ DT (6)


Entonces:1 (6)⇒ λ /∈ σp(T )

2 Se tiene que (T − λI)−1 : R(T − λI) −→ H acotado.En efecto, z ∈ R(T − λI) , z = (T − λI)x , x ∈ DT

(6)=⇒ ‖x‖ = ‖(T − λI)−1z‖ ≤ 2M‖z‖

3 Además, (T − λI)−1 : R(T − λI) −→ H cerrado (por serlo T ).

Por todo ello, usando un resultado anterior,

D(T−λI)−1 = R(T − λI) cerrado.


⇒ R(T − λI) = R(T − λI)

Además, λ /∈ σp(T )⇒ R(T − λI) = H

⇒ (T − λI)−1 : H −→ H acotado.

⇒ λ ∈ C \ σ(T ) .

�El teorema anterior se puede generalizar:

Teorema

Sea T : DT −→ H cerrado. Entonces σ(T ) es cerrado en C.

Demostración: Se propone como ejercicio. (Referencia: Kato,pág. 174).

Operador resolvente

Definición

Dado T : DT −→ H lineal y λ ∈ C \ σp(T ), se llama operadorresolvente a

(T − λI)−1 : R(T − λI) −→ H

Observación

Nótese que no es necesario tener λ ∈ ρ(T ) para definir eloperador resolvente.

Operador resolvente

Proposición

Sea T : DT −→ H , DT = H , λ ∈ ρ(T ). Entonces λ /∈ σp(T ∗),siendo (T ∗ − λI)−1 =

[(T − λI)−1

]∗Demostración: DT = H ⇒ se puede definir T ∗, y también(T − λI)∗ = T ∗ − λI .Además, λ ∈ ρ(T )⇒ D(T−λI)−1 = HAplicando un resultado anterior relativo a operadores adjuntos:T ∗ − λI invertible, (T ∗ − λI)−1 =

[(T − λI)−1

]∗. �

Observación

Nótese que, aunque se suponga λ ∈ ρ(T ), sólo se deduceλ /∈ σp(T ∗). Podría ser, en principio, λ ∈ σ(T ) \ σp(T ∗).

Operador resolvente

Teorema (Ecuación resolvente)

Sea T : DT −→ H lineal y sean λ1 , λ2 ∈ ρ(T ). Entonces

(T − λ1I)−1 − (T − λ2I)−1 = (λ1 − λ2)(T − λ1I)−1(T − λ2I)−1 (7)

Demostración:

(T − λ2I)− (T − λ1I) = (λ1 − λ2)I : DT −→ H

Multiplicando por la izquierda por (T − λ1I)−1 y por la derecha por(T − λ2I)−1 se obtiene (7) con dominioH = D(T−λ1I)−1 = D(T−λ2I)−1 . �

Observación

En (7) es fundamental que sean λ1 , λ2 ∈ ρ(T ) para que laecuación sea válida con dominio H.

Resolvente y espectro de operadores acotados

Definición (radio espectral)

Sea T : H −→ H acotado. Se llama radio espectral de T a

Spr(T ) = infn‖T n‖1/n

Observación

0 ≤ ‖T n‖1/n ≤ ‖T‖ ⇒ la definición es correcta, infn ‖T n‖1/n ≥ 0

Ejercicio

Dado T : H −→ H acotado se propone probar:1 Spr(T ) = limn ‖T n‖1/n

2 Spr(T ) = sup{|λ| : λ ∈ σ(T )}Referencia: Kato


Consecuencia

λ ∈ σ(T )⇒ |λ| ≤ Spr(T ) ≤ ‖T‖

Por tanto, para operadores acotados

σ(T ) ⊂ {λ : |λ| ≤ ‖T‖} .

En particular, σ(T ) es un conjunto acotado y ρ(T ) 6= ∅.

Teorema

Sea T : H −→ H acotado. Entonces σ(T ) 6= ∅ .

Demostración: Se propone como ejercicio. (Referencia: Kato,pág. 176).


Teorema

Sean T : H −→ H acotado, λ ∈ C , |λ| > ‖T‖. Entonces λ ∈ ρ(T ),siendo

(T − λI)−1 = −∞∑

n=0

T n

λn+1 , ‖(T − λI)−1‖ ≤ 1|λ| − ‖T‖

.

Demostración:

|λ| > ‖T‖ consecuencia anterior=⇒ 0 6= λ ∈ ρ(T ) , (T−λI)−1 : H −→ H acotado.

Además,

T (T − λI)−1 = [(T − λI) + λI] (T − λI)−1 = I + λ(T − λI)−1

⇒ λ(T − λI)−1 = −I + T (T − λI)−1 (8)

⇒ λ2(T−λI)−1 = −λI−T[λ(T − λI)−1

](8)= −λI−T +T 2(T−λI)−1 .


Por inducción, supongamos para n ∈ Nλn(T − λI)−1 =

= −λn−1I − λn−2T − · · · − λT n−2 − T n−1 + T n(T − λI)−1 (9)

⇒ λn+1(T − λI)−1 = −λnI − · · · − λT n−1 + T n[λ(T − λI)−1

](8)= −λnI − · · · − λT n−1 − T n + T n+1(T − λI)−1

Por tanto, (9) es válida para todo n ∈ N.


Dividiendo en (9) por λn (λ 6= 0):

(T − λI)−1 = −n−1∑i=0

T i

λi+1 +T n

λn (T − λI)−1 , n ∈ N , (10)

donde:

1T n

λn (T − λI)−1 acotado,

∥∥∥∥T n

λn (T − λI)−1∥∥∥∥ ≤ (‖T‖λ

)n

‖(T − λI)−1‖ → 0 (n→∞)

2

∥∥∥∥∥−n−1∑i=0

T i

λi+1

∥∥∥∥∥ ≤ 1|λ|

n−1∑i=0

(‖T‖|λ|

)i

→ 1|λ| − ‖T‖

(n→∞)

Entonces la serie∞∑

i=0

T i

λi+1 converge y basta tomar límites en (10).

�

Medidas asociadas a operadores autoadjuntos

Definición (recordatorio: función de variación acotada)

Sea f : [a, b] −→ R , −∞ ≤ a > b ≤ +∞ . Se dice que f es devariación acotada si

supn∑

i=1

|f (ti)− f (ti−1)| < +∞ (11)

tomando el supremo sobre todas las particionesa = t0 < · · · < tn = b del intervalo [a, b].

Definición (recordatorio: variación total de una función)

Si f : [a, b] −→ R es de variación acotada, entonces se llamavariación de f al supremo dado en (11).


Definición (resolución de la identidad)

Sea {E(λ) : λ ∈ R} familia de proyecciones, E(λ) : H −→ H(i.e., E(λ)2 = E(λ) , E(λ)∗ = E(λ)).Se dice que dicha familia es una resolución de la identidad si:

1 E(λ)E(µ) = E(min{λ, µ}) , ∀λ , µ ∈ R.2 Para cada λ ∈ R , E(λ) es continua por la derecha, esto es,

E(λ) = limµ→λ+

E(µ) ,

entendiéndose el límite en el sentido de convergencia fuertede operadores.

3 E(−∞) = 0 , E(+∞) = I donde, por definición,

E(±∞) = limλ→±∞

E(λ)

(ambos límites en sentido fuerte).


Observación

Una resolución de la identidad también suele llamarse familiaespectral. Se entenderá el motivo posteriormente.

Se va a trabajar con funciones de variación acotada definidaspor familias espectrales:E(λ) : H −→ H operador dependiente de un parámetro real λ⇒ para x , y ∈ H fijos se define

f : R −→ C , f (λ) = 〈E(λ)x , y〉

La función f (λ) así definida depende de x , y ∈ H. Sería máspreciso escribir fx ,y (λ), pero se prescinde de esta notaciónpor comodidad.


Lema

Sea {E(λ) : λ ∈ R} resolución de la identidad. Entonces, paracada λ1 , λ2 ∈ R , λ1 ≤ λ2, se tiene que

E(λ1, λ2] := E(λ2)− E(λ1)

es una proyección.

Demostración: Dados λ1 , λ2 ∈ R , λ1 ≤ λ2, se tiene:

i) E(λ1, λ2]2 = (E(λ2)− E(λ1)) (E(λ2)− E(λ1)) = E(λ2)

2 −2E(λ1)E(λ2) + E(λ1)

2 = E(λ2)− 2E(λ1) + E(λ1) = E(λ1, λ2]

ii) E(λ1, λ2]∗ = (E(λ2)− E(λ1))

∗ = E(λ2)∗ − E(λ1)

∗ =E(λ2)− E(λ1) = E(λ1, λ2] �

Proposición

Sea {E(λ) : λ ∈ R} resolución de la identidad. Entonces, paracada x , y ∈ H fijos, f (λ) = 〈E(λ)x , y〉 es de variación acotada.


Por otra parte, para z ∈ H cualquiera:

n∑i=1

‖E(ti−1, ti ]z‖2 =n∑

i=1

〈(E(ti−1, ti ])2 z, z〉 =

n∑i=1

〈E(ti−1, ti ]z, z〉

=n∑

i=1

〈(E(ti)− E(ti−1)) z, z〉 = 〈(E(tn)− E(t0)) z, z〉 = 〈E(t0, tn]z, z〉

= 〈(E(t0, tn])2 z, z〉 = ‖E(t0, tn]z‖2

Como E(t0, tn] es proyección⇒ ‖E(t0, tn]z‖ ≤ ‖z‖. Sustituyendoen (12) para z = x , y ,

n∑i=1

|f (ti)− f (ti−1)| ≤ ‖x‖‖y‖

�


En lo que sigue se supone {E(λ) : λ ∈ R} resolución de laidentidad.

Definición

Sea f : R −→ C , a, b ∈ R , a ≤ b , x ∈ H tales que existe

limn→∞

n∑i=1

f (λi)E(λi−1, λi ]x , (13)

siendo a = λ0 < λ1 < · · · < λn = b , λi ∈ (λi−1, λi ] , i = 1, . . . , n .Entonces se define la integral en x de f en [a, b] respecto de lafamilia espectral {E(λ) : λ ∈ R} como∫ b

af (λ)dE(λ)x = lim

n→∞

n∑i=1

f (λi)E(λi−1, λi ]x


Definición

En las condiciones anteriores, si el límite (13) existe para todox ∈ H se dice que f es integrable en [a, b] respecto de{E(λ) : λ ∈ R}.

Observación

Si f es integrable en [a, b] respecto de {E(λ) : λ ∈ R}, entonces∫ b

af (λ)dE(λ) : H −→ H

es un operador lineal.


Proposición

Sean f : R −→ C continua y x ∈ H. Entonces, para cualesquieraa, b ∈ R existe ∫ b

af (λ)dE(λ)x

Demostración: Se propone como ejercicio. (Referencia: K. Yosida,Functional Analysis, pag. 309 y siguientes).

Definición

Si f es integrable en [a, b] para cualesquiera a, b ∈ R, entonces sedefine ∫ +∞

−∞f (λ)dE(λ)x = lim

a → −∞b → +∞

∫ b

af (λ)dE(λ)x

para x ∈ H fijo, cuando el límite de la derecha exista.


Observación

f (λ) = λ es continua en R⇒ existe∫ b

af (λ)dE(λ)x =

∫ b

aλdE(λ)x

para a, b ∈ R , x ∈ H.

Teorema

El operador T : DT −→ H definido por

1 Tx =

∫ +∞

−∞λdE(λ)x , x ∈ DT

2 DT = {x ∈ H : 〈∫ +∞

−∞λ2dE(λ)x , x〉 < +∞}

es autoadjunto.

Demostración: Se propone como ejercicio. (Referencia: Kato,pag. 356).


Observaciones

Si {E(λ) : λ ∈ R} es una resolución de la identidad, entoncespara x , y ∈ H fijos

µ(λ) := 〈E(λ)x , y〉

define una medida en R sobre la σ-álgebra dada por{(a, b] : a ≤ b}, por ser µ(λ) función de variación acotada ycontinua por la derecha (ver W. Rudin, pág. 178, ejercicio 13).

Se llaman puntos de constancia a aquellos λ ∈ R tales que

limeλ→λ−

E(λ) = E(λ)

(puntos de continuidad por la izquierda).

Se llama soporte de {E(λ) : λ ∈ R} al conjunto de los puntosλ ∈ R que no son de constancia (no confundir con el soportede la medida asociada).


Teorema (teorema espectral)

Dado T : DT −→ H autoadjunto, existe {E(λ) : λ ∈ R} resoluciónde la identidad tal que

T =

∫ +∞

−∞λdE(λ)

Demostración: Se propone como ejercicio. (Referencia: Kato,pag. 360-361).

Observación

Dado T autoadjunto, tendrá especial interés el estudio de lamedida µ(λ) := 〈E(λ)e0, e0〉 , e0 = (0, . . . , 1, 0 . . .), dada por elteorema espectral, por su relación con los polinomios ortogonales.En particular, se tendrá que

σ(T ) = Supp(µ)

Polinomios ortogonales en el plano complejo

µ medida de Borel en C

L2(µ) := {funciones complejas Φ :

∫|Φ(z)|2dµ(z) <∞}

〈Φ , Ψ〉 :=

∫Φ(z)Ψ(z)dµ(z) , Φ,Ψ ∈ L2(µ)

Definición (recordatorio)

Se dice que {ϕi : i = 0, 1, . . .} es un sistema ortogonal en elespacio L2(µ) si 〈ϕi , ϕj〉 = 0 , i 6= j

Definición (recordatorio)

Se dice que {ϕi : i = 0, 1, . . .} es un sistema ortonormal en L2(µ)si es ortogonal y, además, ‖ϕi‖2 = 〈ϕi , ϕi〉 = 1 , i = 0, 1, . . .

Construcción de sistemas ortogonales en L2(µ)

Teorema

Sea {Φi : i = 0, 1, . . .} sistema de vectores en L2(µ) tales que

∆i :=

∣∣∣∣∣∣∣〈Φ0,Φ0〉 · · · 〈Φi ,Φ0〉

......

〈Φ0,Φi〉 · · · 〈Φi ,Φi〉

∣∣∣∣∣∣∣ > 0 , i = 0, 1, . . . , n , ∆−1 := 1 .

Para n = 0, 1, . . . , sea

ϕn(z) :=1√

∆n−1∆n

∣∣∣∣∣∣∣∣∣〈Φ0,Φ0〉 · · · 〈Φn,Φ0〉

......

〈Φ0,Φn−1〉 · · · 〈Φn,Φn−1〉Φ0(z) · · · Φn(z)

∣∣∣∣∣∣∣∣∣ . (14)

Entonces el nuevo sistema {ϕn : n = 0, 1, . . .} es ortonormal.


Demostración:

Ortogonalidad:Sea m > n

(14) =⇒ 〈ϕn, ϕm〉 = 1√∆n−1∆n

∣∣∣∣∣∣∣∣∣〈Φ0,Φ0〉 · · · 〈Φn,Φ0〉

......

〈Φ0,Φn−1〉 · · · 〈Φn,Φn−1〉〈Φ0, ϕm〉 · · · 〈Φn, ϕm〉

∣∣∣∣∣∣∣∣∣=⇒ Basta probar

〈Φj , ϕm〉 = 0 , j = 0, . . . , n ≤ m − 1 (15)

〈Φj , ϕm〉 = 〈ϕm,Φj〉 =

1√∆m−1∆m

∣∣∣∣∣∣∣∣∣〈Φ0,Φ0〉 · · · 〈Φm,Φ0〉

......

〈Φ0,Φm−1〉 · · · 〈Φm,Φm−1〉〈Φ0,Φj〉 · · · 〈Φm,Φj〉

∣∣∣∣∣∣∣∣∣ = 0 , pues j < m.


Normalidad:

(14)=⇒ ϕn(z) =√

∆n−1∆n

Φn(z)

+n−1∑i=0

αiΦi(z) , α0, . . . , αn−1 ∈ C

=⇒ 〈ϕn, ϕn〉 =

√∆n−1

∆n〈Φn, ϕn〉+

n−1∑i=0

αi〈Φi , ϕn〉

(15)=

√∆n−1

∆n〈Φn, ϕn〉

(14)=

√∆n−1

∆n

√∆n

∆n−1= 1 .

�

Polinomios ortogonales en L2(µ)

µ tal que∫|z|ndµ(z) <∞ , n = 0, 1, . . .

Φi(z) := z i , i = 0, 1, . . .

⇒ {ϕn : n ∈ N} dado por (14) sistema ortonormal.

ϕn(z) =

√∆n−1

∆nzn + · · · , γn :=

√∆n−1

∆n> 0 , n ∈ N (γ0 ≡ 1)

(16)ϕn(z) es el polinomio ortonormal n − ésimo respecto a µ .

Teorema

Toda sucesión {Ψn : n ∈ N} de polinomios ortogonales, condeg Ψn = n , Ψ0 6≡ 0, es única salvo constantes multiplicativas. Lasucesión {ϕn : n ∈ N} es la única de polinomios ortonormales concoeficientes directores positivos.


Demostración:

a) {ϕn : n ∈ N} es base de polinomios. Sea {Ψn : n ∈ N}sucesión de polinomios ortogonales,

Ψn(z) =n∑

i=0

αniϕi(z) , αni ∈ C

Ψ0 = α00ϕ0 , α00 6= 0

〈Ψ1,Ψ0〉 = 0 = α10α00 ⇒ α10 = 0⇒ Ψ1(z) = α11ϕ1(z)

Suponiendo Ψi(z) = αiiϕi(z) , i = 0, 1, . . . n − 1,

〈Ψn,Ψi〉 = 0 = αniαii , i = 0, . . . , n − 1⇒ Ψn(z) = αnnϕn(z)


b) Sea {ϕn : n ∈ N} sucesión de polinomios ortonormales,

ϕn(z) = γnzn + · · · , γn > 0

Por el apartado anterior,

ϕn(z) = αnϕn(z) = αnγnzn + · · · , αn =γn

γn> 0

⇒ 1 = ‖ϕn‖ = |αn|‖ϕn‖ ⇒ |αn| = αn = 1 , n = 0, 1, . . . �

Ceros de los polinomios ortogonales

{χn : n ∈ N} sucesión de polinomios ortogonales respecto deµ⇒ {z : z raíz de algún χn , n ∈ N} ⊂ Conv (Suppµ) .

(Conv (A): envoltura convexa de A).Esta propiedad se probará posteriormente en el caso real.

Polinomios ortogonales sobre la recta real

µ medida real (i.e., Supp µ ⊂ R).

Se particulariza lo anterior al caso Φn(z) = zn , n = 0, 1, . . .

Polinomios ortonormales:

ϕn(z) =1√

∆n−1∆n

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

m0 m1 · · · mn

m1 m2 · · · mn+1...

......

mn−1 mn · · · m2n−1

1 z · · · zn

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣, n = 0, 1 . . . ,

mi =

∫z idµ(z) <∞ (condición impuesta a la medida).

Definición

mi es el momento de orden i para µ (i = 0, 1, . . .)

Polinomios ortogonales sobre la recta real

Definición: matrices de momentos

Son las matrices de Hankel

Hn =

m0 m1 · · · mn

m1 m2 · · · mn+1...

......

mn mn+1 · · · m2n

Ejercicio: Probar que las matrices Hn , n = 0, 1 . . . , son simétricasy definidas positivas.Como consecuencia de este ejercicio,

∆n = det Hn > 0 , n = 0, 1 . . .

Polinomios ortogonales y el problema de momentos

En el problema de momentos se procede de forma inversa:

Dada {sn} , n = 0, 1, . . . , sucesión de números reales, se buscauna medida µ(λ) , Supp(µ) = R , tal que la sucesión sea la demomentos, es decir,

sn =

∫Supp(µ)

xndµ(x) , n = 0, 1, . . .

Definición

Si existe µ en las condiciones anteriores⇒ se dice que µ essolución del problema de momentos para {sn} , n = 0, 1, . . . ,.

Polinomios ortogonales y el problema de momentos

Observación

El problema de momentos se puede plantear en términos másgenerales, con {sn} , n = 0, 1, . . . , sucesión compleja y µ medidano real. Aquí nos limitaremos a plantear el caso real.

Definiciones1 Si Supp(µ) = R, el problema de momentos se llama

problema de momentos de Hamburger .2 Si Supp(µ) = [a,+∞) , a ∈ R, se llama problema de

momentos de Stieltjes .3 Si Supp(µ) = [a, b] , a ∈ R, se llama problema de

momentos de Hausdorff .

Relaciones de recurrencia a tres términos

Teorema

Los polinomios {ϕn} ortonormales respecto a una medida realverifican

anϕn−1(z) + (bn − z)ϕn(z) + an+1ϕn+1(z) = 0, n ≥ 0

ϕ−1 ≡ 0, ϕ0 ≡ 1

}(17)

Los polinomios {Pn} ortogonales mónicos verifican

a2nPn−1(z) + (bn − z)Pn(z) + Pn+1(z) = 0, n ≥ 0

P−1 ≡ 0, P0 ≡ 1

}(18)

En ambos casos,

an =

∫zϕn−1(z)ϕn(z)dµ(z) > 0 , bn =

∫zϕ2

n(z)dµ(z) , n ∈ N .

Relaciones de recurrencia a tres términos

Demostración:

deg(zϕn) = n + 1⇒ zϕn(z) =n+1∑i=0

αn,iϕi(z)

Por ortogonalidad,αn,i = 〈zϕn, ϕi〉 = 〈ϕn, zϕi〉 = 0 , i + 1 = 1, . . . , n − 1

⇒ zϕn(z) = αn,n−1ϕn−1(z) + αn,nϕn(z) + αn,n+1ϕn+1(z)

Multiplicando por ϕn−1 y por ϕn se obtienen, respectivamente,las expresiones de an y bn.Sustituyendo ϕm(z) = γmPm(z) , m = n − 1, n, n + 1 en (17) ydividiendo por γn,

anγn−1

γnPn−1(z) + (bn − z)Pn(z) + an+1

γn+1

γnPn+1(z) = 0

Anulando el coeficiente director (polinomio idénticamentenulo), an+1

γn+1

γn= 1

⇒ an+1 =γn

γn+1> 0 , n = 0, 1 . . .⇒ (18) �

Representación matricial de las recurrencias

(17)⇒

(b0 − z)ϕ0(z) + a1ϕ1(z) = 0

a1ϕ0(z) + (b1 − z)ϕ1(z) + a2ϕ2(z) = 0...

⇒ (J−zI)

ϕ0(z)ϕ1(z)

...

= 0 , J =

b0 a1

a1 b1. . .

. . . . . .

(matriz de Jacobi)

Si, además,

ϕn(z) = 0⇒ (Jn − zIn)

ϕ0(z)

...ϕn−1(z)

= 0 , det(Jn − zIn) = 0

⇒ σ(Jn) ≡ {ceros de ϕn} ⇒ Pn(z) = det(zIn − Jn)

(Jn es la sección principal n-ésima de J).

Ceros de los polinomios ortogonales reales

Teorema

Las raíces de los polinomios ortogonales reales son todas realesy simples. Más precisamente, todas las raíces están enConv (Suppµ).

Demostración:

Los ceros son reales:

(18) recurrencia con coef. reales

P−1 ≡ 0 , P0 ≡ 1

}⇒ Pn coeficientes reales

Sean −∞ ≤ a < b ≤ +∞ , Conv (Suppµ) = [a, b]Si fuese Pn(xni) = 0 , xni /∈ [a, b] , i = 1, . . . k ,≤ n⇒

Qn−k :=Pn∏k

i=1(z − xni)con raíces en [a, b], deg Qn−k = n − k


(ortogonalidad)=⇒ 0 =

∫ b

aQn−kPndµ =

∫ b

a

P2n(x)

(x − xn1) · · · (x − xnk )dµ(x)

Pero esto no es posible (el integrando no cambia de signo)

⇒ todos los ceros de Pn están en [a, b]

Los ceros son simples: Si xn1 fuese raíz múltiple

⇒ Qn−2(z) :=Pn(z)

(z − xn1)2 , deg Qn−2 = n − 2

(ortogonalidad)=⇒ 0 =

∫ b

aQn−2Pndµ =

∫ b

a

P2n(x)

(x − xn1)2 dµ(x)

Esto no es posible (el integrando es de signo constante). �


Observación (demostración alternativa)

Jn matriz simétrica =⇒ {ceros de Pn} ≡ σ(Jn) ⊂ R

Lema (identidad de Christoffel-Darboux)

1 x 6= y , n ∈ N⇒

n−1∑i=0

ϕi(x)ϕi(y) = anϕn(x)ϕn−1(y)− ϕn(y)ϕn−1(x)

x − y(19)

2 (forma confluyente)

n ∈ N⇒n−1∑i=0

ϕ2i (x) = an

(ϕ′n(x)ϕn−1(x)− ϕn(x)ϕ′n−1(x)

)(20)


Demostración:

1 (17)⇒

{anϕn(x) = (x − bn−1)ϕn−1(x)− an−1ϕn−2(x)

anϕn(y) = (y − bn−1)ϕn−1(y)− an−1ϕn−2(y)

⇒ an [ϕn(x)ϕn−1(y)− ϕn(y)ϕn−1(x)] =

(x−y)ϕn−1(x)ϕn−1(y)+an−1 [ϕn−1(x)ϕn−2(y)− ϕn−1(y)ϕn−2(x)]

Iterando se obtiene (19).

2 (19)⇒n−1∑i=0

ϕi(x)ϕi(x + h)

= anϕn(x + h)ϕn−1(x)− ϕn(x)ϕn−1(x + h)

h

= an[ϕn(x + h)− ϕn(x)]ϕn−1(x)− ϕn(x) [ϕn−1(x + h)− ϕn−1(x)]

hTomando límites para h→ 0 se llega a (20). �


Teorema (Intercalación de ceros)

Sean xn1 < xn2 < · · · < xnn los ceros de Pn , n ∈ N. Entonces

xnj < xn−1,j < xn,j+1 , n ∈ N , j = 1, . . . , n − 1

Demostración:

(20)(x=xni )=⇒

n−1∑k=0

ϕ2k (xni) = anϕ

′n(xni)ϕn−1(xni) > 0

⇒ ϕ′n(xni)ϕn−1(xni), ϕ′n(xn,i+1)ϕn−1(xn,i+1) igual signo

ϕ′n(xni), ϕ′n(xn,i+1) signo distinto

}⇒

ϕn−1(xni) , ϕn−1(xn,i+1) signo distinto

⇒ entre xni y xn,i+1 hay una raíz xn−1,i de ϕn−1

⇒ xni < xn−1,i < xn,i+1 , i = 1, . . . , n − 1

�

Polinomios desplazados

Se definen los polinomios {ϕ(1)n (z)} de forma recurrente,

an+1ϕ(1)n−1(z) + (bn+1 − z)ϕ

(1)n (z) + an+2ϕ

(1)n+1(z) = 0, n ≥ 0

ϕ(1)−1 ≡ 0, ϕ

(1)0 ≡ 1

(recurrencia desplazada ).Equivalentemente, la sucesión {ϕ(1)

n (z)} verifica

anϕ(1)n−2(z) + (bn − z)ϕ

(1)n−1(z) + an+1ϕ

(1)n (z) = 0, n ≥ 0

ϕ(1)−2 ≡ −

a1

a0, ϕ

(1)−1 ≡ 0

(21)

(misma recurrencia que {ϕn(z)}, distintas condiciones iniciales).En general, para k ∈ N se define {ϕ(k)

n (z)} verificando

an+kϕ(k)n−1(z) + (bn+k − z)ϕ

(k)n (z) + an+k+1ϕ

(k)n+1(z) = 0, n ≥ 0

ϕ(k)−1 ≡ 0, ϕ

(k)0 ≡ 1


J(1) :=

b1 a2

a2 b2. . .

. . . . . .

(matriz de Jacobi desplazada). Se tiene:

1 (J(1) − zI)

ϕ(1)0 (z)

ϕ(1)1 (z)

...

= 0

2 Si ϕ(1)n (z) = 0⇒ (J(1)

n − zIn)

ϕ

(1)0 (z)

...

ϕ(1)n−1(z)

= 0

3 σ(J(1)n ) ≡ {ceros de ϕ

(1)n }

4 P(1)n (z) =

ϕ(1)n (z)

γ(1)n

mónico ⇒ P(1)n (z) = det(zIn − J(1)

n )


Desarrollando det(zIn − J(1)n ) por su última fila,

a2n+1P(1)

n−1(z) + (bn+1 − z)P(1)n (z) + P(1)

n+1(z) = 0, n ≥ 0

P(1)−1 ≡ 0, P(1)

0 ≡ 1

Teorema (Intercalación de ceros de {Pn} y {P(1)

n })Sea n ∈ N. Si xn1 < xn2 < · · · < xnn son las raíces de Pn yx (1)

n−1,1 < x (1)n−1,2 < · · · < x (1)

n−1,n−1 las de P(1)n−1, entonces

xni < x (1)n−1,i < xn,i+1 , i = 1, . . . , n − 1

Demostración:

Multiplicando (17) por ϕ(1)n−1(z), (21) por ϕn(z) y restando,

an+1

[ϕ

(1)n (z)ϕn(z)− ϕ

(1)n−1(z)ϕn+1(z)

]= an

[ϕ

(1)n−1(z)ϕn−1(z)− ϕ

(1)n−2(z)ϕn(z)

], n ∈ N.

Tomando z = xni en esta expresión, y n = 1 en el lado derecho,

−an+1ϕ(1)n−1(xni)ϕn+1(xni) = a1 > 0

⇒ ϕ(1)n−1(xni) , ϕn+1(xni) signo opuesto.

Por la intercalación de ceros de ϕn+1 y ϕn :

ϕn+1(xni) , ϕn+1(xn,i+1) signo opuesto

⇒⇒ ϕ

(1)n−1(xni) , ϕ

(1)n−1(xn,i+1) signo opuesto

⇒ ∃x (1)n−1,i : ϕ

(1)n−1(x

(1)n−1,i) = 0 , xn,i < x (1)

n−1,i < xn,i+1 �

Relación entre polinomios ortogonales y operadores

Sea {ϕn} , n ∈ N , sucesión de polinomios ortogonales reales,

J =

b0 a1

a1 b1. . .

. . . . . .

matriz definida por la recurrencia.

¿J es la representación matricial de algún operador?

En lo que sigue trabajamos en el espacio de Hilbert

H = `2 , ei = (0, . . . , 0,(i+1)

1 , 0, . . .) , i = 0, 1, . . . .


Sea D0 ⊂ `2 , D0 := {(x1, x2, . . .) : xi = 0 , ∀i ≥ m} (sucesionesfinitamente no nulas)

=⇒ D0 = `2

Se define J0 : D0 −→ `2 dado por:1 J0ei = aiei−1 + biei + ai+1ei+1 , (i = 0, 1, . . .)

2 x = (x0, x1, . . .) ∈ D0 =⇒ J0x =∑

i

xi J0ei

Lema

J0 es simétrico

Demostración:

D0 = DeJ0

es denso en `2

〈J0u, v〉 = 〈u, J0v〉 , u, v ∈ D0, por ser {ai , bi} ⊂ R �


Sea J la mínima extensión cerrada de J0. Se recuerda:

u ∈ DeJ ⇐⇒ ∃{un} ⊂ D0 , un → u , {J0un} convergente.

Para u ∈ DeJ se define Ju = lim

nJ0un , un → u.

Lema

J : DeJ −→ `2 es simétrico

Demostración:

D0 ⊂ DeJ , D0 denso en `2 =⇒ DeJ denso en `2

u, v ∈ DeJ , u = lim

nun , v = lim

nvn , {un} , {vn} ⊂ D0

=⇒ 〈Ju, v〉 = 〈limn

J0un, limm

vm〉

= limn,m〈J0un, vm〉 = lim

n,m〈un, J0vm〉 = 〈u, Jv〉 . �


Teorema

Si la matriz J es acotada, es decir, si supi{|bi |, |ai |} ≤ M < +∞ ,

entonces J es un operador acotado.

Demostración:

i) J0 acotado:Sobre elementos ei :

‖J0ei‖ = ‖aiei−1 + biei + ai+1ei+1‖ ≤ 3M

Sobre elementos de D0 :

x =∑(finita)

xiei ∈ D0

=⇒ ‖J0x‖ = ‖∑(finita)

xi(aiei−1 + biei + ai+1ei+1)‖ ≤


≤ ‖∑(finita)

(xiai)ei−1‖+ ‖∑(finita)

(xibi)ei‖+ ‖∑(finita)

(xiai+1)ei+1‖

=

√∑(finita)

|xiai |2 +

√∑(finita)

|xibi |2 +

√∑(finita)

|xiai+1|2

≤ 3M‖x‖ , ‖x‖ =

√∑(finita)

|xi |2 =⇒ ‖J0‖ ≤ 3M .

ii) J acotado:

x ∈ DeJ ⇒ ∃{xn} ⊂ D0 , x = lim

nxn , Jx = lim

nJ0xn

=⇒ ‖Jx‖ = limn‖J0xn‖ ≤ ‖J0‖ lim

n‖xn‖ = ‖J0‖‖x‖

=⇒ ‖J‖ ≤ ‖J0‖ ≤ 3M . �


Nota{‖Jx‖‖x‖

: x ∈ DeJ , x 6= 0

}⊃

{‖J0x‖‖x‖

: x ∈ D0 , x 6= 0

}.

Entonces, tomando supremos,

‖J‖ ≥ ‖J0‖ .

Esto, junto con la demostración anterior, implica

‖J‖ = ‖J0‖ .

La matriz J tiene elementos 〈J0ei , ej〉

J mínima extensión cerrada de J0 (simétrico)

⇒J es la representación matricial de J respecto de la base {en}


Proposición

J∗ = J0∗

Demostración:

1 J0 ⊂ J(resultados anteriores)

=⇒ J∗ ⊂ J0∗

2 Para probar la igualdad entre ambos operadores basta ver,por tanto, que sus dominios coinciden. Sea x ∈ D

eJ0∗

⇒ 〈x , J0z〉 = 〈y , z〉 , ∀z ∈ DeJ0

(siendo y = J0∗x) . (22)

Sea z ∈ DeJ ⇒ ∃{zn} ⊂ D eJ0

, z = limn

zn , Jz = limn

J0zn

(22)=⇒ 〈x , J0zn〉 = 〈y , zn〉 , n ∈ N .

Tomando límites,〈x , Jz〉 = 〈y , z〉 ⇒ x ∈ D

eJ∗ , y = J0∗x = J∗x . �


Determinación de J∗:Sea x ∈ D

eJ∗ , x∗ := J∗x ⇒ 〈x , Jz〉 = 〈x∗, z〉 , ∀z ∈ DeJ

Tomando z = ei ∈ D0 ⊂ DeJ resulta

〈x , Jei〉 = 〈x∗, ei〉 , i = 0, 1, . . .

Si x∗ =∑

j x∗j ej , x =∑

j xjej ⇒ x∗i = 〈x∗, ei〉 = 〈x , Jei〉 =

= 〈x , aiei−1 + biei + ai+1ei+1〉 = aixi−1 + bixi + ai+1xi+1

Conclusión

x∗ está dado matricialmente por Jx, siendo‖x∗‖2 =

∑j |x∗j |2 < +∞

Observación

Por ser J simétrico se sabe que J ⊂ J∗. Entonces, J∗ extiendematricialmente a J de forma maximal, es decir, el dominio D

eJ∗

está dado por los x ∈ `2 tales que Jx ∈ `2.


Caso particular: J matriz acotada.

Teorema

supi{|ai |, |bi |} ≤ M < +∞⇒ J = J∗

Demostración: Sabemos que J ⊂ J∗ (por ser J simétrico).Veamos que D

eJ = `2.

x =∞∑

i=0

xiei ∈ `2 , x (n) =n∑

i=0

xiei ⇒ x (n) → x .

Además,

Jx (n) =n∑

i=0

xi Jei =n∑

i=0

xi(aiei−1 + biei + ai+1ei+1)

=n∑

i=1

(xiai)ei−1 +n∑

i=0

(xibi)ei +n∑

i=0

(xiai+1)ei+1


Cada uno de los sumandos anteriores converge:

1 limn

n∑i=1

(xiai)ei−1 =∞∑

i=1

(xiai)ei−1 ∈ `2. En efecto:

∞∑i=1

|xiai |2 ≤(

supi|ai |) ∞∑

i=1

|xi |2 ≤ M‖x‖2

De forma similar,

2 limn

n∑i=1

(xibi)ei =∞∑

i=0

(xibi)ei ∈ `2,

3 limn

n∑i=0

(xiai+1)ei+1 =∞∑

i=0

(xiai+1)ei+1 ∈ `2 .

Por tanto, {xn} ⊂ D eJ0, xn → x , J0xn → Jx ⇒ x ∈ D

eJ . �


Observaciones

Según lo anterior, toda matriz de Jacobi acotada esrepresentación de un operador autoadjunto. Aunque laacotación es, por tanto, condición suficiente, no es necesariapara que J sea autoadjunto.

Otra condición usual suficiente es la de Carleman:

∞∑i=1

1ai

=∞⇒ J autoadjunto

(Ver An Introduction to Orthogonal Polynomials, T.S. Chihara)Es decir, la matriz J podría ser no acotada, incluso siendolimn an = +∞, pero esta divergencia no puede ser tan rápidaque haga convergente la serie.

Las matrices que definen operadores autoadjuntos tienenpropiedades relevantes en lo que afecta a la teoría depolinomios ortogonales, como se ve a continuación.

Medidas de ortogonalidad espectrales

En lo que sigue se supone que J es la representaciónmatricial de un operador autoadjunto J = J∗.

Por el teorema espectral, existe {E(λ) : λ ∈ R} resolución dela identidad tal que

p(J) =

∫R

p(λ)dE(λ) , ∀p polinomio.

Lema

µ(λ) = 〈E(λ)e0, e0〉 es función de distribución, es decir, nodecreciente, continua por la derecha y tal que

limλ→−∞

µ(λ) = 0 , limλ→+∞

µ(λ) = 1 .


Demostración:1 No decreciente:

E(λ)2 = E(λ) , E(λ)E(ξ) = E(min{λ, ξ}) , λ, ξ ∈ R

⇒ (E(λ2)− E(λ1))2 =

E(λ2)2 − E(λ2)E(λ1)− E(λ1)E(λ2) + E(λ1)

2

= E(λ2)− E(λ1) , λ1 , λ2 ∈ R , λ1 ≤ λ2

⇒ µ(λ2)− µ(λ1) = 〈(E(λ2)− E(λ1)) e0, e0〉

= 〈(E(λ2)− E(λ1))2 e0, e0〉 = ‖ (E(λ2)− E(λ1)) e0‖2 ≥ 0 , λ2 ≥ λ1 .

2 Continuidad por la derecha:

limλ→λ+

0

µ(λ) = limλ→λ+

0

〈E(λ)e0, e0〉 = µ(λ0) ,

pues E(λ) es continua por la derecha.3 limλ→−∞ µ(λ) = limλ→−∞〈E(λ)e0, e0〉 = 〈0e0, e0〉 = 0

limλ→+∞ µ(λ) = limλ→+∞〈E(λ)e0, e0〉 = 〈Ie0, e0〉 = 1 . �


Conclusión

µ(λ) es la función de distribución de una medida de probabilidad.

Definición

Se dice que µ(λ) = 〈E(λ)e0, e0〉 es la medida espectralasociada al operador adjunto J , o a la matriz de Jacobi J que essu representación matricial.

Sea {ϕn} la sucesión de polinomios asociados a la matriz J,dados por la recurrencia


ϕ−1 ≡ 0, ϕ0 ≡ 1

}

Se va a probar que µ(λ) es la medida de ortogonalidad para {ϕn}


Lema

ϕm(J)e0 = em , m = 0, 1, . . .

Demostración: Por inducción,

Para m = 0 , ϕ0(J)e0 = Ie0 = e0.

Para m = 1, sabiendo que ϕ(z) =z − b0

a1,

ϕ1(J)e0 =1a1

(J−b0I)e0 =1a1

0 a1

a1 b1 − b0. . .

. . . . . .

e0 = e1 .


Supóngase ϕm(J)e0 = em , m = 0, 1, . . . , k .De la recurrencia:

ϕk+1(z) =1

ak+1[(z − bk )ϕk (z)− akϕk−1(z)]

⇒ ϕk+1(J)e0 =1

ak+1

[(J − bk I)ϕk (J)e0 − akϕk−1(J)e0

]=

1ak+1

[(J − bk I)ek − akek−1

]=

1ak+1

[(akek−1 + bkek + ak+1ek+1)− bkek − akek−1] = ek+1

�


LemaPara k = 0, 1, . . . , se tiene

Jke0 =k∑

i=0

ckiei , {cki} ⊂ R (23)

Demostración: Por inducción,

k = 0⇒ Jke0 = Ie0 = e0

Supóngase cierto (23) para k = 0, 1, . . . , m. Entonces:

Jm+1e0 = J(Jme0) =m∑

i=0

cmi Jei =m∑

i=0

cmi(aiei−1+biei+ai+1ei+1)

=m+1∑i=0

cm+1,iei (reordenando términos). �


Teorema

La medida espectral µ(λ) asociada a J es la medida deortogonalidad para los polinomios {ϕn}

Demostración:

p(λ) polinomioteorema espectral

=⇒∫

Rp(λ)dµ(λ) =

∫R

p(λ)d〈E(λ)e0, e0〉

= 〈∫

Rp(λ)dE(λ)e0, e0〉 = 〈p(J)e0, e0〉

p(λ) = λkϕn(λ)⇒∫

Rλkϕn(λ)dµ(λ) = 〈Jkϕn(J)e0, e0〉

= 〈ϕn(J)e0, Jke0〉lemas= 〈en,

k∑i=0

ckiei〉 = 0 , k = 0, 1, . . . , n − 1

⇒ ϕn ortogonal a 1, λ, . . . , λn−1 ⇒ ϕn ortogonal a ϕm , m < n. �

Ceros de los polinomios ortogonales y Suppµ

{Por el teorema espectral: Suppµ = σ(J)Por resultados anteriores: {ceros de ϕn : n ∈ N} ⊂ Conv(Suppµ)

Teorema

Si J es autoadjunto, todo punto de σ(J) es límite de ceros depolinomios de {ϕn}

Demostración: Se propone como ejercicio.Referencias: Hay dos posibles métodos,

1 método “algebraico": Chihara, capítulo II, sección 4 (pág. 59y siguientes),

2 método basado en teoría de operadores: Aplicar el teorema1.14, pág. 431, y corolario 1.6, pág. 429, del Kato, a losoperadores Jn : `2 −→ `2 con representación matricial Jn

(como matriz infinita) respecto de {en}.

Ceros de los polinomios ortogonales y Suppµ

Observaciones

No todo punto de acumulación de ceros es de Suppµ. P. ej.,si bk = 0 , ∀n ∈ N, entonces z = 0 es raíz de todos lospolinomios de grado impar.

En ciertos casos, Suppµ sí coincide con los puntos deacumulación de ceros.

Ejercicio

Se dice que la medida espectral µ es de la clase de Nevai si loscoeficientes de la recurrencia de los polinomios verificanan → a , bn → b.Se propone estudiar la situación de los ceros y el soporte paramedidas de la clase de Nevai.Referencias: Artículos de Nevai, W. Van Assche y otros, referidosal tema.

Polinomios pseudo-ortogonales

Definición

Se llama matriz de Jacobi generalizada a cualquier matriztridiagonal

J =

b0 a1

a1 b1. . .

. . . . . .

con {ai} , {bi} ⊂ C.

Definición

Se llama sucesión de polinomios pseudo-ortogonales a unasucesión {ϕn} generada por una recurrencia


ϕ−1 ≡ 0, ϕ0 ≡ 1

}(24)

con {ai} , {bi} ⊂ C.


ObservaciónEn general, con polinomios pseudo-ortogonales no se tieneoperador autoadjunto ni medida de ortogonalidad.

Proposición

Si an 6= 0 , ∀n ∈ N, entonces la sucesión de polinomiospseudo-ortogonales {ϕn} dada por (24) es única.

Demostración:

(24) =⇒ ϕn+1(z) =(z − bn)ϕn(z)− anϕn−1(z)

an+1, n = 0, 1, . . .

=⇒ partiendo de ϕ−1 ≡ 0 , ϕ0 ≡ 1, cada ϕm está determinadounívocamente. �

Observación

Suponiendo todos los an no nulos, de la demostración anterior sededuce deg ϕn = n , ∀n ∈ N.


Proposición

Sea {Pn} la sucesión de polinomios mónicos definidos por {ϕn},es decir,

Pn(z) =ϕn(z)

γn= zn + · · · , n ∈ N .

Entonces

Pn+1(z) = (z − bn)Pn(z)− a2nPn−1(z)

P−1 ≡ 0 , P0 ≡ 1

}

Demostración: ϕm(z) = γmPm(z). Sustituyendo en la recurrencia(24) para m = n − 1 , n , n + 1 y dividiendo por an+1γn+1:

anγn−1

an+1γn+1Pn−1(z) + (bn − z)

γn

an+1γn+1Pn(z) + Pn+1(z) = 0 . (25)


Igualando coeficientes de zn+1:

γn

an+1γn+1= 1 , n = 0, 1, . . .

=⇒ γn+1 =γn

an+1, n = 0, 1, . . . .

Como γ0 = 1 se tiene

γm =1

a1a2 · · ·am, m ∈ N .

De esto y (25) se obtiene el resultado. �


Proposición

Si an 6= 0 , ∀n ∈ N, entonces ϕn(z) y ϕn+1(z) no tienen ceroscomunes.

Demostración: Si se supone lo contrario=⇒ ∃z ∈ C , ϕn(z) = ϕn+1(z) = 0.Sustituyendo z = z en la recurrencia se tiene

anϕn−1(z) = 0 =⇒ ϕn−1(z) = 0 .

Iterando se llega a ϕ0(z) = 0, lo cual es falso. �

Observación

Ahora no se puede hablar de intercalación de ceros; los ceros noson reales ni están necesariamente alineados.


Formalmente

(J − zI)

ϕ0(z)ϕ1(z)

...

= 0 .

Si z es raíz de ϕn(z) =⇒ (Jn − zIn)

ϕ0(z)...

ϕn−1(z)

= 0.

Consecuencia

σ(Jn) = {ceros de ϕn(z)}

Proposición

Pn(z) = det(zIn − Jn) , n = 0, 1, . . .

Demostración: det(zIn − Jn) es polinomio mónico, de grado n,cuyas raíces son las de ϕn(z). �

Polinomios pseudo-ortogonales desplazados

Definición

Dado k ∈ N, se llama sucesión de polinomios desplazadosk -ésimos respecto a {ϕn} a la sucesión {ϕ(k)

n } , n ∈ N, dada porla recurrencia

an+kϕ(k)n−1 + (bn+k − z)ϕ

(k)n + an+k+1ϕ

(k)n+1 = 0, n ≥ 0

ϕ(k)−1 ≡ 0, ϕ

(k)0 ≡ 1

Observaciones

Para k = 0 se tiene la sucesión original de polinomiospseudo-ortogonales. Los polinomios desplazados k-ésimosson los pseudo-ortogonales para coeficientes{an+k , bn+k} , n ∈ N , en la recurrencia.

Como consecuencia, todas las propiedades estudiadas parapolinomios pseudo-ortognales son válidas para desplazados.

Polinomios pseudo-ortogonales desplazados

Definición

Se llama matriz desplazada k-ésima asociada a la tridiagonal J ala matriz

J(k) :=

bk ak+1

ak+1 bk+1. . .

. . . . . .

Proposición

k , n ∈ {0, 1, . . .} =⇒ P(k)n+1(z) = (z−bk )P(k+1)

n (z)−a2k+1P(k+2)

n−1 (z) .

Demostración: {ϕ(k)n } son los polinomios pseudo-ortogonales

asociados a la matriz J(k) (prop. anterior)=⇒ P(k)

n+1(z) =

det(zIn+1 − J(k)n+1) es el polinomio mónico correspondiente a ϕ

(k)n+1(z)

=⇒ basta desarrollar el determinante por su primera fila. �

Ceros de los polinomios pseudo-ortogonales y σ(J)

Observación

J matriz de Jacobi generalizada⇒ J es representación matricialde un operador J no necesariamente acotado. ¿Qué relaciónexiste entre los ceros de {ϕn} y σ(J)? Se va a analizar un casoparticular.

Dada J, se definen las matrices de Jacobi

ReJ :=

Reb0 Rea1

Rea1 Reb1. . .

. . . . . .

, ImJ :=

Imb0 Ima1

Ima1 Imb1. . .

. . . . . .

.

Lema

Si ReJ es representación matricial de J1, ImJ de J2 y J de J,respecto de la base {en}, siendo ImJ matriz de elementosacotados, entonces J = J1 + i J2 .


Demostración:

ImJ matriz de elementos acotados =⇒ J2 : `2 −→ `2 acotado.J0en := anen−1 + bnen + an+1en+1

J01 en := (Rean)en−1 + (Rebn)en + (Rean+1)en+1

J02 en := (Iman)en−1 + (Imbn)en + (Iman+1)en+1

J0 , J01 y J0

2 definidos por linealidad en L{e0, e1, . . .}

=⇒ J0 = J01 + i J0

2 en L{e0, e1, . . .}

Se sabe:

J , J1 y J2 mínimas extensiones cerradas de J0 , J01 y J0

2 ,

respectivamente.


Como J2 acotado en DeJ2

= `2 ⇒ J1 + i J2 cerrado.En efecto:Sea {xn} ⊂ DeJ1+ieJ2

= DeJ1

, xn → x , {(J1 + i J2)xn}convergente

eJ2xn→eJ2x=⇒ J1xn convergente

eJ1 cerrado=⇒ x ∈ D

eJ1, J1xn → J1x

⇒ x ∈ DeJ1+ieJ2

(= DeJ1

) , (J1 + i J2)xn → (J1 + i J2)x

Como J1 + i J2 extiende J01 + i J0

2 y J es la mínima extensióncerrada de J0

1 + i J02 =⇒ J1 + i J2 ⊃ J.


Para ver que J1 + i J2 = J basta probar, por tanto, queDeJ = D

eJ1+ieJ2. Sea x ∈ D

eJ1+ieJ2= D

eJ1

=⇒ ∃{xn} ⊂ DeJ01

= L{e0, e1, . . .} , xn → x , {J01 xn} convergente.

eJ2 acotado=⇒ ∃{xn} ⊂ DeJ0

1 +ieJ02

= L{e0, e1, . . .} , xn → x ,

{(J01 + i J0

2 )xn} convergente.

=⇒ x ∈ DeJ . �

Observación

El lema anterior se verifica también para cualquierdescomposición matricial J = A + B tal que B sea matriz deelementos acotados.


Se denotarán igual los operadores y sus representacionesmatriciales.

Se supondrán ImJ acotado, ReJ autoadjunto.

Observación

Se denotará por An, además de la sección n-ésima finita de unamatriz A, la matriz infinita que resulta de completar con cerosdicha sección. Así se entiende en el siguiente enunciado.

Lema

Si ImJ es una matriz de elementos acotados, entonces(ImJ)n = ImJn, sección principal n-ésima, es la representaciónmatricial de un operador acotado, siendo

‖ImJn‖ ≤ ‖ImJ‖ , n ∈ N .


Demostración:La matriz ImJn , n ∈ N, es de elementos acotados =⇒ esrepresentación matricial de un operador acotado.ImJ y ImJn , n ∈ N , tienen dominio `2.

Sean x =∞∑

i=0

xiei , x (n) =n−1∑i=0

xiei ∈ `2. Matricialmente,

x ≡ (x0, x1, . . .)T , x (n) ≡ (x0, x1, . . . , xn−1, 0, . . .)T ,

(ImJ) x =

((Imb0)x0 + (Ima1)x1

...

),

(ImJn) x =

(Imb0)x0 + (Ima1)x1

...(Iman−1)xn−2 + (Imbn−1)xn−1

0...

.


Además

(ImJ) x (n) = (ImJn) x + (Iman)xn−1en

(ImJn) x ⊥ en

⇒ ‖ (ImJ) x (n)‖2

= 〈(ImJn) x + (Iman)xn−1en , (ImJn) x + (Iman)xn−1en〉

= ‖ (ImJn) x‖2 + |Iman|2|xn−1|2 ≥ ‖ (ImJn) x‖2

=⇒ ‖ (ImJn) x‖ ≤ ‖ (ImJ) x (n)‖ ≤ ‖ImJ‖‖x (n)‖ ≤ ‖ImJ‖‖x‖ .

�


Observación

El resultado anterior es cierto para secciones principales Cn dematrices arbitrarias C de elementos acotados.

Lema

Sean T : DT −→ `2 autoadjunto y λ ∈ C \ σ(T ). Entonces

‖(T − λI)−1‖ =1

d(λ, σ(T )).

Demostración: Se propone como ejercicio. (Referencias: T. Kato,Perturbation Theory for Linear Operators, problema 6.16, pág.177.)


Proposición

Con las condiciones anteriormente impuestas a J,

σ(J) ⊂ {z : d(z, σ(ReJ)) ≤ ‖ImJ‖} .

Demostración:Sea λ ∈ C , d(λ, σ(ReJ)) > ‖ImJ‖. Se quiere probar λ /∈ σ(J).Se tiene d(λ, σ(ReJ)) > 0⇒ λ /∈ σ(ReJ)

⇒ J − λI = (ReJ − λI) + iImJ , ReJ − λI invertible

⇒ J − λI = (ReJ − λI)[I + i(ReJ − λI)−1ImJ

]. (26)


Por otra parte,

‖i(ReJ − λI)−1ImJ‖ ≤ ‖ (ReJ − λI)−1 ‖‖ImJ‖

(lema)=

‖ImJ‖d(λ, σ(ReJ))

< 1 . (27)

Como i(ReJ − λI)−1ImJ acotado

=⇒ Spr(

i(ReJ − λI)−1ImJ)≤ ‖i(ReJ − λI)−1ImJ‖

(27)=⇒ σ

(i(ReJ − λI)−1ImJ

)⊂ {z : |z| < 1}

=⇒ −1 /∈ σ(

i(ReJ − λI)−1ImJ)

, I+i(ReJ−λI)−1ImJ invertible

(26)=⇒ J − λI invertible, λ /∈ σ(J) . �


ObservaciónReJ autoadjunto⇒ ReJn autoadjunto, ∀n ∈ N . Por tanto, laproposición anterior es cierta para las secciones. Esto conduce alsiguiente resultado.

CorolarioEn las condiciones anteriores,

σ(Jn) ⊂ {z : d(z, σ(ReJn)) ≤ ‖ImJn‖} .

Conclusión

Dado que ‖ImJn‖ ≤ ‖ImJ‖ , de los dos resultados anteriores seconcluye que tanto σ(J) como los ceros de los polinomiospseudo-ortogonales están en el conjunto

{z : d(z, Conv (σ(ReJ))) ≤ ‖ImJ‖} .

Redes de Toda y Langmuir: Definiciones

Sistema o red de Toda:

αn(t) = λn+1(t)− λn(t)λn+1(t) = λn+1(t) (αn+1(t)− αn(t)) , n ∈ N

(λ1 ≡ 0)

(28)

(αi , λi indican las derivadas respecto de t)

Definición

Una sucesión de funciones complejas derivables de variable real{λn(t) , αn(t)} , n ∈ N , es solución de (28), o solución de Toda, siverifica el sistema y λn(t) 6= 0 , t ∈ R , n ≥ 2.

Redes de Toda y Langmuir: Definiciones

Sistema o red de Langmuir:

γn+1(t) = γn+1(t) (γn+2(t)− γn(t)) , n ∈ N

γ1 ≡ 0 ,(29)

Definición

Una sucesión de funciones complejas derivables de variable real{γn(t)} , n ∈ N , es solución de (29), o solución de Langmuir, siverifica el sistema y γn(t) 6= 0 , t ∈ R , n ≥ 2.

Generación de soluciones

Se utiliza la matriz infinita

J(t) =

α1(t)

√λ2(t)√

λ2(t) α1(t). . .

. . . . . .

y la descomposición J(t) = ReJ(t) + iImJ(t),

ReJ(t) =

Reα1(t) Re

√λ2(t)

Re√

λ2(t) Reα1(t). . .

. . . . . .

ImJ(t) =

Imα1(t) Im

√λ2(t)

Im√

λ2(t) Imα1(t). . .

. . . . . .


Para cada t ∈ R se supondrá ReJ(t) autoadjunto y

‖ImJ(t)‖ = supx∈`2,x 6=0

‖ImJ(t)x‖‖x‖

< +∞ , (30)

Teorema

Supóngase que las sucesiones de funciones{λn(t)} , {αn(t)} , {γn(t)} verifican λ1 ≡ γ1 ≡ 0 y, para cadan ∈ N ,

λn+1 = γ2nγ2n+1, αn = γ2n−1 + γ2n + C, (31)

para algún C ∈ C tal que

d(C, Conv (σ(ReJ(t)))) > ‖ImJ(t)‖ (32)

para cada t ∈ R. Entonces {γn(t)} , n ∈ N , es solución de la redde Langmuir (29) si y sólo si {λn(t) , αn(t)} , n ∈ N , es solución dela red de Toda (28).


Caso real: ImJ(t) = 0 para todo t ∈ R

Corolario

Sea J(t) autoadjunto para todo t ∈ R. Supóngase que lassucesiones de funciones {λn(t)} , {αn(t)} , {γn(t)} verifican (31),siendo

C /∈ Conv (σ(J(t)))

para cada t ∈ R. Entonces {γn(t)} es solución de la red deLangmuir si y sólo si {λn(t) , αn(t)} es solución de la red de Toda.


La relación (31) entre soluciones de Toda y Langmuir permiteconectar, a su vez, diferentes soluciones de Toda.

Teorema

Sea {λn(t) , αn(t)} solución de Toda y sea C ∈ C como en (32).Entonces existe {λn(t) , αn(t)} solución de Toda, y existe {γn(t)}solución de Langmuir, tales que, para cada n ∈ N,

λn+1 = γ2nγ2n+1 , αn = γ2n−1 + γ2n + C , (33)

λn+1 = γ2n+1γ2n+2 , αn = γ2n + γ2n+1 + C . (34)

Para cada C ∈ C fijo en estas condiciones las sucesiones{λn(t) , αn(t)} , {γn(t)} son las únicas verificando (33) y (34) conλ1 ≡ γ1 ≡ 0.


Interpretación matricial de los resultados anteriores:

J(1)(t) :=

α1(t) λ2(t)

1 α1(t). . .

. . . . . .

, C ∈ C .

=⇒ J(1)(t)− CI = L(t)U(t) , (35)

L(t) :=

γ2(t)

1 γ4(t)1 γ6(t)

. . . . . .

, U(t) :=

1 γ3(t)1 γ5(t)

. . . . . .


Sea C verificando (32) y la factorización formal anterior (35).Entonces:

1 (primer teorema) L(t) , U(t) asociadas a una solución deLangmuir⇐⇒ J(1)(t) asociada a una solución de Toda.

2 (segundo teorema) J(1)(t) asociada a una solución de Toda

=⇒ J(1)(t) := U(t)L(t) + CI

=

γ2(t) + γ3(t) γ3(t)γ4(t)1 γ4(t) + γ5(t) γ5(t)γ7(t). . . . . . . . .

asociada a otra solución de Toda.

Observación

Las matrices L(t) , U(t) dependen del valor de C fijado deantemano.

Demostraciones

Es inmediato comprobar:“Si {γn(t)} es solución de Langmuir, {λn(t) , αn(t)} verifica (31) yC ∈ C verifica (32), entonces {λn(t) , αn(t)} es solución de Toda”

⇓

Es suficiente probar el segundo teorema para completar lademostración del primero.

Para cada t ∈ R se utilizará la sucesión de polinomios dados porla recurrencian = 0, 1, . . .⇒ Pn+1(t , z) =

= (z − αn+1(t))Pn(t , z)− λn+1(t)Pn−1(t , z)

(P−1 ≡ 0 , P0 ≡ 0) (36)

Demostraciones

Lema (dependencia de los polinomios respecto de t ∈ R)

Si {λn(t) , αn(t)} es solución de (28), entonces

Pn(t , z) = −λn+1(t)Pn−1(t , z) , n ∈ N ,

donde la derivada es en la variable t ∈ R.

Demostración: Por inducción.

n = 1 =⇒ P1(t , z) = z − α1(t) , P1(t , z) = −α1(t) =−λ2(t) = −λ2(t)P0(t , z) .

Supóngase Pm(t , z) = −λm+1(t)Pm−1(t , z) , m = 0, 1, . . . , n.Entonces, basta derivar Pn+1(t , z) en la recurrencia y sustituirPm(t , z) para m = n − 1, n. �

Demostraciones

Lema

Con las restricciones impuestas, para cada n ∈ N se tiene1 ‖ImJn(t)‖ ≤ ‖ImJ(t)‖2 Si d (C, σ(ReJn(t))) > ‖ImJn(t)‖ entonces Pn(t , C) 6= 0

Demostración: Visto anteriormente en dos resultados (lema ycorolario) relativos a polinomios pseudo-ortogonales. (Ver“finite-dimensional approximations of the resolvent of an infinitematrix and continued fractions", lemas 1 y 2.)

Demostraciones

Se recuerda:1 {Ceros de Pn(t , z)} = σ(Jn(t))2 J(t) autoadjunto =⇒ {Ceros de Pn(t , z)} ⊆ Conv (σ(J(t)))

Sea C como en (32). Teniendo en cuenta queσ (ReJn(t)) ⊆ Conv(ReJ(t)) y el lema anterior,

d (C, σ(ReJn(t))) > ‖ImJn(t)‖.

Utilizando la segunda parte del lema se llega a Pn(t , C) 6= 0.Se definen los polinomios

Q(C)n (t , z) =

Pn+1(t , z)− Pn+1(t , C)

Pn(t , C)Pn(t , z)

z − C(37)

Demostraciones

Caso real: {Q(C)n (t , z)} polinomios ortogonales⇒ verifican

recurrencia a tres términos.Caso ImJ(t) 6= 0: También existe recurrencia.

LemaPara n ∈ N se tiene

Q(C)n (z) = (z − αn)Q

(C)n−1(z)− λnQ(C)

n−2(z) (38)

con condiciones iniciales Q(C)−1 ≡ 0, Q(C)

0 ≡ 1, siendo

αn =Pn+1(C)

Pn(C)+ αn+1 −

Pn(C)

Pn−1(C)

λn = λnPn−2(C)Pn(C)

P2n−1(C)

(39)

(no se indica la dependencia de t ∈ R).

Demostraciones

Demostración del lema anterior: Por inducción. Se propone comoejercicio.Se comprueba:

1 Las funciones αn(t), λn(t) dadas en (39) constituyen la nuevasolución de Toda.

2 Las funciones

γ1(t) = 0, γ2n(t) = − Pn(t , C)

Pn−1(t , C), γ2n+1(t) = −λn+1(t)

Pn−1(t , C)

Pn(t , C)

constituyen la solución de Langmuir.

Demostraciones

Unicidad:Si {γn(t)} también verifica γ1(t) ≡ 0 y (33), entonces

γ2n−1(t) + γ2n(t) = γ2n−1(t) + γ2n(t), n ∈ N, (40)

γ2n(t)γ2n+1(t) = γ2n(t)γ2n+1(t), n ∈ N. (41)

Tomando n = 1 se obtieneγ2(t) = γ2(t) de (40) y γ3(t) = γ3(t) de (41), etc.De la unicidad de la solución de Langmuir se deduce la unicidadde la solución de Toda. �

Conclusiones

Observación

En las condiciones anteriores se definen los polinomios

S(C)n (t , z) = zS(C)

n−1(t , z)− γn(t)S(C)n−2(t , z), n ∈ N

S(C)−1 ≡ 0 , S(C)

0 ≡ 1.

.

Entonces, de (33) y (34) se obtieneS(C)

2n (t , z) = Pn(t , z2 + C), S(C)2n+1(t , z) = zQn(t , z2 + C), n ∈ N.

(Las relaciones entre {Pn}, {Q(C)n }, {S

(C)n } son análogas a las

conocidas en el caso real.)

Ejercicio

Demostrar la afirmación anterior.Referencia: Chihara, T. S., An Introduction to OrthogonalPolynomials, Gordon and Breach Science Pub., New York (1978).

Conclusiones

Más observaciones1 En los resultados obtenidos es necesaria alguna restricción

sobre C. Sin embargo, bastaría pedir Pn(t , C) 6= 0 para t ∈ R.

2 Los resultados anteriores pueden proporcionar un métodopara construir familias de soluciones de Toda a partir de unadada. Si C es real, las nuevas soluciones de Toda y Langmuirobtenidas son reales. Si c /∈ R, entonces se obtienensoluciones complejas aunque la solución inicial sea real.

3 La cuestión es determinar si la nueva solución obtenidacumple las hipótesis de aplicación del método.

Ejemplo

αn(t) = et + n − 1

λn(t) = (n − 1)et

n = 1, 2, . . .

Condiciones iniciales: αn(0) = n , λn(0) = n − 1 , n ∈ N

Se cumplen las ecuaciones

αn(t) = λn+1(t)− λn(t)

λn+1(t) = λn+1(t) (αn+1(t)− αn(t))

n ∈ N (λ1 ≡ 0)

(comprobación)

Ejemplo

J(t) =

α1(t)

√λ2(t)√

λ2(t) α1(t). . .

. . . . . .

=

et

√et

√et et + 1

√2et . . .

√2et et + 2

. . .. . . . . .

1 ¿J(t) autoadjunto ?2 ¿J(t) definido positivo?

Ambas cuestiones determinarán el espectro.

Ejemplo

1 Se aplica la condición de Carleman:

∑n≥1

1√λn+1

=∑n≥1

1√net

=1et

∑n≥1

1√n

= +∞

=⇒ J(t) autoadjunto.2 Se comprueba (inducción):

det J1(t) = et , · · · , det Jk (t) = ekt

=⇒ J(t) definido positivo.

De ambas cosasσ(J(t)) ⊆ [0,+∞)

Ejemplo

Se puede tomar C /∈ [0,+∞) para obtener las nuevassoluciones.

Si C /∈ R las nuevas soluciones no serán reales.

Por ser det Jk (t) 6= 0 resulta Pk (t , 0) 6= 0 , k ∈ N, y se puedetomar C = 0.

¿Cuales son las soluciones obtenidas para C = 0?(ejercicio).

¿Se puede iterar el método para C = 0?(ejercicio).

Referencias

N.I. Akhiezer, I.M. Glazman,Theory of Linear Operators in Hilbert Space, Vol. 1 y 2,Dover Pub., Inc., New York (1993).

T.S. Chihara.An Introduction to Orthogonal Polynomials,Gordon and Breach Science Pub., New York (1978).

P. Deift, K. T-R McLaughlin,A Continuum Limit of the Toda Lattice,Memoirs of the American Mathematical Society, Vol. 131, 624,American Math. Soc., Providence, Rhode Island (1998).

T. Kato,Perturbation Theory for Linear Operators,Springer Verlag, Berlin (1995).

Referencias

E.M. Nikishin, V.N. Sorokin,Rational Approximations and Orthogonality,Traslation of Mathematical Monographs, Vol. 92, AmericanMath. Soc., Providence, Rhode Island (1991).

W. Rudin,Análisis Real y Complejo,McGraw-Hill, Madrid (1987).

G. Teschl,Jacobi Operators and Completely Integrable NonlinearLattices,Mathematical Surveysand Monographs, Vol. 72, AmericanMath. Soc. (2000).

K. Yosida,Functional Analysis,Springer-Verlag, Berlin (1995).

Referencias

A.I. Aptekarev, A. Branquinho,Padé approximants and complex high order Toda lattices.J. Comput. Applied Math., 155 (2003) 231-237.

D. Barrios, G. López, A. Martínez-Finkelshtein, and E.Torrano.Finite-dimensional approximations of the resolvent of aninfinite band matrix and continued fractions.Mat. Sbornik, 501:4 (1999) 23-42; English trasl. in Sbornik:Math. 190:4 (1999) 501-519.

F. Peherstorfer.On Toda lattices and orthogonal polynomials.J. Comput. Appl. Math., 133 (2001) 519-534.

F. Gesztesy, H. Holden, B. Simon, and Z. Zhao.On the Toda and Kac-van Moerbeke systems.Trans. Am. Math. Soc., 339 (2) (1993) 849-868.

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